Cộng các phân số cùng mẫu số
Có hai cách cộng phân số:
- Cộng các phân số với cùng mẫu số
- Cộng các phân số với mẫu số khác nhau
Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu phép cộng các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: hãy cộng các phân số và . Cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn thêm pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:
Ví dụ 2. Cộng các phân số và .
Câu trả lời hóa ra là một phân số không chính xác. Khi nhiệm vụ kết thúc, người ta thường loại bỏ những phân số không đúng. Để thoát khỏi phân số thích hợp, bạn cần chọn toàn bộ một phần của nó. Trong trường hợp của chúng tôi, toàn bộ phần có thể dễ dàng bị cô lập - hai chia cho hai bằng một:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ về một chiếc bánh pizza được chia thành hai phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza hơn vào pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza nguyên vẹn:
Ví dụ 3. Cộng các phân số và .
Một lần nữa, chúng ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:
Ví dụ 4. Tìm giá trị của một biểu thức 
Ví dụ này được giải theo cách tương tự như các ví dụ trước. Các tử số phải được thêm vào và mẫu số không thay đổi:
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc pizza và thêm nhiều pizza hơn, bạn sẽ nhận được 1 chiếc pizza nguyên con và nhiều chiếc pizza hơn.
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi cộng các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:
- Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số;
Cộng các phân số có mẫu số khác nhau
Bây giờ chúng ta hãy học cách cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Khi cộng các phân số thì mẫu số của các phân số phải bằng nhau. Nhưng chúng không phải lúc nào cũng giống nhau.
Ví dụ: các phân số có thể được thêm vào vì chúng có cùng mẫu số.
Nhưng các phân số không thể được cộng ngay lập tức vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).
Có một số cách để quy các phân số về cùng mẫu số. Hôm nay chúng ta sẽ chỉ xem xét một trong số chúng, vì các phương pháp khác có vẻ phức tạp đối với người mới bắt đầu.
Bản chất của phương pháp này là trước tiên LCM của mẫu số của cả hai phân số được tìm kiếm. LCM sau đó được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất để thu được hệ số bổ sung đầu tiên. Họ làm tương tự với phân số thứ hai - LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được hệ số bổ sung thứ hai.
Tử số và mẫu số của các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của những hành động này là các phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy.
Ví dụ 1. Hãy cộng các phân số và
Trước hết, chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 6
BCNN (2 và 3) = 6
Bây giờ chúng ta hãy quay lại phân số và . Đầu tiên, chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất và lấy thừa số bổ sung đầu tiên. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 6 cho 3 ta được 2.
Số kết quả 2 là số nhân bổ sung đầu tiên. Chúng tôi viết nó xuống phân số đầu tiên. Để làm điều này, hãy tạo một đường xiên nhỏ trên phân số và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy phía trên nó:
Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai và nhận được hệ số bổ sung thứ hai. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Chia 6 cho 2 ta được 3.
Kết quả số 3 là số nhân bổ sung thứ hai. Chúng tôi viết nó xuống phân số thứ hai. Một lần nữa, chúng ta tạo một đường xiên nhỏ trên phân số thứ hai và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy ở trên nó:
Bây giờ chúng tôi đã có mọi thứ sẵn sàng để bổ sung. Vẫn còn nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng:
Hãy nhìn kỹ vào những gì chúng ta đã đến. Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:
Điều này hoàn thành ví dụ. Hóa ra là thêm .
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một phần sáu chiếc bánh pizza khác:
Việc giảm các phân số về cùng mẫu số (chung) cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Rút gọn các phân số về mẫu số chung, ta được phân số và . Hai phân số này sẽ được thể hiện bằng những miếng bánh pizza giống nhau. Điểm khác biệt duy nhất là lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số).
Hình vẽ đầu tiên biểu thị một phân số (bốn mảnh trong số sáu) và hình vẽ thứ hai biểu thị một phân số (ba mảnh trong số sáu). Thêm những phần này chúng ta có được (bảy trong số sáu phần). Phân số này không đúng nên chúng tôi đã đánh dấu toàn bộ phần đó. Kết quả là chúng tôi có (một chiếc bánh pizza và một chiếc bánh pizza thứ sáu khác).
Xin lưu ý rằng chúng tôi đã mô tả ví dụ này quá chi tiết. TRONG cơ sở giáo dục Nó không phải là thông lệ để viết chi tiết như vậy. Bạn cần có khả năng nhanh chóng tìm LCM của cả mẫu số và các thừa số bổ sung của chúng, cũng như nhân nhanh các thừa số bổ sung tìm thấy với tử số và mẫu số của bạn. Khi ở trường, chúng ta sẽ phải viết ra ví dụ này như sau:
Nhưng cũng có mặt trái huy chương. Nếu bạn không ghi chép chi tiết trong giai đoạn đầu học toán, thì những câu hỏi kiểu này sẽ bắt đầu xuất hiện. “Con số đó đến từ đâu?”, “Tại sao các phân số đột nhiên biến thành những phân số hoàn toàn khác nhau? «.
Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau dễ dàng hơn, bạn có thể làm theo hướng dẫn từng bước sau:
- Tìm BCNN của mẫu số của phân số;
- Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy hệ số bổ sung cho mỗi phân số;
- Nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng;
- Cộng các phân số có cùng mẫu số;
- Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì hãy chọn toàn bộ phần của nó;
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức 
.
Hãy sử dụng các hướng dẫn được đưa ra ở trên.
Bước 1. Tìm BCNN của mẫu số của các phân số
Tìm BCNN của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của các phân số là 2, 3 và 4
Bước 2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy hệ số bổ sung cho mỗi phân số
Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 2. Chia 12 cho 2, ta được 6. Ta có thừa số bổ sung đầu tiên 6. Ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:
Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Ta được thừa số thứ hai 4. Ta viết nó phía trên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ ba là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Ta được thừa số thứ ba 3. Ta viết nó phía trên phân số thứ ba:
Bước 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số bổ sung của chúng
Chúng tôi nhân các tử số và mẫu số với các thừa số bổ sung của chúng:
Bước 4. Cộng các phân số cùng mẫu số
Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Tất cả những gì còn lại là thêm các phân số này. Thêm nó lên:
Phần bổ sung không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi đã chuyển biểu thức còn lại sang dòng tiếp theo. Điều này được cho phép trong toán học. Khi một biểu thức không vừa trên một dòng, nó sẽ được chuyển sang dòng tiếp theo và cần đặt dấu bằng (=) ở cuối dòng đầu tiên và ở đầu dòng mới. Dấu bằng ở dòng thứ hai cho biết đây là phần tiếp theo của biểu thức ở dòng đầu tiên.
Bước 5. Nếu câu trả lời hóa ra là một phân số không đúng thì hãy đánh dấu toàn bộ phần đó
Câu trả lời của chúng tôi hóa ra là một phần không chính xác. Chúng ta phải làm nổi bật toàn bộ một phần của nó. Chúng tôi nhấn mạnh:
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Phép trừ các phân số cùng mẫu số
Có hai loại phép trừ phân số:
- Phép trừ các phân số cùng mẫu số
- Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau
Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu cách trừ các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để trừ một phân số khác, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất, nhưng giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ: hãy tìm giá trị của biểu thức . Để giải ví dụ này, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số. Hãy làm điều này:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:
Ví dụ 2. Tìm giá trị của biểu thức.
Một lần nữa, từ tử số của phân số thứ nhất, trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:
Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức 
Ví dụ này được giải theo cách tương tự như các ví dụ trước. Từ tử số của phân số thứ nhất, bạn cần trừ tử số của các phân số còn lại:
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi trừ các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:
- Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số;
- Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.
Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau
Ví dụ: bạn có thể trừ một phân số khỏi một phân số vì các phân số đó có cùng mẫu số. Nhưng bạn không thể trừ một phân số từ một phân số, vì những phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).
Mẫu số chung được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc mà chúng ta đã sử dụng khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Trước hết, hãy tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất và thu được thừa số bổ sung đầu tiên, được viết phía trên phân số thứ nhất. Tương tự, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số bổ sung thứ hai, được viết phía trên phân số thứ hai.
Các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của các phép toán này là các phân số có mẫu số khác nhau được chuyển đổi thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy.
Ví dụ 1. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
Các phân số này có mẫu số khác nhau nên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).
Đầu tiên chúng ta tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 12
BCNN (3 và 4) = 12
Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại phân số và
Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Viết số 4 phía trên phân số thứ nhất:
Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Viết số ba lên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng cho phép trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:
Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza
Cái này phiên bản chi tiết giải pháp. Nếu chúng ta ở trường, chúng ta sẽ phải giải ví dụ này ngắn hơn. Một giải pháp như vậy sẽ trông như thế này:
Việc giảm phân số về mẫu số chung cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Giảm các phân số này về mẫu số chung, chúng ta có các phân số và . Các phân số này sẽ được thể hiện bằng các lát bánh pizza giống nhau, nhưng lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số):
Bức tranh đầu tiên thể hiện một phân số (tám phần trong số mười hai) và bức tranh thứ hai hiển thị một phân số (ba phần trong số mười hai). Bằng cách cắt ba mảnh từ tám mảnh, chúng ta có được năm mảnh trong số mười hai mảnh. Phân số mô tả năm phần này.
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức 
Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy trước tiên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).
Hãy tìm BCNN của mẫu số của các phân số này.
Mẫu số của các phân số là các số 10, 3 và 5. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 30
BCNN(10, 3, 5) = 30
Bây giờ chúng ta tìm các thừa số bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số.
Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 10. Chia 30 cho 10, ta được thừa số bổ sung đầu tiên 3. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:
Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 30 cho 3, ta được thừa số thứ hai 10. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ ba là số 5. Chia 30 cho 5, ta được thừa số thứ ba 6. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ ba:
Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng để trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:
Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy kết thúc ví dụ này.
Phần tiếp theo của ví dụ sẽ không vừa trên một dòng, vì vậy chúng ta chuyển phần tiếp theo sang dòng tiếp theo. Đừng quên dấu bằng (=) trên dòng mới:
Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, và mọi thứ dường như đều phù hợp với chúng ta, nhưng nó quá cồng kềnh và xấu xí. Chúng ta nên làm cho nó đơn giản hơn. Có thể làm gì? Bạn có thể rút ngắn phân số này.
Để rút gọn một phân số, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho (GCD) của các số 20 và 30.
Vì vậy, chúng ta tìm được gcd của số 20 và 30:
Bây giờ chúng ta quay lại ví dụ của mình và chia tử số và mẫu số của phân số cho gcd tìm thấy, nghĩa là cho 10
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Nhân một phân số với một số
Để nhân một phân số với một số, bạn cần nhân tử số của phân số đó với số đó và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ 1. Nhân một phân số với số 1.
Nhân tử số của phân số với số 1
Việc ghi âm có thể hiểu là chụp 1 nửa thời gian. Ví dụ: nếu bạn ăn pizza một lần, bạn sẽ nhận được pizza
Từ định luật nhân ta biết rằng nếu số nhân và thừa số đổi chỗ cho nhau thì tích sẽ không thay đổi. Nếu biểu thức được viết là , thì tích vẫn bằng . Một lần nữa, quy tắc nhân một số nguyên và một phân số có tác dụng:
Ký hiệu này có thể hiểu là lấy một nửa. Ví dụ: nếu có 1 chiếc bánh pizza nguyên con và chúng ta lấy một nửa số đó thì chúng ta sẽ có bánh pizza:
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số với 4
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:
Biểu thức có thể hiểu là lấy hai phần tư 4 lần. Ví dụ: nếu bạn lấy 4 chiếc pizza, bạn sẽ nhận được hai chiếc pizza nguyên vẹn
Và nếu đổi chỗ số nhân và số nhân, chúng ta sẽ có biểu thức . Nó cũng sẽ bằng 2. Biểu thức này có thể được hiểu là lấy hai chiếc pizza từ bốn chiếc pizza nguyên vẹn:
Nhân phân số
Để nhân các phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng. Nếu câu trả lời là một phân số không chính xác, bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.
Ví dụ 1. Tìm giá trị của biểu thức.
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời. Nên giảm bớt phân số đã cho. Phân số có thể giảm đi 2. Khi đó quyết định cuối cùng sẽ có dạng sau:
Cách diễn đạt có thể hiểu là lấy một chiếc bánh pizza từ một nửa chiếc bánh pizza. Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:
Làm thế nào để lấy hai phần ba từ nửa này? Đầu tiên bạn cần chia nửa này thành ba phần bằng nhau:
Và lấy hai từ ba mảnh này:
Chúng ta sẽ làm pizza. Hãy nhớ một chiếc bánh pizza trông như thế nào, được chia thành ba phần:
Một miếng bánh pizza này và hai miếng chúng tôi lấy sẽ có cùng kích thước:
Nói cách khác, chúng ta đang nói về về cùng một chiếc bánh pizza có kích thước. Do đó giá trị của biểu thức là
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:
Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:
Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, nhưng sẽ tốt hơn nếu rút gọn nó. Để rút gọn phân số này, bạn cần chia tử số và mẫu số của phân số này cho số lớn nhất ước số chung(GCD) số 105 và 450.
Vì vậy, hãy tìm gcd của các số 105 và 450:
Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của câu trả lời cho gcd mà chúng ta đã tìm thấy, tức là cho 15
Biểu diễn số nguyên dưới dạng phân số
Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Ví dụ: số 5 có thể được biểu diễn dưới dạng . Điều này sẽ không làm thay đổi ý nghĩa của số năm, vì biểu thức này có nghĩa là “số năm chia cho một” và như chúng ta biết, số này bằng năm:
số đối ứng
Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với rất chủ đề thú vị trong toán học. Nó được gọi là "số đảo ngược".
Sự định nghĩa. Đảo ngược sốMột là một số mà khi nhân vớiMột đưa ra một.
Hãy thay thế định nghĩa này thay vì biến Một số 5 và thử đọc định nghĩa:
Đảo ngược số 5 là một số mà khi nhân với 5 đưa ra một.
Có thể tìm được một số mà khi nhân với 5 sẽ bằng 1 không? Hóa ra là có thể. Hãy tưởng tượng năm là một phân số:
Sau đó nhân phân số này với chính nó, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Nói cách khác, hãy nhân phân số với chính nó, chỉ lộn ngược:
Điều gì sẽ xảy ra như là kết quả của việc này? Nếu chúng ta tiếp tục giải ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một:
Điều này có nghĩa là nghịch đảo của số 5 là số , vì khi bạn nhân 5 với bạn sẽ được một.
Nghịch đảo của một số cũng có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào khác.
Bạn cũng có thể tìm nghịch đảo của bất kỳ phân số nào khác. Để làm điều này, chỉ cần lật nó lại.
Chia một phân số cho một số
Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:
Hãy chia đều cho hai người. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu pizza?
Có thể thấy rằng sau khi chia một nửa chiếc bánh pizza, người ta thu được hai phần bằng nhau, mỗi phần tạo thành một chiếc bánh pizza. Vì vậy, mọi người đều nhận được một chiếc bánh pizza.
Việc chia phân số được thực hiện bằng cách sử dụng nghịch đảo. Số nghịch đảo cho phép bạn thay thế phép chia bằng phép nhân.
Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân phân số đó với nghịch đảo của số chia.
Sử dụng quy tắc này, chúng ta sẽ viết ra cách chia một nửa chiếc bánh pizza của chúng ta thành hai phần.
Vì vậy, bạn cần chia phân số cho số 2. Ở đây số bị chia là phân số và số chia là số 2.
Để chia một phân số cho số 2, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của ước số 2. Nghịch đảo của ước số 2 là phân số. Vì vậy bạn cần nhân với
Một trong khoa học quan trọng nhất, ứng dụng của nó có thể được thấy trong các ngành như hóa học, vật lý và thậm chí cả sinh học, là toán học. Nghiên cứu khoa học này cho phép bạn phát triển một số phẩm chất tinh thần và cải thiện khả năng tập trung. Một trong những chủ đề đáng được quan tâm đặc biệt trong môn Toán là phép cộng, trừ phân số. Nhiều học sinh gặp khó khăn trong học tập. Có lẽ bài viết của chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
Cách trừ các phân số có cùng mẫu số
Phân số là những số giống nhau mà bạn có thể tạo ra hành động khác nhau. Sự khác biệt của chúng với các số nguyên nằm ở chỗ có mẫu số. Đó là lý do tại sao khi thực hiện các phép tính với phân số, bạn cần nghiên cứu một số tính năng và quy tắc của chúng. Hầu hết trường hợp đơn giản là phép trừ các phân số thông thường có mẫu số được biểu diễn bằng cùng một số. Thực hiện hành động này sẽ không khó nếu bạn biết một quy tắc đơn giản:
- Để trừ một giây cho một phân số, cần phải trừ tử số của phân số bị trừ khỏi tử số của phân số bị rút gọn. Chúng ta viết số này vào tử số của hiệu và giữ nguyên mẫu số: k/m - b/m = (k-b)/m.
Ví dụ về phép trừ các phân số có mẫu số giống nhau
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Từ tử số của phân số “7” ta trừ tử số của phân số “3” cần trừ, ta được “4”. Chúng tôi viết số này vào tử số của câu trả lời và trong mẫu số, chúng tôi đặt cùng một số có trong mẫu số của phân số thứ nhất và thứ hai - “19”.
Hình ảnh dưới đây cho thấy một số ví dụ tương tự khác.
Hãy xem xét một ví dụ phức tạp hơn trong đó các phân số có cùng mẫu số được trừ:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Từ tử số của phân số “29” bị rút gọn bằng cách trừ lần lượt các tử số của tất cả các phân số tiếp theo - “3”, “8”, “2”, “7”. Kết quả là, chúng ta nhận được kết quả "9", chúng ta viết vào tử số của câu trả lời và ở mẫu số, chúng ta viết ra số có trong mẫu số của tất cả các phân số này - "47".
Cộng các phân số có cùng mẫu số
Việc cộng và trừ các phân số thông thường cũng tuân theo nguyên tắc tương tự.
- Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số. Số kết quả là tử số của tổng và mẫu số sẽ giữ nguyên: k/m + b/m = (k + b)/m.
Hãy xem điều này trông như thế nào bằng cách sử dụng một ví dụ:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Vào tử số của số hạng đầu tiên của phân số - “1” - thêm tử số của số hạng thứ hai của phân số - “2”. Kết quả - “3” - được viết vào tử số của tổng và mẫu số được giữ nguyên như mẫu số có trong phân số - “4”.
Phân số có mẫu số khác nhau và phép trừ của chúng
Chúng ta đã xem xét phép toán với các phân số có cùng mẫu số. Như chúng ta thấy, biết quy tắc đơn giản, việc giải các ví dụ như vậy khá dễ dàng. Nhưng phải làm gì nếu bạn cần thực hiện một thao tác với các phân số có mẫu số khác nhau? Nhiều học sinh cấp hai bối rối trước những ví dụ như vậy. Nhưng ngay cả ở đây, nếu bạn biết nguyên lý của giải pháp, các ví dụ sẽ không còn làm khó bạn nữa. Ở đây cũng có một quy tắc, không có quy tắc nào thì giải pháp phân số tương tự Nó đơn giản là không thể.
- 2/3 - thiếu một ba và một hai ở mẫu số:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 hoặc 7/(3 x 3) - mẫu số thiếu hai:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 hoặc 5/(2 x 3) - mẫu số thiếu số ba:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Số 18 được tạo thành từ 3 x 2 x 3.
- Số 15 được tạo thành từ 5 x 3.
- Bội chung sẽ là các thừa số sau: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 chia cho 15. Số kết quả “6” sẽ là số nhân của 15/3.
- 90 chia cho 18. Số kết quả “5” sẽ là số nhân của 4/18.
- Chuyển đổi tất cả các phân số có phần nguyên thành phần không đúng. Nói nói một cách đơn giản, loại bỏ toàn bộ phần. Để làm điều này, nhân số phần nguyên với mẫu số của phân số và cộng kết quả vào tử số. Số xuất hiện sau những hành động này là tử số phân số không chính xác. Mẫu số vẫn không thay đổi.
- Nếu các phân số có mẫu số khác nhau thì phải quy về cùng mẫu số.
- Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ có cùng mẫu số.
- Khi nhận được một phần không chính xác, hãy chọn toàn bộ phần.
Để trừ các phân số có mẫu số khác nhau thì chúng phải quy về cùng mẫu số nhỏ nhất.
Chúng tôi sẽ nói chi tiết hơn về cách thực hiện việc này.
Thuộc tính của một phân số
Để đưa nhiều phân số về cùng một mẫu số, bạn cần sử dụng tính chất cơ bản của một phân số trong lời giải: sau khi chia hoặc nhân tử số và mẫu số cho cùng một số bạn nhận được một phân số bằng với phân số đã cho.
Vì vậy, ví dụ, phân số 2/3 có thể có các mẫu số như “6”, “9”, “12”, v.v., nghĩa là nó có thể có dạng của bất kỳ số nào là bội số của “3”. Sau khi nhân tử số và mẫu số với “2”, chúng ta được phân số 4/6. Sau khi nhân tử số và mẫu số của phân số ban đầu với “3”, chúng ta nhận được 6/9 và nếu thực hiện thao tác tương tự với số “4”, chúng ta sẽ nhận được 8/12. Một đẳng thức có thể được viết như sau:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Cách chuyển nhiều phân số về cùng mẫu số
Chúng ta hãy xem cách quy đổi nhiều phân số về cùng mẫu số. Ví dụ: hãy lấy các phân số hiển thị trong hình bên dưới. Trước tiên, bạn cần xác định số nào có thể trở thành mẫu số của tất cả chúng. Để làm cho mọi việc dễ dàng hơn, hãy phân tích các mẫu số hiện có thành nhân tử.
Mẫu số của phân số 1/2 và phân số 2/3 không thể phân tích thành nhân tử. Mẫu số 7/9 có hai thừa số 7/9 = 7/(3 x 3), mẫu số của phân số 5/6 = 5/(2 x 3). Bây giờ chúng ta cần xác định thừa số nào sẽ nhỏ nhất đối với cả bốn phân số này. Vì phân số thứ nhất có số “2” ở mẫu số, điều đó có nghĩa là nó phải có mặt ở tất cả các mẫu số; trong phân số 7/9 có hai bộ ba, nghĩa là cả hai đều phải có mặt ở mẫu số. Xét như trên, ta xác định mẫu số gồm 3 thừa số: 3, 2, 3 và bằng 3 x 2 x 3 = 18.
Hãy xem xét phân số đầu tiên - 1/2. Có một chữ số “2” trong mẫu số của nó, nhưng không có một chữ số “3” nào mà phải có hai chữ số. Để làm điều này, chúng ta nhân mẫu số với hai bộ ba, nhưng theo tính chất của một phân số, chúng ta phải nhân tử số với hai bộ ba:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Chúng tôi thực hiện các hoạt động tương tự với các phân số còn lại.
Tất cả cùng nhau trông như thế này:
Cách trừ, cộng các phân số có mẫu số khác nhau
Như đã đề cập ở trên, để cộng hoặc trừ các phân số có mẫu số khác nhau, chúng phải được quy về cùng mẫu số, sau đó sử dụng các quy tắc trừ các phân số có cùng mẫu số đã được thảo luận.
Hãy xem đây là một ví dụ: 18/4 - 15/3.
Tìm bội số của số 18 và 15:
Sau khi tìm được mẫu số, cần tính hệ số sẽ khác nhau cho mỗi phân số, tức là số mà không chỉ mẫu số mà cả tử số cũng cần được nhân. Để làm điều này, chúng tôi chia số mà chúng tôi tìm thấy (bội số chung) cho mẫu số của phân số mà chúng tôi cần xác định các thừa số bổ sung.
Giai đoạn tiếp theo trong giải pháp của chúng tôi là giảm từng phân số về mẫu số “90”.
Chúng tôi đã nói về cách thực hiện điều này. Hãy xem điều này được viết như thế nào trong một ví dụ:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Nếu phân số có số nhỏ thì bạn có thể xác định mẫu số chung, như trong ví dụ trong hình bên dưới.
Điều này cũng đúng với những người có mẫu số khác nhau.
Phép trừ và có phần nguyên
Chúng ta đã thảo luận chi tiết về phép trừ các phân số và phép cộng của chúng. Nhưng làm thế nào để trừ nếu một phân số có phần nguyên? Một lần nữa, hãy sử dụng một vài quy tắc:
Có một cách khác để bạn có thể cộng và trừ các phân số có phần nguyên. Để làm điều này, các hành động được thực hiện riêng biệt với toàn bộ các phần và các hành động với phân số riêng biệt và kết quả được ghi lại cùng nhau.
Ví dụ đã cho bao gồm các phân số có cùng mẫu số. Trong trường hợp các mẫu số khác nhau, chúng phải được đưa về cùng một giá trị, sau đó thực hiện các hành động như trong ví dụ.
Trừ các phân số từ số nguyên
Một loại hành động khác với phân số là trường hợp phân số phải được trừ khỏi At first look ví dụ tương tự có vẻ khó giải quyết. Tuy nhiên, mọi thứ ở đây khá đơn giản. Để giải nó, bạn cần chuyển toàn bộ số thành một phân số và có cùng mẫu số với phân số bị trừ. Tiếp theo, chúng ta thực hiện phép trừ tương tự như phép trừ có cùng mẫu số. Trong một ví dụ nó trông như thế này:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Phép trừ phân số (lớp 6) trình bày trong bài viết này là cơ sở để giải các ví dụ phức tạp hơn được đề cập ở các lớp tiếp theo. Kiến thức về chủ đề này sau đó được sử dụng để giải các hàm số, đạo hàm, v.v. Vì vậy, việc hiểu và hiểu các phép tính với phân số đã thảo luận ở trên là rất quan trọng.
§ 87. Phép cộng phân số.
Phép cộng phân số có nhiều điểm tương đồng với phép cộng số nguyên. Phép cộng phân số là một hành động bao gồm thực tế là một số số (thuật ngữ) đã cho được kết hợp thành một số (tổng), chứa tất cả các đơn vị và phân số của đơn vị của các số hạng.
Chúng ta sẽ xem xét tuần tự ba trường hợp:
1. Cộng các phân số cùng mẫu số.
2. Phép cộng các phân số có mẫu số khác nhau.
3. Bổ sung hỗn số.
1. Cộng các phân số cùng mẫu số.
Hãy xem xét một ví dụ: 1/5 + 2/5.
Hãy lấy đoạn AB (Hình 17), lấy nó làm 1 và chia cho 5 phần bằng nhau, thì phần AC của đoạn này sẽ bằng 1/5 đoạn AB, và phần của đoạn CD đó sẽ bằng 2/5 AB.
Từ hình vẽ, rõ ràng nếu ta lấy đoạn AD thì nó sẽ bằng 3/5 AB; nhưng đoạn AD chính xác là tổng của các đoạn AC và CD. Vì vậy chúng ta có thể viết:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Xem xét các số hạng này và tổng kết quả, chúng ta thấy rằng tử số của tổng có được bằng cách cộng các tử số của các số hạng và mẫu số không thay đổi.
Từ đây chúng ta có được quy tắc tiếp theo: Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và để nguyên mẫu số.
Hãy xem một ví dụ:
2. Phép cộng các phân số có mẫu số khác nhau.
Hãy cộng các phân số: 3/4 + 3/8 Đầu tiên chúng cần được rút gọn về mẫu số chung nhỏ nhất:
Trung cấp 6/8 + 3/8 có thể đã không được viết ra; chúng tôi đã viết nó ở đây cho rõ ràng.
Như vậy, để cộng các phân số có mẫu số khác nhau, trước tiên bạn phải quy chúng về mẫu số chung nhỏ nhất, cộng các tử số của chúng và gọi mẫu số chung.
Hãy xem xét một ví dụ (chúng tôi sẽ viết các yếu tố bổ sung phía trên các phân số tương ứng):
3. Phép cộng hỗn số.
Hãy cộng các số: 2 3/8 + 3 5/6.
Trước tiên, hãy đưa các phần phân số của các số của chúng ta về mẫu số chung và viết lại chúng:
Bây giờ chúng ta cộng các phần nguyên và phần phân số một cách tuần tự:
§ 88. Phép trừ phân số.
Phép trừ phân số được định nghĩa tương tự như phép trừ số nguyên. Đây là một hành động với sự trợ giúp của nó, với tổng của hai số hạng và một trong số chúng, sẽ tìm thấy một số hạng khác. Chúng ta xét lần lượt ba trường hợp:
1. Phép trừ các phân số cùng mẫu số.
2. Phép trừ các phân số khác mẫu số.
3. Phép trừ hỗn số.
1. Phép trừ các phân số cùng mẫu số.
Hãy xem một ví dụ:
13 / 15 - 4 / 15
Chúng ta lấy đoạn AB (Hình 18), lấy nó làm đơn vị và chia thành 15 phần bằng nhau; thì phần AC của đoạn này sẽ đại diện cho 1/15 của AB và phần AD của cùng đoạn đó sẽ tương ứng với 13/15 AB. Chúng ta dành một đoạn ED khác bằng 4/15 AB.
Chúng ta cần trừ phân số 4/15 từ 13/15. Trong hình vẽ, điều này có nghĩa là đoạn ED phải được trừ khỏi đoạn AD. Do đó đoạn AE sẽ giữ nguyên bằng 9/15 đoạn AB. Vì vậy chúng ta có thể viết:
Ví dụ chúng tôi đưa ra cho thấy rằng tử số của hiệu thu được bằng cách trừ các tử số, nhưng mẫu số vẫn giữ nguyên.
Vì vậy, để trừ các phân số cùng mẫu số, bạn cần trừ tử số của số bị trừ với tử số của số bị trừ và giữ nguyên mẫu số.
2. Phép trừ các phân số khác mẫu số.
Ví dụ. 3/4 - 5/8
Trước tiên, hãy giảm các phân số này xuống mẫu số chung thấp nhất:
Liên kết trung gian 6/8 - 5/8 được viết ở đây cho rõ ràng nhưng từ nay có thể bỏ qua.
Vì vậy, để trừ một phân số từ một phân số, trước tiên bạn phải quy chúng về mẫu số chung nhỏ nhất, sau đó lấy tử số của số bị trừ trừ tử số của số bị trừ và ký hiệu vào mẫu số chung dưới hiệu của chúng.
Hãy xem một ví dụ:
3. Phép trừ hỗn số.
Ví dụ. 10 3/4 - 7 2/3.
Chúng ta hãy giảm các phần phân số của số bị trừ và số bị trừ xuống mẫu số chung thấp nhất:
Chúng ta trừ một tổng từ một tổng và một phần từ một phân số. Nhưng có những lúc phần phân số phần bị trừ lớn hơn phần phân số của phần bị trừ. Trong những trường hợp như vậy, bạn cần lấy một đơn vị từ toàn bộ phần của phần bị trừ, chia nó thành các phần trong đó phần phân số được biểu thị và thêm nó vào phần phân số của phần bị trừ. Và sau đó phép trừ sẽ được thực hiện theo cách tương tự như trong ví dụ trước:
§ 89. Nhân phân số.
Khi nghiên cứu phép nhân phân số chúng ta sẽ xem xét những câu hỏi sau:
1. Nhân một phân số với một số nguyên.
2. Tìm phân số của một số cho trước.
3. Nhân một số nguyên với một phân số.
4. Nhân một phân số với một phân số.
5. Phép nhân hỗn số.
6. Khái niệm lợi ích.
7. Tìm phần trăm của một số cho trước. Hãy xem xét chúng một cách tuần tự.
1. Nhân một phân số với một số nguyên.
Nhân một phân số với một số nguyên có cùng ý nghĩa như nhân một số nguyên với một số nguyên. Nhân một phân số (số nhân) với một số nguyên (thừa số) có nghĩa là tạo ra tổng các số hạng giống nhau, trong đó mỗi số hạng bằng số bị nhân và số số hạng bằng số nhân.
Điều này có nghĩa là nếu bạn cần nhân 1/9 với 7 thì có thể thực hiện như sau:
Chúng tôi dễ dàng thu được kết quả vì hành động được rút gọn thành phép cộng các phân số có cùng mẫu số. Kể từ đây,
Việc xem xét hành động này cho thấy rằng nhân một phân số với một số nguyên tương đương với việc tăng phân số này lên gấp nhiều lần số đơn vị trong số nguyên. Và vì việc tăng một phân số đạt được bằng cách tăng tử số của nó
hoặc bằng cách giảm mẫu số của nó 
, thì chúng ta có thể nhân tử số với một số nguyên hoặc chia mẫu số cho nó, nếu phép chia như vậy có thể thực hiện được.
Từ đây ta có quy tắc:
Để nhân một phân số với một số nguyên, bạn nhân tử số với số nguyên đó và giữ nguyên mẫu số, hoặc nếu có thể, hãy chia mẫu số cho số đó, giữ nguyên tử số.
Khi nhân có thể viết tắt, ví dụ:
2. Tìm phân số của một số cho trước. Có nhiều bài toán mà bạn phải tìm hoặc tính một phần của một số cho trước. Sự khác biệt giữa những vấn đề này và những vấn đề khác là chúng đưa ra số lượng của một số đối tượng hoặc đơn vị đo lường và bạn cần tìm một phần của số này, phần này cũng được biểu thị ở đây bằng một phân số nhất định. Để dễ hiểu, trước tiên chúng tôi sẽ đưa ra ví dụ về những vấn đề như vậy, sau đó giới thiệu phương pháp giải chúng.
Nhiệm vụ 1. Tôi có 60 rúp; Tôi dành 1/3 số tiền này để mua sách. Những cuốn sách đó có giá bao nhiêu?
Nhiệm vụ 2.Đoàn tàu phải đi quãng đường giữa thành phố A và B bằng 300 km. Anh ấy đã đi được 2/3 quãng đường này. Đây là bao nhiêu km?
Nhiệm vụ 3. Trong làng có 400 ngôi nhà, 3/4 trong số đó là gạch, còn lại bằng gỗ. Có tổng cộng bao nhiêu ngôi nhà gạch?
Đây là một số trong nhiều vấn đề chúng ta gặp phải khi tìm một phần của một số cho trước. Chúng thường được gọi là các bài toán tìm phân số của một số cho trước.
Giải pháp cho vấn đề 1. Từ 60 chà. Tôi dành 1/3 cho sách; Điều này có nghĩa là để tính giá sách bạn cần chia số 60 cho 3:
Giải quyết vấn đề 2. Vấn đề là bạn cần tìm 2/3 của 300 km. Trước tiên hãy tính 1/3 của 300; điều này đạt được bằng cách chia 300 km cho 3:
300: 3 = 100 (tức là 1/3 của 300).
Để tìm hai phần ba của 300, bạn cần nhân đôi thương số thu được, tức là nhân với 2:
100 x 2 = 200 (tức là 2/3 của 300).
Giải quyết vấn đề 3.Ở đây các bạn cần xác định số ngôi nhà gạch chiếm 3/4 của 400. Trước tiên chúng ta hãy tìm 1/4 của 400,
400: 4 = 100 (tức là 1/4 của 400).
Vì phép tính ba một phần tư của 400, thương số thu được phải tăng gấp ba, tức là nhân với 3:
100 x 3 = 300 (tức là 3/4 của 400).
Dựa vào lời giải của các bài toán này, chúng ta có thể rút ra quy tắc sau:
Để tìm giá trị của một phân số từ một số cho trước, bạn cần chia số này cho mẫu số của phân số đó và nhân thương số thu được với tử số của nó.
3. Nhân một số nguyên với một phân số.
Trước đó (§ 26) người ta đã xác định rằng phép nhân các số nguyên nên được hiểu là phép cộng các số hạng giống nhau (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Trong đoạn này (điểm 1), người ta đã xác định rằng nhân một phân số với một số nguyên có nghĩa là tìm tổng các số hạng giống nhau bằng phân số này.
Trong cả hai trường hợp, phép nhân bao gồm việc tìm tổng của các số hạng giống nhau.
Bây giờ chúng ta chuyển sang nhân một số nguyên với một phân số. Ví dụ, ở đây chúng ta sẽ gặp phép nhân: 9 2/3. Rõ ràng là định nghĩa trước đó về phép nhân không áp dụng được cho trường hợp này. Điều này thể hiện rõ ở chỗ chúng ta không thể thay thế phép nhân đó bằng cách cộng các số bằng nhau.
Vì điều này, chúng ta sẽ phải đưa ra một định nghĩa mới về phép nhân, tức là, nói cách khác, trả lời câu hỏi phép nhân với một phân số nên hiểu như thế nào, hành động này nên được hiểu như thế nào.
Ý nghĩa của phép nhân một số nguyên với một phân số được làm rõ từ định nghĩa sau: nhân một số nguyên (số nhân) với một phân số (số nhân) có nghĩa là tìm phân số này của số bị nhân.
Cụ thể, nhân 9 với 2/3 có nghĩa là tìm được 2/3 của chín đơn vị. TRONG đoạn trước những vấn đề như vậy đã được giải quyết; vì vậy thật dễ dàng để nhận ra rằng chúng ta sẽ có kết quả là 6.
Nhưng bây giờ có một điều thú vị và câu hỏi quan trọng: tại sao những hành động dường như khác nhau như tìm tổng số bằng nhau và tìm phân số của các số, trong số học có gọi là cùng một từ “phép nhân” không?
Điều này xảy ra vì hành động trước đó (lặp lại số với các số hạng nhiều lần) và hành động mới (tìm phân số của số đó) đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi đồng nhất. Điều này có nghĩa là chúng ta tiến hành ở đây từ việc xem xét rằng các câu hỏi hoặc nhiệm vụ đồng nhất được giải quyết bằng cùng một hành động.
Để hiểu điều này, hãy xem xét vấn đề sau: “1 m vải có giá 50 rúp. 4 m vải như vậy sẽ có giá bao nhiêu?
Vấn đề này được giải quyết bằng cách nhân số rúp (50) với số mét (4), tức là 50 x 4 = 200 (rúp).
Chúng ta hãy giải quyết vấn đề tương tự, nhưng trong đó số lượng vải sẽ được biểu thị dưới dạng phân số: “1 m vải có giá 50 rúp. 3/4 m vải như vậy sẽ có giá bao nhiêu?”
Vấn đề này cũng cần được giải quyết bằng cách nhân số rúp (50) với số mét (3/4).
Bạn có thể thay đổi các số trong đó nhiều lần nữa mà không làm thay đổi ý nghĩa của bài toán, ví dụ: lấy 9/10 m hoặc 2 3/10 m, v.v.
Vì những bài toán này có cùng nội dung và chỉ khác nhau về số lượng nên chúng ta gọi các thao tác dùng để giải chúng bằng cùng một từ - phép nhân.
Làm thế nào để nhân một số nguyên với một phân số?
Hãy lấy những con số gặp phải trong vấn đề cuối cùng:
Theo định nghĩa, chúng ta phải tìm 3/4 của 50. Đầu tiên chúng ta hãy tìm 1/4 của 50, sau đó là 3/4.
1/4 của 50 là 50/4;
3/4 của số 50 là .
Kể từ đây.
Hãy xem xét một ví dụ khác: 12 5 / 8 =?
1/8 của số 12 là 12/8,
5/8 của số 12 là .
Kể từ đây,
Từ đây ta có quy tắc:
Để nhân một số nguyên với một phân số, bạn cần nhân số nguyên đó với tử số của phân số đó và lấy tích này làm tử số, đồng thời ký hiệu mẫu số của phân số này làm mẫu số.
Hãy viết quy tắc này bằng cách sử dụng các chữ cái:
Để làm cho quy tắc này hoàn toàn rõ ràng, cần nhớ rằng một phân số có thể được coi là thương số. Do đó, sẽ rất hữu ích khi so sánh quy tắc tìm được với quy tắc nhân một số với thương, được nêu trong § 38
Điều quan trọng cần nhớ là trước khi thực hiện phép nhân, bạn nên làm (nếu có thể) sự giảm bớt, Ví dụ:
4. Nhân một phân số với một phân số. Nhân một phân số với một phân số có ý nghĩa tương tự như nhân một số nguyên với một phân số, tức là khi nhân một phân số với một phân số, bạn cần tìm phân số có trong thừa số của phân số đầu tiên (số bị nhân).
Cụ thể, nhân 3/4 với 1/2 (một nửa) có nghĩa là tìm một nửa của 3/4.
Làm thế nào để nhân một phân số với một phân số?
Hãy lấy một ví dụ: 3/4 nhân với 5/7. Điều này có nghĩa là bạn cần tìm 5/7 của 3/4. Đầu tiên chúng ta hãy tìm 1/7 của 3/4, sau đó là 5/7
1/7 của số 3/4 sẽ được biểu diễn như sau:
5/7 số 3/4 sẽ được biểu diễn như sau:
Như vậy,
Một ví dụ khác: 5/8 nhân với 4/9.
1/9 của 5/8 là ,
4/9 của số 5/8 là .
Như vậy, 
Từ những ví dụ này có thể suy ra quy tắc sau:
Để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số, rồi lấy tích thứ nhất làm tử số, tích thứ hai làm mẫu số của tích.
Đây là quy định trong cái nhìn tổng quát có thể được viết như thế này:
Khi nhân cần thực hiện các phép rút gọn (nếu có thể). Hãy xem xét các ví dụ:
5. Phép nhân hỗn số. Vì hỗn số có thể dễ dàng được thay thế bằng phân số không thích hợp nên trường hợp này thường được sử dụng khi nhân hỗn số. Điều này có nghĩa là trong trường hợp số nhân, thừa số hoặc cả hai thừa số được biểu thị dưới dạng hỗn số, chúng sẽ được thay thế bằng phân số không chính xác. Ví dụ: hãy nhân các số hỗn hợp: 2 1/2 và 3 1/5. Chúng ta hãy biến mỗi phân số thành một phân số không chính xác và sau đó nhân các phân số thu được theo quy tắc nhân một phân số với một phân số:
Luật lệ.Để nhân các số hỗn hợp, trước tiên bạn phải chuyển chúng thành các phân số không chính xác, sau đó nhân chúng theo quy tắc nhân phân số với phân số.
Ghi chú. Nếu một trong các thừa số là số nguyên thì phép nhân có thể được thực hiện dựa trên luật phân phối như sau:
6. Khái niệm lợi ích. Khi giải các bài toán và thực hiện các phép tính thực tế khác nhau, chúng ta sử dụng tất cả các loại phân số. Nhưng cần phải nhớ rằng nhiều đại lượng không chỉ cho phép chúng có sự phân chia bất kỳ mà còn tự nhiên. Ví dụ: bạn có thể lấy một phần trăm (1/100) của đồng rúp, nó sẽ là một kopeck, hai phần trăm là 2 kopecks, ba phần trăm là 3 kopecks. Bạn có thể lấy 1/10 của một rúp, nó sẽ là "10 kopecks, hoặc một đồng mười kopeck. Bạn có thể lấy một phần tư rúp, tức là 25 kopecks, nửa rúp, tức là 50 kopecks (năm mươi kopecks). Nhưng thực tế họ không lấy nó, chẳng hạn như 2/7 của một đồng rúp vì đồng rúp không được chia thành phần bảy.
Đơn vị trọng lượng, tức là kilôgam, chủ yếu cho phép chia số thập phân, ví dụ 1/10 kg hoặc 100 g. Và các phân số như 1/6, 1/11, 1/13 không phổ biến.
Nói chung, các thước đo (số liệu) của chúng tôi là số thập phân và cho phép chia số thập phân.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng việc sử dụng cùng một phương pháp chia số lượng (thống nhất) là cực kỳ hữu ích và thuận tiện trong nhiều trường hợp. Kinh nghiệm nhiều năm cho thấy cách chia hợp lý như vậy là cách chia “thứ trăm”. Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ liên quan đến các lĩnh vực thực hành đa dạng nhất của con người.
1. Giá sách đã giảm 12/100 so với giá trước đó.
Ví dụ. Giá trước đây của cuốn sách là 10 rúp. Nó giảm 1 rúp. 20 kopecks
2. Ngân hàng tiết kiệm trả cho người gửi tiền 2/100 số tiền gửi tiết kiệm trong năm.
Ví dụ. 500 rúp được gửi vào máy tính tiền, thu nhập từ số tiền này trong năm là 10 rúp.
3. Số học sinh tốt nghiệp của một trường là 5/100 tổng số học sinh.
VÍ DỤ Trường chỉ có 1.200 sinh viên, trong đó có 60 người đã tốt nghiệp.
Phần trăm của một số gọi là phần trăm.
Từ "tỷ lệ phần trăm" được mượn từ ngôn ngữ Latinh và gốc "cent" của nó có nghĩa là một trăm. Cùng với giới từ (pro centum), từ này có nghĩa là “cho một trăm”. Ý nghĩa của cách diễn đạt như vậy xuất phát từ thực tế là ban đầu ở La Mã cổ đại tiền lãi là số tiền mà con nợ phải trả cho người cho vay “mỗi trăm”. Từ “cent” được nghe bằng những từ quen thuộc như: centner (một trăm kilôgam), centimét (nói centimet).
Ví dụ, thay vì nói rằng trong tháng qua nhà máy đã sản xuất ra 1/100 sản phẩm bị lỗi, chúng ta sẽ nói thế này: trong tháng qua nhà máy đã sản xuất ra 1% sản phẩm bị lỗi. Thay vì nói: nhà máy sản xuất thêm 4/100 sản phẩm kế hoạch đã được thiết lập, chúng ta sẽ nói: nhà máy vượt kế hoạch 4%.
Các ví dụ trên có thể được diễn đạt khác nhau:
1. Giá sách đã giảm 12% so với giá trước đó.
2. Ngân hàng tiết kiệm trả cho người gửi tiền 2% mỗi năm trên số tiền gửi tiết kiệm.
3. Số học sinh tốt nghiệp của một trường là 5% tổng số học sinh của trường.
Để rút ngắn chữ cái, người ta thường viết ký hiệu % thay vì chữ “phần trăm”.
Tuy nhiên, bạn cần nhớ rằng trong phép tính, dấu % thường không được viết; nó có thể được viết trong câu lệnh bài toán và trong kết quả cuối cùng. Khi thực hiện các phép tính, bạn cần viết một phân số có mẫu số là 100 thay vì một số nguyên có ký hiệu này.
Bạn cần có khả năng thay thế một số nguyên bằng biểu tượng được chỉ định bằng một phân số có mẫu số là 100:
Ngược lại, bạn cần làm quen với việc viết số nguyên có ký hiệu được chỉ định thay vì phân số có mẫu số là 100:
7. Tìm phần trăm của một số cho trước.
Nhiệm vụ 1. Trường được nhận 200 m3. m củi, trong đó củi bạch dương chiếm 30%. Có bao nhiêu củi bạch dương?
Ý nghĩa của bài toán này là củi bạch dương chỉ chiếm một phần trong số củi được chuyển đến trường và phần này được biểu thị bằng phân số 30/100. Điều này có nghĩa là chúng ta có nhiệm vụ tìm một phần của một số. Để giải, chúng ta phải nhân 200 với 30/100 (các bài toán tìm phân số của một số được giải bằng cách nhân số đó với phân số.).
Điều này có nghĩa là 30% của 200 bằng 60.
Phân số 30/100 gặp trong bài toán này có thể giảm đi 10. Có thể thực hiện việc rút gọn này ngay từ đầu; giải pháp cho vấn đề sẽ không thay đổi.
Nhiệm vụ 2. Có 300 trẻ em trong trại độ tuổi khác nhau. Trẻ em 11 tuổi chiếm 21%, trẻ em 12 tuổi chiếm 61% và cuối cùng là trẻ em 13 tuổi chiếm 18%. Có bao nhiêu trẻ em ở mỗi độ tuổi trong trại?
Trong bài toán này, bạn cần thực hiện ba phép tính, tức là tìm tuần tự số trẻ em 11 tuổi, rồi 12 tuổi và cuối cùng là 13 tuổi.
Điều này có nghĩa là ở đây bạn sẽ cần tìm phân số của số đó ba lần. Hãy làm điều này:
1) Có bao nhiêu đứa trẻ 11 tuổi?
2) Có bao nhiêu đứa trẻ 12 tuổi?
3) Có bao nhiêu đứa trẻ 13 tuổi?
Sau khi giải được bài toán, việc cộng các số tìm được sẽ rất hữu ích; tổng của chúng phải là 300:
63 + 183 + 54 = 300
Cũng cần lưu ý rằng tổng các tỷ lệ phần trăm được đưa ra trong báo cáo bài toán là 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Điều này gợi ý rằng tổng số trẻ em trong trại được đón 100%.
3 a d a h a 3. Người công nhân nhận được 1.200 rúp mỗi tháng. Trong số này, ông chi 65% cho thực phẩm, 6% cho căn hộ và sưởi ấm, 4% cho gas, điện và radio, 10% cho nhu cầu văn hóa và 15% tiết kiệm. Bao nhiêu tiền đã được chi cho các nhu cầu được chỉ ra trong nhiệm vụ?
Để giải bài toán này bạn cần tìm phân số của 1.200 5 lần.
1) Đã chi bao nhiêu tiền cho thực phẩm? Bài toán cho biết chi phí này chiếm 65% tổng thu nhập, tức là 65/100 của số 1.200. Hãy thực hiện phép tính:
2) Bạn đã trả bao nhiêu tiền cho một căn hộ có hệ thống sưởi? Lập luận tương tự như phần trên, ta có phép tính sau:
3) Bạn đã trả bao nhiêu tiền cho gas, điện và radio?
4) Bao nhiêu tiền đã được chi cho nhu cầu văn hóa?
5) Người công nhân đã tiết kiệm được bao nhiêu tiền?
Để kiểm tra, việc cộng các số tìm được trong 5 câu hỏi này sẽ rất hữu ích. Số tiền phải là 1.200 rúp. Tất cả thu nhập được coi là 100%, dễ dàng kiểm tra bằng cách cộng các số phần trăm được đưa ra trong báo cáo bài toán.
Chúng tôi đã giải quyết được ba vấn đề. Mặc dù thực tế là những vấn đề này giải quyết những vấn đề khác nhau (cung củi cho trường học, số lượng trẻ em ở các độ tuổi khác nhau, chi phí của người lao động), chúng đều được giải quyết theo cùng một cách. Điều này xảy ra vì trong mọi bài toán cần phải tìm vài phần trăm của các số đã cho.
§ 90. Chia phân số.
Khi nghiên cứu phép chia phân số, chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:
1. Chia một số nguyên cho một số nguyên.
2. Chia một phân số cho một số nguyên
3. Chia một số nguyên cho một phân số.
4. Chia một phân số cho một phân số.
5. Phép chia hỗn số.
6. Tìm một số từ phân số đã cho của nó.
7. Tìm một số theo phần trăm của nó.
Hãy xem xét chúng một cách tuần tự.
1. Chia một số nguyên cho một số nguyên.
Như đã chỉ ra trong phần số nguyên, phép chia là hành động bao gồm thực tế là, với tích của hai thừa số (cổ tức) và một trong các thừa số này (số chia), một thừa số khác được tìm thấy.
Chúng ta đã xem xét việc chia một số nguyên cho một số nguyên trong phần về số nguyên. Ở đó, chúng tôi gặp hai trường hợp chia: phép chia không có số dư hoặc “toàn bộ” (150: 10 = 15) và phép chia có số dư (100: 9 = 11 và 1 số dư). Do đó chúng ta có thể nói rằng trong miền số nguyên phép chia chính xác không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được, vì số bị chia không phải lúc nào cũng là tích của số chia và số nguyên. Sau khi giới thiệu phép nhân với một phân số, chúng ta có thể xem xét mọi trường hợp chia số nguyên có thể xảy ra (chỉ loại trừ phép chia cho số 0).
Ví dụ, chia 7 cho 12 có nghĩa là tìm một số có tích với 12 sẽ bằng 7. Số đó là phân số 7/12 vì 7/12 12 = 7. Một ví dụ khác: 14: 25 = 14/25, vì 14/25 25 = 14.
Vì vậy, để chia một số nguyên cho một số nguyên, bạn cần tạo một phân số có tử số bằng số bị chia và mẫu số bằng ước số.
2. Chia một phân số cho một số nguyên.
Chia phân số 6/7 cho 3. Theo định nghĩa phép chia ở trên, ở đây chúng ta có tích (6/7) và một trong các thừa số (3); bạn cần tìm thừa số thứ hai mà khi nhân với 3 sẽ cho kết quả công việc này 6/7. Rõ ràng, nó phải nhỏ hơn ba lần so với sản phẩm này. Điều này có nghĩa là nhiệm vụ đặt ra trước mắt chúng ta là giảm phân số 6/7 xuống 3 lần.
Chúng ta đã biết rằng việc rút gọn một phân số có thể được thực hiện bằng cách giảm tử số hoặc tăng mẫu số của nó. Vì vậy bạn có thể viết:
TRONG trong trường hợp này Tử số của 6 chia hết cho 3 nên tử số giảm đi một nửa.
Lấy một ví dụ khác: 5/8 chia cho 2. Ở đây tử số 5 không chia hết cho 2, nghĩa là mẫu số sẽ phải nhân với số này:
Dựa trên điều này, một quy tắc có thể được thực hiện: Để chia một phân số cho một số nguyên, bạn cần chia tử số của phân số đó cho số nguyên đó.(nếu có thể), để cùng mẫu số hoặc nhân mẫu số của phân số với số này, để lại cùng tử số.
3. Chia một số nguyên cho một phân số.
Giả sử cần chia 5 cho 1/2, tức là tìm một số mà sau khi nhân với 1/2 sẽ có kết quả là 5. Rõ ràng, số này phải lớn hơn 5, vì 1/2 là một phân số thích hợp và khi nhân một số thì tích của một phân số thích hợp phải nhỏ hơn tích được nhân. Để làm cho điều này rõ ràng hơn, hãy viết hành động của chúng ta như sau: 5: 1 / 2 = X , có nghĩa là x 1/2 = 5.
Chúng ta phải tìm một số như vậy X , nếu nhân với 1/2 sẽ bằng 5. Vì nhân một số nhất định với 1/2 có nghĩa là tìm được 1/2 của số này, nên do đó, 1/2 của số chưa biết X bằng 5 và toàn bộ số X gấp đôi, tức là 5 2 = 10.
Vậy 5: 1/2 = 5 2 = 10
Hãy kiểm tra: 
Hãy xem một ví dụ khác. Giả sử bạn muốn chia 6 cho 2/3. Trước tiên, chúng ta hãy thử tìm kết quả mong muốn bằng cách sử dụng bản vẽ (Hình 19).
Hình 19
Vẽ đoạn AB bằng 6 đơn vị và chia mỗi đơn vị thành 3 phần bằng nhau. Trong mỗi đơn vị, ba phần ba (3/3) toàn bộ đoạn AB lớn hơn 6 lần, tức là đ. 18/3. Sử dụng dấu ngoặc nhỏ, chúng tôi kết nối 18 đoạn kết quả của 2; Sẽ chỉ có 9 phân đoạn. Điều này có nghĩa là phân số 2/3 được chứa trong 6 đơn vị 9 lần, hay nói cách khác, phân số 2/3 nhỏ hơn 9 lần so với 6 đơn vị nguyên. Kể từ đây,
Làm thế nào để có được kết quả này mà không cần bản vẽ chỉ sử dụng phép tính? Hãy lý luận như sau: chúng ta cần chia 6 cho 2/3, tức là chúng ta cần trả lời câu hỏi 2/3 được chứa trong 6 bao nhiêu lần. Trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu: 1/3 được chứa trong bao nhiêu lần? Trong một đơn vị có 3 phần ba, trong 6 đơn vị có gấp 6 lần, tức là 18 phần ba; để tìm số này chúng ta phải nhân 6 với 3. Điều này có nghĩa là 1/3 được chứa trong b đơn vị 18 lần và 2/3 được chứa trong b đơn vị không phải là 18 lần mà là một nửa số lần, tức là 18: 2 = 9 Vì vậy, khi chia 6 cho 2/3 chúng ta đã làm như sau:
Từ đây ta rút ra quy tắc chia số nguyên cho phân số. Để chia một số nguyên cho một phân số, bạn cần nhân số nguyên này với mẫu số của phân số đã cho và lấy tích này làm tử số, chia nó cho tử số của phân số đã cho.
Hãy viết quy tắc bằng cách sử dụng các chữ cái:
Để làm cho quy tắc này hoàn toàn rõ ràng, cần nhớ rằng một phân số có thể được coi là thương số. Do đó, sẽ rất hữu ích khi so sánh quy tắc được tìm thấy với quy tắc chia một số cho thương, được nêu trong § 38. Xin lưu ý rằng công thức tương tự đã được lấy ở đó.
Khi chia có thể viết tắt, ví dụ:
4. Chia một phân số cho một phân số.
Giả sử chúng ta cần chia 3/4 cho 3/8. Số thu được từ phép chia có ý nghĩa gì? Nó sẽ trả lời câu hỏi phân số 3/8 có trong phân số 3/4 bao nhiêu lần. Để hiểu vấn đề này, chúng ta hãy vẽ một bản vẽ (Hình 20).
Chúng ta lấy đoạn AB, lấy làm một, chia thành 4 phần bằng nhau và đánh dấu 3 phần như vậy. Đoạn AC sẽ bằng 3/4 đoạn AB. Bây giờ chúng ta chia bốn đoạn thẳng ban đầu làm đôi, khi đó đoạn AB sẽ được chia thành 8 phần bằng nhau và mỗi phần như vậy sẽ bằng 1/8 đoạn AB. Chúng ta nối 3 đoạn như vậy bằng các cung thì mỗi đoạn AD và DC sẽ bằng 3/8 đoạn AB. Hình vẽ cho thấy đoạn bằng 3/8 nằm trong đoạn bằng 3/4 đúng 2 lần; Điều này có nghĩa là kết quả của phép chia có thể được viết như sau:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Hãy xem một ví dụ khác. Giả sử chúng ta cần chia 15/16 cho 3/32:
Chúng ta có thể lý luận như thế này: chúng ta cần tìm một số mà sau khi nhân với 3/32 sẽ có tích bằng 15/16. Hãy viết các phép tính như thế này:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 số chưa biết X là 16/15
1/32 của một số chưa biết X là ,
32/32 số X trang điểm .
Kể từ đây,
Do đó, để chia một phân số cho một phân số, bạn cần nhân tử số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, rồi nhân mẫu số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và lấy tích thứ nhất làm tử số, và mẫu số thứ hai.
Hãy viết quy tắc bằng cách sử dụng các chữ cái:
Khi chia có thể viết tắt, ví dụ:
5. Phép chia hỗn số.
Khi chia hỗn số, trước tiên chúng phải được chuyển thành phân số không đúng và rồi chia các phân số thu được theo quy tắc chia số phân số. Hãy xem một ví dụ:
Hãy chuyển đổi số hỗn hợp thành phân số không chính xác:
Bây giờ hãy chia:
Như vậy, để chia hỗn số, bạn cần chuyển chúng thành các phân số không chính xác rồi chia theo quy tắc chia phân số.
6. Tìm một số từ phân số đã cho của nó.
Giữa nhiệm vụ khác nhau về các phân số, đôi khi có những phân số cho trước giá trị của một phân số nào đó của một số chưa biết và bạn cần tìm số này. Dạng bài toán này sẽ nghịch đảo với bài toán tìm phân số của một số cho trước; ở đó một số đã được cho và người ta phải tìm một phần nào đó của số này, ở đây một phần của một số đã được cho và người ta phải tìm chính số đó. Ý tưởng này sẽ trở nên rõ ràng hơn nếu chúng ta chuyển sang giải quyết loại vấn đề này.
Nhiệm vụ 1. Trong ngày đầu tiên, những người thợ lắp kính đã lắp kính 50 cửa sổ, chiếm 1/3 tổng số cửa sổ của ngôi nhà đã xây. Có bao nhiêu cửa sổ trong ngôi nhà này?
Giải pháp. Bài toán nói rằng 50 cửa sổ lắp kính chiếm 1/3 tổng số cửa sổ của ngôi nhà, nghĩa là tổng số cửa sổ gấp 3 lần, tức là.
Ngôi nhà có 150 cửa sổ.
Nhiệm vụ 2. Cửa hàng đã bán được 1.500 kg bột mì, bằng 3/8 tổng số bột mì mà cửa hàng có. Nguồn cung cấp bột mì ban đầu của cửa hàng là bao nhiêu?
Giải pháp. Từ điều kiện của bài toán có thể thấy rõ 1.500 kg bột mì bán ra chiếm 3/8 tổng lượng bột tồn kho; điều này có nghĩa là 1/8 số dự trữ này sẽ ít hơn 3 lần, tức là để tính nó, bạn cần giảm 1500 đi 3 lần:
1.500: 3 = 500 (đây là 1/8 số tiền dự trữ).
Rõ ràng, toàn bộ nguồn cung sẽ lớn hơn 8 lần. Kể từ đây,
500 8 = 4.000 (kg).
Lượng bột mì tồn kho ban đầu trong cửa hàng là 4.000 kg.
Từ việc xem xét vấn đề này, có thể rút ra quy tắc sau.
Để tìm một số từ một giá trị cho trước của phân số của nó, chỉ cần chia giá trị này cho tử số của phân số và nhân kết quả với mẫu số của phân số đó.
Chúng ta đã giải được hai bài toán tìm một số khi biết phân số của nó. Những vấn đề như vậy, đặc biệt rõ ràng ở vấn đề cuối cùng, được giải quyết bằng hai hành động: chia (khi tìm thấy một phần) và nhân (khi tìm thấy toàn bộ số).
Tuy nhiên, sau khi chúng ta đã học được phép chia phân số, các bài toán trên có thể được giải bằng một thao tác đó là: chia cho một phân số.
Ví dụ: tác vụ cuối cùng có thể được giải quyết bằng một hành động như sau:
Trong tương lai, chúng ta sẽ giải các bài toán tìm một số từ phân số của nó bằng một thao tác - phép chia.
7. Tìm một số theo phần trăm của nó.
Trong những bài toán này, bạn sẽ cần tìm một số biết một vài phần trăm của số đó.
Nhiệm vụ 1. Lúc đầu năm hiện tại Tôi đã nhận được 60 rúp từ ngân hàng tiết kiệm. thu nhập từ số tiền tôi gửi tiết kiệm một năm trước. Tôi đã gửi bao nhiêu tiền vào ngân hàng tiết kiệm? (Các quầy thu ngân mang lại cho người gửi tiền lợi nhuận 2% mỗi năm.)
Ý nghĩa của vấn đề là tôi gửi một số tiền nhất định vào ngân hàng tiết kiệm và ở đó trong một năm. Sau một năm, tôi nhận được 60 rúp từ cô ấy. thu nhập bằng 2/100 số tiền tôi gửi. Tôi đã bỏ vào bao nhiêu tiền?
Do đó, khi biết một phần số tiền này, được biểu thị bằng hai cách (bằng đồng rúp và phân số), chúng ta phải tìm ra toàn bộ số tiền vẫn chưa được biết. Đây là một bài toán thông thường khi tìm một số biết phân số của nó. Các bài toán sau được giải bằng phép chia:
Điều này có nghĩa là 3.000 rúp đã được gửi vào ngân hàng tiết kiệm.
Nhiệm vụ 2. Ngư dân hoàn thành kế hoạch tháng đạt 64% trong 2 tuần, thu hoạch được 512 tấn cá. Kế hoạch của họ là gì?
Từ điều kiện của vấn đề, có thể thấy các ngư dân đã hoàn thành được một phần kế hoạch. Phần này là 512 tấn, bằng 64% kế hoạch. Chúng tôi không biết theo kế hoạch cần chuẩn bị bao nhiêu tấn cá. Việc tìm ra con số này sẽ là lời giải cho bài toán.
Những vấn đề như vậy được giải quyết bằng cách chia:
Điều này có nghĩa là theo kế hoạch, cần phải chuẩn bị 800 tấn cá.
Nhiệm vụ 3. Tàu đi từ Riga đến Moscow. Khi vượt qua km thứ 276, một hành khách hỏi người soát vé đi ngang qua họ đã đi được bao nhiêu chặng đường. Người soát vé trả lời: “Chúng tôi đã đi được 30% toàn bộ hành trình”. Khoảng cách từ Riga tới Mát-xcơ-va là bao nhiêu?
Từ các điều kiện của vấn đề, rõ ràng 30% quãng đường từ Riga đến Moscow là 276 km. Chúng ta cần tìm toàn bộ khoảng cách giữa các thành phố này, tức là đối với phần này, hãy tìm toàn bộ:
§ 91. Số nghịch đảo. Thay thế phép chia bằng phép nhân.
Lấy phân số 2/3 thay tử số vào vị trí mẫu số ta được 3/2. Chúng ta đã có nghịch đảo của phân số này.
Để có được nghịch đảo của một phân số nhất định, bạn cần đặt tử số của nó thay cho mẫu số và mẫu số thay cho tử số. Bằng cách này, chúng ta có thể nhận được nghịch đảo của bất kỳ phân số nào. Ví dụ:
3/4, đảo ngược 4/3; 5/6, đảo ngược 6/5
Hai phân số có tính chất là tử số của số thứ nhất là mẫu số của số thứ hai, mẫu số của số thứ nhất là tử số của số thứ hai, được gọi là nghịch đảo lẫn nhau.
Bây giờ chúng ta hãy nghĩ xem phân số nào sẽ là nghịch đảo của 1/2. Rõ ràng, nó sẽ là 2/1, hoặc chỉ là 2. Bằng cách tìm phân số nghịch đảo của phân số đã cho, chúng ta thu được một số nguyên. Và trường hợp này không phải cá biệt; ngược lại, mọi phân số có tử số là 1 (một) thì nghịch đảo sẽ là số nguyên, ví dụ:
1/3, đảo ngược 3; 1/5, đảo ngược 5
Vì khi tìm phân số nghịch đảo chúng ta cũng gặp số nguyên nên trong phần tiếp theo chúng ta sẽ không nói về phân số nghịch đảo mà nói về số đối ứng.
Hãy tìm cách viết nghịch đảo của một số nguyên. Đối với phân số, điều này có thể được giải quyết một cách đơn giản: bạn cần đặt mẫu số vào vị trí của tử số. Theo cách tương tự, bạn có thể lấy số nghịch đảo của một số nguyên, vì bất kỳ số nguyên nào cũng có thể có mẫu số là 1. Điều này có nghĩa là số nghịch đảo của 7 sẽ là 1/7, vì 7 = 7/1; đối với số 10 thì nghịch đảo sẽ là 1/10, vì 10 = 10/1
Ý tưởng này có thể được diễn đạt khác nhau: nghịch đảo của một số đã cho có được bằng cách chia một cho số đã cho . Tuyên bố này đúng không chỉ với số nguyên mà còn đúng với phân số. Thực tế, nếu bạn cần viết một số, phân số nghịch đảo 5/9, thì chúng ta có thể lấy 1 và chia cho 5/9, tức là
Bây giờ hãy chỉ ra một điều tài sản số đối ứng, sẽ hữu ích cho chúng tôi: tích của các số nghịch đảo bằng một. Trong thực tế:
Sử dụng tính chất này, chúng ta có thể tìm số nghịch đảo theo cách sau. Giả sử chúng ta cần tìm nghịch đảo của 8.
Hãy biểu thị nó bằng chữ cái X , thì 8 X = 1, do đó X = 1/8. Chúng ta hãy tìm một số khác nghịch đảo của 12/7 và biểu thị nó bằng chữ cái X , rồi 12/7 X = 1, do đó X = 1: 7/12 hoặc X = 12 / 7 .
Ở đây chúng tôi giới thiệu khái niệm số nghịch đảo nhằm bổ sung một chút thông tin về phép chia phân số.
Khi chia số 6 cho 3/5, chúng ta làm như sau:
Vui lòng thanh toán đặc biệt chú ý vào biểu thức và so sánh nó với biểu thức đã cho: .
Nếu chúng ta lấy biểu thức một cách riêng biệt, không có mối liên hệ với biểu thức trước đó, thì không thể giải được câu hỏi nó đến từ đâu: từ việc chia 6 cho 3/5 hoặc nhân 6 với 5/3. Trong cả hai trường hợp, điều tương tự cũng xảy ra. Vì thế chúng ta có thể nói rằng việc chia một số cho một số khác có thể được thay thế bằng cách nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia.
Các ví dụ chúng tôi đưa ra dưới đây hoàn toàn xác nhận kết luận này.
Tìm tử số và mẫu số. Một phân số gồm hai số: số nằm phía trên đường thẳng gọi là tử số, số nằm phía dưới đường thẳng gọi là mẫu số. Mẫu số biểu thị tổng số phần được chia thành một tổng thể và tử số là số phần được xem xét.
- Ví dụ, trong phân số ½, tử số là 1 và mẫu số là 2.
Xác định mẫu số. Nếu hai hoặc nhiều phân số có cùng mẫu số thì những phân số đó có cùng số ở dưới dòng, nghĩa là trong trường hợp này, một tổng thể nhất định được chia thành cùng một số phần. Cộng các phân số với mẫu số chung rất đơn giản, vì mẫu số của phân số tổng sẽ bằng mẫu số của các phân số được thêm vào. Ví dụ:
- Các phân số 3/5 và 2/5 có mẫu số chung là 5.
- Các phân số 3/8, 5/8, 17/8 có mẫu số chung là 8.
Xác định các tử số.Để cộng các phân số có mẫu số chung, hãy cộng tử số của chúng và viết kết quả lên trên mẫu số của các phân số được cộng.
- Các phân số 3/5 và 2/5 có tử số là 3 và 2.
- Các phân số 3/8, 5/8, 17/8 có tử số là 3, 5, 17.
Cộng các tử số. Trong bài toán 3/5 + 2/5, cộng các tử số 3 + 2 = 5. Trong bài toán 3/8 + 5/8 + 17/8, cộng các tử số 3 + 5 + 17 = 25.
Viết tổng số phân số. Hãy nhớ rằng khi cộng các phân số có mẫu số chung, nó không thay đổi - chỉ cộng các tử số.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Chuyển đổi phân số nếu cần thiết.Đôi khi một phân số có thể được viết dưới dạng số nguyên chứ không phải là phân số hoặc số thập phân. Ví dụ: phân số 5/5 có thể dễ dàng chuyển thành 1, vì bất kỳ phân số nào có tử số bằng mẫu số, có 1. Hãy tưởng tượng một chiếc bánh được cắt thành ba phần. Nếu bạn ăn cả ba phần thì bạn đã ăn hết (một) chiếc bánh.
- tôi yêu nó phân số chung có thể được chuyển đổi sang số thập phân; Để làm điều này, chia tử số cho mẫu số. Ví dụ: phân số 5/8 có thể được viết như sau: 5 8 = 0,625.
Nếu có thể hãy đơn giản hóa phân số. Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không có ước chung.
- Ví dụ, hãy xem xét phân số 3/6. Ở đây cả tử số và mẫu số đều có ước chung bằng 3, tức là tử số và mẫu số đều chia hết cho 3. Do đó, phân số 3/6 có thể viết như sau: 3 3/6 3 = ½ .
Nếu cần, hãy chuyển đổi phân số không đúng thành phần hỗn hợp(hỗn hợp số). Một phân số không chính xác có tử số lớn hơn mẫu số của nó, ví dụ: 25/8 (một phân số đúng có tử số nhỏ hơn mẫu số). Một phân số không chính xác có thể được chuyển đổi thành một phân số hỗn hợp, bao gồm một phần nguyên (nghĩa là một số nguyên) và một phần phân số (nghĩa là một phân số thích hợp). Để chuyển một phân số không chính xác, chẳng hạn như 25/8, thành hỗn số, hãy làm theo các bước sau:
- Chia tử số của một phân số không chính xác cho mẫu số của nó; viết ra thương một phần (toàn bộ câu trả lời). Trong ví dụ của chúng tôi: 25 8 = 3 cộng với một số phần dư. Trong trường hợp này, toàn bộ câu trả lời là phần nguyên của hỗn số.
- Tìm phần còn lại. Trong ví dụ của chúng tôi: 8 x 3 = 24; trừ kết quả thu được từ tử số ban đầu: 25 - 24 = 1, tức là số dư bằng 1. Trong trường hợp này, số dư là tử số của phần phân số của hỗn số.
- Viết hỗn số. Mẫu số không thay đổi (nghĩa là nó bằng mẫu số của phân số không đúng), nên 25/8 = 3 1/8.
Mở bài học
môn toán lớp 6b (lớp phụ đạo) VIII loại)
về chủ đề:
Cộng phân số
với cùng mẫu số.
Loại bài học: học tài liệu mới.
Loại bài học: bài học - truyện cổ tích.
Lớp: 6,7 "B".
Mục tiêu:
Giới thiệu cho học sinh các phép tính cộng, trừ các phân số cùng mẫu số;
Nhiệm vụ:
Cải huấn - giáo dục:
Phát triển kỹ năng cộng các phân số cùng mẫu số;
Cải huấn - phát triển:
Điều chỉnh sự phát triển logic và tư duy toán học trong khi nói thuật toán cộng các phân số cùng mẫu số và khi thực hiện tác phẩm viết trong một cuốn sổ tay;
Điều chỉnh phát triển hoạt động nhận thức học sinh thông qua việc hoàn thành nhiệm vụ trong các tình huống không chuẩn mực;
Phát triển kỹ năng chú ý và tự kiểm soát.
Cải huấn và giáo dục:
Tạo hứng thú với môn học dựa trên mối liên hệ với cuộc sống và thực tiễn;
sự hình thành văn hóa toán học lời nói ( phát âm đúng phân số);
Phát triển kỹ năng tự trọng;
Tiến độ bài học
Tổ chức Chốc lát.
1.Chào hỏi
“Rất vui được gặp các bạn. Bạn đang cảm thấy thế nào? Hãy nhớ rằng, nếu điều gì đó có vẻ khó khăn và không thành công thì đó không phải là vấn đề, chúng ta sẽ cùng nhau học mọi thứ!
2. chuẩn bị làm việc
Các bạn, các bạn đã sẵn sàng cho bài học chưa?
Tôi tin tưởng vào các bạn, các bạn!
Các bạn là lớp học tốt, thân thiện,
Mọi thứ sẽ ổn thỏa với chúng ta!
Bài học hôm nay của chúng tôi rất đặc biệt; chúng tôi sẽ đưa bạn vào cuộc hành trình xuyên qua một câu chuyện cổ tích mà chúng tôi biết và yêu thích.
Có rất nhiều câu chuyện cổ tích trên thế giới
Buồn và buồn cười.
Và sống trong thế giới
Chúng ta không thể sống thiếu họ!
Hãy để những anh hùng trong truyện cổ tích
Họ mang lại cho chúng tôi sự ấm áp
Cầu mong lòng tốt mãi mãi
Cái ác thắng!
Đếm miệng.
TRONG Vương quốc xa xôi có một Sa hoàng và con gái của ông ta là Vasilisa the Wise, và Ivan the Tsarevich sống ở Bang thứ ba mươi. Nhân tiện, bạn nhìn thấy con số nào trên bảng? Hãy để tôi giúp bạn:
Bất cứ ai cũng có thể cách xa một dặm
Xem phân số dòng.
Phía trên dòng – tử số , biết,
Bên dưới dòng - mẫu số.
Chắc chắn là một phần như thế
Bạn phải gọi bình thường.
Nhưng nhà vua không muốn trao Vasilisa của mình cho người đầu tiên ông gặp. Anh quyết định giao cho Ivan một nhiệm vụ mà anh không thể đảm đương được. Và anh ta nói với Ivan: "Hãy đến đó - tôi không biết ở đâu, mang cái này đi, tôi không biết cái gì." Ivan căng thẳng, đau buồn và đi tìm. Nhưng đi đâu, tìm ở đâu?
Ivan cùng với Sói Xám lên đường. Đầu tiên họ quyết định chuyển sang Baba Yaga. Và Baba Yaga đã chuẩn bị một nhiệm vụ.
Nhiệm vụ tính toán miệng. Nhưng các bạn ơi, Ivan Tsarevich không giỏi toán, chúng ta có nên giúp anh ấy không?
Nêu tử số và mẫu số của phân số
Tử số thể hiện điều gì, mẫu số thể hiện điều gì? (Mẫu số cho biết số lượng cổ phần được chia và tử số cho biết số lượng cổ phần đó được chia.)
So sánh các phân số:
và 1 và 
và 1
Và 
5/5 và 
Và
.
Làm tốt lắm, bạn đã hoàn thành nhiệm vụ. Và bây giờ chúng ta hãy cùng theo dõi quả cầu ma thuật xa hơn, đến với chính Koshchei bất tử.
III. Cập nhật kiến thức cơ bản.
Bạn cần đến Koshchei thông qua một mê cung các số phân số.
Viết các phân số này trên hai dòng: ,, 
, 
, 
, 
. Chính xác: , , .
Không đúng: , , .
Làm tốt lắm, bạn cũng đã hoàn thành nhiệm vụ này.
Thế là quả cầu thần kỳ của Ivan đã mang đến và Sói xám tới Koshchei. Và Koschey nói: “Tôi chán sống ở đây một mình, nhưng nếu bạn làm tôi thích thú thì tôi sẽ giúp. Hoàn thành nhiệm vụ của tôi."
1. Nhiệm vụ số 1 . Bài tập.
Fizminutka :
Con gấu bước ra khỏi hang.
Anh nhấc chân lên một lần và hai lần.
Anh ngồi xuống và đứng dậy. Anh ngồi xuống và đứng dậy.
Anh ta đặt bàn chân của mình ra sau lưng.
Lảo đảo, quay lại
Và anh ấy kéo dài một chút.
1. Vẽ đường tròn bán kínhr= 2 cm.
2. Sơn lại
vòng tròn - màu vàng
vòng tròn - màu xanh.
Viết phần nào của hình tròn được tô bóng và phần nào không được tô bóng.
Bóng mờ- __________
Không sơn đè lên - _________
Hãy suy nghĩ về cách bạn có thể sử dụng các dấu hiệu hành động để tạo ra các con số Và , lấy số . MỘT ?
Chúng tôi nghỉ ngơi, ngồi thẳng lưng và bắt tay vào làm việc.Nhiệm vụ số 2. Thẻ số 1 (Nhiệm vụ có vấn đề).
Vậy hôm nay chúng ta sẽ làm gì trong lớp? Các em hãy ghi vào vở số lượng và chủ đề của bài “ Cộng trừ các phân số cùng mẫu số”. Mục tiêu của chúng ta là học cách cộng và trừ các phân số có cùng mẫu số. Hãy xem một ví dụ:
Thuật toán cộng các phân số cùng mẫu số : Muốn cộng hoặc trừ các phân số cùng mẫu số, ta cộng hoặc trừ các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.
VI. Hình thành kỹ năng, năng lực cho học sinh.
Thế là quả cầu ma thuật đã đưa Ivan và Sói xám đến gặp Serpent Gorynych. Anh ta giữ một chiếc hộp và không ai biết bên trong có gì. Nhưng Serpent Gorynych sẽ không chỉ đưa chiếc hộp cho Ivan. Chúng ta cần giúp đỡ Ivan Tsarevich, và để làm được điều này, mọi người cần phải làm việc độc lập, và các nhiệm vụ dành cho công việc độc lập đều có trong hộp (họ vào hộp và nhận nhiệm vụ). Thẻ số 2 ( làm việc độc lập) . Khi bạn hoàn thành nhiệm vụ, chúng tôi sẽ kiểm tra câu trả lời của bạn và tìm hiểu xem chúng tôi có giúp ích gì không Ivan Tsarevich hay không.
Làm việc vào vở:bài tập về nhà : Giải quyết một vấn đề từ một câu chuyện cổ tích khác.
Tóm tắt bài học. Chấm điểm.
Vậy là câu chuyện cổ tích kết thúc ở đây. Nói cho tôi biết, hôm nay chúng ta đã làm gì? Hãy lặp lại quy tắc một lần nữa.
Buổi học hôm nay kết thúc,
Nhưng mọi người nên biết:
Kiến thức, sự kiên trì và công việc,
Họ sẽ dẫn bạn đến thành công trong cuộc sống!
VI . Sự phản xạ.
Các bạn, các bạn có thích bài học không? Chọn biểu tượng cảm xúc thích hợp và dán nó lên bảng. Cảm ơn vì bài học. Tạm biệt