Quy tắc phân số đơn giản. Phép trừ các phân số hỗn hợp

Máy tính phân sốđược thiết kế để tính toán nhanh các phép tính với phân số, nó sẽ giúp bạn dễ dàng cộng, nhân, chia hoặc trừ phân số.

Học sinh hiện đại bắt đầu học phân số từ lớp 5 và các bài tập với chúng trở nên phức tạp hơn mỗi năm. Các thuật ngữ và đại lượng toán học mà chúng ta học ở trường hiếm khi có ích cho chúng ta khi trưởng thành. Tuy nhiên, phân số, không giống như logarit và lũy thừa, được tìm thấy khá thường xuyên trong cuộc sống hàng ngày (đo khoảng cách, cân hàng hóa, v.v.). Máy tính của chúng tôi được thiết kế để thực hiện các thao tác nhanh chóng với phân số.

Đầu tiên, hãy định nghĩa phân số là gì và chúng là gì. Phân số là tỷ lệ của một số với một số khác; nó là một số bao gồm một số nguyên các phân số của một đơn vị.

Các loại phân số:

  • Bình thường
  • Số thập phân
  • Hỗn hợp

Ví dụ phân số thông thường:

Giá trị trên cùng là tử số, giá trị dưới cùng là mẫu số. Dấu gạch ngang cho chúng ta thấy số trên chia hết cho số dưới. Thay vì dạng viết này, khi có dấu gạch ngang, bạn có thể viết khác. Bạn có thể đặt một đường nghiêng, ví dụ:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Số thập phân là loại phân số phổ biến nhất. Chúng bao gồm một phần nguyên và một phần phân số, cách nhau bằng dấu phẩy.

Ví dụ về phân số thập phân:

0,2 hoặc 6,71 hoặc 0,125

Gồm một số nguyên và một phần phân số. Để tìm ra giá trị của phân số này, bạn cần cộng toàn bộ số và phân số.

Ví dụ về hỗn số:

Công cụ tính phân số trên trang web của chúng tôi có thể thực hiện nhanh chóng bất kỳ phép toán nào với phân số trực tuyến:

  • Phép cộng
  • Phép trừ
  • Phép nhân
  • Phân công

Để thực hiện phép tính, bạn cần nhập số vào các trường và chọn một hành động. Đối với phân số, bạn cần điền tử số và mẫu số; số nguyên có thể không được viết (nếu phân số là số thường). Đừng quên nhấp vào nút "bằng".

Thật tiện lợi khi máy tính ngay lập tức cung cấp quy trình giải một ví dụ bằng phân số chứ không chỉ là một câu trả lời có sẵn. Nhờ giải pháp chi tiết mà bạn có thể sử dụng tài liệu này để giải quyết các vấn đề ở trường và nắm vững tốt hơn tài liệu được đề cập.

Bạn cần thực hiện phép tính ví dụ:

Sau khi nhập các chỉ số vào các trường biểu mẫu, chúng tôi nhận được:


Để thực hiện phép tính của riêng bạn, hãy nhập dữ liệu vào biểu mẫu.

Máy tính phân số

Nhập hai phân số:
+ - * :

Các phần liên quan.

Phân số là số bình thường và cũng có thể được cộng và trừ. Nhưng vì chúng có mẫu số nên chúng yêu cầu các quy tắc phức tạp hơn so với số nguyên.

Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất khi có hai phân số có cùng mẫu số. Sau đó:

Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Để trừ các phân số có cùng mẫu số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và một lần nữa giữ nguyên mẫu số.

Trong mỗi biểu thức, mẫu số của các phân số bằng nhau. Theo định nghĩa cộng trừ phân số ta có:

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp cả: chúng ta chỉ cần cộng hoặc trừ các tử số và thế là xong.

Nhưng ngay cả trong những hành động đơn giản như vậy, con người vẫn có thể mắc sai lầm. Điều thường bị lãng quên nhất là mẫu số không thay đổi. Ví dụ, khi thêm chúng, chúng cũng bắt đầu cộng lại và điều này về cơ bản là sai.

Việc bỏ thói quen xấu cộng mẫu số khá đơn giản. Hãy thử điều tương tự khi trừ. Kết quả là mẫu số sẽ bằng 0 và phân số sẽ (đột ngột!) mất đi ý nghĩa.

Vì vậy, hãy nhớ một lần và mãi mãi: khi cộng và trừ, mẫu số không thay đổi!

Nhiều người cũng mắc lỗi khi cộng nhiều phân số âm. Có sự nhầm lẫn về các dấu hiệu: chỗ nào ghi dấu trừ và chỗ nào ghi dấu cộng.

Vấn đề này cũng rất dễ giải quyết. Chỉ cần nhớ rằng dấu trừ trước dấu của phân số luôn có thể được chuyển sang tử số - và ngược lại. Và tất nhiên, đừng quên hai quy tắc đơn giản:

  1. Cộng với trừ cho ra trừ;
  2. Hai phủ định tạo nên một khẳng định.

Hãy xem xét tất cả điều này với các ví dụ cụ thể:

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Trong trường hợp đầu tiên, mọi thứ đều đơn giản, nhưng trong trường hợp thứ hai, chúng tôi đưa các điểm trừ vào tử số của phân số:

Phải làm gì nếu mẫu số khác nhau

Bạn không thể cộng trực tiếp các phân số có mẫu số khác nhau. Ít nhất, phương pháp này tôi chưa biết. Tuy nhiên, các phân số ban đầu luôn có thể được viết lại sao cho mẫu số giống nhau.

Có nhiều cách để chuyển đổi phân số. Ba trong số chúng sẽ được thảo luận trong bài học “Giảm phân số về mẫu số chung”, vì vậy chúng ta sẽ không tập trung vào chúng ở đây. Hãy xem xét một số ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi giảm các phân số về mẫu số chung bằng phương pháp "chéo". Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ tìm kiếm NOC. Lưu ý rằng 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Các thừa số cuối cùng trong các khai triển này bằng nhau và các thừa số đầu tiên là nguyên tố cùng nhau. Do đó, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Phải làm gì nếu một phân số có phần nguyên

Tôi có thể làm hài lòng bạn: các mẫu số khác nhau trong phân số không phải là tội ác lớn nhất. Nhiều lỗi xảy ra hơn khi toàn bộ phần được đánh dấu trong các phân số bổ sung.

Tất nhiên, có các thuật toán cộng và trừ riêng cho các phân số như vậy, nhưng chúng khá phức tạp và cần nghiên cứu lâu dài. Tốt hơn nên sử dụng sơ đồ đơn giản dưới đây:

  1. Chuyển đổi tất cả các phân số chứa phần nguyên thành phần không chính xác. Chúng tôi thu được các số hạng thông thường (thậm chí với các mẫu số khác nhau), được tính theo các quy tắc đã thảo luận ở trên;
  2. Trên thực tế, hãy tính tổng hoặc hiệu của các phân số thu được. Kết quả là chúng ta sẽ tìm được câu trả lời một cách thực tế;
  3. Nếu đây là tất cả những gì được yêu cầu trong bài toán, chúng ta thực hiện phép biến đổi nghịch đảo, tức là Chúng tôi loại bỏ một phần không chính xác bằng cách làm nổi bật toàn bộ phần.

Các quy tắc chuyển sang phân số không chính xác và tô màu toàn bộ phần được mô tả chi tiết trong bài “Phân số là gì”. Nếu bạn không nhớ, hãy nhớ lặp lại nó. Ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Mẫu số bên trong mỗi biểu thức đều bằng nhau, vì vậy tất cả những gì còn lại là chuyển đổi tất cả các phân số thành phân số không chính xác và đếm. Chúng tôi có:

Để đơn giản hóa việc tính toán, tôi đã bỏ qua một số bước rõ ràng trong các ví dụ trước.

Một lưu ý nhỏ ở hai ví dụ cuối, trong đó các phân số có phần nguyên được đánh dấu sẽ bị trừ. Dấu trừ trước phân số thứ hai có nghĩa là toàn bộ phân số bị trừ chứ không chỉ toàn bộ phần của nó.

Đọc lại câu này một lần nữa, xem các ví dụ - và suy nghĩ về nó. Đây là nơi mà người mới bắt đầu mắc rất nhiều sai lầm. Họ thích đưa ra những vấn đề như vậy trong các bài kiểm tra. Bạn cũng sẽ gặp chúng nhiều lần trong các bài kiểm tra của bài học này, bài học này sẽ sớm được xuất bản.

Tóm tắt: sơ đồ tính toán chung

Để kết luận, tôi sẽ đưa ra một thuật toán chung giúp bạn tìm tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều phân số:

  1. Nếu một hoặc nhiều phân số có phần nguyên, hãy chuyển các phân số này thành phân số không chính xác;
  2. Đưa tất cả các phân số về một mẫu số chung theo bất kỳ cách nào thuận tiện cho bạn (tất nhiên trừ khi người viết bài đã làm điều này);
  3. Cộng hoặc trừ các số thu được theo quy tắc cộng, trừ các phân số cùng mẫu số;
  4. Nếu có thể, hãy rút ngắn kết quả. Nếu phân số sai thì chọn toàn bộ phần đó.

Hãy nhớ rằng tốt hơn hết bạn nên đánh dấu toàn bộ phần ở cuối bài, ngay trước khi viết ra câu trả lời.

Vào thế kỷ thứ năm trước Công nguyên, nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno xứ Elea đã xây dựng nên những câu aporia nổi tiếng của mình, trong đó nổi tiếng nhất là câu aporia “Achilles và Rùa”. Đây là những gì nó nghe giống như:

Giả sử Achilles chạy nhanh hơn rùa mười lần và chậm hơn nó một nghìn bước. Trong thời gian Achilles chạy được quãng đường này, con rùa sẽ bò cả trăm bước về cùng một hướng. Khi Achilles chạy được một trăm bước, con rùa bò thêm mười bước nữa, v.v. Quá trình này sẽ tiếp tục đến vô tận, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa.

Lý do này đã trở thành một cú sốc hợp lý cho tất cả các thế hệ tiếp theo. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Tất cả họ đều coi lời nói dối của Zeno theo cách này hay cách khác. Cú sốc mạnh đến mức " ... các cuộc thảo luận vẫn tiếp tục cho đến ngày nay; cộng đồng khoa học vẫn chưa thể đi đến thống nhất về bản chất của nghịch lý ... phân tích toán học, lý thuyết tập hợp, các phương pháp vật lý và triết học mới đã tham gia vào nghiên cứu vấn đề này ; không ai trong số họ trở thành giải pháp được chấp nhận rộng rãi cho vấn đề..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mọi người đều hiểu rằng họ đang bị lừa, nhưng không ai hiểu sự lừa dối đó bao gồm những gì.

Từ quan điểm toán học, Zeno trong aporia của mình đã chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ số lượng sang . Quá trình chuyển đổi này ngụ ý ứng dụng thay vì vĩnh viễn. Theo như tôi hiểu, bộ máy toán học sử dụng các đơn vị đo lường thay đổi vẫn chưa được phát triển hoặc chưa được áp dụng cho aporia của Zeno. Áp dụng logic thông thường sẽ dẫn chúng ta vào bẫy. Chúng ta, do quán tính của tư duy, áp dụng các đơn vị thời gian không đổi cho giá trị nghịch đảo. Từ quan điểm vật lý, điều này trông giống như thời gian chậm lại cho đến khi nó dừng lại hoàn toàn vào thời điểm Achilles đuổi kịp con rùa. Nếu thời gian dừng lại, Achilles không thể chạy nhanh hơn rùa được nữa.

Nếu chúng ta xoay chuyển logic thông thường của mình, mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Achilles chạy với tốc độ không đổi. Mỗi đoạn tiếp theo trên con đường của anh ta ngắn hơn đoạn trước mười lần. Theo đó, thời gian dành cho việc khắc phục nó ít hơn mười lần so với trước đây. Nếu chúng ta áp dụng khái niệm “vô cực” trong tình huống này thì sẽ đúng khi nói “Achilles sẽ đuổi kịp con rùa vô cùng nhanh chóng”.

Làm thế nào để tránh cái bẫy logic này? Giữ nguyên đơn vị thời gian không đổi và không chuyển sang đơn vị nghịch đảo. Trong ngôn ngữ của Zeno nó trông như thế này:

Trong thời gian Achilles chạy được một nghìn bước, con rùa sẽ bò được một trăm bước về cùng một hướng. Trong khoảng thời gian tiếp theo bằng khoảng thời gian đầu tiên, Achilles sẽ chạy thêm một nghìn bước nữa và con rùa sẽ bò được một trăm bước. Bây giờ Achilles đã đi trước con rùa tám trăm bước.

Cách tiếp cận này mô tả đầy đủ thực tế mà không có bất kỳ nghịch lý logic nào. Nhưng đây không phải là một giải pháp hoàn chỉnh cho vấn đề. Tuyên bố của Einstein về tính không thể cưỡng lại được của tốc độ ánh sáng rất giống với câu nói “Achilles and the Tortoise” của Zeno. Chúng ta vẫn phải nghiên cứu, suy nghĩ lại và giải quyết vấn đề này. Và giải pháp phải được tìm kiếm không phải bằng những con số vô cùng lớn mà bằng những đơn vị đo lường.

Một câu kinh thú vị khác của Zeno kể về một mũi tên bay:

Một mũi tên bay là bất động, vì nó đứng yên tại mọi thời điểm, và vì nó đứng yên trong mọi thời điểm nên nó luôn ở trạng thái nghỉ.

Trong aporia này, nghịch lý logic được khắc phục rất đơn giản - chỉ cần làm rõ rằng tại mỗi thời điểm, một mũi tên bay đang đứng yên tại các điểm khác nhau trong không gian, trên thực tế, là chuyển động. Một điểm khác cần được lưu ý ở đây. Từ một bức ảnh chụp một chiếc ô tô trên đường, không thể xác định được thực tế chuyển động của nó cũng như khoảng cách đến nó. Để xác định xem một chiếc ô tô có đang chuyển động hay không, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ cùng một điểm ở những thời điểm khác nhau, nhưng bạn không thể xác định được khoảng cách từ chúng. Để xác định khoảng cách đến một ô tô, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ các điểm khác nhau trong không gian tại một thời điểm, nhưng từ chúng, bạn không thể xác định được thực tế chuyển động (tất nhiên, bạn vẫn cần thêm dữ liệu để tính toán, lượng giác sẽ giúp bạn ). Điều tôi muốn đặc biệt chú ý là hai điểm trong thời gian và hai điểm trong không gian là những thứ khác nhau không nên nhầm lẫn vì chúng mang lại những cơ hội nghiên cứu khác nhau.

Thứ tư, ngày 4 tháng 7 năm 2018

Sự khác biệt giữa bộ và nhiều bộ được mô tả rất rõ trên Wikipedia. Hãy xem.

Như bạn có thể thấy, “không thể có hai phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp”, nhưng nếu có các phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp thì tập hợp đó được gọi là “nhiều tập hợp”. Những sinh vật có lý trí sẽ không bao giờ hiểu được logic phi lý như vậy. Đây là trình độ của những con vẹt biết nói và những con khỉ được huấn luyện, những kẻ không có trí thông minh từ chữ “hoàn toàn”. Các nhà toán học hành động như những người huấn luyện bình thường, thuyết giảng cho chúng ta những ý tưởng ngớ ngẩn của họ.

Ngày xửa ngày xưa, những người kỹ sư xây dựng cây cầu đang ở trên một chiếc thuyền dưới cầu để thử nghiệm cây cầu. Nếu cây cầu sập, người kỹ sư tầm thường sẽ chết dưới đống đổ nát do mình tạo ra. Nếu cây cầu có thể chịu được tải trọng thì người kỹ sư tài năng đã xây dựng những cây cầu khác.

Cho dù các nhà toán học có ẩn nấp đằng sau cụm từ “nhớ tôi, tôi đang ở trong nhà” hay nói đúng hơn là “toán học nghiên cứu các khái niệm trừu tượng” thì vẫn có một sợi dây rốn kết nối chúng với thực tế một cách chặt chẽ. Dây rốn này là tiền. Chúng ta hãy áp dụng lý thuyết tập hợp toán học cho chính các nhà toán học.

Chúng tôi học toán rất giỏi và bây giờ chúng tôi đang ngồi ở quầy tính tiền, phát lương. Vì vậy, một nhà toán học đến với chúng tôi vì tiền của anh ta. Chúng tôi đếm toàn bộ số tiền cho anh ta và đặt nó lên bàn thành nhiều chồng khác nhau, trong đó chúng tôi đặt những tờ tiền có cùng mệnh giá. Sau đó, chúng tôi lấy một tờ tiền từ mỗi chồng tiền và đưa cho nhà toán học “bảng lương toán học” của anh ta. Hãy để chúng tôi giải thích cho nhà toán học rằng anh ta sẽ chỉ nhận được số tiền còn lại khi anh ta chứng minh được rằng một tập hợp không có các phần tử giống nhau thì không bằng một tập hợp có các phần tử giống hệt nhau. Đây là nơi niềm vui bắt đầu.

Trước hết, logic của các cấp phó sẽ phát huy tác dụng: “Điều này có thể áp dụng cho người khác, nhưng với tôi thì không!” Sau đó, họ sẽ bắt đầu trấn an chúng ta rằng các tờ tiền cùng mệnh giá có số tờ tiền khác nhau, nghĩa là chúng không thể được coi là những thành phần giống nhau. Được rồi, hãy đếm tiền lương bằng tiền xu - không có con số nào trên đồng tiền cả. Ở đây, nhà toán học sẽ bắt đầu nhớ lại vật lý một cách điên cuồng: các đồng xu khác nhau có lượng bụi bẩn khác nhau, cấu trúc tinh thể và cách sắp xếp các nguyên tử là duy nhất đối với mỗi đồng xu...

Và bây giờ tôi có câu hỏi thú vị nhất: đâu là ranh giới mà các phần tử của nhiều tập hợp biến thành các phần tử của tập hợp và ngược lại? Đường lối như vậy không tồn tại - mọi thứ đều do các pháp sư quyết định, khoa học thậm chí còn chưa thể nằm ở đây.

Nhìn đây. Chúng tôi chọn những sân bóng có cùng diện tích sân. Diện tích của các trường giống nhau - có nghĩa là chúng ta có nhiều trường. Nhưng nếu nhìn vào tên của những sân vận động này, chúng ta sẽ thấy rất nhiều vì tên khác nhau. Như bạn có thể thấy, cùng một tập hợp các phần tử vừa là tập hợp vừa là tập hợp nhiều tập hợp. Cái nào đúng? Và ở đây, nhà toán học-pháp sư-người sắc bén rút ra một con át chủ bài từ tay áo của mình và bắt đầu cho chúng ta biết về một bộ hoặc một bộ nhiều. Trong mọi trường hợp, anh ấy sẽ thuyết phục chúng tôi rằng anh ấy đúng.

Để hiểu cách các pháp sư hiện đại vận hành lý thuyết tập hợp, gắn nó với thực tế, chỉ cần trả lời một câu hỏi: các phần tử của một tập hợp này khác với các phần tử của tập hợp khác như thế nào? Tôi sẽ chỉ cho bạn thấy, không có từ "có thể tưởng tượng được như không phải một tổng thể" hay "không thể tưởng tượng được như một tổng thể duy nhất".

Chủ nhật, ngày 18 tháng 3 năm 2018

Tổng các chữ số của một số là một điệu nhảy của các pháp sư với một chiếc tambourine, không liên quan gì đến toán học. Đúng, trong các bài học toán, chúng ta được dạy cách tìm tổng các chữ số của một số và sử dụng nó, nhưng đó là lý do tại sao họ là pháp sư, để dạy cho con cháu những kỹ năng và trí tuệ của họ, nếu không thì pháp sư sẽ chết.

Bạn có cần bằng chứng không? Mở Wikipedia và thử tìm trang "Tổng các chữ số của một số". Cô ấy không tồn tại. Không có công thức toán học nào có thể được sử dụng để tìm tổng các chữ số của bất kỳ số nào. Xét cho cùng, các con số là các ký hiệu đồ họa mà chúng ta dùng để viết các con số và trong ngôn ngữ toán học, nhiệm vụ này có vẻ như sau: “Tìm tổng các ký hiệu đồ họa đại diện cho bất kỳ số nào”. Các nhà toán học không thể giải được bài toán này nhưng các pháp sư lại có thể làm được một cách dễ dàng.

Chúng ta hãy tìm hiểu xem chúng ta làm gì và làm như thế nào để tìm tổng các chữ số của một số cho trước. Và vì vậy, chúng ta có số 12345. Để tìm tổng các chữ số của số này cần phải làm gì? Chúng ta hãy xem xét tất cả các bước theo thứ tự.

1. Viết số đó lên một tờ giấy. Chúng ta đã làm gì? Chúng tôi đã chuyển đổi số thành ký hiệu số đồ họa. Đây không phải là một hoạt động toán học.

2. Chúng tôi cắt một hình ảnh thu được thành nhiều hình ảnh chứa các số riêng lẻ. Cắt một bức tranh không phải là một phép toán.

3. Chuyển đổi các ký hiệu đồ họa riêng lẻ thành số. Đây không phải là một hoạt động toán học.

4. Cộng các số có kết quả. Bây giờ đây là toán học.

Tổng các chữ số của số 12345 là 15. Đây là những “khóa học cắt may” từ các pháp sư mà các nhà toán học sử dụng. Nhưng đó không phải là tất cả.

Từ quan điểm toán học, việc chúng ta viết số theo hệ thống số nào không quan trọng. Vì vậy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số sẽ khác nhau. Trong toán học, hệ thống số được biểu thị dưới dạng chỉ số dưới bên phải của số. Với con số lớn 12345, tôi không muốn đánh lừa mình nữa, hãy xem xét con số 26 trong bài viết về. Hãy viết số này trong hệ thống số nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân. Chúng tôi sẽ không xem xét từng bước dưới kính hiển vi; chúng tôi đã làm điều đó rồi. Hãy nhìn vào kết quả.

Như bạn có thể thấy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số là khác nhau. Kết quả này không liên quan gì đến toán học. Tương tự như khi bạn xác định diện tích hình chữ nhật theo mét và cm, bạn sẽ nhận được kết quả hoàn toàn khác.

Số 0 trông giống nhau trong mọi hệ thống số và không có tổng các chữ số. Đây là một lập luận khác ủng hộ thực tế đó. Câu hỏi dành cho các nhà toán học: làm thế nào mà một thứ không phải là một con số được chỉ định trong toán học? Cái gì, đối với các nhà toán học thì không có gì tồn tại ngoại trừ những con số? Tôi có thể cho phép điều này xảy ra với các pháp sư, nhưng với các nhà khoa học thì không. Thực tế không chỉ có những con số.

Kết quả thu được phải được coi là bằng chứng cho thấy hệ thống số là đơn vị đo lường của số. Suy cho cùng, chúng ta không thể so sánh các con số với các đơn vị đo lường khác nhau. Nếu cùng một hành động với các đơn vị đo khác nhau của cùng một đại lượng dẫn đến kết quả khác nhau sau khi so sánh chúng, thì điều này không liên quan gì đến toán học.

Toán học thực sự là gì? Đây là khi kết quả của một phép toán không phụ thuộc vào kích thước của số, đơn vị đo được sử dụng và người thực hiện hành động này.

Đăng lên cửa Anh mở cửa và nói:

Ồ! Đây không phải là nhà vệ sinh nữ sao?
- Cô gái trẻ! Đây là phòng thí nghiệm để nghiên cứu sự thánh thiện vô song của các linh hồn trong quá trình họ thăng thiên! Halo trên đầu và mũi tên lên. WC gì nữa?

Nữ... Quầng sáng trên và mũi tên xuống là nam.

Nếu một tác phẩm nghệ thuật thiết kế như vậy hiện lên trước mắt bạn nhiều lần trong ngày,

Vậy thì không có gì đáng ngạc nhiên khi bạn bất ngờ tìm thấy một biểu tượng lạ trên ô tô của mình:

Cá nhân tôi cố gắng nhìn thấy âm bốn độ ở một người đang đi ị (một bức ảnh) (sự kết hợp của một số bức ảnh: dấu trừ, số bốn, ký hiệu độ). Và tôi không nghĩ cô gái này là một kẻ ngốc không biết vật lý. Cô ấy chỉ có khuôn mẫu mạnh mẽ về cảm nhận hình ảnh đồ họa. Và các nhà toán học luôn dạy chúng ta điều này. Đây là một ví dụ.

1A không phải là “âm bốn độ” hay “một a”. Đây là "người đàn ông đi ị" hoặc số "hai mươi sáu" theo ký hiệu thập lục phân. Những người thường xuyên làm việc trong hệ thống số này sẽ tự động nhận biết một con số và một chữ cái dưới dạng một ký hiệu đồ họa.

Nội dung bài học

Cộng các phân số cùng mẫu số

Có hai cách cộng phân số:

  1. Cộng các phân số cùng mẫu số
  2. Cộng các phân số có mẫu số khác nhau

Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu phép cộng các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: hãy cộng các phân số và . Cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn thêm pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:

Ví dụ 2. Cộng các phân số và .

Câu trả lời hóa ra là một phân số không chính xác. Khi nhiệm vụ kết thúc, người ta thường loại bỏ những phân số không đúng. Để loại bỏ một phần không chính xác, bạn cần chọn toàn bộ phần của nó. Trong trường hợp của chúng tôi, toàn bộ phần có thể dễ dàng bị cô lập - hai chia cho hai bằng một:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ về một chiếc bánh pizza được chia thành hai phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza hơn vào pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza nguyên vẹn:

Ví dụ 3. Cộng các phân số và .

Một lần nữa, chúng ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:

Ví dụ 4. Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ này được giải theo cách tương tự như các ví dụ trước. Các tử số phải được thêm vào và mẫu số không thay đổi:

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc pizza và thêm nhiều pizza hơn, bạn sẽ nhận được 1 chiếc pizza nguyên con và nhiều chiếc pizza hơn.

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi cộng các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:

  1. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số;

Cộng các phân số có mẫu số khác nhau

Bây giờ chúng ta hãy học cách cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Khi cộng các phân số thì mẫu số của các phân số phải bằng nhau. Nhưng chúng không phải lúc nào cũng giống nhau.

Ví dụ: các phân số có thể được thêm vào vì chúng có cùng mẫu số.

Nhưng các phân số không thể được cộng ngay lập tức vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).

Có một số cách để quy các phân số về cùng mẫu số. Hôm nay chúng ta sẽ chỉ xem xét một trong số chúng, vì các phương pháp khác có vẻ phức tạp đối với người mới bắt đầu.

Bản chất của phương pháp này là trước tiên LCM của mẫu số của cả hai phân số được tìm kiếm. LCM sau đó được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất để thu được hệ số bổ sung đầu tiên. Họ làm tương tự với phân số thứ hai - LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được hệ số bổ sung thứ hai.

Tử số và mẫu số của các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của những hành động này là các phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy.

Ví dụ 1. Hãy cộng các phân số và

Trước hết, chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 6

BCNN (2 và 3) = 6

Bây giờ chúng ta hãy quay lại phân số và . Đầu tiên, chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất và lấy thừa số bổ sung đầu tiên. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 6 cho 3 ta được 2.

Số kết quả 2 là số nhân bổ sung đầu tiên. Chúng tôi viết nó xuống phân số đầu tiên. Để làm điều này, hãy tạo một đường xiên nhỏ trên phân số và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy phía trên nó:

Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai và nhận được hệ số bổ sung thứ hai. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Chia 6 cho 2 ta được 3.

Kết quả số 3 là số nhân bổ sung thứ hai. Chúng tôi viết nó xuống phân số thứ hai. Một lần nữa, chúng ta tạo một đường xiên nhỏ trên phân số thứ hai và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy ở trên nó:

Bây giờ chúng tôi đã có mọi thứ sẵn sàng để bổ sung. Vẫn còn nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng:

Hãy nhìn kỹ vào những gì chúng ta đã đến. Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:

Điều này hoàn thành ví dụ. Hóa ra là thêm .

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một phần sáu chiếc bánh pizza khác:

Việc giảm các phân số về cùng mẫu số (chung) cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Rút gọn các phân số về mẫu số chung, ta được phân số và . Hai phân số này sẽ được thể hiện bằng những miếng bánh pizza giống nhau. Điểm khác biệt duy nhất là lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số).

Hình vẽ đầu tiên biểu thị một phân số (bốn mảnh trong số sáu) và hình vẽ thứ hai biểu thị một phân số (ba mảnh trong số sáu). Thêm những phần này chúng ta có được (bảy trong số sáu phần). Phân số này không đúng nên chúng tôi đã đánh dấu toàn bộ phần đó. Kết quả là chúng tôi có (một chiếc bánh pizza và một chiếc bánh pizza thứ sáu khác).

Xin lưu ý rằng chúng tôi đã mô tả ví dụ này quá chi tiết. Trong các cơ sở giáo dục, việc viết chi tiết như vậy không phải là thông lệ. Bạn cần có khả năng nhanh chóng tìm LCM của cả mẫu số và các thừa số bổ sung của chúng, cũng như nhân nhanh các thừa số bổ sung tìm thấy với tử số và mẫu số của bạn. Nếu chúng ta đang ở trường, chúng ta sẽ phải viết ví dụ này như sau:

Nhưng cũng có một mặt khác của đồng xu. Nếu bạn không ghi chép chi tiết trong giai đoạn đầu học toán, thì những câu hỏi kiểu này sẽ bắt đầu xuất hiện. “Con số đó đến từ đâu?”, “Tại sao các phân số đột nhiên biến thành những phân số hoàn toàn khác nhau? «.

Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau dễ dàng hơn, bạn có thể làm theo hướng dẫn từng bước sau:

  1. Tìm BCNN của mẫu số của phân số;
  2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy hệ số bổ sung cho mỗi phân số;
  3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng;
  4. Cộng các phân số có cùng mẫu số;
  5. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì hãy chọn toàn bộ phần của nó;

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức .

Hãy sử dụng các hướng dẫn được đưa ra ở trên.

Bước 1. Tìm BCNN của mẫu số của các phân số

Tìm BCNN của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của các phân số là 2, 3 và 4

Bước 2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy hệ số bổ sung cho mỗi phân số

Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 2. Chia 12 cho 2, ta được 6. Ta có thừa số bổ sung đầu tiên 6. Ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:

Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Ta được thừa số thứ hai 4. Ta viết nó phía trên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ ba là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Ta được thừa số thứ ba 3. Ta viết nó phía trên phân số thứ ba:

Bước 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số bổ sung của chúng

Chúng tôi nhân các tử số và mẫu số với các thừa số bổ sung của chúng:

Bước 4. Cộng các phân số cùng mẫu số

Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Tất cả những gì còn lại là thêm các phân số này. Thêm nó lên:

Phần bổ sung không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi đã chuyển biểu thức còn lại sang dòng tiếp theo. Điều này được cho phép trong toán học. Khi một biểu thức không vừa trên một dòng, nó sẽ được chuyển sang dòng tiếp theo và cần đặt dấu bằng (=) ở cuối dòng đầu tiên và ở đầu dòng mới. Dấu bằng ở dòng thứ hai cho biết đây là phần tiếp theo của biểu thức ở dòng đầu tiên.

Bước 5. Nếu câu trả lời hóa ra là một phân số không đúng thì hãy đánh dấu toàn bộ phần đó

Câu trả lời của chúng tôi hóa ra là một phần không chính xác. Chúng ta phải làm nổi bật toàn bộ một phần của nó. Chúng tôi nhấn mạnh:

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời

Phép trừ các phân số cùng mẫu số

Có hai loại phép trừ phân số:

  1. Phép trừ các phân số cùng mẫu số
  2. Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu cách trừ các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để trừ một phân số khác, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất, nhưng giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: hãy tìm giá trị của biểu thức . Để giải ví dụ này, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số. Hãy làm điều này:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:

Ví dụ 2. Tìm giá trị của biểu thức.

Một lần nữa, từ tử số của phân số thứ nhất, trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:

Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ này được giải theo cách tương tự như các ví dụ trước. Từ tử số của phân số thứ nhất, bạn cần trừ tử số của các phân số còn lại:

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi trừ các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:

  1. Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số;
  2. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.

Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Ví dụ: bạn có thể trừ một phân số khỏi một phân số vì các phân số đó có cùng mẫu số. Nhưng bạn không thể trừ một phân số từ một phân số, vì những phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).

Mẫu số chung được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc mà chúng ta đã sử dụng khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Trước hết, hãy tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất và thu được thừa số bổ sung đầu tiên, được viết phía trên phân số thứ nhất. Tương tự, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số bổ sung thứ hai, được viết phía trên phân số thứ hai.

Các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của các phép toán này là các phân số có mẫu số khác nhau được chuyển đổi thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy.

Ví dụ 1. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Các phân số này có mẫu số khác nhau nên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).

Đầu tiên chúng ta tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 12

BCNN (3 và 4) = 12

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại phân số và

Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Viết số 4 phía trên phân số thứ nhất:

Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Viết số ba lên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng cho phép trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:

Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza

Đây là phiên bản chi tiết của giải pháp. Nếu chúng ta ở trường, chúng ta sẽ phải giải ví dụ này ngắn hơn. Một giải pháp như vậy sẽ trông như thế này:

Việc giảm phân số về mẫu số chung cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Giảm các phân số này về mẫu số chung, chúng ta có các phân số và . Các phân số này sẽ được thể hiện bằng các lát bánh pizza giống nhau, nhưng lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số):

Bức tranh đầu tiên thể hiện một phân số (tám phần trong số mười hai) và bức tranh thứ hai hiển thị một phân số (ba phần trong số mười hai). Bằng cách cắt ba mảnh từ tám mảnh, chúng ta có được năm mảnh trong số mười hai mảnh. Phân số mô tả năm phần này.

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy trước tiên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).

Hãy tìm BCNN của mẫu số của các phân số này.

Mẫu số của các phân số là các số 10, 3 và 5. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 30

BCNN(10, 3, 5) = 30

Bây giờ chúng ta tìm các thừa số bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số.

Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 10. Chia 30 cho 10, ta được thừa số bổ sung đầu tiên 3. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:

Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 30 cho 3, ta được thừa số thứ hai 10. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ ba là số 5. ​​Chia 30 cho 5, ta được thừa số thứ ba 6. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ ba:

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng để trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:

Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy kết thúc ví dụ này.

Phần tiếp theo của ví dụ sẽ không vừa trên một dòng, vì vậy chúng ta chuyển phần tiếp theo sang dòng tiếp theo. Đừng quên dấu bằng (=) trên dòng mới:

Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, và mọi thứ dường như đều phù hợp với chúng ta, nhưng nó quá cồng kềnh và xấu xí. Chúng ta nên làm cho nó đơn giản hơn. Có thể làm gì? Bạn có thể rút ngắn phân số này.

Để rút gọn một phân số, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho (GCD) của các số 20 và 30.

Vì vậy, chúng ta tìm được gcd của số 20 và 30:

Bây giờ chúng ta quay lại ví dụ của mình và chia tử số và mẫu số của phân số cho gcd tìm thấy, nghĩa là cho 10

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời

Nhân một phân số với một số

Để nhân một phân số với một số, bạn cần nhân tử số của phân số đó với số đó và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ 1. Nhân một phân số với số 1.

Nhân tử số của phân số với số 1

Việc ghi âm có thể hiểu là chụp 1 nửa thời gian. Ví dụ: nếu bạn ăn pizza một lần, bạn sẽ nhận được pizza

Từ định luật nhân ta biết rằng nếu số nhân và thừa số đổi chỗ cho nhau thì tích sẽ không thay đổi. Nếu biểu thức được viết là , thì tích vẫn bằng . Một lần nữa, quy tắc nhân một số nguyên và một phân số có tác dụng:

Ký hiệu này có thể hiểu là lấy một nửa. Ví dụ: nếu có 1 chiếc bánh pizza nguyên con và chúng ta lấy một nửa số đó thì chúng ta sẽ có bánh pizza:

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số với 4

Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:

Biểu thức có thể hiểu là lấy hai phần tư 4 lần. Ví dụ: nếu bạn lấy 4 chiếc pizza, bạn sẽ nhận được hai chiếc pizza nguyên vẹn

Và nếu đổi chỗ số nhân và số nhân, chúng ta sẽ có biểu thức . Nó cũng sẽ bằng 2. Biểu thức này có thể được hiểu là lấy hai chiếc pizza từ bốn chiếc pizza nguyên vẹn:

Nhân phân số

Để nhân các phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng. Nếu câu trả lời là một phân số không chính xác, bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.

Ví dụ 1. Tìm giá trị của biểu thức.

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời. Đó là khuyến khích để giảm phần này. Phân số có thể giảm đi 2. Khi đó nghiệm cuối cùng sẽ có dạng sau:

Cách diễn đạt có thể hiểu là lấy một chiếc bánh pizza từ một nửa chiếc bánh pizza. Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:

Làm thế nào để lấy hai phần ba từ nửa này? Đầu tiên bạn cần chia nửa này thành ba phần bằng nhau:

Và lấy hai từ ba mảnh này:

Chúng ta sẽ làm pizza. Hãy nhớ một chiếc bánh pizza trông như thế nào, được chia thành ba phần:

Một miếng bánh pizza này và hai miếng chúng tôi lấy sẽ có cùng kích thước:

Nói cách khác, chúng ta đang nói về chiếc bánh pizza có cùng kích thước. Do đó giá trị của biểu thức là

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:

Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, nhưng sẽ tốt hơn nếu rút gọn nó. Để rút gọn phân số này, bạn cần chia tử số và mẫu số của phân số này cho ước số chung lớn nhất (GCD) của các số 105 và 450.

Vì vậy, hãy tìm gcd của các số 105 và 450:

Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của câu trả lời cho gcd mà chúng ta đã tìm thấy, tức là cho 15

Biểu diễn số nguyên dưới dạng phân số

Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Ví dụ: số 5 có thể được biểu diễn dưới dạng . Điều này sẽ không làm thay đổi ý nghĩa của số năm, vì biểu thức này có nghĩa là “số năm chia cho một” và như chúng ta biết, số này bằng năm:

số đối ứng

Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một chủ đề rất thú vị trong toán học. Nó được gọi là "số đảo ngược".

Sự định nghĩa. Đảo ngược sốMột là một số mà khi nhân vớiMột đưa ra một.

Hãy thay thế định nghĩa này thay vì biến Một số 5 và thử đọc định nghĩa:

Đảo ngược số 5 là một số mà khi nhân với 5 đưa ra một.

Có thể tìm được một số mà khi nhân với 5 sẽ bằng 1 không? Hóa ra là có thể. Hãy tưởng tượng năm là một phân số:

Sau đó nhân phân số này với chính nó, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Nói cách khác, hãy nhân phân số với chính nó, chỉ lộn ngược:

Điều gì sẽ xảy ra như là kết quả của việc này? Nếu chúng ta tiếp tục giải ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một:

Điều này có nghĩa là nghịch đảo của số 5 là số , vì khi bạn nhân 5 với bạn sẽ được một.

Nghịch đảo của một số cũng có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào khác.

Bạn cũng có thể tìm nghịch đảo của bất kỳ phân số nào khác. Để làm điều này, chỉ cần lật nó lại.

Chia một phân số cho một số

Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:

Hãy chia đều cho hai người. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu pizza?

Có thể thấy rằng sau khi chia một nửa chiếc bánh pizza, người ta thu được hai phần bằng nhau, mỗi phần tạo thành một chiếc bánh pizza. Vì vậy, mọi người đều nhận được một chiếc bánh pizza.

Việc chia phân số được thực hiện bằng cách sử dụng nghịch đảo. Số nghịch đảo cho phép bạn thay thế phép chia bằng phép nhân.

Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân phân số đó với nghịch đảo của số chia.

Sử dụng quy tắc này, chúng ta sẽ viết ra cách chia một nửa chiếc bánh pizza của chúng ta thành hai phần.

Vì vậy, bạn cần chia phân số cho số 2. Ở đây số bị chia là phân số và số chia là số 2.

Để chia một phân số cho số 2, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của ước số 2. Nghịch đảo của ước số 2 là phân số. Vì vậy bạn cần nhân với

    Để cộng một số nguyên vào một phân số, chỉ cần thực hiện một loạt hành động, hay đúng hơn là các phép tính là đủ.

    Ví dụ: bạn có 7 - một số nguyên; bạn cần thêm nó vào phân số 1/2.

    Chúng ta tiến hành như sau:

    • Chúng ta nhân 7 với mẫu số (2), chúng ta được 14,
    • cộng phần trên (1) với 14, bạn được 15,
    • và thay thế mẫu số.
    • kết quả là 15/2.

    Bằng cách đơn giản này, bạn có thể cộng số nguyên vào phân số.

    Và để tách một số nguyên khỏi một phân số, bạn cần chia tử số cho mẫu số và phần dư - và sẽ có một phân số.

    Thao tác cộng một số nguyên vào một phân số thường không phức tạp và đôi khi chỉ đơn giản là tạo thành một hỗn số, trong đó phần nguyên đặt ở bên trái của phân số, ví dụ phân số đó sẽ được trộn:

    Tuy nhiên, thông thường, việc cộng một số nguyên vào một phân số sẽ tạo ra một phân số không chính xác trong đó tử số lớn hơn mẫu số. Thao tác này được thực hiện như sau: toàn bộ số được biểu diễn dưới dạng phân số không chính xác có cùng mẫu số với phân số được thêm vào và sau đó tử số của cả hai phân số được thêm vào một cách đơn giản. Trong một ví dụ, nó sẽ trông như thế này:

    5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

    Tôi nghĩ nó rất đơn giản.

    Ví dụ: chúng ta có phân số 1/4 (tương đương 0,25, tức là một phần tư của toàn bộ số).

    Và với phần tư này, bạn có thể thêm bất kỳ số nguyên nào, ví dụ 3. Bạn nhận được ba và một phần tư:

    3,25. Hoặc dưới dạng phân số, nó được biểu thị như thế này: 3 1/4

    Dựa trên ví dụ này, bạn có thể cộng bất kỳ phân số nào với bất kỳ số nguyên nào.

    Bạn cần nâng số nguyên thành phân số có mẫu số là 10 (6/10). Tiếp theo, đưa phân số hiện có về mẫu số chung là 10 (35=610). Vâng, hãy thực hiện phép tính như với phân số thông thường 610+610=1210 để có tổng số là 12.

    Có hai cách để làm điều này.

    1). Một phân số có thể được chuyển đổi thành số nguyên và có thể thực hiện phép cộng. Ví dụ: 1/2 là 0,5; 1/4 bằng 0,25; 2/5 là 0,4, v.v.

    Lấy số nguyên 5 mà bạn cần thêm phân số 4/5. Hãy biến đổi phân số: 4/5 bằng 4 chia cho 5 và ta được 0,8. Cộng 0,8 vào 5 và chúng ta có 5,8 hoặc 5 4/5.

    2). Phương pháp thứ hai: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

    Cộng phân số là một phép toán đơn giản, ví dụ bạn cần cộng số nguyên 3 và phân số 1/7. Để cộng hai số này bạn phải có một mẫu số, do đó bạn phải nhân ba với bảy rồi chia cho số đó thì bạn được 21/7+1/7, mẫu số một, cộng 21 và 1, bạn sẽ có kết quả 22/7 .

    Chỉ cần lấy và cộng một số nguyên vào phân số này. Giả sử bạn cần 6 + 1/2 = 6 1/2. Chà, nếu đây là phân số thập phân thì bạn có thể làm như thế này: 6+1,2=7,2.

    Để cộng một phân số và một số nguyên, bạn cần cộng phân số đó với số nguyên và viết chúng dưới dạng số phức, ví dụ khi cộng một phân số thường với một số nguyên, ta được: 1/2 +3 = 3 1/ 2; khi cộng một phân số thập phân: 0,5 +3 =3,5.

    Bản thân một phân số không phải là một số nguyên, vì số lượng của nó không đạt đến nó và do đó không cần phải chuyển toàn bộ số thành phân số này. Do đó, số nguyên vẫn là số nguyên và thể hiện đầy đủ giá trị đầy đủ, đồng thời phân số được thêm vào đó và cho biết số nguyên này bị thiếu bao nhiêu trước khi thêm điểm đầy đủ tiếp theo.

    Ví dụ học thuật.

    10 + 7/3 = 10 toàn bộ và 7/3.

    Tất nhiên, nếu có số nguyên thì chúng được tính tổng bằng số nguyên.

    12 + 5 7/9 = 17 và 7/9.

    Nó phụ thuộc vào số nguyên nào và phân số nào.

    Nếu như cả hai số hạng đều tích cực, phần này phải được cộng vào số nguyên. Kết quả sẽ là một số hỗn hợp. Hơn nữa có thể có 2 trường hợp.

    Trường hợp 1.

    • Phân số là chính xác, tức là tử số nhỏ hơn mẫu số. Khi đó hỗn số thu được sau khi làm bài sẽ là đáp án.

    4/9 + 10 = 10 4/9 (mười phẩy bốn phần chín).

    Trường hợp 2.

    • Phân số không đúng, tức là tử số lớn hơn mẫu số. Sau đó, một chút chuyển đổi là cần thiết. Một phân số không chính xác phải được chuyển thành hỗn số, nói cách khác, toàn bộ phần đó phải được tách biệt. Điều này được thực hiện như thế này:

    Sau đó, bạn cần thêm toàn bộ phần không chính xác vào số nguyên và thêm phần phân số của nó vào số tiền thu được. Tương tự như vậy, một số nguyên được cộng vào một hỗn số.

    1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 điểm ba phần tư).

    2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 điểm một).

    Nếu một trong các điều khoản hoặc cả hai tiêu cực thì ta thực hiện phép cộng theo quy tắc cộng các số khác dấu hoặc giống nhau. Một số nguyên được biểu diễn dưới dạng tỷ lệ của số đó và 1, sau đó cả tử số và mẫu số đều được nhân với một số bằng mẫu số của phân số mà số nguyên đó được thêm vào.

    3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (trừ 1 phẩy bốn phần năm).

    4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (trừ 8 phẩy một phần ba).

    Bình luận.

    Sau khi làm quen với số âm, khi học các phép tính với chúng, học sinh lớp 6 cần hiểu rằng phép cộng một số nguyên dương với phân số âm cũng giống như phép trừ một phân số với một số tự nhiên. Hành động này được biết là được thực hiện như thế này:

    Trên thực tế, để cộng một phân số và một số nguyên, bạn chỉ cần chuyển đổi số nguyên hiện có thành một phân số và thực hiện việc này dễ dàng như bóc vỏ quả lê. Bạn chỉ cần lấy mẫu số của phân số (trong ví dụ) và biến nó thành mẫu số của một số nguyên bằng cách nhân với mẫu số đó rồi chia, đây là ví dụ:

    2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3