Trong bài viết chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải phân sốđơn giản ví dụ rõ ràng. Hãy cùng tìm hiểu phân số là gì và xem xét giải phân số!
Ý tưởng phân sốđược đưa vào giảng dạy môn toán bắt đầu từ lớp 6 trung học cơ sở.
Phân số có dạng: ±X/Y, trong đó Y là mẫu số, cho biết toàn bộ được chia thành bao nhiêu phần và X là tử số, cho biết có bao nhiêu phần như vậy đã được lấy. Để rõ ràng, hãy lấy một ví dụ với một chiếc bánh:
Trong trường hợp đầu tiên, chiếc bánh được cắt bằng nhau và lấy một nửa, tức là. 1/2. Trong trường hợp thứ hai, chiếc bánh được cắt thành 7 phần, trong đó có 4 phần được lấy, tức là. 4/7.
Nếu phần chia của một số cho một số khác không phải là số nguyên thì nó được viết dưới dạng phân số.
Ví dụ: biểu thức 4:2 = 2 cho một số nguyên, nhưng 4:7 không chia hết cho một số nguyên, vì vậy biểu thức này được viết dưới dạng phân số 4/7.
Nói cách khác phân số là một biểu thức biểu thị phép chia của hai số hoặc biểu thức và được viết bằng dấu gạch chéo phân số.
Nếu tử số nhỏ hơn mẫu số- một phân số là chính quy, nếu ngược lại thì không đúng. Một phân số có thể chứa một số nguyên.
Ví dụ: 5 toàn bộ 3/4.
Mục này có nghĩa là để có được toàn bộ 6, thiếu một phần của bốn.
Nếu bạn muốn nhớ, cách giải phân số lớp 6, bạn cần hiểu điều đó giải phân số về cơ bản là hiểu được một số điều đơn giản.
- Một phân số về cơ bản là một biểu thức của một phân số. Đó là biểu thức số phần nào của một giá trị nhất định là của một tổng thể. Ví dụ: phân số 3/5 biểu thị rằng nếu chúng ta chia một số nguyên thành 5 phần và số phần hoặc phần của tổng thể này là ba.
- Phân số có thể nhỏ hơn 1, ví dụ 1/2 (hoặc về cơ bản là một nửa), thì phân số đó đúng. Nếu phân số lớn hơn 1, ví dụ 3/2 (ba nửa hoặc một rưỡi) thì sai và để đơn giản hóa lời giải, tốt hơn chúng ta nên chọn cả phần 3/2 = 1 toàn 1 /2.
- Phân số là những số giống như 1, 3, 10 và thậm chí 100, chỉ khác là các số không phải là số nguyên mà là phân số. Bạn có thể thực hiện tất cả các thao tác tương tự với chúng như với các con số. Đếm phân số không còn khó khăn nữa, và hơn thế nữa ví dụ cụ thể chúng tôi sẽ cho thấy điều đó
Cách giải phân số. Ví dụ.
Có rất nhiều phép tính số học có thể áp dụng cho phân số.
Quy đổi một phân số về mẫu số chung
Ví dụ: bạn cần so sánh các phân số 3/4 và 4/5.
Để giải bài toán, trước tiên ta tìm số nhỏ nhất mẫu số chung, tức là số nhỏ nhất, chia hết không dư cho mỗi mẫu số của phân số
Mẫu số chung nhỏ nhất(4.5) = 20
Khi đó mẫu số của cả hai phân số được rút gọn về mẫu số chung nhỏ nhất
Đáp án: 20/15
Cộng và trừ các phân số
Nếu cần tính tổng của hai phân số thì trước tiên chúng đưa về mẫu số chung, sau đó cộng các tử số, còn mẫu số không đổi. Sự khác biệt giữa các phân số được tính theo cùng một cách, điểm khác biệt duy nhất là các tử số bị trừ.
Ví dụ: bạn cần tìm tổng của các phân số 1/2 và 1/3
Hiện nay hãy tìm sự khác biệt phân số 1/2 và 1/4
Nhân và chia phân số
Ở đây giải phân số không khó, ở đây mọi thứ khá đơn giản:
- Phép nhân - tử số và mẫu số của phân số được nhân với nhau;
- Phép chia - đầu tiên chúng ta lấy phân số nghịch đảo của phân số thứ hai, tức là Chúng ta hoán đổi tử số và mẫu số của nó, sau đó chúng ta nhân các phân số thu được.
Ví dụ:
Đó là về nó cách giải phân số, Tất cả. Nếu bạn vẫn còn thắc mắc về giải phân số Nếu có điều gì chưa rõ ràng, hãy viết bình luận và chúng tôi chắc chắn sẽ trả lời bạn.
Nếu bạn là giáo viên, bạn có thể tải xuống bài thuyết trình để trường tiểu học(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matemaike.html) sẽ có ích cho bạn.
Một trong khoa học quan trọng nhất, ứng dụng của nó có thể thấy trong các ngành như hóa học, vật lý và thậm chí cả sinh học, đó là toán học. Nghiên cứu khoa học này cho phép bạn phát triển một số phẩm chất tinh thần và cải thiện khả năng tập trung. Một trong những chủ đề đáng được quan tâm đặc biệt trong môn Toán là phép cộng, trừ phân số. Nhiều học sinh gặp khó khăn trong học tập. Có lẽ bài viết của chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
Cách trừ các phân số có cùng mẫu số
Phân số là những con số giống nhau mà bạn có thể thực hiện các phép tính khác nhau. Sự khác biệt của chúng với các số nguyên nằm ở chỗ có mẫu số. Đó là lý do tại sao khi thực hiện các phép tính với phân số, bạn cần nghiên cứu một số tính năng và quy tắc của chúng. Hầu hết trường hợp đơn giản là phép trừ phân số thông thường, có mẫu số được biểu diễn bằng cùng một số. Thực hiện hành động này sẽ không khó nếu bạn biết một quy tắc đơn giản:
- Để trừ một giây cho một phân số, cần phải trừ tử số của phân số bị trừ khỏi tử số của phân số bị rút gọn. Chúng ta viết số này vào tử số của hiệu và giữ nguyên mẫu số: k/m - b/m = (k-b)/m.
Ví dụ về phép trừ các phân số có mẫu số giống nhau
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Từ tử số của phân số “7” ta trừ tử số của phân số “3” cần trừ, ta được “4”. Chúng tôi viết số này vào tử số của câu trả lời và trong mẫu số, chúng tôi đặt cùng một số có trong mẫu số của phân số thứ nhất và thứ hai - “19”.
Hình ảnh dưới đây cho thấy một số ví dụ tương tự khác.
Hãy xem xét một ví dụ phức tạp hơn trong đó phân số được trừ từ cùng mẫu số:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Từ tử số của phân số “29” bị rút gọn bằng cách trừ lần lượt các tử số của tất cả các phân số tiếp theo - “3”, “8”, “2”, “7”. Kết quả là, chúng ta nhận được kết quả "9", chúng ta viết vào tử số của câu trả lời và ở mẫu số, chúng ta viết ra số có trong mẫu số của tất cả các phân số này - "47".
Cộng các phân số có cùng mẫu số
Việc cộng và trừ các phân số thông thường cũng tuân theo nguyên tắc tương tự.
- Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số. Số kết quả là tử số của tổng và mẫu số sẽ giữ nguyên: k/m + b/m = (k + b)/m.
Hãy xem điều này trông như thế nào bằng cách sử dụng một ví dụ:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Vào tử số của số hạng đầu tiên của phân số - “1” - thêm tử số của số hạng thứ hai của phân số - “2”. Kết quả - “3” - được viết vào tử số của tổng và mẫu số được giữ nguyên như mẫu số có trong phân số - “4”.
Phân số có mẫu số khác nhau và phép trừ của chúng
Chúng ta đã xem xét phép toán với các phân số có cùng mẫu số. Như chúng ta thấy, biết quy tắc đơn giản, việc giải các ví dụ như vậy khá dễ dàng. Nhưng phải làm gì nếu bạn cần thực hiện một thao tác với các phân số có mẫu số khác nhau? Nhiều học sinh cấp hai bối rối trước những ví dụ như vậy. Nhưng ngay cả ở đây, nếu bạn biết nguyên lý của giải pháp, các ví dụ sẽ không còn làm khó bạn nữa. Ở đây cũng có một quy tắc, không có quy tắc nào thì giải pháp phân số tương tự Nó đơn giản là không thể.
- 2/3 - thiếu một ba và một hai ở mẫu số:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 hoặc 7/(3 x 3) - mẫu số thiếu hai:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 hoặc 5/(2 x 3) - mẫu số thiếu số ba:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Số 18 được tạo thành từ 3 x 2 x 3.
- Số 15 được tạo thành từ 5 x 3.
- Bội chung sẽ là các thừa số sau: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 chia cho 15. Số kết quả “6” sẽ là số nhân của 15/3.
- 90 chia cho 18. Số kết quả “5” sẽ là số nhân của 4/18.
- Chuyển đổi tất cả các phân số có phần nguyên thành phần không đúng. Nói nói một cách đơn giản, loại bỏ toàn bộ phần. Để làm điều này, nhân số phần nguyên với mẫu số của phân số và cộng kết quả vào tử số. Số xuất hiện sau những hành động này là tử số phân số không chính xác. Mẫu số không thay đổi.
- Nếu các phân số có mẫu số khác nhau thì phải quy về cùng mẫu số.
- Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ có cùng mẫu số.
- Khi nhận được một phần không chính xác, hãy chọn toàn bộ phần.
Để trừ các phân số mẫu số khác nhau, cần phải quy chúng về cùng mẫu số nhỏ nhất.
Chúng tôi sẽ nói chi tiết hơn về cách thực hiện việc này.
Thuộc tính của một phân số
Để đưa nhiều phân số về cùng một mẫu số, bạn cần sử dụng tính chất cơ bản của một phân số trong lời giải: sau khi chia hoặc nhân tử số và mẫu số cho cùng một số bạn nhận được một phân số bằng với phân số đã cho.
Vì vậy, ví dụ, phân số 2/3 có thể có các mẫu số như “6”, “9”, “12”, v.v., nghĩa là nó có thể có dạng của bất kỳ số nào là bội số của “3”. Sau khi nhân tử số và mẫu số với “2”, chúng ta được phân số 4/6. Sau khi nhân tử số và mẫu số của phân số ban đầu với “3”, chúng ta nhận được 6/9 và nếu thực hiện thao tác tương tự với số “4”, chúng ta sẽ nhận được 8/12. Một đẳng thức có thể được viết như sau:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Cách chuyển nhiều phân số về cùng mẫu số
Chúng ta hãy xem cách quy đổi nhiều phân số về cùng mẫu số. Ví dụ: hãy lấy các phân số hiển thị trong hình bên dưới. Trước tiên, bạn cần xác định số nào có thể trở thành mẫu số của tất cả chúng. Để làm cho mọi việc dễ dàng hơn, hãy phân tích các mẫu số hiện có thành nhân tử.
Mẫu số của phân số 1/2 và phân số 2/3 không thể phân tích thành nhân tử. Mẫu số 7/9 có hai thừa số 7/9 = 7/(3 x 3), mẫu số của phân số 5/6 = 5/(2 x 3). Bây giờ chúng ta cần xác định thừa số nào sẽ nhỏ nhất đối với cả bốn phân số này. Vì phân số thứ nhất có số “2” ở mẫu số, điều đó có nghĩa là nó phải có mặt ở tất cả các mẫu số; trong phân số 7/9 có hai bộ ba, nghĩa là cả hai đều phải có mặt ở mẫu số. Xét như trên, ta xác định mẫu số gồm 3 thừa số: 3, 2, 3 và bằng 3 x 2 x 3 = 18.
Hãy xem xét phân số đầu tiên - 1/2. Có một chữ số “2” trong mẫu số của nó, nhưng không có một chữ số “3” nào mà phải có hai chữ số. Để làm điều này, chúng ta nhân mẫu số với hai bộ ba, nhưng theo tính chất của một phân số, chúng ta phải nhân tử số với hai bộ ba:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Chúng tôi thực hiện các hoạt động tương tự với các phân số còn lại.
Tất cả cùng nhau trông như thế này:
Cách trừ, cộng các phân số có mẫu số khác nhau
Như đã đề cập ở trên, để cộng hoặc trừ các phân số có mẫu số khác nhau, chúng phải được quy về cùng mẫu số, sau đó sử dụng các quy tắc trừ các phân số có cùng mẫu số đã được thảo luận.
Hãy xem đây là một ví dụ: 18/4 - 15/3.
Tìm bội số của số 18 và 15:
Sau khi tìm được mẫu số, cần tính hệ số sẽ khác nhau cho mỗi phân số, tức là số mà không chỉ mẫu số mà cả tử số cũng cần được nhân. Để làm điều này, chúng tôi chia số mà chúng tôi tìm thấy (bội số chung) cho mẫu số của phân số mà chúng tôi cần xác định các thừa số bổ sung.
Giai đoạn tiếp theo trong giải pháp của chúng tôi là giảm từng phân số về mẫu số “90”.
Chúng tôi đã nói về cách thực hiện điều này. Hãy xem điều này được viết như thế nào trong một ví dụ:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Nếu phân số có số nhỏ thì bạn có thể xác định mẫu số chung, như trong ví dụ trong hình bên dưới.
Điều này cũng đúng với những người có mẫu số khác nhau.
Phép trừ và có phần nguyên
Chúng ta đã thảo luận chi tiết về phép trừ các phân số và phép cộng của chúng. Nhưng làm thế nào để trừ nếu phân số có toàn bộ phần? Một lần nữa, hãy sử dụng một vài quy tắc:
Có một cách khác để bạn có thể cộng và trừ các phân số có phần nguyên. Để làm điều này, các hành động được thực hiện riêng biệt với toàn bộ các phần và các hành động với phân số riêng biệt và kết quả được ghi lại cùng nhau.
Ví dụ đã cho bao gồm các phân số có cùng mẫu số. Trong trường hợp các mẫu số khác nhau, chúng phải được đưa về cùng một giá trị, sau đó thực hiện các hành động như trong ví dụ.
Trừ các phân số từ số nguyên
Một loại hành động khác với phân số là trường hợp phân số phải được trừ khỏi At first look ví dụ tương tự có vẻ khó giải quyết. Tuy nhiên, mọi thứ ở đây khá đơn giản. Để giải nó, bạn cần chuyển số nguyên thành một phân số và có cùng mẫu số với phân số bị trừ. Tiếp theo, chúng ta thực hiện phép trừ tương tự như phép trừ có cùng mẫu số. Trong một ví dụ nó trông như thế này:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Phép trừ các phân số (lớp 6) trình bày trong bài viết này là cơ sở để giải các ví dụ phức tạp hơn ở các lớp tiếp theo. Kiến thức về chủ đề này sau đó được sử dụng để giải các hàm số, đạo hàm, v.v. Vì vậy, việc hiểu và hiểu các phép tính với phân số đã thảo luận ở trên là rất quan trọng.
Các hành động với phân số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ, mọi thứ một cách chi tiết kèm theo lời giải thích. Chúng ta sẽ xem xét các phân số thông thường. Chúng ta sẽ xem xét số thập phân sau. Tôi khuyên bạn nên xem toàn bộ và nghiên cứu nó một cách tuần tự.
1. Tổng các phân số, hiệu của các phân số.
Quy tắc: khi cộng phân số với mẫu số bằng nhau, kết quả là chúng ta nhận được một phân số - mẫu số của nó giữ nguyên và tử số của nó sẽ là bằng tổng tử số của phân số.
Quy tắc: Khi tính hiệu giữa các phân số có cùng mẫu số, ta thu được một phân số - mẫu số giữ nguyên và tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất.
Ký hiệu chính thức cho tổng và hiệu của các phân số có mẫu số bằng nhau:
Ví dụ (1):
Rõ ràng là khi đưa ra các phân số thông thường thì mọi thứ đều đơn giản, nhưng nếu chúng trộn lẫn với nhau thì sao? Không có gì phức tạp...
Tùy chọn 1– bạn có thể chuyển đổi chúng thành những cái bình thường và sau đó tính toán chúng.
Tùy chọn 2– bạn có thể “làm việc” riêng biệt với phần nguyên và phần phân số.
Ví dụ (2):
Hơn:
Và nếu sự khác biệt của hai được đưa ra phân số hỗn hợp và tử số của phân số thứ nhất sẽ nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai? Bạn cũng có thể hành động theo hai cách.
Ví dụ (3):
*Chuyển đổi sang phân số thông thường, tính chênh lệch, chuyển đổi phân số thu được thành phân số hỗn hợp.
*Chúng tôi chia nó thành các phần nguyên và phần phân số, lấy 3, sau đó trình bày 3 là tổng của 2 và 1, với một được biểu thị là 11/11, sau đó tìm sự khác biệt giữa 11/11 và 7/11 và tính kết quả . Ý nghĩa của các phép biến đổi trên là lấy (chọn) một đơn vị và biểu diễn nó dưới dạng một phân số với mẫu số mà chúng ta cần, sau đó chúng ta có thể trừ một phân số khác từ phân số này.
Một ví dụ khác:
Kết luận: có một cách tiếp cận phổ quát - để tính tổng (chênh lệch) của các phân số hỗn hợp có mẫu số bằng nhau, chúng luôn có thể được chuyển đổi thành phân số không chính xác, sau đó thực hiện hành động cần thiết. Sau đó, nếu kết quả là một phân số không chính xác, chúng ta chuyển nó thành một phân số hỗn hợp.
Ở trên chúng ta đã xem xét các ví dụ về phân số có mẫu số bằng nhau. Nếu mẫu số khác nhau thì sao? Trong trường hợp này, các phân số được giảm về cùng mẫu số và hành động đã chỉ định được thực hiện. Để thay đổi (biến đổi) một phân số, tính chất cơ bản của phân số được sử dụng.
Hãy xem xét các ví dụ đơn giản:
Trong những ví dụ này, chúng ta thấy ngay cách biến đổi một trong các phân số để có mẫu số bằng nhau.
Nếu chúng ta chỉ định các cách giảm phân số về cùng mẫu số thì chúng ta sẽ gọi đây là cách PHƯƠNG PHÁP MỘT.
Nghĩa là, ngay khi “đánh giá” một phân số, bạn cần tìm hiểu xem cách tiếp cận này có hiệu quả hay không - chúng tôi kiểm tra xem mẫu số lớn hơn có chia hết cho mẫu số nhỏ hơn hay không. Và nếu nó chia hết thì chúng ta thực hiện một phép biến đổi - chúng ta nhân tử số và mẫu số sao cho mẫu số của cả hai phân số đều bằng nhau.
Bây giờ hãy xem những ví dụ sau:
Cách tiếp cận này không thể áp dụng cho họ. Cũng có nhiều cách để rút gọn phân số về mẫu số chung;
Phương pháp HAI.
Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất:
*Trên thực tế, chúng ta rút gọn các phân số để tạo thành khi mẫu số bằng nhau. Tiếp theo, chúng ta áp dụng quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số.
Ví dụ:
*Phương pháp này có thể được gọi là phổ quát và nó luôn hoạt động. Nhược điểm duy nhất là sau khi tính toán, bạn có thể thu được một phân số cần phải giảm thêm.
Hãy xem một ví dụ:
Có thể thấy tử số và mẫu số đều chia hết cho 5:
Phương pháp BA.
Bạn cần tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số. Đây sẽ là mẫu số chung. Đây là loại số gì? Đây là ít nhất số tự nhiên, chia hết cho mỗi số.
Nhìn xem, đây là hai số: 3 và 4, có nhiều số chia hết cho chúng - đó là 12, 24, 36, ... Số nhỏ nhất trong số đó là 12. Hoặc 6 và 15, chúng chia hết cho 30, 60, 90.... Nhỏ nhất là 30. Câu hỏi đặt ra là - làm thế nào để xác định bội số chung nhỏ nhất này?
Có một thuật toán rõ ràng, nhưng thường việc này có thể được thực hiện ngay lập tức mà không cần tính toán. Ví dụ: theo các ví dụ trên (3 và 4, 6 và 15) không cần thuật toán, chúng tôi lấy số lớn (4 và 15), nhân đôi chúng và thấy rằng chúng chia hết cho số thứ hai, nhưng các cặp số có thể là những người khác, ví dụ 51 và 119.
Thuật toán. Để xác định bội số chung nhỏ nhất của một số số, bạn phải:
- Phân tích mỗi số thành yếu tố ĐƠN GIẢN
— viết ra sự phân hủy LỚN HƠN của chúng
- nhân nó với các hệ số MISSING của các số khác
Hãy xem xét các ví dụ:
50 và 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
đang trong quá trình phân hủy hơn thiếu một năm
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 và 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
trong việc mở rộng số lớn hơn hai và ba bị thiếu
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố tương đương với sản phẩm của họ
Câu hỏi! Tại sao việc tìm bội số chung nhỏ nhất lại hữu ích vì bạn có thể sử dụng phương pháp thứ hai và chỉ cần rút gọn phân số thu được? Có, có thể, nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện. Nhìn vào mẫu số của các số 48 và 72 nếu bạn chỉ nhân chúng với 48∙72 = 3456. Bạn sẽ đồng ý rằng sẽ dễ chịu hơn khi làm việc với các số nhỏ hơn.
Hãy xem xét các ví dụ:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
sự mở rộng của một số lớn hơn thiếu một bộ ba
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Bây giờ hãy sử dụng phương pháp đầu tiên:
* Hãy xem sự khác biệt trong các phép tính, trong trường hợp đầu tiên có ít nhất chúng, nhưng trong trường hợp thứ hai, bạn cần phải làm việc riêng trên một tờ giấy và thậm chí cả phần bạn nhận được cũng cần phải giảm đi. Việc tìm kiếm LOC giúp đơn giản hóa công việc một cách đáng kể.
Thêm ví dụ:
*Trong ví dụ thứ hai, rõ ràng số nhỏ nhất chia hết cho 40 và 60 là 120.
KẾT QUẢ! Thuật toán tính toán tổng quát!
— chúng ta giảm phân số thành phân số thông thường nếu có phần nguyên.
- chúng ta đưa các phân số về một mẫu số chung (đầu tiên chúng ta xem liệu một mẫu số có chia hết cho một mẫu số khác hay không; nếu nó chia hết thì chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số kia; nếu nó không chia hết, chúng ta hành động bằng các phương pháp khác đã nêu ở trên).
- Nhận được các phân số có mẫu số bằng nhau, ta thực hiện các phép tính (cộng, trừ).
- nếu cần thiết, chúng tôi giảm kết quả.
- nếu cần thì chọn toàn bộ phần.
2. Tích của phân số.
Quy tắc rất đơn giản. Khi nhân các phân số, tử số và mẫu số của chúng được nhân với nhau:
Ví dụ:
Bây giờ chúng ta đã học cách cộng và nhân các phân số riêng lẻ, chúng ta có thể xem xét thêm thiết kế phức tạp. Ví dụ, nếu cùng một bài toán liên quan đến việc cộng, trừ và nhân các phân số thì sao?
Trước hết, bạn cần chuyển đổi tất cả các phân số thành phân số không chính xác. Sau đó, chúng tôi thực hiện tuần tự các hành động cần thiết - theo thứ tự như đối với số thông thường. Cụ thể là:
- Việc lũy thừa được thực hiện trước tiên - loại bỏ tất cả các biểu thức chứa số mũ;
- Sau đó - chia và nhân;
- Bước cuối cùng là cộng và trừ.
Tất nhiên, nếu có dấu ngoặc đơn trong biểu thức, thứ tự thực hiện các phép tính sẽ thay đổi - mọi thứ nằm trong dấu ngoặc đơn phải được tính trước. Và hãy nhớ về các phân số không chính xác: bạn chỉ cần đánh dấu toàn bộ phần khi tất cả các hành động khác đã được hoàn thành.
Hãy chuyển đổi tất cả các phân số từ biểu thức đầu tiên sang biểu thức không chính xác, sau đó thực hiện các bước sau:
Bây giờ hãy tìm giá trị của biểu thức thứ hai. Không có phân số nào có phần nguyên, nhưng có dấu ngoặc đơn, vì vậy trước tiên chúng ta thực hiện phép cộng, sau đó mới thực hiện phép chia. Lưu ý rằng 14 = 7 · 2. Sau đó:
Cuối cùng, hãy xem xét ví dụ thứ ba. Có dấu ngoặc và mức độ ở đây - tốt hơn là nên tính chúng riêng biệt. Xét rằng 9 = 3 3, ta có:
Hãy chú ý đến ví dụ cuối cùng. Để nâng một phân số lên lũy thừa, bạn phải nâng riêng tử số lên lũy thừa này và riêng mẫu số.
Bạn có thể quyết định khác nhau. Nếu chúng ta nhớ lại định nghĩa về mức độ, bài toán sẽ rút gọn thành phép nhân thông thường phân số:
phân số nhiều tầng
Cho đến nay chúng ta chỉ xem xét các phân số “thuần túy”, khi tử số và mẫu số bằng nhau số thông thường. Điều này khá phù hợp với định nghĩa về phân số được đưa ra trong bài học đầu tiên.
Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu tử số hoặc mẫu số chứa nhiều hơn đối tượng phức tạp? Ví dụ, một cái khác phân số? Những cấu trúc như vậy xuất hiện khá thường xuyên, đặc biệt khi làm việc với các biểu thức dài. Dưới đây là một vài ví dụ:
Chỉ có một quy tắc để làm việc với các phân số nhiều tầng: bạn phải loại bỏ chúng ngay lập tức. Việc loại bỏ các tầng “phụ” khá đơn giản, nếu bạn nhớ rằng dấu gạch chéo nghĩa là phép chia chuẩn. Do đó mọi phân số đều có thể viết lại như sau:
Sử dụng thực tế này và làm theo quy trình, chúng ta có thể dễ dàng giảm bất kỳ phần nhiều tầng nào thành phần thông thường. Hãy xem các ví dụ:
Nhiệm vụ. Chuyển đổi phân số nhiều tầng thành phân số thông thường:
Trong mỗi trường hợp, chúng ta viết lại phân số chính, thay đường chia bằng dấu chia. Cũng nên nhớ rằng bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số có mẫu số là 1. Đó là 12 = 1/12; 3 = 3/1. Chúng tôi nhận được:
TRONG ví dụ cuối cùng các phân số đã bị hủy bỏ trước phép nhân cuối cùng.
Chi tiết cụ thể khi làm việc với phân số nhiều cấp
Có một điểm tinh tế trong phân số nhiều cấp độ mà bạn phải luôn ghi nhớ, nếu không bạn có thể nhận được câu trả lời sai, ngay cả khi tất cả các phép tính đều đúng. Hãy xem:
- Tử số chứa số duy nhất 7 và mẫu số chứa phân số 12/5;
- Tử số chứa phân số 7/12 và mẫu số chứa số riêng biệt 5.
Vì vậy, đối với một mục, chúng tôi có hai mục hoàn toàn cách hiểu khác nhau. Nếu bạn đếm thì câu trả lời cũng sẽ khác:
Để đảm bảo rằng bản ghi luôn được đọc rõ ràng, hãy sử dụng một quy tắc đơn giản: đường phân chia của phân số chính phải dài hơn đường phân chia của phân số lồng nhau. Tốt nhất là nhiều lần.
Nếu bạn tuân theo quy tắc này thì các phân số trên sẽ được viết như sau:
Đúng, nó có thể khó coi và chiếm quá nhiều không gian. Nhưng bạn sẽ đếm chính xác. Cuối cùng, một vài ví dụ trong đó các phân số nhiều tầng thực sự phát sinh:
Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của các biểu thức:
Vì vậy, hãy làm việc với ví dụ đầu tiên. Hãy chuyển đổi tất cả các phân số thành phân số không chính xác, sau đó thực hiện các phép tính cộng và chia:
Hãy làm tương tự với ví dụ thứ hai. Hãy chuyển đổi tất cả các phân số thành phân số không chính xác và thực hiện các thao tác cần thiết. Để không gây nhàm chán cho người đọc, tôi sẽ lược bỏ một số tính toán hiển nhiên. Chúng tôi có:
Do tử số và mẫu số của các phân số cơ bản đều chứa tổng nên quy tắc viết phân số nhiều tầng được tuân thủ tự động. Ngoài ra, trong ví dụ trước, chúng tôi đã cố tình để lại 46/1 ở dạng phân số để thực hiện phép chia.
Tôi cũng sẽ lưu ý rằng trong cả hai ví dụ, thanh phân số thực sự thay thế dấu ngoặc đơn: trước hết, chúng tôi tìm thấy tổng và chỉ sau đó là thương.
Một số người sẽ nói rằng việc chuyển sang phân số không chính xác trong ví dụ thứ hai rõ ràng là dư thừa. Có lẽ điều này là đúng. Nhưng bằng cách này, chúng ta tự bảo đảm mình không mắc sai lầm, vì lần sau ví dụ có thể phức tạp hơn nhiều. Hãy chọn cho mình điều quan trọng hơn: tốc độ hay độ tin cậy.
Hướng dẫn
Rút gọn về mẫu số chung.
Cho các phân số a/b và c/d.
Tử số và mẫu số của phân số thứ nhất được nhân với LCM/b
Tử số và mẫu số của phân số thứ hai được nhân với LCM/d
Một ví dụ được hiển thị trong hình.
Để so sánh các phân số, bạn cần cộng chúng cùng mẫu số, sau đó so sánh các tử số. Ví dụ: 3/4< 4/5, см. .
Cộng và trừ các phân số.
Để tìm tổng của hai phân số thông thường, chúng cần đưa chúng về mẫu số chung, sau đó cộng các tử số, giữ nguyên mẫu số. Ví dụ về phép cộng các phân số 1/2 và 1/3 được thể hiện trong hình.
Cách tìm hiệu của các phân số cũng tương tự; sau khi tìm được mẫu số chung, tử số của các phân số được trừ đi, xem hình.
Khi nhân các phân số thông thường, tử số và mẫu số được nhân với nhau.
Để chia hai phân số, cần có một phân số của phân số thứ hai, tức là thay đổi tử số và mẫu số của nó, rồi nhân các phân số thu được.
Video về chủ đề
Nguồn:
- phân số lớp 5 qua ví dụ
- Các bài toán cơ bản về phân số
mô-đunđại diện cho giá trị tuyệt đối biểu thức. Dấu ngoặc thẳng được sử dụng để biểu thị một mô-đun. Các giá trị chứa trong chúng được coi là modulo. Giải pháp cho mô-đun là mở rộng dấu ngoặc đơn theo quy tắc nhất định và tìm tập hợp các giá trị biểu thức. Trong hầu hết các trường hợp, mô-đun được mở rộng theo cách mà biểu thức mô-đun con nhận được một loạt các giá trị tích cực và giá trị âm bao gồm giá trị bằng 0. Dựa trên các tính chất này của mô-đun, các phương trình và bất đẳng thức tiếp theo của biểu thức ban đầu được biên soạn và giải.
Hướng dẫn
Viết phương trình ban đầu với . Để thực hiện việc này, hãy mở mô-đun. Hãy xem xét từng biểu thức mô đun con. Xác định giá trị nào của các đại lượng chưa biết có trong nó thì biểu thức trong ngoặc mô-đun trở thành 0.
Để làm điều này, hãy đánh đồng biểu thức mô đun con bằng 0 và tìm phương trình thu được. Viết ra các giá trị bạn tìm thấy. Tương tự, xác định giá trị của biến chưa biết cho từng module trong phương trình đã cho.
Vẽ một trục số và vẽ các giá trị kết quả trên đó. Các giá trị của biến trong mô đun số 0 sẽ đóng vai trò là các ràng buộc khi giải phương trình mô đun.
Trong phương trình ban đầu, bạn cần mở rộng các mô đun, thay đổi dấu sao cho các giá trị của biến tương ứng với giá trị hiển thị trên trục số. Giải phương trình kết quả. Kiểm tra giá trị tìm thấy của biến theo ràng buộc do mô-đun chỉ định. Nếu lời giải thỏa mãn điều kiện thì nó đúng. Những rễ không đáp ứng được các hạn chế phải bị loại bỏ.
Theo cách tương tự, hãy mở rộng mô-đun của biểu thức ban đầu, có tính đến dấu và tính nghiệm của phương trình thu được. Viết ra tất cả các nghiệm thu được thỏa mãn các bất đẳng thức ràng buộc.
Số phân số có thể được biểu diễn dưới dạng dưới các hình thức khác nhau giá trị chính xác số lượng. Bạn có thể làm tương tự với phân số các phép toán, như với các số nguyên: phép trừ, phép cộng, phép nhân và phép chia. Để học cách quyết định phân số, chúng ta phải nhớ một số tính năng của chúng. Chúng phụ thuộc vào loại phân số, sự có mặt của phần nguyên, mẫu số chung. Một số các phép tính số học sau khi thực hiện, chúng yêu cầu giảm phần phân số của kết quả.
Bạn sẽ cần
- - máy tính
Hướng dẫn
Hãy nhìn kỹ vào những con số. Nếu trong số các phân số có số thập phân và số không đều, đôi khi sẽ thuận tiện hơn nếu trước tiên thực hiện các phép tính với số thập phân, sau đó chuyển chúng sang dạng bất quy tắc. Bạn có thể dịch không phân sốở dạng này ban đầu, viết giá trị sau dấu thập phân vào tử số và đặt 10 vào mẫu số. Nếu cần, hãy giảm phân số bằng cách chia các số trên và dưới cho một ước số. Các phân số trong đó một phần nguyên bị cô lập phải được chuyển sang dạng sai bằng cách nhân nó với mẫu số và cộng tử số vào kết quả. Giá trị này sẽ trở thành tử số mới phân số. Để chọn toàn bộ phần từ phần ban đầu không chính xác phân số, bạn cần chia tử số cho mẫu số. Viết toàn bộ kết quả từ phân số. Và phần dư của phép chia sẽ trở thành tử số, mẫu số mới phân số nó không thay đổi. Đối với các phân số có phần nguyên, có thể thực hiện các hành động riêng biệt, trước tiên là đối với số nguyên và sau đó là đối với các phần phân số. Ví dụ: có thể tính tổng của 1 2/3 và 2 ¾:
- Chuyển phân số về dạng sai:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Tổng các phần nguyên và phần phân số riêng biệt của các số hạng:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Đối với các giá trị ở dưới dòng hãy tìm mẫu số chung. Ví dụ: đối với 5/9 và 7/12, mẫu số chung sẽ là 36. Đối với điều này, tử số và mẫu số của số đầu tiên phân số bạn cần nhân với 4 (bạn nhận được 28/36) và số thứ hai - với 3 (bạn nhận được 15/36). Bây giờ bạn có thể thực hiện các phép tính.
Nếu bạn định tính tổng hoặc hiệu của các phân số, trước tiên hãy viết mẫu số chung tìm được dưới dòng. Thực hiện hành động cần thiết giữa các tử số và viết kết quả lên trên dòng mới phân số. Như vậy, tử số mới sẽ là hiệu hoặc tổng các tử số của các phân số ban đầu.
Để tính tích của các phân số, nhân tử số của các phân số và viết kết quả vào vị trí tử số của phân số cuối cùng phân số. Làm tương tự cho mẫu số. Khi chia một phân số viết một phân số lên phân số kia, rồi nhân tử số của nó với mẫu số của phân số thứ hai. Trong trường hợp này, mẫu số của số đầu tiên phân số nhân tương ứng với tử số thứ hai. Trong trường hợp này, một loại cuộc cách mạng xảy ra phân số(số chia). Phân số cuối cùng sẽ là kết quả của việc nhân tử số và mẫu số của cả hai phân số. Học không khó phân số, được viết trong điều kiện dưới dạng “bốn tầng” phân số. Nếu nó ngăn cách hai phân số, viết lại chúng bằng dấu phân cách “:” và tiếp tục phép chia đều đặn.
Để nhận kết quả cuối cùng Rút gọn phân số thu được bằng cách chia tử số và mẫu số cho một số nguyên, số lớn nhất có thể trong trong trường hợp này. Trong trường hợp này, phải có số nguyên ở trên và dưới dòng.
Xin lưu ý
Không thực hiện phép tính với các phân số có mẫu số khác nhau. Chọn một số sao cho khi nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với nó thì được kết quả là mẫu số của cả hai phân số đều bằng nhau.
Khi ghi âm số phân số Cổ tức được viết phía trên dòng. Đại lượng này được chỉ định là tử số của phân số. Ước số hoặc mẫu số của phân số được viết bên dưới dòng. Ví dụ, một kg rưỡi gạo dưới dạng phân số sẽ được viết như sau: 1 ½ kg gạo. Nếu mẫu số của một phân số là 10 thì phân số đó được gọi là số thập phân. Trong trường hợp này, tử số (cổ tức) được viết ở bên phải của toàn bộ phần, cách nhau bằng dấu phẩy: 1,5 kg gạo. Để dễ tính toán, một phân số như vậy luôn có thể được viết dưới dạng ở dạng sai: 1 2/10 kg khoai tây. Để đơn giản hóa, bạn có thể giảm giá trị tử số và mẫu số bằng cách chia chúng cho một số nguyên. TRONG trong ví dụ này có thể chia cho 2. Kết quả sẽ là 1 1/5 kg khoai tây. Đảm bảo rằng các số bạn sắp thực hiện phép tính được trình bày dưới cùng một dạng.
Hướng dẫn
Nhấp một lần vào mục menu “Chèn”, sau đó chọn “Biểu tượng”. Đây là một trong những những cách đơn giản chèn phân số vào văn bản. Nó bao gồm những điều sau đây. Bộ ký hiệu làm sẵn bao gồm phân số. Số lượng của chúng, theo quy luật, là nhỏ, nhưng nếu bạn cần viết ½ trong văn bản thay vì 1/2, thì tùy chọn này sẽ tối ưu nhất cho bạn. Ngoài ra, số lượng ký tự phân số có thể phụ thuộc vào phông chữ. Ví dụ: đối với phông chữ Times New Roman, có ít phân số hơn một chút so với cùng một phông chữ Arial. Thay đổi phông chữ để tìm ra lựa chọn tốt nhất khi nói đến biểu thức đơn giản.
Nhấp vào mục menu “Chèn” và chọn mục phụ “Đối tượng”. Một cửa sổ sẽ xuất hiện trước mặt bạn với danh sách các đối tượng có thể chèn. Hãy chọn trong số đó Microsoft Equation 3.0. Ứng dụng này sẽ giúp bạn gõ phân số. Và không chỉ phân số, nhưng cũng phức tạp biểu thức toán học, chứa nhiều loại hàm lượng giác và các yếu tố khác. Nhấp đúp vào đối tượng này bằng nút chuột trái. Một cửa sổ sẽ xuất hiện trước mặt bạn chứa nhiều biểu tượng.
Để in một phân số, hãy chọn ký hiệu biểu thị một phân số có tử số và mẫu số trống. Bấm vào nó một lần bằng nút chuột trái. Một menu bổ sung sẽ xuất hiện, làm rõ sơ đồ. phân số. Có thể có một số lựa chọn. Chọn cái phù hợp với bạn nhất và nhấp vào nó một lần bằng nút chuột trái.