Giả sử Achilles chạy nhanh hơn rùa mười lần và chậm hơn nó một nghìn bước. Trong thời gian Achilles chạy được quãng đường này, con rùa sẽ bò cả trăm bước về cùng một hướng. Khi Achilles chạy được một trăm bước, con rùa bò thêm mười bước nữa, v.v. Quá trình này sẽ tiếp tục đến vô tận, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa.
Lý do này đã trở thành một cú sốc hợp lý cho tất cả các thế hệ tiếp theo. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Họ đều coi lời ngụy biện của Zeno theo cách này hay cách khác. Cú sốc mạnh đến mức " ... các cuộc thảo luận vẫn tiếp tục cho đến ngày nay; cộng đồng khoa học vẫn chưa thể đi đến thống nhất về bản chất của nghịch lý ... phân tích toán học, lý thuyết tập hợp, các phương pháp vật lý và triết học mới đã tham gia vào nghiên cứu vấn đề này ; không ai trong số họ trở thành giải pháp được chấp nhận rộng rãi cho vấn đề..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mọi người đều hiểu rằng họ đang bị lừa, nhưng không ai hiểu hành vi lừa dối đó bao gồm những gì.
Từ quan điểm toán học, Zeno trong aporia của mình đã chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ số lượng sang . Quá trình chuyển đổi này ngụ ý ứng dụng thay vì vĩnh viễn. Theo như tôi hiểu, bộ máy toán học sử dụng các đơn vị đo lường thay đổi vẫn chưa được phát triển hoặc chưa được áp dụng cho aporia của Zeno. Áp dụng logic thông thường sẽ dẫn chúng ta vào bẫy. Chúng ta, do quán tính của tư duy, áp dụng các đơn vị thời gian không đổi cho giá trị nghịch đảo. Từ quan điểm vật lý, điều này trông giống như thời gian chậm lại cho đến khi nó dừng lại hoàn toàn vào thời điểm Achilles đuổi kịp con rùa. Nếu thời gian dừng lại, Achilles không thể chạy nhanh hơn rùa được nữa.
Nếu chúng ta xoay chuyển logic thông thường của mình, mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Achilles chạy với tốc độ không đổi. Mỗi đoạn tiếp theo trên con đường của anh ta ngắn hơn đoạn trước mười lần. Theo đó, thời gian dành cho việc khắc phục nó ít hơn mười lần so với trước đây. Nếu chúng ta áp dụng khái niệm “vô cực” trong tình huống này thì sẽ đúng khi nói “Achilles sẽ đuổi kịp con rùa vô cùng nhanh chóng”.
Làm thế nào để tránh cái bẫy logic này? Giữ nguyên đơn vị thời gian không đổi và không chuyển sang đơn vị nghịch đảo. Trong ngôn ngữ của Zeno nó trông như thế này:
Trong thời gian Achilles chạy được một nghìn bước, con rùa sẽ bò được một trăm bước về cùng một hướng. Trong khoảng thời gian tiếp theo bằng khoảng thời gian đầu tiên, Achilles sẽ chạy thêm một nghìn bước nữa và con rùa sẽ bò được một trăm bước. Bây giờ Achilles đã đi trước con rùa tám trăm bước.
Cách tiếp cận này mô tả đầy đủ thực tế mà không có bất kỳ nghịch lý logic nào. Nhưng đây không phải là một giải pháp hoàn chỉnh cho vấn đề. Tuyên bố của Einstein về tính không thể cưỡng lại được của tốc độ ánh sáng rất giống với câu nói “Achilles and the Tortoise” của Zeno. Chúng ta vẫn phải nghiên cứu, suy nghĩ lại và giải quyết vấn đề này. Và giải pháp phải được tìm kiếm không phải bằng những con số vô cùng lớn mà bằng những đơn vị đo lường.
Một câu kinh thú vị khác của Zeno kể về một mũi tên bay:
Một mũi tên bay là bất động, vì nó đứng yên tại mọi thời điểm, và vì nó đứng yên trong mọi thời điểm nên nó luôn ở trạng thái nghỉ.
Trong aporia này, nghịch lý logic được khắc phục rất đơn giản - chỉ cần làm rõ rằng tại mỗi thời điểm, một mũi tên bay đang đứng yên tại các điểm khác nhau trong không gian, trên thực tế, là chuyển động. Một điểm khác cần được lưu ý ở đây. Từ một bức ảnh chụp một chiếc ô tô trên đường, không thể xác định được thực tế chuyển động của nó cũng như khoảng cách đến nó. Để xác định xem một chiếc ô tô có đang chuyển động hay không, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ cùng một điểm ở những thời điểm khác nhau, nhưng bạn không thể xác định được khoảng cách từ chúng. Để xác định khoảng cách đến một ô tô, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ các điểm khác nhau trong không gian tại một thời điểm, nhưng từ chúng, bạn không thể xác định được thực tế chuyển động (tất nhiên, bạn vẫn cần thêm dữ liệu để tính toán, lượng giác sẽ giúp bạn ). Điều tôi muốn đặc biệt chú ý là hai điểm trong thời gian và hai điểm trong không gian là những thứ khác nhau không nên nhầm lẫn vì chúng mang lại những cơ hội nghiên cứu khác nhau.
Thứ tư, ngày 4 tháng 7 năm 2018
Sự khác biệt giữa bộ và nhiều bộ được mô tả rất rõ trên Wikipedia. Hãy xem.
Như bạn có thể thấy, “không thể có hai phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp”, nhưng nếu có các phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp thì tập hợp đó được gọi là “multiset”. Những sinh vật có lý trí sẽ không bao giờ hiểu được logic phi lý như vậy. Đây là trình độ của những con vẹt biết nói và những con khỉ được huấn luyện, không có trí thông minh từ từ “hoàn toàn”. Các nhà toán học hành động như những người huấn luyện bình thường, thuyết giảng cho chúng ta những ý tưởng ngớ ngẩn của họ.
Ngày xửa ngày xưa, những người kỹ sư xây dựng cây cầu đang ở trên một chiếc thuyền dưới cầu để thử nghiệm cây cầu. Nếu cây cầu sập, người kỹ sư tầm thường sẽ chết dưới đống đổ nát do mình tạo ra. Nếu cây cầu có thể chịu được tải trọng thì người kỹ sư tài năng đã xây dựng những cây cầu khác.
Cho dù các nhà toán học có ẩn náu đằng sau cụm từ “nhớ tôi, tôi đang ở trong nhà” hay đúng hơn là “toán học nghiên cứu các khái niệm trừu tượng” thì vẫn có một sợi dây rốn kết nối chúng với thực tế một cách chặt chẽ. Dây rốn này là tiền. Chúng ta hãy áp dụng lý thuyết tập hợp toán học cho chính các nhà toán học.
Chúng tôi học toán rất giỏi và bây giờ chúng tôi đang ngồi ở quầy tính tiền, phát lương. Vì vậy, một nhà toán học đến với chúng tôi vì tiền của anh ta. Chúng tôi đếm toàn bộ số tiền cho anh ta và đặt nó lên bàn thành nhiều chồng khác nhau, trong đó chúng tôi đặt những tờ tiền có cùng mệnh giá. Sau đó, chúng tôi lấy một tờ tiền từ mỗi chồng tiền và đưa cho nhà toán học “bảng lương toán học” của anh ta. Hãy để chúng tôi giải thích cho nhà toán học rằng anh ta sẽ chỉ nhận được số tiền còn lại khi anh ta chứng minh được rằng một tập hợp không có các phần tử giống nhau thì không bằng một tập hợp có các phần tử giống hệt nhau. Đây là nơi niềm vui bắt đầu.
Trước hết, logic của các cấp phó sẽ phát huy tác dụng: “Điều này có thể áp dụng cho người khác, nhưng với tôi thì không!” Sau đó, họ sẽ bắt đầu trấn an chúng ta rằng các tờ tiền cùng mệnh giá có số tờ tiền khác nhau, nghĩa là chúng không thể được coi là những thành phần giống nhau. Được rồi, hãy đếm tiền lương bằng tiền xu - không có con số nào trên đồng tiền cả. Ở đây, nhà toán học sẽ bắt đầu nhớ lại vật lý một cách điên cuồng: các đồng xu khác nhau có lượng bụi bẩn khác nhau, cấu trúc tinh thể và cách sắp xếp các nguyên tử là duy nhất đối với mỗi đồng xu...
Và bây giờ tôi có câu hỏi thú vị nhất: đâu là ranh giới mà các phần tử của nhiều tập hợp biến thành các phần tử của tập hợp và ngược lại? Đường lối như vậy không tồn tại - mọi thứ đều do các pháp sư quyết định, khoa học thậm chí còn chưa thể nằm ở đây.
Nhìn đây. Chúng tôi chọn những sân bóng có cùng diện tích sân. Diện tích của các trường giống nhau - có nghĩa là chúng ta có nhiều trường. Nhưng nếu nhìn vào tên của những sân vận động này, chúng ta sẽ thấy rất nhiều vì tên khác nhau. Như bạn có thể thấy, cùng một tập hợp các phần tử vừa là tập hợp vừa là tập hợp nhiều tập hợp. Cái nào đúng? Và ở đây, nhà toán học-pháp sư-người sắc bén rút ra một con át chủ bài từ tay áo của mình và bắt đầu cho chúng ta biết về một bộ hoặc một bộ nhiều. Trong mọi trường hợp, anh ấy sẽ thuyết phục chúng tôi rằng anh ấy đúng.
Để hiểu cách các pháp sư hiện đại vận hành lý thuyết tập hợp, gắn nó với thực tế, chỉ cần trả lời một câu hỏi: các phần tử của một tập hợp này khác với các phần tử của tập hợp khác như thế nào? Tôi sẽ chỉ cho bạn thấy, không có "có thể tưởng tượng được như không phải một tổng thể" hay "không thể tưởng tượng được như một tổng thể duy nhất".
Chủ nhật, ngày 18 tháng 3 năm 2018
Tổng các chữ số của một số là một điệu nhảy của các pháp sư với một chiếc tambourine, không liên quan gì đến toán học. Đúng, trong các bài học toán, chúng ta được dạy cách tìm tổng các chữ số của một số và sử dụng nó, nhưng đó là lý do tại sao họ là pháp sư, để dạy cho con cháu những kỹ năng và trí tuệ của họ, nếu không thì pháp sư sẽ chết.
Bạn có cần bằng chứng không? Mở Wikipedia và thử tìm trang "Tổng các chữ số của một số". Cô ấy không tồn tại. Không có công thức toán học nào có thể được sử dụng để tìm tổng các chữ số của bất kỳ số nào. Xét cho cùng, các con số là các ký hiệu đồ họa mà chúng ta dùng để viết các con số và trong ngôn ngữ toán học, nhiệm vụ này có vẻ như sau: “Tìm tổng các ký hiệu đồ họa đại diện cho bất kỳ số nào”. Các nhà toán học không thể giải được bài toán này nhưng các pháp sư lại có thể làm được một cách dễ dàng.
Chúng ta hãy tìm hiểu xem chúng ta làm gì và làm như thế nào để tìm tổng các chữ số của một số cho trước. Và vì vậy, chúng ta có số 12345. Để tìm tổng các chữ số của số này cần phải làm gì? Hãy xem xét tất cả các bước theo thứ tự.
1. Viết số đó lên một tờ giấy. Chúng ta đã làm gì? Chúng tôi đã chuyển đổi số thành ký hiệu số đồ họa. Đây không phải là một hoạt động toán học.
2. Chúng tôi cắt một hình ảnh thu được thành nhiều hình ảnh chứa các số riêng lẻ. Cắt một bức tranh không phải là một phép toán.
3. Chuyển đổi các ký hiệu đồ họa riêng lẻ thành số. Đây không phải là một hoạt động toán học.
4. Cộng các số có kết quả. Bây giờ đây là toán học.
Tổng các chữ số của số 12345 là 15. Đây là những “khóa học cắt may” do các pháp sư dạy mà các nhà toán học sử dụng. Nhưng đó không phải là tất cả.
Từ quan điểm toán học, việc chúng ta viết số theo hệ thống số nào không quan trọng. Vì vậy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số sẽ khác nhau. Trong toán học, hệ thống số được biểu thị dưới dạng chỉ số dưới bên phải của số. Với con số lớn 12345, tôi không muốn đánh lừa mình nữa, hãy xem xét con số 26 trong bài viết về. Hãy viết số này trong hệ thống số nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân. Chúng tôi sẽ không xem xét từng bước dưới kính hiển vi; chúng tôi đã làm điều đó rồi. Hãy nhìn vào kết quả.
Như bạn có thể thấy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số là khác nhau. Kết quả này không liên quan gì đến toán học. Tương tự như khi bạn xác định diện tích hình chữ nhật theo mét và cm, bạn sẽ nhận được kết quả hoàn toàn khác.
Số 0 trông giống nhau trong mọi hệ thống số và không có tổng các chữ số. Đây là một lập luận khác ủng hộ thực tế đó. Câu hỏi dành cho các nhà toán học: làm thế nào mà một thứ không phải là một con số được chỉ định trong toán học? Cái gì, đối với các nhà toán học thì không có gì tồn tại ngoại trừ những con số? Tôi có thể cho phép điều này xảy ra với các pháp sư, nhưng với các nhà khoa học thì không. Thực tế không chỉ có những con số.
Kết quả thu được phải được coi là bằng chứng cho thấy hệ thống số là đơn vị đo lường của số. Suy cho cùng, chúng ta không thể so sánh các con số với các đơn vị đo lường khác nhau. Nếu cùng một hành động với các đơn vị đo khác nhau của cùng một đại lượng dẫn đến kết quả khác nhau sau khi so sánh chúng, thì điều này không liên quan gì đến toán học.
Toán học thực sự là gì? Đây là khi kết quả của một phép toán không phụ thuộc vào kích thước của số, đơn vị đo được sử dụng và người thực hiện hành động này.
Ồ! Đây không phải là nhà vệ sinh nữ sao?
- Cô gái trẻ! Đây là phòng thí nghiệm để nghiên cứu sự thánh thiện vô song của các linh hồn trong quá trình họ thăng thiên! Halo trên đầu và mũi tên lên. WC gì nữa?
Nữ... Quầng sáng trên và mũi tên xuống là nam.
Nếu một tác phẩm nghệ thuật thiết kế như vậy hiện lên trước mắt bạn nhiều lần trong ngày,
Vậy thì không có gì đáng ngạc nhiên khi bạn bất ngờ tìm thấy một biểu tượng lạ trên ô tô của mình:
Cá nhân tôi cố gắng nhìn ra âm bốn độ ở một người đang đi ị (một bức ảnh) (sự kết hợp của một số bức ảnh: dấu trừ, số bốn, ký hiệu độ). Và tôi không nghĩ cô gái này là một kẻ ngốc không biết vật lý. Cô ấy chỉ có khuôn mẫu mạnh mẽ về cảm nhận hình ảnh đồ họa. Và các nhà toán học luôn dạy chúng ta điều này. Đây là một ví dụ.
1A không phải là “âm bốn độ” hay “một a”. Đây là "người đàn ông đi ị" hoặc số "hai mươi sáu" theo ký hiệu thập lục phân. Những người thường xuyên làm việc trong hệ thống số này sẽ tự động nhận biết một con số và một chữ cái dưới dạng một ký hiệu đồ họa.
Nếu bạn đã quen thuộc với vòng tròn lượng giác , và bạn chỉ muốn làm mới trí nhớ của mình về những yếu tố nào đó, hoặc bạn hoàn toàn thiếu kiên nhẫn, thì đây:
Ở đây chúng tôi sẽ phân tích mọi thứ một cách chi tiết từng bước.
Vòng tròn lượng giác không phải là điều xa xỉ mà là điều cần thiết
lượng giác
Nhiều người liên tưởng nó với một bụi cây không thể xuyên thủng. Đột nhiên, rất nhiều giá trị của hàm lượng giác, rất nhiều công thức chồng chất lên nhau... Nhưng giống như, ngay từ đầu nó đã không diễn ra, và... chúng ta đi... hoàn toàn hiểu lầm...
Điều rất quan trọng là không bỏ cuộc giá trị của hàm lượng giác, - họ nói, bạn luôn có thể xem điểm thúc đẩy bằng một bảng giá trị.
Nếu bạn thường xuyên nhìn vào một bảng có các giá trị của các công thức lượng giác thì hãy bỏ thói quen này nhé!
Anh ấy sẽ giúp chúng ta! Bạn sẽ làm việc với nó nhiều lần và sau đó nó sẽ hiện lên trong đầu bạn. Nó tốt hơn một cái bàn như thế nào? Có, trong bảng, bạn sẽ tìm thấy một số giá trị giới hạn, nhưng trên vòng tròn - MỌI THỨ!
Ví dụ, nói trong khi nhìn vào bảng giá trị chuẩn của các công thức lượng giác , sin bằng bao nhiêu, chẳng hạn như 300 độ hoặc -45.
Không thể nào?... tất nhiên là bạn có thể kết nối công thức khử... Và nhìn vào vòng tròn lượng giác, bạn có thể dễ dàng trả lời những câu hỏi như vậy. Và bạn sẽ sớm biết làm thế nào!
Và khi giải các phương trình lượng giác và bất phương trình mà không dùng đường tròn lượng giác thì hoàn toàn chẳng có tác dụng gì cả.
Giới thiệu về đường tròn lượng giác
Hãy đi theo thứ tự.
Đầu tiên chúng ta hãy viết dãy số này:
Và bây giờ là thế này:
Và cuối cùng là thế này:
Tất nhiên, rõ ràng rằng, trên thực tế, vị trí thứ nhất là , vị trí thứ hai là , và vị trí cuối cùng là . Tức là chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn đến chuỗi.
Nhưng hóa ra nó đẹp làm sao! Nếu có chuyện gì xảy ra, chúng tôi sẽ khôi phục lại “chiếc thang thần kỳ” này.
Và tại sao chúng ta cần nó?
Chuỗi này là giá trị chính của sin và cosin trong quý đầu tiên.
Chúng ta hãy vẽ một đường tròn có bán kính đơn vị trong một hệ tọa độ hình chữ nhật (nghĩa là chúng ta lấy chiều dài bất kỳ bán kính nào và khai báo chiều dài của nó là đơn vị).
Từ chùm tia “0-Bắt đầu”, chúng ta đặt các góc xuống theo hướng mũi tên (xem hình).
Chúng ta nhận được số điểm tương ứng trên vòng tròn. Vì vậy, nếu chúng ta chiếu các điểm lên từng trục thì chúng ta sẽ nhận được chính xác các giá trị từ chuỗi trên.
Tại sao điều này, bạn hỏi?
Chúng ta đừng phân tích mọi thứ. Hãy xem xét nguyên tắc, điều này sẽ cho phép bạn đối phó với các tình huống tương tự khác.
Tam giác AOB là hình chữ nhật và chứa . Và chúng ta biết rằng đối diện với góc b có một cạnh có kích thước bằng một nửa cạnh huyền (chúng ta có cạnh huyền = bán kính của hình tròn, tức là 1).
Điều này có nghĩa là AB= (và do đó OM=). Và theo định lý Pythagore
Tôi hy vọng điều gì đó đã trở nên rõ ràng?
Vậy điểm B sẽ tương ứng với giá trị và điểm M sẽ tương ứng với giá trị
Tương tự với các giá trị khác của quý đầu tiên.
Theo bạn hiểu thì trục quen thuộc (con trâu) sẽ là trục cosin, và trục (oy) – trục sin . Sau đó.
Tất nhiên, ở bên trái số 0 dọc theo trục cosin (dưới 0 dọc theo trục sin), tất nhiên sẽ có các giá trị âm.
Vì vậy, đây rồi, Đấng Toàn Năng, không có Ngài thì không có nơi nào trong lượng giác.
Nhưng chúng ta sẽ nói về cách sử dụng vòng tròn lượng giác.
Lượng giác, như một môn khoa học, có nguồn gốc từ phương Đông cổ đại. Các tỷ lệ lượng giác đầu tiên được các nhà thiên văn học rút ra để tạo ra lịch và hướng chính xác của các ngôi sao. Những phép tính này liên quan đến lượng giác hình cầu, trong khi ở trường họ nghiên cứu tỷ lệ các cạnh và các góc của một tam giác phẳng.
Lượng giác là một nhánh của toán học liên quan đến các tính chất của hàm lượng giác và mối quan hệ giữa các cạnh và các góc của hình tam giác.
Trong thời kỳ hoàng kim của văn hóa và khoa học vào thiên niên kỷ thứ 1 sau Công nguyên, kiến thức đã lan truyền từ Phương Đông cổ đại đến Hy Lạp. Nhưng những khám phá chính về lượng giác là công lao của những người đàn ông ở Caliphate Ả Rập. Đặc biệt, nhà khoa học người Turkmen al-Marazwi đã giới thiệu các hàm như tiếp tuyến và cotang, đồng thời biên soạn các bảng giá trị đầu tiên cho sin, tiếp tuyến và cotang. Các khái niệm về sin và cos được các nhà khoa học Ấn Độ đưa ra. Lượng giác nhận được rất nhiều sự chú ý trong các tác phẩm của những nhân vật vĩ đại thời cổ đại như Euclid, Archimedes và Eratosthenes.
Các đại lượng lượng giác cơ bản
Các hàm lượng giác cơ bản của một đối số số là sin, cos, tiếp tuyến và cotang. Mỗi người trong số họ có đồ thị riêng: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.
Công thức tính giá trị của các đại lượng này dựa trên định lý Pythagore. Học sinh biết đến nó nhiều hơn trong công thức: “Quần Pythagore, bằng nhau về mọi hướng”, vì bằng chứng được đưa ra bằng ví dụ về tam giác vuông cân.
Sin, cosin và các mối quan hệ khác thiết lập mối quan hệ giữa các góc nhọn và các cạnh của bất kỳ tam giác vuông nào. Chúng ta hãy đưa ra các công thức tính các đại lượng này cho góc A và vạch ra mối quan hệ giữa các hàm lượng giác:
Như bạn có thể thấy, tg và ctg là các hàm nghịch đảo. Nếu chúng ta tưởng tượng chân a là tích của sin A và cạnh huyền c, và chân b là cos A * c, chúng ta thu được các công thức sau đây cho tiếp tuyến và cotang:
vòng tròn lượng giác
Về mặt đồ họa, mối quan hệ giữa các đại lượng được đề cập có thể được biểu diễn như sau:
Trong trường hợp này, vòng tròn biểu thị tất cả các giá trị có thể có của góc α - từ 0° đến 360°. Như có thể thấy trong hình, mỗi hàm nhận giá trị âm hoặc dương tùy theo góc. Ví dụ, sin α sẽ có dấu “+” nếu α thuộc phần tư thứ nhất và thứ hai của đường tròn, nghĩa là nó nằm trong khoảng từ 0° đến 180°. Đối với α từ 180° đến 360° (phần tư III và IV), sin α chỉ có thể là giá trị âm.
Chúng ta hãy thử xây dựng bảng lượng giác cho các góc cụ thể và tìm hiểu ý nghĩa của các đại lượng.
Các giá trị của α bằng 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, v.v. được gọi là trường hợp đặc biệt. Các giá trị của hàm lượng giác đối với chúng được tính toán và trình bày dưới dạng bảng đặc biệt.
Những góc này không được chọn ngẫu nhiên. Ký hiệu π trong các bảng là dành cho radian. Rad là góc tại đó chiều dài cung tròn tương ứng với bán kính của nó. Giá trị này được đưa ra nhằm thiết lập một sự phụ thuộc phổ quát; khi tính bằng radian, chiều dài thực tế của bán kính tính bằng cm không quan trọng.
Các góc trong bảng cho hàm lượng giác tương ứng với giá trị radian:
Vì vậy, không khó để đoán rằng 2π là một đường tròn hoàn chỉnh hay 360°.
Tính chất của hàm lượng giác: sin và cosin
Để xét và so sánh các tính chất cơ bản của sin và cosin, tiếp tuyến và cotang cần phải vẽ hàm số của chúng. Điều này có thể được thực hiện dưới dạng một đường cong nằm trong hệ tọa độ hai chiều.
Hãy xem xét bảng so sánh các tính chất của sin và cosin:
| Sóng hình sin | Cô sin |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, với x = πk, trong đó k ϵ Z | cos x = 0, với x = π/2 + πk, trong đó k ϵ Z |
| sin x = 1, với x = π/2 + 2πk, trong đó k ϵ Z | cos x = 1, tại x = 2πk, trong đó k ϵ Z |
| sin x = - 1, tại x = 3π/2 + 2πk, trong đó k ϵ Z | cos x = - 1, với x = π + 2πk, trong đó k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, tức là hàm số lẻ | cos (-x) = cos x, tức là hàm số chẵn |
| hàm số tuần hoàn, chu kỳ nhỏ nhất là 2π | |
| sin x > 0, với x thuộc phần tư 1 và 2 hoặc từ 0° đến 180° (2πk, π + 2πk) | cos x > 0, với x thuộc phần tư I và IV hoặc từ 270° đến 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, với x thuộc phần tư thứ ba và thứ tư hoặc từ 180° đến 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, với x thuộc phần tư thứ 2 và thứ 3 hoặc từ 90° đến 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| tăng trong khoảng [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | tăng trong khoảng [-π + 2πk, 2πk] |
| giảm theo các khoảng [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | giảm dần theo khoảng thời gian |
| đạo hàm (sin x)' = cos x | đạo hàm (cos x)’ = - sin x |
Việc xác định một hàm số chẵn hay không rất đơn giản. Chỉ cần tưởng tượng một vòng tròn lượng giác với các dấu của các đại lượng lượng giác và “gấp” đồ thị so với trục OX là đủ. Nếu các dấu trùng nhau thì hàm số chẵn, ngược lại hàm số lẻ.
Việc giới thiệu radian và liệt kê các tính chất cơ bản của sóng hình sin và sóng cos cho phép chúng ta trình bày mô hình sau:
Rất dễ dàng để xác minh rằng công thức là chính xác. Ví dụ: với x = π/2, sin là 1, cũng như cosin của x = 0. Việc kiểm tra có thể được thực hiện bằng cách tham khảo bảng hoặc bằng cách vẽ đường cong hàm số cho các giá trị đã cho.
Tính chất của tangentsoid và cotangentsoid
Đồ thị của hàm tiếp tuyến và hàm côtang khác biệt đáng kể so với hàm sin và cosin. Các giá trị tg và ctg là nghịch đảo của nhau.
- Y = tan x.
- Tiếp tuyến hướng tới các giá trị của y tại x = π/2 + πk, nhưng không bao giờ đạt đến chúng.
- Chu kỳ dương nhỏ nhất của tiếp tuyến là π.
- Tg (- x) = - tg x, tức là hàm số lẻ.
- Tg x = 0, với x = πk.
- Chức năng ngày càng tăng.
- Tg x › 0, với x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, với x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Đạo hàm (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Hãy xem xét hình ảnh đồ họa của cotangentoid bên dưới trong văn bản.
Tính chất chính của cotangentoid:
- Y = nôi x.
- Không giống như các hàm sin và cosin, trong tiếp tuyến Y có thể nhận các giá trị của tập hợp tất cả các số thực.
- Cotangentoid hướng tới các giá trị của y tại x = πk, nhưng không bao giờ đạt tới chúng.
- Chu kỳ dương nhỏ nhất của cotangentoid là π.
- Ctg (- x) = - ctg x, tức là hàm số lẻ.
- Ctg x = 0, với x = π/2 + πk.
- Chức năng đang giảm dần.
- Ctg x › 0, cho x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, với x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Đạo hàm (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Đúng
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích rất chi tiết định nghĩa của vòng tròn số, tìm ra tính chất chính của nó và sắp xếp các số 1,2,3, v.v. Về cách đánh dấu các số khác trên đường tròn (ví dụ: \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) hiểu .
vòng tròn số gọi là đường tròn bán kính đơn vị có các điểm tương ứng , sắp xếp theo quy luật sau:
1) Gốc tọa độ ở điểm ngoài cùng bên phải của đường tròn;
2) Ngược chiều kim đồng hồ - hướng dương; theo chiều kim đồng hồ - âm;
3) Nếu chúng ta vẽ khoảng cách \(t\) trên đường tròn theo chiều dương thì chúng ta sẽ đến điểm có giá trị \(t\);
4) Nếu chúng ta vẽ khoảng cách \(t\) trên đường tròn theo hướng âm thì chúng ta sẽ đến một điểm có giá trị \(–t\).
Tại sao gọi là hình tròn số?
Bởi vì nó có số trên đó. Theo cách này, đường tròn tương tự như trục số - trên đường tròn, giống như trên trục, có một điểm cụ thể cho mỗi số.
Tại sao biết vòng tròn số là gì?
Sử dụng vòng tròn số, các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định. Vì vậy, để biết lượng giác và vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 60 điểm trở lên, bạn phải hiểu vòng tròn số là gì và cách đặt dấu chấm trên đó.
Những từ "...của bán kính đơn vị..." có nghĩa là gì trong định nghĩa?
Điều này có nghĩa là bán kính của hình tròn này bằng \(1\). Và nếu chúng ta dựng một đường tròn như vậy với tâm là gốc tọa độ thì nó sẽ cắt các trục tại các điểm \(1\) và \(-1\).
Không nhất thiết phải vẽ nhỏ; bạn có thể thay đổi “kích thước” của các đường chia dọc theo trục, khi đó hình ảnh sẽ lớn hơn (xem bên dưới).
Tại sao bán kính chính xác là một? Điều này thuận tiện hơn, vì trong trường hợp này, khi tính chu vi bằng công thức \(l=2πR\), chúng ta nhận được:
Độ dài của vòng tròn số là \(2π\) hoặc xấp xỉ \(6,28\).
“…các điểm tương ứng với số thực” nghĩa là gì?
Như chúng tôi đã nói ở trên, trên vòng tròn số của bất kỳ số thực nào chắc chắn sẽ có “vị trí” của nó - một điểm tương ứng với số này.
Tại sao phải xác định gốc và hướng trên vòng tròn số?
Mục đích chính của vòng tròn số là xác định duy nhất điểm của nó cho mỗi số. Nhưng làm thế nào bạn có thể xác định được vị trí đặt điểm nếu bạn không biết phải đếm từ đâu và di chuyển đến đâu?
Ở đây điều quan trọng là không nhầm lẫn gốc tọa độ và trên vòng tròn số - đây là hai hệ quy chiếu khác nhau! Và cũng đừng nhầm lẫn \(1\) trên trục \(x\) và \(0\) trên đường tròn - đây là những điểm trên các đối tượng khác nhau.
Những điểm nào tương ứng với các số \(1\), \(2\), v.v.?
Hãy nhớ rằng chúng ta đã giả định rằng vòng tròn số có bán kính \(1\)? Đây sẽ là phân đoạn đơn vị của chúng ta (bằng cách tương tự với trục số), mà chúng ta sẽ vẽ trên đường tròn.
Để đánh dấu một điểm trên vòng tròn số tương ứng với số 1, bạn cần đi từ 0 đến một khoảng bằng bán kính theo hướng dương.
Để đánh dấu một điểm trên đường tròn tương ứng với số \(2\), bạn cần di chuyển một khoảng cách bằng hai bán kính tính từ gốc tọa độ, sao cho \(3\) là khoảng cách bằng ba bán kính, v.v.
Khi nhìn vào bức ảnh này, có thể bạn sẽ có 2 câu hỏi:
1. Điều gì xảy ra khi vòng tròn “kết thúc” (tức là chúng ta thực hiện một vòng quay hoàn toàn)?
Trả lời: chúng ta hãy đi đến vòng thứ hai! Và khi phần thứ hai kết thúc, chúng ta sẽ chuyển sang phần thứ ba, v.v. Do đó, có thể vẽ vô số số trên một vòng tròn.
2. Số âm sẽ ở đâu?
Trả lời: ngay đó! Chúng cũng có thể được sắp xếp, đếm từ 0 số bán kính cần thiết, nhưng bây giờ theo hướng âm.
Thật không may, rất khó để biểu thị số nguyên trên vòng tròn số. Điều này là do độ dài của vòng tròn số sẽ không bằng một số nguyên: \(2π\). Và ở những vị trí thuận tiện nhất (tại các điểm giao nhau với các trục) cũng sẽ có phân số chứ không phải số nguyên