) và mẫu số theo mẫu số (ta lấy mẫu số của tích).
Công thức nhân phân số:
Ví dụ:
Trước khi bắt đầu nhân tử số và mẫu số, bạn cần kiểm tra xem phân số có thể rút gọn hay không. Nếu bạn có thể giảm phân số thì bạn sẽ dễ dàng thực hiện các phép tính tiếp theo hơn.
Chia một phân số chung cho một phân số.
Chia các phân số có số tự nhiên.
Nó không đáng sợ như nó có vẻ. Như trong trường hợp cộng, chúng ta chuyển số nguyên thành phân số có mẫu số là 1. Ví dụ:
Nhân các phân số hỗn hợp.
Quy tắc nhân phân số (hỗn hợp):
- chuyển đổi các phân số hỗn hợp thành các phân số không chính xác;
- nhân tử số và mẫu số của phân số;
- giảm phân số;
- Nếu bạn nhận được một phân số không chính xác, thì chúng tôi chuyển phân số không chính xác thành một phân số hỗn hợp.
Hãy chú ý!Để nhân một phân số hỗn hợp với một phân số hỗn hợp khác, trước tiên bạn cần chuyển chúng sang dạng phân số không chính xác, sau đó nhân theo quy tắc nhân. phân số thông thường.
Cách thứ hai để nhân một phân số với một số tự nhiên.
Có thể thuận tiện hơn khi sử dụng phương pháp thứ hai để nhân một phân số chung với một số.
Hãy chú ý!Để nhân một phân số với số tự nhiên Cần phải chia mẫu số của phân số cho số này và giữ nguyên tử số.
Từ ví dụ trên, rõ ràng tùy chọn này sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng mẫu số của một phân số được chia không có phần dư cho một số tự nhiên.
Phân số nhiều tầng.
Ở trường trung học, người ta thường gặp phân số ba tầng (hoặc nhiều hơn). Ví dụ:
Để đưa một phân số về dạng thông thường, hãy dùng phép chia cho 2 điểm:
Hãy chú ý! Khi chia phân số, thứ tự chia rất quan trọng. Hãy cẩn thận, ở đây rất dễ bị nhầm lẫn.
Xin lưu ý Ví dụ:
Khi chia một cho bất kỳ phân số nào, kết quả sẽ là phân số tương tự, chỉ đảo ngược:
Lời khuyên thực tế để nhân và chia phân số:
1. Điều quan trọng nhất khi làm việc với biểu thức phân số là tính chính xác và sự chú ý. Thực hiện mọi phép tính một cách cẩn thận và chính xác, tập trung và rõ ràng. Sẽ tốt hơn nếu bạn viết thêm vài dòng trong bản nháp còn hơn là chìm đắm trong những tính toán trong đầu.
2. Trong các bài tập có các loại phân số khác nhau, hãy chuyển sang loại phân số thông thường.
3. Chúng tôi giảm tất cả các phân số cho đến khi không thể giảm được nữa.
4. Nhiều tầng biểu thức phân số chúng ta đưa chúng về dạng thông thường, sử dụng phép chia cho 2 điểm.
5. Hãy nhẩm trong đầu một đơn vị cho một phân số, chỉ cần lật lại phân số đó.
Các phân số thông thường lần đầu tiên gặp học sinh lớp 5 và đồng hành cùng các em trong suốt cuộc đời, vì trong cuộc sống hàng ngày, người ta thường xem xét hoặc sử dụng một đồ vật không phải là một tổng thể mà là từng phần riêng biệt. Bắt đầu nghiên cứu chủ đề này - chia sẻ. Cổ phần là những phần bằng nhau, trong đó đối tượng này hoặc đối tượng đó được chia. Rốt cuộc, không phải lúc nào cũng có thể biểu thị, chẳng hạn như độ dài hoặc giá của một sản phẩm dưới dạng một số nguyên; Được hình thành từ động từ "chia" - để chia thành nhiều phần và có nguồn gốc từ tiếng Ả Rập, từ "phân số" tự nó xuất hiện trong tiếng Nga vào thế kỷ thứ 8.
Biểu thức phân số trong một thời gian dàiđược coi là nhánh khó nhất của toán học. Vào thế kỷ 17, khi những cuốn sách giáo khoa toán học đầu tiên xuất hiện, chúng được gọi là “số hỏng”, điều này rất khó hiểu đối với mọi người.
Cái nhìn hiện đại phần dư phân số đơn giản, các phần của chúng được phân tách chính xác đường ngang, lần đầu tiên đóng góp cho Fibonacci - Leonardo của Pisa. Tác phẩm của ông có niên đại từ năm 1202. Nhưng mục đích của bài viết này là giải thích đơn giản và rõ ràng cho người đọc cách nhân các phân số hỗn hợp với mẫu số khác nhau.
Nhân các phân số có mẫu số khác nhau
Ban đầu cần xác định các loại phân số:
- Chính xác;
- không đúng;
- hỗn hợp.
Tiếp theo, bạn cần nhớ cách nhân các phân số với cùng mẫu số. Quy tắc của quá trình này không khó để xây dựng một cách độc lập: kết quả của phép nhân các phân số đơn giản có cùng mẫu số là một biểu thức phân số, tử số của nó là tích của các tử số và mẫu số là tích của các mẫu số của các phân số này . Tức là, về bản chất, mẫu số mới có một hình vuông của một trong những cái hiện có ban đầu.
Khi nhân các phân số đơn giản có mẫu số khác nhauđối với hai hoặc nhiều yếu tố, quy tắc không thay đổi:
Một/b * c/d = a*c / b*d.
Sự khác biệt duy nhất đó là số hình thành dưới dòng phân số sẽ là tích của các số khác nhau và tất nhiên là bình phương của một biểu thức số không thể gọi tên nó được.
Điều đáng xem xét là nhân các phân số có mẫu số khác nhau bằng các ví dụ:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Các ví dụ sử dụng các phương pháp để rút gọn các biểu thức phân số. Bạn chỉ có thể rút gọn các số tử số có mẫu số cạnh nhau số nhân giá trị Bạn không thể viết tắt trên hoặc dưới dòng phân số.
Cùng với sự đơn giản số phân số, có khái niệm hỗn số. Một số hỗn hợp bao gồm một số nguyên và một phần phân số, nghĩa là nó là tổng của các số này:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Phép nhân hoạt động như thế nào?
Một số ví dụ được cung cấp để xem xét.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Ví dụ sử dụng phép nhân một số với phần phân số thông thường, quy tắc cho hành động này có thể được viết là:
Một* b/c = a*b /c.
Trên thực tế, tích như vậy là tổng của các phần dư phân số giống hệt nhau và số số hạng biểu thị số tự nhiên này. Trường hợp đặc biệt:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Có một giải pháp khác để nhân một số với phần dư phân số. Bạn chỉ cần chia mẫu số cho số này:
d* đ/f = đ/f: d.
Kỹ thuật này rất hữu ích khi sử dụng mẫu số cho một số tự nhiên không có phần dư hoặc như người ta nói, chia cho một số nguyên.
Chuyển đổi các số hỗn hợp thành các phân số không chính xác và thu được sản phẩm theo cách được mô tả trước đó:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ví dụ này liên quan đến phương pháp trình bày phần hỗn hợp không chính xác, nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng công thức tổng quát:
Một bc = a*b+ c/c, mẫu số ở đâu phân số mớiđược hình thành bằng cách nhân phần nguyên với mẫu số rồi cộng với tử số của phần dư ban đầu và mẫu số giữ nguyên.
Quá trình này cũng hoạt động trong mặt trái. Để tách phần nguyên và phần dư phân số ta cần chia tử số phân số không chính xácđến mẫu số của nó bằng một “góc”.
Nhân các phân số không đúngđược sản xuất theo cách được chấp nhận rộng rãi. Khi viết dưới một dòng phân số, bạn cần giảm phân số nếu cần thiết để giảm số lượng bằng phương pháp này và giúp tính kết quả dễ dàng hơn.
Có rất nhiều người trợ giúp trên Internet để giải quyết những vấn đề thậm chí phức tạp. bài toán trong các biến thể chương trình khác nhau. Có đủ số lượng các dịch vụ như vậy hỗ trợ việc đếm các phân số với số khác nhau về mẫu số - cái gọi là máy tính trực tuyến để tính phân số. Chúng không chỉ có khả năng nhân lên mà còn có thể tạo ra tất cả những thứ đơn giản nhất khác. các phép tính số học với phân số thường và hỗn số. Thật dễ dàng để làm việc; bạn điền vào các trường thích hợp trên trang của trang web và chọn dấu hiệu phép toán và nhấp vào "tính toán". Chương trình sẽ tự động tính toán.
Chủ đề về phép tính số học với phân số có ý nghĩa xuyên suốt quá trình giáo dục của học sinh THCS và THPT. Ở trường trung học, họ không còn coi những loài đơn giản nhất nữa mà biểu thức phân số nguyên, nhưng kiến thức về các quy tắc chuyển đổi và tính toán thu được trước đó sẽ được áp dụng ở dạng ban đầu. Học giỏi kiến thức cơ bản trao niềm tin hoàn toàn vào quyết định thành công hầu hết nhiệm vụ phức tạp.
Tóm lại, thật hợp lý khi trích dẫn câu nói của Lev Nikolaevich Tolstoy, người đã viết: “Con người là một phần nhỏ. Một người không có khả năng tăng tử số - giá trị của mình - nhưng bất kỳ ai cũng có thể giảm mẫu số - ý kiến của anh ta về bản thân, và với sự giảm này sẽ tiến gần hơn đến sự hoàn hảo của anh ta.
Bạn có thể làm mọi thứ với phân số, kể cả phép chia. Bài viết này cho thấy sự phân chia các phân số thông thường. Các định nghĩa sẽ được đưa ra và các ví dụ sẽ được thảo luận. Chúng ta hãy đi sâu vào cách chia phân số cho số tự nhiên và ngược lại. Chia một phân số chung cho một hỗn số sẽ được thảo luận.
Chia phân số
Phép chia là nghịch đảo của phép nhân. Khi chia số nhân chưa biết nằm ở tác phẩm nổi tiếng và một yếu tố khác, nơi nó được lưu trữ ý nghĩa nhất định với phân số thông thường.
Nếu cần chia một phân số chung a b cho c d, thì để xác định số đó bạn cần nhân với ước số c d, điều này cuối cùng sẽ cho kết quả là a b. Hãy lấy một số và viết nó a b · d c , trong đó d c là nghịch đảo của số cd d. Đẳng thức có thể được viết bằng cách sử dụng các tính chất của phép nhân, cụ thể là: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, trong đó biểu thức a b · d c là thương của phép chia a b cho c d.
Từ đây ta thu được và xây dựng quy tắc chia phân số thông thường:
Định nghĩa 1
Để chia một phân số chung a b cho c d, bạn cần nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia.
Hãy viết quy tắc dưới dạng biểu thức: a b: c d = a b · d c
Quy tắc chia được đưa về phép nhân. Để làm quen với nó, bạn cần hiểu rõ về phép nhân phân số.
Hãy chuyển sang xem xét việc chia các phân số thông thường.
Ví dụ 1
Chia 9 7 cho 5 3. Viết kết quả dưới dạng phân số.
Giải pháp
Số 5 3 là phân số nghịch đảo 3 5. Cần phải vận dụng quy tắc chia phân số thông thường. Chúng ta viết biểu thức này như sau: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Trả lời: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Khi rút gọn phân số, tách toàn bộ phần nếu tử số lớn hơn mẫu số.
Ví dụ 2
Chia 8 15: 24 65. Viết câu trả lời dưới dạng phân số.
Giải pháp
Để giải, bạn cần chuyển từ phép chia sang phép nhân. Hãy viết nó dưới dạng này: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Cần phải cắt giảm và việc này đang được thực hiện như sau: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Chọn toàn bộ phần và nhận được 13 9 = 1 4 9.
Trả lời: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Chia một phân số bất thường cho một số tự nhiên
Ta sử dụng quy tắc chia một phân số cho một số tự nhiên: để chia a b cho một số tự nhiên n, bạn chỉ cần nhân mẫu số với n. Từ đây ta có biểu thức: a b: n = a b · n.
Quy tắc chia là hệ quả của quy tắc nhân. Do đó, biểu diễn một số tự nhiên dưới dạng phân số sẽ cho một đẳng thức kiểu này: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Hãy xem xét việc chia một phân số cho một số.
Ví dụ 3
Chia phân số 16 45 cho số 12.
Giải pháp
Hãy áp dụng quy tắc chia một phân số cho một số. Chúng ta thu được biểu thức có dạng 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Hãy giảm phân số. Chúng ta nhận được 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Trả lời: 16 45: 12 = 4 135 .
Chia một số tự nhiên cho một phân số
Quy tắc chia tương tự ồ quy tắc chia số tự nhiên cho phân số thường: để chia số tự nhiên n cho phân số thường a b, ta phải nhân số n với phân số nghịch đảo một b.
Dựa vào quy tắc, ta có n: a b = n · b a, và nhờ quy tắc nhân một số tự nhiên với một phân số thông thường, ta có được biểu thức có dạng n: a b = n · b a. Cần phải xem xét sự phân chia này bằng một ví dụ.
Ví dụ 4
Chia 25 cho 15 28.
Giải pháp
Chúng ta cần chuyển từ phép chia sang phép nhân. Hãy viết nó dưới dạng biểu thức 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Hãy rút gọn phân số và nhận được kết quả dưới dạng phân số 46 2 3.
Trả lời: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Chia một phân số cho một hỗn số
Khi chia một phân số chung cho một hỗn số, bạn có thể dễ dàng bắt đầu chia các phân số chung. Cần thực hiện chuyển khoản hỗn số thành một phân số không đúng.
Ví dụ 5
Chia phân số 35 16 cho 3 1 8.
Giải pháp
Vì 3 1 8 là một hỗn số nên hãy biểu diễn nó dưới dạng phân số không chính xác. Khi đó chúng ta nhận được 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Bây giờ chúng ta hãy chia phân số. Chúng ta có 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Trả lời: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Phép chia hỗn số được thực hiện tương tự như phép chia số thường.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Phân số là một hoặc nhiều phần của một tổng thể, thường được coi là một (1). Đối với số tự nhiên, bạn có thể thực hiện tất cả các phép tính số học cơ bản (cộng, trừ, chia, nhân) với phân số; để làm được điều này, bạn cần biết các đặc điểm khi làm việc với phân số và phân biệt giữa các loại của chúng. Có một số loại phân số: thập phân và thông thường, hoặc đơn giản. Mỗi loại phân số đều có những đặc điểm riêng, nhưng khi bạn đã hiểu kỹ cách xử lý chúng, bạn sẽ có thể giải bất kỳ ví dụ nào bằng phân số, vì bạn sẽ biết các nguyên tắc thực hiện cơ bản phép tính số học với phân số. Hãy xem các ví dụ về cách chia một phân số cho một số nguyên bằng cách sử dụng các loại khác nhau phân số.
Làm thế nào để chia một phân số đơn giản cho một số tự nhiên?Phân số thông thường hoặc phân số đơn giản là những phân số được viết dưới dạng tỷ lệ các số trong đó số bị chia (tử số) ghi ở đầu phân số và ước số (mẫu số) của phân số ghi ở dưới cùng. Làm thế nào để chia một phân số như vậy cho một số nguyên? Hãy xem một ví dụ! Giả sử chúng ta cần chia 12/8 cho 2.
Để làm điều này, chúng ta phải thực hiện một số hành động:
Vì vậy, nếu chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ chia một phân số cho một số nguyên, sơ đồ giải pháp sẽ trông giống như sau: 
Theo cách tương tự, bạn có thể chia bất kỳ phân số thông thường (đơn giản) nào cho một số nguyên.
Làm thế nào để chia một số thập phân cho một số nguyên?
Số thập phân là một phân số thu được bằng cách chia một đơn vị thành mười, một nghìn, v.v. phép tính số học với phân số thập phân khá đơn giản.
Hãy xem một ví dụ về cách chia một phân số cho một số nguyên. Giả sử chúng ta cần chia phần thập phân 0,925 cho số tự nhiên 5.
Tóm lại, chúng ta hãy tập trung vào hai điểm chính rất quan trọng khi thực hiện phép chia phân số thập phân cho một số nguyên: - để tách số thập phân Phép chia theo cột được sử dụng cho số tự nhiên;
- Dấu phẩy được đặt trong thương khi phép chia toàn bộ phần bị chia được hoàn thành.
TRONG lần trước Chúng ta đã học cách cộng và trừ các phân số (xem bài “Cộng và trừ phân số”). Hầu hết khoảnh khắc khó khăn trong những hành động đó đã có sự giảm phân số thành mẫu số chung.
Bây giờ là lúc giải quyết vấn đề nhân và chia. Tin tốt là những phép toán này thậm chí còn đơn giản hơn phép cộng và phép trừ. Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào trường hợp đơn giản nhất khi có hai phân số dương không có toàn bộ phần được chọn.
Để nhân hai phân số, bạn phải nhân tử số và mẫu số của chúng một cách riêng biệt. Số đầu tiên sẽ là tử số của phân số mới và số thứ hai sẽ là mẫu số.
Để chia hai phân số, bạn cần nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai “đảo ngược”.
Chỉ định:
Từ định nghĩa, việc chia phân số sẽ rút gọn thành phép nhân. Để “lật” một phân số, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Vì vậy, xuyên suốt bài học chúng ta sẽ chủ yếu xem xét phép nhân.
Kết quả của phép nhân, một phân số có thể rút gọn có thể phát sinh (và thường phát sinh) - tất nhiên, nó phải được giảm đi. Nếu sau tất cả các lần giảm, phân số không chính xác thì toàn bộ phần sẽ được đánh dấu. Nhưng điều chắc chắn sẽ không xảy ra với phép nhân là quy giản về mẫu số chung: không có phương pháp đan xen, thừa số lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất.
Theo định nghĩa ta có:
Nhân phân số với phần nguyên và phân số âm
Nếu phân số chứa phần nguyên, chúng phải được chuyển đổi thành phần không chính xác - và chỉ sau đó được nhân theo sơ đồ đã nêu ở trên.
Nếu có dấu trừ ở tử số, mẫu số hoặc ở phía trước nó thì có thể lấy ra khỏi phép nhân hoặc loại bỏ hoàn toàn theo nguyên tắc sau:
- Cộng với trừ cho ra trừ;
- Hai phủ định tạo nên một khẳng định.
Cho đến nay, những quy tắc này chỉ được áp dụng trong phép cộng và phép trừ. phân số âm khi cần thiết phải loại bỏ toàn bộ một phần. Đối với một tác phẩm, chúng có thể được khái quát hóa để “đốt cháy” một số nhược điểm cùng một lúc:
- Chúng tôi gạch bỏ các tiêu cực theo cặp cho đến khi chúng biến mất hoàn toàn. Trong những trường hợp cực đoan, một điểm trừ có thể tồn tại - điểm không có bạn đời;
- Nếu không còn điểm trừ nào, thao tác đã hoàn tất - bạn có thể bắt đầu nhân. Nếu dấu trừ cuối cùng không bị gạch bỏ vì không có cặp nào cho nó thì chúng ta đưa nó ra ngoài giới hạn của phép nhân. Kết quả là một phân số âm.
Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
Chúng tôi chuyển đổi tất cả các phân số thành phân số không chính xác và sau đó loại bỏ các điểm trừ trong phép nhân. Chúng tôi nhân những gì còn lại với quy tắc bình thường. Chúng tôi nhận được:
Hãy để tôi nhắc bạn một lần nữa rằng dấu trừ xuất hiện trước phân số được đánh dấu toàn bộ phần, đề cập cụ thể đến toàn bộ phân số chứ không chỉ toàn bộ phần của nó (điều này áp dụng cho hai ví dụ cuối).
Cũng lưu ý số âm: Khi nhân, chúng được đặt trong ngoặc đơn. Điều này được thực hiện để tách các dấu trừ khỏi dấu nhân và làm cho toàn bộ ký hiệu chính xác hơn.
Giảm phân số một cách nhanh chóng
Phép nhân là một hoạt động tốn rất nhiều công sức. Các con số ở đây hóa ra khá lớn và để đơn giản hóa vấn đề, bạn có thể thử giảm phân số hơn nữa trước khi nhân. Thật vậy, về bản chất, tử số và mẫu số của phân số là các thừa số thông thường và do đó, chúng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của phân số. Hãy xem các ví dụ:
Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
Theo định nghĩa ta có:
Trong tất cả các ví dụ, số đã giảm và số còn lại được đánh dấu màu đỏ.
Xin lưu ý: trong trường hợp đầu tiên, số nhân đã giảm hoàn toàn. Ở vị trí của chúng vẫn còn những đơn vị mà nói chung không cần phải viết. Trong ví dụ thứ hai, không thể đạt được mức giảm hoàn toàn nhưng tổng lượng tính toán vẫn giảm.
Tuy nhiên, đừng bao giờ sử dụng kỹ thuật này khi cộng và trừ các phân số! Đúng, đôi khi có những con số tương tự mà bạn chỉ muốn giảm bớt. Đây, nhìn xem:
Bạn không thể làm điều đó!
Lỗi xảy ra là do khi cộng, tử số của phân số ra tổng chứ không phải tích của các số. Do đó, không thể áp dụng tính chất cơ bản của phân số, vì trong tính chất này chúng ta đang nói vềđặc biệt về phép nhân số.
Đơn giản là không có lý do nào khác để giảm phân số, vì vậy quyết định đúng đắn nhiệm vụ trước đó trông như thế này:
Giải pháp đúng:
Như bạn có thể thấy, câu trả lời đúng hóa ra lại không đẹp lắm. Nói chung, hãy cẩn thận.