- Một đẳng thức với một biến được gọi là một phương trình.
- Giải một phương trình có nghĩa là tìm ra nhiều nghiệm của nó. Một phương trình có thể có một, hai, nhiều, nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả.
- Mỗi giá trị của một biến mà tại đó phương trình đã cho trở thành một đẳng thức thực sự, gọi là nghiệm của phương trình.
- Các phương trình có cùng nghiệm được gọi là phương trình tương đương.
- Bất kỳ số hạng nào của phương trình đều có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của đẳng thức, đồng thời thay đổi dấu của số hạng đó sang phần ngược lại.
- Nếu cả hai vế của một phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ. Giải phương trình.
1. 1,5x+4 = 0,3x-2.
1,5x-0,3x = -2-4. Chúng tôi đã thu thập các số hạng chứa biến ở vế trái của đẳng thức và các số hạng tự do ở vế phải của đẳng thức. Trong trường hợp này, thuộc tính sau đã được sử dụng:
1,2x = -6. Đem lại điều khoản tương tự theo quy luật:
x = -6 : 1.2. Cả hai vế của đẳng thức được chia cho hệ số của biến, vì
x = -5. Chia theo quy tắc chia một phân số thập phân cho số thập phân:
Để chia một số cho một phân số thập phân, bạn cần di chuyển dấu phẩy trong số bị chia và số chia càng nhiều chữ số sang bên phải càng tốt sau dấu thập phân trong số chia, sau đó chia cho số tự nhiên:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Trả lời: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. Chúng tôi đã mở ngoặc bằng cách sử dụng luật phân phối của phép nhân so với phép trừ: (a-b) ∙ c = một ∙ c-b ∙ c.
6x-4x = -16+27. Chúng tôi đã thu thập các số hạng chứa biến ở vế trái của đẳng thức và các số hạng tự do ở vế phải của đẳng thức. Trong trường hợp này, thuộc tính sau đã được sử dụng: bất kỳ số hạng nào của phương trình đều có thể được chuyển từ phần này của đẳng thức này sang phần khác, do đó thay đổi dấu của số hạng đó thành ngược lại.
2x = 11. Các số hạng tương tự được đưa ra theo quy tắc: để đưa ra các số hạng tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và nhân kết quả thu được với phần chữ cái chung của chúng (tức là cộng phần chữ cái chung của chúng vào kết quả thu được).
x = 11 : 2. Cả hai vế của đẳng thức được chia cho hệ số của biến, vì Nếu cả hai vế của phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Trả lời: 5,5.
3. 7x- (3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. Ta mở ngoặc theo quy tắc mở ngoặc có dấu “-” đứng trước: nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì bỏ dấu ngoặc và dấu “-” và viết những thuật ngữ có dấu ngược lại trong ngoặc.
7x-2x-x = -9+3. Chúng tôi đã thu thập các số hạng chứa biến ở vế trái của đẳng thức và các số hạng tự do ở vế phải của đẳng thức. Trong trường hợp này, thuộc tính sau đã được sử dụng: bất kỳ số hạng nào của phương trình đều có thể được chuyển từ phần này của đẳng thức này sang phần khác, do đó thay đổi dấu của số hạng đó thành ngược lại.
4x = -6. Các điều khoản tương tự đã được đưa ra theo quy tắc: để đưa ra các số hạng tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và nhân kết quả thu được với phần chữ cái chung của chúng (tức là cộng phần chữ cái chung của chúng vào kết quả thu được).
x = -6 : 4. Cả hai vế của đẳng thức được chia cho hệ số của biến, vì Nếu cả hai vế của phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Trả lời: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Nhân cả hai vế của phương trình với 12 - số nhỏ nhất mẫu số chung về mẫu số của các phân số này.
3x-15 = 84-8x+44. Chúng tôi đã mở ngoặc bằng cách sử dụng luật phân phối của phép nhân so với phép trừ: Để nhân hiệu của hai số với số thứ ba, bạn có thể nhân riêng số bị trừ và trừ riêng với số thứ ba, sau đó lấy kết quả đầu tiên trừ kết quả thứ hai, tức là.(a-b) ∙ c = một ∙ c-b ∙ c.
3x+8x = 84+44+15. Chúng tôi đã thu thập các số hạng chứa biến ở vế trái của đẳng thức và các số hạng tự do ở vế phải của đẳng thức. Trong trường hợp này, thuộc tính sau đã được sử dụng: bất kỳ số hạng nào của phương trình đều có thể được chuyển từ phần này của đẳng thức này sang phần khác, do đó thay đổi dấu của số hạng đó thành ngược lại.
11x = 143. Các số hạng tương tự được đưa ra theo quy tắc: để đưa ra các số hạng tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và nhân kết quả thu được với phần chữ cái chung của chúng (tức là cộng phần chữ cái chung của chúng vào kết quả thu được).
x = 143 : 11. Cả hai vế của đẳng thức được chia cho hệ số của biến, vì Nếu cả hai vế của phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Trả lời: 13.
5. Tự giải các phương trình:
MỘT) 3-2,6x = 5x+1,48;
b) 1,6 · (x+5) = 4 · (4,5-0,6x);
V) 9x- (6x+2,5) = - (x-5,5);
5a) 0,2; 5b) 2,5; 5c) 2; 5g) -1.
Có tính đến tính tuần hoàn của hàm sin, chúng ta viết bất đẳng thức kép cho các giá trị của đối số t, thỏa mãn bất đẳng thức cuối cùng. Hãy quay trở lại biến ban đầu. Chúng ta hãy biến đổi bất đẳng thức kép thu được và biểu thị biến X. Hãy viết câu trả lời dưới dạng một khoảng thời gian.
Hãy giải bất đẳng thức thứ hai:
Khi giải bất đẳng thức thứ hai ta phải biến đổi bên trái cho bất đẳng thức sử dụng công thức sin đối số képđể có được bất đẳng thức có dạng: sint ≥a. Tiếp theo chúng tôi làm theo thuật toán.
Ta giải bất đẳng thức thứ ba:
Kính gửi các sinh viên tốt nghiệp và ứng viên! Hãy nhớ rằng các phương pháp giải bất phương trình lượng giác như phương pháp trên phương pháp đồ họa và có lẽ bạn đã biết phương pháp giải bằng cách sử dụng một vòng tròn lượng giác(vòng tròn lượng giác) chỉ được áp dụng ở giai đoạn đầu học phần lượng giác “Giải phương trình lượng giác và bất phương trình”. Tôi nghĩ bạn sẽ nhớ rằng cách đơn giản nhất phương trình lượng giác lần đầu tiên bạn giải quyết bằng cách sử dụng đồ thị hoặc hình tròn. Tuy nhiên, bây giờ bạn sẽ không nghĩ đến việc giải phương trình lượng giác theo cách này nữa. Làm thế nào để bạn giải quyết chúng? Đúng vậy, theo các công thức. bắt đầu nào bất đẳng thức lượng giác cần được giải quyết bằng cách sử dụng các công thức, đặc biệt là trong quá trình kiểm tra, khi mỗi phút đều quý giá. Vì vậy, hãy giải ba bất đẳng thức của bài học này bằng cách sử dụng công thức thích hợp.
Nếu như sint>a, trong đó -1< Một 1, thì arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Tìm hiểu công thức!
Một đẳng thức với một số chưa biết được gọi là một phương trình.
Ví dụ: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12 -dg = 48;45:x=3.
Giải phương trình có nghĩa là tìm giá trị của một số chưa biết sao cho đẳng thức là đúng.
Số này được gọi là nghiệm của phương trình.
Ví dụ:
x+ 23 = 45; x = 22, vì 22 + 23 = 45.
Như vậy, định nghĩa này cũng chỉ rõ cách kiểm tra một phương trình: thay giá trị tìm được của một số chưa biết vào một biểu thức, tính giá trị của nó và so sánh kết quả với một số cho trước (câu trả lời).
Nếu giá trị của số chưa biết được tìm thấy chính xác thì sẽ thu được đẳng thức đúng.
Các phương pháp giải phương trình.
Việc nghiên cứu các phương trình đơn giản nhất và phương pháp giải chúng đã được thiết lập vững chắc trong hệ thống đào tạo toán học ban đầu. Các phương trình là một trong những phương tiện mô hình hóa các mảnh thực tế đang được nghiên cứu và việc làm quen với chúng là một phần thiết yếu của giáo dục toán học. Đồng thời, việc giới thiệu cho học sinh tiểu học các phương trình giúp các em chuẩn bị cho việc học toán ở trường tiểu học.
Trong toán học, phương trình thường được hiểu là “sự biểu diễn giải tích của bài toán tìm giá trị của các đối số sao cho giá trị của hai hàm số đã cho bằng nhau. Các đối số mà các hàm này phụ thuộc vào được gọi là không rõ, và các giá trị của ẩn số mà tại đó giá trị của các hàm bằng nhau là nghiệm - gốc của phương trình."Điều này có nghĩa là khái niệm phương trình trước hết gắn liền với biểu thức phân tích(trong trường hợp của chúng tôi là số học), và thứ hai, - Với khái niệm về một biến lấy giá trị từ một tập hợp nhất định.
Ở trường tiểu học, có hai cách giải phương trình được thảo luận.
Phương pháp lựa chọn
Một giá trị phù hợp cho số chưa biết được chọn từ một trong hai đặt giá trị hoặc từ một tập hợp số tùy ý.
Số được chọn, khi được thay thế vào biểu thức, sẽ biến nó thành một đẳng thức thực sự. Ví dụ:
Từ các số 7, 10, 5, 4, 1, 3, chọn cho mỗi phương trình một giá trị của x sao cho có đẳng thức đúng: 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b
Mỗi số được đề xuất được kiểm tra bằng cách thay thế vào biểu thức và so sánh giá trị kết quả với câu trả lời.
Với số lượng lớn các giá trị được đề xuất, phương pháp này tốn rất nhiều thời gian và công sức. Khi độc lập lựa chọn ý nghĩa của các cách diễn đạt, trẻ có thể không tự mình tìm ra ý nghĩa có thể có của những điều chưa biết.
Một cách sử dụng mối quan hệ giữa các thành phần hành động.
Các quy tắc kết nối các thành phần hành động được sử dụng.
Ví dụ:
Giải phương trình: 9 + x=14
Thuật ngữ này chưa được biết. Để tìm số hạng chưa biết, bạn cần trừ số hạng đã biết khỏi tổng. Điều này có nghĩa là x = 14 - 9; x = 5.
Giải phương trình: 7 -x=2
Trừ đi không rõ. Để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần trừ đi hiệu số của số bị trừ. Điều này có nghĩa là x = 1 - 2; x = 5.
Giải phương trình: x-1 = 9
Điểm trừ không xác định. Để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần cộng số bị trừ vào hiệu. Vậy x = 9 + 1; x = 10.
Để giải phương trình với các phép tính nhân và chia, người ta sử dụng các quy tắc phụ thuộc của các thành phần nhân và chia.
Ví dụ:
Giải phương trình: 96:x=24
Số chia chưa biết. Để tìm ước số chưa biết, bạn cần chia số bị chia cho thương. Điều này có nghĩa là x = 96:24; x = 4. Hãy kiểm tra đáp án: 24 4 = 96.
Giải phương trình: x:23 = 4
Cổ tức không rõ. Để tìm số bị chia chưa biết, bạn cần nhân số chia với thương. Điều này có nghĩa là x = 23 4; x = 92. Hãy kiểm tra đáp án: 92: 23 = 4.
Giải phương trình: o:- 14 = 84
Số nhân không xác định. Để tìm một yếu tố chưa biết, bạn cần chia sản phẩm cho yếu tố đã biết. Điều này có nghĩa là x = 84:14; Hãy kiểm tra đáp án: x 14 = 84.
Việc sử dụng các quy tắc này sẽ giúp bạn giải phương trình nhanh hơn. Khó khăn là nhiều trẻ nhầm lẫn giữa các quy tắc về mối quan hệ giữa các thành phần hành động và tên các thành phần (bạn cần phải biết rõ 6 quy tắc và tên của 10 thành phần).
Đối với các phương trình khó hơn, phương pháp khớp được sử dụng, ví dụ:
35 + x + x + x = 35 - rõ ràng là ẩn số chỉ có thể nhận giá trị bằng 0;
78-x-x = 76 - rõ ràng là x = 1, vì 78 - 1 - 1 = 76.
Đối với các phương trình có dấu ngoặc có dạng (6 + x) - 5 = 38, sử dụng quy tắc về mối quan hệ của các thành phần tác dụng. Vế trái của phương trình được coi là sự khác biệt đầu tiên, coi biểu thức trong ngoặc đơn là một thành phần chưa biết. Thành phần duy nhất chưa biết này là phần bị trừ. Để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần cộng số bị trừ vào hiệu:
Vì vậy, phương trình có dạng thông thường của nó. Trong phương trình này, bạn cần tìm số hạng chưa biết: x = 43-6; x = 37.
Hãy kiểm tra cách giải (thay giá trị tìm được của ẩn số vào biểu thức ban đầu): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.
Một số sách giáo khoa toán thay thế dành cho lớp tiểu học giới thiệu cho trẻ em những phương trình phức tạp hơn (I.I. Arginskaya, L.G. Peterson), để giải các quy tắc về mối quan hệ của các thành phần tác dụng được khuyến khích sử dụng nhiều lần.
Ví dụ:
Giải phương trình: (y-3)-5-875 = 210
Chúng ta hãy nhìn vào vế trái của phương trình và xác định thứ tự các hành động.
(y-3)- 5 -875 = 210
Loại biểu thức ở phía bên trái được xác định bởi hành động cuối cùng: hành động cuối cùng là phép trừ, có nghĩa là chúng ta bắt đầu coi biểu thức là một sự khác biệt.
Điểm trừ (y - 3) 5, trừ 875, giá trị chênh lệch 210.
Cái chưa biết được chứa trong cái được rút gọn. Hãy tìm số bị trừ (chúng ta coi toàn bộ biểu thức này là một số bị trừ): để tìm số bị trừ chưa biết, bạn cần cộng số bị trừ vào hiệu.
(y- 3)- 5 = 210 + 875;
(y - 3) 5 = 1085: y
Chúng ta hãy xác định lại quy trình: (y - 3) 5 = 1085.
Dựa trên hành động cuối cùng, chúng ta coi biểu thức ở vế trái là tích. Thừa số thứ nhất là (y - 3), thừa số thứ hai là 5, giá trị của tích là 1085. Ẩn số nằm trong thừa số thứ nhất. Hãy tìm nó (ta coi toàn bộ biểu thức y - 3 là ẩn số). Để tìm số nhân chưa biết, bạn cần chia tích số cho một thừa số đã biết.
y - 3 = 1085: 5;
Chúng ta đã nhận được một phương trình trong đó số bị trừ là chưa biết. Hãy tìm nó:
Hãy kiểm tra lời giải bằng cách thay giá trị tìm được của ẩn số vào phương trình ban đầu:
(218-3)-5-875 = 210.
Sau khi tính giá trị của vế trái, chúng ta tin chắc rằng đã đạt được đẳng thức đúng. Điều này có nghĩa là phương trình đã được giải đúng.
Phân tích phương pháp giải trên cho thấy đây là một quá trình lâu dài, tốn nhiều công sức, đòi hỏi trẻ phải có kiến thức rõ ràng về tất cả các quy tắc, trình độ phân tích cao và khả năng nhận thức cấu trúc phức tạp của một biến có được thông qua một phương pháp giải. giải pháp từng bước như một tổng thể duy nhất (mức độ tổng hợp và trừu tượng hóa cao).
Người lớn quen với phương pháp phổ quát giải các phương trình tương tự được sử dụng ở trường phổ thông (mở ngoặc, chuyển các thành phần của phương trình từ trái sang phải) thấy rõ những khiếm khuyết và độ phức tạp quá mức của phương pháp này. Về vấn đề này, một số nhà phương pháp luận đã bày tỏ sự nghi ngờ một cách đúng đắn về tính khả thi của việc tích cực đưa các phương trình có cấu trúc phức tạp như vậy vào các môn toán ở trường tiểu học. Phương pháp giải này là không hợp lý về mặt toán học và sẽ bị lãng quên, loại bỏ ngay khi giáo viên toán lớp 5-7 giới thiệu cho trẻ những kỹ thuật chung để giải phương trình loại này.
Trong những điều đã biết toán học ở trường, trẻ lần đầu tiên nghe thấy thuật ngữ “phương trình”. Đây là gì, chúng ta hãy cùng nhau cố gắng tìm ra nó. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các loại và phương pháp giải pháp.
Toán học. phương trình
Để bắt đầu, chúng tôi khuyên bạn nên hiểu khái niệm này, nó là gì? Như nhiều sách giáo khoa toán học nói, phương trình là một số biểu thức mà giữa chúng phải có dấu bằng. Các biểu thức này chứa các chữ cái, được gọi là biến, giá trị của chúng phải được tìm thấy.
Đây là thuộc tính hệ thống thay đổi giá trị của nó. Một ví dụ rõ ràng các biến là:
- nhiệt độ không khí;
- sự tăng trưởng của trẻ;
- trọng lượng và như vậy.
Trong toán học, chúng được ký hiệu bằng các chữ cái, ví dụ x, a, b, c... Thông thường một bài toán sẽ phát ra âm thanh như sau: Tìm giá trị của phương trình. Điều này có nghĩa là cần phải tìm giá trị của các biến này.
Giống
Phương trình (nó là gì, chúng tôi đã phân tích nó trong đoạn trước) có thể có dạng sau:
- tuyến tính;
- quảng trường;
- khối;
- đại số;
- siêu việt.
Để làm quen chi tiết hơn với tất cả các loại, chúng tôi sẽ xem xét từng loại riêng biệt.
phương trình tuyến tính
Đây là loài đầu tiên mà học sinh được làm quen. Chúng được giải quyết khá nhanh chóng và đơn giản. Vậy phương trình tuyến tính là gì? Đây là một biểu thức có dạng: ah=c. Nó không đặc biệt rõ ràng nên hãy đưa ra một vài ví dụ: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Hãy xem xét các ví dụ về phương trình. Để làm điều này, chúng ta cần thu thập tất cả dữ liệu đã biết ở một bên và những dữ liệu chưa biết ở bên kia: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Ở đây các quy tắc cơ bản của toán học đã được sử dụng: a*c=e, từ c=e/a này; a=e/c. Để hoàn thành việc giải phương trình, chúng ta thực hiện một hành động (trong trường hợp của chúng ta là phép chia) x = 13; x=8; x=5. Đây là những ví dụ về phép nhân, bây giờ chúng ta hãy xem xét phép trừ và phép cộng: x+3=9; 10x-5=15. Chúng tôi chuyển dữ liệu đã biết theo một hướng: x=9-3; x=20/10. Thực hiện hành động cuối cùng: x=6; x=2.
Tùy chọn cũng có thể phương trình tuyến tính, trong đó có nhiều hơn một biến được sử dụng: 2x-2y=4. Để giải, cần phải cộng 2y vào mỗi phần, ta được 2x-2y+2y=4-2y, như chúng ta đã thấy, ở vế trái của dấu bằng -2y và +2y bị hủy, để lại cho chúng ta: 2x=4 -2у. Bước cuối cùng là chia mỗi phần cho hai, ta được đáp án: x bằng hai trừ y.
Các vấn đề về phương trình thậm chí còn được tìm thấy trên giấy cói của Ahmes. Đây là một bài toán: một số và phần thứ tư của nó cộng lại bằng 15. Để giải nó, chúng ta viết phương trình sau: x cộng một phần tư x bằng mười lăm. Chúng ta xem một ví dụ khác dựa trên kết quả của lời giải, chúng ta nhận được câu trả lời: x=12. Nhưng vấn đề này có thể được giải quyết theo một cách khác, cụ thể là phương pháp Ai Cập hoặc, như nó được gọi khác, phương pháp giả định. Giấy cói sử dụng giải pháp sau: lấy bốn và một phần tư của nó, tức là một. Họ cộng lại thành năm, bây giờ mười lăm phải chia cho tổng số, chúng ta được ba, hành động cuối cùng nhân ba với bốn. Chúng ta nhận được câu trả lời: 12. Tại sao chúng ta chia mười lăm cho năm trong dung dịch? Vì vậy, chúng ta tìm ra bao nhiêu lần mười lăm, tức là kết quả chúng ta cần nhận được nhỏ hơn năm. Các vấn đề đã được giải quyết theo cách này vào thời Trung cổ; nó được gọi là phương pháp định vị sai.
phương trình bậc hai
Ngoài các ví dụ đã thảo luận trước đó, còn có những ví dụ khác. Những cái nào chính xác? Phương trình bậc hai, nó là gì? Chúng trông giống như ax 2 +bx+c=0. Để giải quyết chúng, bạn cần làm quen với một số khái niệm và quy tắc.
Trước tiên, bạn cần tìm phân biệt bằng công thức: b 2 -4ac. Có ba kết quả có thể xảy ra của quyết định:
- phân biệt đối xử lớn hơn 0;
- nhỏ hơn 0;
- bằng không.
Trong tùy chọn đầu tiên, chúng ta có thể nhận được câu trả lời từ hai gốc, được tìm thấy theo công thức: -b+-root của phân biệt đối xử chia cho gấp đôi hệ số đầu tiên, nghĩa là 2a.
Trong trường hợp thứ hai, phương trình không có nghiệm. Trong trường hợp thứ ba, gốc được tìm thấy bằng công thức: -b/2a.
Hãy xem một ví dụ phương trình bậc haiđể được giới thiệu chi tiết hơn: ba x bình phương trừ mười bốn x trừ năm bằng không. Để bắt đầu, như đã viết trước đó, chúng ta đang tìm một phân biệt, trong trường hợp của chúng ta nó bằng 256. Lưu ý rằng số kết quả lớn hơn 0, do đó, chúng ta sẽ nhận được kết quả bao gồm hai nghiệm. Chúng tôi thay thế phân biệt đối xử kết quả vào công thức tìm nghiệm. Kết quả là chúng ta có: x bằng năm và trừ một phần ba.
Các trường hợp đặc biệt trong phương trình bậc hai
Đây là những ví dụ trong đó một số giá trị bằng 0 (a, b hoặc c) và có thể nhiều hơn một.
Ví dụ, hãy lấy phương trình sau đây, là phương trình bậc hai: hai x bình phương bằng 0, ở đây chúng ta thấy b và c bằng 0. Hãy thử giải nó, để làm được điều này chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 2, chúng ta có: x 2 = 0. Kết quả là ta được x=0.
Một trường hợp khác là 16x 2 -9=0. Ở đây chỉ có b=0. Giải phương trình, chuyển hệ số tự do sang vế phải: 16x 2 = 9, bây giờ ta chia mỗi phần cho mười sáu: x 2 = chín phần mười sáu. Vì chúng ta có x bình phương nên căn của 16/9 có thể âm hoặc dương. Chúng ta viết đáp án như sau: x bằng cộng/trừ ba phần tư.
Một câu trả lời khả thi khác là phương trình không có gốc nào cả. Hãy xem ví dụ này: 5x 2 +80=0, ở đây b=0. Để giải quyết, hãy ném thành viên miễn phí vào bên phải, sau những hành động này, chúng ta nhận được: 5x 2 = -80, bây giờ chúng ta chia mỗi phần cho năm: x 2 = trừ mười sáu. Nếu bất kỳ số nào là bình phương thì giá trị âm chúng tôi sẽ không nhận được nó. Do đó, câu trả lời của chúng ta là: phương trình không có nghiệm.
Khai triển tam thức
Một bài tập về phương trình bậc hai cũng có thể giống như thế này: mở rộng tam thức bậc hai bằng số nhân. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng công thức sau: a(x-x 1)(x-x 2). Để làm được điều này, cũng như trong phiên bản khác của nhiệm vụ, cần phải tìm ra một người phân biệt đối xử.
Xét ví dụ sau: 3x 2 -14x-5, phân tích tam thức thành nhân tử. Chúng tôi tìm ra biệt thức bằng cách sử dụng một công thức mà chúng tôi đã biết; kết quả là bằng 256. Chúng tôi lưu ý ngay rằng 256 lớn hơn 0, do đó, phương trình sẽ có hai nghiệm. Chúng tôi tìm thấy chúng, như trong đoạn trước, chúng tôi có: x = năm và trừ một phần ba. Hãy sử dụng công thức phân tích thành thừa số tam thức: 3(x-5)(x+1/3). Trong ngoặc thứ hai, chúng ta có dấu bằng, vì công thức chứa dấu trừ và gốc cũng âm, sử dụng kiến thức cơ bản toán học, tổng cộng chúng ta có dấu cộng. Để đơn giản hóa, hãy nhân số hạng thứ nhất và thứ ba của phương trình để loại bỏ phân số: (x-5)(x+1).
Phương trình rút gọn về bậc hai
Trong phần này chúng ta sẽ học cách giải các phương trình phức tạp hơn. Hãy bắt đầu ngay với một ví dụ:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Ta có thể nhận thấy các phần tử lặp lại: (x 2 - 2x), để giải nó ta thay thế nó bằng một biến khác, và sau đó giải phương trình bậc hai thông thường ngay lập tức. Chúng tôi lưu ý rằng trong một nhiệm vụ như vậy, chúng ta sẽ nhận được bốn nghiệm, điều này sẽ không làm bạn sợ hãi. Chúng tôi biểu thị sự lặp lại của biến a. Chúng ta nhận được: a 2 -2a-3=0. Của chúng tôi bước tiếp theođang tìm phân biệt của một phương trình mới. Ta được 16, tìm hai nghiệm: trừ một và ba. Chúng ta nhớ rằng chúng ta đã thực hiện thay thế, thay thế các giá trị này, kết quả là chúng ta có các phương trình: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Chúng tôi giải quyết chúng trong câu trả lời đầu tiên: x bằng một, trong lần thứ hai: x bằng trừ một và ba. Chúng ta viết đáp án như sau: cộng/trừ một và ba. Theo quy định, câu trả lời được viết theo thứ tự tăng dần.
phương trình bậc ba
Hãy xem xét một lựa chọn khả thi khác. Đó là vềồ phương trình bậc ba. Chúng có dạng: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về phương trình dưới đây, nhưng trước tiên, hãy xem xét một chút lý thuyết. Chúng có thể có ba nghiệm và cũng có công thức tìm phân biệt cho phương trình bậc ba.
Hãy xem một ví dụ: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Làm thế nào để giải quyết nó? Để làm điều này, chúng ta chỉ cần đặt x ra khỏi ngoặc: x(3x 2 +4x+2)=0. Tất cả những gì chúng ta phải làm là tính nghiệm của phương trình trong ngoặc. Phân biệt của phương trình bậc hai trong ngoặc nhỏ hơn 0, dựa vào điều này, biểu thức có nghiệm: x=0.
Đại số. phương trình
Hãy chuyển sang lượt xem tiếp theo. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét ngắn gọn phương trình đại số. Một trong những nhiệm vụ như sau: nhân 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Cách thuận tiện nhất là phân nhóm sau: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Lưu ý rằng chúng ta biểu thị 8x 2 từ biểu thức đầu tiên dưới dạng tổng của 3x 2 và 5x 2. Bây giờ chúng tôi lấy ra từ mỗi khung số nhân chung 3x 2 (x2+1)+2x(x 2 +1)+5(x 2 +1). Chúng ta thấy rằng chúng ta có một thừa số chung: x bình cộng một, chúng ta lấy nó ra khỏi ngoặc: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Không thể mở rộng hơn nữa vì cả hai phương trình đều có phân biệt âm.
phương trình siêu nghiệm
Chúng tôi khuyên bạn nên xử lý loại sau. Đây là những phương trình chứa các hàm siêu việt, cụ thể là logarit, lượng giác hoặc hàm mũ. Ví dụ: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3, v.v. Bạn sẽ học cách giải chúng trong khóa học lượng giác.
Chức năng
Bước cuối cùng là xem xét khái niệm phương trình của hàm số. Không giống như các tùy chọn trước đó, loại này không được giải quyết, nhưng một lịch trình được xây dựng dựa trên nó. Để làm được điều này, cần phải phân tích kỹ phương trình, tìm ra mọi thứ điểm cần thiết xây dựng, tính điểm tối thiểu và tối đa.
Sau khi nhận được ý tưởng chung về các đẳng thức và làm quen với một trong các loại của chúng - các đẳng thức số, bạn có thể bắt đầu nói về một loại đẳng thức khác rất quan trọng theo quan điểm thực tế - phương trình. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét phương trình là gì, và cái được gọi là nghiệm của phương trình. Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa tương ứng và cũng trình bày nhiều ví dụ khác nhau phương trình và nghiệm của chúng.
Điều hướng trang.
Phương trình là gì?
Việc giới thiệu có mục tiêu về phương trình thường bắt đầu trong các bài học toán ở lớp 2. Tại thời điểm này, những điều sau đây được đưa ra định nghĩa phương trình:
Sự định nghĩa.
phương trình là một đẳng thức chứa số chưa biết cần tìm.
Các số chưa biết trong phương trình thường được biểu thị bằng số nhỏ. chữ cái Latinh, ví dụ: p, t, u, v.v., nhưng các chữ cái được sử dụng phổ biến nhất là x, y và z.
Do đó, phương trình được xác định từ quan điểm của hình thức viết. Nói cách khác, đẳng thức là một phương trình khi nó tuân theo quy định cụ thể bản ghi – chứa chữ cái có giá trị cần tìm.
Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ đầu tiên và rất phương trình đơn giản. Hãy bắt đầu với các phương trình có dạng x=8, y=3, v.v. Các phương trình chứa các dấu hiệu cùng với số và chữ cái trông phức tạp hơn một chút các phép tính số học, ví dụ, x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .
Sự đa dạng của các phương trình ngày càng trở nên quen thuộc - các phương trình có dấu ngoặc bắt đầu xuất hiện, ví dụ: 2·(x−1)=18 và x+3·(x+2·(x−2))=3. Một chữ cái chưa biết trong một phương trình có thể xuất hiện nhiều lần, ví dụ: x+3+3·x−2−x=9, các chữ cái cũng có thể ở bên trái của phương trình, ở bên phải của nó hoặc ở cả hai bên của phương trình. phương trình, ví dụ, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 hoặc 3·x−4=2·(x+12) .
Hơn nữa sau khi học số tự nhiên làm quen với số nguyên, số hữu tỉ, số thực, học những cái mới đối tượng toán học: lũy thừa, căn, logarit, v.v., trong khi ngày càng có nhiều loại phương trình mới chứa những thứ này xuất hiện. Ví dụ về chúng có thể được nhìn thấy trong bài viết các loại phương trình cơ bảnđang học ở trường.
Ở lớp 7, cùng với những chữ cái có nghĩa là một số con số cụ thể, bắt đầu xem xét các chữ cái có thể mất ý nghĩa khác nhau, chúng được gọi là biến (xem bài viết). Đồng thời, từ “biến” được đưa vào định nghĩa của phương trình và nó có dạng như sau:
Sự định nghĩa.
phương trình gọi một đẳng thức chứa một biến có giá trị cần tìm.
Ví dụ: phương trình x+3=6·x+7 là phương trình có biến x và 3·z−1+z=0 là phương trình có biến z.
Trong các bài học đại số cùng lớp 7, chúng ta gặp các phương trình không chỉ chứa một mà là hai biến chưa biết khác nhau. Chúng được gọi là phương trình hai biến. Trong tương lai, sự hiện diện của ba biến trở lên trong các phương trình được cho phép.
Sự định nghĩa.
Các phương trình với một, hai, ba, v.v. biến- đây là các phương trình chứa trong cách viết của chúng lần lượt một, hai, ba, ... biến chưa biết.
Ví dụ, phương trình 3,2 x+0,5=1 là phương trình có một biến x, ngược lại, phương trình có dạng x−y=3 là phương trình có hai biến x và y. Và một ví dụ nữa: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Rõ ràng phương trình như vậy là phương trình có ba biến x, y và z chưa biết.
Gốc của một phương trình là gì?
Định nghĩa của một phương trình liên quan trực tiếp đến định nghĩa nghiệm của phương trình này. Chúng ta hãy thực hiện một số lý luận sẽ giúp chúng ta hiểu được nghiệm của phương trình là gì.
Giả sử chúng ta có một phương trình có một chữ cái (biến). Nếu thay vì một chữ cái có trong phần nhập của phương trình này, chúng ta thay thế một số nhất định thì phương trình sẽ trở thành sự bình đẳng về số lượng. Hơn nữa, đẳng thức thu được có thể đúng hoặc sai. Ví dụ: nếu bạn thay thế số 2 thay vì chữ a trong phương trình a+1=5, bạn sẽ nhận được đẳng thức số không chính xác 2+1=5. Nếu thay số 4 vào số a trong phương trình này, chúng ta sẽ thu được đẳng thức đúng 4+1=5.
Trong thực tế, trong phần lớn các trường hợp, mối quan tâm nằm ở những giá trị của biến mà việc thay thế vào phương trình sẽ mang lại đẳng thức chính xác; những giá trị này được gọi là nghiệm hoặc nghiệm của phương trình này.
Sự định nghĩa.
Căn nguyên của phương trình- đây là giá trị của chữ cái (biến), khi thay thế phương trình sẽ chuyển thành đẳng thức số chính xác.
Lưu ý rằng nghiệm của phương trình một biến còn được gọi là nghiệm của phương trình. Nói cách khác, nghiệm của một phương trình và nghiệm của phương trình là như nhau.
Hãy để chúng tôi giải thích định nghĩa này bằng một ví dụ. Để làm điều này, chúng ta hãy quay lại phương trình được viết ở trên a+1=5. Theo định nghĩa đã nêu về nghiệm của một phương trình, số 4 là nghiệm của phương trình này, vì khi thay số này thay cho chữ a, chúng ta thu được đẳng thức đúng 4+1=5, và số 2 không phải là số đó. gốc, vì nó tương ứng với đẳng thức không chính xác có dạng 2+1= 5.
Tại thời điểm này, một số câu hỏi tự nhiên được đặt ra: “Có phương trình nào có nghiệm không, và nó có bao nhiêu nghiệm?” phương trình đã cho"? Chúng tôi sẽ trả lời họ.
Có cả phương trình có nghiệm và phương trình không có nghiệm. Ví dụ: phương trình x+1=5 có nghiệm 4, nhưng phương trình 0 x=5 không có nghiệm, vì dù chúng ta thay số nào vào phương trình này thay vì biến x, chúng ta sẽ nhận được đẳng thức sai 0=5 .
Về số nghiệm của một phương trình, chúng tồn tại dưới dạng các phương trình có một số số cuối cùng các nghiệm (một, hai, ba, v.v.) và các phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ, phương trình x−2=4 có một nghiệm duy nhất là 6, các nghiệm của phương trình x 2 =9 là hai số −3 và 3, phương trình x·(x−1)·(x−2)=0 có ba nghiệm 0, 1 và 2, và nghiệm của phương trình x=x là một số bất kỳ, nghĩa là nó có vô số nghiệm.
Cần nói vài lời về ký hiệu được chấp nhận cho nghiệm của phương trình. Nếu phương trình không có nghiệm thì người ta thường viết “phương trình không có nghiệm” hoặc dùng dấu bộ trống∅. Nếu phương trình có nghiệm thì chúng được viết cách nhau bằng dấu phẩy hoặc viết dưới dạng các phần tử của tập hợp trong dấu ngoặc nhọn. Ví dụ: nếu nghiệm của phương trình là các số −1, 2 và 4 thì viết −1, 2, 4 hoặc (−1, 2, 4). Cũng được phép viết nghiệm của phương trình dưới dạng các đẳng thức đơn giản. Ví dụ: nếu phương trình bao gồm chữ x và gốc của phương trình này là các số 3 và 5 thì bạn có thể viết x=3, x=5 và các chỉ số dưới x 1 =3, x 2 =5 thường được thêm vào vào biến, như thể chỉ ra các nghiệm số của phương trình. Bộ vô hạn Các nghiệm của phương trình thường được viết dưới dạng; nếu có thể, người ta cũng sử dụng ký hiệu cho tập hợp số tự nhiên N, số nguyên Z và số thực R. Ví dụ: nếu nghiệm của phương trình có biến x là số nguyên bất kỳ thì viết , và nếu nghiệm của phương trình có biến y là bất kỳ số nguyên nào số thực bao gồm từ 1 đến 9 rồi viết .
Đối với các phương trình có hai, ba và một số lượng lớn các biến, theo quy luật, thuật ngữ “gốc của phương trình” không được sử dụng; trong những trường hợp này người ta gọi là “giải phương trình”. Thế nào gọi là giải phương trình nhiều biến? Hãy đưa ra định nghĩa tương ứng.
Sự định nghĩa.
Giải một phương trình với hai, ba, v.v. biến gọi là một cặp, ba, v.v. giá trị của các biến, biến phương trình này thành một đẳng thức số chính xác.
Hãy để chúng tôi hiển thị các ví dụ giải thích. Xét một phương trình có hai biến x+y=7. Hãy thay số 1 thay cho x và số 2 thay cho y và chúng ta có đẳng thức 1+2=7. Hiển nhiên là sai nên cặp giá trị x=1, y=2 không phải là nghiệm của phương trình đã viết. Nếu lấy một cặp giá trị x=4, y=3 thì sau khi thay thế vào phương trình ta sẽ có sự bình đẳng thực sự 4+3=7, do đó, cặp giá trị biến này theo định nghĩa là nghiệm của phương trình x+y=7.
Các phương trình có nhiều biến, giống như phương trình có một biến, có thể không có nghiệm, có thể có số nghiệm hữu hạn hoặc có thể có vô số nghiệm.
Cặp, bộ ba, bộ bốn, v.v. Giá trị của các biến thường được viết ngắn gọn, liệt kê các giá trị của chúng cách nhau bằng dấu phẩy trong ngoặc đơn. Trong trường hợp này, các số viết trong ngoặc tương ứng với các biến trong thứ tự bảng chữ cái. Hãy làm rõ điểm này bằng cách quay lại phương trình trước đó x+y=7. Nghiệm của phương trình này x=4, y=3 có thể viết ngắn gọn là (4, 3).
Sự chú ý lớn nhất ở khóa học toán học, đại số và sự khởi đầu của phân tích được dành cho việc tìm ra nghiệm nguyên của các phương trình trong một biến. Chúng tôi sẽ thảo luận chi tiết về các quy tắc của quá trình này trong bài viết. giải phương trình.
Tài liệu tham khảo.
- Toán học. 2 lớp Sách giáo khoa cho giáo dục phổ thông tổ chức với adj. mỗi điện tử người vận chuyển. Lúc 2 giờ chiều Phần 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, v.v.] - tái bản lần thứ 3. - M.: Giáo dục, 2012. - 96 tr.: ốm. - (Trường Nga). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 7. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Đại số: Lớp 9: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Nói chung mọi phương trình đều mô hình toán học Cân cốc (đòn bẩy, tay cân bằng, cần lắc - có nhiều tên gọi), được phát minh vào năm Babylon cổ đại 7000 năm trước hoặc thậm chí sớm hơn. Hơn nữa, tôi thậm chí còn nghĩ rằng chính những chiếc cân cốc được sử dụng ở những khu chợ cổ xưa nhất đã trở thành nguyên mẫu của các phương trình. Và nếu bạn xem bất kỳ phương trình nào không phải là một tập hợp các số và chữ cái khó hiểu được nối với nhau bằng hai que song song, mà giống như thang đo, thì sẽ không có vấn đề gì với mọi thứ khác:
Phương trình nào cũng giống như cái cân cân bằng
Điều đó xảy ra là ngày càng có nhiều phương trình trong cuộc sống của chúng ta nhưng ngày càng có ít sự hiểu biết về phương trình là gì và ý nghĩa của nó. Dù sao đi nữa, đây là ấn tượng mà tôi có được khi cố gắng giải thích cho con gái lớn của mình ý nghĩa của những điều đơn giản nhất. phương trình toán học kiểu:
x + 2 = 8 (500.1)
Những thứ kia. ở trường, tất nhiên, họ giải thích rằng trong những trường hợp như vậy, để tìm ra X, bạn cần trừ 2 từ vế phải:
x = 8 - 2 (500.3)
Tất nhiên, điều này hoàn toàn hành động đúng đắn, nhưng tại sao bạn cần phải trừ mà không phải cộng hay chia trong sách giáo khoa trường học không có lời giải thích. Chỉ có một quy tắc mà bạn chỉ cần học:
Khi chuyển một phần tử của phương trình từ phần này sang phần khác thì dấu của nó đổi ngược lại.
Về việc một đứa trẻ 10 tuổi nên hiểu quy tắc này như thế nào và ý nghĩa của nó là gì, các bạn hãy suy nghĩ và quyết định. Hơn nữa, hóa ra những người thân của tôi cũng không bao giờ hiểu ý nghĩa của các phương trình mà chỉ đơn giản là ghi nhớ những gì cần thiết (và đặc biệt là quy tắc trên), và chỉ sau đó áp dụng nó theo ý Chúa. Tôi không thích tình trạng này nên tôi quyết định viết bài viết này(đứa nhỏ nhất đang lớn, vài năm nữa nó sẽ phải giải thích lại điều này, và điều này cũng có thể hữu ích với một số độc giả trên trang của tôi).
Tôi muốn nói ngay rằng dù tôi đã học ở trường 10 năm nhưng không có quy tắc hay định nghĩa nào liên quan đến chuyên ngành kỹ thuật, chưa bao giờ được dạy. Những thứ kia. cái gì rõ ràng thì sẽ nhớ, còn cái gì không rõ ràng thì nhồi nhét mà không hiểu ý nghĩa để làm gì, đằng nào nó cũng sẽ quên thôi? Và hơn nữa, nếu tôi không hiểu điều gì đó thì có nghĩa là tôi không cần nó (gần đây tôi mới nhận ra rằng nếu tôi không hiểu điều gì đó ở trường thì đó không phải lỗi của tôi mà là lỗi của thầy cô, sách giáo khoa và hệ thống giáo dục nói chung).
Cách tiếp cận này mang lại cho tôi rất nhiều thời gian rảnh rỗi mà thời thơ ấu rất thiếu các loại trò chơi và giải trí. Đồng thời, tôi đã tham gia nhiều cuộc thi Olympic vật lý và hóa học khác nhau, thậm chí còn giành chiến thắng trong một cuộc thi khu vực về toán học. Nhưng thời gian trôi qua, số ngành hoạt động khái niệm trừu tượng, chỉ tăng lên và theo đó điểm của tôi giảm xuống. Trong năm đầu tiên của viện, số môn học có khái niệm trừu tượng chiếm đa số tuyệt đối và tất nhiên tôi là sinh viên C hoàn chỉnh. Nhưng sau đó, vì một số lý do, tôi phải tự mình xử lý sức mạnh của tài liệu mà không cần sự trợ giúp của bài giảng và ghi chú và tôi phần nào hiểu được điều đó, mọi việc diễn ra suôn sẻ và kết thúc với tấm bằng danh dự. Tuy nhiên, vấn đề bây giờ không phải là vấn đề này mà là do những đặc thù cụ thể, các khái niệm và định nghĩa của tôi có thể khác biệt đáng kể so với những gì được dạy ở trường.
Bây giờ chúng ta hãy tiếp tục
Các phương trình đơn giản nhất, tương tự với thang đo
Trên thực tế, trẻ em được dạy cách so sánh các mặt hàng khác nhau vẫn ở trong tuổi mẫu giáo khi họ vẫn chưa thực sự biết cách nói chuyện. Họ thường bắt đầu bằng những so sánh hình học. Ví dụ, một đứa trẻ được cho xem hai hình khối và đứa trẻ phải xác định khối nào lớn hơn và khối nào nhỏ hơn. Và nếu chúng giống nhau thì đây là sự bằng nhau về kích thước. Khi đó nhiệm vụ trở nên phức tạp hơn, trẻ được cho xem đồ vật nhiều hình thức khác nhau, màu sắc khác nhau và chọn mặt hàng giống hệt nhau Càng ngày mọi chuyện càng trở nên khó khăn hơn đối với đứa trẻ. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không làm phức tạp nhiệm vụ quá nhiều mà sẽ chỉ tập trung vào một loại bình đẳng - trọng lượng tiền tệ.
Khi các thang đo ở cùng mức ngang (các mũi tên của thang đo trong hình 500.1 có màu cam và màu xanh da trời, trùng khớp, mức ngang được thể hiện bằng đường đậm màu đen), điều này có nghĩa là đĩa cân bên phải có cùng khối lượng như đĩa cân bên trái. Trong trường hợp đơn giản nhất, đây có thể là những quả nặng nặng 1 kg:
Hình 500.1.
Và khi đó chúng ta thu được phương trình đơn giản nhất 1 = 1. Tuy nhiên, phương trình này chỉ dành cho tôi, trong toán học biểu thức tương tự Họ gọi đó là sự bình đẳng, nhưng điều này không làm thay đổi bản chất. Nếu chúng ta lấy vật nặng ra khỏi đĩa bên trái của cân và đặt bất cứ thứ gì lên đó, kể cả táo, thậm chí cả đinh, thậm chí cả trứng cá muối đỏ, đồng thời cân ở cùng một mặt ngang thì điều này vẫn có nghĩa là 1 kg của bất kỳ sản phẩm nào được chỉ định bằng 1 kg trọng lượng còn lại ở phía bên phải của cân. Tất cả những gì còn lại là thanh toán số kg này theo giá do người bán ấn định. Một điều nữa là bạn có thể không thích giá cả, hoặc nghi ngờ về độ chính xác của cân - nhưng đây là những vấn đề thuộc quan hệ kinh tế, pháp lý không liên quan trực tiếp đến toán học.
Tất nhiên, vào thời xa xưa, khi vảy cốc xuất hiện, mọi thứ đã đơn giản hơn nhiều. Thứ nhất, không có thước đo trọng lượng nào như kilôgam, nhưng có những đơn vị tiền tệ tương ứng với thước đo trọng lượng, ví dụ: tài năng, shekels, bảng Anh, hryvnias, v.v. (nhân tiện, từ lâu tôi đã ngạc nhiên rằng có một bảng Anh - đơn vị tiền tệ và đồng bảng Anh là thước đo trọng lượng, có hryvnia - một đơn vị tiền tệ, và đã từng là thước đo trọng lượng, và chỉ gần đây, khi tôi mới biết rằng tài năng không chỉ là đơn vị tiền tệ của người Do Thái cổ đại, được đề cập trong Cựu Ước, mà cả thước đo trọng lượng được áp dụng ở Babylon cổ đại, mọi thứ đều đúng vị trí).
Chính xác hơn, lúc đầu có thước đo trọng lượng, thường là hạt ngũ cốc, và chỉ sau đó tiền mới xuất hiện, tương ứng với những thước đo trọng lượng này. Ví dụ: 60 hạt tương ứng với một shekel (shekel), 60 shekel tương ứng với một min và 60 min tương ứng với một ta lâng. Do đó, cân ban đầu được sử dụng để kiểm tra xem tiền được đưa ra có phải là tiền giả hay không, và chỉ sau đó quả cân mới xuất hiện như một vật tương đương với tiền, trọng lượng và phép tính, cân điện tử và thẻ nhựa, nhưng điều này không làm thay đổi bản chất của vấn đề.
Vào thời xa xưa đó, người bán không cần phải giải thích dài dòng và chi tiết về giá của một sản phẩm cụ thể. Chỉ cần đặt sản phẩm đang được bán lên một cái cân là đủ và người mua đặt tiền vào cái cân thứ hai - nó rất đơn giản và rõ ràng, và thậm chí không cần kiến thức về phương ngữ địa phương, bạn có thể giao dịch ở bất cứ đâu trên thế giới. Nhưng hãy quay lại các phương trình.
Nếu chúng ta xem xét phương trình (500.1) từ vị trí của cân, thì điều đó có nghĩa là trên đĩa cân bên trái có một số kg chưa biết và 2 kg khác, và trên đĩa cân bên phải có 8 kg:
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
Ghi chú: TRONG trong trường hợp này Phần gạch chân tượng trưng cho đáy của thang đo; khi tính toán trên giấy, đường này có thể giống với đáy của thang đo hơn. Hơn nữa, các nhà toán học từ lâu đã nghĩ ra các ký hiệu đặc biệt - dấu ngoặc, và do đó, bất kỳ dấu ngoặc nào cũng có thể được coi là các cạnh của thang đo, ít nhất là ở giai đoạn đầu hiểu ý nghĩa của các phương trình. Tuy nhiên, tôi sẽ để lại dấu gạch dưới để rõ ràng hơn.
Vậy muốn tìm số kg chưa biết ta cần làm gì? Phải! Bỏ 2 kg ở bên trái và bên phải của cân thì cân vẫn giữ nguyên mặt phẳng nằm ngang, tức là ta vẫn có đẳng thức:
x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)
tương ứng
x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)
x, = 6 kg, (500.4.2)
Hình 500.2.
Thông thường, toán học không hoạt động với kilôgam mà với một số đơn vị không thứ nguyên trừu tượng, và sau đó viết nghiệm của phương trình (500.1), chẳng hạn như trong bản nháp, sẽ trông như thế này:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x, = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Điều này được phản ánh trong Hình 500.2.
Ghi chú: Về mặt hình thức, để hiểu rõ hơn, phương trình (500.2) nên được theo sau bởi một phương trình khác có dạng: x + 2 - 2, = 8 - 2, có nghĩa là hành động đã kết thúc và chúng ta lại đang xử lý các bát cân bằng có trọng lượng. Tuy nhiên, theo tôi, không cần thiết phải ghi lại đầy đủ quyết định như vậy.
Trong các bài báo sạch, người ta thường sử dụng ký hiệu viết tắt của nghiệm của phương trình, và theo tôi, không chỉ những ký hiệu rất cần thiết mới được viết tắt giai đoạn đầu nghiên cứu các phương trình, ký hiệu thang đo, thậm chí cả toàn bộ phương trình. Vì vậy, một phiên bản rút gọn của lời giải phương trình (500.1) ở dạng rõ ràng, theo các ví dụ được đưa ra trong sách giáo khoa, sẽ trông như thế này:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Kết quả, bằng cách sử dụng phép tương tự với thang đo, chúng tôi đã biên soạn thêm một phương trình (500.2) so với phương trình đã nêu trong sách giáo khoa, bằng phương pháp giải hoặc bằng hình thức viết lời giải này. Theo tôi, đây là một phương trình, hơn nữa, được viết gần đúng ở dạng này, tức là với ký hiệu tượng trưng của thang đo - đây là mắt xích còn thiếu, quan trọng để hiểu ý nghĩa của các phương trình.
Những thứ kia. Khi giải phương trình, chúng ta không chuyển bất cứ thứ gì có dấu ngược lại đi bất cứ đâu mà thực hiện các phép toán tương tự với vế trái và vế phải của phương trình.
Hiện nay người ta thường viết nghiệm của các phương trình ở dạng viết tắt ở trên. Phương trình (500.1.1) được theo sau bởi phương trình (500.3.1), do đó quy tắc nghịch dấu, tuy nhiên, đối với nhiều người, điều này dễ nhớ hơn là đi sâu vào ý nghĩa của các phương trình.
Ghi chú: Hơn nữa, tôi không có ý gì phản đối hình thức ghi âm viết tắt. Người dùng nâng cao có thể rút ngắn biểu mẫu này hơn nữa, nhưng việc này chỉ nên thực hiện sau ý nghĩa chung các phương trình đã được hiểu rõ ràng.
Và ký hiệu mở rộng cho phép bạn hiểu các quy tắc chính để giải phương trình:
1. Nếu chúng ta thực hiện các phép toán tương tự với vế trái và vế phải của phương trình thì đẳng thức được bảo toàn.
2. Không quan trọng phần nào trong phương trình đang xem xét là phần nào bên trái và phần nào bên phải, chúng ta có thể tự do hoán đổi chúng.
Những phép toán này có thể là bất cứ thứ gì. Chúng ta có thể trừ cùng một số từ vế trái và vế phải như minh họa ở trên. Chúng ta có thể cộng cùng một số vào bên trái và bên phải của phương trình, ví dụ:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x, = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Chúng ta có thể chia hoặc nhân cả hai vế cho cùng một số, ví dụ:
3х, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x, = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3x, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Chúng ta có thể tích hợp hoặc phân biệt cả hai phần. Chúng ta có thể làm bất cứ điều gì chúng ta muốn với phần bên trái và bên phải, nhưng nếu các hành động này giống nhau đối với phần bên trái và bên phải thì sự bình đẳng sẽ được giữ nguyên (thang đo sẽ giữ nguyên ở mức ngang).
Tất nhiên, bạn cần chọn những hành động cho phép bạn xác định số lượng chưa biết một cách nhanh chóng và đơn giản nhất có thể.
Từ quan điểm này, phương pháp hành động ngược cổ điển có vẻ đơn giản hơn, nhưng phải làm gì nếu trẻ chưa học? số âm? Trong khi đó, phương trình được biên dịch có dạng sau:
5 - x = 3 (500.8)
Những thứ kia. khi giải phương trình này bằng phương pháp cổ điển, một trong những lựa chọn khả thi Giải pháp đưa ra ký hiệu ngắn nhất là như sau:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Và quan trọng nhất, làm thế nào bạn có thể giải thích cho trẻ tại sao phương trình (500.8.3) lại giống với phương trình (500.8.4)?
Điều này có nghĩa là trong trường hợp này, ngay cả khi sử dụng phương pháp cổ điển không có ích gì khi tiết kiệm việc viết và trước tiên bạn cần loại bỏ giá trị không xác định ở vế trái, giá trị này có dấu âm.
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Mục đầy đủ sẽ trông như thế này:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Tôi sẽ thêm nó một lần nữa. Một bản ghi đầy đủ về lời giải không phải dành cho giáo viên mà để hiểu rõ hơn về phương pháp giải phương trình. Và khi chúng ta hoán đổi vế trái và vế phải của phương trình, giống như chúng ta đang thay đổi cách nhìn của cái cân từ quan điểm của người mua sang quan điểm của người bán, nhưng sự bình đẳng vẫn được giữ nguyên.
Thật không may, tôi không bao giờ có thể thuyết phục con gái mình viết ra lời giải một cách đầy đủ, ngay cả ở dạng bản nháp. Cô ấy có một lập luận sắt đá: “chúng tôi không được dạy theo cách đó.” Trong khi đó, độ phức tạp của các phương trình đang được biên soạn tăng lên, tỷ lệ đoán hành động nào cần thực hiện để xác định số lượng chưa biết giảm xuống và điểm số giảm xuống. Tôi không biết phải làm gì với điều này...
Ghi chú: V toán học hiện đại Người ta thường phân biệt giữa đẳng thức và phương trình, tức là 1 = 1 chỉ là một đẳng thức số và nếu ở một trong các phần của đẳng thức có ẩn số cần tìm thì đây đã là một phương trình. Với tôi, sự phân biệt như vậy chẳng có ý nghĩa gì rất có ý nghĩa, nhưng chỉ làm phức tạp thêm nhận thức về vật liệu. Tôi tin rằng bất kỳ đẳng thức nào cũng có thể được gọi là phương trình và bất kỳ phương trình nào cũng dựa trên đẳng thức. Và bên cạnh đó, câu hỏi được đặt ra: x = 6, đây đã là một đẳng thức hay vẫn là một phương trình?
Các phương trình đơn giản nhất, tương tự với thời gian
Tất nhiên, sự tương tự với thang đo khi giải phương trình không phải là duy nhất. Ví dụ, việc giải phương trình cũng có thể được xem xét từ góc độ thời gian. Khi đó điều kiện được mô tả bởi phương trình (500.1) sẽ như thế này:
Sau khi chúng tôi đã thêm vào một số lượng chưa biết X Còn 2 căn nữa, hiện tại chúng ta có 8 căn (hiện tại). Tuy nhiên, vì lý do này hay lý do khác, chúng ta không quan tâm đến việc có bao nhiêu, mà quan tâm đến việc có bao nhiêu ở thì quá khứ. Theo đó, để biết chúng ta có bao nhiêu đơn vị giống nhau, chúng ta cần sản xuất hành động đảo ngược, tức là trừ 2 từ 8 (Phương trình 500.3). Cách tiếp cận này hoàn toàn tương ứng với những gì được trình bày trong sách giáo khoa, nhưng theo tôi, nó không rõ ràng như sự tương tự với thang đo. Tuy nhiên, ý kiến về vấn đề này có thể khác nhau.
Ví dụ về giải phương trình trong ngoặc
Tôi viết bài này vào mùa hè, khi con gái tôi tốt nghiệp lớp 4, nhưng chưa đầy sáu tháng sau, chúng được yêu cầu ở trường giải các phương trình có dạng sau:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Không ai trong lớp giải được phương trình này, tuy nhiên việc giải phương trình này không có gì phức tạp khi sử dụng phương pháp tôi đề xuất, nhưng dạng đầy đủ của ký hiệu sẽ chiếm quá nhiều chỗ:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Tuy nhiên, trên ở giai đoạn này trong đó hình thức đầy đủ không cần phải ghi âm. Vì chúng ta có dấu ngoặc kép nên không cần thiết các phép toán tạo một phương trình riêng biệt ở bên trái và bên phải, vì vậy việc viết lời giải dưới dạng bản nháp có thể trông như thế này:
97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Tổng cộng, ở giai đoạn này cần phải viết ra 14 phương trình để giải phương trình ban đầu.
Trong trường hợp này, việc viết lời giải của phương trình ở dạng bản sao rõ ràng có thể trông như thế này:
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Những thứ kia. với dạng ký hiệu viết tắt ta vẫn phải lập 12 phương trình. Tiết kiệm được khi ghi âm là rất ít, nhưng học sinh lớp năm thực sự có thể gặp khó khăn trong việc hiểu các hành động cần thiết.
tái bút Chỉ đến khi nói đến dấu ngoặc kép, con gái tôi mới bắt đầu hứng thú với phương pháp tôi đề xuất để giải phương trình, nhưng đồng thời, ở dạng viết, kể cả ở bản nháp, số phương trình vẫn ít hơn 2 lần, vì con bỏ qua phần cuối cùng. các phương trình như (500.10.4), (500.10.7) và những phương trình tương tự, và khi ghi, ngay lập tức chừa chỗ cho phương trình tiếp theo phép toán. Kết quả là, mục trong bản nháp của cô ấy trông giống như thế này:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Kết quả là chúng ta chỉ nhận được 8 phương trình, thậm chí còn ít hơn yêu cầu khi viết lời giải dưới dạng viết tắt. Về nguyên tắc, tôi không bận tâm, nhưng nó sẽ hữu ích.
Đó thực sự là tất cả những gì tôi muốn nói về việc giải các phương trình đơn giản nhất chứa một đại lượng chưa biết. Để giải phương trình chứa hai đại lượng chưa biết, bạn cần