Đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định.
Đạo hàm của hàm được xác định bằng tham số

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét hai nhiệm vụ điển hình hơn thường thấy trong các bài kiểm tra môn toán cao cấp. Để thành công trong việc nắm vững tài liệu, bạn phải có khả năng tìm được các dẫn xuất ít nhất ở trình độ trung cấp. Bạn có thể học cách tìm đạo hàm một cách thực tế từ đầu trong hai bài học cơ bản và Đạo hàm của hàm phức. Nếu kỹ năng khác biệt hóa của bạn ổn thì hãy bắt đầu.

Đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định

Hay nói tóm lại là đạo hàm của một hàm ẩn. Hàm ngầm là gì? Trước tiên chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về hàm một biến:

Hàm biến đơn là một quy tắc theo đó mỗi giá trị của biến độc lập tương ứng với một và chỉ một giá trị của hàm.

Biến được gọi biến độc lập hoặc lý lẽ.
Biến được gọi biến phụ thuộc hoặc chức năng .

Cho đến nay chúng ta đã xem xét các hàm được định nghĩa trong rõ ràng hình thức. Nó có nghĩa là gì? Hãy tiến hành một cuộc phỏng vấn bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể.

Hãy xem xét chức năng

Chúng tôi thấy rằng ở bên trái, chúng tôi có một “người chơi” đơn độc, và ở bên phải - chỉ có "X". Tức là chức năng rõ ràngđược thể hiện thông qua biến độc lập.

Hãy xem xét một chức năng khác:

Đây là nơi các biến được trộn lẫn. Hơn thế nữa không thể bằng mọi cách chỉ thể hiện “Y” thông qua “X”. Những phương pháp này là gì? Chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác bằng cách đổi dấu, chuyển chúng ra khỏi ngoặc, ném các thừa số theo quy tắc tỷ lệ, v.v. Viết lại đẳng thức và cố gắng biểu thị chữ “y” một cách rõ ràng: . Bạn có thể vặn vẹo phương trình trong nhiều giờ, nhưng bạn sẽ không thành công.

Hãy để tôi giới thiệu cho bạn: – ví dụ hàm ẩn.

Trong quá trình phân tích toán học người ta đã chứng minh rằng hàm ẩn tồn tại(tuy nhiên, không phải lúc nào cũng vậy), nó có một biểu đồ (giống như một hàm “bình thường”). Hàm ngầm hoàn toàn giống nhau tồn tạiđạo hàm thứ nhất, đạo hàm thứ hai, v.v. Như họ nói, tất cả các quyền của thiểu số tình dục đều được tôn trọng.

Và trong bài học này chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của một hàm số ẩn. Nó không khó lắm đâu! Tất cả các quy tắc đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm cơ bản vẫn giữ nguyên hiệu lực. Sự khác biệt nằm ở một thời điểm đặc biệt mà chúng ta sẽ xem xét ngay bây giờ.

Có, và tôi sẽ cho bạn biết một tin tốt - các nhiệm vụ được thảo luận dưới đây được thực hiện theo một thuật toán khá nghiêm ngặt và rõ ràng mà không cần có một hòn đá nào trước ba đường đua.

Ví dụ 1

1) Ở giai đoạn đầu tiên, chúng ta đính kèm các nét vào cả hai phần:

2) Ta sử dụng quy tắc tuyến tính đạo hàm (hai quy tắc đầu bài Làm thế nào để tìm đạo hàm? Ví dụ về giải pháp):

3) Sự khác biệt trực tiếp.
Cách phân biệt hoàn toàn rõ ràng. Phải làm gì khi có “trò chơi” dưới nét vẽ?

- đến mức đáng hổ thẹn, đạo hàm của một hàm số bằng đạo hàm của nó: .

Cách phân biệt
Ở đây chúng tôi có hàm phức tạp. Tại sao? Có vẻ như dưới sin chỉ có một chữ cái “Y”. Nhưng sự thật là chỉ có một chữ cái “y” - Bản thân nó là một chức năng(xem định nghĩa ở đầu bài). Vì vậy, sin là hàm bên ngoài và là hàm bên trong. Chúng ta sử dụng quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức :

Chúng tôi phân biệt sản phẩm theo quy tắc thông thường :

Xin lưu ý rằng – cũng là một hàm phức tạp, bất kỳ “trò chơi có chuông và còi” nào cũng là một hàm phức tạp:

Bản thân giải pháp sẽ trông giống như thế này:


Nếu có dấu ngoặc thì hãy mở rộng chúng:

4) Ở phía bên trái, chúng tôi thu thập các số hạng có chứa chữ “Y” với số nguyên tố. Di chuyển mọi thứ khác sang bên phải:

5) Ở vế trái, ta lấy đạo hàm trong ngoặc:

6) Và theo quy tắc tỉ lệ, ta thả các dấu ngoặc này vào mẫu số của vế phải:

Đạo hàm đã được tìm thấy. Sẵn sàng.

Điều thú vị cần lưu ý là bất kỳ hàm nào cũng có thể được viết lại một cách ngầm định. Ví dụ, chức năng có thể được viết lại như thế này: . Và phân biệt nó bằng thuật toán vừa thảo luận. Trên thực tế, các cụm từ “hàm ngầm” và “hàm ẩn” khác nhau về một sắc thái ngữ nghĩa. Cụm từ “hàm được chỉ định ngầm” thì tổng quát và chính xác hơn, – chức năng này được chỉ định ngầm, nhưng ở đây bạn có thể diễn đạt “trò chơi” và trình bày chức năng một cách rõ ràng. Cụm từ “hàm ẩn” đề cập đến hàm ẩn “cổ điển” khi chữ “y” không thể được biểu thị.

Giải pháp thứ hai

Chú ý! Bạn chỉ có thể làm quen với phương pháp thứ hai nếu bạn biết cách tự tin tìm thấy đạo hàm riêng. Xin vui lòng cho người mới bắt đầu tính toán và người chưa biết đừng đọc và bỏ qua điểm này, nếu không đầu bạn sẽ hoàn toàn hỗn loạn.

Hãy tìm đạo hàm của hàm ẩn bằng phương pháp thứ hai.

Chúng tôi di chuyển tất cả các điều khoản sang phía bên trái:

Và xét hàm hai biến:

Sau đó, đạo hàm của chúng tôi có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức
Hãy tìm đạo hàm riêng:

Như vậy:

Giải pháp thứ hai cho phép bạn thực hiện kiểm tra. Nhưng họ không nên viết ra phiên bản cuối cùng của bài tập, vì đạo hàm riêng sẽ được nắm vững sau này và học sinh học chủ đề “Đạo hàm của hàm một biến” thì chưa biết đạo hàm riêng.

Hãy xem xét thêm một vài ví dụ.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Thêm nét cho cả hai phần:

Chúng tôi sử dụng quy tắc tuyến tính:

Tìm đạo hàm:

Mở tất cả các dấu ngoặc:

Chúng tôi di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái, phần còn lại sang bên phải:

Câu trả lời cuối cùng:

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học.

Không có gì lạ khi phân số xuất hiện sau khi lấy vi phân. Trong những trường hợp như vậy, bạn cần loại bỏ phân số. Hãy xem xét thêm hai ví dụ nữa.

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Chúng ta đặt cả hai phần dưới các nét và sử dụng quy tắc tuyến tính:

Đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm hàm phức và quy tắc phân biệt thương :

Mở rộng dấu ngoặc:

Bây giờ chúng ta cần loại bỏ phân số. Việc này có thể làm sau nhưng sẽ hợp lý hơn nếu làm ngay. Mẫu số của phân số chứa . nhân TRÊN . Cụ thể nó sẽ trông như thế này:

Đôi khi sau khi phân biệt 2-3 phân số xuất hiện. Ví dụ: nếu chúng ta có một phân số khác thì thao tác sẽ cần phải được lặp lại - nhân mỗi thuật ngữ của mỗi phần TRÊN

Ở phía bên trái, chúng tôi đặt nó ra khỏi ngoặc:

Câu trả lời cuối cùng:

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho ngầm

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Điều duy nhất là trước khi loại bỏ phân số, trước tiên bạn cần loại bỏ cấu trúc ba tầng của phân số. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Đạo hàm của hàm được xác định bằng tham số

Đừng căng thẳng, mọi thứ trong đoạn này cũng khá đơn giản. Các bạn có thể viết công thức tổng quát cho hàm xác định tham số, nhưng để cho rõ ràng, tôi sẽ viết ngay một ví dụ cụ thể. Ở dạng tham số, hàm số được cho bởi hai phương trình: . Thông thường các phương trình được viết không phải dưới dấu ngoặc nhọn mà theo thứ tự: , .

Biến được gọi là tham số và có thể lấy các giá trị từ “âm vô cực” đến “cộng vô cực”. Ví dụ, hãy xem xét giá trị và thay thế nó vào cả hai phương trình: . Hay theo cách nói của con người: “nếu x bằng bốn thì y bằng một”. Bạn có thể đánh dấu một điểm trên mặt phẳng tọa độ và điểm này sẽ tương ứng với giá trị của tham số. Tương tự, bạn có thể tìm thấy một điểm cho bất kỳ giá trị nào của tham số “te”. Đối với hàm “thông thường”, đối với người Mỹ da đỏ có hàm được xác định bằng tham số, mọi quyền cũng được tôn trọng: bạn có thể xây dựng biểu đồ, tìm đạo hàm, v.v. Nhân tiện, nếu bạn cần vẽ đồ thị của hàm được xác định theo tham số, bạn có thể sử dụng chương trình của tôi.

Trong những trường hợp đơn giản nhất, có thể biểu diễn hàm một cách rõ ràng. Hãy để chúng tôi biểu thị tham số từ phương trình đầu tiên: - và thay nó vào phương trình thứ hai: . Kết quả là một hàm bậc ba thông thường.

Trong những trường hợp “nghiêm trọng” hơn, thủ thuật này không có tác dụng. Nhưng điều đó không thành vấn đề, vì có một công thức tìm đạo hàm của hàm tham số:

Chúng ta tìm đạo hàm của “trò chơi theo biến te”:

Tất cả các quy tắc đạo hàm và bảng đạo hàm tất nhiên đều hợp lệ đối với chữ cái , do đó, không có gì mới lạ trong quá trình tìm kiếm đạo hàm. Chỉ cần nhẩm thay thế tất cả chữ “X” trong bảng bằng chữ “Te”.

Ta tìm đạo hàm của “x theo biến te”:

Bây giờ tất cả những gì còn lại là thay thế các đạo hàm tìm được vào công thức của chúng ta:

Sẵn sàng. Đạo hàm, giống như chính hàm số, cũng phụ thuộc vào tham số.

Về ký hiệu, thay vì viết nó trong công thức, người ta có thể chỉ cần viết nó mà không có chỉ số dưới, vì đây là đạo hàm “chính quy” đối với X”. Nhưng trong văn học luôn có một lựa chọn nên tôi sẽ không đi chệch khỏi tiêu chuẩn.

Ví dụ 6

Chúng tôi sử dụng công thức

Trong trường hợp này:

Như vậy:

Điểm đặc biệt của việc tìm đạo hàm của hàm tham số là ở mỗi bước sẽ có lợi nếu đơn giản hóa kết quả càng nhiều càng tốt. Vì vậy, trong ví dụ đã xem xét, khi tôi tìm thấy nó, tôi đã mở dấu ngoặc đơn bên dưới thư mục gốc (mặc dù có thể tôi đã không làm điều này). Rất có thể khi thay vào công thức sẽ có nhiều thứ được giảm bớt tốt. Mặc dù tất nhiên vẫn có những ví dụ với câu trả lời vụng về.

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của hàm xác định theo tham số

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Trong bài viết Những bài toán điển hình đơn giản nhất với đạo hàm chúng ta đã xem xét các ví dụ trong đó chúng ta cần tìm đạo hàm cấp hai của một hàm số. Đối với hàm được xác định theo tham số, bạn cũng có thể tìm đạo hàm bậc hai và nó được tìm thấy bằng công thức sau: . Rõ ràng là để tìm đạo hàm thứ hai, trước tiên bạn phải tìm đạo hàm thứ nhất.

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số đã cho theo tham số

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm đạo hàm đầu tiên.
Chúng tôi sử dụng công thức

Trong trường hợp này:

Chúng tôi thay thế các dẫn xuất tìm thấy vào công thức. Để đơn giản hóa, chúng tôi sử dụng công thức lượng giác:

Cho đến nay, chúng ta đã xét các phương trình đường thẳng trên mặt phẳng nối trực tiếp tọa độ hiện tại của các điểm trên các đường thẳng này. Tuy nhiên, một phương pháp khác để xác định đường thẳng thường được sử dụng, trong đó tọa độ hiện tại được coi là hàm của biến thứ ba.

Cho hai hàm của một biến

được xem xét cho cùng các giá trị của t. Khi đó, bất kỳ giá trị nào của t đều tương ứng với một giá trị nhất định và một giá trị nhất định của y, và do đó tương ứng với một điểm nhất định. Khi biến t chạy qua tất cả các giá trị từ miền định nghĩa của hàm số (73), điểm mô tả một đường thẳng C nhất định trong mặt phẳng thì phương trình (73) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng này và biến được gọi là. một tham số.

Giả sử rằng hàm này có hàm nghịch đảo. Thay hàm này vào phương trình thứ hai (73), chúng ta thu được phương trình.

biểu diễn y dưới dạng hàm

Chúng ta hãy đồng ý nói rằng hàm này được cho bằng tham số bởi phương trình (73). Việc chuyển đổi từ các phương trình này sang phương trình (74) được gọi là loại bỏ tham số. Khi xem xét các hàm được xác định theo tham số, việc loại trừ tham số không những không cần thiết mà còn không phải lúc nào cũng khả thi trên thực tế.

Trong nhiều trường hợp, sẽ thuận tiện hơn nhiều, với các giá trị khác nhau của tham số, sau đó tính các giá trị tương ứng của đối số và hàm y bằng cách sử dụng các công thức (73).

Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ 1. Giả sử là một điểm tùy ý trên đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính R. Tọa độ Descartes x và y của điểm này được biểu thị thông qua bán kính cực và góc cực của nó, mà chúng ta ký hiệu ở đây là t, như sau ( xem Chương I, § 3, đoạn 3):

Phương trình (75) được gọi là phương trình tham số của đường tròn. Tham số trong chúng là góc cực, thay đổi từ 0 đến .

Nếu phương trình (75) được bình phương theo số hạng và được cộng vào, thì nhờ đồng nhất thức, tham số sẽ bị loại bỏ và thu được phương trình đường tròn trong hệ tọa độ Descartes, xác định hai hàm cơ bản:

Mỗi hàm này được xác định theo tham số bằng các phương trình (75), nhưng phạm vi tham số cho các hàm này là khác nhau. Đối với người đầu tiên trong số họ; Đồ thị của hàm này là hình bán nguyệt trên. Đối với hàm thứ hai, đồ thị của nó là hình bán nguyệt dưới.

Ví dụ 2. Xét đồng thời một hình elip

và một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính a (Hình 138).

Với mỗi điểm M của hình elip, chúng ta liên kết một điểm N của đường tròn, có cùng hoành độ với điểm M và nằm cùng phía với trục Ox. Vị trí của điểm N, và do đó là điểm M, hoàn toàn được xác định bởi góc cực t của điểm. Trong trường hợp này, đối với trục hoành chung của chúng, chúng ta thu được biểu thức sau: x = a. Chúng ta tìm tọa độ tại điểm M từ phương trình của hình elip:

Dấu được chọn vì tọa độ của điểm M và tọa độ của điểm N phải cùng dấu.

Do đó, các phương trình tham số sau đây thu được cho hình elip:

Ở đây tham số t thay đổi từ 0 đến .

Ví dụ 3. Xét một đường tròn có tâm tại điểm a) và bán kính a, rõ ràng tiếp xúc với trục x tại gốc (Hình 139). Giả sử đường tròn này lăn không trượt dọc theo trục x. Khi đó điểm M của đường tròn, tại thời điểm ban đầu trùng với gốc tọa độ, mô tả một đường thẳng gọi là cycloid.

Chúng ta hãy suy ra các phương trình tham số của cycloid, lấy tham số t là góc quay MSV của đường tròn khi di chuyển điểm cố định của nó từ vị trí O đến vị trí M. Khi đó với tọa độ và y của điểm M, ta thu được các biểu thức sau:

Do đường tròn lăn dọc theo trục không trượt nên độ dài đoạn OB bằng độ dài cung BM. Vì độ dài của cung BM bằng tích của bán kính a và góc ở tâm t nên . Đó là lý do tại sao . Nhưng vì thế,

Các phương trình này là phương trình tham số của cycloid. Khi tham số t thay đổi từ 0 thì vòng tròn sẽ thực hiện một vòng quay hoàn chỉnh. Điểm M sẽ mô tả một cung của cycloid.

Việc loại trừ tham số t ở đây sẽ dẫn đến các biểu thức cồng kềnh và thực tế là không thực tế.

Định nghĩa tham số của đường đặc biệt thường được sử dụng trong cơ học và vai trò của tham số được thể hiện theo thời gian.

Ví dụ 4. Hãy xác định quỹ đạo của một viên đạn được bắn ra từ súng với vận tốc ban đầu hợp với phương ngang một góc a. Chúng ta bỏ qua lực cản của không khí và kích thước của đạn, coi nó là một điểm vật chất.

Hãy chọn một hệ tọa độ. Chúng ta hãy lấy điểm khởi hành của đạn từ họng súng làm gốc tọa độ. Hãy hướng trục Ox theo chiều ngang và trục Oy theo chiều dọc, đặt chúng trong cùng một mặt phẳng với nòng súng. Nếu không có lực hấp dẫn thì viên đạn sẽ chuyển động theo đường thẳng tạo thành một góc a với trục Ox và đến thời điểm t nó đã đi được quãng đường tương ứng là: . Do trọng lực, lúc này viên đạn phải hạ xuống theo phương thẳng đứng một lượng. Do đó, trên thực tế, tại thời điểm t, tọa độ của viên đạn được xác định theo công thức:

Những phương trình này chứa số lượng không đổi. Khi t thay đổi thì tọa độ tại điểm quỹ đạo của viên đạn cũng sẽ thay đổi. Các phương trình là phương trình tham số của quỹ đạo đạn, trong đó tham số là thời gian

Biểu thị từ phương trình đầu tiên và thay thế nó vào

phương trình thứ hai, ta thu được phương trình quỹ đạo của viên đạn có dạng Đây là phương trình của một parabol.

Xét việc xác định một đường thẳng trên một mặt phẳng trong đó các biến x, y là hàm của biến thứ ba t (gọi là tham số):

Với mỗi giá trị t từ một khoảng thời gian nhất định các giá trị nhất định tương ứng x Và ừ, một, do đó, một điểm M(x, y) nào đó của mặt phẳng. Khi t chạy qua tất cả các giá trị trong một khoảng nhất định thì điểm M (x, y) mô tả một số dòng L. Phương trình (2.2) được gọi là phương trình đường tham số L.

Nếu hàm x = φ(t) có nghịch đảo t = Ф(x), thì thay biểu thức này vào phương trình y = g(t), chúng ta thu được y = g(Ф(x)), trong đó chỉ rõ y như một chức năng của x. Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng phương trình (2.2) xác định hàm y về mặt tham số.

Ví dụ 1. Cho phép M(x,y)– điểm tùy ý trên đường tròn bán kính R và tập trung tại gốc tọa độ. Cho phép t- góc giữa trục Con bò đực và bán kính ôi(xem hình 2.3). Sau đó x, yđược thể hiện thông qua t:

Phương trình (2.3) là phương trình tham số của đường tròn. Hãy loại trừ tham số t khỏi phương trình (2.3). Để làm điều này, chúng ta bình phương mỗi phương trình và cộng nó, chúng ta nhận được: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) hoặc x 2 + y 2 = R 2 – phương trình đường tròn trong Descartes hệ tọa độ. Nó định nghĩa hai hàm: Mỗi hàm này được cho bởi các phương trình tham số (2.3), nhưng đối với hàm thứ nhất và đối với hàm thứ hai.

Ví dụ 2. phương trình tham số

xác định một hình elip với bán trục một, b(Hình 2.4). Loại trừ tham số khỏi phương trình t, chúng ta thu được phương trình chính tắc của hình elip:

Ví dụ 3. Đường cycloid là đường được mô tả bởi một điểm nằm trên đường tròn nếu đường tròn này lăn không trượt theo đường thẳng (Hình 2.5). Hãy giới thiệu các phương trình tham số của cycloid. Gọi bán kính của vòng tròn lăn là Một, điểm M, mô tả cycloid, khi bắt đầu chuyển động trùng với gốc tọa độ.

Hãy xác định tọa độ x, y điểm M sau khi đường tròn đã quay một góc t
(Hình 2.5), t = ĐMCB. Chiều dài cung M.B. bằng độ dài của đoạn O.B. vì vòng tròn lăn không trượt nên

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost).

Vì vậy, ta thu được phương trình tham số của cycloid:

Khi thay đổi một tham số t từ 0 đến 2π vòng tròn quay một vòng và điểm M mô tả một cung của đường cycloid. Phương trình (2.5) cho y như một chức năng của x. Mặc dù chức năng x = a(t – sint) có hàm nghịch đảo nhưng không được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản nên hàm y = f(x) không được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản.

Chúng ta hãy xem xét đạo hàm của một hàm được xác định theo tham số bằng phương trình (2.2). Hàm x = φ(t) trên một khoảng thay đổi t nhất định có hàm nghịch đảo t = Ф(x), Sau đó y = g(Ф(x)). Cho phép x = φ(t), y = g(t) có đạo hàm và x"t≠0. Theo quy tắc đạo hàm của hàm số phức y"x=y"t×t"x. Dựa vào quy tắc đạo hàm hàm nghịch đảo, ta có:

Công thức thu được (2.6) cho phép tìm đạo hàm của hàm được xác định bằng tham số.

Ví dụ 4. Cho hàm y, tùy thuộc vào x, được chỉ định theo tham số:

Giải pháp. .
Ví dụ 5. Tìm độ dốc k tiếp tuyến với cycloid tại điểm M 0 tương ứng với giá trị của tham số.
Giải pháp. Từ các phương trình cycloid: y" t = asint, x" t = a(1 – chi phí),Đó là lý do tại sao

Độ dốc tiếp tuyến tại một điểm M0 bằng giá trị tại t 0 = π/4:

CHỨC NĂNG KHÁC BIỆT

Đặt hàm tại điểm x 0 có đạo hàm. Theo định nghĩa:
do đó, theo tính chất của giới hạn (Phần 1.8), trong đó Một– vô cùng nhỏ tại Δx → 0. Từ đây

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Khi Δx → 0, số hạng thứ hai trong đẳng thức (2.7) là vô cùng bé bậc cao hơn, so với , do đó Δy và f " (x 0)×Δx tương đương nhau, vô cùng nhỏ (với f "(x 0) ≠ 0).

Do đó, số gia của hàm Δy bao gồm hai số hạng, trong đó số hạng đầu tiên f "(x 0)×Δx là phần chính tăng Δy, tuyến tính đối với Δx (đối với f "(x 0)≠ 0).

vi sai Hàm số f(x) tại điểm x 0 được gọi là phần chính của phần tăng của hàm số và được ký hiệu: nhuộm hoặc df(x0). Kể từ đây,

df(x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Ví dụ 1. Tìm vi phân của hàm số nhuộm và độ tăng của hàm Δy đối với hàm y = x 2 tại:
1) tùy ý x và ∆ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Giải pháp

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Nếu x 0 = 20, Δx = 0,1 thì Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Ta viết đẳng thức (2.7) dưới dạng:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Gia số Δy khác với vi phân nhuộmđến vô cùng nhỏ bậc cao hơn, so với Δx, do đó, trong các phép tính gần đúng, đẳng thức gần đúng Δy ≈ dy được sử dụng nếu Δx đủ nhỏ.

Xét rằng Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), chúng ta thu được một công thức gần đúng:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Ví dụ 2. Tính xấp xỉ.

Giải pháp. Coi như:

Sử dụng công thức (2.10), chúng ta thu được:

Vì vậy, ≈ 2,025.

Chúng ta hãy xem xét ý nghĩa hình học của vi phân df(x 0)(Hình 2.6).

Vẽ tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 (x0, f(x 0)), gọi φ là góc giữa tiếp tuyến KM0 và trục Ox thì f"( x 0) = tanφ. Từ ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Nhưng PN là gia số của tọa độ tiếp tuyến khi x thay đổi từ x 0 thành x 0 + Δx.

Do đó, vi phân của hàm f(x) tại điểm x 0 bằng với độ tăng của tọa độ tiếp tuyến.

Hãy tìm vi phân của hàm số
y = x. Vì (x)" = 1 nên dx = 1×Δx = Δx. Chúng ta sẽ giả sử rằng vi phân của biến độc lập x bằng với số gia của nó, tức là dx = Δx.

Nếu x là một số tùy ý thì từ đẳng thức (2.8) ta thu được df(x) = f "(x)dx, từ đó .
Do đó, đạo hàm của hàm y = f(x) bằng tỷ số giữa vi phân của nó và vi phân của đối số.

Hãy xem xét các tính chất của vi phân của một hàm số.

Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi thì các công thức sau là hợp lệ:

Để chứng minh các công thức này, người ta sử dụng các công thức đạo hàm tính tổng, tích và thương của một hàm số. Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh công thức (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Hãy xem xét vi phân của một hàm phức: y = f(x), x = φ(t), tức là y = f(φ(t)).

Khi đó dy = y" t dt, nhưng y" t = y" x ×x" t, nên dy =y" x x" t dt. Xem xét,

x" t = dx, ta được dy = y" x dx =f "(x)dx.

Do đó, vi phân của hàm phức y = f(x), trong đó x =φ(t), có dạng dy = f "(x)dx, giống như trong trường hợp x là biến độc lập. Tính chất này được gọi là bất biến của dạng vi phân MỘT.

Đừng căng thẳng, mọi thứ trong đoạn này cũng khá đơn giản. Các bạn có thể viết công thức tổng quát cho hàm xác định tham số, nhưng để cho rõ ràng, tôi sẽ viết ngay một ví dụ cụ thể. Ở dạng tham số, hàm số được cho bởi hai phương trình: . Thông thường các phương trình được viết không phải dưới dấu ngoặc nhọn mà theo thứ tự: , .

Biến được gọi là tham số và có thể nhận các giá trị từ “âm vô cực” đến “cộng vô cực”. Ví dụ, hãy xem xét giá trị và thay thế nó vào cả hai phương trình: . Hay theo cách nói của con người: “nếu x bằng bốn thì y bằng một”. Bạn có thể đánh dấu một điểm trên mặt phẳng tọa độ và điểm này sẽ tương ứng với giá trị của tham số. Tương tự, bạn có thể tìm thấy một điểm cho bất kỳ giá trị nào của tham số “te”. Đối với hàm “thông thường”, đối với người Mỹ da đỏ có hàm được xác định bằng tham số, mọi quyền cũng được tôn trọng: bạn có thể xây dựng biểu đồ, tìm đạo hàm, v.v. Nhân tiện, nếu bạn cần vẽ đồ thị của một hàm được chỉ định theo tham số, hãy tải xuống chương trình hình học của tôi trên trang Các công thức và bảng toán học.

Trong những trường hợp đơn giản nhất, có thể biểu diễn hàm một cách rõ ràng. Hãy để chúng tôi biểu thị tham số từ phương trình đầu tiên: - và thay nó vào phương trình thứ hai: . Kết quả là một hàm bậc ba thông thường.

Trong những trường hợp “nghiêm trọng” hơn, thủ thuật này không có tác dụng. Nhưng điều đó không thành vấn đề, vì có một công thức tìm đạo hàm của hàm tham số:

Chúng ta tìm đạo hàm của “trò chơi theo biến te”:

Tất cả các quy tắc đạo hàm và bảng đạo hàm tất nhiên đều hợp lệ đối với chữ cái , do đó, không có gì mới lạ trong quá trình tìm kiếm đạo hàm. Chỉ cần nhẩm thay thế tất cả chữ “X” trong bảng bằng chữ “Te”.

Ta tìm đạo hàm của “x theo biến te”:

Bây giờ tất cả những gì còn lại là thay thế các đạo hàm tìm được vào công thức của chúng ta:

Sẵn sàng. Đạo hàm, giống như chính hàm số, cũng phụ thuộc vào tham số.

Về ký hiệu, thay vì viết nó trong công thức, người ta có thể chỉ cần viết nó mà không có chỉ số dưới, vì đây là đạo hàm “chính quy” đối với X”. Nhưng trong văn học luôn có một lựa chọn nên tôi sẽ không đi chệch khỏi tiêu chuẩn.

Ví dụ 6

Chúng tôi sử dụng công thức

Trong trường hợp này:

Như vậy:

Điểm đặc biệt của việc tìm đạo hàm của hàm tham số là ở mỗi bước sẽ có lợi nếu đơn giản hóa kết quả càng nhiều càng tốt. Vì vậy, trong ví dụ đã xem xét, khi tôi tìm thấy nó, tôi đã mở dấu ngoặc đơn bên dưới thư mục gốc (mặc dù có thể tôi đã không làm điều này). Rất có thể khi thay vào công thức sẽ có nhiều thứ được giảm bớt tốt. Mặc dù tất nhiên vẫn có những ví dụ với câu trả lời vụng về.

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của hàm xác định theo tham số

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Trong bài viết Những bài toán điển hình đơn giản nhất với đạo hàm chúng ta đã xem xét các ví dụ trong đó chúng ta cần tìm đạo hàm cấp hai của một hàm số. Đối với hàm được xác định theo tham số, bạn cũng có thể tìm đạo hàm bậc hai và nó được tìm thấy bằng công thức sau: . Rõ ràng là để tìm đạo hàm thứ hai, trước tiên bạn phải tìm đạo hàm thứ nhất.

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số đã cho theo tham số

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm đạo hàm đầu tiên.
Chúng tôi sử dụng công thức

Trong trường hợp này:

Thay thế các dẫn xuất tìm được vào công thức. Để đơn giản hóa, chúng tôi sử dụng công thức lượng giác:

Tôi nhận thấy rằng trong bài toán tìm đạo hàm của một hàm tham số, thường nhằm mục đích đơn giản hóa, người ta thường sử dụng công thức lượng giác . Hãy ghi nhớ chúng hoặc giữ chúng trong tầm tay và đừng bỏ lỡ cơ hội đơn giản hóa từng kết quả và câu trả lời trung gian. Để làm gì? Bây giờ chúng ta phải lấy đạo hàm của , và điều này rõ ràng là tốt hơn việc tìm đạo hàm của .

Hãy tìm đạo hàm thứ hai.
Ta sử dụng công thức: .

Hãy nhìn vào công thức của chúng tôi. Mẫu số đã được tìm thấy ở bước trước. Vẫn còn phải tìm tử số - đạo hàm của đạo hàm bậc nhất đối với biến “te”:

Vẫn còn phải sử dụng công thức:

Để củng cố tài liệu, tôi đưa ra một vài ví dụ nữa để bạn tự giải quyết.

Ví dụ 9

Ví dụ 10

Tìm và cho một hàm được chỉ định theo tham số

Tôi chúc bạn thành công!

Tôi hy vọng bài học này hữu ích và bây giờ bạn có thể dễ dàng tìm thấy đạo hàm của các hàm được chỉ định ngầm định và từ các hàm tham số

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3: Giải:






Như vậy: