mô đun số Một là khoảng cách từ gốc tới điểm MỘT(Một).

Để hiểu định nghĩa này, hãy thay thế biến Một bất kỳ số nào, ví dụ 3 và thử đọc lại:

mô đun số 3 là khoảng cách từ gốc tới điểm MỘT(3 ).

Rõ ràng là mô-đun không gì khác hơn là một khoảng cách thông thường. Hãy thử xem khoảng cách từ điểm gốc đến điểm A( 3 )

Khoảng cách từ điểm gốc tới điểm A( 3 ) bằng 3 (ba đơn vị hoặc ba bước).

Mô-đun của một số được biểu thị bằng hai đường thẳng đứng, ví dụ:

Mô đun của số 3 được ký hiệu như sau: |3|

Mô đun của số 4 được ký hiệu như sau: |4|

Mô đun của số 5 được ký hiệu như sau: |5|

Chúng tôi đã tìm mô đun của số 3 và phát hiện ra rằng nó bằng 3. Vì vậy, chúng tôi viết nó ra:

Đọc như: "Mô đun của số ba là ba"

Bây giờ chúng ta hãy thử tìm mô đun của số -3. Một lần nữa, chúng ta quay lại định nghĩa và thay số -3 vào đó. Chỉ thay vì một dấu chấm MỘT sử dụng một điểm mới B. Dừng hoàn toàn MỘT chúng tôi đã sử dụng trong ví dụ đầu tiên.

Mô đun của số - 3 là khoảng cách từ gốc đến một điểm B(—3 ).

Khoảng cách từ điểm này đến điểm khác không thể âm. Do đó, mô đun của bất kỳ số âm nào, là khoảng cách, cũng sẽ không âm. Mô đun của số -3 sẽ là số 3. Khoảng cách từ gốc đến điểm B(-3) cũng bằng ba đơn vị:

Đọc như: “Mô đun của âm ba là ba.”

Mô đun của số 0 bằng 0, vì điểm có tọa độ 0 trùng với gốc tọa độ, tức là. khoảng cách từ điểm gốc đến điểm O(0) bằng 0:

"Mô đun của số 0 bằng 0"

Chúng tôi rút ra kết luận:

• Mô đun của một số không thể âm;
• Đối với số dương và số 0, mô đun bằng chính số đó và đối với số âm – số đối diện;
• Các số đối diện có mô-đun bằng nhau.

số đối diện

Những số chỉ khác nhau về dấu gọi là đối diện. Ví dụ: các số −2 và 2 là hai số đối nhau. Chúng chỉ khác nhau về dấu hiệu. Số −2 có dấu trừ và 2 có dấu cộng, nhưng chúng ta không nhìn thấy nó, vì dấu cộng, như chúng ta đã nói trước đó, theo truyền thống không được viết.

Thêm ví dụ về các số đối diện:

Các số đối diện có mô-đun bằng nhau. Ví dụ: hãy tìm mô-đun của −2 và 2

Hình vẽ cho thấy khoảng cách từ gốc đến các điểm A(−2) Và B(2) bằng nhau với hai bước.

Bạn có thích bài học không?
Tham gia nhóm VKontakte mới của chúng tôi và bắt đầu nhận thông báo về các bài học mới

Mô-đun này là một trong những thứ mà dường như mọi người đều đã nghe nói đến nhưng thực tế thì không ai thực sự hiểu được. Vì vậy, hôm nay sẽ có một bài học lớn dành riêng cho việc giải phương trình bằng mô-đun.

Tôi sẽ nói ngay: bài học sẽ không khó. Và nhìn chung, module là một chủ đề tương đối đơn giản. “Vâng, tất nhiên, nó không phức tạp! Nó làm tôi choáng váng!” - nhiều học sinh sẽ nói, nhưng tất cả những điều này xảy ra là do hầu hết mọi người không có kiến ​​​​thức trong đầu mà là một thứ tào lao nào đó. Và mục tiêu của bài học này là biến chuyện tào lao thành kiến ​​thức :)

Một chút lý thuyết

Vì vậy, chúng ta hãy đi. Hãy bắt đầu với điều quan trọng nhất: mô-đun là gì? Hãy để tôi nhắc bạn rằng mô đun của một số chỉ đơn giản là cùng một số, nhưng được lấy không có dấu trừ. Đó là, ví dụ: $\left| -5 \right|=5$. Hoặc $\left| -129,5 \right|=$129,5.

Nó có đơn giản vậy không? Vâng, đơn giản. Vậy giá trị tuyệt đối của một số dương là bao nhiêu? Ở đây thậm chí còn đơn giản hơn: mô đun của một số dương bằng chính số này: $\left| 5 \right|=5$; $\trái| 129,5 \right|=$129,5, v.v.

Hóa ra một điều kỳ lạ là: các số khác nhau có thể có cùng một mô-đun. Ví dụ: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\trái| -129,5 \right|=\left| 129,5\phải|=$129,5. Dễ dàng nhận ra đây là những loại số nào, có mô-đun giống nhau: những số này ngược nhau. Vì vậy, chúng tôi lưu ý rằng các mô-đun có số đối diện là bằng nhau:

\[\left| -a \right|=\left| a\phải|\]

Một sự thật quan trọng khác: mô đun không bao giờ âm. Bất kể số nào chúng ta lấy - dù là dương hay âm - mô đun của nó luôn luôn dương (hoặc, trong trường hợp cực đoan là bằng 0). Đó là lý do tại sao mô đun thường được gọi là giá trị tuyệt đối của một số.

Ngoài ra, nếu chúng ta kết hợp định nghĩa mô đun cho số dương và số âm, chúng ta thu được định nghĩa tổng thể về mô đun cho tất cả các số. Cụ thể: mô đun của một số bằng chính số đó nếu số đó dương (hoặc bằng 0) hoặc bằng số đối diện nếu số đó âm. Bạn có thể viết điều này dưới dạng công thức:

Ngoài ra còn có mô đun bằng 0, nhưng nó luôn bằng 0. Ngoài ra, số 0 là số duy nhất không có số đối.

Vì vậy, nếu chúng ta xét hàm $y=\left| x \right|$ và thử vẽ biểu đồ của nó, bạn sẽ nhận được kết quả như thế này:

Đồ thị mô đun và ví dụ giải phương trình

Từ hình ảnh này có thể thấy ngay rằng $\left| -m \right|=\left| m \right|$, và đồ thị mô đun không bao giờ nằm ​​dưới trục x. Nhưng đó chưa phải là tất cả: đường màu đỏ đánh dấu đường thẳng $y=a$, mà đối với $a$ dương, cho chúng ta hai nghiệm cùng một lúc: $((x)_(1))$ và $((x) _(2)) $, nhưng chúng ta sẽ nói về điều đó sau :)

Ngoài định nghĩa đại số thuần túy, còn có định nghĩa hình học. Giả sử có hai điểm trên trục số: $((x)_(1))$ và $((x)_(2))$. Trong trường hợp này, biểu thức $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ chỉ đơn giản là khoảng cách giữa các điểm được chỉ định. Hoặc, nếu bạn thích, độ dài của đoạn nối các điểm này:

Mô đun là khoảng cách giữa các điểm trên trục số

Định nghĩa này cũng ngụ ý rằng mô đun luôn không âm. Nhưng đã đủ định nghĩa và lý thuyết - hãy chuyển sang các phương trình thực tế :)

Công thức cơ bản

Được rồi, chúng tôi đã sắp xếp định nghĩa. Nhưng điều đó không làm mọi việc dễ dàng hơn chút nào. Làm thế nào để giải các phương trình chứa mô-đun này?

Bình tĩnh, bình tĩnh thôi. Hãy bắt đầu với những điều đơn giản nhất. Hãy xem xét một cái gì đó như thế này:

\[\left| x\right|=3\]

Vậy mô đun của $x$ là 3. $x$ có thể bằng bao nhiêu? Chà, xét theo định nghĩa, chúng ta khá hài lòng với $x=3$. Thật sự:

\[\left| 3\phải|=3\]

Có những con số khác? Cap dường như đang ám chỉ rằng có. Ví dụ: $x=-3$ cũng là $\left| -3 \right|=3$, tức là sự bình đẳng cần thiết được thỏa mãn.

Vậy biết đâu nếu tìm kiếm và suy nghĩ, chúng ta sẽ tìm được nhiều con số hơn? Nhưng hãy đối mặt với nó: không còn con số nào nữa. Phương trình $\left| x \right|=3$ chỉ có hai nghiệm: $x=3$ và $x=-3$.

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút. Đặt hàm $f\left(x \right)$ nằm dưới dấu mô đun thay vì biến $x$ và đặt một số tùy ý $a$ thay cho bộ ba ở bên phải. Chúng ta nhận được phương trình:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Vậy làm thế nào chúng ta có thể giải quyết điều này? Hãy để tôi nhắc bạn: $f\left(x \right)$ là một hàm tùy ý, $a$ là số bất kỳ. Những thứ kia. Bất cứ điều gì cả! Ví dụ:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Chúng ta hãy chú ý đến phương trình thứ hai. Bạn có thể nói ngay về anh ta: anh ta không có gốc rễ. Tại sao? Mọi thứ đều đúng: bởi vì nó yêu cầu mô đun phải bằng số âm, điều này không bao giờ xảy ra, vì chúng ta đã biết rằng mô đun luôn là số dương hoặc trong trường hợp cực đoan là bằng 0.

Nhưng với phương trình đầu tiên, mọi thứ sẽ vui hơn. Có hai lựa chọn: hoặc có biểu thức dương dưới dấu mô đun, sau đó $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, hoặc biểu thức này vẫn âm, và sau đó $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Trong trường hợp đầu tiên, phương trình của chúng ta sẽ được viết lại như sau:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Và đột nhiên hóa ra biểu thức mô đun con $2x+1$ thực sự dương - nó bằng số 5. ​​Đó là chúng ta có thể giải phương trình này một cách an toàn - nghiệm thu được sẽ là một phần của câu trả lời:

Những người đặc biệt không tin tưởng có thể thử thay thế nghiệm đã tìm được vào phương trình ban đầu và đảm bảo rằng thực sự có một số dương trong môđun.

Bây giờ hãy xem trường hợp biểu thức mô đun con âm:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Mũi tên phải 2x+1=-5\]

Ối! Một lần nữa, mọi thứ đều rõ ràng: chúng ta giả sử rằng $2x+1 \lt 0$, và kết quả là chúng ta nhận được $2x+1=-5$ - thực sự, biểu thức này nhỏ hơn 0. Chúng tôi giải phương trình kết quả, trong khi biết chắc chắn rằng nghiệm tìm được sẽ phù hợp với chúng tôi:

Tổng cộng, chúng tôi lại nhận được hai câu trả lời: $x=2$ và $x=3$. Đúng, số lượng phép tính hóa ra lớn hơn một chút so với phương trình rất đơn giản $\left| x \right|=3$, nhưng về cơ bản không có gì thay đổi. Vậy có lẽ có một loại thuật toán phổ quát nào đó?

Có, một thuật toán như vậy tồn tại. Và bây giờ chúng ta sẽ phân tích nó.

Loại bỏ dấu hiệu mô đun

Chúng ta hãy cho phương trình $\left| f\left(x \right) \right|=a$, và $a\ge 0$ (nếu không, như chúng ta đã biết, không có gốc). Sau đó, bạn có thể loại bỏ dấu hiệu mô đun bằng quy tắc sau:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Do đó, phương trình của chúng ta có mô đun chia thành hai, nhưng không có mô đun. Đó là tất cả công nghệ! Hãy thử giải một vài phương trình. Hãy bắt đầu với điều này

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Hãy xem xét riêng khi có điểm cộng mười ở bên phải và riêng khi có điểm trừ. Chúng tôi có:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi! Chúng ta có hai nghiệm: $x=1.2$ và $x=-2.8$. Toàn bộ giải pháp thực sự có hai dòng.

Được rồi, không có câu hỏi nào, hãy xem xét điều gì đó nghiêm túc hơn một chút:

\[\left| 7-5x\phải|=13\]

Một lần nữa chúng ta mở mô-đun bằng dấu cộng và dấu trừ:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(căn chỉnh)\]

Một vài dòng nữa - và câu trả lời đã sẵn sàng! Như tôi đã nói, không có gì phức tạp về mô-đun. Bạn chỉ cần nhớ một vài quy tắc. Do đó, chúng tôi tiếp tục và bắt đầu với những nhiệm vụ thực sự phức tạp hơn.

Trường hợp biến vế phải

Bây giờ hãy xem xét phương trình này:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Phương trình này về cơ bản khác với tất cả các phương trình trước đó. Làm sao? Và thực tế là ở bên phải dấu bằng là biểu thức $2x$ - và chúng ta không thể biết trước nó là dương hay âm.

Phải làm gì trong trường hợp này? Đầu tiên, chúng ta phải hiểu một lần và mãi mãi rằng nếu vế phải của phương trình là âm thì phương trình sẽ không có nghiệm- chúng ta đã biết rằng mô-đun không thể bằng số âm.

Và thứ hai, nếu phần bên phải vẫn dương (hoặc bằng 0), thì bạn có thể thao tác theo cách tương tự như trước: chỉ cần mở mô-đun riêng bằng dấu cộng và riêng bằng dấu trừ.

Do đó, chúng tôi xây dựng quy tắc cho các hàm tùy ý $f\left(x \right)$ và $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Liên quan đến phương trình của chúng tôi, chúng tôi nhận được:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Chà, bằng cách nào đó chúng ta sẽ đáp ứng được yêu cầu $2x\ge 0$. Cuối cùng, chúng ta có thể thay thế các nghiệm mà chúng ta nhận được từ phương trình đầu tiên một cách ngu ngốc và kiểm tra xem bất đẳng thức có đúng hay không.

Vì vậy, hãy tự giải phương trình:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Vậy, nghiệm nào trong hai nghiệm này thỏa mãn yêu cầu $2x\ge 0$? Vâng cả hai! Do đó, câu trả lời sẽ là hai số: $x=(4)/(3)\;$ và $x=0$. Đó là giải pháp.

Tôi nghi ngờ rằng một số học sinh đã bắt đầu cảm thấy nhàm chán? Chà, hãy xem xét một phương trình thậm chí còn phức tạp hơn:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Mặc dù trông có vẻ xấu xa nhưng thực tế nó vẫn là phương trình có dạng “mô đun bằng hàm”:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Và nó được giải quyết theo cách tương tự:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(căn chỉnh) \right.\]

Chúng ta sẽ giải quyết vấn đề bất bình đẳng sau - nó có phần quá xấu xa (thực ra thì nó đơn giản nhưng chúng ta sẽ không giải quyết được). Hiện tại, tốt hơn hết là xử lý các phương trình thu được. Hãy xem xét trường hợp đầu tiên - đây là khi mô-đun được mở rộng bằng dấu cộng:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Chà, không cần phải đắn đo khi bạn cần thu thập mọi thứ từ bên trái, mang theo những thứ tương tự và xem điều gì sẽ xảy ra. Và đây là những gì xảy ra:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(căn chỉnh)\]

Chúng ta lấy thừa số chung $((x)^(2))$ ra khỏi ngoặc và nhận được một phương trình rất đơn giản:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(căn chỉnh) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Ở đây chúng ta đã tận dụng một tính chất quan trọng của tích, vì lợi ích đó mà chúng ta đã phân tích đa thức ban đầu: tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0.

Bây giờ, hãy xử lý phương trình thứ hai theo cách tương tự, phương trình này thu được bằng cách khai triển mô-đun bằng dấu trừ:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Một lần nữa điều tương tự: tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Chúng tôi có:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Vâng, chúng ta có ba nghiệm: $x=0$, $x=1.5$ và $x=(2)/(3)\;$. Chà, bộ nào sẽ đi vào câu trả lời cuối cùng? Để làm điều này, hãy nhớ rằng chúng ta có một ràng buộc bổ sung ở dạng bất đẳng thức:

Làm thế nào để tính đến yêu cầu này? Chúng ta hãy thay thế các nghiệm đã tìm được và kiểm tra xem liệu bất đẳng thức có đúng với $x$ này hay không. Chúng tôi có:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(căn chỉnh)\]

Vì vậy, gốc $x=1.5$ không phù hợp với chúng ta. Và để đáp lại sẽ chỉ có hai gốc:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Như bạn có thể thấy, ngay cả trong trường hợp này cũng không có gì phức tạp - các phương trình có mô-đun luôn được giải bằng thuật toán. Bạn chỉ cần hiểu rõ về đa thức và bất đẳng thức. Do đó, chúng tôi chuyển sang các nhiệm vụ phức tạp hơn - sẽ không có một mà là hai mô-đun.

Phương trình với hai mô-đun

Cho đến nay, chúng tôi chỉ nghiên cứu các phương trình đơn giản nhất - có một mô-đun và một thứ khác. Chúng ta đã gửi “thứ khác” này đến một phần khác của bất đẳng thức, cách xa mô-đun, để cuối cùng mọi thứ sẽ được quy giản về một phương trình có dạng $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ hoặc thậm chí đơn giản hơn $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Nhưng lớp mẫu giáo đã kết thúc - đã đến lúc phải xem xét điều gì đó nghiêm túc hơn. Hãy bắt đầu với các phương trình như thế này:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Đây là một phương trình có dạng “mô đun bằng mô đun”. Điểm quan trọng cơ bản là không có các điều khoản và yếu tố khác: chỉ có một mô-đun ở bên trái, thêm một mô-đun ở bên phải - và không có gì hơn thế.

Bây giờ có người sẽ nghĩ rằng những phương trình như vậy khó giải hơn những gì chúng ta đã nghiên cứu cho đến nay. Nhưng không: những phương trình này thậm chí còn dễ giải hơn. Đây là công thức:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tất cả! Chúng ta chỉ cần đánh đồng các biểu thức mô đun con bằng cách đặt dấu cộng hoặc dấu trừ trước một trong các biểu thức đó. Và sau đó chúng ta giải hai phương trình thu được - và các nghiệm đã sẵn sàng! Không có hạn chế bổ sung, không có sự bất bình đẳng, v.v. Nó rất đơn giản.

Hãy thử giải quyết vấn đề này:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \phải|\]

Sơ cấp thôi, Watson! Mở rộng các module:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Chúng ta hãy xem xét từng trường hợp riêng biệt:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(căn chỉnh)\]

Phương trình đầu tiên không có gốc. Bởi vì khi nào $3=-7$? Tại giá trị nào của $x$? “$x$ là cái quái gì vậy? Bạn có bị ném đá không? Không có $x$ nào cả,” bạn nói. Và bạn sẽ đúng. Chúng ta đã thu được một đẳng thức không phụ thuộc vào biến $x$, đồng thời bản thân đẳng thức đó không đúng. Đó là lý do tại sao không có rễ :)

Với phương trình thứ hai, mọi thứ thú vị hơn một chút nhưng cũng rất, rất đơn giản:

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đã được giải quyết theo đúng nghĩa đen trong một vài dòng - chúng tôi không mong đợi bất cứ điều gì khác từ một phương trình tuyến tính :)

Kết quả, đáp án cuối cùng là: $x=1$.

Vậy làm thế nào? Khó? Tất nhiên là không. Hãy thử cái gì khác:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Một lần nữa chúng ta có một phương trình có dạng $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Do đó, chúng tôi viết lại ngay lập tức, để lộ dấu mô đun:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Có lẽ lúc này sẽ có người hỏi: “Này, vớ vẩn gì vậy? Tại sao "cộng trừ" xuất hiện ở biểu thức bên phải mà không xuất hiện ở bên trái? Hãy bình tĩnh, tôi sẽ giải thích mọi chuyện ngay bây giờ. Thật vậy, theo cách tốt nhất thì chúng ta nên viết lại phương trình của mình như sau:

Sau đó, bạn cần mở dấu ngoặc, di chuyển tất cả các số hạng sang một bên của dấu bằng (vì rõ ràng phương trình sẽ là hình vuông trong cả hai trường hợp), sau đó tìm nghiệm. Nhưng bạn phải thừa nhận: khi “cộng-trừ” xuất hiện trước ba thuật ngữ (đặc biệt khi một trong các thuật ngữ này là biểu thức bậc hai), thì bằng cách nào đó, nó trông phức tạp hơn tình huống khi “cộng-trừ” chỉ xuất hiện trước hai thuật ngữ.

Nhưng không có gì ngăn cản chúng ta viết lại phương trình ban đầu như sau:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Chuyện gì đã xảy ra thế? Không có gì đặc biệt: họ chỉ hoán đổi bên trái và bên phải. Một điều nhỏ cuối cùng sẽ làm cho cuộc sống của chúng ta dễ dàng hơn một chút :)

Nói chung, chúng tôi giải phương trình này bằng cách xem xét các tùy chọn có điểm cộng và điểm trừ:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Phương trình đầu tiên có nghiệm $x=3$ và $x=1$. Thứ hai nói chung là một hình vuông chính xác:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Vì vậy, nó chỉ có một gốc: $x=1$. Nhưng chúng tôi đã có được gốc này sớm hơn. Như vậy, chỉ có hai con số sẽ đi vào câu trả lời cuối cùng:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Nhiệm vụ đã hoàn thành! Bạn có thể lấy một chiếc bánh từ kệ và ăn nó. Có 2 cái, của bạn là cái ở giữa :)

Lưu ý quan trọng. Sự hiện diện của các nghiệm giống hệt nhau cho các biến thể khai triển mô-đun khác nhau có nghĩa là các đa thức ban đầu được phân tích thành thừa số và trong số các thừa số này chắc chắn sẽ có một thừa số chung. Thật sự:

\[\begin(căn chỉnh)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(căn chỉnh)\]

Một trong các thuộc tính của mô-đun: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (tức là mô đun của tích bằng tích của các mô đun), do đó phương trình ban đầu có thể được viết lại như sau:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Như bạn có thể thấy, chúng tôi thực sự có một yếu tố chung. Bây giờ, nếu bạn thu thập tất cả các mô-đun ở một bên, bạn có thể loại bỏ yếu tố này ra khỏi khung:

\[\begin(căn chỉnh)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Chà, bây giờ hãy nhớ rằng tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0:

\[\left[ \begin(căn chỉnh)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(căn chỉnh) \right.\]

Do đó, phương trình ban đầu với hai mô-đun đã được rút gọn thành hai phương trình đơn giản nhất mà chúng ta đã nói ở đầu bài học. Những phương trình như vậy có thể được giải theo đúng nghĩa đen trong một vài dòng :)

Nhận xét này có vẻ phức tạp một cách không cần thiết và không thể áp dụng được trong thực tế. Tuy nhiên, trên thực tế, bạn có thể gặp phải những vấn đề phức tạp hơn nhiều so với những vấn đề chúng ta đang xem xét ngày nay. Trong đó, các mô-đun có thể được kết hợp với đa thức, căn bậc số học, logarit, v.v. Và trong những tình huống như vậy, khả năng hạ thấp mức độ tổng thể của phương trình bằng cách lấy thứ gì đó ra khỏi ngoặc có thể rất, rất hữu ích :)

Bây giờ tôi muốn phân tích một phương trình khác, thoạt nhìn có vẻ điên rồ. Nhiều sinh viên gặp khó khăn với nó, ngay cả những người nghĩ rằng họ đã hiểu rõ về các học phần.

Tuy nhiên, phương trình này thậm chí còn dễ giải hơn những gì chúng ta đã xem xét trước đó. Và nếu bạn hiểu lý do tại sao, bạn sẽ học được một thủ thuật khác để giải nhanh các phương trình bằng mô đun.

Vậy phương trình là:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Không, đây không phải là lỗi đánh máy: đó là điểm cộng giữa các mô-đun. Và chúng ta cần tìm $x$ tổng của hai mô-đun bằng 0 :)

Vấn đề là gì vậy? Nhưng vấn đề là mỗi mô-đun là một số dương, hoặc trong trường hợp cực đoan là bằng 0. Điều gì xảy ra nếu bạn cộng hai số dương? Rõ ràng lại là một số dương:

\[\begin(căn chỉnh)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(căn chỉnh)\]

Dòng cuối cùng có thể cho bạn ý tưởng: lần duy nhất tổng của các mô-đun bằng 0 là nếu mỗi mô-đun bằng 0:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

Và khi nào mô-đun bằng 0? Chỉ trong một trường hợp - khi biểu thức mô đun con bằng 0:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(căn chỉnh) \right.\]

Do đó, chúng ta có ba điểm tại đó mô-đun đầu tiên được đặt lại: 0, 1 và −1; cũng như hai điểm mà mô-đun thứ hai được đặt lại về 0: −2 và 1. Tuy nhiên, chúng ta cần cả hai mô-đun được đặt lại về 0 cùng một lúc, vì vậy trong số các số tìm thấy, chúng ta cần chọn những số có trong cả hai bộ. Rõ ràng, chỉ có một số như vậy: $x=1$ - đây sẽ là câu trả lời cuối cùng.

Phương pháp phân cắt

Chà, chúng ta đã giải quyết được rất nhiều vấn đề và học được rất nhiều kỹ thuật. Bạn có nghĩ đó là tất cả? Nhưng không! Bây giờ chúng ta sẽ xem xét kỹ thuật cuối cùng - đồng thời là kỹ thuật quan trọng nhất. Chúng ta sẽ nói về việc chia phương trình bằng mô đun. Chúng ta sẽ nói về điều gì? Chúng ta hãy quay lại một chút và xem xét một số phương trình đơn giản. Ví dụ thế này:

\[\left| 3x-5 \phải|=5-3x\]

Về nguyên tắc, chúng ta đã biết cách giải phương trình như vậy, bởi vì nó là một cấu trúc tiêu chuẩn có dạng $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Nhưng chúng ta hãy thử nhìn phương trình này từ một góc độ hơi khác. Chính xác hơn, hãy xem xét biểu thức dưới dấu mô đun. Hãy để tôi nhắc bạn rằng mô đun của bất kỳ số nào có thể bằng chính số đó hoặc có thể ngược lại với số này:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Trên thực tế, sự mơ hồ này chính là toàn bộ vấn đề: vì số trong mô đun thay đổi (nó phụ thuộc vào biến), nên chúng ta không rõ nó là dương hay âm.

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu ban đầu bạn yêu cầu con số này phải dương? Ví dụ: chúng tôi yêu cầu $3x-5 \gt 0$ - trong trường hợp này, chúng tôi đảm bảo nhận được số dương dưới dấu mô đun và chúng tôi hoàn toàn có thể loại bỏ chính mô đun này:

Do đó, phương trình của chúng ta sẽ biến thành phương trình tuyến tính, có thể giải dễ dàng:

Đúng, tất cả những suy nghĩ này chỉ có ý nghĩa với điều kiện $3x-5 \gt 0$ - chính chúng tôi đã đưa ra yêu cầu này để tiết lộ mô-đun một cách rõ ràng. Do đó, hãy thay thế $x=\frac(5)(3)$ tìm thấy vào điều kiện này và kiểm tra:

Hóa ra là với giá trị xác định của $x$, yêu cầu của chúng ta không được đáp ứng, bởi vì biểu thức hóa ra bằng 0 và chúng ta cần nó phải lớn hơn 0. Buồn. :(

Nhưng không sao đâu! Rốt cuộc, vẫn còn một lựa chọn khác $3x-5 \lt 0$. Hơn nữa: cũng có trường hợp $3x-5=0$ - điều này cũng cần được xem xét, nếu không lời giải sẽ không đầy đủ. Vì vậy, hãy xem xét trường hợp $3x-5 \lt 0$:

Rõ ràng, mô-đun sẽ mở ra bằng dấu trừ. Nhưng sau đó, một tình huống kỳ lạ nảy sinh: cả bên trái và bên phải trong phương trình ban đầu đều có cùng một biểu thức:

Tôi tự hỏi tại sao $x$ biểu thức $5-3x$ sẽ bằng biểu thức $5-3x$? Ngay cả Captain Obviousness cũng sẽ nghẹn ngào vì những phương trình như vậy, nhưng chúng ta biết: phương trình này là một đồng nhất thức, tức là. nó đúng với mọi giá trị của biến!

Điều này có nghĩa là bất kỳ $x$ nào cũng sẽ phù hợp với chúng ta. Tuy nhiên, chúng tôi có một hạn chế:

Nói cách khác, câu trả lời sẽ không phải là một con số mà là cả một khoảng:

Cuối cùng, còn một trường hợp nữa cần xem xét: $3x-5=0$. Mọi thứ ở đây đều đơn giản: theo mô đun sẽ bằng 0 và mô đun của 0 cũng bằng 0 (điều này diễn ra trực tiếp từ định nghĩa):

Nhưng sau đó phương trình ban đầu $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ sẽ được viết lại như sau:

Chúng ta đã có được nghiệm này ở trên khi xét trường hợp $3x-5 \gt 0$. Hơn nữa, nghiệm này là nghiệm của phương trình $3x-5=0$ - đây là hạn chế mà chính chúng tôi đã đưa ra để thiết lập lại mô-đun :)

Vì vậy, ngoài khoảng, chúng ta cũng sẽ hài lòng với số nằm ở cuối khoảng này:

Kết hợp các nghiệm trong phương trình modulo

Tổng số câu trả lời cuối cùng: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Không hiếm khi thấy những điều nhảm nhí như vậy trong câu trả lời cho một phương trình khá đơn giản (về cơ bản là tuyến tính) với mô đun , thật sao? Chà, hãy làm quen với nó: khó khăn của mô-đun là các câu trả lời trong các phương trình như vậy có thể hoàn toàn không thể đoán trước được.

Một điều khác quan trọng hơn nhiều: chúng ta vừa phân tích một thuật toán phổ quát để giải phương trình bằng mô đun! Và thuật toán này bao gồm các bước sau:

1. Đánh đồng từng mô đun trong phương trình bằng 0. Chúng tôi nhận được một số phương trình;
2. Giải tất cả các phương trình này và đánh dấu các nghiệm trên trục số. Kết quả là, đường thẳng sẽ được chia thành nhiều khoảng, tại mỗi khoảng đó tất cả các mô-đun được hiển thị duy nhất;
3. Giải phương trình ban đầu cho mỗi khoảng và kết hợp các câu trả lời của bạn.

Thế thôi! Chỉ còn một câu hỏi: phải làm gì với những rễ cây thu được ở bước 1? Giả sử chúng ta có hai nghiệm: $x=1$ và $x=5$. Họ sẽ chia trục số thành 3 phần:

Chia trục số thành các khoảng bằng điểm

Vậy các khoảng là gì? Rõ ràng là có ba trong số họ:

1. Cái ngoài cùng bên trái: $x \lt 1$ — bản thân đơn vị đó không được bao gồm trong khoảng;
2. Trung tâm: $1\le x \lt 5$ - ở đây một được bao gồm trong khoảng, nhưng năm không được bao gồm;
3. Ngoài cùng bên phải: $x\ge 5$ - năm chỉ được đưa vào đây!

Tôi nghĩ bạn đã hiểu mô hình. Mỗi khoảng bao gồm đầu bên trái và không bao gồm đầu bên phải.

Thoạt nhìn, một mục như vậy có vẻ bất tiện, phi logic và nói chung là một kiểu điên rồ nào đó. Nhưng tin tôi đi: sau một thời gian thực hành, bạn sẽ thấy rằng cách tiếp cận này là đáng tin cậy nhất và không cản trở việc mở các mô-đun một cách rõ ràng. Tốt hơn là bạn nên sử dụng sơ đồ như vậy hơn là lúc nào cũng phải suy nghĩ: đưa đầu bên trái/phải cho khoảng thời gian hiện tại hoặc “ném” nó vào khoảng thời gian tiếp theo.

Giải phương trình và bất phương trình bằng mô đun thường gây khó khăn. Tuy nhiên, nếu bạn hiểu rõ nó là gì mô đun số, Và cách mở rộng chính xác các biểu thức có chứa dấu mô đun, thì sự có mặt trong phương trình biểu thức dưới dấu mô đun, không còn là trở ngại cho việc giải quyết nó.

Một chút lý thuyết. Mỗi số có hai đặc điểm: giá trị tuyệt đối của số đó và dấu của nó.

Ví dụ: số +5 hoặc đơn giản là 5, có dấu “+” và giá trị tuyệt đối là 5.

Số -5 có dấu "-" và giá trị tuyệt đối là 5.

Giá trị tuyệt đối của số 5 và -5 là 5.

Giá trị tuyệt đối của một số x được gọi là mô đun của số đó và được ký hiệu là |x|.

Như chúng ta thấy, mô đun của một số bằng chính số đó nếu số này lớn hơn hoặc bằng 0 và bằng số này có dấu ngược lại nếu số này âm.

Điều tương tự cũng áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào xuất hiện dưới dấu mô đun.

Quy tắc mở rộng mô-đun trông như thế này:

|f(x)|= f(x) nếu f(x) ≥ 0, và

|f(x)|= - f(x), nếu f(x)< 0

Ví dụ |x-3|=x-3, nếu x-3 ≥0 và |x-3|=-(x-3)=3-x, nếu x-3<0.

Để giải một phương trình chứa biểu thức dưới dấu mô đun, trước tiên bạn phải mở rộng mô-đun theo quy tắc mở rộng mô-đun.

Khi đó phương trình hoặc bất đẳng thức của chúng ta trở thành thành hai phương trình khác nhau tồn tại trên hai khoảng số khác nhau.

Một phương trình tồn tại trên một khoảng số mà biểu thức dưới dấu mô đun không âm.

Và phương trình thứ hai tồn tại trên khoảng mà biểu thức dưới dấu mô đun âm.

Hãy xem xét một ví dụ đơn giản.

Hãy giải phương trình:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Hãy mở mô-đun.

|x-3|=x-3, nếu x-3 ≥0, tức là nếu x ≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x nếu x-3<0, т.е. если х<3

2. Chúng tôi nhận được hai khoảng số: x ≥3 và x<3.

Chúng ta hãy xem xét phương trình nào mà phương trình ban đầu được biến đổi trên mỗi khoảng:

A) Với x ≥3 |x-3|=x-3, vết thương của chúng ta có dạng:

Chú ý! Phương trình này chỉ tồn tại trên khoảng x ≥3!

Hãy mở ngoặc và trình bày các thuật ngữ tương tự:

và giải phương trình này.

Phương trình này có gốc:

x 1 = 0, x 2 = 3

Chú ý! vì phương trình x-3=-x 2 +4x-3 chỉ tồn tại trên khoảng x ≥3, nên chúng ta chỉ quan tâm đến những nghiệm thuộc khoảng này. Điều kiện này chỉ được thỏa mãn bởi x 2 = 3.

B) Tại x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Chú ý! Phương trình này chỉ tồn tại trên khoảng x<3!

Hãy mở ngoặc và trình bày các thuật ngữ tương tự. Chúng ta nhận được phương trình:

x 1 =2, x 2 =3

Chú ý! vì phương trình 3-x=-x 2 +4x-3 chỉ tồn tại trên khoảng x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Vì vậy: từ khoảng đầu tiên chúng ta chỉ lấy nghiệm x=3, từ khoảng thứ hai - nghiệm x=2.

Mô đun là giá trị tuyệt đối của biểu thức. Để biểu thị một mô-đun bằng cách nào đó, người ta thường sử dụng dấu ngoặc thẳng. Giá trị được đặt trong dấu ngoặc chẵn là giá trị được lấy theo modulo. Quá trình giải bất kỳ mô-đun nào bao gồm việc mở các dấu ngoặc thẳng đó, mà theo ngôn ngữ toán học được gọi là dấu ngoặc mô-đun. Việc tiết lộ của họ xảy ra theo một số quy tắc nhất định. Ngoài ra, theo thứ tự giải các mô-đun, tập hợp các giá trị của các biểu thức nằm trong dấu ngoặc mô-đun sẽ được tìm thấy. Trong hầu hết các trường hợp, mô-đun được mở rộng theo cách mà biểu thức ở dạng mô-đun phụ nhận được cả giá trị dương và âm, bao gồm cả giá trị 0. Nếu chúng ta bắt đầu từ các thuộc tính đã thiết lập của mô-đun, thì trong quá trình đó, các phương trình hoặc bất đẳng thức khác nhau từ biểu thức ban đầu sẽ được biên soạn, sau đó cần phải giải. Hãy cùng tìm hiểu cách giải các mô-đun.

Quy trình giải quyết

Việc giải một mô-đun bắt đầu bằng cách viết phương trình ban đầu với mô-đun đó. Để trả lời câu hỏi làm thế nào để giải phương trình bằng mô đun, bạn cần mở hoàn toàn. Để giải phương trình như vậy, mô-đun được mở rộng. Tất cả các biểu thức mô-đun phải được xem xét. Cần phải xác định giá trị nào của các đại lượng chưa biết có trong thành phần của nó, biểu thức mô đun trong ngoặc sẽ bằng 0. Để làm được điều này, chỉ cần đánh đồng biểu thức trong ngoặc mô-đun bằng 0, sau đó tính nghiệm của phương trình thu được. Các giá trị tìm thấy phải được ghi lại. Theo cách tương tự, bạn cũng cần xác định giá trị của tất cả các biến chưa biết cho tất cả các mô-đun trong phương trình này. Tiếp theo, cần xác định và xem xét tất cả các trường hợp tồn tại biến trong biểu thức khi chúng khác giá trị 0. Để làm được điều này, bạn cần viết ra một số hệ bất đẳng thức tương ứng với tất cả các module trong bất đẳng thức ban đầu. Các bất đẳng thức phải được viết sao cho chúng bao trùm tất cả các giá trị sẵn có và có thể có của một biến tìm thấy trên trục số. Sau đó, bạn cần vẽ cùng một trục số này để trực quan hóa, sau đó sẽ vẽ tất cả các giá trị thu được.

Hầu hết mọi thứ bây giờ đều có thể được thực hiện trên Internet. Mô-đun này cũng không ngoại lệ. Bạn có thể giải quyết nó trực tuyến trên một trong nhiều tài nguyên hiện đại. Tất cả các giá trị của biến trong mô-đun 0 sẽ là một ràng buộc đặc biệt sẽ được sử dụng trong quá trình giải phương trình mô-đun. Trong phương trình ban đầu, bạn cần mở tất cả các dấu ngoặc mô-đun có sẵn, đồng thời thay đổi dấu của biểu thức sao cho các giá trị của biến mong muốn trùng với các giá trị hiển thị trên trục số. Phương trình kết quả phải được giải. Giá trị của biến sẽ thu được trong quá trình giải phương trình phải được kiểm tra theo giới hạn do chính mô-đun chỉ định. Nếu giá trị của biến thỏa mãn đầy đủ điều kiện thì nó đúng. Tất cả các nghiệm thu được trong quá trình giải phương trình, nhưng không phù hợp với các ràng buộc, phải bị loại bỏ.

Máy tính toán trực tuyến này sẽ giúp bạn giải một phương trình hoặc bất đẳng thức bằng mô đun. Chương trình dành cho giải phương trình và bất đẳng thức bằng mô đun không chỉ đưa ra câu trả lời cho vấn đề mà còn dẫn đến giải pháp chi tiết với lời giải thích

Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học ở các trường phổ thông khi chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, khi kiểm tra kiến ​​thức trước kỳ thi Thống nhất Nhà nước và giúp phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán và đại số.

Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá tốn kém? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập về nhà toán hoặc đại số càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết.

Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của mình, đồng thời trình độ học vấn trong lĩnh vực giải quyết vấn đề tăng lên.

|x|

Nhập một phương trình hoặc bất đẳng thức với mô đun

x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Giải một phương trình hoặc bất đẳng thức
Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.

Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.
JavaScript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.

Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.
Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi. Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.

Vui lòng chờ giây... Nếu bạn
nhận thấy một lỗi trong giải pháp , thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào.

bạn quyết định cái gì

nhập vào các trường

Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Phương trình và bất đẳng thức với mô đun

Trong khóa học đại số cơ bản ở trường, bạn có thể gặp các phương trình và bất đẳng thức đơn giản nhất với môđun. Để giải chúng, bạn có thể sử dụng phương pháp hình học dựa trên \(|x-a| \) là khoảng cách trên trục số giữa các điểm x và a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Ví dụ, để giải phương trình \(|x-3|=2\) bạn cần tìm các điểm trên trục số cách điểm 3 một khoảng bằng 2. Có hai điểm như vậy: \(x_1=1 \) và \(x_2=5\) .
Giải bất đẳng thức \(|2x+7|
Nhưng cách chính để giải các phương trình và bất đẳng thức bằng môđun có liên quan đến cái gọi là “sự tiết lộ môđun theo định nghĩa”:

nếu \(a \geq 0 \), thì \(|a|=a \);
1) Nếu \(c > 0\), thì phương trình \(|f(x)|=c \) tương đương với tập phương trình: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Nếu \(c > 0 \), thì bất đẳng thức \(|f(x)| 3) Nếu \(c \geq 0 \), thì bất đẳng thức \(|f(x)| > c \) là tương đương với một tập hợp các bất đẳng thức : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Nếu cả hai vế của bất đẳng thức \(f(x) VÍ DỤ 1. Giải phương trình \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Nếu \(x-1 \geq 0\), thì \(|x-1| = x-1\) và phương trình đã cho có dạng
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Nếu \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Vì vậy, phương trình đã cho cần được xem xét riêng biệt trong từng trường hợp trong hai trường hợp được chỉ định.
1) Đặt \(x-1 \geq 0 \), tức là \(x\geq 1\). Từ phương trình \(x^2 +2x -8 = 0\) chúng ta tìm thấy \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Điều kiện \(x \geq 1 \) chỉ được thỏa mãn bởi giá trị \(x_1=2\).

2) Cho \(x-1 Trả lời: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

VÍ DỤ 2. Giải phương trình \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). Cách đầu tiên
(mở rộng mô-đun theo định nghĩa).

Lý luận như trong ví dụ 1, chúng ta đi đến kết luận rằng phương trình đã cho cần được xem xét riêng nếu đáp ứng hai điều kiện: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) hoặc \(x^2-6x+7
1) Nếu \(x^2-6x+7 \geq 0 \), thì \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) và phương trình đã cho có dạng \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Giải phương trình bậc hai này, chúng ta nhận được: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Hãy cùng tìm hiểu xem giá trị \(x_1=6\) có thỏa mãn điều kiện \(x^2-6x+7 \geq 0\) hay không. Để làm điều này, thay thế giá trị được chỉ định vào bất đẳng thức bậc hai. Chúng tôi nhận được: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), tức là \(7 \geq 0 \) là một bất đẳng thức đúng.

Điều này có nghĩa là \(x_1=6\) là nghiệm của phương trình đã cho.

Hãy cùng tìm hiểu xem giá trị \(x_2=\frac(5)(3) \) có thỏa mãn điều kiện \(x^2-6x+7 \geq 0 \) hay không. Để làm điều này, thay thế giá trị được chỉ định vào bất đẳng thức bậc hai. Chúng ta nhận được: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), tức là. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) là một bất đẳng thức sai. Điều này có nghĩa là \(x_2=\frac(5)(3)\) không phải là nghiệm của phương trình đã cho. 2) Nếu \(x^2-6x+7 Giá trị \(x_3=3\) thỏa mãn điều kiện \(x^2-6x+7 Giá trị \(x_4=\frac(4)(3) \) không thỏa mãn điều kiện \ (x^2-6x+7 Vì vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm: \(x=6, \; x=3 \).
Cả hai phương trình này đều được giải ở trên (sử dụng cách giải đầu tiên của phương trình đã cho), nghiệm của chúng như sau: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Điều kiện \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) của bốn giá trị này ​​chỉ được thỏa mãn bởi hai: 6 và 3. Điều này có nghĩa là phương trình đã cho có hai nghiệm: \(x=6 , \; x=3 \ ).

Cách thứ ba(đồ họa).
1) Hãy xây dựng đồ thị của hàm \(y = |x^2-6x+7| \). Đầu tiên, hãy xây dựng một parabol \(y = x^2-6x+7\).
Chúng ta có \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Đồ thị của hàm số \(y = (x-3)^2-2\) có thể thu được từ đồ thị của hàm \(y = x^2\) bằng cách dịch chuyển nó 3 đơn vị tỷ lệ sang phải (dọc theo trục x) và giảm 2 đơn vị tỷ lệ (dọc theo trục y).
Đường thẳng x=3 chính là trục của parabol mà chúng ta đang quan tâm. Là điểm kiểm soát để vẽ đồ thị chính xác hơn, thuận tiện lấy điểm (3; -2) - đỉnh của parabol, điểm (0; 7) và điểm (6; 7) đối xứng với nó so với trục của parabol .

Bây giờ, để xây dựng đồ thị của hàm \(y = |x^2-6x+7| \), bạn cần giữ nguyên những phần của parabol được dựng không nằm dưới trục x và phản chiếu phần đó của parabol nằm phía dưới trục x so với trục x.

2) Hãy xây dựng đồ thị của hàm tuyến tính \(y = \frac(5x-9)(3)\). Sẽ thuận tiện hơn khi lấy các điểm (0; –3) và (3; 2) làm điểm kiểm soát.Điều quan trọng là điểm x = 1,8 giao điểm của đường thẳng với trục abscissa nằm ở bên phải điểm giao nhau bên trái của parabol với trục abscissa - đây là điểm \(x=3-\ sqrt(2) \) (vì \(3-\sqrt(2 ) 3) Xét theo hình vẽ, các đồ thị cắt nhau tại hai điểm - A(3; 2) và B(6; 7). Thay thế hoành độ của các điểm này điểm x = 3 và x = 6 vào phương trình đã cho, chúng tôi tin rằng trong cả hai trường hợp, đều thu được đẳng thức số chính xác. Điều này có nghĩa là giả thuyết của chúng tôi đã được xác nhận - phương trình có hai nghiệm: x = 3 và. x = 6. Đáp án: 3;

Bình luận

VÍ DỤ 2. Giải phương trình \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
. Phương pháp đồ họa, với tất cả sự sang trọng của nó, không đáng tin cậy lắm. Trong ví dụ đang xem xét, nó chỉ hoạt động được vì nghiệm của phương trình là số nguyên.

VÍ DỤ 3. Giải phương trình \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Biểu thức 2x–4 trở thành 0 tại điểm x = 2 và biểu thức x + 3 trở thành 0 tại điểm x = –3. Hai điểm này chia trục số thành ba đoạn: \(x
Hãy xem xét khoảng đầu tiên: \((-\infty; \; -3) \).