Chia một đoạn theo một tỉ số nhất định.
Chúng ta hãy xét hai điểm khác nhau M 1 và M 2 trong không gian và đường thẳng xác định bởi các điểm này. Chúng ta hãy chọn một hướng nhất định trên đường thẳng này. Trên trục kết quả, các điểm M 1 và M 2 xác định đoạn có hướng M 1 M 2. Gọi M là điểm bất kỳ trên trục chỉ định khác với M2. Con số
l=M 1 M/MM 2 (*)
gọi điện mối quan hệ trong đó điểm M chia đoạn có hướng M 1 M 2. Do đó, bất kỳ điểm M nào khác với M 2 đều chia đoạn M 1 M 2 theo tỷ lệ l nào đó, trong đó l được xác định bởi đẳng thức (*).
Phương trình đường thẳng có hệ số góc.
Cho hai dòng và , (). Khi đó, nếu , thì góc giữa các đường thẳng này có thể được tìm thấy từ công thức
 |
Nếu , thì các đường thẳng vuông góc.
Bằng chứng. Như bạn đã biết từ một môn toán ở trường, hệ số góc trong phương trình của đường thẳng bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng với trục. Từ hình. 11.10 rõ ràng là .
Vì , , thì khi đẳng thức giữ nguyên
trong đó đưa ra công thức
Nếu thì 
, Ở đâu
Vì vậy, và 
.
Phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng nếu cho một đường thẳng L tùy ý và một hệ chữ nhật Descartes tùy ý Oxy cố định trên mặt phẳng Π, thì đường thẳng L được xác định trong hệ thống này bằng phương trình bậc một.
Chỉ cần chứng minh rằng đường thẳng L được xác định bằng phương trình bậc một cho bất kỳ một lựa chọn đặc biệt nào của hệ hình chữ nhật Descartes trên mặt phẳng P, vì khi đó nó sẽ được xác định bằng phương trình bậc một cho bất kỳ lựa chọn nào. của hệ hình chữ nhật Descartes trên mặt phẳng P. Giả sử trục Ox dọc theo đường thẳng L và trục Oy vuông góc với nó. Khi đó phương trình đường thẳng sẽ là phương trình bậc nhất y=0. thực tế, phương trình này sẽ thỏa mãn tọa độ của bất kỳ điểm nào nằm trên đường thẳng L, và sẽ không thỏa mãn bởi tọa độ của bất kỳ điểm nào không nằm trên đường thẳng L.
Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng nếu một hệ Descartes Oxy tùy ý cố định trên mặt phẳng Π, thì bất kỳ phương trình bậc một nào có hai biến x và y đều xác định một đường thẳng đối với hệ này.
Trên thực tế, giả sử một hệ chữ nhật Descartes tùy ý Oxy cố định và cho phương trình bậc một Ax+By+c=0, trong đó A B C là hằng số bất kỳ và ít nhất một trong các hằng số A và B khác 0 . Phương trình hiển nhiên có mặc dù sẽ có một nghiệm x0 và y0, tức là. có ít nhất một điểm M(x 0, y 0) có tọa độ thỏa mãn phương trình Ax 0 +By 0 +C=0. Trừ phương trình bậc một phương trình trong đó điểm M(x 0, y 0) được thay thế, ta thu được phương trình: A(x- x 0) + B(y- y 0) = 0 (1), tương đương với phương trình bậc một. Chỉ cần chứng minh rằng phương trình xác định một đường nhất định so với hệ là đủ. Chúng ta sẽ chứng minh rằng phương trình (1) xác định đường thẳng L đi qua điểm M(x 0, y 0) và vuông góc với vectơ n=(A,B). Trong thực tế, nếu điểm M(x,y) nằm trên đường thẳng L đã cho thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình (1), vì trong trường hợp này các vectơ n=(A,B) và M 0 M=(x-x 0, y- y 0) trực giao và tích vô hướng A(x- x 0) + B(y- y 0) của chúng bằng 0. Nếu điểm M(x,y) không nằm trên đường thẳng đã cho thì tọa độ của nó không thỏa mãn phương trình (1), vì trong trường hợp này các vectơ n=(A,B) và M 0 M=(x-x 0, y-y 0 ) không trực giao và do đó tích vô hướng của chúng không bằng 0. Câu nói đã được chứng minh
Phương trình Ax+By+C=0 với các hệ số A B và C tùy ý sao cho A và B không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Chúng ta đã chứng minh rằng đường thẳng xác định bởi phương trình tổng quát Ax+By+C=0 là trực giao với vectơ n=(A,B). Chúng ta sẽ gọi vectơ cuối cùng này là vectơ đường chuẩn.
Phương trình chính tắc của đường thẳng. Bất kỳ vectơ nào khác 0 song song với một đường thẳng cho trước sẽ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Chúng ta hãy đặt ra cho mình nhiệm vụ: tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 1 (x 1, y 1) và có vectơ chỉ phương q = (l, m). Rõ ràng, điểm M(x,y) nằm trên đường thẳng đã cho khi và chỉ khi các vectơ M 1 M=(x-x 1, y-y 1) và q=(m,l) thẳng hàng, khi và chỉ khi tọa độ của các vectơ này tỷ lệ thuận với nhau, tức là
Bây giờ chúng ta hãy xem xét phương trình đầy đủ của mặt phẳng và chỉ ra rằng nó có thể rút gọn về dạng sau. , được gọi là phương trình mặt phẳng “theo đoạn thẳng”. Vì các hệ số A B C khác 0 nên chúng ta có thể viết lại phương trình theo 
rồi đặt A=-C/A b=-C/B. Trong phương trình mặt phẳng gồm các đoạn thẳng, các số a, b có ý nghĩa hình học đơn giản: chúng bằng giá trị các đoạn mà mặt phẳng cắt lần lượt trên các trục Ox, Oy (các đoạn thẳng được đo từ gốc tọa độ). Để xác minh điều này, chỉ cần tìm các điểm giao nhau của đường thẳng được xác định bởi phương trình của đường thẳng trong các đoạn có trục tọa độ là đủ. Ví dụ, điểm giao nhau với trục Ox được xác định từ việc xem xét chung phương trình đường thẳng trong các đoạn có phương trình y = 0 của trục Ox. Ta sẽ được tọa độ giao điểm x=a y=0. Tương tự, người ta xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Oy có dạng x=0 và y=b.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước
M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm không trùng nhau và
hoặc nói chung
68. Điều kiện để đường thẳng song song và vuông góc. Khoảng cách từ điểm tới đường
Hai dòng cho bởi phương trình
Những đường thẳng này song song nếu MỘT 1 B 2 − MỘT 2 B 1 = 0 hoặc k 1 = k 2, và
vuông góc nếu MỘT 1 MỘT 2 + B 1 B 2 = 0 hoặc
Khoảng cách điểm MỘT(x 1 , y 1) theo đường thẳng Rìu + Qua + C= 0 là độ dài đường vuông góc hạ từ điểm này xuống đường thẳng. Nó được xác định bởi công thức
69. Hệ tọa độ Descartes. Các phương pháp xác định bề mặt. Phương trình tổng quát của một bề mặt trong không gian.
HỆ Tọa độ Cartesian, một hệ tọa độ thẳng trên mặt phẳng hoặc trong không gian (thường có các trục vuông góc lẫn nhau và tỷ lệ bằng nhau dọc theo các trục). Được đặt theo tên của R. Descartes ( cm. MÔ TẢ Rene).
Descartes lần đầu tiên giới thiệu một hệ tọa độ, nó khác biệt đáng kể so với hệ tọa độ được chấp nhận rộng rãi ngày nay. Để xác định hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, các đường thẳng vuông góc lẫn nhau, được gọi là các trục, được chọn. Giao điểm trục Ô gọi là nguồn gốc. Trên mỗi trục, hướng dương được chỉ định và đơn vị tỷ lệ được chọn. tọa độ điểm Pđược coi là dương hoặc âm tùy thuộc vào bán trục mà hình chiếu của điểm rơi vào P.
Phương pháp xác định bề mặt bằng khung đường được gọi là wireframe.
Phương pháp phân tích xác định bề mặt được sử dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt nếu cần nghiên cứu các tính chất bên trong của bề mặt. Khi thiết kế các bề mặt của các dạng kỹ thuật và tái tạo chúng trên các máy điều khiển bằng máy tính, các phương pháp đồ họa và phân tích để xác định bề mặt được sử dụng cùng nhau.
Các bề mặt được coi là một tập hợp các điểm và đường. Tọa độ của các điểm của tập hợp này thỏa mãn một số phương trình đã cho có dạng F(x, y, z) = 0.
Một bề mặt đại số cấp n là một bề mặt có phương trình là phương trình đại số bậc n.
Phương pháp đồ họa xác định bề mặt.
Phương pháp thực hiện nhiệm vụ phân tích
1. - phương trình vector-tham số.
2. 
- phương trình tham số.
3. - phương trình tường minh.
4. 
- phương trình ngầm.
Bất kỳ phương trình nào liên quan đến tọa độ x, y, z của bất kỳ điểm nào trên một bề mặt đều là phương trình của bề mặt đó. Để vẽ một mặt phẳng đi qua ba điểm bất kỳ trong không gian, điều cần thiết là các điểm này không nằm trên cùng một đường thẳng.
Xét các điểm M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) trong hệ tọa độ Descartes tổng quát. Để điểm M(x, y, z) tùy ý nằm trong cùng mặt phẳng với các điểm M 1, M 2, M 3 thì các vectơ 
đã đồng phẳng. ( ) = 0 Do đó, 
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm: 
70. Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian. Phương trình mặt phẳng trong các đoạn
Phẳng là một bề mặt có trọng số điểm thỏa mãn phương trình tổng quát:
Ax + By + Cz + D = 0,
trong đó A, B, C là tọa độ vectơ 
-vectơ sự bình thường tới máy bay.
Có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau:
A = 0 – mặt phẳng song song với trục Ox
B = 0 – mặt phẳng song song với trục Oy
C = 0 – mặt phẳng song song với trục Oz
D = 0 – mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
A = B = 0 – mặt phẳng song song với mặt phẳng xOy
A = C = 0 – mặt phẳng song song với mặt phẳng xOz
B = C = 0 – mặt phẳng song song với mặt phẳng yOz
A = D = 0 – mặt phẳng đi qua trục Ox
B = D = 0 – mặt phẳng đi qua trục Oy
Bài báo trình bày cách rút ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trong hệ tọa độ chữ nhật nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trong hệ tọa độ chữ nhật. Chúng tôi sẽ chỉ ra và giải quyết rõ ràng một số ví dụ liên quan đến tài liệu được đề cập.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Trước khi lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, cần chú ý một số tính chất. Có một tiên đề nói rằng qua hai điểm phân kỳ trên một mặt phẳng có thể vẽ được một đường thẳng và chỉ có một. Nói cách khác, hai điểm cho trước trên mặt phẳng được xác định bởi một đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Nếu mặt phẳng được xác định bởi hệ tọa độ hình chữ nhật Oxy thì bất kỳ đường thẳng nào mô tả trong đó sẽ tương ứng với phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng. Ngoài ra còn có mối liên hệ với vectơ chỉ hướng của đường thẳng. Dữ liệu này đủ để lập phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.
Hãy xem một ví dụ về giải quyết một vấn đề tương tự. Cần lập phương trình đường thẳng a đi qua hai điểm phân kỳ M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2), nằm trong hệ tọa độ Descartes.
Trong phương trình chính tắc của đường thẳng trên mặt phẳng có dạng x - x 1 a x = y - y 1 a y, hệ tọa độ chữ nhật O x y được xác định bằng đường thẳng cắt nó tại một điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1) với vectơ dẫn hướng a → = (a x , a y) .
Cần lập phương trình chính tắc của đường thẳng a đi qua hai điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2).
Đường thẳng a có vectơ chỉ phương M 1 M 2 → có tọa độ (x 2 - x 1, y 2 - y 1), vì nó cắt các điểm M 1 và M 2. Chúng tôi đã thu được các dữ liệu cần thiết để biến đổi phương trình chính tắc với tọa độ của vectơ chỉ phương M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) và tọa độ các điểm M 1 nằm trên chúng (x 1, y 1) và M 2 (x 2 , y 2) . Ta thu được phương trình có dạng x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 hoặc x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Hãy xem xét hình dưới đây.
Sau khi tính toán, ta viết phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng đi qua hai điểm có tọa độ M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2). Ta thu được phương trình có dạng x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ hoặc x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn việc giải quyết một số ví dụ.
Ví dụ 1
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước có tọa độ M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Giải pháp
Phương trình chính tắc của đường thẳng cắt nhau tại hai điểm có tọa độ x 1, y 1 và x 2, y 2 có dạng x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Theo điều kiện của bài toán, ta có x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Cần thay các giá trị số vào phương trình x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Từ đây ta suy ra rằng phương trình chính tắc có dạng x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Đáp án: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Nếu bạn cần giải một bài toán bằng một loại phương trình khác, thì trước tiên bạn có thể chuyển sang phương trình chính tắc, vì việc chuyển từ phương trình này sang phương trình khác sẽ dễ dàng hơn.
Ví dụ 2
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ M 1 (1, 1) và M 2 (4, 2) trong hệ tọa độ O x y.
Giải pháp
Đầu tiên, bạn cần viết phương trình chính tắc của một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước. Chúng ta nhận được một phương trình có dạng x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Hãy đưa phương trình chính tắc về dạng mong muốn, sau đó chúng ta nhận được:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Trả lời: x - 3 y + 2 = 0 .
Ví dụ về những nhiệm vụ như vậy đã được thảo luận trong sách giáo khoa ở trường trong các bài học đại số. Bài toán ở trường khác ở chỗ đã biết phương trình đường thẳng có hệ số góc có dạng y = k x + b. Nếu cần tìm giá trị của hệ số góc k và số b mà phương trình y = k x + b xác định một đường thẳng trong hệ O xy đi qua các điểm M 1 (x 1, y 1) và M 2 (x 2, y 2) , trong đó x 1 ≠ x 2. Khi x 1 = x 2 , khi đó hệ số góc lấy giá trị vô cùng và đường thẳng M 1 M 2 được xác định bởi phương trình tổng quát không đầy đủ dạng x - x 1 = 0 .
Bởi vì các điểm M 1 Và M 2 thẳng hàng thì tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình y 1 = k x 1 + b và y 2 = k x 2 + b. Cần giải hệ phương trình y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b cho k và b.
Để làm điều này, chúng ta tìm k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 hoặc k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Với các giá trị k và b này, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trở thành y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 hoặc y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Không thể nhớ được một số lượng lớn công thức như vậy cùng một lúc. Để làm được điều này, cần tăng số lần lặp lại khi giải bài toán.
Ví dụ 3
Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc đi qua các điểm có tọa độ M 2 (2, 1) và y = k x + b.
Giải pháp
Để giải bài toán, chúng ta sử dụng công thức có độ dốc, có dạng y = k x + b. Các hệ số k và b phải lấy giá trị sao cho phương trình này ứng với một đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ M 1 (- 7, - 5) và M 2 (2, 1).
Điểm M 1 Và M 2 nằm trên một đường thẳng thì tọa độ của chúng phải làm cho phương trình y = k x + b là đẳng thức đúng. Từ đó chúng ta thu được - 5 = k · (- 7) + b và 1 = k · 2 + b. Hãy kết hợp phương trình vào hệ thống - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b và giải.
Khi thay thế chúng tôi nhận được điều đó
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Bây giờ các giá trị k = 2 3 và b = - 1 3 được thế vào phương trình y = k x + b. Ta thấy phương trình cần tìm đi qua các điểm đã cho sẽ là phương trình có dạng y = 2 3 x - 1 3 .
Phương pháp giải pháp này gây ra sự lãng phí rất nhiều thời gian. Có một cách để giải quyết vấn đề theo đúng hai bước.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M 2 (2, 1) và M 1 (- 7, - 5), có dạng x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phương trình độ dốc. Ta có: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Trả lời: y = 2 3 x - 1 3 .
Nếu trong không gian ba chiều có hệ tọa độ chữ nhật O x y z với hai điểm không trùng nhau có tọa độ M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2) thì đường thẳng M đi qua chúng 1 M 2 , cần thu được phương trình của đường thẳng này.
Chúng ta có các phương trình chính tắc có dạng x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z và các phương trình tham số có dạng x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ có khả năng xác định một đường thẳng trong hệ tọa độ O x y z, đi qua các điểm có tọa độ (x 1, y 1, z 1) với vectơ chỉ phương a → = (a x, a y, a z).
Thẳng M 1 M 2 có vectơ chỉ phương có dạng M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), trong đó đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2 , y 2 , z 2), do đó phương trình chính tắc có thể có dạng x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 hoặc x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, lần lượt tham số x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ hoặc x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Xét hình vẽ thể hiện 2 điểm cho trước trong không gian và phương trình của một đường thẳng.
Ví dụ 4
Viết phương trình đường thẳng xác định trong hệ tọa độ chữ nhật O x y z của không gian ba chiều, đi qua hai điểm cho trước có tọa độ M 1 (2, - 3, 0) và M 2 (1, - 3, - 5).
Giải pháp
Cần phải tìm phương trình chính tắc. Vì chúng ta đang nói về không gian ba chiều, điều đó có nghĩa là khi một đường thẳng đi qua các điểm cho trước, phương trình chính tắc mong muốn sẽ có dạng x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Theo điều kiện ta có x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Theo đó các phương trình cần thiết sẽ được viết như sau:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Đáp án: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Tính chất của đường thẳng trong hình học Euclide.
Có thể vẽ được vô số đường thẳng đi qua một điểm bất kỳ.
Qua hai điểm không trùng nhau có thể vẽ được một đường thẳng.
Hai đường thẳng phân kỳ trong mặt phẳng cắt nhau tại một điểm hoặc
song song (tiếp theo từ trước).
Trong không gian ba chiều, có ba lựa chọn về vị trí tương đối của hai đường thẳng:
- các đường giao nhau;
- các đường thẳng song song;
- các đường thẳng cắt nhau.
Thẳng đường kẻ— đường cong đại số bậc nhất: một đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes
được cho trên mặt phẳng bởi phương trình bậc một (phương trình tuyến tính).
Phương trình tổng quát của đường thẳng.
Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng đều có thể được xác định bằng phương trình bậc nhất
Rìu + Wu + C = 0,
và hằng số A, B không bằng 0 cùng một lúc. Phương trình bậc nhất này được gọi là tổng quan
phương trình của một đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của hằng số A, B Và VỚI Có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- đường thẳng đi qua gốc tọa độ
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Bởi + C = 0)- Đường thẳng song song với trục Ồ
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Đường thẳng song song với trục Ồ
. B = C = 0, A ≠0- đường thẳng trùng với trục Ồ
. A = C = 0, B ≠0- đường thẳng trùng với trục Ồ
Phương trình đường thẳng có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ
điều kiện ban đầu.
Phương trình đường thẳng đi từ một điểm và một vectơ pháp tuyến.
Sự định nghĩa. Trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, một vectơ có các thành phần (A, B)
vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình
Rìu + Wu + C = 0.
Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm A(1, 2) vuông góc với vectơ (3, -1).
Giải pháp. Với A = 3 và B = -1, hãy lập phương trình đường thẳng: 3x - y + C = 0. Tìm hệ số C
Hãy thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức thu được: 3 - 2 + C = 0, do đó.
C = -1. Tổng: phương trình cần tìm: 3x - y - 1 = 0.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Cho hai điểm trong không gian M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Và M2(x2,y2,z2), Sau đó phương trình của một đường thẳng,
đi qua các điểm sau:
Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0 thì tử số tương ứng phải bằng 0. TRÊN
mặt phẳng thì phương trình đường thẳng viết trên được đơn giản hóa:
Nếu như x 1 ≠ x 2 Và x = x 1, Nếu như x 1 = x 2 .
Phân số = k gọi điện độ dốc trực tiếp.
Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1, 2) và B(3, 4).
Giải pháp. Áp dụng công thức viết ở trên, ta có:
Phương trình đường thẳng sử dụng điểm và hệ số góc.
Nếu phương trình tổng quát của đường thẳng Rìu + Wu + C = 0 dẫn đến:
và chỉ định 
, thì phương trình thu được được gọi là
phương trình đường thẳng có hệ số góc k.
Phương trình đường thẳng đi từ một điểm và một vectơ chỉ phương.
Bằng cách tương tự với điểm xét phương trình đường thẳng đi qua vectơ pháp tuyến, em có thể nhập bài toán
đường thẳng đi qua một điểm và vectơ chỉ hướng của đường thẳng đó.
Sự định nghĩa. Mọi vectơ khác 0 (α 1 , α 2), các thành phần của nó thỏa mãn điều kiện
Aα 1 + Ba2 = 0 gọi điện vectơ chỉ hướng của đường thẳng.
Rìu + Wu + C = 0.
Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A(1, 2).
Giải pháp. Chúng ta sẽ tìm phương trình của đường mong muốn ở dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa,
các hệ số phải thỏa mãn các điều kiện sau:
1 * A + (-1) * B = 0, tức là A = B.
Khi đó phương trình đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0.
Tại x = 1, y = 2 chúng tôi nhận được C/A = -3, tức là phương trình cần thiết:
x + y - 3 = 0
Phương trình đường thẳng trong các đoạn thẳng.
Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ах + Ву + С = 0 С≠0, thì chia cho -С, ta được:
hoặc ở đâu
Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số a là tọa độ giao điểm
thẳng với trục Ồ, MỘT b- Tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Ồ.
Ví dụ. Phương trình tổng quát của đường thẳng được cho x - y + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong các đoạn.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Phương trình bình thường của một dòng.
Nếu cả hai vế của phương trình Rìu + Wu + C = 0 chia cho số 
được gọi là
yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được
xcosφ + ysinφ - p = 0 -phương trình bình thường của một đường thẳng.
Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ*C< 0.
r- độ dài đường vuông góc hạ từ gốc tọa độ đến đường thẳng,
MỘT φ - góc tạo bởi đường vuông góc này với chiều dương của trục Ồ.
Ví dụ. Phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho 12x - 5y - 65 = 0. Yêu cầu viết các loại phương trình
đường thẳng này.
Phương trình của đường này trong các đoạn:
Phương trình của đường này với hệ số độ dốc: (chia cho 5)
Phương trình của một đường thẳng:
cos φ = 12/13; tội lỗi φ= -5/13; p = 5.
Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng phương trình thành các đoạn, ví dụ: đường thẳng,
song song với trục hoặc đi qua gốc tọa độ.
Góc giữa các đường thẳng trên mặt phẳng.
Sự định nghĩa. Nếu hai dòng được đưa ra y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, thì góc nhọn giữa các đường thẳng này
sẽ được định nghĩa là
Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc
Nếu như k 1 = -1/ k 2 .
Định lý.
Trực tiếp Rìu + Wu + C = 0 Và A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 song song khi các hệ số tỷ lệ thuận
A 1 = λA, B 1 = λB. Nếu cũng С 1 = λС, thì các đường thẳng trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
được coi là nghiệm của hệ phương trình của các đường thẳng này.
Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Sự định nghĩa. Đường thẳng đi qua một điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y = kx + b
được biểu diễn bằng phương trình:
Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
Định lý. Nếu được cho một điểm M(x 0, y 0), thì khoảng cách đến đường thẳng Rìu + Wu + C = 0được định nghĩa là:
Bằng chứng. Hãy để điểm M 1 (x 1, y 1)- đáy của đường vuông góc rơi khỏi một điểm M cho một cái nhất định
trực tiếp. Khi đó khoảng cách giữa các điểm M Và M 1:
(1)
tọa độ x 1 Và lúc 1 có thể tìm được nghiệm của hệ phương trình:
Phương trình thứ hai của hệ là phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 vuông góc với nhau
đường thẳng đã cho. Nếu biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
thì giải ra ta được:
Thay thế các biểu thức này vào phương trình (1), chúng ta tìm thấy:
Định lý đã được chứng minh.