Cơ sở giáo dục nhà nước thành phố
Trường trung học Popovskaya
được đặt theo tên Anh hùng Liên Xô N.K. Gorbaneva
Mở bài học
giáo viên dạy toán
Voronina Vera Vladimirovna,
trong môn toán lớp 9
Đề tài: “Phương pháp đồ họa để giải hệ phương trình”
Loại bài học: bài học tìm hiểu nội dung mới.
Năm học 2017/2018
Phương pháp đồ họa để giải hệ phương trình. lớp 9
Vera Vladimirovna Voronina, giáo viên toán.
bài học:
mô phạm:
cùng học sinh khám phá cách giải mới hệ phương trình;
xây dựng thuật toán giải hệ phương trình bằng đồ thị;
có khả năng xác định một hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm;
học cách tìm nghiệm của hệ phương trình bằng đồ thị;
nhắc lại việc xây dựng đồ thị hàm số cơ bản;
tạo điều kiện kiểm soát (tự chủ) của học sinh:
giáo dục:
nuôi dưỡng thái độ có trách nhiệm trong công việc,
tính chính xác của việc lưu giữ hồ sơ.
Tiến trình của bài học.
I. Thời điểm tổ chức.
một chức năng là gì? (trang 3-11)
Đồ thị của hàm số là gì?
Bạn biết những loại chức năng nào?
Công thức nào định nghĩa một hàm tuyến tính? Đồ thị của hàm tuyến tính là gì?
Công thức nào cho tỷ lệ trực tiếp? Lịch trình của cô ấy là gì?
Công thức tỉ lệ nghịch là gì? Lịch trình của cô ấy là gì?
Công thức của hàm số bậc hai là gì? Lịch trình của cô ấy là gì?
Phương trình nào cho phương trình của một đường tròn?
Cái gọi là đồ thị của phương trình hai biến; (trang 12)
Phần giới thiệu về các phương trình được sử dụng trong toán học cao hơn và đồ thị của chúng (strophoid, Bernoulli's Lemniscate, astroid, cardioid) được tổ chức. (trang 13-16)
Câu chuyện của giáo viên được kèm theo một slide trình chiếu với các biểu đồ này.
Biểu diễn biến y theo biến x:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12
Cặp số (1; 0) có phải là nghiệm của phương trình không?
a) x2 +y = 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.
Giải pháp của hệ phương trình hai biến là gì?
Cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
c) (2; - 1)
d) (3; 0)
Những phương trình nào có thể được sử dụng để tạo ra hệ phương trình có nghiệm là một cặp số (2; 1)
a) 2x - y = 3
b) 3x - 2y = 5
c) x2 + y2 = 4
d) xy = 2
III. Cập nhật kiến thức của học sinh về tài liệu đã học. (trang 20, 21)
Hôm nay chúng ta sẽ nhắc lại và củng cố một trong những cách giải hệ phương trình. Việc củng cố tài liệu đã nghiên cứu được thực hiện bằng cách sử dụng nhận thức trực quan (trang trình bày hiển thị giải pháp đồ họa của hệ phương trình):
Đồ thị của phương trình hai biến là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ biến phương trình thành một đẳng thức thực sự. Đồ thị của phương trình với hai ẩn số rất đa dạng.
Các câu hỏi về slide này:
Đồ thị của phương trình x 2 + y 2 = 25 là gì?
Đồ thị của phương trình y = - x² +2x +5 là gì?
Tọa độ điểm bất kỳ trên đường tròn sẽ thỏa mãn phương trình x2 + y2=25, tọa độ điểm bất kỳ trên parabol sẽ thỏa mãn phương trình y = - x² +2x +5.
Tọa độ của điểm nào sẽ thỏa mãn cả phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai?
Các đồ thị này có bao nhiêu giao điểm?
Hệ thống này có bao nhiêu giải pháp?
Những giải pháp này là gì?
Để giải hệ phương trình hai biến bằng đồ thị, bạn cần làm gì?
Trình bày một slide trình bày thuật toán cho phương pháp đồ họa để giải hệ phương trình với hai ẩn số.
Phương pháp đồ họa có thể áp dụng để giải bất kỳ hệ nào, nhưng bằng cách sử dụng đồ thị phương trình, bạn có thể tìm ra nghiệm gần đúng của hệ đó. Chỉ một số giải pháp được tìm thấy cho hệ thống mới có thể chính xác. Điều này có thể được xác minh bằng cách thay tọa độ của chúng vào các phương trình của hệ.
IV. Vận dụng phương pháp đã học để giải hệ phương trình.
1. Giải hệ phương trình bằng đồ thị (slide 23)
Đồ thị của phương trình xy = 3 là gì?
Đồ thị của phương trình 3x - y = 0 là gì?
2. Viết hệ được xác định bởi các phương trình này và nghiệm của nó. (trang 24)
Đặt câu hỏi hướng dẫn:
Viết hệ thống được xác định bởi các phương trình này?
Các đồ thị này có bao nhiêu giao điểm?
Hệ phương trình này có bao nhiêu nghiệm?
Giải pháp của hệ phương trình này là gì?
3. Hoàn thành nhiệm vụ của Thanh tra Nhà nước (slide 25).
4. Giải hệ phương trình bằng đồ thị (slide 26)
Học sinh hoàn thành nhiệm vụ vào vở. Giải pháp được kiểm tra.
V. Tóm tắt bài học.
Giải hệ phương trình hai biến gọi là gì?
Bạn đã làm quen với phương pháp giải hệ phương trình hai biến nào?
Bản chất của nó là gì?
Phương pháp này có cho kết quả chính xác không?
Trong trường hợp nào hệ phương trình sẽ không có nghiệm?
VI. Bài tập về nhà.
P. 18, số 420 (237), 425 (240)
Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét việc giải hệ hai phương trình hai biến. Trước tiên, chúng ta xét giải đồ họa của hệ hai phương trình tuyến tính và tính chất cụ thể của tập hợp đồ thị của chúng. Tiếp theo, chúng ta sẽ giải một số hệ bằng phương pháp đồ họa.
Đề tài: Hệ phương trình
Bài học: Phương pháp đồ họa để giải hệ phương trình
Hãy xem xét hệ thống
Một cặp số đồng thời là nghiệm của cả phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ được gọi là giải hệ phương trình.
Giải một hệ phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào. Chúng ta đã xem xét đồ thị của các phương trình cơ bản, hãy chuyển sang xem xét các hệ thống.
Ví dụ 1. Giải hệ 
Giải pháp:
Đây là những phương trình tuyến tính, đồ thị của mỗi phương trình là một đường thẳng. Đồ thị của phương trình thứ nhất đi qua các điểm (0; 1) và (-1; 0). Đồ thị của phương trình thứ hai đi qua các điểm (0; -1) và (-1; 0). Các đường thẳng cắt nhau tại điểm (-1; 0), đây là nghiệm của hệ phương trình ( Cơm. 1).
Lời giải của hệ là một cặp số thay thế cặp số này vào mỗi phương trình, ta thu được đẳng thức đúng.
Chúng tôi đã thu được một giải pháp duy nhất cho hệ thống tuyến tính.
Hãy nhớ lại rằng khi giải một hệ tuyến tính, có thể xảy ra các trường hợp sau:
hệ thống có một giải pháp duy nhất - các đường giao nhau,
hệ thống không có nghiệm - các đường thẳng song song,
hệ có vô số nghiệm - các đường thẳng trùng nhau.
Chúng ta đã xem xét một trường hợp đặc biệt của hệ thống khi p(x; y) và q(x; y) là các biểu thức tuyến tính của x và y.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
Giải pháp:
Đồ thị của phương trình thứ nhất là đường thẳng, đồ thị của phương trình thứ hai là đường tròn. Hãy xây dựng biểu đồ đầu tiên theo điểm (Hình 2).
Tâm của đường tròn tọa lạc tại điểm O(0; 0), bán kính là 1.
Các đồ thị giao nhau tại điểm A(0; 1) và điểm B(-1; 0).
Ví dụ 3. Giải hệ bằng đồ thị
Giải: Hãy dựng đồ thị của phương trình thứ nhất - đó là một đường tròn có tâm t.O(0; 0) và bán kính 2. Đồ thị của phương trình thứ hai là một parabol. Nó được dịch chuyển lên trên 2 so với gốc tọa độ, tức là đỉnh của nó là điểm (0; 2) (Hình 3).
Các đồ thị có một điểm chung - tức là A(0; 2). Đó là giải pháp cho hệ thống. Hãy thay một vài số vào phương trình để kiểm tra xem nó có đúng không.
Ví dụ 4. Giải hệ
Giải pháp: Hãy xây dựng đồ thị của phương trình đầu tiên - đây là một đường tròn có tâm t.O(0; 0) và bán kính 1 (Hình 4).
Hãy vẽ đồ thị hàm Đây là một đường đứt nét (Hình 5).
Bây giờ hãy di chuyển nó xuống 1 dọc theo trục oy. Đây sẽ là đồ thị của hàm
Hãy đặt cả hai đồ thị trong cùng một hệ tọa độ (Hình 6).
Chúng ta có ba điểm giao nhau - điểm A(1; 0), điểm B(-1; 0), điểm C(0; -1).
Chúng tôi đã xem xét phương pháp đồ họa để giải hệ thống. Nếu bạn có thể vẽ đồ thị của từng phương trình và tìm tọa độ của các điểm giao nhau thì phương pháp này là khá đủ.
Nhưng thông thường, phương pháp đồ họa chỉ có thể tìm ra lời giải gần đúng của hệ thống hoặc trả lời câu hỏi về số lượng lời giải. Vì vậy, cần có những phương pháp khác, chính xác hơn và chúng ta sẽ giải quyết chúng trong các bài học sau.
1. Mordkovich A.G. và các bài khác Đại số lớp 9: Sách giáo khoa. Đối với giáo dục phổ thông Các tổ chức.- tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 tr.: ốm.
2. Mordkovich A.G. và các cuốn khác Đại số lớp 9: Sách giải toán dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, v.v. - tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 tr.: ốm.
3. Makarychev Yu. Lớp 9: giáo dục. dành cho học sinh phổ thông. tổ chức / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - tái bản lần thứ 7, rev. và bổ sung - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Đại số. lớp 9. tái bản lần thứ 16 - M., 2011. - 287 tr.
5. Mordkovich A. G. Đại số. lớp 9. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - tái bản lần thứ 12, đã xóa. - M.: 2010. - 224 tr.: bệnh.
6. Đại số. lớp 9. Gồm 2 phần. Phần 2. Sách giải bài tập cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina và những người khác; Ed. A. G. Mordkovich. - tái bản lần thứ 12, rev. - M.: 2010.-223 tr.: ốm.
1. Phần College.ru về toán học ().
2. Dự án Internet “Nhiệm vụ” ().
3. Cổng thông tin giáo dục “TÔI SẼ GIẢI Kỳ thi Thống nhất” ().
1. Mordkovich A.G. và các cuốn khác Đại số lớp 9: Sách giải toán dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, v.v. - tái bản lần thứ 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 tr.: ốm. Số 105, 107, 114, 115.
ĐẠI SỐ LỚP 9
Phương pháp đồ họa
giải hệ phương trình
1. Tìm từ biểu đồ:
a) các số 0 của hàm số;
b) phạm vi giá trị của hàm;
c) khoảng của các hàm tăng và giảm;
c) các khoảng trong đó y 0, y ≥ 0.
d ) giá trị nhỏ nhất của hàm.
1.Từ các công thức đã đề xuất, hãy chọn công thức
trong đó xác định hàm được biểu thị trên biểu đồ
MỘT ) y = - 3x+1; b) y = 2x+1;
c) y =3x+1 .
Từ các công thức đã cho hãy chọn công thức
chỉ định hàm được biểu thị trên biểu đồ
b) y = - 2x 2 ; c) y = x 2 +1.
a) y = x 2 ;
Từ các công thức đã đề xuất, chọn công thức xác định hàm số trình bày trên đồ thị.
b) y = 2 x 3; c) y = x 3
a) y = 0,5x3;
Từ các công thức đã đề xuất, chọn công thức xác định hàm số trình bày trên đồ thị
a) y = 4/x; b) y= - 4/x;
Phương trình tuyến tính với
một biến
rìu=b
- Phương trình tuyến tính với
hai biến
Phương trình với hai biến
Đồ thị của phương trình hai biến là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ biến phương trình thành một đẳng thức thực
phương trình
Biểu diễn y qua x
3x+2y=6
2u-x 2 =0
Công thức này được đưa ra bởi…..
Phục vụ như một lịch trình
2x+y=0
hypebol
bậc hai
chức năng
y= -1,5x+3
tuyến tính
chức năng
thẳng
y=0,5x 2
đảo ngược
sự cân đối
y= -2x
parabol
thẳng, phải
qua sự khởi đầu coord.
thẳng
sự cân đối
hình elip
X 2 y= 4 (2-y),
y=8/(x 2 +4)
Hệ phương trình và nghiệm của nó
định nghĩa
- Hệ phương trình là tập hợp các phương trình được nối bằng dấu ngoặc nhọn. Dấu ngoặc nhọn có nghĩa là tất cả các phương trình phải được thực hiện đồng thời
- Giải hệ phương trình hai biến là một cặp giá trị biến biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức đúng
- Giải một hệ phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào
Đường
sự thay thế
Đường
phép cộng
Các phương pháp giải hệ phương trình
Đường
sự thay thế
Đường
phép cộng
Phương pháp đồ họa
giải hệ phương trình
1. Biểu diễn y theo x trong mỗi phương trình.
2. Vẽ đồ thị trong một hệ tọa độ
mỗi phương trình.
3. Biểu thị y theo x trong mỗi phương trình.
4. Vẽ đồ thị trong một hệ tọa độ
mỗi phương trình
5. Xác định tọa độ giao điểm
đồ thị.
6.Viết đáp án: x=...; y=..., hoặc (x; y)
Giải pháp hệ thống bằng đồ họa
Hãy để chúng tôi bày tỏ ý kiến của bạn
Hãy xây dựng một biểu đồ
phương trình đầu tiên
Hãy vẽ đồ thị thứ hai
phương trình - vòng tròn với
tâm tại điểm O(0;0) và
bán kính 2.
Giải pháp hệ thống bằng đồ họa
Hãy để chúng tôi bày tỏ ý kiến của bạn
Hãy xây dựng một biểu đồ
phương trình đầu tiên
Hãy vẽ đồ thị thứ hai
phương trình - vòng tròn với
tâm tại điểm O(0;0) và
bán kính 2.
X 2 +y 2 =4*
Hệ thống có 2 giải pháp:
Đáp án: (0;2), (-2;0)
1.Chúng tôi bắt đầu sạc,
Chúng tôi dang tay ra
Chúng tôi duỗi lưng, vai,
Để chúng ta dễ ngồi hơn
2. Chúng ta vặn vẹo và quay đầu lại.
Hãy vươn cổ ra, dừng lại!
Một, hai, ba - nghiêng sang phải,
Một, hai, ba - bây giờ rẽ trái.
3. Bây giờ dừng lại!
Hãy giơ tay chúng ta cao hơn
Hít vào và thở ra. Hãy thở sâu hơn.
Bây giờ chúng ta hãy ngồi xuống bàn làm việc của chúng ta.
Việc sử dụng các phương trình rất phổ biến trong cuộc sống của chúng ta. Chúng được sử dụng trong nhiều tính toán, xây dựng công trình và thậm chí cả thể thao. Con người đã sử dụng các phương trình từ xa xưa và kể từ đó việc sử dụng chúng ngày càng tăng lên. Hệ phương trình là một tập hợp các phương trình toán học, mỗi phương trình có một số biến nhất định. Thông thường, người ta thường biểu thị một hệ thống bằng dấu ngoặc nhọn và mọi thứ trong dấu ngoặc này đều là thành viên của hệ thống. Để giải quyết các hệ thống loại này, nhiều phương pháp khác nhau được sử dụng.
Giải một hệ phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm có thể có của nó hoặc chứng minh rằng chúng không tồn tại. Để giải hệ phương trình hai biến, người ta thường sử dụng các phương pháp sau: phương pháp đồ thị, phương pháp thay thế và phương pháp cộng.
Giả sử chúng ta có một hệ thống cần được giải bằng đồ họa bằng phương pháp sau:
\[ \left\(\begin(matrix) x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end(matrix)\right.\]
Để giải hệ phương trình bằng đồ thị cần:
* xây dựng đồ thị các phương trình trong một hệ tọa độ;
*Xác định tọa độ các giao điểm của các đồ thị này là nghiệm của hệ;
Chọn các ô vuông hoàn chỉnh, chúng tôi nhận được:
Dựa trên điều này, chúng tôi nhận được:
\[\left\(\begin(matrix)(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end(matrix)\right.\]
Đồ thị của phương trình thứ nhất \[(x-1)^2+(y+2)^2=25\] là một đường tròn có tâm \ và bán kính 5. Đồ thị của các phương trình được trình bày trên Hình 6.
Đồ thị của phương trình thứ hai \ là phương trình đường thẳng đi qua các điểm \ và \ Ta dựng đường tròn bán kính 5 tâm tại điểm \ và kẻ đường thẳng đi qua các điểm \ và \ Các đường thẳng này cắt nhau tại hai điểm \ Và \
Dựa trên điều này, giải pháp cho hệ thống là: \
Trả lời: \[(1;3); (-3;-5);\]
Tôi có thể giải hệ phương trình bằng đồ họa trực tuyến ở đâu?
Bạn có thể giải phương trình trên trang web của chúng tôi https://site. Bộ giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải các phương trình trực tuyến có độ phức tạp bất kỳ chỉ trong vài giây. Tất cả những gì bạn cần làm chỉ đơn giản là nhập dữ liệu của bạn vào bộ giải. Bạn cũng có thể xem video hướng dẫn và tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn vẫn còn thắc mắc, bạn có thể hỏi họ trong nhóm VKontakte của chúng tôi http://vk.com/pocketteacher. Hãy tham gia nhóm của chúng tôi, chúng tôi luôn sẵn lòng hỗ trợ bạn.
Hãy xem xét các phương trình sau:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x 2 + y 2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Mỗi phương trình được trình bày ở trên là một phương trình có hai biến. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ biến phương trình thành một đẳng thức số chính xác được gọi là đồ thị của phương trình hai ẩn số.
Vẽ đồ thị phương trình hai biến
Các phương trình với hai biến có nhiều loại đồ thị. Ví dụ, đối với phương trình 2*x + 3*y = 15 đồ thị sẽ là một đường thẳng, đối với phương trình x 2 + y 2 = 4 đồ thị sẽ là một đường tròn có bán kính 2, đồ thị của phương trình y* x = 1 sẽ là một hyperbol, v.v.
Toàn bộ phương trình với hai biến cũng có một khái niệm như độ. Mức độ này được xác định theo cách tương tự như đối với toàn bộ phương trình có một biến. Để làm điều này, hãy đưa phương trình về dạng trong đó vế trái là đa thức của dạng chuẩn và vế phải bằng 0. Điều này được thực hiện thông qua các phép biến đổi tương đương.
Phương pháp đồ họa để giải hệ phương trình
Hãy cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình có hai biến. Hãy xem xét một phương pháp đồ họa để giải các hệ thống như vậy.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:
( x 2 + y 2 = 25
(y = -x 2 + 2*x + 5.
Hãy xây dựng đồ thị của phương trình thứ nhất và thứ hai trong cùng một hệ tọa độ. Đồ thị của phương trình thứ nhất sẽ là một đường tròn có tâm ở gốc tọa độ và bán kính bằng 5. Đồ thị của phương trình thứ hai sẽ là một parabol có các nhánh đi xuống.
Tất cả các điểm trên đồ thị sẽ thỏa mãn phương trình riêng của chúng. Chúng ta cần tìm các điểm thỏa mãn cả phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai. Rõ ràng đây sẽ là những điểm mà hai đồ thị này giao nhau.
Sử dụng bản vẽ của chúng tôi, chúng tôi tìm thấy các giá trị gần đúng của tọa độ tại đó các điểm này giao nhau. Chúng tôi nhận được kết quả sau:
A(-2.2;-4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4,-3).
Điều này có nghĩa là hệ phương trình của chúng ta có bốn nghiệm.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.
Nếu chúng ta thay thế các giá trị này vào các phương trình của hệ thống, chúng ta có thể thấy rằng nghiệm thứ nhất và thứ ba là gần đúng, còn nghiệm thứ hai và thứ tư là chính xác. Phương pháp đồ họa thường được sử dụng để ước tính số lượng nghiệm và ranh giới gần đúng của chúng. Các giải pháp thường gần đúng hơn là chính xác.