Vị trí tương đối của đường thẳng và điểm. Đường thẳng trên mặt phẳng - thông tin cần thiết

NHIỆM VỤ VỊ TRÍ.

1. VỊ TRÍ TUYỆT VỜI CỦA HAI ĐIỂM.

2. Vị trí chung của một điểm và một đường thẳng.

3. VỊ TRÍ TUYỆT VỜI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT BAY.

4. Vị trí chung của hai đường thẳng.

Nhiệm vụ vị trí - đây là những nhiệm vụ trong đó xác định vị trí tương đối của các hình dạng hình học khác nhau so với nhau.

Có các vấn đề về vị trí trực tiếp và nghịch đảo:

· thẳng – nhiệm vụ thuộc về nhau ( sự thi côngđiểm trên một đường hoặc bề mặt, thực hiện các đường thẳng trên một mặt hoặc một mặt đi qua các đường thẳng cho trước, các bài toán về giao điểm);

· đảo ngược – trong đó xác định sự sắp xếp lẫn nhau của các điểm, đường, mặt phẳng.

19. VỊ TRÍ TUYỆT VỜI CỦA HAI ĐIỂM

Hãy xem xét các lựa chọn khả thi cho vị trí tương đối của hai điểm (Hình 7-1).

DIV_ADBLOCK124">

d) Từ Hình 7-1d chúng ta xác định được điểm A cao hơn điểm B một lượng ΔН; từ góc nhìn từ trên xuống, chúng tôi lưu ý rằng từ người quan sát, điểm A xa hơn điểm B một lượng Δ f; trong cả hai chế độ xem, người ta xác định rằng điểm A nằm ở bên trái điểm B một lượng Δ r.

20. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG

https://pandia.ru/text/80/056/images/image003_97.gif" alt=" Chú thích: Hình 7-3" align="left" width="166" height="45">DIV_ADBLOCK125"> !}

Điểm N nằm dưới (dưới) thẳng tôi Và vì (thêm) cô ấy.

21. VỊ TRÍ TUYỆT VỜI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT BAY

Có thể có hai lựa chọn:

· điểm nằm V. máy bay;

· điểm nằm ngoài máy bay.

Một điểm nằm trong mặt phẳng nếu nó thuộc bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng đó.

Do đó, để dựng một điểm trên mặt phẳng, trước tiên bạn phải dựng một đường thẳng tùy ý trên mặt phẳng này (hoặc lấy một đường thẳng có sẵn) và lấy một điểm trên đó.

21.1 Mặt phẳng một phần

https://pandia.ru/text/80/056/images/image006_56.gif"align="left" width="356" Height="327 src=">Cho mặt phẳng B(ΔАВС) (Hình 7- 5).Để xây dựng trong hình vẽ bất kỳ điểm nào nằm trong mặt phẳng B đều vẽ một đường thẳng tùy ý tôi rõ ràng thuộc mặt phẳng (vì nó đi qua hai điểm của mặt phẳng A và 1). Khi đó trên đường thẳng này t M (thuộc tính) được lấy.

Hãy xem xét đảo ngược nhiệm vụ. Cho hai loại điểm N. định nghĩa vị trí của điểm N so với mặt phẳng.

Để giải quyết vấn đề này, bạn cần vẽ một đường phụ trên mặt phẳng, cạnh tranh với một điểm cho trước trong bất kỳ hình chiếu nào (ví dụ, trong hình chiếu phía trước, như trong Hình 7-5) và xác định vị trí tương đối của điểm N này và đường thẳng.

Vì vậy, hãy vẽ một đường thẳng cạnh điểm N tôi , vị trí của nó được xác định bởi các điểm mặt phẳng A và 2. Căn cứ vào độ sâu của điểm N xác định nó nằm trước trực tiếp tôi và do đó ở phía trước của máy bay.

Vì mặt phẳng B đang đi xuống (chúng tôi xác định nó bằng các hướng di chuyển khác nhau trong các khung nhìn) và, có tính đến điểm N ở phía trước mặt phẳng, nên nó sẽ đồng thời được định vị dưới máy bay .

22. Vị trí chung của hai đường thẳng

Các đường trong không gian có thể:

· trùng khớp ;

· giao nhau;

· song song;

· lai giống.

Hai đường thẳng đó là khớp , nếu ở chế độ xem phía trước

và từ trên chúng hợp nhất (Hình 7-6a).

Giao nhau các đường thẳng có một điểm chung - K, hình ảnh của nó ở mặt trước và mặt trên nằm trên cùng một đường kết nối (Hình 7-6b).

Hình chiếu của các đường giao nhau trong một trong các khung nhìn có thể trùng nhau (Hình 7-6c), những đường như vậy được gọi là cạnh tranh . Vì ở đây chúng trùng nhau ở góc nhìn từ trên xuống (hình chiếu ngang), trong trường hợp này là đường ngang - cạnh tranh.

Nếu thẳng MỘT Và b song song thì dựa vào tính chất phép chiếu song song, các hình chiếu cùng tên của chúng sẽ song song (Hình 7-7a).

Hình chiếu của các đường thẳng song song trên một trong các khung nhìn có thể trùng nhau, trong trường hợp này các đường thẳng được gọi là các đường song song cạnh tranh . Hình 7-7b cho thấy cạnh tranh trực diện các đường a và b, vì hình ảnh của chúng khớp với nhau ở chế độ xem phía trước.

a) b) c)

Vị trí tương đối của các đường cạnh tranh được xác định bởi góc nhìn trong đó hình ảnh của chúng không khớp.

Lai tạo đường thẳng là những đường không cắt nhau hoặc song song với nhau (Hình 7-7c). Nếu các đường thẳng song song và cắt nhau luôn nằm trong cùng một mặt phẳng (chúng xác định một mặt phẳng) thì các đường thẳng cắt nhau không nằm trong cùng một mặt phẳng. Các điểm giao nhau rõ ràng của các đường 1 và 2, 3 và 4 sẽ cạnh tranh theo cặp; họ có chỉ có một trận đấu từ các hình chiếu cùng tên: t. 1 và 2 - cạnh tranh ở góc nhìn phía trước, t.

Như vậy, vị trí tương đối của các đường thẳng ở vị trí tổng quát được xác định bởi hai loại đường thẳng đã cho.

22.1 Vị trí biên dạng thẳng

Tình hình sẽ khác với các vị trí biên dạng thẳng. Để xác định vị trí tương đối của những đường này, nên xây dựng một khung nhìn ở bên trái.

DIV_ADBLOCK128">

Sau khi đo độ sâu của các điểm A, B, C, D từ chân đế ở chế độ xem trên cùng, chúng tôi vẽ các giá trị thu được trên các đường liên lạc ngang tương ứng từ chân đế ở chế độ xem bên trái.

Sau khi đã dựng các điểm và nối chúng một cách đúng đắn, chúng ta đi đến kết luận rằng các đường thẳng P 1 Và r 2 giao nhau tại điểm K. Sau khi tìm thấy nó trong khung nhìn bên trái, chúng ta xây dựng điểm K trong hai khung nhìn còn lại.

23. VỊ TRÍ TUYỆT VỜI CỦA ĐƯỜNG THẮNG VÀ MẶT BẰNG

Một đường thẳng so với mặt phẳng có thể có các vị trí sau:

· thuộc về mặt phẳng;

· song song với một mặt phẳng cho trước;

· cắt mặt phẳng này.

Thẳng thuộc về mặt phẳng nếu hai điểm của nó nằm trong một mặt phẳng cho trước (Hình 7-9).

Đường thẳng song song mặt phẳng, nếu đường thẳng này song song với một đường thẳng nào đó nằm trong một mặt phẳng cho trước (Hình 7-10a).

https://pandia.ru/text/80/056/images/image011_24.gif"align="left" width="337" Height="369 src="> Ví dụ 1. Qua điểm A vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng nghiêng B (Hình 7-10b). Đường thẳng cần thiết tôi sẽ thuộc mặt phẳng nghiêng đi qua điểm A và song song với mặt phẳng B. Do đó nhìn từ phía trước đường thẳng tôi song song. Hình chiếu suy biến của mặt phẳng B, và ở hình nhìn trên cùng, nó chiếm một vị trí tùy ý.

Ví dụ 2. Vẽ đường thẳng qua điểm M N , song song với mặt phẳng B (a//b), (Hình 7-10c).

Hãy dựng một đường thẳng tùy ý trên mặt phẳng B Với, rồi kẻ đường thẳng đi qua điểm M N song song với đường thẳng Với.

2. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Sự cố trên giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng là một trong những nhiệm vụ chính của hình học mô tả.

Để giải quyết vấn đề này nói chung, bạn cần phải biết kỹ thuật, phương pháp giải (thuật toán). Nhưng nếu vấn đề chứa các loại bản gốc thoái hóa, thì nhiệm vụ như vậy chỉ đơn giản đòi hỏi trí tưởng tượng không gian được phát triển.

Tất cả các bài toán liên quan đến giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng có thể được chia thành nhiều loại:

· Loại nhiệm vụ đầu tiên- máy bay có dạng thoái hóa , tức là họ đang chiếu và đường thẳng là đường thẳng tổng quan quy định.

Phương pháp chính để giải các bài toán loại này là phương pháp phụ kiện. Hãy xem xét một số ví dụ.

Ví dụ 3. Vẽ điểm K của giao điểm của đường thẳng tôi với mặt phẳng thẳng đứng B (Hình

https://pandia.ru/text/80/056/images/image013_17.gif"align="left" width="258" Height="286"> Ví dụ 4. Xây dựng giao điểm của đường thẳng đứng Tôi với mặt phẳng B (DABC), (Hình 7-12). Vì dạng suy biến của đường thẳng nằm ở góc nhìn trên cùng nên chúng ta bắt đầu giải pháp với nó.

Điểm giao nhau của đường Tôi với mặt phẳng B ở đây trùng với dạng suy biến của chính đường thẳng ; Tôi = K.

Để xây dựng t K ở chế độ xem trước, vẽ một đường thẳng tùy ý trên mặt phẳng thông qua K (xem từ trên xuống), ví dụ C-1. Hãy dựng đường thẳng này ở mặt trước và tại giao điểm của đường thẳng C-1 và tôi chúng tôi tìm thấy điểm K. Chúng tôi xác định khả năng hiển thị bằng cách trình bày (sử dụng việc tái tạo lại bản vẽ) vị trí tương đối của bản gốc.

· Loại nhiệm vụ thứ ba- các bài toán không chứa các phần tử của một vị trí cụ thể, tức là đường thẳng và mặt phẳng tổng quan quy định (không có dạng suy biến ).

Trong trường hợp này (Hình 7-13), việc giải bài toán dựa vào việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng - đường thẳng này tôi và một số đường thẳng t , nằm trong mặt phẳng B.

https://pandia.ru/text/80/056/images/image015_15.gif"align="left" width="290" Height="350">Vẽ đường thẳng trong mặt phẳng B t (1.2) cạnh tranh trực diện với một đường thẳng nhất định tôi .

Từ góc nhìn từ trên xuống, chúng ta xác định rằng các đường cạnh tranh cắt nhau tại điểm K, là giao điểm của đường này tôi với mặt phẳng B . Khả năng hiển thị được xác định bằng cách sử dụng hai cặp điểm cạnh tranh: 1=3 ở chế độ xem chính diện; điểm 3 (thuộc tôi ) gần hơn; ở góc nhìn trên cùng của hai điểm 4=5, điểm 4 cao hơn điểm 5.

Ở một trong các chế độ xem, tầm nhìn cũng có thể được xác định bởi vị trí của mặt phẳng B.

Vị trí của một điểm trong hình vẽ được xác định bằng tọa độ. Một điểm nằm cao hơn điểm khác nếu nó có tọa độ Z lớn hơn. Một điểm sẽ gần người quan sát hơn nếu nó có tọa độ Y lớn hơn. Điểm có tọa độ X lớn hơn sẽ bị xóa khỏi mặt phẳng chiếu biên dạng.

Điều đáng quan tâm trong thực tế là các điểm nằm trên cùng một phương vuông góc với mặt phẳng chiếu (Hình 4.1). Những điểm như vậy trong hình vẽ được gọi là cạnh tranh. Chúng xác định khả năng hiển thị của các phần tử trong bản vẽ. Trong hai điểm cạnh tranh, điểm có tọa độ lớn hơn trên mặt phẳng chiếu còn lại được coi là điểm nhìn thấy được.

Trong trường hợp này, điểm b sẽ hiển thị trên mặt phẳng chiếu chính diện vì nó có tọa độ Y lớn hơn.

Cơm. 4.1 Hình. 4.2

4.2. Vị trí tương đối của đường thẳng và điểm

Một điểm thuộc về một đường thẳng nếu các hình chiếu của nó thuộc cùng các hình chiếu của đường thẳng đó (Hình 4.2).

4.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Các đường thẳng tương đối với nhau có thể song song (Hình 4.3, a), cắt nhau (b), cắt nhau (c).

4.4. Vị trí tương đối của một điểm và một mặt phẳng

T một điểm thuộc một mặt phẳng nếu nó thuộc một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

VÍ DỤ Mặt phẳng được xác định bởi dấu vết ( h 0
f 0 ). Cần phải dựng điểm A thuộc mặt phẳng này (Hình 4.4).

Lời giải Vì trong một mặt phẳng có thể dựng vô số điểm thuộc mặt phẳng này, nên trên một trong các mặt phẳng chiếu, chúng ta tùy ý đặt một hình chiếu của điểm (ví dụ: A 2), nhưng chúng ta tìm thấy hình chiếu thứ hai. A 1 với điều kiện điểm thuộc mặt phẳng. Để làm điều này, chúng ta vẽ một đường thẳng qua A, tức là qua A 2 chúng ta vẽ h 2 tới ngã tư với f 0 , ta xác định hình chiếu ngang của điểm 1 và từ 1 1 song song với đường ngang ta vẽ h 1 , trên đó chúng tôi đánh dấu A 1.

4.5. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Đường thẳng thuộc mặt phẳng, nếu nó có hai điểm chung hoặc một điểm chung và song song với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng. Cho mặt phẳng trong hình vẽ được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau. Trong mặt phẳng này cần dựng hai đường thẳng m và m thỏa mãn điều kiện ( G(MỘT
b) (Hình 4.5).

R Giải 1. Vẽ tùy ý m 2, vì đường thẳng thuộc mặt phẳng nên đánh dấu hình chiếu của giao điểm của nó với đường thẳng. MỘT Và b và xác định hình chiếu ngang của chúng, qua 1 1 và 2 1 ta vẽ được m 1.

2. Qua điểm K của mặt phẳng vẽ n 2 ║m 2 và trong 1 ║m 1 .

Một đường thẳng song song với một mặt phẳng, nếu nó song song với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng.

Giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng. Có ba trường hợp có thể xảy ra về vị trí của đường thẳng và mặt phẳng so với các mặt phẳng chiếu. Tùy thuộc vào điều này, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng được xác định.

P trường hợp đầu tiên – đường thẳng và mặt phẳng – vị trí hình chiếu. Trong trường hợp này, điểm giao nhau có sẵn trong bản vẽ (cả hai hình chiếu của nó); nó chỉ cần được chỉ định.

VÍ DỤ Trong hình vẽ, một mặt phẳng được cho bởi vết Σ ( h 0
f 0 ) – vị trí chiếu theo chiều ngang – và thẳng tôi– vị trí chiếu phía trước. Xác định điểm giao nhau của chúng (Hình 4.6).

Đã có một điểm giao nhau trong bản vẽ - K(K 1 K 2).

Trường hợp thứ hai - đường thẳng hoặc mặt phẳng - của vị trí chiếu. Trong trường hợp này, trên một trong các mặt phẳng chiếu, hình chiếu của điểm giao nhau đã tồn tại; nó cần được chỉ định và trên mặt phẳng chiếu thứ hai, nó phải được tìm thấy bằng cách thuộc về.

P VÍ DỤ. Trong hình. 4.7, và mặt phẳng được mô tả bằng các dấu vết của vị trí chiếu phía trước và một đường thẳng tôi– vị trí chung. Hình chiếu của giao điểm K 2 đã có sẵn trên hình vẽ và hình chiếu K 1 phải được tìm dựa trên sự thuộc về điểm K với đường thẳng tôi. Trong hình. 4.7, b là mặt phẳng tổng quát, đường thẳng m chiếu trực diện thì K 2 đã tồn tại (trùng với m 2) và K 1 phải tìm được từ điều kiện điểm thuộc mặt phẳng. Để làm điều này, vẽ một đường thẳng qua K ( h– nằm ngang) nằm trong một mặt phẳng.

Trường hợp thứ ba – cả đường thẳng và mặt phẳng – ở vị trí tổng quát. Trong trường hợp này, để xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, cần sử dụng cái gọi là mặt phẳng trung gian - mặt phẳng chiếu. Để làm điều này, một mặt phẳng cắt phụ được vẽ qua đường thẳng. Mặt phẳng này cắt một mặt phẳng cho trước dọc theo một đường thẳng. Nếu đường thẳng này cắt một đường thẳng cho trước thì sẽ có giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

VÍ DỤ. Trong hình. 4.8 mặt phẳng được biểu diễn bằng tam giác ABC - vị trí tổng quát - và một đường thẳng tôi- vị trí chung. Để xác định giao điểm K cần thông qua tôi vẽ mặt phẳng chiếu phía trước Σ, dựng đường giao nhau của Δ và Σ trong tam giác (trong hình vẽ là đoạn 1,2), xác định K 1 và bằng phụ kiện K 2. Sau đó, khả năng hiển thị dòng được xác định tôi liên quan đến tam giác bằng các điểm cạnh tranh. Trên P 1, điểm 3 và 4 được lấy làm điểm cạnh tranh. Hình chiếu của điểm 4 hiển thị trên P 1, vì tọa độ Z của nó lớn hơn tọa độ của điểm 3, do đó, hình chiếu. tôi 1 từ thời điểm này đến K 1 sẽ vô hình.

N và điểm P2 cạnh tranh là điểm 1 thuộc AB và điểm 5 thuộc AB tôi. Điểm 1 sẽ hiển thị vì tọa độ Y của nó lớn hơn điểm 5 và do đó là hình chiếu của đường thẳng tôi 2 lên đến K 2 vô hình.

Trong hình. 4.9 biểu diễn một mặt phẳng ở vị trí tổng quát (được cho bằng dấu vết) và đường thẳng m cũng ở vị trí tổng quát. Để xác định giao điểm của m và mặt phẳng cần vẽ Σ2 đến m2 - mặt phẳng chiếu trực diện, dựng đường giao nhau của hai mặt phẳng (đoạn 1,2), đánh dấu K 1 và theo điểm này thuộc một đường thẳng tôi xác định K2.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về một trong những khái niệm cơ bản của hình học - khái niệm đường thẳng trên mặt phẳng. Đầu tiên, hãy xác định các thuật ngữ và chỉ định cơ bản. Tiếp theo, chúng ta sẽ thảo luận về vị trí tương đối của một đường thẳng và một điểm, cũng như hai đường thẳng trên một mặt phẳng và trình bày các tiên đề cần thiết. Để kết luận, chúng ta sẽ xem xét các cách xác định một đường thẳng trên mặt phẳng và đưa ra các minh họa bằng đồ họa.

Điều hướng trang.

Một đường thẳng trên mặt phẳng là một khái niệm.

Trước khi đưa ra khái niệm đường thẳng trên mặt phẳng, các em cần hiểu rõ mặt phẳng là gì. Khái niệm máy bay cho phép bạn có được, ví dụ, một bề mặt phẳng trên bàn hoặc trên tường nhà. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng kích thước của cái bàn bị giới hạn và mặt phẳng vượt ra ngoài những ranh giới này đến vô tận (như thể chúng ta có một cái bàn lớn tùy ý).

Nếu chúng ta lấy một cây bút chì được gọt giũa kỹ và chạm đầu của nó vào bề mặt của “cái bàn”, chúng ta sẽ có được hình ảnh của một điểm. Đây là cách chúng tôi có được biểu diễn một điểm trên mặt phẳng.

Bây giờ bạn có thể chuyển sang khái niệm đường thẳng trên mặt phẳng.

Đặt một tờ giấy sạch lên mặt bàn (trên mặt phẳng). Để vẽ một đường thẳng, chúng ta cần lấy thước kẻ và vẽ một đường bằng bút chì theo kích thước của thước kẻ và tờ giấy đang sử dụng cho phép. Cần lưu ý rằng bằng cách này chúng ta sẽ chỉ nhận được một phần của dòng. Chúng ta chỉ có thể tưởng tượng toàn bộ một đường thẳng kéo dài đến vô tận.

Vị trí tương đối của đường thẳng và điểm.

Chúng ta nên bắt đầu với tiên đề: luôn có điểm trên mọi đường thẳng và trong mọi mặt phẳng.

Điểm thường được biểu thị bằng chữ Latinh in hoa, ví dụ: điểm A và F. Đổi lại, các đường thẳng được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh nhỏ, ví dụ các đường thẳng a và d.

Khả thi hai lựa chọn về vị trí tương đối của một đường thẳng và một điểm trên mặt phẳng: hoặc điểm nằm trên đường thẳng (trong trường hợp này người ta cũng nói rằng đường thẳng đi qua điểm), hoặc điểm không nằm trên đường thẳng (người ta cũng nói rằng điểm không thuộc đường thẳng hoặc thuộc về đường thẳng không đi qua điểm).

Để chỉ ra rằng một điểm thuộc một đường nhất định, hãy sử dụng ký hiệu “”. Ví dụ: nếu điểm A nằm trên đường thẳng a thì chúng ta có thể viết . Nếu điểm A không thuộc dòng a thì viết .

Khẳng định sau đây đúng: chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ.

Tuyên bố này là một tiên đề và nên được chấp nhận như một sự thật. Ngoài ra, điều này khá rõ ràng: chúng tôi đánh dấu hai điểm trên giấy, dùng thước kẻ vào chúng và vẽ một đường thẳng. Một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước (ví dụ: qua điểm A và B) có thể được ký hiệu bằng hai chữ cái này (trong trường hợp của chúng ta là đường thẳng AB hoặc BA).

Cần hiểu rằng trên một đường thẳng xác định trên một mặt phẳng có vô số điểm khác nhau và tất cả các điểm này đều nằm trong cùng một mặt phẳng. Tuyên bố này được thiết lập bởi tiên đề: nếu hai điểm của một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng nhất định thì tất cả các điểm của đường thẳng này đều nằm trong mặt phẳng này.

Tập hợp tất cả các điểm nằm giữa hai điểm cho trên một đường thẳng, cùng với các điểm đó, được gọi là đoạn thẳng hoặc chỉ đoạn. Các điểm giới hạn đoạn đó gọi là điểm cuối của đoạn đó. Một đoạn được biểu thị bằng hai chữ cái tương ứng với các điểm cuối của đoạn đó. Ví dụ: đặt điểm A và B là điểm cuối của một đoạn thì đoạn này có thể được chỉ định là AB hoặc BA. Xin lưu ý rằng ký hiệu này cho đoạn trùng với ký hiệu cho đường thẳng. Để tránh nhầm lẫn, chúng tôi khuyên bạn nên thêm từ “phân khúc” hoặc “thẳng” vào ký hiệu.

Để ghi lại ngắn gọn liệu một điểm nhất định thuộc hay không thuộc một phân đoạn nhất định, các ký hiệu giống nhau và được sử dụng. Để chỉ ra rằng một đoạn thẳng nào đó nằm hoặc không nằm trên một đường thẳng, hãy sử dụng các ký hiệu và tương ứng. Ví dụ: nếu đoạn AB thuộc dòng a, bạn có thể viết ngắn gọn .

Chúng ta cũng nên tập trung vào trường hợp ba điểm khác nhau thuộc cùng một đường thẳng. Trong trường hợp này, một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Tuyên bố này là một tiên đề khác. Cho các điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó chúng ta có thể nói rằng điểm A và C nằm đối diện với điểm B. Chúng ta cũng có thể nói rằng điểm B và C nằm cùng phía với điểm A và điểm A và B nằm cùng phía với điểm C.

Để hoàn thiện bức tranh, chúng ta lưu ý rằng bất kỳ điểm nào trên một đường đều chia đường này thành hai phần - hai chùm tia. Trong trường hợp này, một tiên đề được đưa ra: một điểm O tùy ý, thuộc một đường thẳng, chia đường thẳng này thành hai tia và hai điểm bất kỳ của một tia nằm cùng phía với điểm O và hai điểm bất kỳ của các tia khác nhau. nằm ở hai phía đối diện của điểm O.

Vị trí tương đối của các đường thẳng trên mặt phẳng.

Bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: “Làm thế nào có thể đặt hai đường thẳng trên một mặt phẳng so với nhau?”

Thứ nhất, hai đường thẳng trên một mặt phẳng có thể trùng hợp.

Điều này có thể thực hiện được khi các đường thẳng có ít nhất hai điểm chung. Thật vậy, theo tiên đề nêu ở đoạn trước, chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm. Nói cách khác, nếu hai đường thẳng đi qua hai điểm cho trước thì chúng trùng nhau.

Thứ hai, hai đường thẳng trên một mặt phẳng có thể đi qua.

Trong trường hợp này, các đường có một điểm chung, được gọi là giao điểm của các đường. Giao điểm của các đường thẳng được ký hiệu bằng ký hiệu “”, ví dụ nhập vào có nghĩa là đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M. Các đường thẳng cắt nhau đưa chúng ta đến khái niệm góc giữa các đường cắt nhau. Riêng biệt, cần xem xét vị trí của các đường thẳng trên mặt phẳng khi góc giữa chúng là chín mươi độ. Trong trường hợp này, các dòng được gọi vuông góc(chúng tôi gợi ý bài viết đường vuông góc, độ vuông góc của đường thẳng). Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì có thể sử dụng ký hiệu rút gọn.

Thứ ba, hai đường thẳng trên một mặt phẳng có thể song song.

Từ quan điểm thực tế, sẽ thuận tiện hơn khi xét một đường thẳng trên một mặt phẳng cùng với các vectơ. Điều đặc biệt quan trọng là các vectơ khác 0 nằm trên một đường thẳng cho trước hoặc trên bất kỳ đường thẳng song song nào, chúng được gọi là; vectơ chỉ hướng của đường thẳng. Bài viết Vectơ chỉ đường của đường thẳng trên mặt phẳng đưa ra ví dụ về vectơ chỉ phương và đưa ra các phương án sử dụng chúng trong việc giải bài toán.

Bạn cũng nên chú ý đến các vectơ khác 0 nằm trên bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này. Các vectơ như vậy được gọi là vectơ đường chuẩn. Việc sử dụng vectơ pháp tuyến được mô tả trong bài viết vectơ pháp tuyến trên mặt phẳng.

Khi có ba đường thẳng trở lên trên một mặt phẳng, sẽ xuất hiện nhiều lựa chọn khác nhau về vị trí tương đối của chúng. Tất cả các đường thẳng có thể song song, nếu không thì một số hoặc tất cả chúng đều giao nhau. Trong trường hợp này, tất cả các đường có thể giao nhau tại một điểm duy nhất (xem bài viết về một loạt các đường) hoặc chúng có thể có các giao điểm khác nhau.

Chúng tôi sẽ không đi sâu vào vấn đề này một cách chi tiết mà sẽ trình bày mà không cần bằng chứng một số sự kiện đáng chú ý và thường được sử dụng:

nếu hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau;
nếu hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau;
Nếu một đường thẳng nào đó trên mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng thứ hai.

Các phương pháp xác định đường thẳng trên mặt phẳng.

Bây giờ chúng tôi sẽ liệt kê những cách chính để bạn có thể xác định một đường thẳng cụ thể trên mặt phẳng. Kiến thức này rất hữu ích từ quan điểm thực tế, vì giải pháp cho nhiều ví dụ và vấn đề đều dựa trên nó.

Thứ nhất, một đường thẳng có thể được xác định bằng cách xác định hai điểm trên một mặt phẳng.

Thật vậy, từ tiên đề đã thảo luận ở đoạn đầu tiên của bài viết này, chúng ta biết rằng một đường thẳng đi qua hai điểm và chỉ đi qua một điểm.

Nếu tọa độ của hai điểm phân kỳ được biểu thị trong hệ tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng thì có thể viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

Thứ hai, một đường có thể được xác định bằng cách xác định điểm mà nó đi qua và đường mà nó song song. Phương pháp này là công bằng vì qua một điểm cho trước trên mặt phẳng có một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Việc chứng minh thực tế này đã được thực hiện trong các bài học hình học ở trường trung học.

Nếu một đường thẳng trên mặt phẳng được xác định theo cách này so với hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật đã giới thiệu, thì có thể soạn phương trình của nó. Điều này được viết trong phương trình bài viết của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước song song với một đường thẳng cho trước.

Thứ ba, một đường thẳng có thể được xác định bằng cách xác định điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của nó.

Nếu một đường thẳng được cho trong hệ tọa độ hình chữ nhật theo cách này thì có thể dễ dàng xây dựng phương trình chính tắc của đường thẳng trên mặt phẳng và phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng.

Cách thứ tư để xác định một đường thẳng là chỉ ra điểm mà nó đi qua và đường thẳng vuông góc với nó. Thật vậy, qua một điểm cho trước trên mặt phẳng có một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Hãy để sự thật này mà không có bằng chứng.

Cuối cùng, một đường thẳng trong mặt phẳng có thể được xác định bằng cách xác định điểm mà nó đi qua và vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

Nếu biết tọa độ của một điểm nằm trên một đường thẳng cho trước và tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì có thể viết được phương trình tổng quát của đường thẳng.

Tài liệu tham khảo.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Hình học. Lớp 7 – 9: sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Hình học. Sách giáo khoa lớp 10-11 THCS.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Toán học cao hơn. Tập một: các phần tử của đại số tuyến tính và hình học giải tích.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Hình học phân tích.

Mọi quyền được bảo lưu.
Được bảo vệ bởi luật bản quyền. Không phần nào của www.site, bao gồm cả tài liệu nội bộ và hình thức bên ngoài, có thể được sao chép hoặc sử dụng dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của chủ sở hữu bản quyền.

Điểm có thể là TRÊN thẳng, hoặc ngoài cô ấy.

a) Nếu điểm là TRÊN đường thẳng thì căn cứ vào tính chất thuộc các hình chiếu của nó sẽ thuộc các hình chiếu của đường thẳng - điểm A (Hình 7-2);

b) Nếu điểm nằm ở ngoài đường thẳng thì trong ít nhất một trong các khung nhìn, điểm sẽ không nằm trên đường thẳng:

· Điểm B nhìn từ trên xuống không nằm trên đường thẳng tôi , và nằm gần hơn , hơn điểm cạnh tranh trực diện với nó, được đánh dấu bằng dấu thập; do đó điểm B nằm trước trực tiếp tôi ;

· Điểm C, như sau nhìn từ phía trước, nằm dưới trực tiếp tôi , bởi vì nó nằm phía dưới một điểm cạnh tranh theo chiều ngang với nó, được đánh dấu bằng dấu thập và nằm trên một đường thẳng;

· Phân tích vị trí điểm D so với đường thẳng tôi , chúng ta đi đến kết luận rằng điểm D nằm qua trực tiếp tôi , được xác định bởi vị trí của điểm D ở mặt trước. Từ góc nhìn từ trên xuống, chúng ta lưu ý rằng điểm D nằm vì trực tiếp tôi .

Không thể xác định vị trí tương đối của một điểm và một đường thẳng của vị trí biên dạng p từ hai góc nhìn, bởi vì một đường thẳng như vậy ở mặt trước và mặt trên trùng với các đường liên lạc theo hướng (Hình 7-3).

Bạn có thể nhận được câu trả lời bằng cách xây dựng phép chiếu hồ sơ (chế độ xem bên trái).

Vì vậy, từ hình bên trái, chúng ta xác định được vị trí của M. trước thẳng (Δ f) Và qua cô ấy (ΔН), bởi vì nó nằm gần điểm cạnh tranh trực diện hơn và phía trên các điểm cạnh tranh theo chiều ngang được đánh dấu bằng dấu gạch chéo.

Điểm N nằm dưới (dưới) thẳng tôi Và vì (thêm) cô ấy.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT BAY

Có thể có hai lựa chọn:

· điểm nằm V. máy bay;

· điểm nằm ngoài máy bay.

Một điểm nằm trong mặt phẳng nếu nó thuộc bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng đó.

Mặt phẳng một phần

Nếu điểm nằm trong mặt phẳng hoàn cảnh riêng tư (xiên, dọc, chiếu biên dạng), thì việc xây dựng nó dễ dàng hơn. Trong trường hợp này, điểm trên một trong các khung nhìn sẽ nằm trên ảnh của mặt phẳng và trên khung nhìn khác, vị trí của nó có thể là tùy ý (Hình 7-4). Trên đây là điểm A, thuộc mặt phẳng nghiêng B, bởi vì nhìn từ phía trước nó nằm trên một đường thẳng, là hình ảnh của một mặt phẳng; và ở góc nhìn từ trên xuống, vị trí của điểm được lấy tùy ý trên đường truyền.

Điểm B nằm dưới máy bay, bởi vì nó nằm dưới điểm được đánh dấu bằng chữ thập mà nó cạnh tranh theo chiều ngang,

Mặt phẳng chung

Việc xây dựng một điểm thuộc mặt phẳng trên một hình vẽ phức tạp sẽ khó khăn hơn một chút tổng quan quy định.

Giả sử mặt phẳng B(ΔАВС) được chỉ định (Hình 7-5). ĐẾN xây dựng trong hình vẽ bất kỳ điểm nào nằm trong mặt phẳng B đều vẽ một đường thẳng tùy ý tôi rõ ràng thuộc mặt phẳng (vì nó đi qua hai điểm của mặt phẳng A và 1). Khi đó trên đường thẳng này t M (thuộc tính) được lấy.

Hãy xem xét đảo ngược nhiệm vụ. Cho hai loại điểm N. định nghĩa vị trí của điểm N so với mặt phẳng.