Cộng các phân số cùng mẫu số
Có hai cách cộng phân số:
- Cộng các phân số với cùng mẫu số
- Cộng các phân số với mẫu số khác nhau
Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu phép cộng các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: hãy cộng các phân số và . Cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn thêm pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:
Ví dụ 2. Cộng các phân số và .
Câu trả lời hóa ra là một phân số không chính xác. Khi nhiệm vụ kết thúc, người ta thường loại bỏ những phân số không đúng. Để thoát khỏi phân số thích hợp, bạn cần phải chọn toàn bộ một phần của nó. Trong trường hợp của chúng tôi toàn bộ phần nổi bật một cách dễ dàng - hai chia cho hai bằng một:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ về một chiếc bánh pizza được chia thành hai phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza hơn vào pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza nguyên vẹn:
Ví dụ 3. Cộng các phân số và .
Một lần nữa, chúng ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:
Ví dụ 4. Tìm giá trị của một biểu thức 
Ví dụ này được giải theo cách tương tự như những ví dụ trước. Các tử số phải được thêm vào và mẫu số không thay đổi:
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc pizza và thêm nhiều pizza hơn, bạn sẽ nhận được 1 chiếc pizza nguyên con và nhiều chiếc pizza hơn.
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi cộng các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:
- Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số;
Cộng các phân số có mẫu số khác nhau
Bây giờ chúng ta hãy học cách cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Khi cộng các phân số thì mẫu số của các phân số phải bằng nhau. Nhưng chúng không phải lúc nào cũng giống nhau.
Ví dụ: các phân số có thể được thêm vào vì chúng có cùng mẫu số.
Nhưng các phân số không thể được cộng ngay lập tức vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).
Có một số cách để quy các phân số về cùng mẫu số. Hôm nay chúng ta sẽ chỉ xem xét một trong số chúng, vì các phương pháp khác có vẻ phức tạp đối với người mới bắt đầu.
Bản chất của phương pháp này là trước tiên LCM của mẫu số của cả hai phân số được tìm kiếm. LCM sau đó được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất để thu được hệ số bổ sung đầu tiên. Họ làm tương tự với phân số thứ hai - LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được hệ số bổ sung thứ hai.
Tử số và mẫu số của các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của những hành động này là các phân số có mẫu số khác nhau sẽ được chuyển đổi thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy.
Ví dụ 1. Hãy cộng các phân số và
Trước hết, chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 6
BCNN (2 và 3) = 6
Bây giờ hãy quay lại phân số và . Đầu tiên, chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất và lấy thừa số bổ sung đầu tiên. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 6 cho 3 ta được 2.
Kết quả số 2 là số nhân bổ sung đầu tiên. Chúng tôi viết nó xuống phân số đầu tiên. Để làm điều này, hãy tạo một đường xiên nhỏ trên phân số và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy phía trên nó:
Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai và nhận được hệ số bổ sung thứ hai. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Chia 6 cho 2 ta được 3.
Kết quả số 3 là số nhân bổ sung thứ hai. Chúng tôi viết nó xuống phân số thứ hai. Một lần nữa, chúng ta tạo một đường xiên nhỏ trên phân số thứ hai và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy ở trên nó:
Bây giờ chúng tôi đã có mọi thứ sẵn sàng để bổ sung. Vẫn còn nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng:
Hãy nhìn kỹ vào những gì chúng ta đã đến. Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:
Điều này hoàn thành ví dụ. Hóa ra là thêm .
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm bánh pizza vào một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một phần sáu chiếc bánh pizza khác:
Việc giảm các phân số về cùng mẫu số (chung) cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Rút gọn các phân số thành mẫu số chung, chúng ta có phân số và . Hai phân số này sẽ được thể hiện bằng những miếng bánh pizza giống nhau. Điểm khác biệt duy nhất là lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số).
Hình vẽ đầu tiên biểu thị một phân số (bốn mảnh trong số sáu) và hình vẽ thứ hai biểu thị một phân số (ba mảnh trong số sáu). Thêm những mảnh này, chúng tôi nhận được (bảy trong số sáu mảnh). Phân số này không đúng nên chúng tôi đã đánh dấu toàn bộ phần đó. Kết quả là chúng tôi có (một chiếc bánh pizza và một chiếc bánh pizza thứ sáu khác).
Xin lưu ý rằng chúng tôi đã mô tả ví dụ này quá chi tiết. TRONG cơ sở giáo dục Nó không phải là thông lệ để viết chi tiết như vậy. Bạn cần có khả năng nhanh chóng tìm LCM của cả mẫu số và các thừa số bổ sung của chúng, cũng như nhân nhanh các thừa số bổ sung tìm thấy với tử số và mẫu số của bạn. Khi ở trường, chúng ta sẽ phải viết ra ví dụ này như sau:
Nhưng cũng có mặt trái huy chương. Nếu bạn không ghi chú chi tiết trong giai đoạn đầu học toán, thì những câu hỏi kiểu này sẽ bắt đầu xuất hiện. “Con số đó đến từ đâu?”, “Tại sao các phân số đột nhiên biến thành những phân số hoàn toàn khác nhau? «.
Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau dễ dàng hơn, bạn có thể làm theo hướng dẫn từng bước sau:
- Tìm BCNN của mẫu số của phân số;
- Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy hệ số bổ sung cho mỗi phân số;
- Nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng;
- Cộng các phân số có cùng mẫu số;
- Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì hãy chọn toàn bộ phần của nó;
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức 
.
Hãy sử dụng các hướng dẫn được đưa ra ở trên.
Bước 1. Tìm BCNN của mẫu số của các phân số
Tìm BCNN của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của các phân số là 2, 3 và 4
Bước 2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy hệ số bổ sung cho mỗi phân số
Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 2. Chia 12 cho 2, ta được 6. Ta có thừa số bổ sung đầu tiên 6. Ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:
Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Ta được thừa số thứ hai 4. Ta viết nó phía trên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ ba là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Ta lấy thừa số thứ ba 3. Ta viết nó phía trên phân số thứ ba:
Bước 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số bổ sung của chúng
Chúng tôi nhân các tử số và mẫu số với các thừa số bổ sung của chúng:
Bước 4. Cộng các phân số cùng mẫu số
Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Tất cả những gì còn lại là thêm các phân số này. Thêm nó lên:
Phần bổ sung không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi đã chuyển biểu thức còn lại sang dòng tiếp theo. Điều này được cho phép trong toán học. Khi một biểu thức không vừa trên một dòng, nó sẽ được chuyển sang dòng tiếp theo và cần đặt dấu bằng (=) ở cuối dòng đầu tiên và ở đầu dòng mới. Dấu bằng ở dòng thứ hai cho biết đây là phần tiếp theo của biểu thức ở dòng đầu tiên.
Bước 5. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì hãy chọn toàn bộ phần đó
Câu trả lời của chúng tôi hóa ra là một phần không chính xác. Chúng ta phải làm nổi bật toàn bộ một phần của nó. Chúng tôi nhấn mạnh:
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Phép trừ các phân số cùng mẫu số
Có hai loại phép trừ phân số:
- Phép trừ các phân số cùng mẫu số
- Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau
Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu cách trừ các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để trừ một phân số khác từ một phân số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất, nhưng giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ: hãy tìm giá trị của biểu thức . Để giải ví dụ này, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số. Hãy làm điều này:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:
Ví dụ 2. Tìm giá trị của biểu thức.
Một lần nữa, từ tử số của phân số thứ nhất, trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số:
Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:
Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức 
Ví dụ này được giải theo cách tương tự như các ví dụ trước. Từ tử số của phân số thứ nhất, bạn cần trừ tử số của các phân số còn lại:
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi trừ các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:
- Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số;
- Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.
Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau
Ví dụ: bạn có thể trừ một phân số khỏi một phân số vì các phân số đó có cùng mẫu số. Nhưng bạn không thể trừ một phân số từ một phân số, vì những phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).
Mẫu số chung được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc mà chúng ta đã sử dụng khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Trước hết, hãy tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất và thu được thừa số bổ sung đầu tiên, được viết phía trên phân số thứ nhất. Tương tự, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số bổ sung thứ hai, được viết phía trên phân số thứ hai.
Các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của các phép toán này là các phân số có mẫu số khác nhau được chuyển đổi thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy.
Ví dụ 1. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
Các phân số này có mẫu số khác nhau nên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).
Đầu tiên, chúng ta tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 12
BCNN (3 và 4) = 12
Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại phân số và
Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Viết số 4 phía trên phân số thứ nhất:
Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Viết số ba lên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng cho phép trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:
Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza
Cái này phiên bản chi tiết giải pháp. Nếu chúng ta ở trường, chúng ta sẽ phải giải ví dụ này ngắn hơn. Một giải pháp như vậy sẽ trông như thế này:
Việc giảm phân số về mẫu số chung cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Giảm các phân số này về mẫu số chung, chúng ta có các phân số và . Các phân số này sẽ được thể hiện bằng các lát bánh pizza giống nhau, nhưng lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số):
Bức tranh đầu tiên thể hiện một phân số (tám phần trong số mười hai) và bức tranh thứ hai hiển thị một phân số (ba phần trong số mười hai). Bằng cách cắt ba mảnh từ tám mảnh, chúng ta có được năm mảnh trong số mười hai mảnh. Phân số mô tả năm phần này.
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức 
Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy trước tiên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).
Hãy tìm BCNN của mẫu số của các phân số này.
Mẫu số của các phân số là các số 10, 3 và 5. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 30
BCNN(10, 3, 5) = 30
Bây giờ chúng ta tìm các thừa số bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số.
Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 10. Chia 30 cho 10, ta được thừa số bổ sung đầu tiên 3. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:
Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 30 cho 3, ta được thừa số thứ hai 10. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ hai:
Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ ba là số 5. Chia 30 cho 5, ta được thừa số thứ ba 6. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ ba:
Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng để trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:
Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy kết thúc ví dụ này.
Phần tiếp theo của ví dụ sẽ không vừa trên một dòng, vì vậy chúng ta chuyển phần tiếp theo sang dòng tiếp theo. Đừng quên dấu bằng (=) trên dòng mới:
Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, và mọi thứ dường như đều phù hợp với chúng ta, nhưng nó quá cồng kềnh và xấu xí. Chúng ta nên làm cho nó đơn giản hơn. Có thể làm gì? Bạn có thể rút ngắn phân số này.
Để rút gọn một phân số, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho (GCD) của các số 20 và 30.
Vì vậy, chúng ta tìm được gcd của số 20 và 30:
Bây giờ chúng ta quay lại ví dụ của mình và chia tử số và mẫu số của phân số cho gcd tìm thấy, nghĩa là cho 10
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời
Nhân một phân số với một số
Để nhân một phân số với một số, bạn cần nhân tử số của phân số đã cho với số đó và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ 1. Nhân một phân số với số 1.
Nhân tử số của phân số với số 1
Việc ghi âm có thể hiểu là chụp 1 nửa thời gian. Ví dụ: nếu bạn ăn pizza một lần, bạn sẽ nhận được pizza
Từ định luật nhân ta biết rằng nếu số nhân và thừa số đổi chỗ cho nhau thì tích sẽ không thay đổi. Nếu biểu thức được viết là , thì tích vẫn bằng . Một lần nữa, quy tắc nhân một số nguyên và một phân số có tác dụng:
Ký hiệu này có thể hiểu là lấy một nửa. Ví dụ: nếu có 1 chiếc bánh pizza nguyên con và chúng ta lấy một nửa số đó thì chúng ta sẽ có bánh pizza:
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số với 4
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:
Biểu thức có thể hiểu là lấy hai phần tư 4 lần. Ví dụ: nếu bạn lấy 4 chiếc pizza, bạn sẽ nhận được hai chiếc pizza nguyên vẹn
Và nếu đổi chỗ số nhân và số nhân, chúng ta sẽ có biểu thức . Nó cũng sẽ bằng 2. Biểu thức này có thể được hiểu là lấy hai chiếc pizza từ bốn chiếc pizza nguyên vẹn:
Nhân phân số
Để nhân các phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng. Nếu đáp án là một phân số không chính xác, bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.
Ví dụ 1. Tìm giá trị của biểu thức.
Chúng tôi đã nhận được câu trả lời. Nên giảm bớt phân số đã cho. Phân số có thể giảm đi 2. Khi đó quyết định cuối cùng sẽ có dạng sau:
Cách diễn đạt có thể hiểu là lấy một chiếc bánh pizza từ một nửa chiếc bánh pizza. Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:
Làm thế nào để lấy hai phần ba từ nửa này? Đầu tiên bạn cần chia nửa này thành ba phần bằng nhau:
Và lấy hai từ ba mảnh này:
Chúng ta sẽ làm pizza. Hãy nhớ chiếc bánh pizza trông như thế nào khi được chia thành ba phần:
Một miếng bánh pizza này và hai miếng chúng tôi lấy sẽ có cùng kích thước:
Nói cách khác, chúng ta đang nói về về cùng một chiếc bánh pizza có kích thước. Do đó giá trị của biểu thức là
Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:
Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:
Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức
Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:
Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, nhưng sẽ tốt hơn nếu nó được rút ngắn lại. Để rút gọn phân số này, bạn cần chia tử số và mẫu số của phân số này cho số lớn nhất ước số chung(GCD) số 105 và 450.
Vì vậy, hãy tìm gcd của các số 105 và 450:
Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của câu trả lời cho gcd mà chúng ta đã tìm thấy, tức là cho 15
Biểu diễn số nguyên dưới dạng phân số
Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Ví dụ: số 5 có thể được biểu diễn dưới dạng . Điều này sẽ không làm thay đổi ý nghĩa của số năm, vì biểu thức này có nghĩa là “số năm chia cho một” và như chúng ta biết, số này bằng năm:
số nghịch đảo
Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với rất chủ đề thú vị trong toán học. Nó được gọi là "số đảo ngược".
Sự định nghĩa. Đảo ngược sốMột là một số mà khi nhân vớiMột đưa ra một.
Hãy thay thế định nghĩa này thay vì biến Một số 5 và thử đọc định nghĩa:
Đảo ngược số 5 là một số mà khi nhân với 5 đưa ra một.
Có thể tìm được một số mà khi nhân với 5 sẽ bằng 1 không? Hóa ra là có thể. Hãy tưởng tượng năm là một phân số:
Sau đó nhân phân số này với chính nó, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Nói cách khác, hãy nhân phân số với chính nó, chỉ lộn ngược:
Điều gì sẽ xảy ra như là kết quả của việc này? Nếu chúng ta tiếp tục giải ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một:
Điều này có nghĩa là nghịch đảo của số 5 là số , vì khi bạn nhân 5 với bạn sẽ được một.
Nghịch đảo của một số cũng có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào khác.
Bạn cũng có thể tìm nghịch đảo của bất kỳ phân số nào khác. Để làm điều này, chỉ cần lật nó lại.
Chia một phân số cho một số
Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:
Hãy chia đều cho hai người. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu pizza?
Có thể thấy rằng sau khi chia một nửa chiếc bánh pizza, người ta thu được hai phần bằng nhau, mỗi phần tạo thành một chiếc bánh pizza. Vì vậy, mọi người đều nhận được một chiếc bánh pizza.
Việc chia phân số được thực hiện bằng cách sử dụng nghịch đảo. số nghịch đảo cho phép bạn thay thế phép chia bằng phép nhân.
Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân phân số đó với nghịch đảo của số chia.
Sử dụng quy tắc này, chúng ta sẽ viết ra cách chia một nửa chiếc bánh pizza của chúng ta thành hai phần.
Vì vậy, bạn cần chia phân số cho số 2. Ở đây số bị chia là phân số và số chia là số 2.
Để chia một phân số cho số 2, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của ước số 2. Nghịch đảo của ước số 2 là phân số. Vì vậy bạn cần nhân với
Các phân số hỗn hợp cũng giống như phân số đơn giản có thể được trừ đi. Để trừ hỗn số các phân số, bạn cần biết một số quy tắc trừ. Hãy nghiên cứu các quy tắc này với các ví dụ.
Phép trừ các phân số có cùng mẫu số.
Hãy xem xét một ví dụ với điều kiện là phần nguyên và phần phân số bị rút gọn lần lượt lớn hơn phần nguyên và phần phân số bị trừ. Trong những điều kiện như vậy, phép trừ xảy ra riêng biệt. Chúng ta trừ phần nguyên khỏi phần toàn bộ và phần phân số từ phần phân số.
Hãy xem một ví dụ:
Trừ các phân số hỗn hợp \(5\frac(3)(7)\) và \(1\frac(1)(7)\).
\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ phân đoạn(2)(7)\)
Tính đúng đắn của phép trừ được kiểm tra bằng phép cộng. Hãy kiểm tra phép trừ:
\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ phân đoạn(3)(7)\)
Hãy xem xét một ví dụ với điều kiện khi phần phân số của số bị trừ nhỏ hơn phần phân số tương ứng của số bị trừ. Trong trường hợp này, chúng ta mượn một từ tổng thể trong phần rút gọn.
Hãy xem một ví dụ:
Trừ các phân số hỗn hợp \(6\frac(1)(4)\) và \(3\frac(3)(4)\).
Số trừ \(6\frac(1)(4)\) có phần phân số nhỏ hơn phần phân số của phần phụ \(3\frac(3)(4)\). Tức là, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)
\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)
Ví dụ tiếp theo:
\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)
Trừ một hỗn số từ một số nguyên.
Ví dụ: \(3-1\frac(2)(5)\)
Số trừ 3 không có phần phân số nên không thể trừ ngay được. Hãy mượn một phần của toàn bộ 3 rồi thực hiện phép trừ. Chúng ta sẽ viết đơn vị là \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)
\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5 )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)
Phép trừ các phân số khác mẫu số.
Hãy xem xét một ví dụ với điều kiện là phần phân số của số bị trừ và số bị trừ có mẫu số khác nhau. Bạn cần đưa nó về mẫu số chung, sau đó thực hiện phép trừ.
Trừ hai phân số hỗn hợp có mẫu số khác nhau \(2\frac(2)(3)\) và \(1\frac(1)(4)\).
Mẫu số chung sẽ là số 12.
\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)
Các câu hỏi liên quan:
Làm thế nào để trừ các phân số hỗn hợp? Làm thế nào để giải các phân số hỗn hợp?
Trả lời: bạn cần quyết định loại biểu thức thuộc về loại nào và áp dụng thuật toán giải dựa trên loại biểu thức đó. Từ phần nguyên chúng ta trừ số nguyên, từ phần phân số chúng ta trừ phần phân số.
Làm thế nào để trừ một phân số từ một số nguyên? Làm thế nào để trừ một phân số từ một số nguyên?
Trả lời: bạn cần lấy đơn vị từ một số nguyên và viết đơn vị này dưới dạng phân số
\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),
rồi trừ toàn bộ khỏi tổng thể, trừ phần phân số khỏi phần phân số. Ví dụ:
\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7 )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)
Ví dụ #1:
Trừ một phân số thích hợp khỏi một: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)
Giải pháp:
a) Hãy tưởng tượng một phân số có mẫu số là 33. Chúng ta nhận được \(1 = \frac(33)(33)\)
\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)
b) Hãy tưởng tượng một phân số có mẫu số là 7. Chúng ta nhận được \(1 = \frac(7)(7)\)
\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)
Ví dụ #2:
Trừ một hỗn số từ một số nguyên: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)
Giải pháp:
a) Hãy mượn 21 đơn vị từ số nguyên và viết nó như thế này \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)
\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)
b) Hãy lấy một từ số nguyên 2 và viết nó như thế này \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)
\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)
Ví dụ #3:
Trừ một số nguyên từ một phân số hỗn hợp: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)
a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)
b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)
Ví dụ #4:
Trừ một phân số thích hợp từ một phân số hỗn hợp: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)
\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)
Ví dụ #5:
Tính \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)
\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21 )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(căn chỉnh)\)
Hành động tiếp theo có thể được thực hiện với phân số thông thường là phép trừ. Trong tài liệu này, chúng ta sẽ xem xét cách tính chính xác sự khác biệt giữa các phân số có cùng mẫu số và không giống nhau, cách trừ một phân số khỏi một số tự nhiên và ngược lại. Tất cả các ví dụ sẽ được minh họa bằng các vấn đề. Hãy để chúng tôi làm rõ trước rằng chúng tôi sẽ chỉ kiểm tra các trường hợp hiệu của các phân số dẫn đến số dương.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Cách tìm sự khác nhau giữa các phân số cùng mẫu số
Hãy bắt đầu ngay với ví dụ rõ ràng: Giả sử chúng ta có một quả táo được chia thành tám phần. Hãy để lại năm phần trên đĩa và lấy hai phần trong số đó. Hành động này có thể được viết như thế này:
Kết quả là chúng ta còn lại 3 phần tám, vì 5 − 2 = 3. Hóa ra 5 8 - 2 8 = 3 8.
Nhờ điều này ví dụ đơn giản Chúng ta đã thấy chính xác cách hoạt động của quy tắc trừ đối với các phân số có mẫu số giống nhau. Hãy xây dựng nó.
Định nghĩa 1
Để tìm sự khác biệt giữa các phân số có cùng mẫu số, bạn cần trừ tử số của phân số kia khỏi tử số của một phân số và giữ nguyên mẫu số. Quy tắc này có thể được viết dưới dạng a b - c b = a - c b.
Chúng tôi sẽ sử dụng công thức này trong tương lai.
Hãy lấy ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1
Trừ phân số chung 17 15 khỏi phân số 24 15.
Giải pháp
Ta thấy các phân số này có cùng mẫu số. Vậy tất cả những gì chúng ta cần làm là trừ 17 từ 24. Chúng ta nhận được 7 và cộng mẫu số của nó, chúng ta được 7 15.
Tính toán của chúng tôi có thể được viết như sau: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15
Nếu cần thiết, bạn có thể giảm phần phức tạp hoặc chọn toàn bộ phần từ phần sai để dễ đếm hơn.
Ví dụ 2
Tìm sự khác biệt 37 12 - 15 12.
Giải pháp
Hãy sử dụng công thức mô tả ở trên và tính: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
Dễ dàng nhận thấy rằng tử số và mẫu số có thể chia cho 2 (chúng ta đã nói về điều này trước đó khi xem xét dấu chia hết). Rút gọn câu trả lời, chúng ta nhận được 11 6. Đây là một phân số không chính xác, từ đó chúng ta sẽ chọn toàn bộ phần: 11 6 = 1 5 6.
Cách tìm hiệu của các phân số có mẫu số khác nhau
Cái này phép toán có thể được giảm xuống những gì chúng tôi đã mô tả ở trên. Để làm điều này, chúng ta chỉ cần giảm các phân số cần thiết về cùng mẫu số. Hãy đưa ra định nghĩa:
Định nghĩa 2
Để tìm sự khác biệt giữa các phân số có mẫu số khác nhau, bạn cần quy chúng về cùng mẫu số và tìm sự khác biệt giữa các tử số.
Hãy xem một ví dụ về cách thực hiện việc này.
Ví dụ 3
Trừ phân số 1 15 từ 2 9.
Giải pháp
Các mẫu số khác nhau và bạn cần giảm chúng xuống mức nhỏ nhất giá trị tổng thể. TRONG trong trường hợp này LCM bằng 45. Phân số thứ nhất yêu cầu hệ số bổ sung là 5 và phân số thứ hai - 3.
Hãy tính: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45
Chúng ta có hai phân số có cùng mẫu số và bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm ra hiệu của chúng bằng thuật toán được mô tả trước đó: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
Tóm tắt ngắn gọn về lời giải như sau: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.
Đừng bỏ qua việc giảm kết quả hoặc tách toàn bộ một phần khỏi nó, nếu cần. TRONG trong ví dụ này chúng ta không cần phải làm điều đó.
Ví dụ 4
Tìm sự khác biệt 19 9 - 7 36.
Giải pháp
Chúng ta hãy giảm các phân số được chỉ ra trong điều kiện xuống mẫu số chung thấp nhất 36 và thu được lần lượt là 76 9 và 7 36.
Ta tính ra đáp án: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36
Kết quả có thể giảm đi 3 và nhận được 23 12. Tử số lớn hơn mẫu số nghĩa là ta có thể chọn toàn bộ phần. Câu trả lời cuối cùng là 1 11 12.
Tóm tắt ngắn gọn về toàn bộ lời giải là 19 9 - 7 36 = 1 11 12.
Cách trừ một số tự nhiên khỏi một phân số chung
Hành động này cũng có thể dễ dàng giảm xuống phép trừ đơn giản các phân số thông thường. Điều này có thể được thực hiện bằng cách tưởng tượng số tự nhiên dưới dạng một phân số. Hãy chỉ ra nó bằng một ví dụ.
Ví dụ 5
Tìm sự khác biệt 83 21 – 3 .
Giải pháp
3 cũng giống như 3 1. Sau đó bạn có thể tính nó như thế này: 83 21 - 3 = 20 21.
Nếu điều kiện yêu cầu trừ một số nguyên khỏi một phân số không chính xác, thì trước tiên sẽ thuận tiện hơn khi tách số nguyên ra khỏi nó bằng cách viết nó dưới dạng hỗn số. Sau đó, ví dụ trước có thể được giải quyết theo cách khác.
Từ phân số 83 21 khi tách phần nguyên ra được 83 21 = 3 20 21.
Bây giờ hãy trừ 3 từ nó: 3 20 21 - 3 = 20 21.
Cách trừ một phân số cho số tự nhiên
Hành động này được thực hiện tương tự như hành động trước: chúng ta viết lại số tự nhiên dưới dạng phân số, đưa cả hai về một mẫu số duy nhất và tìm hiệu. Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ.
Ví dụ 6
Tìm sự khác biệt: 7 - 5 3 .
Giải pháp
Hãy biến 7 thành phân số 7 1. Chúng tôi thực hiện phép trừ và chuyển đổi kết quả cuối cùng, cách ly toàn bộ phần với nó: 7 - 5 3 = 5 1 3.
Có một cách khác để thực hiện tính toán. Nó có một số ưu điểm có thể được sử dụng trong trường hợp tử số và mẫu số của phân số trong bài toán là số lớn.
Định nghĩa 3
Nếu phân số cần trừ là đúng thì số tự nhiên mà chúng ta trừ phải được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số, một trong số đó bằng 1. Sau đó, bạn cần trừ một phần mong muốn và nhận được câu trả lời.
Ví dụ 7
Tính chênh lệch 1 065 - 13 62.
Giải pháp
Phân số bị trừ đúng vì tử số của nó là nhỏ hơn mẫu số. Do đó, chúng ta cần trừ một từ 1065 và trừ phân số mong muốn từ nó: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62
Bây giờ chúng ta cần tìm câu trả lời. Sử dụng các tính chất của phép trừ, biểu thức thu được có thể được viết là 1064 + 1 - 13 62. Hãy tính sự khác biệt trong ngoặc. Để làm điều này, hãy tưởng tượng đơn vị là phân số 1 1.
Hóa ra 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.
Bây giờ chúng ta hãy nhớ về 1064 và xây dựng câu trả lời: 1064 49 62.
Chúng tôi sử dụng cách cũđể chứng minh rằng nó kém thuận tiện hơn. Đây là những tính toán mà chúng tôi sẽ đưa ra:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6
Câu trả lời là như nhau nhưng việc tính toán rõ ràng là phức tạp hơn.
Chúng ta đã xem xét trường hợp cần trừ một phân số thích hợp. Nếu sai thì ta thay bằng hỗn số rồi trừ theo quy luật quen thuộc.
Ví dụ 8
Tính hiệu số 644 - 73 5.
Giải pháp
Phân số thứ hai là một phân số không chính xác và toàn bộ phần phải được tách ra khỏi nó.
Bây giờ chúng ta tính toán tương tự như ví dụ trước: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
Tính chất của phép trừ khi làm việc với phân số
Các tính chất của phép trừ số tự nhiên cũng được áp dụng cho trường hợp trừ các phân số thông thường. Hãy xem cách sử dụng chúng khi giải các ví dụ.
Ví dụ 9
Tìm sự khác biệt 24 4 - 3 2 - 5 6.
Giải pháp
Chúng tôi đã giải các ví dụ tương tự khi xem xét phép trừ một tổng từ một số, vì vậy chúng tôi tuân theo thuật toán đã biết. Trước tiên, hãy tính hiệu 25 4 - 3 2, sau đó trừ phân số cuối cùng từ nó:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Hãy chuyển đổi câu trả lời bằng cách tách toàn bộ phần ra khỏi nó. Kết quả - 3 11 12.
Một bản tóm tắt ngắn gọn của toàn bộ giải pháp:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Nếu biểu thức chứa cả phân số và số tự nhiên thì nên nhóm chúng theo loại khi tính toán.
Ví dụ 10
Tìm hiệu 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Giải pháp
Biết các tính chất cơ bản của phép trừ và phép cộng, chúng ta có thể nhóm các số như sau: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Hãy hoàn thành các phép tính: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Tìm tử số và mẫu số. Một phân số gồm hai số: số nằm phía trên đường thẳng gọi là tử số, số nằm phía dưới đường thẳng gọi là mẫu số. Mẫu số biểu thị tổng số phần được chia thành một tổng thể và tử số là số phần được xem xét.
- Ví dụ, trong phân số ½, tử số là 1 và mẫu số là 2.
Xác định mẫu số. Nếu hai hoặc nhiều phân số có mẫu số chung thì những phân số đó có cùng số ở dưới dòng, nghĩa là trong trường hợp này, một tổng thể nhất định được chia thành cùng một số phần. Việc cộng các phân số có mẫu số chung rất đơn giản vì mẫu số của phân số tổng sẽ giống như các phân số được thêm vào. Ví dụ:
- Các phân số 3/5 và 2/5 có mẫu số chung là 5.
- Các phân số 3/8, 5/8, 17/8 có mẫu số chung là 8.
Xác định các tử số.Để cộng các phân số có mẫu số chung, hãy cộng tử số của chúng và viết kết quả lên trên mẫu số của các phân số được cộng.
- Các phân số 3/5 và 2/5 có tử số là 3 và 2.
- Các phân số 3/8, 5/8, 17/8 có tử số là 3, 5, 17.
Cộng các tử số. Trong bài toán 3/5 + 2/5, cộng các tử số 3 + 2 = 5. Trong bài toán 3/8 + 5/8 + 17/8, cộng các tử số 3 + 5 + 17 = 25.
Viết tổng số phân số. Hãy nhớ rằng khi cộng các phân số có mẫu số chung, nó không thay đổi - chỉ cộng các tử số.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Chuyển đổi phân số nếu cần thiết.Đôi khi một phân số có thể được viết dưới dạng số nguyên chứ không phải là phân số hoặc số thập phân. Ví dụ: phân số 5/5 có thể dễ dàng chuyển thành 1, vì bất kỳ phân số nào có tử số bằng mẫu số, có 1. Hãy tưởng tượng một chiếc bánh được cắt thành ba phần. Nếu bạn ăn cả ba phần thì bạn đã ăn hết (một) chiếc bánh.
- Bất kỳ phân số nào cũng có thể được chuyển đổi thành số thập phân; Để làm điều này, chia tử số cho mẫu số. Ví dụ: phân số 5/8 có thể được viết như sau: 5 8 = 0,625.
Nếu có thể hãy đơn giản hóa phân số. Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không có ước chung.
- Ví dụ, hãy xem xét phân số 3/6. Ở đây cả tử số và mẫu số đều có ước chung bằng 3, tức là tử số và mẫu số đều chia hết cho 3. Do đó, phân số 3/6 có thể viết như sau: 3 3/6 3 = ½ .
Chuyển đổi nếu cần thiết phân số không chính xác thành một phân số hỗn hợp ( hỗn số). Một phân số không chính xác có tử số lớn hơn mẫu số, ví dụ: 25/8 (một phân số đúng có tử số nhỏ hơn mẫu số). Một phân số không chính xác có thể được chuyển đổi thành một phân số hỗn hợp, bao gồm một phần nguyên (nghĩa là một số nguyên) và một phần phân số (nghĩa là một phân số thích hợp). Để chuyển một phân số không chính xác, chẳng hạn như 25/8, thành hỗn số, hãy làm theo các bước sau:
- Chia tử số của một phân số không chính xác cho mẫu số của nó; viết ra thương một phần (toàn bộ câu trả lời). Trong ví dụ của chúng ta: 25 8 = 3 cộng với một số số dư. Trong trường hợp này, toàn bộ câu trả lời là phần nguyên của hỗn số.
- Tìm phần còn lại. Trong ví dụ của chúng tôi: 8 x 3 = 24; trừ kết quả thu được từ tử số ban đầu: 25 - 24 = 1, tức là số dư bằng 1. Trong trường hợp này, số dư là tử số của phần phân số của hỗn số.
- Viết hỗn số. Mẫu số không thay đổi (nghĩa là nó bằng mẫu số của phân số không đúng), nên 25/8 = 3 1/8.
Các hành động với phân số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ, mọi thứ một cách chi tiết kèm theo lời giải thích. Chúng tôi sẽ xem xét phân số chung. Chúng ta sẽ xem xét số thập phân sau. Tôi khuyên bạn nên xem toàn bộ và nghiên cứu nó một cách tuần tự.
1. Tổng các phân số, hiệu của các phân số.
Quy tắc: Khi cộng các phân số có cùng mẫu số thì kết quả là một phân số có mẫu số giữ nguyên, tử số là bằng tổng tử số của phân số.
Quy tắc: Khi tính hiệu giữa các phân số có cùng mẫu số, ta thu được một phân số - mẫu số giữ nguyên và tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất.
Ký hiệu chính thức cho tổng và hiệu của các phân số có mẫu số bằng nhau:
Ví dụ (1):
Rõ ràng là khi đưa ra các phân số thông thường thì mọi thứ đều đơn giản, nhưng nếu chúng trộn lẫn với nhau thì sao? Không có gì phức tạp...
Tùy chọn 1– bạn có thể chuyển đổi chúng thành những cái bình thường và sau đó tính toán chúng.
Tùy chọn 2– bạn có thể “làm việc” riêng biệt với phần nguyên và phần phân số.
Ví dụ (2):
Hơn:
Điều gì sẽ xảy ra nếu hiệu của hai phân số hỗn hợp và tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai? Bạn cũng có thể hành động theo hai cách.
Ví dụ (3):
*Chuyển đổi sang phân số thông thường, tính chênh lệch, chuyển đổi phân số thu được thành phân số hỗn hợp.
*Chúng tôi chia nó thành các phần nguyên và phần phân số, lấy 3, sau đó trình bày 3 là tổng của 2 và 1, với một được biểu thị là 11/11, sau đó tìm sự khác biệt giữa 11/11 và 7/11 và tính kết quả . Ý nghĩa của các phép biến đổi trên là lấy (chọn) một đơn vị và biểu diễn nó dưới dạng một phân số với mẫu số mà chúng ta cần, sau đó chúng ta có thể trừ một phân số khác từ phân số này.
Một ví dụ khác:
Kết luận: có một cách tiếp cận phổ quát - để tính tổng (chênh lệch) của các phân số hỗn hợp có mẫu số bằng nhau, chúng luôn có thể được chuyển đổi thành các phân số không chính xác, sau đó thực hiện hành động bắt buộc. Sau đó, nếu kết quả là một phân số không chính xác, chúng ta chuyển nó thành một phân số hỗn hợp.
Ở trên chúng ta đã xem xét các ví dụ về phân số có mẫu số bằng nhau. Nếu mẫu số khác nhau thì sao? Trong trường hợp này, các phân số được giảm về cùng mẫu số và hành động đã chỉ định được thực hiện. Để thay đổi (biến đổi) một phân số, tính chất cơ bản của phân số được sử dụng.
Hãy xem xét các ví dụ đơn giản:
Trong những ví dụ này, chúng ta thấy ngay cách biến đổi một trong các phân số để có mẫu số bằng nhau.
Nếu chúng ta chỉ định các cách giảm phân số về cùng mẫu số thì chúng ta sẽ gọi đây là cách PHƯƠNG PHÁP MỘT.
Nghĩa là, ngay khi “ước tính” một phân số, bạn cần tìm hiểu xem cách tiếp cận này có hiệu quả hay không - chúng tôi kiểm tra xem mẫu số lớn hơn có chia hết cho mẫu số nhỏ hơn hay không. Và nếu nó chia hết thì chúng ta thực hiện phép biến đổi - chúng ta nhân tử số và mẫu số sao cho mẫu số của cả hai phân số bằng nhau.
Bây giờ hãy xem những ví dụ sau:
Cách tiếp cận này không thể áp dụng cho họ. Cũng có nhiều cách để rút gọn phân số về mẫu số chung;
Phương pháp HAI.
Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất:
*Trên thực tế, chúng ta rút gọn phân số về dạng khi mẫu số bằng nhau. Tiếp theo, chúng ta áp dụng quy tắc cộng các phân số có mẫu số bằng nhau.
Ví dụ:
*Phương pháp này có thể được gọi là phổ quát và nó luôn hoạt động. Nhược điểm duy nhất là sau khi tính toán, bạn có thể thu được một phân số cần phải giảm thêm.
Hãy xem một ví dụ:
Có thể thấy tử số và mẫu số đều chia hết cho 5:
Phương pháp BA.
Bạn cần tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số. Đây sẽ là mẫu số chung. Đây là loại số gì? Đây là số tự nhiên nhỏ nhất có thể chia hết cho mỗi số.
Nhìn xem, đây là hai số: 3 và 4, có nhiều số chia hết cho chúng - đó là 12, 24, 36, ... Số nhỏ nhất trong số đó là 12. Hoặc 6 và 15, 30, 60, 90 là chia hết cho chúng.... Nhỏ nhất là 30. Câu hỏi đặt ra là - làm thế nào để xác định bội số chung nhỏ nhất này?
Có một thuật toán rõ ràng, nhưng thường việc này có thể được thực hiện ngay lập tức mà không cần tính toán. Ví dụ: theo các ví dụ trên (3 và 4, 6 và 15) không cần thuật toán, chúng tôi lấy số lớn (4 và 15), nhân đôi chúng và thấy rằng chúng chia hết cho số thứ hai, nhưng các cặp số có thể là những người khác, ví dụ 51 và 119.
Thuật toán. Để xác định bội số chung nhỏ nhất của một số số, bạn phải:
- Phân tích mỗi số thành yếu tố ĐƠN GIẢN
— viết ra sự phân hủy LỚN HƠN của chúng
- nhân nó với các hệ số MISSING của các số khác
Hãy xem xét các ví dụ:
50 và 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
đang trong quá trình phân hủy hơn thiếu một năm
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 và 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
trong việc mở rộng số lớn hơn hai và ba bị thiếu
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố tương đương với sản phẩm của họ
Câu hỏi! Tại sao việc tìm bội số chung nhỏ nhất lại hữu ích vì bạn có thể sử dụng phương pháp thứ hai và chỉ cần rút gọn phân số thu được? Có, có thể, nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện. Nhìn vào mẫu số của các số 48 và 72 nếu bạn chỉ nhân chúng với 48∙72 = 3456. Bạn sẽ đồng ý rằng sẽ dễ chịu hơn khi làm việc với các số nhỏ hơn.
Hãy xem xét các ví dụ:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
sự mở rộng của một số lớn hơn thiếu một bộ ba
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Bây giờ hãy sử dụng phương pháp đầu tiên:
* Hãy xem sự khác biệt trong các phép tính, trong trường hợp đầu tiên có ít nhất chúng, nhưng trong trường hợp thứ hai, bạn cần phải làm việc riêng trên một tờ giấy và thậm chí cả phần bạn nhận được cũng cần phải giảm đi. Việc tìm kiếm LOC giúp đơn giản hóa công việc một cách đáng kể.
Thêm ví dụ:
*Trong ví dụ thứ hai, rõ ràng là số nhỏ nhất chia hết cho 40 và 60 bằng 120.
KẾT QUẢ! Thuật toán tính toán tổng quát!
— chúng ta giảm phân số thành phân số thông thường nếu có phần nguyên.
- chúng ta đưa các phân số về một mẫu số chung (đầu tiên chúng ta xem liệu một mẫu số có chia hết cho một mẫu số khác hay không; nếu nó chia hết thì chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số kia; nếu nó không chia hết, chúng ta hành động bằng các phương pháp khác đã nêu ở trên).
- Nhận được các phân số có mẫu số bằng nhau, ta thực hiện các phép tính (cộng, trừ).
- nếu cần thiết, chúng tôi giảm kết quả.
- nếu cần thì chọn toàn bộ phần.
2. Tích của phân số.
Quy tắc rất đơn giản. Khi nhân các phân số, tử số và mẫu số của chúng được nhân với nhau:
Ví dụ:
Nhiệm vụ. 13 tấn rau đã được đưa về căn cứ. Khoai tây chiếm ¾ tổng số rau nhập khẩu. Có bao nhiêu kg khoai tây đã được mang về căn cứ?
Hãy kết thúc với phần này.
*Trước đây tôi đã hứa sẽ giải thích chính thức cho bạn về tính chất chính của phân số thông qua tích, vui lòng:
3. Chia phân số.
Chia phân số có nghĩa là nhân chúng. Điều quan trọng cần nhớ ở đây là phân số là số chia (phân số được chia cho) được lật lại và hành động chuyển thành phép nhân:
Hành động này có thể được viết dưới dạng cái gọi là phân số bốn tầng, bởi vì bản thân phép chia “:” cũng có thể được viết dưới dạng phân số:
Ví dụ:
Thế thôi! Chúc bạn may mắn!
Trân trọng, Alexander Krutitskikh.