Giải các phương trình hữu tỉ ví dụ về nghiệm. Các phương trình hợp lý đơn giản nhất

$\bullet$ Phương trình hữu tỉ là một phương trình được biểu diễn dưới dạng \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] trong đó $P(x), \Q(x)\ ) - đa thức (tổng của các lũy thừa khác nhau của X nhân với nhiều số khác nhau).
Biểu thức ở vế trái của phương trình được gọi là biểu thức hữu tỉ.
EA (phạm vi các giá trị có thể chấp nhận) của một phương trình hữu tỉ là tất cả các giá trị của \(x$ mà tại đó mẫu số KHÔNG tiến về 0, tức là $Q(x)\ne 0$ .
$\bullet$ Ví dụ: phương trình \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] là các phương trình hữu tỉ.
trong lần đầu tiên phương trình ODZ– tất cả đều là $x$ sao cho $x\ne 3$ (viết $x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)$); trong phương trình thứ hai – tất cả đều $x$ sao cho $x\ne -1; x\ne 1$ (viết $x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$); và trong phương trình thứ ba không có hạn chế nào đối với ODZ, nghĩa là ODZ đều là $x$ (họ viết $x\in\mathbb(R)$).
$\bullet$ Định lý: 1) Tích của hai thừa số bằng 0 khi và chỉ khi một trong chúng bằng 0 , và cái kia không mất ý nghĩa nên phương trình $f(x)\cdot g(x)=0$ tương đương với hệ\[\begin(case) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ văn bản(phương trình ODZ)\end(trường hợp)\] 2) Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số bằng 0 và mẫu số không bằng 0, do đó, phương trình \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) tương đương với hệ phương trình\[\begin(case) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(case)\]

$\bullet$ Hãy xem một vài ví dụ. 1) Giải phương trình $x+1=\dfrac 2x$ . Hãy cùng tìm ODZ
phương trình đã cho
là $x\ne 0$ (vì $x$ nằm ở mẫu số). Điều này có nghĩa là ODZ có thể được viết như sau: . Hãy chuyển tất cả các số hạng thành một phần và đưa chúng về mẫu số chung:

\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( trường hợp) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(trường hợp)\] Nghiệm của phương trình đầu tiên của hệ sẽ là $x=-2, x=1$ . Chúng ta thấy rằng cả hai nghiệm đều khác 0. Do đó, câu trả lời là: $x\in \(-2;1$\) .. Hãy tìm ODZ của phương trình này. Chúng tôi thấy rằng giá trị duy nhất của $x$ mà phía bên trái không có ý nghĩa là $x=0$ . Vì vậy, ODZ có thể được viết như thế này:.
$x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$

Do đó phương trình này tương đương với hệ:\[\begin(case) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(căn chỉnh) \end(tập hợp) \right.\\ x\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(căn chỉnh) &x=2\\ &x=1 \end(căn chỉnh) \end(tập hợp) \right.\]
Thật vậy, mặc dù thực tế rằng $x=0$ là nghiệm của thừa số thứ hai, nhưng nếu bạn thay thế $x=0$ vào phương trình ban đầu thì nó sẽ không có ý nghĩa, bởi vì biểu thức $\dfrac 40$ không được xác định.

Vì vậy, nghiệm của phương trình này là $x\in \(1;2$\) . 3) Giải phương trình\[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]
Trong phương trình của chúng ta $4x^2-1\ne 0$ , từ đó $(2x-1)(2x+1)\ne 0$ , tức là $x\ne -\frac12; \frac12 $ . Hãy chuyển tất cả các điều khoản sang bên trái

và đưa nó về mẫu số chung:

$\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \quad \begin(case) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(case) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(case) \left[ \begin(gathered) \begin( căn chỉnh) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(case) \quad \ Mũi tên trái phải \quad x=-3$

Trả lời: $x\in \(-3$\) .

Bình luận. Nếu câu trả lời bao gồm một tập hợp hữu hạn các số thì chúng có thể được viết cách nhau bằng dấu chấm phẩy trong dấu ngoặc nhọn, như minh họa trong các ví dụ trước. Các bài toán yêu cầu giải phương trình hữu tỉ đều gặp phải hàng năm trong Kỳ thi Thống nhất môn Toán nên khi chuẩn bị thi lấy chứng chỉ, các học viên tốt nghiệp nhất định phải tự ôn lại lý thuyết về chủ đề này. Sinh viên tốt nghiệp học cả cơ bản và cấp độ hồ sơ bài tập thực hành về chủ đề “Phương trình hữu tỉ”, học sinh sẽ có thể giải quyết vấn đề bằng bất kỳ số lượng hành động nào và tin tưởng nhận được điểm cạnh tranh dựa trên kết quả vượt qua Kỳ thi Thống nhất.

Làm thế nào để chuẩn bị cho kỳ thi bằng cổng giáo dục Shkolkovo?

Đôi khi bạn có thể tìm thấy một nguồn trình bày đầy đủ lý thuyết cơ bản để giải vấn đề toán học hóa ra là khá khó khăn. Sách giáo khoa có thể đơn giản là không có trong tay. Và tìm công thức cần thiếtđôi khi nó có thể khá khó khăn ngay cả trên Internet.

Cổng thông tin giáo dục Shkolkovo sẽ giúp bạn không cần phải tìm kiếm vật liệu cần thiết và sẽ giúp bạn chuẩn bị tốt để vượt qua bài kiểm tra cấp chứng chỉ.

Tất cả lý thuyết cần thiết về chủ đề “Phương trình hữu tỉ” các chuyên gia của chúng tôi đã chuẩn bị và trình bày một cách tối đa biểu mẫu có thể truy cập. Sau khi nghiên cứu các thông tin được trình bày, học sinh sẽ có thể lấp đầy những lỗ hổng kiến thức.

Vì chuẩn bị thành côngĐẾN Kỳ thi Thống nhất Nhà nước dành cho sinh viên tốt nghiệpđiều cần thiết không chỉ là ôn lại những điều cơ bản tài liệu lý thuyết về chủ đề “Các phương trình hữu tỉ”, nhưng để thực hành hoàn thành các nhiệm vụ về ví dụ cụ thể. Một loạt các nhiệm vụ được trình bày trong phần “Danh mục”.

Đối với mỗi bài tập trên trang web, các chuyên gia của chúng tôi đã viết một thuật toán giải và chỉ ra câu trả lời đúng. Học sinh có thể thực hành giải quyết vấn đề mức độ khác nhau khó khăn tùy theo trình độ đào tạo. Danh sách nhiệm vụ ở phần tương ứng được bổ sung, cập nhật liên tục.

Nghiên cứu tài liệu lý thuyết và trau dồi kỹ năng giải quyết vấn đề về chủ đề “Các phương trình hữu tỉ”, tương tự như trong phần Bài kiểm tra của Nhà nước Thống nhất, có thể được thực hiện trực tuyến. Nếu cần, bất kỳ tác vụ nào được trình bày đều có thể được thêm vào phần “Yêu thích”. Lặp lại lần nữa lý thuyết cơ bản về chủ đề “Các phương trình hữu tỉ”, một học sinh trung học sau này sẽ có thể quay lại bài toán để thảo luận về tiến trình giải bài toán đó với giáo viên trong một bài học đại số.

Trình bày và bài học chuyên đề: "Phương trình hữu tỉ. Thuật toán và ví dụ giải phương trình hữu tỉ"

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

Công cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 8
Sách hướng dẫn sử dụng sách của Makarychev Yu.N. Sách hướng dẫn sử dụng sách của Mordkovich A.G.

Giới thiệu về phương trình vô tỉ

Các bạn ơi, chúng ta đã học cách giải phương trình bậc hai. Nhưng toán học không chỉ giới hạn ở họ. Hôm nay chúng ta sẽ học cách giải các phương trình hữu tỉ. Ý tưởng phương trình hữu tỉ rất giống với khái niệm số hữu tỉ. Chỉ ngoài số, bây giờ chúng tôi đã giới thiệu một số biến $x$. Và do đó, chúng ta có được một biểu thức trong đó có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa số nguyên.

Đặt $r(x)$ là biểu hiện hợp lý . Một biểu thức như vậy có thể là một đa thức đơn giản trong biến $x$ hoặc một tỉ số của các đa thức (một phép chia được giới thiệu, như đối với các số hữu tỷ).
Phương trình $r(x)=0$ được gọi là phương trình hữu tỉ.
Bất kỳ phương trình nào có dạng $p(x)=q(x)$, trong đó $p(x)$ và $q(x)$ là các biểu thức hữu tỉ, cũng sẽ là phương trình hữu tỉ.

Hãy xem xét các ví dụ về giải phương trình hữu tỉ.

Ví dụ 1.
Giải phương trình: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Giải pháp.
Hãy di chuyển tất cả các biểu thức sang bên trái: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Nếu vế trái của phương trình được biểu diễn số thông thường, thì chúng ta sẽ đưa hai phân số về mẫu số chung.
Hãy làm điều này: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Chúng ta có phương trình: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của phân số đó bằng 0 và mẫu số khác 0. Sau đó, chúng ta đánh đồng tử số bằng 0 và tìm nghiệm của tử số.
$3(x^2+2x-3)=0$ hoặc $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra mẫu số của phân số: $(x-3)*x≠0$.
Tích của hai số bằng 0 khi có ít nhất một trong các số này bằng 0. Khi đó: $x≠0$ hoặc $x-3≠0$.
$x≠0$ hoặc $x≠3$.
Các nghiệm thu được ở tử số và mẫu số không trùng nhau. Vì vậy chúng ta viết cả hai nghiệm của tử số vào đáp án.
Trả lời: $x=1$ hoặc $x=-3$.

Nếu đột nhiên một trong các nghiệm của tử số trùng với gốc của mẫu số thì nên loại trừ. Những rễ như vậy được gọi là ngoại lai!

Thuật toán giải phương trình hữu tỉ:

1. Chuyển tất cả các biểu thức có trong phương trình sang bên trái từ dấu bằng.
2. Chuyển phần này của phương trình thành phân số đại số: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Đánh đồng tử số thu được bằng 0, nghĩa là giải phương trình $p(x)=0$.
4. Đưa mẫu số về 0 và giải phương trình thu được. Nếu căn của mẫu số trùng với căn của tử số thì chúng sẽ bị loại khỏi câu trả lời.

Ví dụ 2.
Giải phương trình: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Giải pháp.
Hãy giải quyết theo các điểm của thuật toán.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Đánh đồng tử số với 0: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Đánh đồng mẫu số bằng 0:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ và $x=-1$.
Một trong các nghiệm $x=1$ trùng với nghiệm của tử số thì ta không ghi nó vào đáp án.
Trả lời: $x=-1$.

Thật thuận tiện khi giải các phương trình hữu tỉ bằng phương pháp đổi biến. Hãy chứng minh điều này.

Ví dụ 3.
Giải phương trình: $x^4+12x^2-64=0$.

Giải pháp.
Hãy giới thiệu sự thay thế: $t=x^2$.
Khi đó phương trình của chúng ta sẽ có dạng:
$t^2+12t-64=0$ - phương trình bậc hai thông thường.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 đô la.
Hãy giới thiệu phép thay thế ngược lại: $x^2=4$ hoặc $x^2=-16$.
Các nghiệm của phương trình đầu tiên là một cặp số $x=±2$. Điều thứ hai là nó không có gốc rễ.
Trả lời: $x=±2$.

Ví dụ 4.
Giải phương trình: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Giải pháp.
Hãy giới thiệu một biến mới: $t=x^2+x+1$.
Khi đó phương trình sẽ có dạng: $t=\frac(15)(t+2)$.
Tiếp theo chúng ta sẽ tiến hành theo thuật toán.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - các nghiệm không trùng nhau.
Hãy giới thiệu một sự thay thế ngược lại.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Hãy giải từng phương trình riêng biệt:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - không rễ.
Và phương trình thứ hai: $x^2+x-2=0$.
Căn nguyên của phương trình này sẽ là các số $x=-2$ và $x=1$.
Trả lời: $x=-2$ và $x=1$.

Ví dụ 5.
Giải phương trình: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Giải pháp.
Hãy giới thiệu phép thay thế: $t=x+\frac(1)(x)$.
Sau đó:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ hoặc $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Chúng ta có phương trình: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Các nghiệm của phương trình này là cặp:
$t=-3$ và $t=2$.
Hãy giới thiệu sự thay thế ngược lại:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Chúng tôi sẽ quyết định riêng.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Hãy giải phương trình thứ hai:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Căn nguyên của phương trình này là số $x=1$.
Trả lời: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Vấn đề cần giải quyết độc lập

Giải phương trình:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Chúng ta đã học cách giải phương trình bậc hai. Bây giờ hãy mở rộng các phương pháp đã nghiên cứu sang các phương trình hữu tỉ.

Một biểu hiện hợp lý là gì? Chúng tôi đã gặp phải khái niệm này. biểu thức hợp lý là các biểu thức được tạo thành từ các số, biến, lũy thừa và ký hiệu của các phép toán.

Theo đó, phương trình hữu tỉ là phương trình có dạng: , trong đó - biểu thức hợp lý.

Trước đây, chúng ta chỉ xem xét những phương trình hữu tỉ có thể rút gọn thành phương trình tuyến tính. Bây giờ chúng ta hãy xem xét những phương trình hữu tỉ có thể rút gọn thành phương trình bậc hai.

Ví dụ 1

Giải phương trình: .

Giải pháp:

Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó bằng 0 và mẫu số của nó không bằng 0.

Chúng tôi nhận được hệ thống sau:

Phương trình đầu tiên của hệ thống là phương trình bậc hai. Trước khi giải nó, hãy chia tất cả các hệ số của nó cho 3. Chúng ta có:

Chúng ta có hai gốc: ; .

Vì 2 không bao giờ bằng 0 nên phải thỏa mãn hai điều kiện: . Vì không có nghiệm nào của phương trình thu được ở trên trùng với giá trị không hợp lệ các biến thu được bằng cách giải bất đẳng thức thứ hai, chúng đều là nghiệm của phương trình này.

Trả lời:.

Vì vậy, hãy xây dựng một thuật toán để giải phương trình hữu tỉ:

1. Di chuyển tất cả các số hạng sang vế trái sao cho vế phải có kết thúc bằng 0.

2. Biến đổi và rút gọn vế trái, đưa tất cả các phân số về mẫu số chung.

3. Đánh đồng phân số thu được bằng 0 bằng thuật toán sau: .

4. Viết các nghiệm thu được trong phương trình thứ nhất và thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai trong đáp án.

Hãy xem một ví dụ khác.

Ví dụ 2

Giải phương trình: .

Giải pháp

Lúc đầu, chúng tôi di chuyển tất cả các số hạng sang trái để vẫn còn 0 ở bên phải.

Bây giờ hãy đưa vế trái của phương trình về mẫu số chung:

Phương trình này tương đương với hệ:

Phương trình đầu tiên của hệ thống là phương trình bậc hai.

Các hệ số của phương trình này: . Chúng tôi tính toán sự phân biệt:

Chúng ta có hai gốc: ; .

Bây giờ chúng ta hãy giải bất đẳng thức thứ hai: tích của các thừa số không bằng 0 khi và chỉ khi không có thừa số nào bằng 0.

Hai điều kiện phải được đáp ứng: . Ta thấy rằng trong hai nghiệm của phương trình thứ nhất chỉ có một nghiệm phù hợp - 3.

Trả lời:.

Trong bài học này, chúng ta đã nhớ biểu thức hữu tỉ là gì, đồng thời cũng học cách giải các phương trình hữu tỉ, đưa chúng về phương trình bậc hai.

Trong bài học tiếp theo, chúng ta sẽ xem các phương trình hữu tỉ như mô hình của các tình huống thực tế, đồng thời cũng xem xét các bài toán chuyển động.

Tài liệu tham khảo

Bashmak M.I. Đại số, lớp 8. - M.: Giáo dục, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. và những thứ khác. Đại số, 8. tái bản lần thứ 5. - M.: Giáo dục, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Đại số, lớp 8. Hướng dẫn cho cơ sở giáo dục. - M.: Giáo dục, 2006.

Lễ hội ý tưởng sư phạm "Mở bài học" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

bài tập về nhà

Smirnova Anastasia Yuryevna

Loại bài học: bài học tìm hiểu nội dung mới.

Hình thức tổ chức hoạt động giáo dục : phía trước, cá nhân.

Mục đích của bài học: giới thiệu một loại phương trình mới - phương trình hữu tỉ phân số, nêu ý tưởng về thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số.

Mục tiêu bài học.

giáo dục:

hình thành khái niệm phương trình hữu tỉ phân số;
xem xét một thuật toán để giải phương trình hữu tỉ phân số, trong đó có điều kiện phân số đó bằng 0;
dạy giải phương trình hữu tỉ phân số bằng thuật toán.

Phát triển:

tạo điều kiện phát triển kỹ năng vận dụng kiến thức đã học;
thúc đẩy phát triển sở thích nhận thức học sinh vào môn học;
phát triển khả năng phân tích, so sánh và rút ra kết luận của học sinh;
phát triển các kỹ năng kiểm soát lẫn nhau và tự chủ, sự chú ý, trí nhớ, lời nói và viết, độc lập.

Giáo dục:

nuôi dưỡng sự quan tâm nhận thức đối với chủ đề này;
thúc đẩy sự độc lập trong việc ra quyết định nhiệm vụ giáo dục;
nuôi dưỡng ý chí và sự kiên trì để đạt được kết quả cuối cùng.

Thiết bị: sách giáo khoa, bảng đen, bút màu.

Sách giáo khoa “Đại số 8”. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, do S.A. Telyakovsky biên tập. Moscow "Khai sáng". 2010

TRÊN chủ đề này năm giờ được phân bổ. Đây là bài học đầu tiên. Việc chính là nghiên cứu thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số và thực hành thuật toán này trong bài tập.

Tiến độ bài học

1. Thời điểm tổ chức.

Xin chào các bạn! Hôm nay tôi muốn bắt đầu bài học của chúng ta bằng câu thơ bốn câu:
Để làm cho cuộc sống dễ dàng hơn cho mọi người,
Điều gì sẽ được quyết định, điều gì có thể xảy ra,
Hãy mỉm cười, chúc mọi người may mắn,
Để không có vấn đề gì,
Chúng tôi mỉm cười với nhau và tạo ra tâm trạng tốt và bắt đầu công việc.

Có những phương trình được viết trên bảng, hãy nhìn kỹ vào chúng. Bạn có thể giải được tất cả các phương trình này không? Cái nào không và tại sao?

Các phương trình trong đó vế trái và vế phải là biểu thức phân số được gọi là phương trình hữu tỉ phân số. Bạn nghĩ chúng ta sẽ học gì trong lớp hôm nay? Xây dựng chủ đề bài học. Vì vậy, các bạn hãy mở vở ghi ra chủ đề của bài “Giải phương trình hữu tỉ phân số”.

2. Cập nhật kiến thức. Khảo sát trực diện, công việc truyền miệng với lớp.

Và bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại tài liệu lý thuyết chính mà chúng ta cần nghiên cứu chủ đề mới. Vui lòng trả lời các câu hỏi sau:

Phương trình là gì? ( Bình đẳng với một hoặc nhiều biến.)
Tên của phương trình số 1 là gì? ( tuyến tính.) Giải pháp phương trình tuyến tính. (Di chuyển mọi thứ chưa biết sang bên trái của phương trình, tất cả các số sang bên phải. Chỉ huy điều khoản tương tự. Tìm yếu tố chưa biết).
Tên của phương trình số 3 là gì? ( Quảng trường.) Giải pháp phương trình bậc hai. (P về công thức)
Tỷ lệ là gì? ( Đẳng thức của hai tỉ số.) Tính chất chính của tỷ lệ. ( Nếu tỉ lệ đúng thì tích các số hạng cực trị của nó bằng tích các số hạng ở giữa.)
Những tính chất nào được sử dụng khi giải phương trình? ( 1. Nếu bạn di chuyển một số hạng trong phương trình từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho. 2. Nếu nhân hoặc chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số khác 0, bạn sẽ được phương trình tương đương với phương trình đã cho.)
Khi nào một phân số bằng 0? ( Một phân số bằng 0 khi tử số bằng 0 và mẫu số khác 0..)

3. Giải thích tài liệu mới.

Giải phương trình số 2 vào vở và lên bảng.

Trả lời: 10.

Cái mà phương trình hữu tỉ phân số Bạn có thể thử giải bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ không? (Số 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Giải phương trình số 4 vào vở và lên bảng.

Trả lời: 1,5.

Bạn có thể thử giải phương trình hữu tỉ phân số nào bằng cách nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số? (Số 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Trả lời: 3;4.

Chúng ta sẽ xem xét việc giải các phương trình như phương trình số 7 trong các bài học sau.

Giải thích tại sao điều này xảy ra? Tại sao có ba gốc trong trường hợp này và hai trong trường hợp kia? Những số nào là gốc của phương trình hữu tỉ phân số này?

Cho đến nay, học sinh chưa gặp phải khái niệm gốc ngoại lai; thực sự các em rất khó hiểu tại sao điều này lại xảy ra. Nếu trong lớp không ai giải thích rõ ràng được tình huống này thì giáo viên sẽ đặt những câu hỏi dẫn dắt.

Phương trình số 2 và 4 khác với phương trình số 5 và 6 như thế nào? ( Trong phương trình số 2 và 4 có các số ở mẫu số, số 5-6 - biểu thức có một biến.)
Gốc của một phương trình là gì? ( Giá trị của biến tại đó phương trình trở thành sự bình đẳng thực sự .)
Làm thế nào để biết một số có phải là nghiệm của một phương trình hay không? ( Kiểm tra.)

Khi kiểm tra, một số học sinh nhận thấy rằng các em phải chia cho 0. Họ kết luận rằng các số 0 và 5 không phải là gốc của phương trình này. Câu hỏi đặt ra là: có cách nào giải phương trình hữu tỉ phân số cho phép ta loại bỏ lỗi này? Có, phương pháp này dựa trên điều kiện phân số bằng 0.

Chúng ta hãy thử xây dựng một thuật toán để giải các phương trình hữu tỉ phân số theo cách này. Trẻ tự xây dựng thuật toán.

Thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số:

Di chuyển mọi thứ sang bên trái.
Rút gọn các phân số về mẫu số chung.
Lập hệ: một phân số bằng 0 khi tử số bằng 0 và mẫu số không bằng 0.
Giải phương trình.
Kiểm tra bất đẳng thức để loại trừ các nghiệm ngoại lai.
Viết ra câu trả lời.

4. Hiểu biết ban đầu về tài liệu mới.

Làm việc theo cặp. Học sinh tùy theo loại phương trình mà lựa chọn cách giải phương trình. Bài tập trong sách giáo khoa “Đại số 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: Số 600(b,c); Số 601(a,e). Giáo viên giám sát việc hoàn thành nhiệm vụ, trả lời mọi câu hỏi phát sinh và hỗ trợ những học sinh có thành tích kém. Tự kiểm tra: đáp án được viết trên bảng.

b) 2 - gốc ngoại lai. Trả lời: 3.

c) 2 - gốc ngoại lai. Trả lời: 1.5.

a) Đáp án: -12,5.

5. Giao bài tập về nhà.

Đọc đoạn 25 trong sách giáo khoa, phân tích ví dụ 1-3.
Tìm hiểu thuật toán giải phương trình hữu tỉ.
Giải vào vở số 600 (d, d); Số 601(g,h).

6. Tóm tắt bài học.

Vậy hôm nay trong bài chúng ta đã làm quen với phương trình hữu tỉ phân số, học cách giải các phương trình này theo nhiều cách khác nhau. Bất kể bạn giải phương trình hữu tỉ phân số như thế nào, bạn cần lưu ý điều gì? Sự “tinh ranh” của phương trình hữu tỉ phân số là gì?

Cảm ơn mọi người, bài học đã kết thúc.

"Giải phương trình hữu tỉ phân số"

Mục tiêu bài học:

giáo dục:

hình thành khái niệm phương trình hữu tỉ phân số; xem xét nhiều cách khác nhau để giải phương trình hữu tỉ phân số; xem xét một thuật toán để giải phương trình hữu tỉ phân số, trong đó có điều kiện phân số đó bằng 0; dạy giải phương trình hữu tỉ phân số bằng thuật toán; kiểm tra mức độ nắm vững chủ đề bằng cách tiến hành một bài kiểm tra.

Phát triển:

hoạt động tinh thần

tư duy phản biện

Giáo dục:

nuôi dưỡng sự quan tâm nhận thức đối với chủ đề này; bồi dưỡng tính độc lập trong giải quyết các vấn đề giáo dục; nuôi dưỡng ý chí và sự kiên trì để đạt được kết quả cuối cùng.

Loại bài học: bài học - giải thích tài liệu mới.

Tiến độ bài học

1. Thời điểm tổ chức.

Xin chào các bạn! Có những phương trình được viết trên bảng, hãy nhìn kỹ vào chúng. Bạn có thể giải được tất cả các phương trình này không? Cái nào không và tại sao?

2. Cập nhật kiến thức. Khảo sát trực tiếp, làm việc miệng với cả lớp.

Và bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại tài liệu lý thuyết chính mà chúng ta sẽ cần để nghiên cứu một chủ đề mới. Vui lòng trả lời các câu hỏi sau:

1. Phương trình là gì? ( Bình đẳng với một hoặc nhiều biến.)

2. Tên phương trình số 1 là gì? ( tuyến tính.) Phương pháp giải phương trình tuyến tính. ( Di chuyển mọi thứ chưa biết sang bên trái của phương trình, tất cả các số sang bên phải. Đưa ra các điều khoản tương tự. Tìm yếu tố chưa biết).

3. Tên phương trình số 3 là gì? ( Quảng trường.) Các phương pháp giải phương trình bậc hai. ( Lựa chọn hình vuông đầy đủ, bằng công thức, sử dụng định lý Vieta và hệ quả của nó.)

4. Tỷ lệ là gì? ( Đẳng thức của hai tỉ số.) Tính chất chính của tỷ lệ. ( Nếu tỉ lệ đúng thì tích các số hạng cực trị của nó bằng tích các số hạng ở giữa.)

5. Khi giải phương trình ta sử dụng tính chất gì? ( 1. Nếu bạn di chuyển một số hạng trong phương trình từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho. 2. Nếu nhân hoặc chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số khác 0, bạn sẽ được phương trình tương đương với phương trình đã cho.)

6. Khi nào một phân số bằng 0? ( Một phân số bằng 0 khi tử số bằng 0 và mẫu số khác 0..)

3. Giải thích tài liệu mới.

Giải phương trình số 2 vào vở và lên bảng.

Trả lời: 10.

Bạn có thể cố gắng giải phương trình hữu tỉ phân số nào bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ? (Số 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Giải phương trình số 4 vào vở và lên bảng.

Trả lời: 1,5.

Bạn có thể thử giải phương trình hữu tỉ phân số nào bằng cách nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số? (Số 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Trả lời: 3;4.

Bây giờ hãy thử giải phương trình số 7 bằng một trong các phương pháp sau.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Trả lời: 0;5;-2.			Trả lời: 5;-2.

Trong phương trình số 2 và 4 có các số ở mẫu số, số 5-7 là các biểu thức có một biến

Giá trị của biến tại đó phương trình trở thành đúng

Kiểm tra

Khi kiểm tra, một số học sinh nhận thấy rằng các em phải chia cho 0. Họ kết luận rằng các số 0 và 5 không phải là gốc của phương trình này. Câu hỏi được đặt ra: có cách nào giải phương trình hữu tỉ phân số cho phép chúng ta loại bỏ sai số này không? Có, phương pháp này dựa trên điều kiện phân số bằng 0.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Nếu x=5 thì x(x-5)=0, nghĩa là 5 là một nghiệm ngoại lai.

Nếu x=-2 thì x(x-5)≠0.

Trả lời: -2.

Chúng ta hãy thử xây dựng một thuật toán để giải các phương trình hữu tỉ phân số theo cách này. Trẻ tự xây dựng thuật toán.

Thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số:

1. Di chuyển mọi thứ sang bên trái.

2. Rút gọn phân số về mẫu số chung.

3. Lập hệ: một phân số bằng 0 khi tử số bằng 0 và mẫu số không bằng 0.

4. Giải phương trình.

5. Kiểm tra bất đẳng thức để loại trừ các nghiệm ngoại lai.

6. Viết ra câu trả lời.

Thảo luận: cách chính thức hóa lời giải nếu sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ và cả hai vế của phương trình được nhân với mẫu số chung. (Thêm vào lời giải: loại trừ khỏi gốc của nó những phần làm cho mẫu số chung biến mất).

4. Hiểu biết ban đầu về tài liệu mới.

Làm việc theo cặp. Học sinh tùy theo loại phương trình mà lựa chọn cách giải phương trình. Bài tập SGK “Đại số 8”, 2007: Số 000 (b, c, i); Số 000(a,d,g). Giáo viên giám sát việc hoàn thành nhiệm vụ, trả lời mọi câu hỏi phát sinh và hỗ trợ những học sinh có thành tích kém. Tự kiểm tra: đáp án được viết trên bảng.

b) 2 – gốc ngoại lai. Trả lời: 3.

c) 2 – gốc ngoại lai. Trả lời: 1.5.

a) Đáp án: -12,5.

g) Đáp án: 1;1.5.

5. Giao bài tập về nhà.

2. Tìm hiểu thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số.

3. Giải vào vở số 000 (a, d, e); Số 000(g,h).

4. Thử giải số 000(a) (tùy chọn).

6. Hoàn thành nhiệm vụ kiểm tra chủ đề đã học.

Công việc được thực hiện trên những mảnh giấy.

Nhiệm vụ ví dụ:

A) Phương trình nào là phân số hữu tỉ?

B) Một phân số bằng 0 khi tử số là ______________________ và mẫu số là _______________________.

Q) Số -3 có phải là nghiệm của phương trình số 6 không?

D) Giải phương trình số 7.

Tiêu chí đánh giá nhiệm vụ:

Điểm 5 được cho nếu học sinh hoàn thành đúng hơn 90% nhiệm vụ. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” được trao cho học sinh đã hoàn thành dưới 50% nhiệm vụ. Xếp hạng 2 không được đưa ra trong tạp chí, 3 là tùy chọn.

7. Suy ngẫm.

Trên tờ giấy làm việc độc lập, hãy ghi:

1 – nếu bài học thú vị và dễ hiểu đối với bạn; 2 – thú vị nhưng không rõ ràng; 3 – không thú vị nhưng dễ hiểu; 4 – không thú vị, không rõ ràng.

8. Tóm tắt bài học.

Vì vậy, hôm nay trong bài học chúng ta đã làm quen với phương trình hữu tỉ phân số, học cách giải các phương trình này bằng nhiều cách khác nhau, kiểm tra kiến thức với sự trợ giúp của bài tập làm việc độc lập. Bạn sẽ biết kết quả làm việc độc lập của mình trong bài học tiếp theo và ở nhà, bạn sẽ có cơ hội củng cố kiến thức của mình.

Theo bạn, phương pháp nào để giải phương trình hữu tỉ phân số dễ hơn, dễ tiếp cận hơn và hợp lý hơn? Bất kể phương pháp giải phương trình hữu tỉ nào, bạn nên nhớ điều gì? Sự “tinh ranh” của phương trình hữu tỉ phân số là gì?

Cảm ơn mọi người, bài học đã kết thúc.