Sử dụng thước kẻ. Tốt nhất là nó được làm từ vật liệu tấm càng mỏng càng tốt. Nếu bề mặt trải nó không bằng phẳng, máy đo của thợ may sẽ giúp ích. Và nếu bạn không có thước kẻ mỏng và nếu bạn không ngại xỏ thẻ, bạn có thể sử dụng la bàn để đo, tốt nhất là dùng hai kim. Sau đó, bạn có thể chuyển nó sang giấy biểu đồ và đo chiều dài của đoạn dọc theo nó.
Đường giữa hai điểm hiếm khi thẳng. Một thiết bị tiện lợi - máy đo độ cong - sẽ giúp bạn đo chiều dài của đường thẳng. Để sử dụng nó, trước tiên hãy xoay con lăn để căn chỉnh mũi tên về số 0. Nếu máy đo độ cong là điện tử, không cần thiết phải đặt nó về 0 theo cách thủ công - chỉ cần nhấn nút đặt lại. Giữ con lăn, ấn nó vào điểm bắt đầu của đoạn sao cho dấu trên thân (nằm phía trên con lăn) chỉ thẳng vào điểm này. Sau đó di chuyển con lăn dọc theo đường cho đến khi điểm đánh dấu thẳng hàng với điểm cuối. Đọc lời khai. Xin lưu ý rằng một số máy đo độ cong có hai thang đo, một thang đo được chia độ bằng cm và thang kia được chia theo inch.
Tìm chỉ báo tỷ lệ trên bản đồ - nó thường nằm ở góc dưới bên phải. Đôi khi chỉ báo này là một đoạn có chiều dài đã được hiệu chỉnh, bên cạnh đó nó cho biết khoảng cách tương ứng với nó. Đo chiều dài của đoạn này bằng thước kẻ. Ví dụ: nếu nó có chiều dài 4 cm và bên cạnh nó được chỉ ra rằng nó tương ứng với 200 mét, hãy chia số thứ hai cho số thứ nhất và bạn sẽ thấy rằng mỗi số trên bản đồ tương ứng đến 50 mét trên mặt đất. Trên một số, thay vì một đoạn, có một cụm từ làm sẵn, chẳng hạn như sau: "Có 150 mét trong một centimet." Tỷ lệ cũng có thể được chỉ định theo tỷ lệ có dạng sau: 1:100000. Trong trường hợp này, chúng ta có thể tính toán rằng 1 cm trên bản đồ tương ứng với 1000 mét trên mặt đất, vì 100000/100 (centimet trong một mét) = 1000 m.
Nhân khoảng cách đo được bằng thước hoặc thước đo đường cong, tính bằng centimet, với số mét được chỉ định trên bản đồ hoặc tính bằng một centimet. Kết quả sẽ là khoảng cách thực tế, được biểu thị tương ứng bằng km.
Bất kỳ bản đồ nào cũng là hình ảnh thu nhỏ của một lãnh thổ nào đó. Hệ số cho thấy ảnh bị giảm bao nhiêu so với vật thật được gọi là tỷ lệ. Biết được thì bạn có thể xác định được khoảng cách Qua . Đối với bản đồ thật trên giấy, tỷ lệ là một giá trị cố định. Đối với bản đồ ảo, điện tử, giá trị này thay đổi cùng với sự thay đổi độ phóng đại của hình ảnh bản đồ trên màn hình điều khiển.
Hướng dẫn
Khoảng cách bằng bản đồ có thể được đo bằng công cụ “Thước kẻ” trong gói thông tin địa lý Google Earth và Yandex Maps, cơ sở cho các bản đồ trong đó là vệ tinh vệ tinh. Chỉ cần bật công cụ này và nhấp vào điểm đánh dấu điểm bắt đầu lộ trình của bạn và điểm bạn định hoàn thành. Giá trị khoảng cách có thể được tìm thấy trong bất kỳ đơn vị đo lường nhất định nào.
Mỗi điểm A của mặt phẳng được đặc trưng bởi tọa độ (x, y) của nó. Chúng trùng với tọa độ của vectơ 0A, xuất phát từ điểm 0 - gốc tọa độ.
Gọi A và B là các điểm tùy ý của mặt phẳng có tọa độ lần lượt là (x 1 y 1) và (x 2, y 2).
Khi đó vectơ AB hiển nhiên có tọa độ (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Người ta biết rằng bình phương độ dài của một vectơ bằng tổng các bình phương tọa độ của nó. Do đó, khoảng cách d giữa các điểm A và B, hay độ dài của vectơ AB, được xác định từ điều kiện
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$
Công thức kết quả cho phép bạn tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng, nếu chỉ biết tọa độ của các điểm này
Mỗi khi chúng ta nói về tọa độ của một điểm cụ thể trên mặt phẳng, chúng ta muốn nói đến một hệ tọa độ được xác định rõ ràng x0y. Nói chung, hệ tọa độ trên mặt phẳng có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, thay vì hệ tọa độ x0y, chúng ta có thể xem xét hệ tọa độ xִy, hệ tọa độ thu được bằng cách quay các trục tọa độ cũ xung quanh điểm bắt đầu 0 ngược chiều kim đồng hồ mũi tên ở góc α .
Nếu một điểm nào đó của mặt phẳng trong hệ tọa độ x0y có tọa độ (x, y) thì trong hệ tọa độ mới xִy nó sẽ có tọa độ khác (x, y).
Ví dụ, hãy xem xét điểm M, nằm trên trục 0x và cách điểm 0 một khoảng bằng 1.
Rõ ràng, trong hệ tọa độ x0y điểm này có tọa độ (cos α , tội lỗi α ), còn trong hệ tọa độ xִy tọa độ là (1,0).
Tọa độ của hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng A và B phụ thuộc vào cách xác định hệ tọa độ trong mặt phẳng này. Nhưng khoảng cách giữa các điểm này không phụ thuộc vào phương pháp xác định hệ tọa độ .
Vật liệu khácKhoảng cách giữa hai điểm trên một mặt phẳng.
Hệ tọa độ
Mỗi điểm A của mặt phẳng được đặc trưng bởi tọa độ (x, y) của nó. Chúng trùng với tọa độ của vectơ 0A, xuất phát từ điểm 0 - gốc tọa độ.
Gọi A và B là các điểm tùy ý của mặt phẳng có tọa độ lần lượt là (x 1 y 1) và (x 2, y 2).
Khi đó vectơ AB hiển nhiên có tọa độ (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Người ta biết rằng bình phương độ dài của một vectơ bằng tổng các bình phương tọa độ của nó. Do đó, khoảng cách d giữa các điểm A và B, hay độ dài của vectơ AB, được xác định từ điều kiện
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
Công thức kết quả cho phép bạn tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng, nếu chỉ biết tọa độ của các điểm này
Mỗi khi chúng ta nói về tọa độ của một điểm cụ thể trên mặt phẳng, chúng ta muốn nói đến một hệ tọa độ được xác định rõ ràng x0y. Nói chung, hệ tọa độ trên mặt phẳng có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, thay vì hệ tọa độ x0y, bạn có thể xem xét hệ tọa độ x"0y", hệ tọa độ này thu được bằng cách xoay các trục tọa độ cũ xung quanh điểm bắt đầu 0 ngược chiều kim đồng hồ mũi tên ở góc α .
Nếu một điểm nhất định của mặt phẳng trong hệ tọa độ x0y có tọa độ (x, y), thì trong hệ tọa độ mới x"0y" nó sẽ có tọa độ khác (x, y").
Ví dụ, hãy xem xét điểm M, nằm trên trục 0x và cách điểm 0 một khoảng bằng 1.
Rõ ràng, trong hệ tọa độ x0y điểm này có tọa độ (cos α , tội lỗi α ) và trong hệ tọa độ x"0y" tọa độ là (1,0).
Tọa độ của hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng A và B phụ thuộc vào cách xác định hệ tọa độ trong mặt phẳng này. Nhưng khoảng cách giữa các điểm này không phụ thuộc vào phương pháp xác định hệ tọa độ. Chúng ta sẽ sử dụng đáng kể tình huống quan trọng này trong đoạn tiếp theo.
Bài tập
I. Tìm khoảng cách giữa các điểm trong mặt phẳng có tọa độ:
1) (3.5) và (3.4); 3) (0,5) và (5, 0); 5) (-3,4) và (9, -17);
2) (2, 1) và (- 5, 1); 4) (0, 7) và (3,3); 6) (8, 21) và (1, -3).
II. Tìm chu vi của một tam giác có các cạnh được cho bởi các phương trình:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 và y = 1.
III. Trong hệ tọa độ x0y, điểm M và N lần lượt có tọa độ (1, 0) và (0,1). Tìm tọa độ của các điểm này trong hệ tọa độ mới, có được bằng cách xoay các trục cũ quanh điểm bắt đầu một góc 30° ngược chiều kim đồng hồ.
IV. Trong hệ tọa độ x0y, điểm M và N có tọa độ (2, 0) và (\ / 3/2, - 1/2) tương ứng. Tìm tọa độ của các điểm này trong hệ tọa độ mới, có được bằng cách xoay các trục cũ quanh điểm bắt đầu một góc 30° theo chiều kim đồng hồ.
§ 1 Phương trình số nguyên và phân số
Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét các khái niệm như phương trình hữu tỉ, biểu thức hữu tỉ, biểu thức toàn phần, biểu thức phân số. Hãy xem xét việc giải các phương trình hợp lý.
Phương trình hữu tỉ là phương trình trong đó vế trái và vế phải là biểu thức hữu tỉ.
Biểu thức hợp lý là:
Phân số.
Một biểu thức số nguyên được tạo thành từ các số, biến, lũy thừa số nguyên bằng cách sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân và chia cho một số khác 0.
Ví dụ:
Biểu thức phân số liên quan đến phép chia cho một biến hoặc một biểu thức có một biến. Ví dụ:
Một biểu thức phân số không có ý nghĩa đối với tất cả các giá trị của các biến có trong nó. Ví dụ, biểu thức
tại x = -9 điều đó không có ý nghĩa gì, vì tại x = -9 mẫu số tiến về 0.
Điều này có nghĩa là một phương trình hữu tỉ có thể là số nguyên hoặc phân số.
Phương trình hữu tỉ toàn phần là phương trình hữu tỉ trong đó vế trái và vế phải là các biểu thức nguyên.
Ví dụ:
Phương trình hữu tỉ phân số là một phương trình hữu tỉ trong đó vế trái hoặc vế phải là biểu thức phân số.
Ví dụ:
§ 2 Giải toàn bộ phương trình hữu tỉ
Chúng ta hãy xem xét giải pháp của toàn bộ phương trình hợp lý.
Ví dụ:
Hãy nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số có trong nó.
Để làm điều này:
1. Tìm mẫu số chung của các mẫu số 2, 3, 6. Nó bằng 6;
2. tìm thừa số bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, hãy chia mẫu số chung 6 cho mỗi mẫu số
hệ số bổ sung cho phân số
hệ số bổ sung cho phân số
3. nhân tử số của các phân số với các thừa số bổ sung tương ứng của chúng. Vì vậy, chúng ta thu được phương trình
tương đương với phương trình đã cho
Hãy mở ngoặc bên trái, chuyển phần bên phải sang bên trái, đổi dấu của số hạng khi chuyển sang phần đối diện.
Chúng ta hãy đưa các số hạng tương tự của đa thức và nhận được
Chúng ta thấy rằng phương trình là tuyến tính.
Giải xong ta thấy x = 0,5.
§ 3 Giải phương trình hữu tỉ phân số
Chúng ta hãy xem xét việc giải một phương trình hữu tỉ phân số.
Ví dụ:
1. Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số hữu tỉ có trong nó.
Hãy tìm mẫu số chung của các mẫu số x + 7 và x - 1.
Nó bằng tích của chúng (x + 7)(x - 1).
2. Hãy tìm thừa số bổ sung cho mỗi phân số hữu tỉ.
Để làm điều này, hãy chia mẫu số chung (x + 7)(x - 1) cho mỗi mẫu số. Hệ số bổ sung cho phân số
bằng x - 1,
hệ số bổ sung cho phân số
bằng x+7.
3. Nhân tử số của các phân số với các thừa số bổ sung tương ứng.
Ta thu được phương trình (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), tương đương với phương trình này
4. Nhân nhị thức với nhị thức bên trái và bên phải và nhận được phương trình sau
5. Ta chuyển vế phải sang trái, đổi dấu từng số hạng khi chuyển sang số hạng ngược lại:
6. Ta trình bày các số hạng tương tự của đa thức:
7. Cả hai vế đều có thể chia cho -1. Chúng ta nhận được một phương trình bậc hai:
8. Giải quyết xong sẽ tìm ra gốc rễ
Vì trong phương trình.
vế trái và vế phải là biểu thức phân số, còn trong biểu thức phân số, đối với một số giá trị của biến, mẫu số có thể bằng 0 thì cần kiểm tra xem mẫu số chung có tiến về 0 khi tìm thấy x1 và x2 hay không .
Tại x = -27, mẫu số chung (x + 7)(x - 1) không triệt tiêu; tại x = -1, mẫu số chung cũng khác 0.
Do đó, cả hai nghiệm -27 và -1 đều là nghiệm của phương trình.
Khi giải phương trình hữu tỉ phân số, tốt hơn hết bạn nên chỉ ra ngay phạm vi các giá trị có thể chấp nhận được. Loại bỏ những giá trị mà tại đó mẫu số chung bằng 0.
Hãy xem xét một ví dụ khác về việc giải phương trình hữu tỉ phân số.
Ví dụ, hãy giải phương trình
Ta phân tích mẫu số của phân số ở vế phải của phương trình
Chúng ta thu được phương trình
Hãy tìm mẫu số chung của các mẫu số (x - 5), x, x(x - 5).
Nó sẽ là biểu thức x(x - 5).
Bây giờ chúng ta hãy tìm phạm vi giá trị chấp nhận được của phương trình
Để làm điều này, chúng ta đánh đồng mẫu số chung bằng 0 x(x - 5) = 0.
Chúng ta thu được một phương trình, giải phương trình này chúng ta thấy rằng tại x = 0 hoặc tại x = 5 mẫu số chung tiến tới 0.
Điều này có nghĩa là x = 0 hoặc x = 5 không thể là nghiệm của phương trình của chúng ta.
Bây giờ có thể tìm thấy số nhân bổ sung.
Hệ số bổ sung cho phân số hữu tỉ
hệ số bổ sung cho phân số
sẽ là (x - 5),
và hệ số bổ sung của phân số
Chúng ta nhân các tử số với các thừa số bổ sung tương ứng.
Ta có phương trình x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Hãy mở dấu ngoặc ở bên trái và bên phải, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Hãy chuyển các số hạng từ phải sang trái, đổi dấu các số hạng được chuyển:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Và sau khi đưa các số hạng tương tự, ta thu được phương trình bậc hai x2 - 3x - 10 = 0. Giải xong ta tìm được nghiệm x1 = -2; x2 = 5.
Nhưng chúng ta đã phát hiện ra rằng tại x = 5 mẫu số chung x(x - 5) tiến tới 0. Do đó, nghiệm nguyên của phương trình của chúng ta
sẽ là x = -2.
§ 4 Tóm tắt ngắn gọn nội dung bài học
Điều quan trọng cần nhớ:
Khi giải phương trình hữu tỉ phân số, tiến hành như sau:
1. Tìm mẫu số chung của các phân số có trong phương trình. Hơn nữa, nếu mẫu số của các phân số có thể phân tích được thành nhân tử thì phân tích chúng thành nhân tử rồi tìm mẫu số chung.
2. Nhân cả hai vế của phương trình với một mẫu số chung: tìm các thừa số bổ sung, nhân các tử số với các thừa số bổ sung.
3.Giải toàn bộ phương trình thu được.
4. Loại bỏ tận gốc những điều làm cho mẫu số chung biến mất.
Danh sách tài liệu được sử dụng:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Biên tập bởi Telyakovsky S.A. Đại số: sách giáo khoa. cho lớp 8. giáo dục phổ thông các cơ quan. - M.: Giáo dục, 2013.
- Mordkovich A.G. Đại số. Lớp 8: Chia làm 2 phần. Phần 1: Sách giáo khoa. cho giáo dục phổ thông các cơ quan. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Diễn biến bài học đại số: lớp 8 - M.: VAKO, 2010.
- Đại số lớp 8: giáo án dựa trên sách giáo khoa của Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Giáo viên, 2005.