"giải phương trình hữu tỉ phân số". ODZ

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

• Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ ở Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

“Phương trình hữu tỉ với đa thức” là một trong những chủ đề thường gặp trong đề thi môn Toán của Kỳ thi Thống nhất. Vì lý do này, sự lặp lại của chúng cần được đặc biệt chú ý. Nhiều học sinh phải đối mặt với bài toán tìm phân biệt, chuyển chỉ số từ phải sang trái và đưa phương trình về mẫu số chung, đó là lý do tại sao việc hoàn thành các nhiệm vụ đó lại gây khó khăn. Giải các phương trình hữu tỉ để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất trên trang web của chúng tôi sẽ giúp bạn nhanh chóng đối phó với bất kỳ vấn đề phức tạp nào và vượt qua bài kiểm tra một cách xuất sắc.

Hãy chọn cổng giáo dục Shkolkovo để chuẩn bị thành công cho kỳ thi toán thống nhất!

Để biết các quy tắc tính ẩn số và dễ dàng thu được kết quả chính xác, hãy sử dụng dịch vụ trực tuyến của chúng tôi. Cổng thông tin Shkolkovo là một nền tảng có một không hai, nơi thu thập các tài liệu cần thiết để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Giáo viên của chúng tôi đã hệ thống hóa và trình bày một cách dễ hiểu tất cả các quy tắc toán học. Ngoài ra, chúng tôi mời các em học sinh thử sức mình trong việc giải các phương trình hữu tỉ tiêu chuẩn, cơ sở của chúng được cập nhật và mở rộng liên tục.

Để chuẩn bị hiệu quả hơn cho bài kiểm tra, chúng tôi khuyên bạn nên làm theo phương pháp đặc biệt của chúng tôi và bắt đầu bằng việc lặp lại các quy tắc và giải các bài toán đơn giản, dần dần chuyển sang các bài phức tạp hơn. Vì vậy, sinh viên tốt nghiệp sẽ có thể xác định những chủ đề khó khăn nhất cho bản thân và tập trung nghiên cứu chúng.

Hãy bắt đầu chuẩn bị cho bài kiểm tra cuối cùng với Shkolkovo ngay hôm nay và kết quả sẽ không còn lâu nữa! Chọn ví dụ dễ nhất trong số những ví dụ đã cho. Nếu bạn thành thạo cách diễn đạt nhanh chóng, hãy chuyển sang một nhiệm vụ khó hơn. Bằng cách này, bạn có thể nâng cao kiến ​​thức của mình đến mức giải được các bài tập USE trong toán học ở cấp độ chuyên môn.

Chương trình đào tạo không chỉ dành cho sinh viên tốt nghiệp từ Moscow mà còn dành cho học sinh từ các thành phố khác. Ví dụ: hãy dành vài giờ mỗi ngày để nghiên cứu trên cổng thông tin của chúng tôi và bạn sẽ sớm có thể giải quyết được các phương trình có độ phức tạp bất kỳ!

Chúng ta đã học cách giải phương trình bậc hai. Bây giờ hãy mở rộng các phương pháp đã nghiên cứu sang các phương trình hữu tỉ.

Một biểu hiện hợp lý là gì? Chúng tôi đã gặp phải khái niệm này. biểu thức hợp lý là các biểu thức được tạo thành từ các số, biến, lũy thừa và ký hiệu của các phép toán.

Theo đó, phương trình hữu tỉ là phương trình có dạng: , trong đó - biểu thức hợp lý.

Trước đây, chúng ta chỉ xem xét những phương trình hữu tỉ có thể rút gọn thành phương trình tuyến tính. Bây giờ chúng ta hãy xem xét những phương trình hữu tỉ có thể rút gọn thành phương trình bậc hai.

Ví dụ 1

Giải phương trình: .

Giải pháp:

Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó bằng 0 và mẫu số của nó không bằng 0.

Chúng tôi nhận được hệ thống sau:

Phương trình đầu tiên của hệ thống là phương trình bậc hai. Trước khi giải nó, hãy chia tất cả các hệ số của nó cho 3. Chúng ta có:

Chúng ta có hai gốc: ; .

Vì 2 không bao giờ bằng 0 nên phải thỏa mãn hai điều kiện: . Vì không có nghiệm nào của phương trình thu được ở trên trùng với các giá trị không hợp lệ của biến thu được khi giải bất đẳng thức thứ hai nên cả hai đều là nghiệm của phương trình này.

Trả lời:.

Vì vậy, hãy xây dựng một thuật toán để giải phương trình hữu tỉ:

1. Di chuyển tất cả các số hạng sang vế trái sao cho vế phải có kết thúc bằng 0.

2. Biến đổi và rút gọn vế trái, đưa tất cả các phân số về mẫu số chung.

3. Đánh đồng phân số thu được bằng 0 bằng thuật toán sau: .

4. Viết các nghiệm thu được trong phương trình thứ nhất và thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai trong đáp án.

Hãy xem một ví dụ khác.

Ví dụ 2

Giải phương trình: .

Giải pháp

Lúc đầu, chúng ta di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái sao cho số 0 vẫn ở bên phải.

Bây giờ hãy đưa vế trái của phương trình về mẫu số chung:

Phương trình này tương đương với hệ:

Phương trình đầu tiên của hệ thống là phương trình bậc hai.

Các hệ số của phương trình này: . Chúng tôi tính toán sự phân biệt:

Chúng ta có hai gốc: ; .

Bây giờ chúng ta hãy giải bất đẳng thức thứ hai: tích của các thừa số không bằng 0 khi và chỉ khi không có thừa số nào bằng 0.

Hai điều kiện phải được đáp ứng: . Ta thấy rằng trong hai nghiệm của phương trình thứ nhất chỉ có một nghiệm phù hợp - 3.

Trả lời:.

Trong bài học này, chúng ta đã nhớ biểu thức hữu tỉ là gì, đồng thời cũng học cách giải các phương trình hữu tỉ, đưa chúng về phương trình bậc hai.

Trong bài học tiếp theo, chúng ta sẽ xem các phương trình hữu tỉ như mô hình của các tình huống thực tế, đồng thời cũng xem xét các bài toán chuyển động.

Tài liệu tham khảo

1. Bashmak M.I. Đại số, lớp 8. - M.: Giáo dục, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. và những thứ khác. Đại số, 8. tái bản lần thứ 5. - M.: Giáo dục, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Đại số, lớp 8. Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông. - M.: Giáo dục, 2006.

1. Ngày hội tư tưởng sư phạm “Bài học mở” ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

bài tập về nhà

Bản thân các phương trình với phân số không khó và rất thú vị. Chúng ta hãy xem xét các loại phương trình phân số và cách giải chúng.

Cách giải phương trình có phân số - x ở tử số

Nếu một phương trình phân số được đưa ra, trong đó ẩn số nằm trong tử số, thì lời giải không yêu cầu các điều kiện bổ sung và được giải mà không gặp rắc rối không cần thiết. Dạng tổng quát của phương trình này là x/a + b = c, trong đó x là ẩn số, a, b và c là các số thường.

Tìm x: x/5 + 10 = 70.

Để giải phương trình, bạn cần loại bỏ phân số. Nhân mỗi số hạng trong phương trình với 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x và 5 bị hủy, 10 và 70 nhân với 5 ta được: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Tìm x: x/5 + x/10 = 90.

Ví dụ này là phiên bản phức tạp hơn một chút so với ví dụ đầu tiên. Có hai giải pháp khả thi ở đây.

• Cách 1: Loại bỏ phân số bằng cách nhân tất cả các số hạng của phương trình với mẫu số lớn hơn, tức là với 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
• Cách 2: Cộng vế trái của phương trình. x/5 + x/10 = 90. Mẫu số chung là 10. Chia 10 cho 5, nhân với x, ta được 2x. Chia 10 cho 10, nhân với x, ta được x: 2x+x/10 = 90. Do đó 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Chúng ta thường gặp các phương trình phân số trong đó x nằm ở hai phía đối diện của dấu bằng. Trong những tình huống như vậy, cần phải di chuyển tất cả các phân số có X sang một bên và các số sang bên kia.

• Tìm x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Di chuyển 2x/5 sang phải với dấu ngược lại: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Chúng ta giảm 5x/5 và được: x = 130.

Cách giải phương trình có phân số - x ở mẫu số

Loại phương trình phân số này yêu cầu viết thêm các điều kiện. Việc chỉ định các điều kiện này là một phần bắt buộc và không thể thiếu của một quyết định đúng đắn. Nếu không thêm chúng, bạn sẽ gặp rủi ro vì câu trả lời (ngay cả khi nó đúng) có thể không được tính.

Dạng tổng quát của phương trình phân số, trong đó x nằm ở mẫu số, là: a/x + b = c, trong đó x là ẩn số, a, b, c là các số thường. Xin lưu ý rằng x có thể không phải là số bất kỳ. Ví dụ: x không thể bằng 0 vì nó không thể chia cho 0. Đây chính xác là điều kiện bổ sung mà chúng ta phải xác định. Đây được gọi là phạm vi giá trị cho phép, viết tắt là ODZ.

Tìm x: 15/x + 18 = 21.

Chúng ta viết ngay ODZ cho x: x ≠ 0. Bây giờ ODZ đã được chỉ định, chúng ta giải phương trình theo sơ đồ chuẩn, loại bỏ các phân số. Nhân tất cả các số hạng của phương trình với x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Thường có các phương trình trong đó mẫu số không chỉ chứa x mà còn chứa một số phép toán khác với nó, chẳng hạn như phép cộng hoặc phép trừ.

Tìm x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Chúng ta đã biết rằng mẫu số không thể bằng 0, nghĩa là x-3 ≠ 0. Chúng ta di chuyển -3 sang vế phải, đổi dấu “-” thành “+” và chúng ta nhận được x ≠ 3. ODZ là được chỉ ra.

Chúng ta giải phương trình, nhân mọi thứ với x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Di chuyển dấu X sang phải, số sang trái: 24 = 3x => x = 8.

Hãy tiếp tục nói về giải phương trình. Trong bài viết này chúng ta sẽ đi chi tiết về phương trình hữu tỉ và nguyên tắc giải phương trình hữu tỉ với một biến. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm hiểu loại phương trình nào được gọi là hữu tỉ, đưa ra định nghĩa về phương trình hữu tỉ toàn phần và phương trình hữu tỉ phân số, đồng thời đưa ra các ví dụ. Tiếp theo, chúng ta sẽ thu được các thuật toán để giải phương trình hữu tỉ, và tất nhiên, chúng ta sẽ xem xét nghiệm của các ví dụ điển hình với tất cả các giải thích cần thiết.

Điều hướng trang.

Dựa trên các định nghĩa đã nêu, chúng tôi đưa ra một số ví dụ về phương trình hữu tỉ. Ví dụ, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , đều là các phương trình hữu tỉ.

Từ các ví dụ được hiển thị, rõ ràng là các phương trình hữu tỉ, cũng như các loại phương trình khác, có thể có một biến hoặc có hai, ba, v.v. các biến. Trong các đoạn văn sau chúng ta sẽ nói về việc giải các phương trình hữu tỉ với một biến. Giải phương trình hai biến và số lượng lớn của chúng đáng được quan tâm đặc biệt.

Ngoài việc chia các phương trình hữu tỉ cho số biến chưa biết, chúng còn được chia thành số nguyên và phân số. Hãy đưa ra các định nghĩa tương ứng.

Sự định nghĩa.

Phương trình hữu tỉ được gọi là trọn, nếu cả hai bên trái và bên phải của nó là các biểu thức hữu tỉ nguyên.

Sự định nghĩa.

Nếu ít nhất một trong các phần của phương trình hữu tỉ là biểu thức phân số thì phương trình đó được gọi là hợp lý một phần(hoặc phân số hợp lý).

Rõ ràng là toàn bộ các phương trình không chứa phép chia cho một biến; ngược lại, các phương trình hữu tỉ phân số nhất thiết phải chứa phép chia cho một biến (hoặc một biến ở mẫu số). Vậy 3 x+2=0 và (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– đây là những phương trình hữu tỉ, cả hai phần của chúng đều là biểu thức toàn phần. A và x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 là ví dụ về phương trình hữu tỉ phân số.

Kết thúc điểm này, chúng ta hãy chú ý đến thực tế là các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai đã biết cho đến thời điểm này đều là các phương trình hữu tỉ.

Giải toàn bộ phương trình

Một trong những cách tiếp cận chính để giải toàn bộ phương trình là quy chúng về dạng tương đương phương trình đại số. Điều này luôn có thể được thực hiện bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương sau của phương trình:

• đầu tiên, biểu thức từ vế phải của phương trình số nguyên ban đầu được chuyển sang vế trái với dấu ngược lại để thu được 0 ở vế phải;
• sau đó, ở vế trái của phương trình là dạng chuẩn thu được.

Kết quả là một phương trình đại số tương đương với phương trình số nguyên ban đầu. Do đó, trong những trường hợp đơn giản nhất, việc giải toàn bộ phương trình được rút gọn thành giải phương trình tuyến tính hoặc phương trình bậc hai, và trong trường hợp tổng quát, là giải phương trình đại số bậc n. Để rõ ràng, chúng ta hãy xem giải pháp cho ví dụ.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của toàn bộ phương trình 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Giải pháp.

Chúng ta hãy rút gọn nghiệm của toàn bộ phương trình này thành nghiệm của một phương trình đại số tương đương. Để làm điều này, trước tiên, chúng ta chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái, kết quả là chúng ta thu được phương trình 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Và thứ hai, chúng ta biến đổi biểu thức ở vế trái thành đa thức có dạng chuẩn bằng cách hoàn thành điều kiện cần thiết: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Như vậy, việc giải phương trình số nguyên ban đầu được rút gọn thành giải phương trình bậc hai x 2 −5·x−6=0.

Chúng tôi tính toán sự phân biệt của nó D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, nó là dương, có nghĩa là phương trình có hai nghiệm thực mà chúng ta tìm thấy bằng cách sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai:

Để hoàn toàn chắc chắn, hãy làm điều đó kiểm tra các nghiệm tìm được của phương trình. Đầu tiên chúng ta kiểm tra căn 6, thay thế nó vào thay x trong phương trình số nguyên ban đầu: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, cũng tương tự, 63=63. Đây là một phương trình số hợp lệ, do đó x=6 thực sự là nghiệm của phương trình. Bây giờ chúng ta kiểm tra nghiệm −1, chúng ta có 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, từ đó, 0=0 . Khi x=−1, phương trình ban đầu cũng trở thành một đẳng thức số đúng, do đó, x=−1 cũng là nghiệm của phương trình.

Trả lời:

6 , −1 .

Ở đây cũng cần lưu ý rằng thuật ngữ “bậc của toàn bộ phương trình” gắn liền với việc biểu diễn toàn bộ phương trình dưới dạng phương trình đại số. Hãy đưa ra định nghĩa tương ứng:

Sự định nghĩa.

Sức mạnh của toàn bộ phương trìnhđược gọi là bậc của một phương trình đại số tương đương.

Theo định nghĩa này, toàn bộ phương trình từ ví dụ trước có bậc hai.

Đây có thể là sự kết thúc của việc giải toàn bộ phương trình hữu tỉ, nếu không phải vì một điều…. Như đã biết, việc giải các phương trình đại số bậc trên bậc hai gắn liền với những khó khăn đáng kể, và đối với các phương trình bậc trên bậc bốn thì không có công thức nghiệm tổng quát nào cả. Vì vậy, để giải toàn bộ phương trình bậc ba, bậc bốn trở lên thường phải sử dụng các phương pháp giải khác.

Trong những trường hợp như vậy, một cách tiếp cận để giải toàn bộ các phương trình hữu tỉ dựa trên phương pháp nhân tử hóa. Trong trường hợp này, thuật toán sau được tuân thủ:

• đầu tiên, họ đảm bảo rằng có số 0 ở vế phải của phương trình; để làm điều này, họ chuyển biểu thức từ vế phải của toàn bộ phương trình sang trái;
• sau đó, biểu thức thu được ở vế trái được trình bày dưới dạng tích của một số thừa số, điều này cho phép chúng ta chuyển sang một tập hợp nhiều phương trình đơn giản hơn.

Thuật toán đã cho để giải toàn bộ phương trình thông qua nhân tử hóa yêu cầu giải thích chi tiết bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Giải toàn bộ phương trình (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Giải pháp.

Đầu tiên, như thường lệ, ta chuyển biểu thức từ vế phải sang vế trái của phương trình, không quên đổi dấu, ta được (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ở đây khá rõ ràng rằng không nên chuyển vế trái của phương trình thu được thành đa thức có dạng chuẩn, vì điều này sẽ cho một phương trình đại số bậc bốn của dạng x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, giải pháp đó thật khó khăn.

Mặt khác, rõ ràng là ở vế trái của phương trình thu được, chúng ta có thể x 2 −10 x+13 , từ đó biểu diễn nó dưới dạng tích. chúng tôi có (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Phương trình thu được tương đương với toàn bộ phương trình ban đầu, và đến lượt nó, có thể được thay thế bằng một tập hợp hai phương trình bậc hai x 2 −10·x+13=0 và x 2 −2·x−1=0. Việc tìm nghiệm của chúng bằng cách sử dụng các công thức nghiệm đã biết thông qua phân biệt đối xử không khó, các nghiệm đều bằng nhau. Chúng là các nghiệm mong muốn của phương trình ban đầu.

Trả lời:

Cũng hữu ích để giải toàn bộ phương trình hữu tỉ phương pháp giới thiệu một biến mới. Trong một số trường hợp, nó cho phép bạn chuyển sang các phương trình có bậc thấp hơn bậc của toàn bộ phương trình ban đầu.

Ví dụ.

Tìm nghiệm thực của một phương trình hữu tỉ (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Giải pháp.

Nói một cách nhẹ nhàng, việc chuyển toàn bộ phương trình hữu tỉ này thành một phương trình đại số không phải là một ý tưởng hay, vì trong trường hợp này chúng ta sẽ cần phải giải một phương trình bậc bốn không có nghiệm hữu tỉ. Vì vậy, bạn sẽ phải tìm kiếm một giải pháp khác.

Ở đây dễ thấy rằng bạn có thể giới thiệu một biến y mới và thay thế biểu thức x 2 +3·x bằng biến đó. Sự thay thế này dẫn chúng ta đến toàn bộ phương trình (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , sau khi di chuyển biểu thức −2·(y−4) sang vế trái và phép biến đổi tiếp theo của biểu thức được hình thành ở đó, được rút gọn thành phương trình bậc hai y 2 +4·y+3=0. Các nghiệm của phương trình này y=−1 và y=−3 rất dễ tìm, ví dụ, chúng có thể được chọn dựa trên định lý nghịch đảo với định lý Vieta.

Bây giờ chúng ta chuyển sang phần thứ hai của phương pháp giới thiệu một biến mới, nghĩa là thực hiện một phép thay thế ngược. Sau khi thực hiện phép thế ngược, chúng ta thu được hai phương trình x 2 +3 x=−1 và x 2 +3 x=−3, có thể viết lại thành x 2 +3 x+1=0 và x 2 +3 x+3 =0 . Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta tìm được nghiệm của phương trình đầu tiên. Và phương trình bậc hai thứ hai không có nghiệm thực, vì phân biệt của nó là âm (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Trả lời:

Nói chung, khi xử lý toàn bộ phương trình bậc cao, chúng ta phải luôn sẵn sàng tìm kiếm một phương pháp không chuẩn hoặc một kỹ thuật nhân tạo để giải chúng.

Giải phương trình hữu tỉ phân số

Đầu tiên, sẽ rất hữu ích khi hiểu cách giải các phương trình hữu tỉ phân số có dạng , trong đó p(x) và q(x) là các biểu thức hữu tỉ nguyên. Và sau đó chúng ta sẽ chỉ ra cách chuyển nghiệm các phương trình hữu tỉ phân số khác thành nghiệm của các phương trình thuộc loại đã chỉ định.

Một cách tiếp cận để giải phương trình dựa trên phát biểu sau: phân số u/v, trong đó v là một số khác 0 (nếu không chúng ta sẽ gặp , là số không xác định), bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó là bằng 0 thì bằng 0, khi và chỉ khi u=0 . Theo phát biểu này, việc giải phương trình được rút gọn thành việc thỏa mãn hai điều kiện p(x)=0 và q(x)≠0.

Kết luận này tương ứng với những điều sau đây thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số. Để giải phương trình hữu tỉ phân số có dạng , bạn cần

• giải toàn bộ phương trình hữu tỉ p(x)=0 ;
• và kiểm tra xem điều kiện q(x)≠0 có thỏa mãn với mỗi nghiệm được tìm thấy hay không, trong khi
• nếu đúng thì nghiệm này là nghiệm của phương trình ban đầu;
• nếu nó không thỏa mãn thì nghiệm này là không liên quan, tức là nó không phải là nghiệm của phương trình ban đầu.

Chúng ta hãy xem một ví dụ về việc sử dụng thuật toán đã công bố khi giải phương trình hữu tỉ phân số.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Giải pháp.

Đây là một phương trình hữu tỉ phân số và có dạng , trong đó p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Theo thuật toán giải phương trình hữu tỉ dạng phân số này, trước tiên chúng ta cần giải phương trình 3 x−2=0. Đây là một phương trình tuyến tính có nghiệm là x=2/3.

Vẫn còn phải kiểm tra nghiệm này, nghĩa là kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện 5 x 2 −2≠0 hay không. Chúng ta thay số 2/3 vào biểu thức 5 x 2 −2 thay vì x và chúng ta nhận được . Điều kiện được đáp ứng nên x=2/3 là nghiệm của phương trình ban đầu.

Trả lời:

2/3 .

Bạn có thể tiếp cận việc giải phương trình hữu tỉ phân số từ một vị trí hơi khác. Phương trình này tương đương với phương trình số nguyên p(x)=0 trên biến x của phương trình ban đầu. Nghĩa là, bạn có thể bám vào điều này thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số :

• giải phương trình p(x)=0 ;
• tìm ODZ của biến x;
• lấy các nghiệm thuộc vùng có giá trị chấp nhận được - chúng là các nghiệm mong muốn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.

Ví dụ: hãy giải phương trình hữu tỉ phân số bằng thuật toán này.

Ví dụ.

Giải phương trình.

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta giải phương trình bậc hai x 2 −2·x−11=0. Căn nguyên của nó có thể được tính bằng cách sử dụng công thức căn bậc hai cho hệ số chẵn thứ hai, chúng ta có D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Và .

Thứ hai, chúng ta tìm ODZ của biến x cho phương trình ban đầu. Nó bao gồm tất cả các số mà x 2 +3·x≠0, giống như x·(x+3)≠0, từ đó x≠0, x≠−3.

Việc còn lại là kiểm tra xem các gốc được tìm thấy ở bước đầu tiên có được đưa vào ODZ hay không. Rõ ràng là có. Do đó, phương trình hữu tỉ phân số ban đầu có hai nghiệm.

Trả lời:

Lưu ý rằng cách tiếp cận này có lợi hơn cách tiếp cận đầu tiên nếu ODZ dễ tìm và đặc biệt có lợi nếu nghiệm của phương trình p(x) = 0 là vô tỉ, chẳng hạn, hoặc hữu tỉ, nhưng có tử số khá lớn và /hoặc mẫu số, ví dụ: 127/1101 và −31/59. Điều này là do thực tế là trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra điều kiện q(x)≠0 sẽ đòi hỏi nỗ lực tính toán đáng kể và việc loại trừ các nghiệm ngoại lai bằng cách sử dụng ODZ sẽ dễ dàng hơn.

Trong các trường hợp khác, khi giải phương trình, đặc biệt khi nghiệm của phương trình p(x) = 0 là số nguyên, sẽ có lợi hơn nếu sử dụng thuật toán đầu tiên trong số các thuật toán đã cho. Nghĩa là, nên tìm ngay các nghiệm của toàn bộ phương trình p(x)=0, sau đó kiểm tra xem điều kiện q(x)≠0 có thỏa mãn chúng hay không, thay vì tìm ODZ, sau đó giải phương trình p(x)=0 trên ODZ này . Điều này là do thực tế là trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra thường dễ dàng hơn là tìm DZ.

Chúng ta hãy xem xét giải pháp của hai ví dụ để minh họa các sắc thái cụ thể.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Giải pháp.

Đầu tiên, hãy tìm nghiệm nguyên của toàn bộ phương trình (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, được tạo bằng cách sử dụng tử số của phân số. Vế trái của phương trình này là tích, vế phải bằng 0, do đó, theo phương pháp giải phương trình nhân tử hóa, phương trình này tương đương với bộ bốn phương trình 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Ba trong số các phương trình này là tuyến tính và một là phương trình bậc hai; chúng ta có thể giải chúng. Từ phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy x=1/2, từ phương trình thứ hai - x=6, từ phương trình thứ ba - x=7, x=−2, từ phương trình thứ tư - x=−1.

Với các nghiệm đã tìm được, khá dễ dàng để kiểm tra xem mẫu số của phân số ở vế trái của phương trình ban đầu có biến mất hay không, nhưng ngược lại, việc xác định ODZ không đơn giản như vậy, vì để làm được điều này, bạn sẽ phải giải một phương trình đại số bậc năm. Vì vậy, chúng ta sẽ từ bỏ việc tìm ODZ để chuyển sang kiểm tra gốc. Để làm điều này, chúng ta thay thế từng cái một thay vì biến x trong biểu thức x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, thu được sau khi thay thế và so sánh chúng với số 0: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Do đó, 1/2, 6 và −2 là các nghiệm mong muốn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu, còn 7 và −1 là các nghiệm không liên quan.

Trả lời:

1/2 , 6 , −2 .

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của một phương trình hữu tỉ phân số.

Giải pháp.

Đầu tiên chúng ta hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Phương trình này tương đương với một tập hợp gồm hai phương trình: bình phương 5 x 2 −7 x−1=0 và tuyến tính x−2=0. Sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta tìm được hai nghiệm và từ phương trình thứ hai, chúng ta có x=2.

Việc kiểm tra xem mẫu số có bằng 0 ở các giá trị tìm thấy của x hay không khá khó chịu. Và việc xác định khoảng giá trị cho phép của biến x trong phương trình ban đầu khá đơn giản. Vì vậy, chúng tôi sẽ hành động thông qua ODZ.

Trong trường hợp của chúng ta, ODZ của biến x của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu bao gồm tất cả các số ngoại trừ những số thỏa mãn điều kiện x 2 +5·x−14=0. Các nghiệm của phương trình bậc hai này là x=−7 và x=2, từ đó chúng ta rút ra kết luận về ODZ: nó bao gồm tất cả các x sao cho .

Việc còn lại là kiểm tra xem các nghiệm tìm được và x=2 có thuộc phạm vi giá trị chấp nhận được hay không. Do đó, các nghiệm thuộc về, chúng là nghiệm của phương trình ban đầu, và x=2 không thuộc về, do đó, nó là một nghiệm không liên quan.

Trả lời:

Cũng sẽ hữu ích khi xem xét riêng các trường hợp khi trong phương trình hữu tỉ phân số có một số trong tử số, nghĩa là khi p(x) được biểu thị bằng một số nào đó. Đồng thời

• nếu số này khác 0 thì phương trình không có nghiệm, vì một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó bằng 0;
• nếu số này bằng 0 thì gốc của phương trình là bất kỳ số nào từ ODZ.

Ví dụ.

Giải pháp.

Vì tử số của phân số ở vế trái của phương trình chứa một số khác 0 nên với bất kỳ x nào giá trị của phân số này không thể bằng 0. Do đó, phương trình này không có gốc.

Trả lời:

không có rễ.

Ví dụ.

Giải phương trình.

Giải pháp.

Tử số của phân số ở vế trái của phương trình hữu tỉ phân số này chứa 0, vì vậy giá trị của phân số này bằng 0 đối với bất kỳ x nào mà nó có ý nghĩa. Nói cách khác, nghiệm của phương trình này là bất kỳ giá trị nào của x tính từ ODZ của biến này.

Vẫn còn phải xác định phạm vi giá trị chấp nhận được này. Nó bao gồm tất cả các giá trị của x mà x 4 +5 x 3 ≠0. Nghiệm của phương trình x 4 +5 x 3 =0 là 0 và −5, vì phương trình này tương đương với phương trình x 3 (x+5)=0, và đến lượt nó tương đương với sự kết hợp của hai phương trình x 3 =0 và x +5=0, từ đó có thể nhìn thấy được các nghiệm này. Do đó, phạm vi giá trị chấp nhận được mong muốn là bất kỳ x nào ngoại trừ x=0 và x=−5.

Do đó, một phương trình hữu tỉ phân số có vô số nghiệm, là các số bất kỳ ngoại trừ 0 và trừ 5.

Trả lời:

Cuối cùng, đã đến lúc nói về việc giải các phương trình hữu tỉ phân số có dạng tùy ý. Chúng có thể được viết dưới dạng r(x)=s(x), trong đó r(x) và s(x) là các biểu thức hữu tỉ và ít nhất một trong số chúng là phân số. Nhìn về phía trước, giả sử rằng giải pháp của họ là giải các phương trình có dạng đã quen thuộc với chúng ta.

Người ta biết rằng việc chuyển một số hạng từ phần này của phương trình sang phần khác có dấu ngược lại sẽ dẫn đến một phương trình tương đương, do đó phương trình r(x)=s(x) tương đương với phương trình r(x)−s(x )=0.

Chúng ta cũng biết rằng bất kỳ , giống hệt với biểu thức này, đều có thể xảy ra. Do đó, chúng ta luôn có thể biến đổi biểu thức hữu tỉ ở vế trái của phương trình r(x)−s(x)=0 thành một phân số hữu tỷ giống hệt nhau có dạng .

Vì vậy, chúng ta chuyển từ phương trình hữu tỉ phân số ban đầu r(x)=s(x) sang phương trình, và nghiệm của nó, như chúng ta đã tìm ra ở trên, được rút gọn thành giải phương trình p(x)=0.

Nhưng ở đây cần phải tính đến một thực tế là khi thay thế r(x)−s(x)=0 bằng , và sau đó bằng p(x)=0, phạm vi giá trị cho phép của biến x có thể mở rộng .

Do đó, phương trình ban đầu r(x)=s(x) và phương trình p(x)=0 mà chúng ta đã tìm ra có thể không bằng nhau, và bằng cách giải phương trình p(x)=0, chúng ta có thể tìm được nghiệm đó sẽ là các nghiệm ngoại lai của phương trình ban đầu r(x)=s(x) . Bạn có thể xác định và không đưa các nghiệm ngoại lai vào câu trả lời bằng cách thực hiện kiểm tra hoặc kiểm tra xem chúng có thuộc ODZ của phương trình ban đầu hay không.

Hãy tóm tắt thông tin này trong thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số r(x)=s(x). Để giải phương trình hữu tỉ phân số r(x)=s(x) , bạn cần

• Nhận số 0 ở bên phải bằng cách di chuyển biểu thức từ phía bên phải sang dấu ngược lại.
• Thực hiện các phép tính với phân số và đa thức ở vế trái của phương trình, từ đó chuyển nó thành phân số hữu tỉ có dạng.
• Giải phương trình p(x)=0.
• Xác định và loại bỏ các nghiệm ngoại lai, được thực hiện bằng cách thay thế chúng vào phương trình ban đầu hoặc bằng cách kiểm tra xem chúng có thuộc ODZ của phương trình ban đầu hay không.

Để rõ ràng hơn, chúng tôi sẽ hiển thị toàn bộ chuỗi giải phương trình hữu tỉ phân số:
.

Chúng ta hãy xem xét giải pháp của một số ví dụ với phần giải thích chi tiết về quy trình giải pháp để làm rõ khối thông tin nhất định.

Ví dụ.

Giải phương trình hữu tỉ phân số.

Giải pháp.

Chúng ta sẽ hành động theo thuật toán giải vừa thu được. Và đầu tiên chúng ta di chuyển các số hạng từ vế phải của phương trình sang trái, kết quả là chúng ta chuyển sang phương trình.

Ở bước thứ hai, chúng ta cần chuyển biểu thức hữu tỉ phân số ở vế trái của phương trình thu được thành dạng phân số. Để làm điều này, chúng ta quy các phân số hữu tỷ về mẫu số chung và đơn giản hóa biểu thức thu được: . Vì vậy, chúng ta đi đến phương trình.

Trong bước tiếp theo, chúng ta cần giải phương trình −2·x−1=0. Chúng ta tìm thấy x=−1/2.

Vẫn còn phải kiểm tra xem số −1/2 tìm thấy có phải là nghiệm ngoại lai của phương trình ban đầu hay không. Để làm điều này, bạn có thể kiểm tra hoặc tìm VA của biến x của phương trình ban đầu. Hãy chứng minh cả hai cách tiếp cận.

Hãy bắt đầu với việc kiểm tra. Chúng ta thay số −1/2 vào phương trình ban đầu thay cho biến x, và chúng ta thu được kết quả tương tự, −1=−1. Phép thay thế mang lại đẳng thức số chính xác, vì vậy x=−1/2 là nghiệm của phương trình ban đầu.

Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra cách thực hiện điểm cuối cùng của thuật toán thông qua ODZ. Phạm vi giá trị cho phép của phương trình ban đầu là tập hợp tất cả các số ngoại trừ −1 và 0 (tại x=−1 và x=0 mẫu số của phân số biến mất). Căn x=−1/2 tìm thấy ở bước trước thuộc về ODZ, do đó, x=−1/2 là nghiệm của phương trình ban đầu.

Trả lời:

−1/2 .

Hãy xem một ví dụ khác.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Giải pháp.

Chúng ta cần giải một phương trình hữu tỉ phân số, chúng ta hãy thực hiện tất cả các bước của thuật toán.

Đầu tiên, chúng ta di chuyển số hạng từ bên phải sang bên trái, chúng ta nhận được .

Thứ hai, chúng ta biến đổi biểu thức ở vế trái: . Kết quả là chúng ta đi đến phương trình x=0.

Gốc của nó là hiển nhiên - nó bằng không.

Ở bước thứ tư, vẫn còn phải tìm hiểu xem liệu nghiệm tìm được có khác với phương trình hữu tỉ phân số ban đầu hay không. Khi thay thế nó vào phương trình ban đầu, biểu thức thu được. Rõ ràng là nó vô nghĩa vì nó chứa phép chia cho 0. Từ đó chúng ta kết luận rằng 0 là một nghiệm ngoại lai. Do đó, phương trình ban đầu không có nghiệm.

7, dẫn đến phương trình. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức ở mẫu số của vế trái phải bằng biểu thức ở vế phải, tức là . Bây giờ chúng ta trừ cả hai vế của bộ ba: . Bằng cách tương tự, từ đâu và hơn thế nữa.

Việc kiểm tra cho thấy cả hai nghiệm được tìm thấy đều là nghiệm của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.

Trả lời:

Tài liệu tham khảo.

• Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Đại số. lớp 8. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Đại số: Lớp 9: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-021134-5.