Phương trình vi phân bậc 2 có dạng:
Nghiệm tổng quát của phương trình là một họ hàm số phụ thuộc vào hai hằng số tùy ý và: (hoặc - tích phân tổng quát của phương trình vi phân bậc 2). Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân bậc 2 (1.1) bao gồm việc tìm nghiệm cụ thể của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu: với: , . Cần lưu ý rằng đồ thị nghiệm của phương trình bậc 2 có thể giao nhau, không giống như đồ thị nghiệm của phương trình bậc 1. Tuy nhiên, nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình bậc hai (1.1) theo các giả định khá rộng đối với các hàm có trong phương trình là duy nhất, tức là. bất kỳ hai nghiệm nào có điều kiện ban đầu chung đều trùng nhau tại giao điểm của các khoảng định nghĩa.
Không phải lúc nào cũng có thể thu được nghiệm tổng quát hoặc giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân bậc 2 bằng phương pháp giải tích. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, có thể hạ thấp thứ tự của phương trình bằng cách đưa vào các phép thế khác nhau. Chúng ta hãy xem xét những trường hợp này.
1. Các phương trình không chứa biến độc lập một cách rõ ràng.
Cho phương trình vi phân bậc 2 có dạng: , tức là rõ ràng là không có biến độc lập trong phương trình (1.1). Điều này cho phép chúng ta coi nó như một đối số mới và lấy đạo hàm bậc 1 làm hàm mới. Sau đó.
Do đó, phương trình bậc 2 của hàm không được chứa rõ ràng sẽ bị rút gọn thành phương trình bậc 1 của hàm. Tích phân phương trình này, chúng ta thu được tích phân tổng quát hoặc, và đây là phương trình vi phân bậc 1 của hàm. Giải nó, ta thu được tích phân tổng quát của phương trình vi phân ban đầu, phụ thuộc vào hai hằng số tùy ý: .
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân với điều kiện đầu cho trước: , .
Vì không có đối số rõ ràng trong phương trình ban đầu nên chúng ta sẽ lấy a làm biến độc lập mới và - as. Khi đó phương trình của hàm có dạng sau: .
Đây là một phương trình vi phân có các biến tách được: . Nó đi theo đâu, tức là .
Vì với và, sau đó thay các điều kiện ban đầu vào đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được điều đó và, tương đương. Kết quả là, đối với hàm, chúng ta có một phương trình với các biến có thể tách rời, giải phương trình mà chúng ta thu được. Sử dụng các điều kiện ban đầu, chúng tôi có được điều đó. Do đó, tích phân riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu có dạng: .
2. Các phương trình không chứa hàm mong muốn một cách rõ ràng.
Cho phương trình vi phân bậc 2 có dạng: , tức là phương trình rõ ràng không chứa hàm mong muốn. Trong trường hợp này, một tuyên bố được đưa ra. Khi đó phương trình bậc 2 của hàm biến thành phương trình bậc 1 của hàm. Sau khi tích hợp nó, chúng ta thu được phương trình vi phân bậc 1 cho hàm: . Giải phương trình cuối, ta thu được tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho, phụ thuộc vào hai hằng số tùy ý: .
Do đó, người ta có mong muốn tự nhiên là rút gọn phương trình cấp cao hơn phương trình cấp đầu tiên thành phương trình cấp thấp hơn. Trong một số trường hợp điều này có thể được thực hiện. Hãy nhìn vào chúng.
1. Phương trình dạng y(n) =f(x) được giải bằng cách tích phân tuần tự n lần
, 
,… .
Ví dụ. Giải phương trình xy""=1. Do đó, chúng ta có thể viết y"=ln|x| + C 1 và lấy tích phân lần nữa, cuối cùng chúng ta nhận được y=∫ln|x| + C 1 x + C 2
2. Trong các phương trình có dạng F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (nghĩa là không chứa hàm số ẩn và một số đạo hàm của nó), thứ tự được giảm đi bằng cách thay đổi biến y (k) = z(x). Khi đó y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) và ta được phương trình F(x,z,z",..,z (n - k)) theo thứ tự n-k. Giải của nó là hàm z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) hoặc, nhớ z là gì, ta thu được phương trình y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 , …, C n - k) xét trong trường hợp loại 1.
Ví dụ 1. Giải phương trình x 2 y"" = (y") 2. Thay thế y"=z(x) . Khi đó y""=z"(x). Thay vào phương trình ban đầu, ta được x 2 z"=z 2. Tách các biến, chúng tôi nhận được . Tích hợp, chúng ta có 
, hoặc, giống nhau, . Mối quan hệ cuối cùng được viết dưới dạng , từ đâu . Tích hợp, cuối cùng chúng ta có được 
Ví dụ 2. Giải phương trình x 3 y"" +x 2 y"=1. Ta thực hiện biến đổi: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Chúng ta thực hiện một sự thay đổi các biến: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 hoặc u"x 2 -xu+xu=1 hoặc u"x^2=1. Từ: u"=1/x 2 hoặc du/ dx=1/x 2 hoặc u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Vì z=u/x nên z = -1/x 2 +c 1 /x. Vì y"=z nên dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Trả lời: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2
3. Phương trình tiếp theo có thể rút gọn theo thứ tự là phương trình có dạng F(y,y”,y””,…,y (n))=0, không chứa một biến độc lập rõ ràng. phương trình được rút gọn bằng cách thay thế biến y" =p(y) , trong đó p là hàm mong muốn mới tùy thuộc vào y. Sau đó 
= và vân vân. Bằng quy nạp ta có y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Thay thế vào phương trình ban đầu, ta hạ bậc của nó đi một.
Ví dụ. Giải phương trình (y") 2 +2yy""=0. Chúng ta thực hiện thay thế tiêu chuẩn y"=p(y), sau đó y″=p′·p. Thay vào phương trình, ta được 
Tách các biến, với p≠0, ta có tích phân. 
hoặc, đó là điều tương tự, . Sau đó hoặc. Tích phân đẳng thức cuối cùng, cuối cùng chúng ta có được 
Khi tách các biến, chúng ta có thể mất nghiệm y=C, thu được với p=0, hoặc, tương tự, với y”=0, nhưng nó được chứa trong nghiệm thu được ở trên.
4. Đôi khi có thể nhận thấy một tính năng cho phép bạn hạ thấp thứ tự của phương trình theo những cách khác với những cách đã thảo luận ở trên. Hãy thể hiện điều này bằng các ví dụ.
Ví dụ.
1. Nếu cả hai vế của phương trình yy"""=y′y″ được chia cho yy", chúng ta thu được một phương trình có thể viết lại thành (lny″)′=(lny)′. Từ quan hệ cuối cùng, nó suy ra rằng lny″=lny +lnC, hoặc, tương tự, y″=Cy. Kết quả là một phương trình có bậc độ lớn thấp hơn và thuộc loại đã thảo luận trước đó.
2. Tương tự, đối với phương trình yy″=y′(y′+1) chúng ta có, hoặc (ln(y"+1))" = (lny)". Từ quan hệ cuối cùng, nó suy ra rằng ln(y"+ 1) = lny + lnC 1, hoặc y"=C 1 y-1. Tách các biến và lấy tích phân, ta được ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Quyết định các phương trình có thể rút gọn theo thứ tự có thể sử dụng một dịch vụ đặc biệt
Một trong những phương pháp tích hợp DE bậc cao hơn là phương pháp giảm bậc. Bản chất của phương pháp này là bằng cách thay thế một biến (thay thế), DE đã cho được rút gọn về phương trình bậc thấp hơn.
Chúng ta hãy xem xét ba loại phương trình cho phép giảm thứ tự.
I. Cho phương trình
Thứ tự có thể được hạ xuống bằng cách đưa vào một hàm mới p(x), thiết lập y " =p(x). Sau đó y "" =p " (x) và chúng ta thu được thứ tự đầu tiên DE: p " =ƒ(x). Giải xong tức là đã tìm được hàm p = p(x), ta giải phương trình y " = p(x). Chúng ta hãy thu được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho (3.6).
Trong thực tế, chúng hoạt động khác nhau: bậc được giảm trực tiếp bằng cách tích hợp tuần tự phương trình.
Bởi vì 
phương trình (3.6) có thể viết dưới dạng dy " =ƒ(x) dx. Khi đó, lấy tích phân phương trình y "" =ƒ(x), ta thu được: y " = hoặc y " =j1 (x) + с 1 . Hơn nữa, tích phân phương trình thu được cho x, chúng ta tìm thấy: - nghiệm tổng quát của phương trình này Nếu phương trình đã cho. 
sau đó, tích phân liên tiếp n lần, chúng ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình:
Ví dụ 3.1. Giải phương trình 
Giải: Tích phân nhất quán phương trình này bốn lần, ta thu được
Hãy để phương trình được đưa ra
Chúng ta hãy ký hiệu y " =р, trong đó р=р(х) là một hàm số mới chưa biết. Khi đó y "" =p " và phương trình (3.7) có dạng p " =ƒ(х;р). Giả sử р=j (х;с 1) là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc nhất thu được. Thay hàm p bằng y ", ta thu được phương trình vi phân: y " =j(х;с 1). đủ để lấy tích phân phương trình cuối cùng (. 3.7) sẽ có dạng
Trường hợp đặc biệt của phương trình (3.7) là phương trình
cũng không chứa hàm mong muốn một cách rõ ràng, thì thứ tự của nó có thể được hạ xuống k đơn vị bằng cách đặt y (k) = p (x). Khi đó y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) và phương trình (3.9) có dạng F(x;p;p " ;... ;p (n-κ ) )=0. Trường hợp đặc biệt của phương trình (3.9) là phương trình
Sử dụng thay thế y (n-1) =p(x), y (n) =p " phương trình này được rút gọn về bậc một DE.
Ví dụ 3.2. Giải phương trình 
Giải: Giả sử y"=p, trong đó 
Sau đó 
Đây là một phương trình có thể tách được: 
Tích phân, ta được Quay về biến ban đầu, ta được y"=c 1 x,
- Giải tổng quát của phương trình.
III. Xét phương trình
không chứa biến độc lập x một cách rõ ràng.
Để giảm thứ tự của phương trình, chúng tôi giới thiệu một hàm mới p=p(y), tùy thuộc vào biến y, đặt y"=p. Chúng tôi vi phân đẳng thức này theo x, có tính đến p =p(y (x)):
tức là 
Bây giờ phương trình (3.10) sẽ được viết dưới dạng 
Giả sử p=j(y;c 1) là nghiệm tổng quát của bậc một DE này. Thay hàm p(y) bằng y", ta thu được y"=j(y;c 1) - DE với các biến tách được. Tích phân nó, ta tìm được tích phân tổng quát của phương trình (3.10): 
Trường hợp đặc biệt của phương trình (3.10) là phương trình vi phân
Phương trình này có thể được giải bằng cách thay thế tương tự: y " =p(y),
Chúng ta làm tương tự khi giải phương trình F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0. Thứ tự của nó có thể được hạ xuống một đơn vị bằng cách đặt y"=p, trong đó p=p(y ). Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phức, ta tìm được.
p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y, hoặc p=c 1 ey+y. Thay p bằng y ", ta được: y"=c 1 -e y +y. Thay thế y"=2 và y=2 vào đẳng thức này, chúng ta tìm thấy bằng 1:
2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.
Chúng ta có y"=y. Do đó y=c 2 e x. Chúng ta tìm được c 2 từ các điều kiện ban đầu: 2=c 2 e°, c 2 =2. Do đó, y=2e x là một nghiệm cụ thể của bài toán này