Mối quan hệ giữa các hàm lượng giác cơ bản - sin, cos, tiếp tuyến và cotang - được chỉ định công thức lượng giác. Và vì có khá nhiều mối liên hệ giữa các hàm lượng giác nên điều này giải thích sự phong phú của các công thức lượng giác. Một số công thức kết nối các hàm lượng giác của cùng một góc, một số khác - hàm của một góc, một số khác - cho phép bạn giảm độ, thứ tư - biểu thị tất cả các hàm thông qua tiếp tuyến của một nửa góc, v.v.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ liệt kê theo thứ tự tất cả các công thức lượng giác cơ bản, đủ để giải phần lớn các bài toán lượng giác. Để dễ ghi nhớ và sử dụng, chúng ta sẽ nhóm chúng theo mục đích và nhập vào bảng.
Điều hướng trang.
Nhận dạng lượng giác cơ bản
Nhận dạng lượng giác cơ bảnđịnh nghĩa mối liên hệ giữa sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc. Chúng tuân theo định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang, cũng như khái niệm về vòng tròn đơn vị. Chúng cho phép bạn biểu diễn một hàm lượng giác theo bất kỳ hàm nào khác.
Để biết mô tả chi tiết về các công thức lượng giác này, nguồn gốc và ví dụ ứng dụng của chúng, hãy xem bài viết.
công thức khử
công thức khử tuân theo các tính chất của sin, cos, tiếp tuyến và cotang, nghĩa là chúng phản ánh tính chất tuần hoàn của các hàm lượng giác, tính chất đối xứng, cũng như tính chất dịch chuyển theo một góc cho trước. Các công thức lượng giác này cho phép bạn chuyển từ làm việc với các góc tùy ý sang làm việc với các góc từ 0 đến 90 độ.
Cơ sở lý luận của các công thức này, quy tắc ghi nhớ để ghi nhớ chúng và các ví dụ về ứng dụng của chúng có thể được nghiên cứu trong bài viết.
Công thức cộng
Công thức cộng lượng giác chỉ ra cách biểu diễn các hàm lượng giác của tổng hoặc hiệu của hai góc dưới dạng hàm lượng giác của các góc đó. Những công thức này làm cơ sở để rút ra các công thức lượng giác sau.
Công thức cho gấp đôi, gấp ba, v.v. góc
Công thức cho gấp đôi, gấp ba, v.v. góc (chúng còn được gọi là công thức bội góc) cho thấy các hàm lượng giác của gấp đôi, gấp ba, v.v. được thực hiện như thế nào. góc () được biểu diễn dưới dạng hàm lượng giác của một góc. Đạo hàm của chúng dựa trên các công thức bổ sung.
Thông tin chi tiết hơn được thu thập trong các công thức bài viết cho gấp đôi, gấp ba, v.v. góc
Công thức nửa góc
Công thức nửa góc chỉ ra cách biểu diễn các hàm lượng giác của một nửa góc dưới dạng cosin của một góc. Các công thức lượng giác này tuân theo các công thức góc đôi.
Kết luận của họ và ví dụ về ứng dụng có thể được tìm thấy trong bài viết.
Công thức giảm độ
Công thức lượng giác để giảm độđược thiết kế để tạo điều kiện thuận lợi cho việc chuyển đổi từ lũy thừa tự nhiên của các hàm lượng giác sang sin và cos ở bậc một nhưng có nhiều góc. Nói cách khác, chúng cho phép bạn giảm lũy thừa của các hàm lượng giác xuống mức đầu tiên.
Công thức tính tổng và hiệu của các hàm lượng giác
Mục đích chính công thức tính tổng và hiệu của các hàm lượng giác là đi đến tích các hàm số, điều này rất hữu ích khi đơn giản hóa các biểu thức lượng giác. Những công thức này cũng được sử dụng rộng rãi trong việc giải các phương trình lượng giác, vì chúng cho phép bạn tính tổng và hiệu của sin và cosin.
Công thức tính sin, cosin và sin bằng cosin
Việc chuyển đổi từ tích của các hàm lượng giác sang tổng hoặc hiệu được thực hiện bằng cách sử dụng các công thức tính tích của sin, cosin và sin bằng cosin.
Thay thế lượng giác phổ quát
Chúng ta hoàn thành việc ôn tập các công thức lượng giác cơ bản với các công thức biểu diễn hàm lượng giác theo tang của một nửa góc. Sự thay thế này được gọi thay thế lượng giác phổ quát. Sự tiện lợi của nó nằm ở chỗ tất cả các hàm lượng giác đều được biểu diễn một cách hợp lý theo tiếp tuyến của một nửa góc không có gốc.
Tài liệu tham khảo.
- Đại số: Sách giáo khoa cho lớp 9. trung bình trường học/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Giáo dục, 1990. - 272 trang: bệnh - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmak M. I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Sách giáo khoa. cho lớp 10-11. trung bình trường học - tái bản lần thứ 3. - M.: Education, 1993. - 351 tr.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- đại số và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: bệnh - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.
Bản quyền thuộc về sinh viên thông minh
Mọi quyền được bảo lưu.
Được bảo vệ bởi luật bản quyền. Không phần nào của trang web, bao gồm cả tài liệu nội bộ và hình thức bên ngoài, có thể được sao chép hoặc sử dụng dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của chủ sở hữu bản quyền.
Tập trung tại một điểm MỘT.
α
- góc tính bằng radian.
Sự định nghĩa
Sin (sin α) là hàm lượng giác phụ thuộc vào góc α giữa cạnh huyền và cạnh của một tam giác vuông, bằng tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện |BC| theo chiều dài cạnh huyền |AC|.
Cosin (cos α) là hàm lượng giác phụ thuộc vào góc α giữa cạnh huyền và cạnh của một tam giác vuông, bằng tỉ số giữa độ dài cạnh kề |AB| theo chiều dài cạnh huyền |AC|.
Ký hiệu được chấp nhận
;
;
.
;
;
.
Đồ thị của hàm sin, y = sin x
Đồ thị hàm số cosin, y = cos x
Tính chất của sin và cosin
Tính định kỳ
Hàm y = tội lỗi x và y = vì xđịnh kỳ với chu kỳ 2π.
Tính chẵn lẻ
Hàm sin là số lẻ. Hàm cosin là chẵn.
Miền định nghĩa và giá trị, cực trị, tăng, giảm
Các hàm sin và cos liên tục trong miền định nghĩa của chúng, nghĩa là với mọi x (xem chứng minh tính liên tục). Các thuộc tính chính của chúng được trình bày trong bảng (n - số nguyên).
| y = tội lỗi x | y = vì x | |
| Phạm vi và tính liên tục | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Phạm vi giá trị | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Tăng dần | ||
| Giảm dần | ||
| Cực đại, y = 1 | ||
| Cực tiểu, y = - 1 | ||
| Số không, y = 0 | ||
| Điểm chặn với trục tọa độ, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Công thức cơ bản
Tổng bình phương của sin và cosin
Công thức tính sin và cosin từ tổng và hiệu
;
;
Công thức tính sin và cosin
Công thức tính tổng và hiệu
Biểu diễn sin thông qua cosin
;
;
;
.
Biểu diễn cosine qua sin
;
;
;
.
Biểu thức qua tiếp tuyến
; .
Khi nào , chúng ta có:
;
.
Tại :
;
.
Bảng sin và cosin, tiếp tuyến và cotang
Bảng này hiển thị các giá trị của sin và cos cho các giá trị nhất định của đối số. 
Biểu thức thông qua các biến phức tạp
;
công thức Euler
Biểu thức thông qua hàm hyperbol
;
;
Công cụ phái sinh
;
.
{ -∞ <
x < +∞ }
Công thức dẫn xuất > > >
Đạo hàm bậc n:
secant, cosecant
Hàm nghịch đảo
Hàm nghịch đảo của sin và cosine lần lượt là arcsine và arccosine.
Arcsin, arcsin
Arccosin, arccos
Nhận dạng lượng giác đơn giản nhất
Thương số chia sin của góc alpha cho cosin của cùng một góc bằng tang của góc này (Công thức 1). Xem thêm chứng minh tính đúng đắn của phép biến đổi các đồng nhất thức lượng giác đơn giản nhất.
Thương số chia cosin của góc alpha cho sin của cùng một góc bằng cotang của cùng một góc (Công thức 2)
Sec của một góc bằng 1 chia cho cosin của góc đó (Công thức 3)
Tổng bình phương của sin và cosin cùng một góc bằng một (Công thức 4). xem thêm cách chứng minh tổng các bình phương của cosin và sin.
Tổng của một và tiếp tuyến của một góc bằng tỷ lệ của một với bình phương cosin của góc này (Công thức 5)
Một cộng cotang của một góc bằng thương của một chia cho sin bình phương của góc đó (Công thức 6)
Tích của tiếp tuyến và cotang của cùng một góc bằng một (Công thức 7).
Chuyển đổi góc âm của hàm lượng giác (chẵn và lẻ)
Để loại bỏ giá trị âm của thước đo độ của một góc khi tính sin, cosin hoặc tiếp tuyến, bạn có thể sử dụng các phép biến đổi lượng giác (danh tính) sau đây dựa trên nguyên tắc của hàm lượng giác chẵn hoặc lẻ.
Như bạn có thể thấy, cô sin và cát tuyến là hàm số chẵn, sin, tang và cotang là các hàm số lẻ.
Sin của một góc âm bằng giá trị âm của sin của cùng một góc dương (trừ sin alpha).
Cosin trừ alpha sẽ có cùng giá trị với cosin của góc alpha.
Tiếp tuyến trừ alpha bằng tiếp tuyến trừ alpha.
Công thức rút gọn góc đôi (sin, cos, tiếp tuyến, cotang của góc đôi)
Nếu cần chia một góc làm đôi hoặc ngược lại, chuyển từ góc đôi sang góc đơn, bạn có thể sử dụng các đẳng thức lượng giác sau:
Chuyển đổi góc đôi (sin của một góc đôi, cosin của một góc đôi và tang của một góc đôi) trong đơn xảy ra theo quy luật sau:
Sin của góc đôi bằng hai lần tích của sin và cosin của một góc
Cosin của góc kép bằng hiệu giữa bình phương cosin của một góc và bình phương sin của góc này
Cosin của góc kép bằng hai lần bình phương cosin của một góc trừ đi một
Cosin của góc kép bằng một trừ sin đôi bình phương một góc
Tiếp tuyến của góc đôi là một phân số có tử số gấp đôi tang của một góc, và mẫu số bằng 1 trừ bình phương tiếp tuyến của một góc.
Cotang của góc kép là một phân số có tử số bằng bình phương cotang của một góc trừ một, và mẫu số bằng hai lần cotang của một góc
Công thức thay thế lượng giác phổ quát
Các công thức chuyển đổi bên dưới có thể hữu ích khi bạn cần chia đối số của hàm lượng giác (sin α, cos α, tan α) cho hai và giảm biểu thức xuống giá trị bằng nửa góc. Từ giá trị của α chúng ta thu được α/2.Những công thức này được gọi là công thức thay thế lượng giác phổ quát. Giá trị của chúng nằm ở chỗ, với sự trợ giúp của chúng, biểu thức lượng giác được rút gọn thành biểu thức tiếp tuyến của nửa góc, bất kể hàm lượng giác ban đầu có trong biểu thức là gì (sin cos tan ctg). Sau đó, phương trình với tiếp tuyến của nửa góc sẽ dễ giải hơn nhiều.
Nhận dạng lượng giác cho các phép biến đổi nửa góc
Sau đây là các công thức chuyển đổi lượng giác của nửa góc thành toàn bộ giá trị của nó.Giá trị đối số của hàm lượng giác α/2 được rút gọn về giá trị đối số của hàm lượng giác α.
Các công thức lượng giác để cộng góc
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin(α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tiếp tuyến và cotang của tổng các góc alpha và beta có thể được chuyển đổi bằng cách sử dụng các quy tắc sau để chuyển đổi hàm lượng giác:
Tang của tổng các góc là một phân số có tử số bằng tổng tiếp tuyến của góc thứ nhất và tiếp tuyến của góc thứ hai, mẫu số bằng 1 trừ tích của tiếp tuyến của góc thứ nhất và tiếp tuyến của góc thứ hai.
Tiếp tuyến của góc khác nhau là một phân số có tử số bằng hiệu giữa tang của góc bị trừ và tang của góc bị trừ, mẫu số bằng một cộng với tích các tiếp tuyến của các góc đó.
Cotang của tổng các góc là một phân số có tử số bằng tích của cotang của các góc này cộng với 1, và mẫu số bằng hiệu giữa cotang của góc thứ hai và cotang của góc thứ nhất.
Cotang của độ lệch góc là một phân số có tử số bằng tích của các cotang của các góc này trừ đi một, và mẫu số bằng tổng các cotang của các góc này.
Các đẳng thức lượng giác này rất thuận tiện để sử dụng khi bạn cần tính toán, ví dụ: tiếp tuyến của 105 độ (tg 105). Nếu bạn tưởng tượng nó là tg (45 + 60), thì bạn có thể sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau đã cho của tiếp tuyến của tổng các góc, sau đó chỉ cần thay thế các giá trị được lập bảng của tiếp tuyến 45 và tiếp tuyến 60 độ.
Công thức quy đổi tổng hoặc hiệu của hàm lượng giác
Các biểu thức biểu thị tổng có dạng sin α + sin β có thể được chuyển đổi bằng các công thức sau:
Công thức ba góc - đổi sin3α cos3α tan3α thành sinα cosα tanα
Đôi khi cần phải biến đổi giá trị cấp ba của một góc để đối số của hàm lượng giác trở thành góc α thay vì 3α.Trong trường hợp này, bạn có thể sử dụng các công thức biến đổi góc ba (danh tính):
Công thức quy đổi tích của hàm lượng giác
Nếu cần biến đổi tích của các sin có góc khác nhau, cosin có góc khác nhau hoặc thậm chí là tích của sin và cos, thì bạn có thể sử dụng các đồng thức lượng giác sau:
Trong trường hợp này, tích của các hàm sin, cosin hoặc tiếp tuyến của các góc khác nhau sẽ được chuyển thành tổng hoặc hiệu.
Công thức rút gọn hàm lượng giác
Bạn cần sử dụng bảng rút gọn như sau. Trong dòng chúng tôi chọn chức năng mà chúng tôi quan tâm. Trong cột có một góc. Ví dụ, sin của góc (α+90) tại giao điểm của hàng đầu tiên và cột đầu tiên, ta tính được sin (α+90) = cos α.
Bạn có thể yêu cầu một giải pháp chi tiết cho vấn đề của mình!!!
Một đẳng thức chứa ẩn số dưới dấu của hàm lượng giác (`sin x, cos x, tan x` hoặc `ctg x`) được gọi là phương trình lượng giác và chúng ta sẽ xem xét thêm các công thức của chúng.
Các phương trình đơn giản nhất là `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, trong đó `x` là góc cần tìm, `a` là số bất kỳ. Hãy để chúng tôi viết ra các công thức gốc cho mỗi người trong số họ.
1. Phương trình `sin x=a`.
Đối với `|a|>1` nó không có giải pháp.
Khi `|a| \leq 1` có vô số nghiệm.
Công thức gốc: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Phương trình `cos x=a`
Đối với `|a|>1` - như trong trường hợp sin, nó không có nghiệm giữa các số thực.
Khi `|a| \leq 1` có vô số nghiệm.
Công thức gốc: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Các trường hợp đặc biệt của sin và cosin trong đồ thị. 
3. Phương trình `tg x=a`
Có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.
Công thức gốc: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Phương trình `ctg x=a`
Cũng có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.
Công thức gốc: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Công thức nghiệm của phương trình lượng giác trong bảng
Đối với sin: 
Đối với cosin: 
Đối với tiếp tuyến và côtang: 
Công thức giải phương trình chứa hàm lượng giác nghịch đảo:
Các phương pháp giải phương trình lượng giác
Giải bất kỳ phương trình lượng giác nào bao gồm hai giai đoạn:
- với sự trợ giúp của việc chuyển đổi nó thành đơn giản nhất;
- giải phương trình đơn giản nhất thu được bằng cách sử dụng các công thức gốc và bảng viết ở trên.
Hãy xem xét các phương pháp giải pháp chính bằng cách sử dụng các ví dụ.
Phương pháp đại số.
Phương pháp này liên quan đến việc thay thế một biến và thay thế nó thành một đẳng thức.
Ví dụ. Giải phương trình: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
thực hiện thay thế: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sau đó `2y^2-3y+1=0`,
chúng ta tìm nghiệm: `y_1=1, y_2=1/2`, từ đó có hai trường hợp xảy ra:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Trả lời: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Nhân tố hóa.
Ví dụ. Giải phương trình: `sin x+cos x=1`.
Giải pháp. Hãy di chuyển tất cả các số hạng của đẳng thức sang trái: `sin x+cos x-1=0`. Sử dụng , chúng ta biến đổi và phân tích vế trái:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Trả lời: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Giảm thành một phương trình đồng nhất
Trước tiên, bạn cần rút gọn phương trình lượng giác này về một trong hai dạng:
`a sin x+b cos x=0` (phương trình thuần nhất bậc một) hoặc `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (phương trình thuần nhất bậc hai).
Sau đó chia cả hai phần cho `cos x \ne 0` - cho trường hợp đầu tiên và cho `cos^2 x \ne 0` - cho trường hợp thứ hai. Chúng ta thu được các phương trình cho `tg x`: `a tg x+b=0` và `a tg^2 x + b tg x +c =0`, cần được giải bằng các phương pháp đã biết.
Ví dụ. Giải phương trình: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Giải pháp. Hãy viết vế phải là `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Đây là một phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai, ta chia vế trái và vế phải cho `cos^2 x \ne 0`, ta được:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hãy giới thiệu phép thay thế `tg x=t`, dẫn đến `t^2 + t - 2=0`. Các nghiệm của phương trình này là `t_1=-2` và `t_2=1`. Sau đó:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Trả lời. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Di chuyển đến nửa góc
Ví dụ. Giải phương trình: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Giải pháp. Hãy áp dụng các công thức về góc đôi, thu được: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Áp dụng phương pháp đại số mô tả ở trên, chúng ta thu được:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Trả lời. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Giới thiệu góc phụ
Trong phương trình lượng giác `a sin x + b cos x =c`, trong đó a,b,c là các hệ số và x là một biến, hãy chia cả hai vế cho `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Các hệ số ở vế trái có tính chất của sin và cos, cụ thể là tổng bình phương của chúng bằng 1 và mô đun của chúng không lớn hơn 1. Chúng ta ký hiệu chúng như sau: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, thì:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn ví dụ sau:
Ví dụ. Giải phương trình: `3 sin x+4 cos x=2`.
Giải pháp. Chia cả hai vế của đẳng thức cho `sqrt (3^2+4^2)`, ta được:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Hãy biểu thị `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Vì `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, nên chúng ta lấy `\varphi=arcsin 4/5` làm góc phụ. Sau đó, chúng tôi viết đẳng thức của chúng tôi dưới dạng:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Áp dụng công thức tính tổng các góc của sin, chúng ta viết đẳng thức của chúng ta dưới dạng sau:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Trả lời. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Phương trình lượng giác hữu tỉ phân số
Đây là các đẳng thức có phân số có tử số và mẫu số chứa hàm lượng giác.
Ví dụ. Giải phương trình. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Giải pháp. Nhân và chia vế phải của đẳng thức cho `(1+cos x)`. Kết quả là chúng tôi nhận được:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Xét rằng mẫu số không thể bằng 0 nên ta được `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Hãy đánh đồng tử số của phân số bằng 0: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Khi đó `sin x=0` hoặc `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Cho rằng ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, các nghiệm là `x=2\pi n, n \in Z` và `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Trả lời. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Lượng giác và phương trình lượng giác nói riêng được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực hình học, vật lý và kỹ thuật. Việc học bắt đầu từ lớp 10, luôn có bài tập cho Kỳ thi Thống nhất, vì vậy hãy cố gắng ghi nhớ tất cả các công thức của phương trình lượng giác - chúng chắc chắn sẽ hữu ích cho bạn!
Tuy nhiên, bạn thậm chí không cần phải ghi nhớ chúng, điều chính yếu là phải hiểu bản chất và có thể rút ra được nó. Nó không khó như nó có vẻ. Hãy tự mình khám phá bằng cách xem video.