giáo viên dạy toán
Cơ sở giáo dục thành phố "Nhà thi đấu số 5 của Belgorod"
Chủ đề bài học: Phương trình hữu tỉ.
Lớp: Lớp 10.
UMK : Đại số và sự khởi đầu của phân tích: sách giáo khoa. Với giá 10kl. giáo dục phổ thông tổ chức/[S.M. Potapov].-ấn bản thứ 5, bổ sung-M.: Giáo dục, 2006.-432 tr. trang 65-74., 45-47.
Mục tiêu bài học:
Giáo dục: hệ thống hóa và tóm tắt thông tin về các biểu thức hợp lý đã biết ở bậc tiểu học; hiển thị giải pháp phương trình hữu tỉ;
Giáo dục: mở rộng và đào sâu học tập nhiều loại phương trình hữu tỉ bằng nhiều phương pháp khác nhau.
Giáo dục: cho thấy ý nghĩa của chủ đề đang được nghiên cứu trong phần toán.
Loại bài học: bài học-bài giảng.
Cấu trúc bài học:
- Thiết lập mục tiêu bài học (1 phút).
- Chuẩn bị học bài mới (2 phút).
- 3.Giới thiệu bài mới (38 phút).
- 4. Tóm tắt bài học (2 phút)
- 5.Bài tập về nhà (2 phút)
Thiết bị dạy học: bảng trắng tương tác, máy chiếu, máy tính.
Tiến độ bài học:
Kế hoạch.
1. Biểu thức hợp lý.
2. Phương trình hữu tỉ.
3. Hệ phương trình hữu tỉ.
TÔI. Sự lặp lại.
Đại số nảy sinh từ lời giải vấn đề thực tế sử dụng các phương trình. Mục tiêu của đại số vẫn không thay đổi trong hàng nghìn năm - các phương trình đã được giải: đầu tiên là tuyến tính, sau đó là phương trình bậc hai và thậm chí nhiều phương trình hơn bằng cấp cao hơn. Nhưng hình thức trình bày các kết quả đại số đã thay đổi đến mức không thể nhận ra được.
Phương trình là dạng bài toán phổ biến nhất. Lý thuyết về phương trình là nội dung chính khóa họcđại số. Để giải phương trình, bạn cần có khả năng thực hiện các phép tính trên đơn thức, đa thức, phân số đại số, phân tích nhân tử, mở ngoặc, v.v. Bạn cần sắp xếp kiến thức của mình theo thứ tự. Chúng ta sẽ bắt đầu ôn tập với khái niệm “biểu thức hợp lý”. Báo cáo của học sinh về các biểu thức hợp lý đã biết ở trường cơ bản. Vì vậy, việc nghiên cứu các phương trình là không thể nếu không nghiên cứu các định luật tác dụng.
II. Phần chính.
Điều chính trong khái niệm phương trình là việc xây dựng câu hỏi về lời giải của nó. Một phương trình mà bên trái và bên phải là các biểu thức hữu tỉ của x được gọi là phương trình hữu tỉ chưa biết x.
Ví dụ: các phương trình 5x 6 - 9x 5 + 4x - 3x + 1 = 0, là hợp lý.
Căn (hoặc nghiệm) của một phương trình với x chưa biết là một số mà khi thay thế vào phương trình thay cho x sẽ tạo ra một đẳng thức số thực.
Giải một phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chỉ ra rằng không có nghiệm nào. Khi giải phương trình hữu tỉ, bạn phải nhân và chia cả hai vế của phương trình với bằng 0 số, chuyển các số hạng của phương trình từ phần này sang phần khác, áp dụng các quy tắc cộng và trừ phân số đại số. Kết quả sẽ là một phương trình tương đương với phương trình trước đó, tức là một phương trình có cùng gốc và chỉ chúng.
Hãy liệt kê phương trình chuẩn mà chúng tôi đã nghiên cứu. Đáp án học sinh (phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai, đơn giản nhất phương trình năng lượng X N =a). Chuyển đổi phương trình thành một trong những phương trình chuẩn là bước chính trong việc giải phương trình. Không thể thuật toán hóa hoàn toàn quá trình chuyển đổi, nhưng sẽ rất hữu ích khi nhớ một số kỹ thuật chung cho tất cả các loại phương trình.
1).Phương trình có dạng A(x) B(x) = O, trong đó A(x) và B(x) là các đa thức đối với x, được gọi làphương trình phân rã.
Tập tất cả các nghiệm của một phương trình phân rã là hợp của các tập nghiệm của hai phương trình A(x)=0 và B(x)=0. Phương pháp phân tích nhân tử được áp dụng cho các phương trình có dạng A(x) = 0. Bản chất của phương pháp này: bạn cần giải phương trình A(x)=0, trong đó A(x)=A 1 (x)A 2 (x)A 3 (X). Phương trình A(x)=0 được thay thế bằng tập hợp phương trình đơn giản: MỘT 1 (x)=0,A 2 (x)=0,A 3 (x)=0. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình của tập hợp này và kiểm tra. Phương pháp phân tích nhân tử được sử dụng chủ yếu cho các trường hợp hợp lý và phương trình lượng giác.
VÍ DỤ 1.
Giải phương trình (x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0.
Phương trình được chia thành hai phương trình.
x 2 - 5x + 6 = 0 x 1 = 2 và x 2 = 3
x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 và x 4 = 1
Điều này có nghĩa là phương trình ban đầu có nghiệm x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 =1.
Trả lời. -2; 1; 2; 3.
VÍ DỤ. Hãy giải phương trình x 3 -7x+6=0.
x 3 -x-6x+6=0
x(x 2 -1)-6(x-1)=0
x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0
(x-1)(x(x+1)-6)=0
(x-1)(x 2 +x-6)=0
x-1=0, x 1 =1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.
Đáp án: 1;2;-3.
2) .Phương trình dạng, trong đó A(x) và B(x) là đa thức tương đối với x.
VÍ DỤ 2.
Hãy giải phương trình
Đầu tiên chúng ta giải phương trình
x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 và x 2 = -7
Thay các số này vào mẫu số ở vế trái của phương trình ban đầu, ta được
x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,
x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.
Điều này chứng tỏ số x 1 = 3 không phải là nghiệm của phương trình ban đầu mà là số x 2 =- 7 là nghiệm của phương trình này.
Trả lời. -7.
3) .Phương trình dạng
trong đó A(x), B(x), C(x) và D(x) là các đa thức đối với x, thường được giải theo quy tắc sau.
Phương trình A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 được giải và những phương trình nào không làm cho mẫu số của phương trình biến mất sẽ được chọn từ gốc của nó.
VÍ DỤ 3.
Hãy giải phương trình
Hãy giải phương trình
x 2 - 5x + 6 - (2x + 3) (x - 3) = 0.
x 2 + 2x - 15 = 0
x 1 = -5 và x 2 = 3.
Số x 1 không làm cho mẫu số x - 3 biến mất mà số x 2 chuyển đổi. Do đó, phương trình có một nghiệm duy nhất = -5.
Trả lời. -5.
Việc tìm nghiệm của một phương trình hữu tỉ thường giúp ích bằng cách thay thế những ẩn số. Khả năng giới thiệu thành công một biến mới - yếu tố quan trọng văn hóa toán học. Việc lựa chọn thành công một biến mới làm cho cấu trúc của phương trình trở nên minh bạch hơn.
VÍ DỤ 4.
Hãy giải phương trình x 8 + 4x 6 -10x 4 + 4x 2 + 1 = 0.
Số x 0 = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình tương đương với phương trình
x 4 + 4x 2 - 10 + + =0
Hãy ký hiệu t =, sau đó x 4 + =t 2 -2,
ta được t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 và x 2 = -6.
Do đó, chúng ta tìm nghiệm của phương trình bằng cách kết hợp tất cả các nghiệm của hai phương trình:=2, và =-6,
Phương trình thứ nhất có hai nghiệm -1 và 1, nhưng phương trình thứ hai thì không rễ thật, nên phương trình chỉ có hai nghiệm: -1 và 1. Đáp án. -1; 1.
4). Phương trình đối xứng.
Một đa thức nhiều biến được gọi là đa thức đối xứng nếu dạng của nó không thay đổi khi hoán vị các biến này.
Ví dụ: đa thức x + y, a 2 + b 2 - 1, zt và 5a 3 + 6ab + 5b 3 - đa thức đối xứng hai biến, a đa thức x + y + z, a 3 + b 3 + c 3 , - đa thức đối xứng ba biến.
Đồng thời, các đa thức x - y, a 2 –b 2 và a 3 + ab – b 3 - đa thức không đối xứng.
Phương trình ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, trong đó a R/ ,b R, c R được gọi là phương trình bậc bốn đối xứng. Để giải phương trình này bạn cần:
1).Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 và nhóm các biểu thức kết quả:.
2).Giới thiệu về một biếnphương trình được rút gọn thành bậc hai.
Ví dụ.
Giải phương trình x 4 +5x 3 +4x 2 -5x+1=0.
Số 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ≠0.
Trả lời. .
Hệ thống phương trình hợp lý.
Hệ phương trình xuất hiện khi giải các bài toán chưa biết một số đại lượng. Các đại lượng này có liên quan với nhau bởi một mối quan hệ nhất định, được viết dưới dạng phương trình.
Một phương trình mà bên trái và bên phải là các biểu thức hữu tỉ của x và y được gọi là phương trình hữu tỉ với hai ẩn số x và y.
Nếu ta cần tìm tất cả các cặp số x và y, mỗi cặp số đó là nghiệm của mỗi phương trình đã cho với hai ẩn số x và y, thì ta nói rằng ta cần giải hệ phương trình với hai ẩn số x và y và mỗi cặp như vậy được gọi là nghiệm của hệ này.
Những điều chưa biết cũng có thể được biểu thị bằng các chữ cái khác. Một hệ phương trình trong đó số ẩn số lớn hơn hai được xác định theo cách tương tự.
Nếu mỗi nghiệm của hệ phương trình thứ nhất là một nghiệm của hệ phương trình thứ hai và mỗi nghiệm của hệ phương trình thứ hai là một nghiệm của hệ phương trình thứ nhất thì các hệ phương trình đó được gọi là tương đương. Trong đó, hai hệ không có nghiệm được coi là tương đương.
Ví dụ, các hệ thống tương đương
1). Phương pháp thay thế.
VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình
Biểu thị y đến x từ phương trình đầu tiên của hệ, ta thu được phương trình:
y = 3x - 1.
Giải phương trình 5x 2 -4(3x-1)+3(3x-1) 2 =9, tìm nghiệm của nó x 1 = 1 và x 2 = . Thay số tìm được x 1 và x 2 vào phương trình y = 3x - 1, ta được y 1 = 2
và y = Do đó, hệ có hai nghiệm: (1; 2) và (; )
Trả lời. (1; 2), (; )
2). Phương pháp cộng đại số.
VÍ DỤ 2. Giải hệ phương trình
Giữ nguyên phương trình thứ nhất của hệ và cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai, ta thu được hệ tương đương với hệ.
Mọi lời giải của hệ thống là sự kết hợp của mọi lời giải của hai hệ thống:
(2; 1), (-2; -1),
Trả lời. (2; 1), (-2; -1), .
3). Phương pháp giới thiệu những ẩn số mới.
VÍ DỤ 3. Giải hệ phương trình
Ký hiệu u = xy, v = x - y, ta viết lại hệ dưới dạng
Cùng tìm giải pháp của nó nhé :u 1 = 1, v 1 = 0 và u 2 = 5, v 2 = 4. Do đó, mọi nghiệm của hệ là hợp của mọi nghiệm của hai hệ:
Sau khi giải từng hệ này bằng phương pháp thế, chúng ta tìm được nghiệm của nó cho hệ: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
Trả lời. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
4). Phương trình có dạng ah 2 + bxy + su 2 = 0, trong đó a, b, c là các số khác 0, gọi là phương trình thuần nhất đối với các ẩn số x và y.
Xét một hệ phương trình trong đó có phương trình thuần nhất.
VÍ DỤ 4. Giải hệ phương trình
Chỉ định t = , ta viết lại phương trình đầu tiên của hệ dưới dạng t 2 +4t+3=0.
Phương trình có hai nghiệm t 1 = -1 và t 2 = -3, do đó mọi nghiệm của hệ đều là hợp của mọi nghiệm của hai hệ:
Giải từng hệ ta tìm được tất cả nghiệm của hệ:
(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).
Trả lời. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5),,(1,5;-0,5).
Khi giải một số hệ, kiến thức về tính chất của đa thức đối xứng sẽ giúp ích.
Ví dụ.
Hãy đưa ra các ẩn số mới α = x + y và β = xy, sau đó x 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2
Do đó hệ có thể viết lại dưới dạng
Hãy giải phương trình bậc hai của β: β 1 =6, β 2 =44.
Vì vậy, mọi giải pháp của hệ thống đều là sự đoàn kết
mọi nghiệm của hai hệ:
Hệ thứ nhất có hai nghiệm x 1 = 2, y 1 = 3 và x 2 = 3, y 2 =2, nhưng hệ thống thứ hai không có giải pháp hợp lệ. Do đó, hệ có hai nghiệm: (x: 1 ; y 1) và (x 2;y 2)
Trả lời. (2; 3), (3; 2).
Hôm nay chúng ta tổng kết kết quả nghiên cứu chủ đề phương trình hữu tỉ. Chúng tôi đã nói về những ý tưởng chung, phương pháp chung, trên đó toàn bộ hệ phương trình của trường đều dựa trên đó.
Các phương pháp giải phương trình đã được xác định:
1) phương pháp nhân tử hóa;
2) phương pháp giới thiệu các biến mới.
Chúng tôi đã mở rộng hiểu biết của mình về các phương pháp giải hệ phương trình.
Trong 4 bài học tiếp theo chúng ta sẽ tiến hành các bài tập thực hành. Để làm được điều này bạn cần học tài liệu lý thuyết, và chọn 2 ví dụ trong sách giáo khoa về các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình đã xem xét, ở bài 6 sẽ tổ chức hội thảo chuyên đề về chủ đề này, các em cần chuẩn bị câu hỏi: Công thức nhị thức Newton, giải phương trình đối xứng bậc 3,5 . Bài học cuối cùng về chủ đề này - test.
Văn học.
- Đại số và sự khởi đầu của phân tích: sách giáo khoa. Với giá 10kl. giáo dục phổ thông tổ chức/[S.M. Potapov].-ấn bản thứ 5, bổ sung-M.: Giáo dục, 2006.-432 tr. trang 65-74., 45-47.
- Toán học: đào tạo bài tập chuyên đề tăng độ phức tạp với các câu trả lời để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất và các hình thức thi cuối kỳ và đầu vào/comp khác. G.I. Kovaleva, T.I. Buzulina - Volgograd: Giáo viên, 2009.-494 tr. – trang 62-72,194-199.
- Titarenko A.M. Toán: lớp 9-11: 6000 bài toán và ví dụ/A.M. Titarenko.-M.: Eksmo, 2007.-336 tr.
Có rất nhiều điều để nói về phương trình. Có những câu hỏi trong lĩnh vực toán học này mà các nhà toán học vẫn chưa trả lời được. Có lẽ một số bạn sẽ tìm thấy câu trả lời cho những câu hỏi này.
Albert Einstein đã nói: “Tôi phải phân chia thời gian của mình cho chính trị và các phương trình. Tuy nhiên, theo tôi, các phương trình quan trọng hơn nhiều. Chính trị chỉ tồn tại cho vào lúc này. Và các phương trình sẽ tồn tại mãi mãi.”
Bài 2-5 được giao lớp học thực hành. Loại hoạt động chính trong các bài học này là hoạt động độc lập của học sinh để củng cố và đào sâu nội dung lý thuyết được trình bày trong bài giảng. Tại mỗi kỳ thi, các câu hỏi lý thuyết được lặp lại và khảo sát học sinh. Dựa trên làm việc độc lập trong lớp học và ở nhà, đảm bảo việc lặp lại và tiếp thu các câu hỏi lý thuyết, công việc có mục đíchđể phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề nhiều cấp độ khác nhau khó khăn, tiến hành khảo sát sinh viên. Mục tiêu: củng cố và đào sâu các tài liệu lý thuyết được trình bày trong bài giảng, học cách áp dụng nó vào thực tế và nắm vững các thuật toán giải ví dụ điển hình và nhiệm vụ, bảo đảm cho tất cả học sinh nắm vững nội dung chính của phần đang học ở mức độ yêu cầu của chương trình.
Các bài học thứ 6 và thứ 7 được phân bổ cho hội thảo, nên tiến hành hội thảo ở bài học thứ 6 và kiểm tra ở bài học thứ 7.
Kế hoạch bài học-hội thảo.
Mục tiêu: lặp lại, đào sâu và khái quát hóa tài liệu được đề cập, tìm ra các phương pháp, phương pháp và kỹ thuật giải cơ bản vấn đề toán học, tiếp thu kiến thức mới, đào tạo sử dụng độc lập kiến thức trong các tình huống không chuẩn.
1. Đầu bài tổ chức kiểm soát chương trình. Mục đích của sự kiện kiểm tra công việc phát triển các kỹ năng và khả năng thực hiện các bài tập đơn giản. Trong quá trình đặt câu hỏi trực tiếp cho những học sinh ghi sai số câu trả lời, giáo viên sẽ tìm ra nhiệm vụ nào gây khó khăn. Tiếp theo là nói miệng hoặc tác phẩm viếtđể loại bỏ lỗi. Không quá 10 phút được phân bổ để thực hiện kiểm soát được lập trình.
2. Khảo sát phân biệt một số sinh viên về các vấn đề lý luận.
3. Bối cảnh lịch sử về sự xuất hiện và phát triển của khái niệm phương trình (thông điệp của học sinh). Công thức nhị thức Newton. Giải phương trình đối xứng bậc ba, bậc bốn, bậc năm.
x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0
2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0
x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1=0
2x 5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 +3x+2=0
4. Giải ví dụ, kiểm tra mức độ sẵn sàng thực hiện của học sinh công việc thử nghiệm– đây là một trong những mục tiêu chính của hội thảo.
Thực hiện bài kiểm tra.
Việc thực hiện bài kiểm tra không có nghĩa là từ bỏ việc liên tục theo dõi kiến thức của học sinh. Điểm được đưa ra dựa trên thực tế và lớp học hội thảo. Một số bài tập điển hình sẽ được kiểm tra. Học sinh được thông báo trước nội dung lý thuyết và bài tập sẽ được trình bày trong kỳ thi. Hãy để chúng tôi trình bày nội dung của một trong các thẻ để kiểm tra về chủ đề đang được xem xét.
Cấp độ 1.
Giải các phương trình: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4
X 2 +25 =24
(2x 2 -3x+1)(2x 2 -5x+1)=8x 2
Cấp độ 2.
Giải các phương trình: x 4 +8x 3 +8x 2 -32x-9=0
8x 3 -12x 2 +x-7=0
Xem trước:
Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo một tài khoản cho chính bạn ( tài khoản) Google và đăng nhập:
Trong bài viết này tôi sẽ chỉ cho bạn thuật toán giải bảy loại phương trình hữu tỉ, có thể quy về dạng bậc hai bằng cách thay đổi các biến. Trong hầu hết các trường hợp, các phép biến đổi dẫn đến sự thay thế là rất không tầm thường và khá khó để tự mình đoán về chúng.
Đối với mỗi loại phương trình, tôi sẽ giải thích cách thực hiện thay đổi biến trong đó và sau đó hiển thị giải pháp chi tiết trong video hướng dẫn tương ứng.
Bạn có cơ hội tiếp tục tự mình giải các phương trình, sau đó kiểm tra lời giải của mình bằng bài học video.
Vì vậy hãy bắt đầu.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Lưu ý rằng ở vế trái của phương trình có tích của bốn dấu ngoặc và ở vế phải là một số.
1. Hãy nhóm các dấu ngoặc thành hai để tổng các số hạng tự do bằng nhau.
2. Nhân chúng.
3. Hãy giới thiệu một phép đổi biến.
Trong phương trình của chúng ta, chúng ta sẽ nhóm dấu ngoặc đầu tiên với dấu ngoặc thứ ba và dấu ngoặc thứ hai với dấu ngoặc thứ tư, vì (-1)+(-4)=(-7)+2:
Tại thời điểm này, việc thay thế biến trở nên rõ ràng:
Chúng ta thu được phương trình 
Trả lời: 
2 .
Phương trình loại này tương tự như phương trình trước nhưng có một điểm khác biệt: ở vế phải của phương trình là tích của số và . Và nó được giải quyết theo một cách hoàn toàn khác:
1. Chúng ta nhóm các dấu ngoặc thành hai để tích của các số hạng tự do giống nhau.
2. Nhân từng cặp dấu ngoặc.
3. Chúng ta lấy x ra khỏi mỗi yếu tố.
4. Chia cả hai vế của phương trình cho .
5. Chúng tôi giới thiệu một sự thay đổi của biến.
Trong phương trình này, chúng ta nhóm dấu ngoặc đầu tiên với dấu ngoặc thứ tư và dấu ngoặc thứ hai với dấu ngoặc thứ ba, vì:
Lưu ý rằng trong mỗi ngoặc hệ số và số hạng tự do đều giống nhau. Hãy lấy một yếu tố ra khỏi mỗi khung:
Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình ban đầu nên chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho . Chúng tôi nhận được:
Chúng ta nhận được phương trình: 
Trả lời: 
3
. 
Lưu ý rằng mẫu số của cả hai phân số là tam thức vuông, trong đó hệ số dẫn đầu và số hạng tự do là như nhau. Chúng ta hãy lấy x ra khỏi ngoặc, như trong phương trình loại thứ hai. Chúng tôi nhận được:
Chia tử số và mẫu số của mỗi phân số cho x:
Bây giờ chúng ta có thể giới thiệu một biến thay thế:
Chúng ta thu được phương trình cho biến t:
4 .
Lưu ý rằng các hệ số của phương trình đối xứng với hệ số trung tâm. Phương trình này được gọi là có thể trả lại .
Để giải quyết nó,
1. Chia cả hai vế của phương trình cho (Chúng ta có thể làm điều này vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình.) Chúng ta nhận được:
2. Hãy nhóm các thuật ngữ theo cách này:
3. Trong mỗi nhóm chúng ta sẽ đặt nó ra khỏi ngoặc số nhân chung:
4. Hãy giới thiệu sự thay thế:
5. Biểu diễn qua t biểu thức:
Từ đây 
Chúng ta nhận được phương trình cho t:
Trả lời:
5. Phương trình thuần nhất.
Các phương trình có cấu trúc đồng nhất có thể gặp khi giải phương trình mũ, logarit và lượng giác nên bạn cần có khả năng nhận biết.
Các phương trình thuần nhất có cấu trúc như sau:
Trong đẳng thức này, A, B và C là các số, hình vuông và hình tròn biểu thị biểu thức giống hệt nhau. Nghĩa là, ở vế trái của một phương trình thuần nhất có tổng các đơn thức có cùng mức độ(V trong trường hợp này bậc của đơn thức là 2) và không có số hạng tự do.
Để giải một phương trình thuần nhất, hãy chia cả hai vế cho
Chú ý! Khi chia vế phải và vế trái của một phương trình cho một biểu thức chứa ẩn số, bạn có thể bị mất gốc. Vì vậy, cần phải kiểm tra xem nghiệm của biểu thức mà chúng ta chia cả hai vế của phương trình có phải là nghiệm của phương trình ban đầu hay không.
Hãy đi theo cách đầu tiên. Chúng ta nhận được phương trình:
Bây giờ chúng tôi giới thiệu thay thế biến:
Chúng ta hãy đơn giản hóa biểu thức và nhận được phương trình hai phương trình liên quan đến t:
Trả lời: hoặc
7
. 
Phương trình này có cấu trúc như sau:
Để giải nó, bạn cần chọn một hình vuông hoàn chỉnh ở phía bên trái của phương trình.
Để chọn một hình vuông đầy đủ, bạn cần cộng hoặc trừ hai lần tích. Sau đó chúng ta nhận được bình phương của tổng hoặc hiệu. Điều này rất quan trọng để thay thế biến thành công.
Hãy bắt đầu bằng cách tìm gấp đôi sản phẩm. Đây sẽ là chìa khóa để thay thế biến. Trong phương trình của chúng ta, hai lần tích bằng
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem cái nào thuận tiện hơn cho chúng ta - bình phương của tổng hoặc hiệu. Trước tiên chúng ta hãy xem xét tổng các biểu thức:
Tuyệt vời! Biểu thức này chính xác bằng hai lần tích. Sau đó, để có được bình phương của tổng trong ngoặc, bạn cần cộng và trừ tích kép:
Chủ đềIII. HỆ THỐNG PHƯƠNG TIỆN HỢP LÝ
Một hệ thống là một tập hợp các điều kiện phải được thỏa mãn đồng thời. Những điều kiện này có thể được biểu diễn dưới dạng phương trình và bất đẳng thức.
Các điều kiện có trong hệ thống thường được viết thành cột và xếp ở bên trái bằng dấu ngoặc đơn.
Hệ gồm các phương trình gọi là hệ phương trình.
Một hệ gồm các phương trình và bất đẳng thức được gọi là hệ hỗn hợp.
Giải một hệ có nghĩa là tìm một tập giá trị cho các ẩn số thỏa mãn mọi điều kiện của nó.
Phạm vi của hệ thống là phần chung khu vực xác định các điều kiện có trong đó. Lời giải của hệ thống, nếu nó tồn tại, luôn thuộc về miền định nghĩa của nó.
Một hệ thống có giải pháp được gọi là khớp.
Một hệ thống không có giải pháp được gọi là không nhất quán hoặc không nhất quán.
Chương I. GIẢI HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOẠI BỎ NHỮNG CHƯA BIẾT (PHƯƠNG PHÁP GAUSS)
§ I. Định nghĩa hệ phương trình đại số tuyến tính
Toàn bộ một phương trình hữu tỉ được gọi là đại số tuyến tính nếu cả hai phần của nó đều bao gồm các số hạng có bậc không cao hơn bậc đầu tiên đối với các ẩn số được xác định.
Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó chỉ chứa các phương trình đại số tuyến tính.
(Tiếp theo, có một phần hướng dẫn có thể lập trình, trong đó, khi trả lời các câu hỏi hoặc nhiệm vụ, bạn nên đóng phần bên phải của trang. Ở phần này của trang, tính chính xác của nhiệm vụ hoặc câu trả lời bạn đã hoàn thành sẽ được kiểm tra. Trình tự làm việc với sổ tay lập trình được xác định bởi các ví dụ này, các câu hỏi đặt ra hoặc nhiệm vụ phản ứng của bạn đối với chúng.) Không được vi phạm trình tự này.)
Xác định xem các hệ thống cho trong ví dụ số 1 và số 2 có tuyến tính đối với x và y hay không.
| Ví dụ số 1 Ví dụ số 2
Trong ví dụ số 3, thực hiện phép thay thế để đưa hệ thống này về tuyến tính. Ví dụ số 3 | Câu trả lời: Hệ thống là tuyến tính. Hệ thống không tuyến tính.  Đây là các số hạng bậc 1 đối với x và y (tổng số mũ của x và y trong mỗi số đó bằng một). Các số hạng ở vế phải của phương trình thứ nhất có liên quan đến x và y không độ. Vì thế  (tổng số mũ của x và y trong mỗi số đó bằng 0). Ở đây chúng tôi sử dụng định nghĩa x 0 ≡ 1 cho x ≠0, y 0 ≡ 1 cho y ≠0. Đầu tiên, có thể được biểu diễn dưới dạng  Bây giờ vế trái của phương trình thứ hai chứa các số hạng bậc một theo x và y, còn vế phải chứa số 0. Vì thế, hệ thống này là tuyến tính, bởi vì bao gồm các phương trình tuyến tính. Chuyển sang ví dụ # 2. Câu trả lời: Hệ thống này là phi tuyến. 2. Hệ thống tuyến tính. A) Đúng. Nhưng bằng cách thay thế
hệ thống này được quy về tuyến tính đối với các ẩn số mới u, v, t. Đi tới ví dụ # 3. B) Không đúng. Các phương trình của hệ không thể gọi là tuyến tính vì vế trái của phương trình chứa tổng các phân số không xác định được bậc. (Bạn chỉ có thể xác định bậc của đa thức, tức là biểu thức phân tích, trong đó không quá hai phép tính được thực hiện trên các chữ cái và số: phép cộng và phép nhân đại số). |
Chúng tôi đã giới thiệu phương trình trên trong § 7. Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại những gì biểu hiện hợp lý. Cái này - biểu thức đại số, bao gồm các số và biến x sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa với số mũ tự nhiên.
Nếu r(x) là một biểu thức hữu tỉ thì phương trình r(x) = 0 được gọi là phương trình hữu tỉ.
Tuy nhiên, trong thực tế sẽ thuận tiện hơn nếu sử dụng cách giải thích rộng hơn một chút cho thuật ngữ “phương trình hữu tỉ”: đây là một phương trình có dạng h(x) = q(x), trong đó h(x) và q(x) là những biểu hiện hợp lý.
Cho đến nay, chúng ta không thể giải được bất kỳ phương trình hữu tỉ nào, mà chỉ có một phương trình đó, do đó, những biến đổi khác nhau và lý luận rút gọn lại thành phương trình tuyến tính. Bây giờ khả năng của chúng tôi đã lớn hơn nhiều: chúng tôi sẽ có thể giải một phương trình hợp lý không chỉ quy về tuyến tính
mu mà còn cả phương trình bậc hai.
Chúng ta hãy nhớ lại cách chúng ta giải các phương trình hữu tỉ trước đây và cố gắng xây dựng một thuật toán giải.
Ví dụ 1. Giải phương trình
Giải pháp. Hãy viết lại phương trình ở dạng
Trong trường hợp này, như thường lệ, chúng ta lợi dụng thực tế là các đẳng thức A = B và A - B = 0 thể hiện cùng một mối quan hệ giữa A và B. Điều này cho phép chúng ta chuyển thuật ngữ sang bên trái phương trình với dấu hiệu ngược lại.
Hãy biến đổi vế trái của phương trình. chúng tôi có
Hãy nhắc lại điều kiện đẳng thức phân số 0: nếu và chỉ nếu hai quan hệ được thỏa mãn đồng thời:
1) tử số của phân số bằng 0(a = 0); 2) mẫu số của phân số khác 0).
Đánh đồng tử số của phân số ở vế trái của phương trình (1) bằng 0, ta thu được
Nó vẫn còn để kiểm tra việc thực hiện điều kiện thứ hai được nêu ở trên. Mối quan hệ có nghĩa là phương trình (1) rằng . Các giá trị x 1 = 2 và x 2 = 0,6 thỏa mãn các mối quan hệ đã chỉ ra và do đó đóng vai trò là nghiệm của phương trình (1), đồng thời là nghiệm của phương trình đã cho.
1) Chuyển phương trình về dạng
2) Chúng ta hãy biến đổi vế trái của phương trình này:
(đồng thời đổi dấu ở tử số và
phân số).
Như vậy, phương trình đã cho có hình thức
3) Giải phương trình x 2 - 6x + 8 = 0. Tìm
4) Đối với các giá trị tìm thấy, hãy kiểm tra việc đáp ứng điều kiện 
. Số 4 thỏa mãn điều kiện này, còn số 2 thì không. Điều này có nghĩa là 4 là nghiệm của phương trình đã cho và 2 là nghiệm không liên quan.
ĐÁP ÁN: 4.
2. Giải phương trình hữu tỉ bằng cách đưa vào một biến mới
Phương pháp giới thiệu một biến mới đã quen thuộc với bạn; chúng tôi đã sử dụng nó nhiều lần. Hãy để chúng tôi chỉ ra các ví dụ về cách nó được sử dụng trong việc giải các phương trình hữu tỉ.
Ví dụ 3. Giải phương trình x 4 + x 2 - 20 = 0.
Giải pháp. Hãy giới thiệu một biến mới y = x 2 . Vì x 4 = (x 2) 2 = y 2 nên phương trình đã cho có thể viết lại thành
y 2 + y - 20 = 0.
Đây là một phương trình bậc hai, nghiệm của nó có thể tìm được bằng cách sử dụng công thức; ta được y 1 = 4, y 2 = - 5.
Nhưng y = x 2, có nghĩa là bài toán đã được quy về việc giải hai phương trình:
x 2 = 4; x 2 = -5.
Từ phương trình đầu tiên, chúng ta thấy rằng phương trình thứ hai không có nghiệm.
Trả lời: .
Phương trình có dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 được gọi là phương trình hai bình phương (“bi” là hai, tức là một loại phương trình “bậc hai”). Phương trình vừa giải chính xác là phương trình hai phương trình. Bất kỳ phương trình hai phương trình nào cũng được giải theo cách tương tự như phương trình trong Ví dụ 3: đưa một biến mới y = x 2, giải phương trình bậc hai thu được đối với biến y, rồi quay về biến x.
Ví dụ 4. Giải phương trình
Giải pháp. Lưu ý rằng cùng một biểu thức x 2 + 3x xuất hiện hai lần ở đây. Điều này có nghĩa là việc đưa ra một biến mới y = x 2 + 3x là hợp lý. Điều này sẽ cho phép bạn viết lại phương trình một cách đơn giản và nhìn đẹp(trên thực tế, đó là mục đích giới thiệu một phương pháp mới biến- và đơn giản hóa việc ghi âm
trở nên rõ ràng hơn và cấu trúc của phương trình trở nên rõ ràng hơn):
Bây giờ hãy sử dụng thuật toán để giải phương trình hữu tỉ.
1) Hãy chuyển tất cả các số hạng của phương trình thành một phần:
= 0
2) Biến đổi vế trái của phương trình
Vậy ta đã chuyển phương trình đã cho về dạng
3) Từ phương trình - 7y 2 + 29y -4 = 0 chúng ta tìm thấy (bạn và tôi đã giải khá nhiều phương trình bậc hai, vì vậy có lẽ không cần thiết phải luôn đưa ra các phép tính chi tiết trong sách giáo khoa).
4) Hãy kiểm tra các nghiệm tìm được bằng điều kiện 5 (y - 3) (y + 1). Cả hai gốc đều thỏa mãn điều kiện này.
Vì vậy, phương trình bậc hai của biến y mới được giải: 
Vì y = x 2 + 3x, và y, như chúng ta đã thiết lập, nhận hai giá trị: 4 và , nên chúng ta vẫn phải giải hai phương trình: x 2 + 3x = 4; x2 + Zx = . Các nghiệm của phương trình thứ nhất là các số 1 và - 4, các nghiệm của phương trình thứ hai là các số
Trong các ví dụ được xem xét, phương pháp đưa ra một biến mới, như các nhà toán học thường nói, là phù hợp với tình huống, nghĩa là nó tương ứng tốt với tình huống đó. Tại sao? Có, bởi vì cùng một biểu thức xuất hiện rõ ràng trong phương trình nhiều lần và có lý do để chỉ định biểu thức này thư mới. Nhưng điều này không phải lúc nào cũng xảy ra; đôi khi một biến mới chỉ “xuất hiện” trong quá trình chuyển đổi. Đây chính xác là những gì sẽ xảy ra trong ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 5. Giải phương trình
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Giải pháp. chúng tôi có
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Điều này có nghĩa là phương trình đã cho có thể được viết lại dưới dạng
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Bây giờ một biến mới đã “xuất hiện”: y = x 2 - 3x.
Với sự trợ giúp của nó, phương trình có thể được viết lại dưới dạng y (y + 2) = 24 và sau đó y 2 + 2y - 24 = 0. Căn nguyên của phương trình này là các số 4 và -6.
Trở về biến x ban đầu, ta thu được hai phương trình x 2 - 3x = 4 và x 2 - 3x = - 6. Từ phương trình thứ nhất ta tìm được x 1 = 4, x 2 = - 1; phương trình thứ hai không có nghiệm.
Đáp án: 4, - 1.
Chúng ta hãy làm quen với các phương trình hữu tỉ và phân số, đưa ra định nghĩa, đưa ra ví dụ và phân tích các loại bài toán phổ biến nhất.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Phương trình hữu tỉ: định nghĩa và ví dụ
Việc làm quen với các biểu thức hợp lý bắt đầu từ lớp 8 ở trường. Lúc này, trong các bài học đại số, học sinh ngày càng bắt đầu gặp các bài tập có phương trình chứa các biểu thức hữu tỉ trong ghi chú của mình. Hãy làm mới trí nhớ của chúng ta về nó là gì.
Định nghĩa 1
phương trình hữu tỉ là một phương trình trong đó cả hai vế đều chứa các biểu thức hữu tỉ.
Trong các hướng dẫn sử dụng khác nhau, bạn có thể tìm thấy một công thức khác.
Định nghĩa 2
phương trình hữu tỉ- đây là một phương trình, vế trái chứa biểu thức hữu tỉ và vế phải chứa số 0.
Các định nghĩa mà chúng tôi đưa ra cho các phương trình hữu tỉ là tương đương nhau, vì chúng nói về cùng một thứ. Tính đúng đắn của lời nói của chúng tôi được xác nhận bởi thực tế là đối với bất kỳ biểu thức hợp lý nào P Và Q phương trình P = Q Và P − Q = 0 sẽ là biểu thức tương đương.
Bây giờ chúng ta hãy xem các ví dụ.
Ví dụ 1
Phương trình hợp lý:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Phương trình hữu tỉ, giống như các loại phương trình khác, có thể chứa bất kỳ số lượng biến nào từ 1 đến vài. Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét ví dụ đơn giản, trong đó các phương trình sẽ chỉ chứa một biến. Và sau đó chúng ta sẽ bắt đầu dần dần phức tạp hóa nhiệm vụ.
Phương trình hữu tỉ được chia thành hai nhóm lớn: số nguyên và phân số. Hãy xem phương trình nào sẽ áp dụng cho mỗi nhóm.
Định nghĩa 3
Một phương trình hữu tỉ sẽ là số nguyên nếu vế trái và phải của nó chứa toàn bộ biểu thức hữu tỉ.
Định nghĩa 4
Một phương trình hữu tỉ sẽ có tính phân số nếu một hoặc cả hai phần của nó đều chứa một phân số.
Các phương trình hữu tỉ phân số nhất thiết phải có phép chia cho một biến hoặc biến có mặt ở mẫu số. Không có sự phân chia như vậy trong việc viết toàn bộ phương trình.
Ví dụ 2
3 x + 2 = 0 Và (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5- toàn bộ phương trình hợp lý. Ở đây cả hai vế của phương trình được biểu diễn bằng biểu thức số nguyên.
1 x - 1 = x 3 và x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 là các phương trình hữu tỉ phân số.
Toàn bộ phương trình hữu tỉ bao gồm phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai.
Giải toàn bộ phương trình
Việc giải các phương trình như vậy thường là chuyển đổi chúng thành các phương trình đại số tương đương. Điều này có thể đạt được bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương của các phương trình theo thuật toán sau:
- đầu tiên chúng ta nhận được số 0 ở vế phải của phương trình; để làm điều này, chúng ta cần di chuyển biểu thức ở vế phải của phương trình sang vế trái của nó và đổi dấu;
- thì chúng ta biến đổi biểu thức ở vế trái của phương trình thành đa thức chế độ xem chuẩn.
Chúng ta phải có được một phương trình đại số. Phương trình này sẽ tương đương với phương trình ban đầu. Các trường hợp dễ dàng cho phép chúng ta quy toàn bộ phương trình thành phương trình tuyến tính hoặc phương trình bậc hai để giải bài toán. TRONG trường hợp chung chúng ta giải một phương trình đại số bậc N.
Ví dụ 3
Cần phải tìm nghiệm nguyên của toàn bộ phương trình 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Giải pháp
Chúng ta hãy biến đổi biểu thức ban đầu để thu được một phương trình đại số tương đương. Để làm điều này, chúng ta sẽ chuyển biểu thức ở vế phải của phương trình sang vế trái và thay dấu bằng dấu ngược lại. Kết quả là chúng tôi nhận được: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Bây giờ chúng ta hãy chuyển biểu thức ở vế trái thành đa thức có dạng chuẩn và tạo ra hành động cần thiết với đa thức này:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
Chúng tôi đã tìm cách rút gọn nghiệm của phương trình ban đầu thành nghiệm phương trình bậc hai kiểu x 2 − 5 x − 6 = 0. Phân biệt của phương trình này là dương: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Điều này có nghĩa là sẽ có hai gốc thực sự. Chúng ta hãy tìm chúng bằng cách sử dụng công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 hoặc x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 hoặc x 2 = - 1
Hãy kiểm tra tính đúng đắn của các nghiệm của phương trình mà chúng ta tìm thấy trong quá trình giải. Để làm điều này, chúng tôi thay thế các số chúng tôi nhận được vào phương trình ban đầu: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Và 3 · (- 1 + 1) · (- 1 − 3) = (- 1) · (2 · (- 1) − 1) − 3. Trong trường hợp đầu tiên 63 = 63 , trong giây phút thứ hai 0 = 0 . Rễ x=6 Và x = − 1 thực sự là nghiệm của phương trình đã cho trong điều kiện ví dụ.
Trả lời: 6 , − 1 .
Chúng ta hãy xem "mức độ của toàn bộ phương trình" nghĩa là gì. Chúng ta sẽ thường gặp thuật ngữ này trong trường hợp cần biểu diễn toàn bộ phương trình dưới dạng đại số. Hãy xác định khái niệm.
Định nghĩa 5
Bậc của toàn bộ phương trình- đây là bằng cấp phương trình đại số, tương đương với phương trình số nguyên ban đầu.
Nếu bạn nhìn vào các phương trình từ ví dụ trên, bạn có thể xác định: bậc của toàn bộ phương trình này là bậc hai.
Nếu khóa học của chúng tôi chỉ giới hạn ở việc giải các phương trình bậc hai, thì cuộc thảo luận về chủ đề này có thể kết thúc ở đó. Nhưng nó không đơn giản như vậy. Việc giải các phương trình bậc ba gặp rất nhiều khó khăn. Và đối với các phương trình cao hơn bậc bốn thì không có công thức tổng quát rễ. Về vấn đề này, việc giải toàn bộ phương trình bậc ba, bậc bốn và các bậc khác đòi hỏi chúng ta phải sử dụng một số kỹ thuật và phương pháp khác.
Cách tiếp cận được sử dụng phổ biến nhất để giải toàn bộ phương trình hữu tỉ là dựa trên phương pháp phân tích nhân tử. Thuật toán hành động trong trường hợp này như sau:
- chúng ta di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái sao cho số 0 vẫn ở bên phải của bản ghi;
- Chúng ta biểu diễn biểu thức ở vế trái dưới dạng tích của các thừa số, sau đó chuyển sang một tập hợp một số phương trình đơn giản hơn.
Tìm nghiệm của phương trình (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .
Giải pháp
Chúng ta di chuyển biểu thức từ phía bên phải của bản ghi sang bên trái với dấu ngược lại: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Việc chuyển đổi vế trái sang đa thức ở dạng chuẩn là không phù hợp vì thực tế là điều này sẽ cho chúng ta một phương trình đại số bậc bốn: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Sự dễ dàng chuyển đổi không giải thích được tất cả những khó khăn trong việc giải phương trình như vậy.
Đi theo cách khác sẽ dễ dàng hơn nhiều: hãy lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc x 2 − 10 x + 13 . Vì vậy chúng ta đi đến một phương trình có dạng (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Bây giờ chúng ta thay thế phương trình kết quả bằng một tập hợp hai phương trình bậc hai x 2 − 10 x + 13 = 0 Và x 2 − 2 x − 1 = 0 và tìm ra nguồn gốc của chúng thông qua phân biệt: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Trả lời: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Theo cách tương tự, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giới thiệu một biến mới. Phương pháp này cho phép chúng ta chuyển sang các phương trình tương đương có bậc thấp hơn bậc trong phương trình nguyên ban đầu.
Ví dụ 5
Phương trình có gốc không? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Giải pháp
Nếu bây giờ chúng ta cố gắng quy toàn bộ một phương trình hữu tỉ thành một phương trình đại số, chúng ta sẽ thu được một phương trình bậc 4, không có rễ hợp lý. Do đó, sẽ dễ dàng hơn cho chúng ta đi theo hướng khác: đưa vào một biến y mới, biến này sẽ thay thế biểu thức trong phương trình x 2 + 3 x.
Bây giờ chúng ta sẽ làm việc với toàn bộ phương trình (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Hãy chuyển vế phải của phương trình sang trái với dấu ngược lại và thực hiện những biến đổi cần thiết. Chúng tôi nhận được: y 2 + 4 y + 3 = 0. Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai: y = − 1 Và y = − 3.
Bây giờ hãy thực hiện thay thế ngược lại. Ta được hai phương trình x 2 + 3 x = − 1 Và x 2 + 3 · x = − 3 . Hãy viết lại chúng thành x 2 + 3 x + 1 = 0 và x 2 + 3 x + 3 = 0. Chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình thứ nhất từ những giá trị thu được: - 3 ± 5 2. Phân biệt của phương trình thứ hai là âm. Điều này có nghĩa là phương trình thứ hai không có nghiệm thực.
Trả lời:- 3 ± 5 2
Toàn bộ phương trình độ cao gặp phải trong các nhiệm vụ khá thường xuyên. Không cần phải sợ họ. Bạn cần phải sẵn sàng nộp đơn phương pháp không chuẩn giải pháp của họ, bao gồm một số biến đổi nhân tạo.
Giải phương trình hữu tỉ phân số
Chúng ta sẽ bắt đầu xem xét chủ đề phụ này bằng một thuật toán giải các phương trình hữu tỉ phân số có dạng p (x) q (x) = 0, trong đó p(x) Và q(x)- toàn bộ các biểu thức hợp lý. Giải các phương trình hữu tỉ phân số khác luôn có thể được rút gọn thành giải các phương trình thuộc loại đã chỉ ra.
Phương pháp được sử dụng phổ biến nhất để giải các phương trình p (x) q (x) = 0 dựa trên phát biểu sau: phân số bạn v, Ở đâu v- đây là một số khác 0, chỉ bằng 0 trong những trường hợp tử số của phân số bằng 0. Theo logic của phát biểu trên, chúng ta có thể khẳng định rằng nghiệm của phương trình p (x) q (x) = 0 có thể rút gọn để thỏa mãn hai điều kiện: p(x)=0 Và q(x) ≠ 0. Đây là cơ sở để xây dựng thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số có dạng p(x)q(x) = 0:
- tìm nghiệm của toàn bộ phương trình hữu tỉ p(x)=0;
- chúng tôi kiểm tra xem điều kiện có được thỏa mãn đối với các nghiệm được tìm thấy trong quá trình giải pháp hay không q(x) ≠ 0.
Nếu điều kiện này được đáp ứng thì root đã tìm được. Nếu không, thì root đó không phải là giải pháp cho vấn đề.
Ví dụ 6
Hãy tìm nghiệm của phương trình 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Giải pháp
Chúng ta đang xét một phương trình hữu tỉ phân số có dạng p (x) q (x) = 0, trong đó p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Hãy bắt đầu giải phương trình tuyến tính 3 x − 2 = 0. Căn nguyên của phương trình này sẽ là x = 2 3.
Hãy kiểm tra gốc tìm được xem nó có thỏa mãn điều kiện không 5 x 2 − 2 ≠ 0. Để làm điều này, hãy thay thế giá trị số vào sự biểu đạt. Ta có: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.
Điều kiện được đáp ứng. Điều này có nghĩa là x = 2 3 là nghiệm của phương trình ban đầu.
Trả lời: 2 3 .
Có một cách khác để giải phương trình hữu tỉ phân số p (x) q (x) = 0. Hãy nhớ lại rằng phương trình này tương đương với toàn bộ phương trình p(x)=0 trong khu vực giá trị chấp nhận được biến x của phương trình ban đầu. Điều này cho phép chúng ta sử dụng thuật toán sau để giải các phương trình p (x) q (x) = 0:
- giải phương trình p(x)=0;
- tìm khoảng giá trị cho phép của biến x;
- chúng ta lấy các nghiệm nằm trong khoảng giá trị cho phép của biến x làm các nghiệm mong muốn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.
Giải phương trình x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
Giải pháp
Đầu tiên hãy giải phương trình bậc hai x 2 − 2 x − 11 = 0. Để tính căn của nó, chúng ta sử dụng công thức căn cho hệ số chẵn thứ hai. chúng tôi nhận được D 1 = (- 1) 2 − 1 · (- 11) = 12, và x = 1 ± 2 3 .
Bây giờ chúng ta có thể tìm ODZ của biến x cho phương trình ban đầu. Đây là tất cả những con số mà x 2 + 3 x ≠ 0. Nó giống như x (x + 3) ≠ 0, từ đó x ≠ 0, x ≠ − 3.
Bây giờ hãy kiểm tra xem các nghiệm x = 1 ± 2 3 thu được ở bước giải đầu tiên có nằm trong phạm vi giá trị cho phép của biến x hay không. Chúng tôi thấy họ đang đi vào. Điều này có nghĩa là phương trình hữu tỉ phân số ban đầu có hai nghiệm x = 1 ± 2 3.
Trả lời: x = 1 ± 2 3
Phương pháp giải thứ hai được mô tả dễ dàng hơn lần đầu trong trường hợp dễ dàng tìm thấy phạm vi giá trị cho phép của biến x và nghiệm của phương trình p(x)=0 phi lý. Ví dụ: 7 ± 4 · 26 9. Các nghiệm có thể là số hữu tỷ, nhưng có tử số hoặc mẫu số lớn. Ví dụ, 127 1101 Và − 31 59 . Điều này giúp tiết kiệm thời gian kiểm tra tình trạng q(x) ≠ 0: Việc loại trừ những rễ không phù hợp theo ODZ sẽ dễ dàng hơn nhiều.
Trong trường hợp nghiệm của phương trình p(x)=0 là các số nguyên, sẽ thích hợp hơn khi sử dụng thuật toán đầu tiên được mô tả để giải phương trình dạng p (x) q (x) = 0. Tìm nghiệm nguyên của toàn bộ phương trình nhanh hơn p(x)=0, rồi kiểm tra xem điều kiện có thỏa mãn với chúng không q(x) ≠ 0, thay vì tìm ODZ, rồi giải phương trình p(x)=0 trên ODZ này. Điều này là do thực tế là trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra thường dễ dàng hơn là tìm DZ.
Ví dụ 8
Tìm nghiệm của phương trình (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Giải pháp
Hãy bắt đầu bằng cách nhìn vào toàn bộ phương trình (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 và tìm ra cội nguồn của nó. Để làm được điều này, chúng tôi áp dụng phương pháp giải phương trình thông qua nhân tử hóa. Hóa ra phương trình ban đầu tương đương với một bộ gồm bốn phương trình 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, trong đó có ba phương trình tuyến tính và một là bậc hai. Tìm nghiệm: từ phương trình đầu tiên x = 1 2, từ giây – x=6, từ phần thứ ba – x = 7 , x = − 2 , từ phần thứ tư – x = − 1.
Hãy kiểm tra rễ thu được. Rất khó để chúng ta xác định ODZ trong trường hợp này, vì để làm được điều này, chúng ta sẽ phải giải một phương trình đại số bậc năm. Sẽ dễ dàng hơn để kiểm tra điều kiện theo đó mẫu số của phân số nằm ở vế trái của phương trình không được tiến tới 0.
Hãy lần lượt thay các nghiệm của biến x trong biểu thức x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 và tính giá trị của nó:
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .
Việc xác minh được thực hiện cho phép chúng tôi thiết lập rằng nghiệm của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu là 1 2, 6 và − 2 .
Trả lời: 1 2 , 6 , - 2
Ví dụ 9
Tìm nghiệm của phương trình hữu tỉ phân số 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.
Giải pháp
Hãy bắt đầu làm việc với phương trình (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Hãy tìm ra nguồn gốc của nó. Chúng ta dễ dàng tưởng tượng phương trình này là sự kết hợp của phương trình bậc hai và phương trình tuyến tính 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Và x − 2 = 0.
Chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm. Chúng ta thu được từ phương trình thứ nhất hai nghiệm x = 7 ± 69 10 và từ phương trình thứ hai x = 2.
Sẽ khá khó khăn cho chúng ta khi thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để kiểm tra điều kiện. Việc xác định ODZ của biến x sẽ dễ dàng hơn. Trong trường hợp này, ODZ của biến x là tất cả các số ngoại trừ những số thỏa mãn điều kiện x 2 + 5 x − 14 = 0. Ta có: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
Bây giờ hãy kiểm tra xem các nghiệm mà chúng ta tìm thấy có thuộc phạm vi giá trị cho phép của biến x hay không.
Các nghiệm x = 7 ± 69 10 thuộc về, do đó, chúng là nghiệm của phương trình ban đầu, và x = 2- không thuộc về nên nó là gốc ngoại lai.
Trả lời: x = 7 ± 69 10 .
Chúng ta hãy xem xét riêng các trường hợp khi tử số của phương trình hữu tỉ phân số có dạng p (x) q (x) = 0 chứa một số. Trong những trường hợp như vậy, nếu tử số chứa một số khác 0 thì phương trình sẽ không có nghiệm. Nếu số này bằng 0 thì gốc của phương trình sẽ là bất kỳ số nào từ ODZ.
Ví dụ 10
Giải phương trình hữu tỉ phân số - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
Giải pháp
Phương trình này sẽ không có nghiệm vì tử số của phân số ở vế trái của phương trình chứa một số khác 0. Điều này có nghĩa là không có giá trị nào của x thì giá trị của phân số cho trong câu lệnh bài toán sẽ bằng 0.
Trả lời: không có rễ.
Ví dụ 11
Giải phương trình 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Giải pháp
Vì tử số của phân số chứa 0 nên nghiệm của phương trình sẽ là giá trị x bất kỳ tính từ ODZ của biến x.
Bây giờ hãy xác định ODZ. Nó sẽ bao gồm tất cả các giá trị của x mà x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Giải phương trình x 4 + 5 x 3 = 0 là 0 Và − 5 , vì phương trình này tương đương với phương trình x 3 (x + 5) = 0, và điều này tương đương với sự kết hợp của hai phương trình x 3 = 0 và x + 5 = 0, nơi có thể nhìn thấy những rễ này. Chúng tôi đi đến kết luận rằng phạm vi giá trị chấp nhận được mong muốn là bất kỳ x nào ngoại trừ x = 0 Và x = − 5.
Hóa ra phương trình hữu tỉ phân số 0 x 4 + 5 x 3 = 0 có tập vô hạn nghiệm, là bất kỳ số nào ngoại trừ 0 và - 5.
Trả lời: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Bây giờ hãy nói về phương trình hữu tỉ phân số kiểu tùy ý và phương pháp giải quyết chúng. Chúng có thể được viết là r(x) = s(x), Ở đâu r(x) Và s(x)– biểu thức hữu tỷ và ít nhất một trong số chúng là phân số. Việc giải các phương trình như vậy rút gọn về việc giải các phương trình có dạng p (x) q (x) = 0.
Chúng tôi đã biết những gì chúng tôi có thể nhận được phương trình tương đương khi chuyển một biểu thức từ vế phải của phương trình sang vế trái có dấu ngược lại. Điều này có nghĩa là phương trình r(x) = s(x) tương đương với phương trình r(x) − s(x) = 0. Chúng ta cũng đã thảo luận về cách chuyển một biểu thức hữu tỉ thành một phân số hữu tỉ. Nhờ đó, chúng ta có thể dễ dàng biến đổi phương trình r(x) − s(x) = 0 thành một phân số hữu tỷ giống hệt nhau có dạng p (x) q (x) .
Vì vậy chúng ta chuyển từ phương trình hữu tỉ phân số ban đầu r(x) = s(x)đến một phương trình có dạng p (x) q (x) = 0, mà chúng ta đã học cách giải.
Cần lưu ý rằng khi thực hiện chuyển đổi từ r(x) − s(x) = 0đến p(x)q(x) = 0 và sau đó đến p(x)=0 chúng ta có thể không tính đến việc mở rộng phạm vi giá trị cho phép của biến x.
Rất có thể phương trình ban đầu r(x) = s(x) và phương trình p(x)=0 do sự biến đổi, chúng sẽ không còn tương đương. Khi đó giải phương trình p(x)=0 có thể cho chúng ta những gốc rễ xa lạ r(x) = s(x). Về vấn đề này, trong mỗi trường hợp cần phải tiến hành xác minh bằng bất kỳ phương pháp nào được mô tả ở trên.
Để giúp các bạn nghiên cứu chủ đề dễ dàng hơn, chúng tôi đã tổng hợp tất cả thông tin thành một thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số có dạng r(x) = s(x):
- chúng ta chuyển biểu thức từ vế phải sang dấu ngược lại và lấy số 0 ở bên phải;
- biến đổi biểu thức ban đầu thành phân số hữu tỷ p (x) q (x), thực hiện tuần tự các phép toán với phân số và đa thức;
- giải phương trình p(x)=0;
- Chúng ta xác định các nghiệm ngoại lai bằng cách kiểm tra xem chúng có thuộc ODZ hay bằng cách thay thế vào phương trình ban đầu.
Nhìn trực quan, chuỗi hành động sẽ trông như thế này:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → loại bỏ Rễ BÊN NGOÀI
Ví dụ 12
Giải phương trình hữu tỉ phân số x x + 1 = 1 x + 1 .
Giải pháp
Hãy chuyển sang phương trình x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Hãy biến đổi biểu thức hữu tỉ phân số ở vế trái của phương trình thành dạng p (x) q (x) .
Để làm được điều này chúng ta sẽ phải mang phân số hợp lýĐẾN mẫu số chung và đơn giản hóa biểu thức:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
Để tìm nghiệm của phương trình - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, chúng ta cần giải phương trình − 2 x − 1 = 0. Chúng tôi nhận được một gốc x = - 1 2.
Tất cả những gì chúng ta phải làm là kiểm tra bằng bất kỳ phương pháp nào. Chúng ta hãy nhìn vào cả hai.
Hãy thay thế giá trị kết quả vào phương trình ban đầu. Chúng ta nhận được - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Chúng tôi đã đi đến kết luận đúng sự bình đẳng về số lượng − 1 = − 1 . Điều này có nghĩa là x = − 1 2 là nghiệm của phương trình ban đầu.
Bây giờ hãy kiểm tra qua ODZ. Hãy xác định khoảng giá trị cho phép của biến x. Đây sẽ là toàn bộ tập hợp số, ngoại trừ − 1 và 0 (tại x = − 1 và x = 0, mẫu số của các phân số biến mất). Gốc chúng tôi thu được x = − 1 2 thuộc về ODZ. Điều này có nghĩa là nó là nghiệm của phương trình ban đầu.
Trả lời: − 1 2 .
Ví dụ 13
Tìm nghiệm của phương trình x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.
Giải pháp
Chúng ta đang giải quyết một phương trình hữu tỉ phân số. Vì vậy, chúng tôi sẽ hành động theo thuật toán.
Hãy di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái với dấu ngược lại: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Hãy thực hiện các phép biến đổi cần thiết: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
Chúng ta đi đến phương trình x = 0. Căn nguyên của phương trình này bằng không.
Hãy kiểm tra xem gốc này có ngoại lai với phương trình ban đầu hay không. Thay giá trị vào phương trình ban đầu: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Như bạn có thể thấy, phương trình kết quả không có ý nghĩa gì. Điều này có nghĩa là 0 là một nghiệm ngoại lai và phương trình hữu tỉ phân số ban đầu không có nghiệm.
Trả lời: không có rễ.
Nếu chúng tôi chưa đưa các phép biến đổi tương đương khác vào thuật toán, điều này không có nghĩa là chúng không thể được sử dụng. Thuật toán này có tính phổ biến nhưng được thiết kế để trợ giúp chứ không phải để giới hạn.
Ví dụ 14
Giải phương trình 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Giải pháp
Cách dễ nhất là giải phương trình hữu tỉ phân số đã cho theo thuật toán. Nhưng có một cách khác. Hãy xem xét nó.
Trừ 7 từ vế phải và vế trái, ta được: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức ở mẫu số của vế trái phải bằng số số nghịch đảo từ phía bên phải, tức là 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
Trừ 3 từ cả hai vế: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Bằng cách tương tự, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, từ đó 1 5 - x 2 = 1 3, rồi 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
Chúng ta hãy tiến hành kiểm tra để xác định xem các nghiệm tìm được có phải là nghiệm của phương trình ban đầu hay không.
Trả lời: x = ± 2
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter