Việc chuẩn bị cho bài kiểm tra cuối cùng môn toán bao gồm một phần quan trọng - “Logarit”. Các nhiệm vụ từ chủ đề này nhất thiết phải có trong Kỳ thi Thống nhất. Kinh nghiệm những năm qua cho thấy phương trình logarit đã gây khó khăn cho nhiều học sinh. Vì vậy, học sinh ở các trình độ đào tạo khác nhau phải hiểu cách tìm ra câu trả lời đúng và nhanh chóng giải quyết.
Vượt qua bài kiểm tra chứng chỉ thành công bằng cách sử dụng cổng giáo dục Shkolkovo!
Khi chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất, học sinh tốt nghiệp THPT cần một nguồn đáng tin cậy, cung cấp thông tin đầy đủ và chính xác nhất để giải thành công các bài thi. Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có sẵn sách giáo khoa và việc tìm kiếm các quy tắc, công thức cần thiết trên Internet thường mất thời gian.
Cổng giáo dục Shkolkovo cho phép bạn chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất ở mọi nơi, mọi lúc. Trang web của chúng tôi cung cấp cách tiếp cận thuận tiện nhất để lặp lại và tiếp thu một lượng lớn thông tin về logarit, cũng như một và một số ẩn số. Bắt đầu với các phương trình dễ dàng. Nếu bạn đối phó với chúng mà không gặp khó khăn, hãy chuyển sang những vấn đề phức tạp hơn. Nếu bạn gặp khó khăn khi giải một bất đẳng thức cụ thể, bạn có thể thêm nó vào Mục yêu thích để có thể quay lại sau.
Bạn có thể tìm thấy các công thức cần thiết để hoàn thành nhiệm vụ, lặp lại các trường hợp đặc biệt và phương pháp tính nghiệm của phương trình logarit tiêu chuẩn bằng cách xem phần “Trợ giúp lý thuyết”. Các giáo viên của Shkolkovo đã sưu tầm, hệ thống hóa và trình bày tất cả các tài liệu cần thiết để đậu thành công dưới dạng đơn giản và dễ hiểu nhất.
Để dễ dàng đối phó với các nhiệm vụ có độ phức tạp bất kỳ, trên cổng thông tin của chúng tôi, bạn có thể tự làm quen với cách giải một số phương trình logarit tiêu chuẩn. Để thực hiện việc này, hãy chuyển đến phần “Danh mục”. Chúng tôi có một số lượng lớn các ví dụ, bao gồm các phương trình cấp độ hồ sơ của Kỳ thi Thống nhất cấp bang về toán học.
Học sinh từ các trường học trên khắp nước Nga có thể sử dụng cổng thông tin của chúng tôi. Để bắt đầu lớp học, chỉ cần đăng ký vào hệ thống và bắt đầu giải phương trình. Để củng cố kết quả, chúng tôi khuyên bạn nên quay lại trang web Shkolkovo hàng ngày.
Giải phương trình logarit. Phần 1.
phương trình logarit là một phương trình trong đó ẩn số được chứa dưới dấu của logarit (đặc biệt, trong cơ số của logarit).
Đơn giản nhất phương trình logarit có dạng:
Giải bất kỳ phương trình logarit nào liên quan đến sự chuyển đổi từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit. Tuy nhiên, hành động này sẽ mở rộng phạm vi giá trị cho phép của phương trình và có thể dẫn đến sự xuất hiện của các nghiệm ngoại lai. Để tránh sự xuất hiện của rễ nước ngoài, bạn có thể thực hiện một trong ba cách:
1. Thực hiện chuyển đổi tương đương từ phương trình ban đầu sang hệ gồm
tùy theo mà bất đẳng thức hay đơn giản hơn.
Nếu phương trình chứa ẩn số trong cơ số logarit:
sau đó chúng ta đi đến hệ thống:
2. Tìm riêng phạm vi giá trị chấp nhận được của phương trình, sau đó giải phương trình và kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thỏa mãn phương trình hay không.
3. Giải phương trình và sau đó kiểm tra: thay thế các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu và kiểm tra xem chúng ta có nhận được đẳng thức đúng hay không.
Một phương trình logarit ở bất kỳ mức độ phức tạp nào cuối cùng luôn được rút gọn thành phương trình logarit đơn giản nhất.
Tất cả các phương trình logarit có thể được chia thành bốn loại:
1 . Các phương trình chỉ chứa logarit lũy thừa bậc một. Với sự trợ giúp của các phép biến đổi và cách sử dụng, chúng được đưa về dạng
Ví dụ. Hãy giải phương trình:
Hãy cân bằng các biểu thức dưới dấu logarit:
Hãy kiểm tra xem nghiệm của phương trình có thỏa mãn hay không:
Vâng, nó thỏa mãn.
Đáp án: x=5
2 . Các phương trình chứa logarit lũy thừa khác 1 (đặc biệt ở mẫu số của một phân số). Những phương trình như vậy có thể được giải bằng cách sử dụng giới thiệu một sự thay đổi của biến.
Ví dụ. Hãy giải phương trình:
Hãy tìm phương trình ODZ:
Phương trình chứa logarit bình phương, vì vậy nó có thể được giải bằng cách thay đổi biến.
Quan trọng! Trước khi giới thiệu một phép thay thế, bạn cần “kéo” các logarit là một phần của phương trình thành “các viên gạch”, sử dụng các tính chất của logarit.
Khi “tách rời” logarit, điều quan trọng là phải sử dụng các tính chất của logarit thật cẩn thận:
Ngoài ra, ở đây còn có một điểm tinh tế hơn, để tránh một lỗi thường gặp, chúng ta sẽ sử dụng đẳng thức trung gian: chúng ta sẽ viết bậc của logarit dưới dạng:
Tương tự như vậy,
Hãy thay thế các biểu thức kết quả vào phương trình ban đầu. Chúng tôi nhận được:
Bây giờ chúng ta thấy rằng ẩn số được chứa trong phương trình như một phần của . Hãy giới thiệu sự thay thế: . Vì nó có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào nên chúng ta không áp đặt bất kỳ hạn chế nào lên biến.
Tất cả chúng ta đều quen thuộc với các phương trình từ trường tiểu học. Ở đó, chúng tôi cũng học cách giải những ví dụ đơn giản nhất và chúng tôi phải thừa nhận rằng chúng có ứng dụng ngay cả trong toán học cao hơn. Mọi thứ đều đơn giản với các phương trình, bao gồm cả phương trình bậc hai. Nếu bạn gặp khó khăn với chủ đề này, chúng tôi khuyên bạn nên xem lại nó.
Có lẽ bạn cũng đã từng học logarit. Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng điều quan trọng là phải nói rõ nó là gì cho những người chưa biết. Logarit tương đương với lũy thừa mà cơ số phải được nâng lên để thu được số ở bên phải dấu logarit. Hãy đưa ra một ví dụ dựa vào đó mọi thứ sẽ trở nên rõ ràng với bạn.
Nếu bạn tăng 3 lên lũy thừa bốn, bạn sẽ nhận được 81. Bây giờ thay thế các số bằng cách tương tự, và cuối cùng bạn sẽ hiểu cách giải logarit. Bây giờ tất cả những gì còn lại là kết hợp hai khái niệm đã thảo luận. Ban đầu, tình hình có vẻ vô cùng phức tạp, nhưng khi xem xét kỹ hơn, sức nặng đã rơi vào đúng vị trí. Chúng tôi chắc chắn rằng sau bài viết ngắn này, bạn sẽ không gặp vấn đề gì trong phần này của Kỳ thi Thống nhất.
Ngày nay có nhiều cách để giải các cấu trúc như vậy. Chúng tôi sẽ cho bạn biết về cách đơn giản nhất, hiệu quả nhất và có thể áp dụng nhất trong trường hợp thực hiện các nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Việc giải phương trình logarit nên bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất. Các phương trình logarit đơn giản nhất bao gồm một hàm và một biến trong đó.
Điều quan trọng cần lưu ý là x nằm trong đối số. A và b phải là số. Trong trường hợp này, bạn có thể chỉ cần biểu diễn hàm theo lũy thừa của số. Nó trông như thế này.
Tất nhiên, việc giải phương trình logarit bằng phương pháp này sẽ đưa bạn đến câu trả lời đúng. Vấn đề của đại đa số học sinh trong trường hợp này là các em không hiểu cái gì đến từ đâu. Kết quả là bạn phải mắc lỗi và không đạt được số điểm mong muốn. Sai lầm khó chịu nhất sẽ là nếu bạn trộn lẫn các chữ cái. Để giải phương trình theo cách này, bạn cần phải thuộc lòng công thức học chuẩn này vì nó rất khó hiểu.
Để dễ dàng hơn, bạn có thể sử dụng một phương pháp khác - hình thức kinh điển. Ý tưởng này cực kỳ đơn giản. Chuyển sự chú ý của bạn trở lại vấn đề. Hãy nhớ rằng chữ a là một số, không phải hàm hay biến. A không bằng một và lớn hơn 0. Không có hạn chế nào đối với b. Bây giờ, trong tất cả các công thức, chúng ta hãy nhớ một công thức. B có thể được biểu diễn như sau.
Từ đó, tất cả các phương trình ban đầu có logarit có thể được biểu diễn dưới dạng:
Bây giờ chúng ta có thể bỏ logarit. Kết quả là một thiết kế đơn giản mà chúng ta đã thấy trước đó.
Sự tiện lợi của công thức này nằm ở chỗ nó có thể được sử dụng trong nhiều trường hợp khác nhau chứ không chỉ cho những thiết kế đơn giản nhất.
Đừng lo lắng về OOF!
Nhiều nhà toán học có kinh nghiệm sẽ nhận thấy rằng chúng ta chưa chú ý đến lĩnh vực định nghĩa. Quy tắc tóm lại là F(x) nhất thiết phải lớn hơn 0. Không, chúng ta đã không bỏ sót điểm này. Bây giờ chúng ta đang nói về một lợi thế quan trọng khác của hình thức kinh điển.
Sẽ không có rễ phụ ở đây. Nếu một biến chỉ xuất hiện ở một nơi thì không cần thiết phải có phạm vi. Nó được thực hiện tự động. Để xác minh nhận định này, hãy thử giải một số ví dụ đơn giản.
Cách giải phương trình logarit với các cơ số khác nhau
Đây vốn là những phương trình logarit phức tạp và cách tiếp cận để giải chúng phải đặc biệt. Ở đây hiếm khi có thể giới hạn bản thân ở hình thức kinh điển khét tiếng. Hãy bắt đầu câu chuyện chi tiết của chúng tôi. Chúng ta có cách xây dựng sau đây.
Hãy chú ý đến phân số. Nó chứa logarit. Nếu bạn thấy điều này trong một nhiệm vụ thì bạn nên nhớ một thủ thuật thú vị.
Nó có nghĩa là gì? Mỗi logarit có thể được biểu diễn dưới dạng thương số của hai logarit với cơ số thuận tiện. Và công thức này có trường hợp đặc biệt có thể áp dụng với ví dụ này (ý chúng tôi là nếu c=b).
Đây chính xác là phân số chúng ta thấy trong ví dụ của mình. Như vậy.
Về cơ bản, chúng ta đã đảo ngược phân số và có được biểu thức thuận tiện hơn. Hãy nhớ thuật toán này!
Bây giờ điều cần thiết là phương trình logarit không chứa các cơ số khác nhau. Hãy biểu diễn cơ số dưới dạng phân số.
Trong toán học có một quy tắc mà dựa vào đó bạn có thể rút ra được một mức độ từ một cơ số. Kết quả thi công sau đây.
Có vẻ như điều gì đang ngăn cản chúng ta chuyển biểu thức của mình sang dạng chuẩn và giải quyết nó một cách đơn giản? Nó không đơn giản như vậy. Không được có phân số trước logarit. Hãy khắc phục tình trạng này! Phân số được phép sử dụng làm độ.
Tương ứng.
Nếu các cơ số giống nhau, chúng ta có thể loại bỏ logarit và tự đánh đồng các biểu thức. Bằng cách này, tình hình sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều so với trước đây. Những gì còn lại là một phương trình cơ bản mà mỗi chúng ta đều biết cách giải từ năm lớp 8, thậm chí là lớp 7. Bạn có thể tự mình thực hiện các phép tính.
Chúng ta đã thu được nghiệm thực sự duy nhất của phương trình logarit này. Ví dụ về giải phương trình logarit khá đơn giản phải không? Giờ đây, bạn sẽ có thể tự mình giải quyết ngay cả những nhiệm vụ phức tạp nhất để chuẩn bị và vượt qua Kỳ thi Thống nhất.
Kết quả là gì?
Trong trường hợp của bất kỳ phương trình logarit nào, chúng ta tiến hành từ một quy tắc rất quan trọng. Cần phải hành động theo cách giảm biểu thức xuống dạng đơn giản nhất có thể. Trong trường hợp này, bạn sẽ có cơ hội tốt hơn để không chỉ giải quyết nhiệm vụ một cách chính xác mà còn thực hiện nó theo cách đơn giản và hợp lý nhất có thể. Đây chính xác là cách các nhà toán học luôn làm việc.
Chúng tôi đặc biệt khuyên bạn không nên tìm những con đường khó, đặc biệt trong trường hợp này. Hãy nhớ một vài quy tắc đơn giản sẽ cho phép bạn chuyển đổi bất kỳ biểu thức nào. Ví dụ: giảm hai hoặc ba logarit về cùng một cơ số hoặc rút ra lũy thừa từ cơ số và giành chiến thắng về điều này.
Cũng cần nhớ rằng việc giải phương trình logarit đòi hỏi phải thực hành liên tục. Dần dần, bạn sẽ chuyển sang các cấu trúc ngày càng phức tạp hơn và điều này sẽ giúp bạn tự tin giải quyết tất cả các biến thể của bài thi trong Kỳ thi Thống nhất. Chuẩn bị tốt trước cho kỳ thi của bạn và chúc may mắn!
đại số lớp 11
Đề tài: “Phương pháp giải phương trình logarit”
Mục tiêu bài học:
giáo dục: phát triển kiến thức về các cách giải phương trình logarit, khả năng áp dụng chúng trong từng tình huống cụ thể và lựa chọn phương pháp giải;
đang phát triển: phát triển kỹ năng quan sát, so sánh, vận dụng kiến thức vào tình huống mới, nhận biết khuôn mẫu, khái quát hóa; phát triển kỹ năng kiểm soát lẫn nhau và tự chủ;
giáo dục: bồi dưỡng thái độ có trách nhiệm trong công tác giáo dục, nhận thức sâu sắc nội dung bài học, ghi chép cẩn thận.
Loại bài học : bài học giới thiệu bài mới.
“Việc phát minh ra logarit, vừa làm giảm bớt công việc của nhà thiên văn học, vừa kéo dài tuổi thọ của ông.”
Nhà toán học và thiên văn học người Pháp P.S. Laplace
Tiến độ bài học
I. Xác định mục tiêu bài học
Định nghĩa logarit đã nghiên cứu, tính chất của logarit và hàm logarit sẽ cho phép chúng ta giải các phương trình logarit. Tất cả các phương trình logarit, dù phức tạp đến đâu, đều được giải bằng các thuật toán thống nhất. Chúng ta sẽ xem xét các thuật toán này trong bài học hôm nay. Không có nhiều trong số họ. Nếu bạn thành thạo chúng, thì bất kỳ phương trình nào có logarit sẽ khả thi đối với mỗi bạn.
Viết chủ đề bài học vào vở: “Các phương pháp giải phương trình logarit”. Tôi mời mọi người hợp tác.
II. Cập nhật kiến thức tham khảo
Hãy chuẩn bị nghiên cứu chủ đề của bài học. Bạn giải từng nhiệm vụ và viết ra câu trả lời; bạn không cần phải viết điều kiện. Làm việc theo cặp.
1) Với giá trị nào của x thì hàm có ý nghĩa:
MỘT)
b)
V)
d)
(Câu trả lời được kiểm tra cho từng slide và các lỗi được sắp xếp)
2) Đồ thị của hàm số có trùng nhau không?
a) y = x và
b)Và
3) Viết lại các đẳng thức dưới dạng logarit:
4) Viết các số dưới dạng logarit cơ số 2:
4 =
2 =
0,5 =
1 =
5) Tính toán :
6) Hãy cố gắng khôi phục hoặc bổ sung những yếu tố còn thiếu trong các đẳng thức này.
III. Giới thiệu tài liệu mới
Tuyên bố sau đây được hiển thị trên màn hình:
“Phương trình là chiếc chìa khóa vàng mở ra mọi bí mật toán học.”
Nhà toán học Ba Lan hiện đại S. Kowal
Cố gắng xây dựng định nghĩa của phương trình logarit. (Phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit ).
Hãy xem xétphương trình logarit đơn giản nhất: nhật ký MỘT x = b (trong đó a>0, a ≠ 1). Vì hàm logarit tăng (hoặc giảm) trên tập hợp số dương và nhận tất cả các giá trị thực, nên theo định lý nghiệm, nó tuân theo rằng với mọi b phương trình này có và chỉ một nghiệm và một dương.
Nhắc lại định nghĩa logarit. (Logarit của một số x cơ số a là biểu thị lũy thừa mà cơ số a phải tăng lên để thu được số x ). Từ định nghĩa của logarit, ngay lập tức suy ra rằngMỘT V. là một giải pháp như vậy.
Viết tiêu đề:Các phương pháp giải phương trình logarit
1. Theo định nghĩa logarit .
Đây là cách giải các phương trình đơn giản nhất.
Hãy xem xétSố 514(a)
): Giải phương trình
Bạn đề xuất cách giải quyết nó như thế nào? (Theo định nghĩa logarit )
Giải pháp
.
, Do đó 2x – 4 = 4; x = 4.
Trả lời: 4.
Trong nhiệm vụ này 2x – 4 > 0, vì> 0, do đó không có nghiệm ngoại lai nào có thể xuất hiện, vàkhông cần kiểm tra . Không cần thiết phải viết ra điều kiện 2x – 4 > 0 trong bài tập này.
2. Hiệu lực (chuyển từ logarit của một biểu thức đã cho sang chính biểu thức này).
Hãy xem xétSố 519(g): nhật ký 5 ( x 2 +8)- nhật ký 5 ( x+1)=3 nhật ký 5 2
Bạn nhận thấy tính năng gì?(Các cơ số giống nhau và logarit của hai biểu thức bằng nhau) . Có thể làm gì?(Tăng cường).
Cần lưu ý rằng mọi nghiệm đều nằm trong số tất cả x mà biểu thức logarit của nó là dương.
Giải pháp: ODZ:
X 2 +8>0 sự bất bình đẳng không cần thiết
nhật ký 5 ( x 2 +8) = nhật ký 5 2 3 + nhật ký 5 ( x+1)
nhật ký 5 ( x 2 +8)= nhật ký 5 (8 x+8)
Hãy khai triển phương trình ban đầu
x 2 +8= 8 x+8
chúng ta có được phương trìnhx 2 +8= 8 x+8
Hãy giải quyết nó:x 2 -8 x=0
x=0, x=8
Trả lời: 0; 8
Nói chungchuyển sang hệ thống tương đương :
phương trình
(Hệ có chứa điều kiện dư - một trong các bất đẳng thức không cần xét).
Câu hỏi dành cho lớp : Bạn thích giải pháp nào nhất trong ba giải pháp này? (Thảo luận về các phương pháp).
Bạn có quyền quyết định bằng mọi cách.
3. Giới thiệu biến mới .
Hãy xem xétSố 520(g) . .
Bạn đã nhận thấy điều gì? (Đây là phương trình bậc hai đối với log3x) Đề xuất của bạn là gì? (Giới thiệu một biến mới)
Giải pháp . ODZ: x > 0.
Cho phép, thì phương trình sẽ có dạng:
. Phân biệt D > 0. Nghiệm theo định lý Vieta:
.
Hãy quay trở lại việc thay thế:hoặc.
Giải các phương trình logarit đơn giản nhất, ta được:
; .
Trả lời : 27;
4. Logarit cả hai vế của phương trình.
Giải phương trình:
.
Giải pháp : ODZ: x>0, lấy logarit hai vế của phương trình theo cơ số 10:
. Hãy áp dụng tính chất logarit của lũy thừa:
(lgx + 3) lgx =
(logx + 3) logx = 4
Cho logx = y thì (y + 3)y = 4
, (D > 0) nghiệm theo định lý Vieta: y1 = -4 và y2 = 1.
Trở lại phép thay, ta được: lgx = -4,
; logx = 1,
.
.
Nó như sau:
nếu một trong các hàm
y = f(x)
tăng lên, còn cái kia
y = g(x)
giảm trên khoảng X thì phương trình
f(x)= g(x)
có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng X
.
Nếu có gốc thì có thể đoán được. .
Trả lời : 2
“Việc áp dụng đúng đắn các phương pháp có thể học được bằng cách
chỉ bằng cách áp dụng chúng vào nhiều ví dụ khác nhau.”
Nhà sử học toán học người Đan Mạch G. G. Zeiten
TÔI V. Bài tập về nhà
P. 39 Xét ví dụ 3, giải câu 514(b), câu 529(b), câu 520(b), câu 523(b)
V. Tóm tắt bài học
Chúng ta đã xem xét những phương pháp giải phương trình logarit nào trên lớp?
Trong các bài học tiếp theo chúng ta sẽ xem xét các phương trình phức tạp hơn. Để giải quyết chúng, các phương pháp nghiên cứu sẽ hữu ích.
Slide cuối cùng được hiển thị:
“Cái gì hơn bất cứ thứ gì trên thế giới?
Không gian.
Điều khôn ngoan nhất là gì?
Thời gian.
Phần tốt nhất là gì?
Đạt được những gì bạn mong muốn."
Thales
Chúc mọi người đạt được điều mình mong muốn. Cảm ơn sự hợp tác và hiểu biết của bạn.
Hôm nay chúng ta sẽ học cách giải các phương trình logarit đơn giản nhất, trong đó không cần các phép biến đổi sơ bộ hoặc chọn nghiệm. Nhưng nếu bạn học cách giải các phương trình như vậy thì sẽ dễ dàng hơn nhiều.
Phương trình logarit đơn giản nhất là phương trình có dạng log a f(x) = b, trong đó a, b là các số (a > 0, a ≠ 1), f(x) là một hàm số nào đó.
Một đặc điểm khác biệt của tất cả các phương trình logarit là sự xuất hiện của biến x dưới dấu logarit. Nếu đây là phương trình ban đầu được đưa ra trong bài toán thì nó được gọi là phương trình đơn giản nhất. Bất kỳ phương trình logarit nào khác đều được rút gọn thành đơn giản nhất bằng các phép biến đổi đặc biệt (xem “Các tính chất cơ bản của logarit”). Tuy nhiên, cần phải tính đến nhiều điểm tinh tế: các nghiệm phụ có thể xuất hiện, do đó các phương trình logarit phức tạp sẽ được xem xét riêng.
Làm thế nào để giải các phương trình như vậy? Chỉ cần thay số ở bên phải dấu bằng bằng logarit có cùng cơ số với bên trái là đủ. Sau đó, bạn có thể loại bỏ dấu logarit. Chúng tôi nhận được:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Chúng tôi đã có phương trình thông thường. Gốc của nó là nghiệm của phương trình ban đầu.
Lấy bằng cấp
Thông thường, các phương trình logarit, bề ngoài có vẻ phức tạp và đáng sợ, lại được giải chỉ trong vài dòng mà không cần đến các công thức phức tạp. Hôm nay chúng ta sẽ xem xét những vấn đề như vậy, trong đó tất cả những gì bạn yêu cầu là cẩn thận chuyển công thức về dạng chính tắc và không bị nhầm lẫn khi tìm kiếm miền định nghĩa logarit.
Hôm nay, như bạn có thể đoán từ tiêu đề, chúng ta sẽ giải các phương trình logarit bằng cách sử dụng các công thức chuyển sang dạng chính tắc. “Thủ thuật” chính của bài học video này sẽ là làm việc với độ, hay nói đúng hơn là suy ra độ từ cơ sở và lập luận. Chúng ta hãy nhìn vào quy tắc:
Tương tự, bạn có thể lấy được độ từ cơ số:
Như chúng ta có thể thấy, nếu khi loại bỏ độ khỏi đối số của logarit, chúng ta chỉ có một thừa số bổ sung ở phía trước, thì khi loại bỏ độ khỏi cơ số, chúng ta không chỉ nhận được một thừa số mà còn là một thừa số nghịch đảo. Điều này cần phải được ghi nhớ.
Cuối cùng, điều thú vị nhất. Những công thức này có thể được kết hợp, sau đó chúng ta nhận được:
Tất nhiên, khi thực hiện những chuyển đổi này, có những cạm bẫy nhất định liên quan đến khả năng mở rộng phạm vi định nghĩa hoặc ngược lại, thu hẹp phạm vi định nghĩa. Thẩm phán cho chính mình:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Nếu trong trường hợp đầu tiên x có thể là bất kỳ số nào khác 0, tức là yêu cầu x ≠ 0, thì trong trường hợp thứ hai, chúng ta chỉ hài lòng với x, x không những không bằng mà còn lớn hơn 0, bởi vì tập xác định của định nghĩa của logarit là đối số hoàn toàn lớn hơn 0. Vì vậy, tôi sẽ nhắc bạn về một công thức tuyệt vời trong môn đại số lớp 8-9:
Nghĩa là, chúng ta phải viết công thức của mình như sau:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Khi đó sẽ không xảy ra việc thu hẹp phạm vi định nghĩa.
Tuy nhiên, trong video hướng dẫn hôm nay sẽ không có hình vuông. Nếu nhìn vào nhiệm vụ của chúng tôi, bạn sẽ chỉ thấy cội nguồn. Vì vậy, chúng ta sẽ không áp dụng quy tắc này nhưng các bạn vẫn cần ghi nhớ để đến đúng thời điểm khi nhìn thấy hàm bậc hai trong một đối số hoặc cơ số của logarit, các bạn sẽ ghi nhớ quy tắc này và thực hiện tất cả các phép tính. các phép biến đổi một cách chính xác.
Vậy phương trình đầu tiên là:
Để giải quyết vấn đề này, tôi đề nghị xem xét cẩn thận từng thuật ngữ có trong công thức.
Hãy viết lại số hạng đầu tiên dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Chúng ta xét số hạng thứ hai: log 3 (1 − x). Không cần phải làm gì ở đây, mọi thứ đã được chuyển hóa ở đây.
Cuối cùng, 0, 5. Như tôi đã nói trong các bài học trước, khi giải các phương trình và công thức logarit, tôi thực sự khuyên bạn nên chuyển từ phân số thập phân sang phân số thông thường. Hãy làm điều này:
0,5 = 5/10 = 1/2
Hãy viết lại công thức ban đầu của chúng ta có tính đến các số hạng thu được:
log 3 (1 − x ) = 1
Bây giờ hãy chuyển sang dạng kinh điển:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Chúng ta loại bỏ dấu logarit bằng cách đánh đồng các đối số:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
Thế là xong, chúng ta đã giải được phương trình. Tuy nhiên, chúng ta vẫn hãy chơi an toàn và tìm ra miền định nghĩa. Để làm điều này, chúng ta hãy quay lại công thức ban đầu và xem:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Căn nghiệm x = −2 của chúng ta thỏa mãn yêu cầu này, do đó x = −2 là nghiệm của phương trình ban đầu. Bây giờ chúng tôi đã nhận được một lời biện minh rõ ràng, chặt chẽ. Thế là xong, vấn đề đã được giải quyết.
Hãy chuyển sang nhiệm vụ thứ hai:
Chúng ta hãy xem xét từng thuật ngữ riêng biệt.
Hãy viết ra cái đầu tiên:
Chúng tôi đã chuyển đổi thuật ngữ đầu tiên. Chúng tôi làm việc với thuật ngữ thứ hai:
Cuối cùng, số hạng cuối cùng nằm bên phải dấu bằng:
Chúng tôi thay thế các biểu thức kết quả thay vì các thuật ngữ trong công thức kết quả:
log 3 x = 1
Hãy chuyển sang dạng kinh điển:
log 3 x = log 3 3
Chúng ta loại bỏ dấu logarit, đánh đồng các đối số và chúng ta nhận được:
x = 3
Một lần nữa, để đảm bảo an toàn, chúng ta hãy quay lại phương trình ban đầu và xem xét. Trong công thức ban đầu, biến x chỉ xuất hiện trong đối số, do đó,
x > 0
Trong logarit thứ hai, x nằm dưới căn thức, nhưng một lần nữa trong đối số, do đó, căn thức phải lớn hơn 0, tức là biểu thức căn thức phải lớn hơn 0. Chúng ta xét nghiệm x = 3. Rõ ràng, nó đáp ứng yêu cầu này. Do đó, x = 3 là nghiệm của phương trình logarit ban đầu. Thế là xong, vấn đề đã được giải quyết.
Có hai điểm chính trong video hướng dẫn ngày hôm nay:
1) đừng ngại biến đổi logarit và đặc biệt, đừng ngại lấy lũy thừa ra khỏi dấu của logarit, đồng thời ghi nhớ công thức cơ bản của chúng ta: khi loại bỏ lũy thừa khỏi một đối số, nó chỉ đơn giản được lấy ra mà không thay đổi như một hệ số nhân, và khi lấy một lũy thừa ra khỏi cơ sở, lũy thừa này sẽ bị đảo ngược.
2) điểm thứ hai liên quan đến chính hình thức kinh điển. Chúng tôi đã thực hiện chuyển đổi sang dạng chính tắc ở cuối quá trình biến đổi công thức phương trình logarit. Hãy để tôi nhắc bạn về công thức sau:
a = log b b a
Tất nhiên, theo biểu thức “bất kỳ số b”, ý tôi là những số thỏa mãn các yêu cầu đặt ra trên cơ sở logarit, tức là
1 ≠ b > 0
Đối với b như vậy, và vì chúng ta đã biết cơ sở nên yêu cầu này sẽ được thực hiện tự động. Nhưng đối với b như vậy - bất kỳ giá trị nào thỏa mãn yêu cầu này - quá trình chuyển đổi này có thể được thực hiện và chúng ta sẽ có được dạng chính tắc trong đó chúng ta có thể loại bỏ dấu của logarit.
Mở rộng miền định nghĩa và các gốc bổ sung
Trong quá trình biến đổi các phương trình logarit, có thể xảy ra sự mở rộng tiềm ẩn của miền định nghĩa. Thường thì học sinh thậm chí không nhận thấy điều này, dẫn đến sai sót và trả lời sai.
Hãy bắt đầu với những thiết kế đơn giản nhất. Phương trình logarit đơn giản nhất như sau:
log a f(x) = b
Lưu ý rằng x chỉ xuất hiện trong một đối số của một logarit. Làm thế nào để chúng ta giải các phương trình như vậy? Chúng tôi sử dụng hình thức kinh điển. Để làm điều này, hãy tưởng tượng số b = log a a b và phương trình của chúng ta sẽ được viết lại như sau:
log a f (x) = log a a b
Mục này được gọi là hình thức kinh điển. Vì lý do này, bạn nên rút gọn bất kỳ phương trình logarit nào mà bạn sẽ gặp không chỉ trong bài học hôm nay mà còn trong bất kỳ bài kiểm tra và độc lập nào.
Làm thế nào để có được hình thức kinh điển và sử dụng những kỹ thuật nào là vấn đề thực hành. Điều chính cần hiểu là ngay khi bạn nhận được một bản ghi như vậy, bạn có thể coi vấn đề đã được giải quyết. Bởi vì bước tiếp theo là viết:
f(x) = ab
Nói cách khác, chúng ta loại bỏ dấu logarit và chỉ đơn giản là đánh đồng các đối số.
Tại sao lại nói chuyện này? Thực tế là dạng chính tắc không chỉ được áp dụng cho những vấn đề đơn giản nhất mà còn cho bất kỳ vấn đề nào khác. Đặc biệt, những điều mà chúng tôi sẽ quyết định ngày hôm nay. Hãy xem.
Nhiệm vụ đầu tiên:
Vấn đề với phương trình này là gì? Thực tế là hàm này có hai logarit cùng một lúc. Vấn đề có thể được giảm xuống mức đơn giản nhất bằng cách trừ một logarit cho một logarit khác. Nhưng có vấn đề nảy sinh với vùng xác định: các nghiệm phụ có thể xuất hiện. Vì vậy, hãy di chuyển một trong các logarit sang bên phải:
Mục này giống với dạng chuẩn hơn nhiều. Nhưng còn một sắc thái nữa: ở dạng kinh điển, các lập luận phải giống nhau. Và ở bên trái chúng ta có logarit theo cơ số 3, và ở bên phải là cơ số 1/3. Anh ta biết rằng những căn cứ này cần phải được đưa về cùng một số lượng. Ví dụ: chúng ta hãy nhớ sức mạnh tiêu cực là gì:
Và sau đó chúng ta sẽ sử dụng số mũ “−1” bên ngoài nhật ký làm hệ số nhân:
Xin lưu ý: độ ở cơ sở được lật lại và biến thành phân số. Chúng ta có được một ký hiệu gần như chuẩn mực bằng cách loại bỏ các cơ số khác nhau, nhưng đổi lại chúng ta có thừa số “−1” ở bên phải. Hãy đưa yếu tố này vào lập luận bằng cách biến nó thành lũy thừa:
Tất nhiên, sau khi nhận được dạng kinh điển, chúng ta mạnh dạn gạch bỏ dấu logarit và đánh đồng các đối số. Đồng thời, hãy để tôi nhắc bạn rằng khi nâng lên lũy thừa “−1”, phân số chỉ được lật lại - thu được một tỷ lệ.
Hãy sử dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ và nhân nó theo chiều ngang:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Chúng ta có trước phương trình bậc hai ở trên nên chúng ta giải nó bằng công thức của Vieta:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
Thế thôi. Bạn có nghĩ rằng phương trình đã được giải quyết? KHÔNG! Đối với giải pháp như vậy, chúng ta sẽ nhận được 0 điểm, vì phương trình ban đầu chứa hai logarit với biến x. Vì vậy, cần phải tính đến lĩnh vực định nghĩa.
Và đây là nơi niềm vui bắt đầu. Hầu hết học sinh đều bối rối: phạm vi định nghĩa của logarit là gì? Tất nhiên, tất cả các đối số (chúng ta có hai) phải lớn hơn 0:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Mỗi bất đẳng thức này phải được giải, đánh dấu trên một đường thẳng, cắt nhau và chỉ khi đó mới thấy nghiệm nào nằm ở giao điểm.
Tôi thành thật mà nói: kỹ thuật này có quyền tồn tại, nó đáng tin cậy và bạn sẽ nhận được câu trả lời chính xác, nhưng có quá nhiều bước không cần thiết trong đó. Vì vậy, hãy xem lại giải pháp của chúng ta và xem: chính xác thì chúng ta cần áp dụng phạm vi ở đâu? Nói cách khác, bạn cần hiểu rõ khi nào chính xác các rễ phụ xuất hiện.
- Ban đầu chúng ta có hai logarit. Sau đó, chúng tôi di chuyển một trong số chúng sang bên phải, nhưng điều này không ảnh hưởng đến vùng định nghĩa.
- Sau đó, chúng ta loại bỏ lũy thừa khỏi cơ số, nhưng vẫn còn hai logarit và trong mỗi logarit có một biến x.
- Cuối cùng, chúng ta gạch bỏ các dấu của log và thu được phương trình hữu tỉ phân số cổ điển.
Ở bước cuối cùng, phạm vi định nghĩa được mở rộng! Ngay khi chúng ta chuyển sang phương trình hữu tỉ phân số, loại bỏ dấu logarit, các yêu cầu đối với biến x đã thay đổi đáng kể!
Do đó, miền định nghĩa có thể được xem xét không phải ngay từ đầu lời giải mà chỉ ở bước đã đề cập - trước khi trực tiếp đánh đồng các đối số.
Đây là nơi có cơ hội tối ưu hóa. Một mặt, chúng ta được yêu cầu cả hai đối số đều lớn hơn 0. Mặt khác, chúng tôi tiếp tục đánh đồng những lập luận này. Do đó, nếu ít nhất một trong số chúng dương thì cái thứ hai cũng sẽ dương!
Vì vậy, hóa ra việc yêu cầu hai bất đẳng thức được thỏa mãn cùng một lúc là quá mức cần thiết. Chỉ cần xem xét một trong những phân số này là đủ. Chính xác thì cái nào? Một trong đó đơn giản hơn. Ví dụ: chúng ta hãy nhìn vào phân số bên phải:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Đây là một bất đẳng thức hữu tỉ phân số điển hình; chúng ta giải nó bằng phương pháp khoảng:
Làm thế nào để đặt các dấu hiệu? Hãy lấy một số rõ ràng là lớn hơn tất cả các nghiệm của chúng ta. Ví dụ: 1 tỷ Và chúng tôi thay thế phân số của nó. Chúng tôi nhận được một số dương, tức là bên phải gốc x = 5 sẽ có dấu cộng.
Sau đó, các dấu hiệu thay thế nhau, bởi vì không có gốc rễ của sự đa dạng ở bất cứ đâu. Chúng ta quan tâm đến các khoảng trong đó hàm số dương. Do đó, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Bây giờ chúng ta hãy nhớ câu trả lời: x = 8 và x = 2. Nói đúng ra, đây chưa phải là câu trả lời mà chỉ là những ứng cử viên cho câu trả lời. Cái nào thuộc về tập hợp được chỉ định? Tất nhiên, x = 8. Nhưng x = 2 không phù hợp với chúng ta về mặt định nghĩa.
Tổng cộng, câu trả lời cho phương trình logarit đầu tiên sẽ là x = 8. Bây giờ chúng ta có một lời giải có cơ sở, có căn cứ, có tính đến miền định nghĩa.
Hãy chuyển sang phương trình thứ hai:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Hãy để tôi nhắc bạn rằng nếu có một phần thập phân trong phương trình, thì bạn nên loại bỏ nó. Nói cách khác, hãy viết lại 0,5 dưới dạng phân số phổ biến. Chúng tôi nhận thấy ngay rằng logarit chứa cơ số này có thể được tính dễ dàng:
Đây là một thời điểm rất quan trọng! Khi có độ ở cả cơ sở và lập luận, chúng ta có thể rút ra các chỉ số của các độ này bằng công thức:
Hãy quay lại phương trình logarit ban đầu của chúng ta và viết lại:
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Chúng tôi đã có được một thiết kế khá gần với dạng chuẩn. Tuy nhiên, chúng ta bị nhầm lẫn bởi các số hạng và dấu trừ ở bên phải dấu bằng. Hãy biểu diễn một số dưới dạng logarit cơ số 5:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Trừ các logarit ở bên phải (trong trường hợp này các đối số của chúng được chia):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Tuyệt vời. Vậy là chúng ta đã có được dạng chuẩn! Chúng tôi gạch bỏ các dấu hiệu nhật ký và đánh đồng các đối số:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Đây là một tỷ lệ có thể dễ dàng giải được bằng cách nhân chéo:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Rõ ràng, chúng ta có một phương trình bậc hai rút gọn. Có thể giải dễ dàng bằng công thức của Vieta:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Chúng tôi có hai gốc. Nhưng đây không phải là câu trả lời cuối cùng mà chỉ là những ứng cử viên, bởi vì phương trình logarit cũng yêu cầu kiểm tra miền định nghĩa.
Tôi nhắc bạn: không cần phải tìm kiếm khi nào mọi của các đối số sẽ lớn hơn 0. Chỉ cần yêu cầu một đối số—x − 9 hoặc 5/(x − 5)—lớn hơn 0 là đủ. Hãy xem xét đối số đầu tiên:
x − 9 > 0
x > 9
Hiển nhiên chỉ có x = 10 thỏa mãn yêu cầu này. Toàn bộ vấn đề được giải quyết.
Một lần nữa, những ý chính của bài học hôm nay:
- Ngay khi biến x xuất hiện trong một số logarit, phương trình không còn là cơ bản và miền định nghĩa của nó phải được tính toán. Nếu không, bạn có thể dễ dàng viết thêm gốc vào câu trả lời.
- Làm việc với chính miền có thể được đơn giản hóa đáng kể nếu chúng ta viết ra bất đẳng thức không phải ngay lập tức mà chính xác vào thời điểm chúng ta loại bỏ các dấu logarit. Rốt cuộc, khi các đối số được đánh đồng với nhau, chỉ cần một trong số chúng lớn hơn 0 là đủ.
Tất nhiên, bản thân chúng ta chọn lập luận nào để sử dụng để hình thành bất đẳng thức, vì vậy việc chọn lập luận đơn giản nhất là hợp lý. Ví dụ: trong phương trình thứ hai, chúng ta đã chọn đối số (x − 9), một hàm tuyến tính, trái ngược với đối số thứ hai hữu tỉ dạng phân số. Đồng ý, việc giải bất đẳng thức x − 9 > 0 dễ hơn nhiều so với 5/(x − 5) > 0. Mặc dù kết quả là như nhau.
Nhận xét này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tìm kiếm ODZ, nhưng hãy cẩn thận: bạn chỉ có thể sử dụng một bất đẳng thức thay vì hai nếu các đối số chính xác bình đẳng với nhau!
Tất nhiên, bây giờ sẽ có người hỏi: điều gì xảy ra khác biệt? Vâng, nó xảy ra. Ví dụ, ngay trong bước này, khi chúng ta nhân hai đối số chứa một biến, sẽ có nguy cơ xuất hiện các nghiệm không cần thiết.
Hãy tự đánh giá: đầu tiên, mỗi đối số phải lớn hơn 0, nhưng sau khi nhân, chỉ cần tích của chúng lớn hơn 0 là đủ. Kết quả là trường hợp mỗi phân số này âm bị bỏ qua.
Do đó, nếu bạn mới bắt đầu hiểu các phương trình logarit phức tạp, trong mọi trường hợp, đừng nhân logarit chứa biến x - điều này thường dẫn đến sự xuất hiện của các nghiệm thừa. Tốt hơn là bạn nên thực hiện thêm một bước, chuyển một thuật ngữ sang phía bên kia và tạo một dạng chuẩn.
Chà, phải làm gì nếu bạn không thể làm gì nếu không nhân các logarit như vậy, chúng ta sẽ thảo luận trong bài học video tiếp theo :)
Một lần nữa về lũy thừa trong phương trình
Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một chủ đề khá khó hiểu liên quan đến phương trình logarit, hay chính xác hơn là loại bỏ lũy thừa khỏi các đối số và cơ số của logarit.
Tôi thậm chí có thể nói rằng chúng ta sẽ nói về việc loại bỏ các lũy thừa chẵn, bởi vì với các lũy thừa chẵn thì hầu hết các khó khăn nảy sinh khi giải các phương trình logarit thực.
Hãy bắt đầu với hình thức kinh điển. Giả sử chúng ta có một phương trình có dạng log a f (x) = b. Trong trường hợp này, chúng ta viết lại số b bằng công thức b = log a a b . Hóa ra như sau:
log a f (x) = log a a b
Sau đó, chúng tôi đánh đồng các đối số:
f(x) = ab
Công thức áp chót được gọi là dạng chính tắc. Chính vì điều này mà họ cố gắng giảm bớt bất kỳ phương trình logarit nào, bất kể thoạt nhìn nó có vẻ phức tạp và đáng sợ đến mức nào.
Vì vậy, hãy thử nó. Hãy bắt đầu với nhiệm vụ đầu tiên:
Lưu ý sơ bộ: như tôi đã nói, tất cả các phân số thập phân trong phương trình logarit tốt hơn nên được chuyển đổi thành phân số thông thường:
0,5 = 5/10 = 1/2
Hãy viết lại phương trình của chúng ta có tính đến thực tế này. Lưu ý rằng cả 1/1000 và 100 đều là lũy thừa của mười, sau đó hãy lấy lũy thừa ở bất kỳ đâu: từ các đối số và thậm chí từ cơ số logarit:
Và ở đây nhiều sinh viên đã đặt câu hỏi: “Mô-đun bên phải có nguồn gốc từ đâu?” Thật vậy, tại sao không viết đơn giản là (x − 1)? Tất nhiên, bây giờ chúng ta sẽ viết (x − 1), nhưng xét đến miền định nghĩa cho phép chúng ta có quyền viết kết quả này. Rốt cuộc, một logarit khác đã chứa (x − 1) và biểu thức này phải lớn hơn 0.
Nhưng khi chúng ta loại bỏ hình vuông khỏi cơ số của logarit, chúng ta phải để lại chính xác mô-đun ở cơ số. Hãy để tôi giải thích tại sao.
Thực tế là theo quan điểm toán học, việc lấy bằng cũng tương đương với việc lấy gốc. Đặc biệt, khi chúng ta bình phương biểu thức (x − 1) 2, về cơ bản chúng ta đang lấy căn bậc hai. Nhưng căn bậc hai không gì khác hơn là một mô đun. Chính xác mô-đun, bởi vì ngay cả khi biểu thức x − 1 âm, khi bình phương, dấu “trừ” vẫn hết. Việc khai thác thêm gốc sẽ cho chúng ta một số dương - không có bất kỳ điểm trừ nào.
Nói chung, để tránh mắc phải những sai lầm phản cảm, hãy nhớ một lần và mãi mãi:
Căn nguyên của lũy thừa chẵn của bất kỳ hàm nào được nâng lên cùng một lũy thừa không bằng chính hàm đó mà bằng mô đun của nó:
Hãy quay trở lại phương trình logarit của chúng ta. Nói về mô-đun, tôi lập luận rằng chúng ta có thể loại bỏ nó một cách dễ dàng. Điều này là đúng. Bây giờ tôi sẽ giải thích tại sao. Nói đúng ra, chúng tôi phải xem xét hai lựa chọn:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Mỗi lựa chọn này sẽ cần phải được giải quyết. Nhưng có một nhược điểm: công thức ban đầu đã chứa hàm (x − 1) mà không có bất kỳ mô đun nào. Và theo phạm vi định nghĩa của logarit, chúng ta có quyền viết ngay x − 1 > 0.
Yêu cầu này phải được đáp ứng bất kể mọi mô-đun và các phép biến đổi khác mà chúng tôi thực hiện trong quá trình giải pháp. Vì vậy, chẳng ích gì khi xem xét lựa chọn thứ hai - nó sẽ không bao giờ nảy sinh. Ngay cả khi chúng ta nhận được một số con số khi giải nhánh bất đẳng thức này, chúng vẫn sẽ không được đưa vào đáp án cuối cùng.
Bây giờ chúng ta thực sự chỉ còn một bước nữa là đến dạng chính tắc của phương trình logarit. Hãy biểu diễn đơn vị như sau:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Ngoài ra, chúng tôi đưa hệ số −4 ở bên phải vào đối số:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Trước mắt chúng ta là dạng chính tắc của phương trình logarit. Chúng ta loại bỏ dấu logarit:
10 −4 = x − 1
Nhưng vì cơ số là một hàm (chứ không phải số nguyên tố) nên chúng tôi yêu cầu thêm rằng hàm này phải lớn hơn 0 và không bằng 1. Hệ thống kết quả sẽ là:
Vì yêu cầu x − 1 > 0 được tự động thỏa mãn (x − 1 = 10 −4), nên một trong các bất đẳng thức có thể bị xóa khỏi hệ thống của chúng ta. Điều kiện thứ hai cũng có thể bị gạch bỏ, vì x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Đây là nghiệm duy nhất tự động thỏa mãn tất cả các yêu cầu của miền định nghĩa logarit (tuy nhiên, tất cả các yêu cầu đã bị loại bỏ vì rõ ràng đã được đáp ứng trong các điều kiện của bài toán của chúng ta).
Vậy phương trình thứ hai:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Phương trình này về cơ bản khác với phương trình trước như thế nào? Nếu chỉ vì cơ số của logarit - 3x và 9x - không phải là lũy thừa tự nhiên của nhau. Do đó, quá trình chuyển đổi mà chúng tôi đã sử dụng trong giải pháp trước đó là không thể thực hiện được.
Ít nhất chúng ta hãy loại bỏ bằng cấp. Trong trường hợp của chúng tôi, mức độ duy nhất là ở đối số thứ hai:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Tuy nhiên, dấu mô đun có thể bị loại bỏ vì biến x cũng ở cơ sở, tức là. x > 0 ⇒ |x| = x. Hãy viết lại phương trình logarit của chúng ta:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Chúng ta đã thu được logarit trong đó các đối số giống nhau nhưng cơ sở thì khác nhau. Làm gì tiếp theo? Có nhiều lựa chọn ở đây, nhưng chúng tôi sẽ chỉ xem xét hai trong số đó, đó là những kỹ thuật hợp lý nhất và quan trọng nhất, đây là những kỹ thuật nhanh chóng và dễ hiểu đối với hầu hết học sinh.
Chúng tôi đã xem xét tùy chọn đầu tiên: trong mọi tình huống không rõ ràng, hãy chuyển đổi logarit có cơ số thay đổi thành cơ số không đổi. Ví dụ, để một deuce. Công thức chuyển đổi rất đơn giản:
Tất nhiên, vai trò của biến c phải là một số bình thường: 1 ≠ c > 0. Trong trường hợp của chúng ta, c = 2. Bây giờ chúng ta có trước mắt một phương trình hữu tỉ phân số thông thường. Chúng tôi thu thập tất cả các yếu tố bên trái:
Rõ ràng, tốt hơn là loại bỏ hệ số log 2 x, vì nó có mặt ở cả phân số thứ nhất và phân số thứ hai.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Chúng tôi chia mỗi nhật ký thành hai thuật ngữ:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Hãy viết lại cả hai vế của đẳng thức có tính đến những sự kiện sau:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Bây giờ tất cả những gì còn lại là nhập số hai dưới dấu logarit (nó sẽ chuyển thành lũy thừa: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Trước mắt chúng ta là dạng kinh điển cổ điển, chúng ta loại bỏ dấu logarit và nhận được:
Đúng như dự đoán, gốc này hóa ra lớn hơn 0. Vẫn còn phải kiểm tra miền định nghĩa. Hãy xem xét các lý do:
Nhưng nghiệm x = 9 thỏa mãn các yêu cầu này. Vì vậy, đây là quyết định cuối cùng.
Kết luận từ giải pháp này rất đơn giản: đừng ngại tính toán dài dòng! Chỉ là ngay từ đầu chúng tôi đã chọn ngẫu nhiên một căn cứ mới - và điều này làm phức tạp đáng kể quá trình.
Nhưng sau đó câu hỏi được đặt ra: cơ sở nào tối ưu? Tôi sẽ nói về điều này trong phương pháp thứ hai.
Hãy quay trở lại phương trình ban đầu của chúng ta:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Bây giờ chúng ta hãy suy nghĩ một chút: con số hoặc hàm số nào sẽ là cơ sở tối ưu? Rõ ràng, lựa chọn tốt nhất sẽ là c = x - những gì đã có trong các đối số. Trong trường hợp này, công thức log a b = log c b /log c a sẽ có dạng:
Nói cách khác, biểu thức chỉ đơn giản là đảo ngược. Trong trường hợp này, lập luận và cơ sở thay đổi vị trí.
Công thức này rất hữu ích và thường được sử dụng để giải các phương trình logarit phức tạp. Tuy nhiên, có một cạm bẫy rất nghiêm trọng khi sử dụng công thức này. Nếu chúng ta thay thế biến x thay vì cơ sở, thì các hạn chế chưa được quan sát trước đó sẽ được áp dụng cho biến đó:
Không có giới hạn như vậy trong phương trình ban đầu. Do đó, chúng ta nên kiểm tra riêng trường hợp x = 1. Thay giá trị này vào phương trình của chúng ta:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Chúng ta có được đẳng thức số chính xác. Do đó x = 1 là một nghiệm. Chúng tôi đã tìm thấy chính xác gốc tương tự trong phương pháp trước đó khi bắt đầu giải pháp.
Nhưng bây giờ chúng ta đã xem xét riêng trường hợp cụ thể này, chúng ta giả định một cách an toàn rằng x ≠ 1. Khi đó phương trình logarit của chúng ta sẽ được viết lại dưới dạng sau:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Chúng tôi mở rộng cả hai logarit bằng cách sử dụng cùng một công thức như trước. Lưu ý rằng log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Vì vậy, chúng tôi đã đến hình thức kinh điển:
log x 9 = log x x 1
x=9
Chúng tôi có gốc thứ hai. Nó thỏa mãn yêu cầu x ≠ 1. Do đó x = 9 cùng với x = 1 là đáp án cuối cùng.
Như bạn có thể thấy, khối lượng tính toán đã giảm đi một chút. Nhưng khi giải phương trình logarit thực, số bước cũng sẽ ít hơn nhiều vì bạn không cần phải mô tả từng bước chi tiết như vậy.
Quy tắc chính của bài học hôm nay là như sau: nếu bài toán chứa một bậc chẵn, từ đó rút ra nghiệm của cùng bậc đó, thì kết quả đầu ra sẽ là một mô đun. Tuy nhiên, mô-đun này có thể được loại bỏ nếu bạn chú ý đến miền định nghĩa logarit.
Nhưng hãy cẩn thận: sau bài học này, hầu hết học sinh đều nghĩ rằng mình đã hiểu hết mọi thứ. Nhưng khi giải các bài toán thực tế, chúng không thể tái tạo toàn bộ chuỗi logic. Kết quả là phương trình thu được các nghiệm không cần thiết và kết quả là sai.