Sau khi nghiên cứu về đơn thức, chúng ta chuyển sang phần đa thức. Bài viết này sẽ cho bạn biết tất cả thông tin cần thiết để thực hiện các hành động trên chúng. Chúng ta sẽ định nghĩa một đa thức với các định nghĩa kèm theo của một thuật ngữ đa thức, tức là tự do và tương tự, xem xét một dạng đa thức chuẩn, giới thiệu một mức độ và tìm hiểu cách tìm nó cũng như làm việc với các hệ số của nó.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Đa thức và các thuật ngữ của nó - định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa của đa thức là cần thiết trong 7 lớp sau khi học về đơn thức. Chúng ta hãy nhìn vào định nghĩa đầy đủ của nó.
Định nghĩa 1
đa thức tổng các đơn thức được xem xét và bản thân đơn thức đó là trường hợp đặc biệtđa thức.
Từ định nghĩa, các ví dụ về đa thức có thể khác nhau: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (- 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z, v.v. Từ định nghĩa ta có điều đó 1+x, a 2 + b 2 và biểu thức x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x là các đa thức.
Hãy xem xét thêm một số định nghĩa.
Định nghĩa 2
Các thành viên của đa thức các đơn thức cấu thành của nó được gọi.
Hãy xem xét một ví dụ trong đó chúng ta có đa thức 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, gồm 4 số hạng: 3 x 4, − 2 x y, 3 và − y 3. Đơn thức như vậy có thể được coi là đa thức, bao gồm một số hạng.
Định nghĩa 3
Các đa thức chứa 2, 3 tam thức có tên tương ứng - nhị thức Và tam thức.
Theo sau đó một biểu thức có dạng x+y– là một nhị thức, và biểu thức 2 x 3 q − q x x x + 7 b là một tam thức.
Qua chương trình giảng dạy ở trường làm việc với nhị thức tuyến tính có dạng a · x + b, trong đó a và b là một số số và x là một biến. Hãy xem xét các ví dụ về nhị thức tuyến tính có dạng: x + 1, x · 7, 2 − 4 với các ví dụ về tam thức vuông x 2 + 3 · x − 5 và 2 5 · x 2 - 3 x + 11.
Để biến đổi và giải quyết cần phải tìm và đưa điều khoản tương tự. Ví dụ: một đa thức có dạng 1 + 5 x − 3 + y + 2 x có các số hạng tương tự 1 và - 3, 5 x và 2 x. Chúng được chia thành một nhóm đặc biệt gọi là các thành viên tương tự của đa thức.
Định nghĩa 4
Các số hạng tương tự của đa thức là những số hạng tương tự được tìm thấy trong một đa thức.
Trong ví dụ trên, chúng ta có 1 và - 3, 5 x và 2 x là các số hạng tương tự của đa thức hoặc các số hạng tương tự. Để đơn giản biểu thức, hãy tìm và rút gọn các số hạng tương tự.
Đa thức dạng chuẩn
Tất cả các đơn thức và đa thức đều có tên cụ thể riêng.
Định nghĩa 5
Đa thức dạng chuẩn là một đa thức trong đó mỗi số hạng chứa trong nó có một đơn thức có dạng chuẩn và không chứa các số hạng giống nhau.
Từ định nghĩa, rõ ràng là có thể rút gọn đa thức ở dạng chuẩn, ví dụ: 3 x 2 − x y + 1 và __công thức__, và mục nhập ở dạng chuẩn. Các biểu thức 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z và 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z không phải là đa thức có dạng chuẩn, vì biểu thức đầu tiên trong số chúng có các số hạng tương tự trong dạng 3 · x 2 và − x 2, và phần thứ hai chứa đơn thức có dạng x · y 3 · x · z 2, khác với đa thức chuẩn.
Nếu hoàn cảnh yêu cầu, đôi khi đa thức được rút gọn về dạng chuẩn. Khái niệm số hạng tự do của đa thức cũng được coi là đa thức có dạng chuẩn.
Định nghĩa 6
Số hạng tự do của đa thức là một đa thức có dạng chuẩn không có phần chữ.
Nói cách khác, khi một đa thức ở dạng chuẩn có một số thì nó được gọi là thành viên tự do. Khi đó số 5 là số hạng tự do của đa thức x 2 z + 5 và đa thức 7 a + 4 a b + b 3 không có số hạng tự do.
Bậc của một đa thức - làm thế nào để tìm được nó?
Định nghĩa về bậc của một đa thức dựa trên định nghĩa của một dạng đa thức chuẩn và dựa trên bậc của các đơn thức là thành phần của nó.
Định nghĩa 7
Bậc của đa thức có dạng chuẩnđược gọi là bậc lớn nhất trong ký hiệu của nó.
Hãy xem một ví dụ. Bậc của đa thức 5 x 3 − 4 bằng 3, vì các đơn thức trong thành phần của nó có bậc 3 và 0, và giá trị lớn hơn của chúng tương ứng là 3. Định nghĩa bậc của đa thức 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x bằng số lớn nhất trong các số, nghĩa là 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 và 1, có nghĩa là 5 .
Cần phải tìm hiểu xem bằng cấp đó được tìm thấy như thế nào.
Định nghĩa 8
Bậc đa thức bất kỳ số nào là bậc của đa thức tương ứng ở dạng chuẩn.
Khi một đa thức không được viết ở dạng chuẩn, nhưng bạn cần tìm bậc của nó, bạn cần rút gọn nó về dạng chuẩn, sau đó tìm bậc cần thiết.
Ví dụ 1
Tìm bậc của một đa thức 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.
Giải pháp
Đầu tiên, hãy trình bày đa thức ở dạng chuẩn. Chúng ta nhận được một biểu thức có dạng:
3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Khi thu được đa thức có dạng chuẩn, chúng ta thấy rằng có hai trong số chúng nổi bật rõ ràng - 2 · a 2 · b 2 · c 2 và y 2 · z 2 . Để tìm độ, chúng ta đếm và tìm thấy 2 + 2 + 2 = 6 và 2 + 2 = 4. Có thể thấy rằng lớn nhất trong số đó là 6. Từ định nghĩa, suy ra rằng 6 là bậc của đa thức − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , và do đó là giá trị ban đầu.
Trả lời: 6 .
Hệ số của các số hạng đa thức
Định nghĩa 9Khi tất cả các số hạng của đa thức đều là các đơn thức có dạng chuẩn thì trong trường hợp này chúng có tên hệ số của các số hạng đa thức. Nói cách khác, chúng có thể được gọi là hệ số của đa thức.
Khi xem xét ví dụ, rõ ràng là một đa thức có dạng 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 chứa 4 đa thức: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x và 7 với các hệ số tương ứng của chúng là 2, − 0, 5, 3 và 7. Điều này có nghĩa là 2, − 0, 5, 3 và 7 được coi là hệ số của các số hạng của một đa thức đã cho có dạng 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Khi chuyển đổi cần chú ý đến các hệ số đứng trước các biến.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Bài học về chủ đề: "Khái niệm và định nghĩa đa thức. Dạng chuẩn của đa thức"
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 7
Sách giáo khoa điện tử dựa trên sách giáo khoa của Yu.N. Makarycheva
Sách giáo khoa điện tử dựa trên sách giáo khoa của Sh.A. Alimov
Các bạn đã học về đơn thức ở chủ đề: Dạng chuẩn của đơn thức. Định nghĩa. Ví dụ. Hãy xem lại các định nghĩa cơ bản.
đơn thức– một biểu thức bao gồm tích của các số và các biến. Các biến có thể được nâng lên thành lũy thừa tự nhiên. Đơn thức không chứa bất kỳ phép toán nào ngoài phép nhân.
Dạng chuẩn của đơn thức- loại này khi hệ số (hệ số) đứng đầu, tiếp theo là độ của các biến khác nhau.
Đơn thức tương tự– đây là các đơn thức giống hệt nhau hoặc các đơn thức khác nhau một hệ số.
Khái niệm đa thức
Đa thức, giống như đơn thức, là một tên gọi tổng quát biểu thức toán học một loại nhất định. Chúng tôi đã gặp phải những khái quát như vậy trước đây. Ví dụ: “tổng”, “sản phẩm”, “lũy thừa”. Khi chúng ta nghe thấy “sự khác biệt về số lượng”, ý nghĩ về phép nhân hoặc phép chia thậm chí không xuất hiện trong đầu chúng ta. Ngoài ra, đa thức là một biểu thức của một loại được xác định chặt chẽ.Định nghĩa của đa thức
đa thức là tổng của các đơn thức.Các đơn thức tạo thành đa thức được gọi là thành viên của đa thức. Nếu có hai số hạng thì chúng ta đang xử lý một nhị thức, nếu có ba số hạng thì chúng ta đang xử lý một tam thức. Nếu có nhiều số hạng hơn thì đó là đa thức.
Ví dụ về đa thức.
1) 2аb + 4сd (nhị thức);
2) 4ab + 3cd + 4x (tam thức);
3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3 ;
3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.
Chúng ta hãy nhìn kỹ vào biểu hiện mới nhất. Theo định nghĩa, đa thức là tổng của các đơn thức, nhưng trong ví dụ cuối cùng Chúng ta không chỉ cộng mà còn trừ các đơn thức.
Để làm rõ, chúng ta hãy xem một ví dụ nhỏ.
Hãy viết biểu thức a + b - c(hãy đồng ý rằng a ≥ 0, b ≥ 0 và c ≥0) và trả lời câu hỏi: đây là tổng hay hiệu? Thật khó để nói.
Thật vậy, nếu chúng ta viết lại biểu thức dưới dạng a + b + (-c), chúng ta nhận được tổng của hai số hạng dương và một số hạng âm.
Nếu bạn nhìn vào ví dụ của chúng tôi, chúng tôi đang xử lý cụ thể tổng các đơn thức có hệ số: 3, - 2, 7, -5. Trong toán học có một thuật ngữ " tổng đại số". Vì vậy, trong định nghĩa của đa thức, chúng tôi muốn nói đến một “tổng đại số”.
Nhưng ký hiệu có dạng 3a: b + 7c không phải là đa thức vì 3a: b không phải là đơn thức.
Ký hiệu có dạng 3b + 2a * (c 2 + d) cũng không phải là đa thức, vì 2a * (c 2 + d) không phải là đơn thức. Nếu bạn mở ngoặc, biểu thức thu được sẽ là đa thức.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.
Bậc đa thức là bằng cấp cao nhất các thành viên của nó.
Đa thức a 3 b 2 + a 4 có bậc năm, vì bậc của đơn thức a 3 b 2 là 2 + 3= 5 và bậc của đơn thức a 4 là 4.
Dạng chuẩn của đa thức
Đa thức không có các số hạng giống nhau và được viết theo thứ tự giảm dần của các số hạng của đa thức là đa thức có dạng chuẩn.Đa thức được đưa về dạng chuẩn nhằm loại bỏ cách viết rườm rà không cần thiết và đơn giản hóa các thao tác tiếp theo với nó.
Thật vậy, tại sao, ví dụ, viết biểu thức dài 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, khi nó có thể được viết ngắn hơn 9b 2 + 3a 2 + 8.
Để đưa đa thức về dạng chuẩn, bạn cần:
1. đưa tất cả các thành viên của nó về một hình thức chuẩn,
2. thêm các thuật ngữ tương tự (giống hệt nhau hoặc có hệ số số khác nhau). Thủ tục này thường được gọi là mang lại sự tương tự.
Ví dụ.
Rút gọn đa thức aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 về dạng chuẩn.
Giải pháp.
a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.
Hãy xác định lũy thừa của các đơn thức có trong biểu thức và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần.
11a 2 b có bậc ba, 3 x 5 y 2 có bậc bảy, 14 có bậc 0.
Điều này có nghĩa là ở vị trí đầu tiên chúng ta sẽ đặt 3 x 5 y 2 (bậc 7), ở vị trí thứ hai - 12a 2 b (bậc 3) và ở vị trí thứ ba - 14 ( không độ).
Kết quả là chúng ta thu được đa thức có dạng chuẩn 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.
Ví dụ về tự giải quyết
Rút gọn đa thức về dạng chuẩn.1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);
2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);
3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);
4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).
Trong bài học này, chúng ta sẽ nhắc lại các định nghĩa cơ bản của chủ đề này và xem xét một số bài toán điển hình, đó là đưa đa thức về dạng chuẩn và tính giá trị số của giá trị đã cho các biến. Chúng ta sẽ giải một số ví dụ trong đó việc rút gọn về dạng chuẩn sẽ được sử dụng để giải các loại nhiệm vụ.
Chủ thể:Đa thức. phép tính số học trên đơn thức
Bài học:Rút gọn đa thức về dạng chuẩn. Nhiệm vụ điển hình
Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa cơ bản: đa thức là tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức là một phần của đa thức được gọi là thành viên của nó. Ví dụ:
Nhị thức;
Đa thức;
Nhị thức;
Vì một đa thức bao gồm các đơn thức, nên hành động đầu tiên với đa thức sẽ diễn ra từ đây - bạn cần đưa tất cả các đơn thức về dạng chuẩn. Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng để làm được điều này, bạn cần nhân tất cả các hệ số số - nhận hệ số số, và nhân lên độ tương ứng- lấy phần chữ cái. Ngoài ra, chúng ta hãy chú ý đến định lý về tích các lũy thừa: khi nhân các lũy thừa thì số mũ của chúng cộng lại.
Hãy xem xét hoạt động quan trọng- Đưa đa thức về dạng chuẩn. Ví dụ:
Nhận xét: để đưa đa thức về dạng chuẩn, bạn cần đưa tất cả các đơn thức có trong thành phần của nó về dạng chuẩn, sau đó, nếu có các đơn thức tương tự - và đây là các đơn thức có cùng phần chữ cái - hãy thực hiện các hành động với chúng .
Vì vậy, chúng ta đã xem xét vấn đề điển hình đầu tiên - đưa đa thức về dạng chuẩn.
Nhiệm vụ điển hình tiếp theo là tính toán ý nghĩa cụ thểđa thức cho trước giá trị số các biến có trong đó. Hãy tiếp tục xem ví dụ trước và đặt giá trị cho các biến:
Nhận xét: nhớ lại rằng một đơn vị trong bất kỳ bằng cấp tự nhiên bằng một và bằng 0 với mọi sức mạnh tự nhiên bằng 0 Ngoài ra, hãy nhớ rằng khi nhân bất kỳ số nào với 0, chúng ta sẽ nhận được số 0.
Chúng ta hãy xem một số ví dụ về các hoạt động điển hình của việc giảm đa thức về dạng chuẩn và tính giá trị của nó:
Ví dụ 1 - đưa về dạng chuẩn:
Nhận xét: bước đầu tiên là đưa các đơn thức về dạng chuẩn, cần đưa các đơn thức thứ nhất, thứ hai và thứ sáu; hành động thứ hai - chúng tôi đưa ra các điều khoản tương tự, nghĩa là chúng tôi thực hiện các nhiệm vụ nhất định trên chúng các phép tính số học: chúng ta thêm cái thứ nhất với cái thứ năm, cái thứ hai với cái thứ ba, phần còn lại được viết lại mà không thay đổi, vì chúng không có cái nào giống nhau.
Ví dụ 2 - tính giá trị của đa thức từ ví dụ 1 cho trước các giá trị của các biến:
Nhận xét: Khi tính lũy thừa các em nên nhớ đơn vị của lũy thừa tự nhiên là một; nếu khó tính lũy thừa của 2 thì có thể sử dụng bảng lũy thừa.
Ví dụ 3 - thay vì dấu hoa thị, hãy đặt một đơn thức sao cho kết quả không chứa biến:
Nhận xét: bất kể nhiệm vụ nào, hành động đầu tiên luôn giống nhau - đưa đa thức về dạng chuẩn. Trong ví dụ của chúng tôi, hành động này dẫn đến việc đưa ra các điều khoản tương tự. Sau đó, bạn nên đọc kỹ điều kiện một lần nữa và suy nghĩ về cách loại bỏ đơn thức. Rõ ràng, để làm được điều này bạn cần thêm đơn thức tương tự vào nó, nhưng với dấu hiệu ngược lại- . Tiếp theo, chúng tôi thay thế dấu hoa thị bằng đơn thức này và đảm bảo rằng giải pháp của chúng tôi là chính xác.
- đa thức. Trong bài viết này chúng tôi sẽ phác thảo tất cả những điều cơ bản và thông tin cần thiết về đa thức. Trước hết, chúng bao gồm định nghĩa của đa thức với các định nghĩa đi kèm về các số hạng của đa thức, đặc biệt là số hạng tự do và các số hạng tương tự. Thứ hai, chúng ta hãy tập trung vào các đa thức ở dạng chuẩn, đưa ra định nghĩa tương ứng và đưa ra ví dụ về chúng. Cuối cùng, chúng ta sẽ giới thiệu định nghĩa về bậc của đa thức, tìm ra cách tìm nó và nói về các hệ số của các số hạng của đa thức.
Điều hướng trang.
Đa thức và các thuật ngữ của nó - định nghĩa và ví dụ
Ở lớp 7, đa thức được học ngay sau đơn thức, điều này cũng dễ hiểu vì định nghĩa đa thứcđược cho dưới dạng đơn thức. Chúng ta hãy đưa ra định nghĩa này để giải thích đa thức là gì.
Sự định nghĩa.
đa thức là tổng của các đơn thức; Đơn thức được coi là trường hợp đặc biệt của đa thức.
Định nghĩa bằng văn bản cho phép bạn đưa ra bao nhiêu ví dụ về đa thức tùy thích. Bất kỳ đơn thức nào trong số 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, v.v. là một đa thức. Ngoài ra, theo định nghĩa, 1+x, a 2 +b 2 và là các đa thức.
Để thuận tiện cho việc mô tả các đa thức, định nghĩa về số hạng đa thức được giới thiệu.
Sự định nghĩa.
Thuật ngữ đa thức là các đơn thức cấu thành của một đa thức.
Ví dụ, đa thức 3 x 4 −2 x y+3−y 3 bao gồm bốn số hạng: 3 x 4 , −2 x y , 3 và −y 3 . Một đơn thức được coi là một đa thức bao gồm một số hạng.
Sự định nghĩa.
Đa thức bao gồm hai và ba số hạng có tên đặc biệt - nhị thức Và tam thức tương ứng.
Vì vậy x+y là một nhị thức, và 2 x 3 q−q x x x+7 b là một tam thức.
Ở trường, chúng ta thường phải làm việc với nhị thức tuyến tính a x+b , trong đó a và b là một số số và x là một biến, cũng như c tam thức bậc hai
a·x 2 +b·x+c, trong đó a, b và c là một số số và x là một biến. Dưới đây là ví dụ về nhị thức tuyến tính: x+1, x 7,2−4 và đây là ví dụ về tam thức vuông: x 2 +3 x−5 và 
.
Đa thức trong ký hiệu của chúng có thể có các thuật ngữ tương tự. Ví dụ, trong đa thức 1+5 x−3+y+2 x các số hạng tương tự là 1 và −3, cũng như 5 x và 2 x. Chúng có tên đặc biệt của riêng mình - các thuật ngữ tương tự của đa thức.
Sự định nghĩa.
Các số hạng tương tự của đa thức các số hạng tương tự trong một đa thức được gọi.
Trong ví dụ trước, 1 và −3, cũng như cặp 5 x và 2 x, là các số hạng tương tự của đa thức. Trong các đa thức có các số hạng giống nhau, bạn có thể thực hiện rút gọn các số hạng giống nhau để đơn giản hóa dạng của chúng.
Đa thức dạng chuẩn
Đối với đa thức cũng như đối với đơn thức, có một cái gọi là chế độ xem chuẩn. Hãy đưa ra định nghĩa tương ứng.
Dựa trên định nghĩa này, chúng ta có thể đưa ra ví dụ về đa thức có dạng chuẩn. Vậy các đa thức 3 x 2 −x y+1 và 
được viết dưới dạng chuẩn. Và các biểu thức 5+3 x 2 −x 2 +2 x z và x+x y 3 x z 2 +3 z không phải là đa thức có dạng chuẩn, vì biểu thức đầu tiên trong số chúng chứa các số hạng tương tự 3 x 2 và −x 2 , và trong cái thứ hai – một đơn thức x·y 3 ·x·z 2 , dạng của nó khác với dạng chuẩn.
Lưu ý rằng, nếu cần, bạn luôn có thể rút gọn đa thức về dạng chuẩn.
Một khái niệm khác liên quan đến đa thức dạng chuẩn là khái niệm số hạng tự do của đa thức.
Sự định nghĩa.
Số hạng tự do của đa thứcđược gọi là thành viên của đa thức có dạng chuẩn không có phần chữ cái.
Nói cách khác, nếu một đa thức có dạng chuẩn chứa một số thì nó được gọi là thành viên tự do. Ví dụ, 5 là số hạng tự do của đa thức x 2 z+5, nhưng đa thức 7 a+4 a b+b 3 không có số hạng tự do.
Bậc của một đa thức - làm thế nào để tìm được nó?
Một điều quan trọng khác định nghĩa kèm theo là xác định bậc của đa thức. Đầu tiên, chúng ta xác định bậc của một đa thức ở dạng chuẩn; định nghĩa này dựa trên bậc của các đơn thức có trong thành phần của nó.
Sự định nghĩa.
Bậc của đa thức có dạng chuẩn là lũy thừa lớn nhất của các đơn thức có trong ký hiệu của nó.
Hãy đưa ra ví dụ. Bậc của đa thức 5 x 3 −4 bằng 3, vì các đơn thức 5 x 3 và −4 trong nó có bậc 3 và 0 tương ứng, số lớn nhất trong các số này là 3, là bậc của đa thức theo định nghĩa. Và bậc của đa thức 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x bằng số lớn nhất trong các số 2+3=5, 4+1=5 và 1, tức là 5.
Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu cách tìm bậc của đa thức kiểu tùy ý.
Sự định nghĩa.
Bậc của đa thức có dạng tùy ý gọi bậc của đa thức tương ứng có dạng chuẩn.
Vì vậy, nếu một đa thức không được viết ở dạng chuẩn và bạn cần tìm bậc của nó, thì bạn cần rút gọn đa thức ban đầu về dạng chuẩn và tìm bậc của đa thức thu được - đó sẽ là bậc bắt buộc. Hãy xem giải pháp ví dụ.
Ví dụ.
Tìm bậc của đa thức 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.
Giải pháp.
Trước tiên, bạn cần biểu diễn đa thức ở dạng chuẩn:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.
Đa thức thu được ở dạng chuẩn bao gồm hai đơn thức −2 · a 2 · b 2 · c 2 và y 2 · z 2 . Hãy tìm lũy thừa của chúng: 2+2+2=6 và 2+2=4. Rõ ràng, lũy thừa lớn nhất trong số này là 6, theo định nghĩa là lũy thừa của một đa thức có dạng chuẩn −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, và do đó là bậc của đa thức ban đầu., 3 x và 7 của đa thức 2 x−0,5 x y+3 x+7 .
Tài liệu tham khảo.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 7 giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A. G.Đại số. lớp 7. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 17, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-02432-3.
- đại số và bắt đầu phân tích toán học. lớp 10: SGK. cho giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; được chỉnh sửa bởi A. B. Zhizhchenko. - tái bản lần thứ 3. - M.: Giáo dục, 2010.- 368 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.
Đa thức là tổng của các đơn thức. Nếu tất cả các số hạng của đa thức được viết ở dạng chuẩn (xem đoạn 51) và các số hạng tương tự được rút gọn, bạn sẽ có được một đa thức có dạng chuẩn.
Bất kỳ biểu thức số nguyên nào cũng có thể được chuyển đổi thành đa thức ở dạng chuẩn - đây là mục đích của việc biến đổi (đơn giản hóa) các biểu thức số nguyên.
Chúng ta hãy xem các ví dụ trong đó toàn bộ biểu thức cần được rút gọn về dạng chuẩn của đa thức.
Giải pháp. Đầu tiên, hãy đưa các số hạng của đa thức về dạng chuẩn. Ta thu được Sau khi đưa các số hạng tương tự ta thu được đa thức có dạng chuẩn
Giải pháp. Nếu có dấu cộng ở phía trước dấu ngoặc thì có thể bỏ dấu ngoặc, giữ nguyên dấu của tất cả các số hạng nằm trong ngoặc. Sử dụng quy tắc này để mở dấu ngoặc đơn, chúng ta có:
Giải pháp. Nếu trước dấu ngoặc đơn có dấu trừ thì có thể bỏ dấu ngoặc đơn bằng cách thay đổi dấu của tất cả các số hạng trong ngoặc. Sử dụng quy tắc này để ẩn dấu ngoặc đơn, chúng tôi nhận được:
Giải pháp. Tích của một đơn thức và một đa thức, theo luật phân phối, bằng tổng các tích của đơn thức này và từng phần tử của đa thức. chúng tôi nhận được
Giải pháp. chúng tôi có
Giải pháp. chúng tôi có
Vẫn còn phải đưa ra các thuật ngữ tương tự (chúng được gạch chân). Chúng tôi nhận được:
53. Công thức nhân rút gọn.
Trong một số trường hợp, việc đưa toàn bộ biểu thức về dạng chuẩn của đa thức được thực hiện bằng cách sử dụng các nhận dạng:
Những đồng nhất thức này được gọi là các công thức nhân rút gọn,
Hãy xem các ví dụ trong đó bạn cần chuyển đổi một biểu thức đã cho thành dạng myogochlea tiêu chuẩn.
Ví dụ 1. .
Giải pháp. Sử dụng công thức (1), chúng tôi có được:
Ví dụ 2. .
Giải pháp.
Ví dụ 3. .
Giải pháp. Sử dụng công thức (3), chúng tôi có được:
Ví dụ 4.
Giải pháp. Sử dụng công thức (4), chúng tôi có được:
54. Phân tích thành nhân tử đa thức.
Đôi khi bạn có thể biến đổi một đa thức thành tích của một số thừa số - đa thức hoặc đơn thức con. Cái này chuyển đổi danh tínhđược gọi là phân tích thành nhân tử một đa thức. Trong trường hợp này, đa thức được cho là chia hết cho từng thừa số này.
Hãy xem xét một số cách phân tích đa thức,
1) Lấy hệ số chung ra khỏi ngoặc. Sự biến đổi này là hệ quả trực tiếp của định luật phân phối (để rõ ràng, bạn chỉ cần viết lại định luật này “từ phải sang trái”):
Ví dụ 1: Phân tích nhân tử đa thức
Giải pháp. .
Thông thường, khi lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc, mỗi biến có trong tất cả các số hạng của đa thức sẽ được lấy ra với số mũ thấp nhất mà nó có trong đa thức này. Nếu tất cả các hệ số của đa thức là số nguyên thì mô đun lớn nhất được lấy làm hệ số của thừa số chung ước số chung mọi hệ số của đa thức.
2) Sử dụng công thức nhân rút gọn. Các công thức (1) - (7) từ đoạn 53, được đọc từ phải sang trái, trong nhiều trường hợp hóa ra lại hữu ích cho việc phân tích thành nhân tử của đa thức.
Ví dụ 2. Phân tích nhân tử.
Giải pháp. Chúng tôi có. Áp dụng công thức (1) (hiệu các bình phương), ta thu được . Bằng cách áp dụng
Bây giờ công thức (4) và (5) (tổng lập phương, hiệu lập phương), ta có:
Ví dụ 3. .
Giải pháp. Đầu tiên, hãy đặt nó ra khỏi ngoặc số nhân chung. Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm ước chung lớn nhất của các hệ số 4, 16, 16 và số mũ nhỏ nhất mà các biến a và b được đưa vào các thành phần đa thức đã chođơn thức. Chúng tôi nhận được:
3) Phương pháp phân nhóm. Nó dựa trên thực tế là nó có tính giao hoán và luật kết hợp phép cộng cho phép bạn nhóm các số hạng của đa thức theo nhiều cách khác nhau. Đôi khi có thể nhóm theo cách sao cho sau khi lấy các thừa số chung ra khỏi ngoặc, đa thức giống nhau vẫn nằm trong ngoặc trong mỗi nhóm, do đó, với tư cách là thừa số chung, có thể được lấy ra khỏi ngoặc. Hãy xem xét các ví dụ về phân tích một đa thức.
Ví dụ 4. .
Giải pháp. Hãy nhóm lại như sau:
Trong nhóm đầu tiên, hãy đưa thừa số chung ra khỏi ngoặc vào nhóm thứ hai - thừa số chung 5. Chúng ta nhận được Bây giờ chúng ta đặt đa thức làm thừa số chung ra khỏi ngoặc: Do đó, chúng ta có:
Ví dụ 5.
Giải pháp. .
Ví dụ 6.
Giải pháp. Ở đây, không có cách nhóm nào sẽ dẫn đến sự xuất hiện của cùng một đa thức trong tất cả các nhóm. Trong những trường hợp như vậy, đôi khi việc biểu diễn một phần tử của đa thức dưới dạng tổng là rất hữu ích, sau đó thử lại phương pháp nhóm. Trong ví dụ của chúng tôi, nên biểu diễn nó dưới dạng tổng.
Ví dụ 7.
Giải pháp. Cộng và trừ một đơn thức Chúng ta nhận được
55. Đa thức trong một biến.
Đa thức trong đó a, b là các số thay đổi được gọi là đa thức bậc một; đa thức trong đó a, b, c là các số thay đổi gọi là đa thức bậc hai hoặc tam thức bình phương; đa thức trong đó a, b, c, d là các số thì biến được gọi là đa thức bậc ba.
Nói chung, nếu o là một biến thì đó là đa thức
gọi là độ lsmogochnolenol (so với x); , m-số hạng của đa thức, các hệ số, số hạng cao nhất của đa thức, a là hệ số của số hạng cao nhất, số hạng tự do của đa thức. Thông thường, một đa thức được viết theo lũy thừa giảm dần của một biến, tức là lũy thừa của một biến giảm dần, cụ thể, số hạng dẫn đầu ở vị trí đầu tiên và số hạng tự do ở vị trí cuối cùng. Bậc của đa thức là bậc của số hạng cao nhất.
Ví dụ, một đa thức bậc năm, trong đó số hạng đứng đầu, 1, là số hạng tự do của đa thức.
Căn nguyên của đa thức là giá trị tại đó đa thức trở thành 0. Ví dụ, số 2 là nghiệm của một đa thức vì