Số tự nhiên
Các số dùng để đếm được gọi là số tự nhiên Con số không không áp dụng cho số tự nhiên.
Chữ số đơn số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Hai chữ số: 24,56, v.v. Ba chữ số: 348.569, v.v. Nhiều giá trị: 23,562,456789, v.v.
Chia một số thành các nhóm có 3 chữ số bắt đầu từ bên phải được gọi là lớp học: 3 chữ số đầu là lớp đơn vị, 3 chữ số tiếp theo là lớp hàng nghìn, sau đó là hàng triệu, v.v.
Theo phân khúc gọi đường thẳng nối điểm A đến điểm B. Gọi là AB hoặc BA A B Độ dài đoạn AB được gọi là khoảng cách giữa điểm A và B.
Đơn vị chiều dài:
1) 10 cm = 1 dm
2) 100 cm = 1 m
3) 1cm = 10mm
4) 1 km = 1000 m
Máy bay là một bề mặt không có cạnh, mở rộng vô hạn theo mọi hướng. Thẳng không có sự bắt đầu hay kết thúc. Hai đường thẳng có một điểm chung - giao nhau. Chùm tia– đây là một phần của đường có điểm bắt đầu và không có điểm kết thúc (OA và OB). Tia mà một điểm phân chia một đường thẳng gọi là tia thêm vào với nhau.
Chùm tia tọa độ:
0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – tọa độ của các điểm. Trong số hai số tự nhiên cái nhỏ hơn là cái được gọi trước khi đếm, và cái lớn hơn là cái được gọi sau khi đếm. Một là số tự nhiên nhỏ nhất. Kết quả so sánh hai số được viết dưới dạng bất đẳng thức: 5< 8, 5670 >368. Số 8 nhỏ hơn 28 và lớn hơn 5, có thể viết dưới dạng bất đẳng thức kép: 5< 8 < 28
Cộng và trừ các số tự nhiên
Phép cộng
Các số cộng lại gọi là số cộng. Kết quả của phép cộng gọi là tổng.
Thuộc tính bổ sung:
1. Tính chất giao hoán: Tổng các số không thay đổi khi sắp xếp lại các số hạng: a + b = b + a(a và b là số tự nhiên bất kỳ và 0) 2. Tài sản kết hợp:Để cộng tổng của hai số với một số, trước tiên bạn có thể cộng số hạng đầu tiên, sau đó cộng số hạng thứ hai vào tổng thu được: a + (b + c) = (a + b) +c = a + b + c(a, b và c là các số tự nhiên bất kỳ và 0).
3. Phép cộng với số 0: Thêm số 0 không làm thay đổi số:
a + 0 = 0 + a = a(a là số tự nhiên bất kỳ).
Tổng độ dài các cạnh của một đa giác gọi là chu vi của đa giác này.
Phép trừ
Một hành động sử dụng tổng và một trong các số hạng để tìm một số hạng khác được gọi là bằng phép trừ.
Số bị trừ đi gọi là có thể giảm bớt, số bị trừ gọi là được khấu trừ, kết quả của phép trừ được gọi là sự khác biệt. Sự khác biệt giữa hai số cho thấy số lượng Đầu tiên con số hơn thứ hai hoặc bao nhiêu thứ hai con số ít hơnĐầu tiên.
Tính chất phép trừ:
1. Tính chất trừ một số tiền: Để trừ một tổng từ một số, trước tiên bạn có thể trừ số hạng đầu tiên khỏi số này, sau đó trừ số hạng thứ hai khỏi hiệu thu được:
a – (b + c) = (a - b) –Với= a – b –Với(b + c > a hoặc b + c = a).
2. Tính chất của một số trừ một số: Để trừ một số khỏi một tổng, bạn có thể trừ số đó khỏi một số hạng và cộng một số hạng khác vào hiệu kết quả
(a + b) – c = a + (b - c), nếu với< b или с = b
(a + b) – c = (a - c) + b, nếu với< a или с = a.
3. Tính chất trừ 0: Nếu bạn trừ 0 khỏi một số, nó sẽ không thay đổi:
một – 0 = một(a – bất kỳ số tự nhiên nào)
4. Tính chất trừ một số giống nhau: Nếu bạn trừ số này khỏi một số, bạn sẽ nhận được số 0:
a – a = 0(a là số tự nhiên bất kỳ).
Biểu thức số và chữ cái
Bản ghi hành động được gọi là biểu thức số. Con số thu được khi thực hiện tất cả các hành động này được gọi là giá trị của biểu thức.
Phép nhân và chia số tự nhiên
Phép nhân các số tự nhiên và tính chất của nó
Nhân số m với số tự nhiên n có nghĩa là tìm tổng của n số hạng, mỗi số hạng bằng m.
Biểu thức m · n và giá trị của biểu thức này được gọi là tích của các số m và n. Các số m và n được gọi là thừa số.
Tính chất của phép nhân:
1. Tính chất giao hoán của phép nhân: Tích của hai số không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số:
a b = b a
2. Tính chất tổ hợp của phép nhân: Để nhân một số với tích của hai số, trước tiên bạn có thể nhân số đó với thừa số thứ nhất, sau đó nhân tích thu được với thừa số thứ hai:
a · (b · c) = (a · b) · c.
3. Tính chất của phép nhân với một: Tổng n số hạng, mỗi số bằng 1, bằng n:
1 n = n
4. Tính chất của phép nhân với 0: Tổng của n số hạng mà mỗi số hạng bằng 0 thì bằng 0:
0 n = 0
Có thể bỏ dấu nhân: 8 x = 8x,
hoặc ab = ab,
hoặc a · (b + c) = a(b + c)
Phân công
Hành động sử dụng tích và một trong các thừa số để tìm ra một thừa số khác được gọi là phép chia.
Số bị chia gọi là có thể chia được; số bị chia cho được gọi là dải phân cách, kết quả của phép chia được gọi là riêng tư.
Thương số cho biết số bị chia lớn hơn số chia bao nhiêu lần.
Bạn không thể chia cho số 0!
Thuộc tính phân chia:
1. Khi chia một số bất kỳ cho 1, cũng thu được số đó:
một: 1 = một.
2. Khi chia một số cho cùng một số thì kết quả là một:
một: a = 1.
3. Khi số 0 chia cho một số thì kết quả bằng 0:
0: a = 0.
Để tìm một yếu tố chưa biết, bạn cần chia sản phẩm cho một yếu tố khác. 5x = 45 x = 45: 5 x = 9
Để tìm số bị chia chưa biết, bạn cần nhân thương với số chia. x: 15 = 3 x = 3 15 x = 45
Để tìm ước số chưa biết, bạn cần chia số bị chia cho thương. 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12
Phép chia có số dư
Số dư luôn nhỏ hơn số chia.
Nếu phần còn lại bằng 0, thì họ nói rằng số bị chia có thể chia hết cho số chia mà không có số dư hay nói cách khác là chia hết hoàn toàn. Để tìm số bị chia a khi chia với số dư, bạn cần nhân thương số riêng c với ước số b và cộng số dư d vào tích thu được.
a = c b + d
Rút gọn biểu thức
Tính chất của phép nhân:
1. Tài sản phân phối phép nhân so với phép cộng: Để nhân một tổng với một số, bạn có thể nhân mỗi phần cộng với số đó và cộng các kết quả thu được:
(a + b)c = ac + bc.
2. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: Để nhân hiệu với một số, bạn có thể nhân số bị trừ và số bị trừ với số đó rồi lấy tích đầu tiên trừ đi số thứ hai:
(a - b)c = ac - bc.
3a + 7a = (3 + 7)a = 10a
Thủ tục
Phép cộng và phép trừ các số được gọi là các phép toán ở giai đoạn đầu tiên, còn phép nhân và chia các số được gọi là các phép toán ở giai đoạn thứ hai.
Quy tắc về thứ tự các hành động:
1. Nếu biểu thức không có dấu ngoặc đơn và nó chỉ chứa các hành động của một giai đoạn thì chúng được thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.
2. Nếu biểu thức chứa các hành động của giai đoạn thứ nhất và thứ hai và không có dấu ngoặc đơn trong đó, thì hành động của giai đoạn thứ hai được thực hiện trước, sau đó là hành động của giai đoạn đầu tiên.
3. Nếu có dấu ngoặc đơn trong biểu thức thì trước tiên hãy thực hiện các hành động trong dấu ngoặc đơn (có tính đến quy tắc 1 và 2)
Mỗi biểu thức chỉ định một chương trình để tính toán. Nó bao gồm các đội.
Số độ. Số hình vuông và số khối
Tích trong đó tất cả các thừa số bằng nhau được viết ngắn hơn: a · a · a · a · a · a = a6 Đọc: a lũy thừa sáu. Số a được gọi là cơ số lũy thừa, số 6 được gọi là số mũ và biểu thức a6 được gọi là lũy thừa.
Tích của n và n gọi là bình phương của n và ký hiệu là n2 (en bình phương):
n2 = n n
Tích n · n · n gọi là lập phương của số n và ký hiệu là n3 (n lập phương): n3 = n n n
Mũ thứ nhất của một số bằng chính nó. Nếu một biểu thức số bao gồm lũy thừa của các số thì giá trị của chúng sẽ được tính toán trước khi thực hiện các hành động khác.
Diện tích và khối lượng
Viết quy tắc sử dụng các chữ cái được gọi là công thức. Công thức đường dẫn:
s = vt, trong đó s là quãng đường, v là tốc độ, t là thời gian.
v=s:t
t = s :v
Quảng trường. Công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Để tìm diện tích của hình chữ nhật, bạn cần nhân chiều dài của nó với chiều rộng của nó. S = ab, trong đó S là diện tích, a là chiều dài, b là chiều rộng
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu một hình có thể chồng lên hình kia sao cho hai hình này trùng nhau. Diện tích của các hình bằng nhau thì bằng nhau. Chu vi của các hình bằng nhau thì bằng nhau.
Diện tích của toàn bộ hình bằng tổng diện tích các phần của nó. Diện tích mỗi hình tam giác bằng một nửa diện tích toàn bộ hình chữ nhật
Quảng trường là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau.
Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó:
Đơn vị diện tích
Milimét vuông – mm2
Centimet vuông - cm2
Decimét vuông – dm2
Mét vuông – m2
Kilômét vuông – km2
Diện tích ruộng được tính bằng ha (ha). Một ha là diện tích của một hình vuông có cạnh 100 m.
Diện tích của những thửa đất nhỏ được đo bằng diện tích (a).
Ar (một trăm mét vuông) là diện tích của một hình vuông có cạnh 10 m.
1 ha = 10.000 m2
1 dm2 = 100 cm2
1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2
Nếu chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật được đo bằng đơn vị khác nhau thì chúng phải được biểu thị theo cùng đơn vị để tính diện tích.
Hình chữ nhật song song
Bề mặt của hình bình hành hình chữ nhật bao gồm 6 hình chữ nhật, mỗi hình được gọi là một mặt.
Các mặt đối diện của hình bình hành hình chữ nhật đều bằng nhau.
Các cạnh của khuôn mặt được gọi là các cạnh của một hình bình hành, và các đỉnh của các mặt là các đỉnh của hình bình hành.
Hình chữ nhật có hình bình hành có 12 cạnh và 8 đỉnh.
Hình chữ nhật có ba kích thước: chiều dài, chiều rộng và chiều cao
khối lập phương- Cái này hình khối, trong đó tất cả các kích thước đều giống nhau. Bề mặt của hình lập phương gồm có 6 hình vuông bằng nhau.
Thể tích của một hình bình hành hình chữ nhật: Để tính thể tích của một hình bình hành hình chữ nhật, bạn cần nhân chiều dài của nó với chiều rộng và chiều cao của nó.
V=abc, V – thể tích, a chiều dài, b – chiều rộng, c – chiều cao
Khối lượng khối:
Đơn vị khối lượng:
Milimet khối – mm3
Centimet khối - cm3
Decimét khối – dm3
Mét khối – mm3
Kilomét khối – km3
1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l
1 l = 1 dm3 = 1000 cm3
1 cm3 = 1000 mm3 1 km3 = 1.000.000.000 m3
Vòng tròn và vòng tròn
Một đường khép kín nằm ở cùng khoảng cách với một điểm cho trước được gọi là đường tròn.
Phần mặt phẳng nằm bên trong đường tròn gọi là đường tròn.
Điểm này được gọi là tâm của cả đường tròn và đường tròn.
Đoạn thẳng nối tâm đường tròn với một điểm bất kỳ trên đường tròn được gọi là bán kính của vòng tròn.
Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm của nó được gọi là đường kính của vòng tròn.
Đường kính bằng hai bán kính.
Chúng ta đã định nghĩa phép cộng, phép nhân, phép trừ và phép chia các số nguyên. Những hành động (thao tác) này có một số kết quả đặc trưng, được gọi là thuộc tính. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các thuộc tính cơ bản của phép cộng và nhân số nguyên, từ đó tất cả các thuộc tính khác của các hành động này tuân theo, cũng như các thuộc tính của phép trừ và chia số nguyên.
Điều hướng trang.
Phép cộng các số nguyên có một số tính chất rất quan trọng khác.
Một trong số đó có liên quan đến sự tồn tại của số 0. Tính chất cộng các số nguyên này phát biểu rằng thêm số 0 vào bất kỳ số nguyên nào không làm thay đổi số đó. Hãy viết nó ra tài sản này phép cộng sử dụng các chữ cái: a+0=a và 0+a=a ( đẳng thức này đúng do tính chất giao hoán của phép cộng), a là số nguyên bất kỳ. Bạn có thể nghe nói rằng số nguyên 0 còn được gọi là phần tử trung hòa. Hãy đưa ra một vài ví dụ. Tổng của số nguyên −78 và số 0 là −78; nếu bạn thêm một số nguyên vào số 0 số dương 999 thì kết quả sẽ là số 999.
Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra công thức của một thuộc tính khác của phép cộng các số nguyên, liên quan đến sự tồn tại của một số đối diện với bất kỳ số nguyên nào. Tổng của bất kỳ số nguyên nào với số đối diện của nó bằng 0. Hãy viết dạng chữ của tính chất này: a+(−a)=0, trong đó a và −a là các số nguyên đối nhau. Ví dụ: tổng 901+(−901) bằng 0; tương tự, tổng của các số nguyên đối diện −97 và 97 bằng 0.
Các tính chất cơ bản của phép nhân số nguyên
Phép nhân các số nguyên có đầy đủ tính chất của phép nhân các số tự nhiên. Hãy để chúng tôi liệt kê chính của các thuộc tính này.
Giống như số 0 là số nguyên trung tính đối với phép cộng, một là số nguyên trung tính đối với phép nhân số nguyên. Đó là, nhân bất kỳ số nguyên nào với một không làm thay đổi số được nhân. Vậy 1·a=a, trong đó a là số nguyên bất kỳ. Đẳng thức cuối cùng có thể được viết lại thành a·1=a, điều này cho phép chúng ta tạo ra tính chất giao hoán của phép nhân. Hãy đưa ra hai ví dụ. Tích của số nguyên 556 x 1 là 556; sản phẩm của một và toàn bộ số âm−78 bằng −78.
Thuộc tính tiếp theo của phép nhân số nguyên có liên quan đến phép nhân với 0. Kết quả của phép nhân bất kỳ số nguyên a nào với 0 đều bằng 0, tức là a·0=0 . Đẳng thức 0·a=0 cũng đúng do tính chất giao hoán của phép nhân các số nguyên. Trong trường hợp đặc biệt khi a=0 thì tích của 0 và 0 bằng 0.
Đối với phép nhân các số nguyên, tính chất nghịch đảo của số trước cũng đúng. Nó tuyên bố rằng tích của hai số nguyên bằng 0 nếu ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Ở dạng chữ, tính chất này có thể được viết như sau: a·b=0, nếu a=0, hoặc b=0, hoặc cả a và b đều bằng 0 cùng một lúc.
Tính chất phân phối của phép nhân các số nguyên so với phép cộng
Phép cộng và phép nhân chung của các số nguyên cho phép chúng ta xem xét tính chất phân phối của phép nhân so với phép cộng, kết nối hai hành động được chỉ định. Việc sử dụng phép cộng và phép nhân cùng nhau sẽ mở ra tính năng bổ sung, mà chúng ta sẽ bị thiếu nếu chúng ta xem xét phép cộng tách biệt với phép nhân.
Vì vậy, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng phát biểu rằng tích của một số nguyên a nhân với tổng của hai số nguyên a và b bằng tổng của các tích a b và a c, nghĩa là, a·(b+c)=a·b+a·c. Thuộc tính tương tự có thể được viết dưới dạng khác: (a+b)c=ac+bc .
Tính chất phân phối của phép nhân các số nguyên so với phép cộng với tài sản tổ hợp phép cộng cho phép bạn xác định phép nhân của một số nguyên với tổng của ba và hơn các số nguyên rồi nhân tổng các số nguyên với tổng.
Cũng lưu ý rằng tất cả các thuộc tính khác của phép cộng và phép nhân số nguyên có thể được lấy từ các thuộc tính mà chúng tôi đã chỉ ra, nghĩa là chúng là hệ quả của các thuộc tính đã chỉ ra ở trên.
Tính chất của phép trừ số nguyên
Từ đẳng thức thu được, cũng như từ các tính chất của phép cộng và nhân các số nguyên, các tính chất trừ số nguyên sau đây (a, b và c là các số nguyên tùy ý):
- Trừ các số nguyên trong trường hợp chung KHÔNG có tính chất giao hoán: a−b≠b−a.
- Hiệu của các số nguyên bằng nhau là 0: a−a=0.
- Thuộc tính trừ tổng của hai số nguyên từ một số nguyên cho trước: a−(b+c)=(a−b)−c .
- Thuộc tính trừ một số nguyên từ tổng của hai số nguyên: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Tính chất phân phối của phép nhân so với phép trừ: a·(b−c)=a·b−a·c và (a−b)·c=a·c−b·c.
- Và tất cả các tính chất khác của phép trừ số nguyên.
Tính chất của phép chia số nguyên
Khi thảo luận về ý nghĩa của việc chia số nguyên, chúng ta phát hiện ra rằng việc chia số nguyên là một hành động nghịch đảo của phép nhân. Ta đưa ra định nghĩa sau: chia số nguyên là tìm số nhân chưa biết Qua tác phẩm nổi tiếng và một số nhân đã biết. Nghĩa là, chúng ta gọi số nguyên c là thương số của phép chia số nguyên a cho số nguyên b, khi tích c·b bằng a.
Định nghĩa này, cũng như tất cả các tính chất của các phép toán trên số nguyên được thảo luận ở trên, giúp thiết lập tính đúng đắn của các tính chất sau đây của việc chia số nguyên:
- Không có số nguyên nào có thể chia được cho 0.
- Tính chất chia số 0 cho một số nguyên a tùy ý khác 0: 0:a=0.
- Thuộc tính chia các số nguyên bằng nhau: a:a=1, trong đó a là bất kỳ số nguyên nào khác 0.
- Tính chất chia một số nguyên tùy ý a cho một: a:1=a.
- Nói chung, phép chia số nguyên KHÔNG có tính chất giao hoán: a:b≠b:a .
- Thuộc tính chia tổng và hiệu của hai số nguyên cho một số nguyên: (a+b):c=a:c+b:c và (a−b):c=a:c−b:c, trong đó a, b và c là các số nguyên sao cho cả a và b đều chia hết cho c và c khác 0.
- Tính chất chia tích của hai số nguyên a và b cho một số nguyên c khác 0: (a·b):c=(a:c)·b, nếu a chia hết cho c; (a·b):c=a·(b:c) , nếu b chia hết cho c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) nếu cả a và b đều chia hết cho c .
- Tính chất chia một số nguyên a cho tích của hai số nguyên b và c (các số a , b và c sao cho có thể chia a cho b c): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
- Bất kỳ tính chất nào khác của việc chia số nguyên.
Vì thế, nói chung phép trừ số tự nhiên KHÔNG có tính chất giao hoán. Hãy viết tuyên bố này bằng cách sử dụng các chữ cái. Nếu a và b là các số tự nhiên không bằng nhau thì a−b≠b−a. Ví dụ: 45−21≠21−45.
Tính chất trừ tổng hai số của một số tự nhiên.
Thuộc tính tiếp theo liên quan đến việc trừ tổng của hai số từ một số tự nhiên. Hãy xem một ví dụ sẽ cho chúng ta hiểu về tính chất này.
Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có 7 đồng xu trong tay. Đầu tiên chúng tôi quyết định giữ lại 2 đồng xu, nhưng nghĩ rằng số tiền này sẽ không đủ nên chúng tôi quyết định giữ một đồng xu khác. Dựa trên ý nghĩa của việc cộng các số tự nhiên, có thể lập luận rằng trong trường hợp này chúng ta quyết định giữ nguyên số xu được xác định bằng tổng 2+1. Vì vậy, chúng tôi lấy hai đồng xu, thêm một đồng xu khác vào chúng và bỏ chúng vào heo đất. Trong trường hợp này, số xu còn lại trong tay chúng ta được xác định bằng hiệu 7−(2+1) .
Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta có 7 đồng xu, và chúng ta bỏ 2 đồng xu vào heo đất, sau đó là một đồng xu khác. Về mặt toán học, quá trình này được mô tả như sau biểu thức số: (7−2)−1 .
Nếu chúng ta đếm những đồng xu còn lại trong tay thì trong cả trường hợp thứ nhất và thứ hai, chúng ta có 4 đồng xu. Nghĩa là, 7−(2+1)=4 và (7−2)−1=4, do đó, 7−(2+1)=(7−2)−1.
Ví dụ được xem xét cho phép chúng ta xây dựng tính chất trừ tổng của hai số từ một số tự nhiên đã cho. Trừ một số tự nhiên cho trước số tiền này hai số tự nhiên - nó giống như việc trừ số hạng đầu tiên của một tổng cho trước từ một số tự nhiên đã cho, sau đó trừ số hạng thứ hai khỏi hiệu thu được.
Chúng ta hãy nhớ lại rằng chúng ta chỉ đưa ra ý nghĩa của phép trừ các số tự nhiên trong trường hợp số bị trừ lớn hơn số bị trừ hoặc bằng nó. Do đó, chúng ta chỉ có thể trừ một số tiền nhất định từ một số tự nhiên đã cho nếu tổng này không lớn hơn số tự nhiên bị giảm. Lưu ý rằng nếu điều kiện này được đáp ứng thì mỗi số hạng không vượt quá số tự nhiên mà tổng bị trừ.
Sử dụng các chữ cái, tính chất trừ tổng hai số từ một số tự nhiên cho trước được viết dưới dạng đẳng thức a−(b+c)=(a−b)−c, trong đó a, b và c là một số số tự nhiên và thỏa mãn các điều kiện a>b+c hoặc a=b+c.
Thuộc tính được xem xét, cũng như thuộc tính kết hợp của phép cộng các số tự nhiên, giúp có thể trừ tổng của ba số trở lên từ một số tự nhiên đã cho.
Tính chất trừ một số tự nhiên từ tổng của hai số.
Chúng ta hãy chuyển sang thuộc tính tiếp theo, liên quan đến việc trừ một số tự nhiên cho trước từ tổng của hai số tự nhiên. Hãy xem các ví dụ sẽ giúp chúng ta “thấy” tính chất trừ một số tự nhiên từ tổng của hai số.
Chúng ta hãy để 3 viên kẹo ở túi thứ nhất và 5 viên kẹo ở túi thứ hai, và chúng ta cần cho đi 2 viên kẹo. Chúng ta có thể làm điều đó theo những cách khác nhau. Chúng ta hãy nhìn vào chúng từng cái một.
Đầu tiên chúng ta có thể cho tất cả kẹo vào một túi, sau đó lấy ra 2 viên kẹo từ đó và cho đi. Hãy để chúng tôi mô tả những hành động này một cách toán học. Sau khi chúng ta bỏ kẹo vào một túi, số lượng của chúng sẽ được xác định bằng tổng 3+5. Bây giờ, trong tổng số kẹo, chúng ta sẽ tặng 2 viên kẹo, còn số kẹo còn lại sẽ được xác định theo hiệu sau (3+5)−2.
Thứ hai, chúng ta có thể tặng 2 viên kẹo bằng cách lấy chúng ra khỏi túi đầu tiên. Trong trường hợp này, chênh lệch 3−2 xác định số kẹo còn lại trong túi đầu tiên và tổng số kẹo còn lại trong túi của chúng ta sẽ được xác định bằng tổng (3−2)+5.
Thứ ba, chúng ta có thể cho đi 2 viên kẹo từ túi thứ hai. Khi đó chênh lệch 5−2 sẽ tương ứng với số kẹo còn lại ở túi thứ hai, và tổng số kẹo còn lại sẽ được xác định bằng tổng 3+(5−2).
Rõ ràng là trong mọi trường hợp chúng ta sẽ có cùng số kẹo. Do đó, các đẳng thức (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) là đúng.
Nếu phải cho không phải 2 mà là 4 chiếc kẹo, chúng ta có thể làm điều này theo hai cách. Đầu tiên, tặng 4 viên kẹo, trước đó đã bỏ tất cả vào một túi. Trong trường hợp này, số kẹo còn lại được xác định bằng biểu thức có dạng (3+5)−4. Thứ hai, chúng ta có thể cho đi 4 viên kẹo từ túi thứ hai. Trong trường hợp này, tổng số kẹo sẽ có tổng sau 3+(5−4) . Rõ ràng là trong cả trường hợp thứ nhất và thứ hai, chúng ta sẽ có cùng số kẹo, do đó, đẳng thức (3+5)−4=3+(5−4) là đúng.
Sau khi phân tích kết quả thu được khi giải các ví dụ trước, chúng ta có thể xây dựng tính chất trừ một số tự nhiên cho trước từ tổng của hai số đã cho. Phép trừ một số tự nhiên cho tổng của hai số cũng giống như phép trừ số đã cho từ một trong các số hạng, sau đó cộng hiệu thu được và số hạng còn lại. Cần lưu ý rằng số bị trừ KHÔNG được lớn hơn số hạng mà số này bị trừ.
Hãy viết tính chất trừ một số tự nhiên từ một tổng bằng các chữ cái. Cho a, b, c là các số tự nhiên. Khi đó, với điều kiện a lớn hơn hoặc bằng c thì đẳng thức đúng (a+b)−c=(a−c)+b, và nếu thỏa mãn điều kiện b lớn hơn hoặc bằng c thì đẳng thức đúng (a+b)−c=a+(b−c). Nếu cả a và b đều lớn hơn hoặc bằng c thì cả hai đẳng thức cuối cùng đều đúng và chúng có thể được viết như sau: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
Bằng cách tương tự, chúng ta có thể xây dựng tính chất trừ một số tự nhiên từ tổng của ba số trở lên. Trong trường hợp này, số tự nhiên này có thể được trừ khỏi bất kỳ số hạng nào (tất nhiên, nếu nó lớn hơn hoặc bằng số bị trừ) và các số hạng còn lại có thể được cộng vào hiệu thu được.
Để hình dung thuộc tính âm thanh, bạn có thể tưởng tượng rằng chúng ta có nhiều túi và có kẹo trong đó. Giả sử chúng ta cần cho đi 1 chiếc kẹo. Rõ ràng là chúng ta có thể tặng 1 viên kẹo từ bất kỳ túi nào. Đồng thời, việc chúng ta cho nó từ túi nào không quan trọng, vì điều này không ảnh hưởng đến số lượng kẹo mà chúng ta sẽ còn lại.
Hãy đưa ra một ví dụ. Cho a, b, c, d là các số tự nhiên. Nếu a>d hoặc a=d, thì hiệu (a+b+c)−d bằng tổng (a−d)+b+c. Nếu b>d hoặc b=d, thì (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Nếu c>d hoặc c=d thì đẳng thức (a+b+c)−d=a+b+(c−d) là đúng.
Cần lưu ý rằng tính chất trừ một số tự nhiên khỏi tổng của ba số trở lên không phải là một tính chất mới, vì nó xuất phát từ tính chất cộng các số tự nhiên và tính chất trừ một số từ tổng của hai số.
Tài liệu tham khảo.
- Toán học. Bất kỳ sách giáo khoa nào dành cho lớp 1, 2, 3, 4 của các cơ sở giáo dục phổ thông.
- Toán học. Bất kỳ sách giáo khoa lớp 5 của các cơ sở giáo dục phổ thông.
Chủ đề của bài học này là “Các tính chất của phép cộng”. Trong đó, bạn sẽ làm quen với các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, xem xét chúng trong ví dụ cụ thể. Tìm hiểu những trường hợp nào bạn có thể sử dụng chúng để làm cho quá trình tính toán dễ dàng hơn. Các ví dụ kiểm tra sẽ giúp xác định mức độ bạn nắm vững tài liệu đã học.
Bài học: Tính chất của phép cộng
Hãy nhìn kỹ vào biểu thức:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Chúng ta cần tìm giá trị của nó. Hãy làm điều đó.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
Kết quả của biểu thức là 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Nói cho tôi biết, tính toán có thuận tiện không? Nó không thuận tiện lắm để tính toán. Hãy nhìn lại những con số trong biểu thức này. Có thể hoán đổi chúng để việc tính toán thuận tiện hơn không?
Nếu chúng ta sắp xếp lại các số theo cách khác:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
Kết quả cuối cùng của biểu thức là 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Chúng ta thấy rằng kết quả của các biểu thức là như nhau.
Các số hạng có thể được hoán đổi nếu thuận tiện cho việc tính toán và giá trị của tổng không thay đổi.
Có một định luật trong toán học: Luật giao hoán của phép cộng. Nó nói rằng việc sắp xếp lại các số hạng không làm thay đổi tổng.
Chú Fyodor và Sharik tranh cãi. Sharik tìm thấy ý nghĩa của biểu thức như nó được viết, và chú Fedor nói rằng ông biết một cách tính toán khác thuận tiện hơn. Bạn có thấy cách tính toán nào tốt hơn không?
Sharik đã giải được biểu thức như đã viết. Và chú Fyodor nói rằng ông biết luật cho phép hoán đổi các số hạng và hoán đổi số 25 và 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Chúng ta thấy rằng kết quả vẫn giữ nguyên nhưng việc tính toán đã trở nên dễ dàng hơn nhiều.
Nhìn vào các biểu thức sau đây và đọc chúng.
6 + (24 + 51) = 81 (6 cộng tổng của 24 và 51)
Có cách nào thuận tiện để tính toán?
Chúng ta thấy rằng nếu cộng 6 và 24 thì chúng ta sẽ có một số tròn. Việc thêm một cái gì đó vào một số làm tròn luôn dễ dàng hơn. Hãy viết tổng của các số 6 và 24 trong ngoặc.
(6 + 24) + 51 = …
(cộng 51 vào tổng số 6 và 24)
Hãy tính giá trị của biểu thức và xem giá trị của biểu thức có thay đổi không?
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Chúng ta thấy rằng ý nghĩa của biểu thức vẫn giữ nguyên.
Hãy thực hành với một ví dụ nữa.
(27 + 19) + 1 = 47 (cộng 1 vào tổng các số 27 và 19)
Những số nào thuận tiện để nhóm lại để tạo thành một phương pháp thuận tiện?
Bạn đoán rằng đây là các số 19 và 1. Hãy đặt tổng của các số 19 và 1 vào trong ngoặc.
27 + (19 + 1) = …
(đến 27 cộng tổng của các số 19 và 1)
Chúng ta hãy tìm ý nghĩa của biểu thức này. Chúng ta nhớ rằng hành động trong ngoặc đơn được thực hiện trước tiên.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
Ý nghĩa của biểu thức của chúng tôi vẫn giữ nguyên.
Luật kết hợp của phép cộng: hai số hạng liền kề có thể được thay thế bằng tổng của chúng.
Bây giờ chúng ta hãy thực hành sử dụng cả hai định luật. Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Trước tiên, hãy sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng, tính chất này cho phép chúng ta đổi chỗ các phần cộng. Hãy hoán đổi các điều khoản 14 và 2.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Bây giờ hãy sử dụng thuộc tính kết hợp, cho phép chúng ta thay thế hai số hạng liền kề bằng tổng của chúng.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Đầu tiên chúng ta tìm ra giá trị của tổng 38 và 2.
Bây giờ tổng là 14 và 6.
3. Lễ hội ý tưởng sư phạm « Mở bài học» ().
Làm nó ở nhà
1. Tính tổng các số hạng theo nhiều cách khác nhau:
a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16
2. Đánh giá kết quả biểu thức:
a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1
3. Tính số tiền một cách thuận tiện:
a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13
Khái niệm phép trừ được hiểu rõ nhất qua một ví dụ. Bạn quyết định uống trà với đồ ngọt. Trong bình có 10 cái kẹo. Bạn đã ăn 3 viên kẹo. Hỏi trong bình còn lại bao nhiêu viên kẹo? Nếu chúng ta trừ 3 từ 10 thì trong bình sẽ còn lại 7 chiếc kẹo. Hãy viết vấn đề một cách toán học:
Chúng ta hãy nhìn vào mục chi tiết:
10 là số mà chúng ta trừ hoặc giảm, đó là lý do tại sao nó được gọi là có thể giảm bớt.
3 là số chúng ta đang trừ. Đó là lý do tại sao họ gọi anh ấy được khấu trừ.
7 là kết quả của phép trừ hay còn gọi là sự khác biệt. Sự khác biệt cho thấy số thứ nhất (10) lớn hơn số thứ hai (3) bao nhiêu hoặc số thứ hai (3) nhỏ hơn số thứ nhất (10) bao nhiêu.
Nếu bạn nghi ngờ liệu mình có tìm thấy sự khác biệt một cách chính xác hay không, bạn cần phải làm kiểm tra. Cộng số thứ hai vào phần chênh: 7+3=10
Khi trừ l thì số bị trừ không được nhỏ hơn số bị trừ.
Chúng tôi rút ra kết luận từ những gì đã được nói. Phép trừ- đây là hành động trong đó số hạng thứ hai được tìm thấy từ tổng và một trong các số hạng.
Ở dạng chữ, biểu thức này sẽ trông như thế này:
Một-b =c
a – phần nhỏ,
b – trừ đi,
c-sự khác biệt.
Tính chất của phép trừ một tổng.
13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6
Ví dụ có thể được giải quyết theo hai cách. Cách đầu tiên là tìm tổng của các số (3+4), rồi trừ đi tổng số(13). Cách thứ hai là trừ số hạng thứ nhất (3) khỏi tổng số (13), sau đó trừ số hạng thứ hai (4) khỏi hiệu thu được.
Ở dạng chữ, tính chất trừ một tổng từ một số sẽ như sau:
a - (b + c) = a - b - c
Tính chất trừ một số từ một tổng.
(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8
Để trừ một số khỏi một tổng, bạn có thể trừ số này khỏi một số hạng, sau đó cộng số hạng thứ hai vào hiệu thu được. Điều kiện là số bị trừ phải lớn hơn số bị trừ.
Ở dạng chữ, tính chất trừ một số từ một tổng sẽ như sau:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(một +b) -c=một + (b - c), với điều kiện b > c
(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c=(a - c) + b, với điều kiện a > c
Thuộc tính trừ với số 0.
10 — 0 = 10
một - 0 = một
Nếu bạn trừ số 0 từ một số thì nó sẽ là số tương tự.
10 — 10 = 0
Một-một = 0
Nếu bạn trừ cùng một số từ một số thì nó sẽ bằng không.
Các câu hỏi về chủ đề:
Ví dụ 35 - 22 = 13, gọi tên số bị trừ, số bị trừ và hiệu.
Đáp án: 35 – số trừ, 22 – số trừ, 13 – chênh lệch.
Nếu các con số giống nhau thì sự khác biệt của chúng là gì?
Trả lời: không.
Làm phép trừ 24 - 16 = 8?
Đáp án: 16 + 8 = 24
Bảng trừ các số tự nhiên từ 1 đến 10.
Ví dụ về các bài toán về chủ đề “Phép trừ các số tự nhiên”.
Ví dụ #1:
Điền số còn thiếu: a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Đáp án: a) 0 b) 5
Ví dụ #2:
Có thể trừ: a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Đáp án: a) không b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) không
Ví dụ #3:
Đọc biểu thức: 20 - 8
Trả lời: “Hai mươi trừ tám” hoặc “hai mươi trừ tám”. Phát âm các từ một cách chính xác