Họ có nhiều tài sản:
1. Hàm được gọi đơn điệu trên một khoảng A nhất định, nếu nó tăng hoặc giảm trên khoảng này
2. Hàm được gọi tăng dần trên một khoảng A nhất định, nếu với bất kỳ số nào trong tập A của chúng thì điều kiện sau được thỏa mãn:.
Đồ thị hàm số tăng có đặc điểm đặc biệt là khi di chuyển dọc trục x từ trái sang phải dọc theo khoảng MỘT tọa độ của các điểm đồ thị tăng lên (Hình 4).
3. Hàm được gọi giảm dần ở một khoảng thời gian nào đó MỘT, nếu với bất kỳ số nào có nhiều số trong số đó MỘTđiều kiện được đáp ứng:.
Đồ thị hàm số giảm có đặc điểm đặc biệt là khi di chuyển dọc trục x từ trái sang phải dọc theo khoảng MỘT tọa độ của các điểm đồ thị giảm (Hình 4).
4. Hàm được gọi thậm chí
trên một số bộ X, nếu điều kiện được đáp ứng: 
.
Đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục tọa độ (Hình 2).
5. Hàm được gọi số lẻ
trên một số bộ X, nếu điều kiện được đáp ứng: 
.
Đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ (Hình 2).
6. Nếu chức năng y = f(x)
f(x) f(x), thì họ nói rằng hàm y = f(x) chấp nhận giá trị nhỏ nhất
Tại=f(x) Tại X= x(Hình 2, hàm lấy giá trị nhỏ nhất tại điểm có tọa độ (0;0)).
7. Nếu chức năng y = f(x)được xác định trên tập X và tồn tại sao cho với bất kỳ bất đẳng thức nào f(x) f(x), thì họ nói rằng hàm y = f(x) chấp nhận giá trị cao nhất Tại=f(x) Tại X= x(Hình 4, hàm không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất) .
Nếu vì chức năng này y = f(x) tất cả các thuộc tính được liệt kê đã được nghiên cứu, sau đó họ nói rằng học chức năng.
Bài học 1-2. Định nghĩa hàm số và phương pháp xác định hàm số
09.07.2015 11704 0Mục tiêu: thảo luận về định nghĩa của hàm và cách định nghĩa nó.
I. Truyền đạt chủ đề và mục đích bài học
II. Ôn tập tài liệu lớp 9
Các khía cạnh khác nhau của chủ đề này đã được đề cập ở lớp 7-9. Bây giờ chúng ta cần mở rộng và tóm tắt thông tin về các chức năng. Hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng chủ đề này là một trong những chủ đề quan trọng nhất đối với toàn bộ khóa học toán học. Các chức năng khác nhau sẽ được nghiên cứu cho đến khi tốt nghiệp và hơn thế nữa trong các cơ sở giáo dục đại học. Chủ đề này liên quan chặt chẽ đến việc giải phương trình, bất phương trình, bài toán có lời văn, cấp số cộng, v.v.
Định nghĩa 1. Cho hai bộ số thực D và E và luật được chỉ định f theo đó mỗi số x∈ D trùng với số ít y ∈ E (xem hình). Sau đó họ nói rằng hàm y = f(x ) hoặc y(x) với miền định nghĩa (O.O.) D và diện tích thay đổi (O.I.) E. Trong trường hợp này, giá trị x được gọi là biến độc lập (hoặc đối số của hàm), giá trị y được gọi là biến phụ thuộc (hoặc giá trị của hàm).
Miền chức năng f biểu thị D(f ). Bộ gồm tất cả các số f(x ) (phạm vi chức năng f), ký hiệu là E(f).
Ví dụ 1
Hãy xem xét chức năng
Để tìm y cho mỗi giá trị của x, bạn phải thực hiện các thao tác sau: trừ số 2 (x - 2) từ giá trị của x, trích căn bậc hai của biểu thức nàyvà cuối cùng thêm số 3Tập hợp các phép toán này (hoặc định luật theo đó giá trị y được tìm kiếm cho mỗi giá trị của x) được gọi là hàm y(x). Ví dụ, với x = 6 ta tìm đượcVì vậy, để tính hàm y tại một điểm x cho trước, cần thay giá trị x này vào hàm y(x) đã cho.
Rõ ràng, đối với một hàm cho trước, với bất kỳ số x chấp nhận được nào, chỉ có thể tìm thấy một giá trị của y (nghĩa là với mỗi giá trị của x thì tương ứng với một giá trị của y).
Bây giờ chúng ta hãy xem xét phạm vi định nghĩa và phạm vi biến đổi của hàm này. Chỉ có thể trích căn bậc hai của biểu thức (x - 2) nếu giá trị này không âm, tức là x - 2 ≥ 0 hoặc x ≥ 2. Tìm
Vì theo định nghĩa của căn số học
sau đó chúng ta cộng số 3 vào tất cả các phần của bất đẳng thức này, chúng ta nhận được:
hoặc 3 ≤ y< +∞. Находим
Các hàm hữu tỷ thường được sử dụng trong toán học. Trong trường hợp này, các hàm có dạng f(x ) = p(x) (trong đó p(x) là đa thức) được gọi là hàm hữu tỷ toàn bộ. Chức năng của biểu mẫu(trong đó p(x) và q(x ) - đa thức) được gọi là hàm phân số hữu tỉ. Rõ ràng là một phân sốđược xác định nếu mẫu số q(x ) không biến mất. Do đó, miền định nghĩa của hàm hữu tỉ phân số- tập hợp tất cả các số thực mà các nghiệm của đa thức bị loại trừ q(x).
Ví dụ 2
Hàm hữu tỉ
được xác định cho x - 2 ≠ 0, tức là x ≠ 2. Do đó, miền định nghĩa của hàm này là tập hợp tất cả các số thực không bằng 2, tức là hợp của các khoảng (-∞; 2) và (2; ∞).
Nhớ lại rằng hợp của các tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp A hoặc B. Hợp của các tập hợp A và B được ký hiệu là ký hiệu A bạn B. Như vậy, hợp các đoạn thẳng và (3; 9) là một khoảng (các khoảng không giao nhau) được ký hiệu là .
Trở lại ví dụ, chúng ta có thể viết:Vì với mọi giá trị chấp nhận được của x thì phân sốkhông biến mất thì hàm số f(x ) nhận tất cả các giá trị ngoại trừ 3. Do đó
Ví dụ 3
Hãy tìm miền định nghĩa của hàm hữu tỉ phân số
Mẫu số của phân số biến mất tại x = 2, x = 1 và x = -3. Do đó, miền định nghĩa của hàm này
Ví dụ 4
Nghiện 
không còn là một chức năng nữa. Thật vậy, nếu chúng ta muốn tính giá trị của y, chẳng hạn như với x = 1, thì sử dụng công thức trên, chúng ta tìm thấy: y = 2 1 - 3 = -1, và sử dụng công thức dưới, chúng ta nhận được: y = 12 + 1 = 2. Như vậy, một giá trị x(x = 1) tương ứng với hai giá trị của y (y = -1 và y = 2). Do đó, sự phụ thuộc này (theo định nghĩa) không phải là một hàm.
Ví dụ 5
Đồ thị của hai phụ thuộc được hiển thị y(x ). Hãy xác định xem cái nào trong số chúng là một hàm.
Trong hình. và đồ thị của hàm số đã cho, vì tại bất kỳ điểm nào x 0 chỉ có một giá trị y0 tương ứng. Trong hình. b là đồ thị của sự phụ thuộc nào đó (nhưng không phải là hàm số), vì các điểm đó tồn tại (ví dụ: x 0 ), tương ứng với nhiều hơn một giá trị y (ví dụ: y1 và y2).
Bây giờ chúng ta hãy xem xét những cách chính để xác định hàm.
1) Phân tích (dùng công thức hoặc các công thức).
Ví dụ 6
Chúng ta hãy nhìn vào các chức năng:
Mặc dù có hình thức khác thường nhưng mối quan hệ này cũng xác định một hàm. Với mọi giá trị của x, dễ dàng tìm được giá trị của y. Ví dụ: với x = -0,37 (vì x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, thì chúng ta sử dụng biểu thức thấp hơn) chúng ta có:
Từ phương pháp tìm y, rõ ràng là bất kỳ giá trị x nào cũng chỉ tương ứng với một giá trị y.
c) 3x + y = 2y - x2. Chúng ta hãy biểu thị giá trị y từ mối quan hệ này: 3x + x2 = 2y - y hoặc x2 + 3x = y. Như vậy, mối quan hệ này cũng xác định hàm y = x2 + 3x.
2) dạng bảng
Ví dụ 7
Hãy viết một bảng bình phương y cho các số x.
2,25 | 6,25 |
Dữ liệu bảng cũng xác định một hàm - với mỗi giá trị (cho trong bảng) của x, có thể tìm thấy một giá trị duy nhất của y. Ví dụ: y(1,5) = 2,25, y(5) = 25, v.v.
3) Đồ họa
Trong hệ tọa độ hình chữ nhật, để mô tả sự phụ thuộc hàm y(x), sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một bản vẽ đặc biệt - đồ thị của hàm số.
Định nghĩa 2. Đồ thị của hàm số y(x ) là tập hợp tất cả các điểm của hệ tọa độ, hoành độ của nó bằng giá trị của biến độc lập x và tọa độ bằng giá trị tương ứng của biến phụ thuộc y.
Theo định nghĩa này, tất cả các cặp điểm (x0, y0) thỏa mãn sự phụ thuộc hàm y(x) đều nằm trên đồ thị của hàm số. Bất kỳ cặp điểm nào khác không thỏa mãn sự phụ thuộc y(x ), các hàm số không nằm trên đồ thị.
Ví dụ 8
Cho một hàm 
Điểm có tọa độ có thuộc đồ thị của hàm số này không: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?
1. Tìm giá trị của hàm y tạiVì y(-2) = -6 nên điểm A (-2; -6) thuộc đồ thị của hàm số này.
2. Xác định giá trị của hàm y tại Vì y (-3) = -11 thì điểm B (-3; -10) không thuộc đồ thị của hàm số này.
Theo đồ thị này của hàm số y = f(x ) dễ dàng tìm được miền định nghĩa D(f ) và phạm vi E(f ) các hàm. Để làm điều này, các điểm đồ thị được chiếu lên các trục tọa độ. Khi đó hoành độ của các điểm này tạo thành miền định nghĩa D(f ), tọa độ - phạm vi giá trị E(f).
Hãy so sánh các cách khác nhau để định nghĩa một hàm. Phương pháp phân tích nên được coi là đầy đủ nhất. Nó cho phép bạn tạo bảng giá trị hàm cho một số giá trị đối số, xây dựng biểu đồ của hàm và tiến hành các nghiên cứu cần thiết về hàm. Đồng thời, phương pháp dạng bảng cho phép bạn nhanh chóng và dễ dàng tìm thấy giá trị của hàm đối với một số giá trị đối số. Đồ thị của một hàm thể hiện rõ ràng hành vi của nó. Vì vậy, người ta không nên phản đối các phương pháp xác định chức năng khác nhau; mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm riêng. Trong thực tế, cả ba cách xác định hàm đều được sử dụng.
Ví dụ 9
Cho hàm số y = 2x2 - 3x +1.
Hãy tìm: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).
Để tìm giá trị của hàm cho một giá trị nào đó của đối số, cần phải thay giá trị này của đối số vào dạng phân tích của hàm. Vì vậy chúng tôi nhận được:
Ví dụ 10
Biết rằng y(3 - x) = 2x2 - 4. Hãy tìm: a) y(x); b) y(-2).
a) Chúng ta hãy biểu thị nó bằng chữ cái z = 3 thì x = 3 - z . Hãy thay giá trị x này vào dạng phân tích của hàm y(3 - x) = 2x2 - 4 và nhận được: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, hoặc y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, hoặc y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, hoặc y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Vì không quan trọng chữ cái nào nên đối số của hàm được biểu thị - z, x, t hoặc bất kỳ giá trị nào khác, chúng ta nhận được ngay: y(x) = 2x2 - 12x + 14;
b) Bây giờ dễ dàng tìm được y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.
Ví dụ 11
Người ta biết rằng 
Hãy tìm x(y).
Hãy biểu thị bằng chữ cái z = x - 2 thì x = z + 2 và ghi điều kiện của bài toán: hoặc 
ĐẾN chúng ta sẽ viết điều kiện tương tự cho đối số (- z ): 
Để thuận tiện, chúng tôi giới thiệu các biến mới a = y (z) và b = y (- z ). Với các biến như vậy ta thu được hệ phương trình tuyến tính
Chúng tôi quan tâm đến những điều chưa biết Một.
Để tìm nó, chúng ta sử dụng phương pháp cộng đại số. Do đó, hãy nhân phương trình thứ nhất với số (-2), phương trình thứ hai với số 3. Ta được:
Hãy thêm các phương trình sau:
Ở đâu 
Vì đối số của hàm có thể được biểu thị bằng bất kỳ chữ cái nào, nên chúng ta có:
Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng vào cuối lớp 9, các tính chất và đồ thị sau đã được nghiên cứu:
a) hàm tuyến tính y = kx + tôi (đồ thị là một đường thẳng);
b) hàm bậc hai y = ax2 + b x + c (đồ thị - parabol);
c) hàm tuyến tính phân số(đồ thị - hyperbol), cụ thể là các hàm
d) hàm lũy thừa y = xa (cụ thể là hàm
e) hàm y = |x|.
Để nghiên cứu sâu hơn về tài liệu, chúng tôi khuyên bạn nên lặp lại các thuộc tính và đồ thị của các hàm này. Các bài học sau đây sẽ đề cập đến các phương pháp cơ bản để chuyển đổi đồ thị.
1. Định nghĩa hàm số.
2. Giải thích cách xác định hàm số.
3. Cái gọi là hợp của tập A và B?
4. Những hàm nào được gọi là số nguyên hữu tỷ?
5. Những hàm số nào được gọi là phân số hữu tỉ? Miền định nghĩa của các chức năng như vậy là gì?
6. Cái gọi là đồ thị của hàm số f(x)?
7. Nêu tính chất và đồ thị của các hàm số chính.
IV. Giao bài học
§ 1, số 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( Một ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.
V. Bài tập về nhà
§ 1, số 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a,b); 16 (c, d); 19.
VI. Nhiệm vụ sáng tạo
1. Tìm hàm số y = f(x), nếu:
Câu trả lời:
2. Tìm hàm số y = f(x) nếu:
Câu trả lời:
VII. Tổng hợp các bài học
BÀI TÓM TẮT VỀ CHỨC NĂNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG.
Mục tiêu bài học:
Phương pháp: tăng cường hoạt động nhận thức tích cực của học sinh thông qua công việc độc lập của cá nhân và sử dụng các bài kiểm tra kiểu phát triển.
giáo dục: lặp lại các hàm cơ bản, các tính chất và đồ thị cơ bản của chúng. Giới thiệu khái niệm hàm số nghịch đảo lẫn nhau. Hệ thống hóa kiến thức của học sinh về chủ đề; góp phần củng cố các kỹ năng tính logarit, áp dụng các tính chất của chúng khi giải các bài tập thuộc loại không chuẩn; lặp lại việc xây dựng đồ thị hàm số bằng cách sử dụng các phép biến đổi và kiểm tra kỹ năng cũng như khả năng của bạn khi tự mình giải bài tập.
giáo dục: bồi dưỡng tính chính xác, điềm tĩnh, trách nhiệm và khả năng đưa ra quyết định độc lập.
Phát triển: phát triển khả năng trí tuệ, hoạt động trí tuệ, lời nói, trí nhớ. Phát triển niềm yêu thích và hứng thú với toán học; Trong giờ học, đảm bảo cho học sinh phát triển tư duy độc lập trong hoạt động học tập.
Loại bài học: khái quát hóa và hệ thống hóa.
Thiết bị: bảng, máy tính, máy chiếu, màn hình, tài liệu giáo dục.
Lời bài học:“Toán học phải được dạy vì nó giúp trí óc có trật tự.”
(M.V. Lomonosov).
TIẾN ĐỘ BÀI HỌC
Kiểm tra bài tập về nhà.
Lặp lại các hàm số mũ và logarit với cơ số a = 2, xây dựng đồ thị của chúng trong cùng mặt phẳng tọa độ, phân tích vị trí tương đối của chúng. Xem xét sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các thuộc tính chính của các hàm này (OOF và OFP). Đưa ra khái niệm hàm số nghịch đảo lẫn nhau.
Xét hàm mũ và hàm logarit có cơ số a = ½ c
để đảm bảo rằng sự phụ thuộc lẫn nhau của các thuộc tính được liệt kê được quan sát và
giảm các hàm nghịch đảo lẫn nhau.
Tổ chức các bài kiểm tra độc lập để phát triển kỹ năng tư duy
hệ thống hóa các hoạt động về chủ đề “Chức năng và tính chất của chúng”.
ĐẶC TÍNH CHỨC NĂNG:
1). y = │х│ ;
2). Tăng trên toàn bộ khu vực định nghĩa;
3). OOF: (- ∞; + ∞) ;
4). y = sin x;
5). Giảm ở mức 0< а < 1 ;
6). y = x³;
7). OPF: (0; + ∞) ;
8). Chức năng chung;
9). y = √x;
10). OOF: (0; + ∞) ;
11). Giảm trên toàn bộ vùng xác định;
12). y = kx + b;
13). OSF: (- ∞; + ∞) ;
14). Tăng ở k > 0;
15). OOF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;
16). y = cos x;
17). Không có điểm cực trị;
18). OSF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;
19). Giảm ở mức k< 0 ;
20). y = x²;
21). OOF: x ≠ πn;
22). y = k/x;
23). Thậm chí;
25). Giảm khi k > 0;
26). OOF: [ 0; + ∞);
27). y = tan x;
28). Tăng theo k< 0;
29). OSF: [ 0; + ∞);
30). Số lẻ;
31). y = log x ;
32). OOF: x ≠ πn/2;
33). y = ctg x ;
34). Tăng khi a > 1.
Trong quá trình làm việc này, hãy khảo sát học sinh về các bài tập cá nhân:
Số 1. a) Vẽ đồ thị hàm số 
b) Vẽ đồ thị hàm số 
Số 2. a) Tính toán:
b) Tính:
Số 3. a) Rút gọn biểu thức 
và tìm giá trị của nó tại
b) Rút gọn biểu thức 
và tìm giá trị của nó tại 
.
Bài tập về nhà: Số 1. Tính: a) 
;
V) 
;
G) 
.
Số 2. Tìm miền định nghĩa của hàm số: a) 
;
V) 
; G) 
.
Phần: Toán học
Lớp học: 9
Loại bài: Bài học khái quát hóa, hệ thống hóa kiến thức.
Thiết bị:
- Thiết bị tương tác (PC, máy chiếu đa phương tiện).
- Kiểm tra, tài liệu trong Microsoft Word ( Phụ lục 1).
- Chương trình tương tác “Chữ ký”.
- Kiểm tra cá nhân - phát bài ( Phụ lục 2).
Tiến độ bài học
1. Thời điểm tổ chức
Mục đích của bài học được công bố.
Giai đoạn I của bài học
Kiểm tra bài tập về nhà
- Thu thập tờ rơi về bài tập độc lập tại nhà từ tài liệu giáo khoa S-19 tùy chọn 1.
- Giải các bài tập trên bảng gây khó khăn cho học sinh khi làm bài tập về nhà.
Giai đoạn II của bài học
1. Khảo sát trực diện.
2. Khảo sát chớp nhoáng:Đánh dấu câu trả lời đúng trong bài kiểm tra lên bảng (Phụ lục 1, trang 2-3).
Giai đoạn bài học III
Làm bài tập.
1. Giải câu 358(a). Giải phương trình bằng đồ thị: .
2. Thẻ (4 học sinh yếu giải vào vở hoặc lên bảng):
1) Tìm ý nghĩa của biểu thức: a) ; b)
.
2) Tìm miền định nghĩa của hàm số: a) ; b) y = .
3. Giải câu 358(a). Giải phương trình bằng đồ thị: .
Một học sinh giải trên bảng, còn lại vào vở. Nếu cần thiết, giáo viên giúp đỡ học sinh.
Hệ tọa độ hình chữ nhật được xây dựng trên bảng tương tác bằng chương trình AutoGraph. Học sinh dùng bút vẽ các đồ thị tương ứng, tìm lời giải và viết ra câu trả lời. Sau đó, nhiệm vụ được kiểm tra: công thức được nhập bằng bàn phím và biểu đồ phải trùng với biểu đồ đã được vẽ trong cùng một hệ tọa độ. Trục hoành của giao điểm của đồ thị là nghiệm của phương trình.
Giải pháp:
Trả lời: 8
Giải số 360(a). Vẽ và đọc đồ thị của hàm số:
Học sinh hoàn thành nhiệm vụ một cách độc lập.
Việc xây dựng biểu đồ được kiểm tra bằng chương trình AutoGraph, các thuộc tính được một học sinh viết lên bảng (miền định nghĩa, miền giá trị, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu, tính liên tục, số 0 và hằng số dấu, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một chức năng).
Giải pháp:
Của cải:
1) D( f) = (-); f E(