Chuyển vị của ma trận nghịch đảo. Phép nhân ma trận

Khi làm việc với ma trận, đôi khi bạn cần hoán vị chúng, nghĩa là nói một cách đơn giản là lật chúng lại. Tất nhiên, bạn có thể nhập dữ liệu theo cách thủ công, nhưng Excel cung cấp một số cách để thực hiện việc này dễ dàng và nhanh hơn. Chúng ta hãy xem xét chúng một cách chi tiết.

Chuyển vị ma trận là quá trình hoán đổi cột và hàng. Excel có 2 phương án chuyển vị: sử dụng hàm CHUYỂN và sử dụng công cụ chèn đặc biệt. Chúng ta hãy xem xét từng tùy chọn này chi tiết hơn.

Cách 1: Toán tử TRANSPOSE

Chức năng CHUYỂN thuộc danh mục các nhà khai thác "Liên kết và mảng". Điều đặc biệt là, giống như các hàm khác hoạt động với mảng, kết quả đầu ra không phải là nội dung của ô mà là toàn bộ mảng dữ liệu. Cú pháp của hàm khá đơn giản và trông như thế này:

TRANSP(mảng)

Nghĩa là, đối số duy nhất của toán tử này là tham chiếu đến mảng, trong trường hợp của chúng ta là ma trận, cần được chuyển đổi.

Hãy xem cách áp dụng hàm này bằng cách sử dụng một ví dụ với ma trận thực.

  1. Chúng tôi chọn một ô trống trên trang tính mà chúng tôi dự định tạo ô trên cùng bên trái của ma trận đã chuyển đổi. Tiếp theo nhấn vào biểu tượng "Chèn chức năng", nằm gần thanh công thức.

  2. Đang khởi chạy Trình hướng dẫn chức năng. Mở danh mục trong đó "Liên kết và mảng" hoặc "Danh sách đầy đủ theo thứ tự bảng chữ cái". Sau khi tìm được tên "CHUYỂN", chọn nó và nhấp vào nút "ĐƯỢC RỒI".

  3. Cửa sổ đối số hàm mở ra CHUYỂN. Đối số duy nhất của toán tử này tương ứng với trường "Mảng". Bạn cần nhập tọa độ của ma trận cần lật. Để thực hiện việc này, hãy đặt con trỏ vào trường và giữ nút chuột trái, chọn toàn bộ phạm vi của ma trận trên trang tính. Sau khi địa chỉ vùng được hiển thị trong cửa sổ đối số, hãy nhấp vào nút "ĐƯỢC RỒI".

  4. Tuy nhiên, như chúng ta thấy, trong ô được dùng để hiển thị kết quả, một giá trị không chính xác được hiển thị dưới dạng lỗi "#GIÁ TRỊ!". Điều này là do cách hoạt động của các toán tử mảng. Để sửa lỗi này, hãy chọn một dải ô trong đó số hàng phải bằng số cột của ma trận ban đầu và số cột phải bằng số hàng. Sự tương ứng như vậy là rất quan trọng để kết quả được hiển thị chính xác. Trong trường hợp này, ô chứa biểu thức "#GIÁ TRỊ!" phải là ô trên cùng bên trái của mảng đã chọn và chính từ ô này mà quy trình chọn sẽ bắt đầu bằng cách giữ nút chuột trái. Sau khi bạn đã lựa chọn, hãy đặt con trỏ vào thanh công thức ngay sau biểu thức toán tử CHUYỂN, sẽ xuất hiện trong đó. Sau đó, để thực hiện phép tính, bạn cần nhấn nút Đi vào, như thông lệ trong các công thức thông thường, và quay số kết hợp Ctrl+Shift+Enter.

  5. Sau những hành động này, ma trận đã được hiển thị khi chúng tôi cần, nghĩa là ở dạng chuyển đổi. Nhưng có một vấn đề khác. Thực tế là bây giờ ma trận mới là một mảng được liên kết bằng một công thức không thể thay đổi. Khi bạn cố gắng thực hiện bất kỳ thay đổi nào đối với nội dung của ma trận, một lỗi sẽ xuất hiện. Một số người dùng khá hài lòng với tình trạng này vì họ không có ý định thực hiện thay đổi đối với mảng, nhưng những người khác lại cần một ma trận mà họ có thể làm việc hoàn toàn.

    Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi chọn toàn bộ phạm vi chuyển đổi. Di chuyển đến tab "Trang chủ" bấm vào biểu tượng "Sao chép", nằm trên ribbon trong nhóm "Bảng tạm". Thay vì hành động được chỉ định, sau khi chọn, bạn có thể đặt phím tắt tiêu chuẩn để sao chép Ctrl+C.

  6. Sau đó, không xóa vùng chọn khỏi phạm vi được chuyển đổi, hãy nhấp chuột phải vào vùng chọn đó. Trong menu ngữ cảnh trong nhóm "Chèn tùy chọn" bấm vào biểu tượng "Giá trị", trông giống như một chữ tượng hình mô tả các con số.

    Theo đó, công thức mảng CHUYỂN sẽ bị xóa và chỉ còn lại một giá trị trong các ô, có thể xử lý theo cách tương tự như với ma trận ban đầu.

Cách 2: Chuyển đổi ma trận bằng Paste Special

Ngoài ra, ma trận có thể được chuyển đổi bằng cách sử dụng một mục menu ngữ cảnh được gọi là "Chèn đặc biệt".


Sau các bước này, chỉ còn lại ma trận đã chuyển đổi trên trang tính.

Với hai phương pháp tương tự được thảo luận ở trên, bạn có thể chuyển đổi không chỉ ma trận mà còn cả các bảng đầy đủ sang Excel. Thủ tục sẽ gần như giống hệt nhau.

Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng trong Excel, ma trận có thể được hoán vị, nghĩa là được lật bằng cách hoán đổi các cột và hàng, theo hai cách. Tùy chọn đầu tiên liên quan đến việc sử dụng chức năng CHUYỂN và thứ hai là Dán Công cụ Đặc biệt. Nhìn chung, kết quả cuối cùng thu được khi sử dụng cả hai phương pháp này là không khác nhau. Cả hai phương pháp đều hoạt động trong hầu hết mọi tình huống. Vì vậy, khi chọn tùy chọn chuyển đổi, sở thích cá nhân của một người dùng cụ thể sẽ được đặt lên hàng đầu. Nghĩa là, phương pháp nào thuận tiện hơn cho cá nhân bạn, hãy sử dụng phương pháp đó.

Ma trận hoán vị

Chuyển vị ma trậnđược gọi là thay thế các hàng của ma trận bằng các cột của nó trong khi vẫn duy trì thứ tự của chúng (hoặc, tương tự như vậy, thay thế các cột của ma trận bằng các hàng của nó).

Cho ma trận ban đầu MỘT:

Khi đó, theo định nghĩa, ma trận chuyển vị MỘT" có dạng:


Dạng ký hiệu rút gọn cho thao tác hoán vị ma trận: Ma trận chuyển vị thường được ký hiệu

Ví dụ 3. Cho ma trận A và B:


Khi đó các ma trận chuyển vị tương ứng có dạng:

Có thể dễ dàng nhận thấy hai mẫu của hoạt động chuyển vị ma trận.

1. Ma trận chuyển vị hai lần bằng ma trận gốc:

2. Khi hoán vị ma trận vuông, các phần tử nằm trên đường chéo chính không thay đổi vị trí của chúng, tức là. Đường chéo chính của ma trận vuông không thay đổi khi hoán vị.

Phép nhân ma trận

Phép nhân ma trận là một phép toán cụ thể tạo thành cơ sở của đại số ma trận. Các hàng và cột của ma trận có thể được coi là các vectơ hàng và cột có kích thước phù hợp; nói cách khác, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được hiểu là tập hợp các vectơ hàng hoặc vectơ cột.

Cho hai ma trận: MỘT- kích cỡ T X N Và TRONG- kích cỡ p x k. Chúng ta sẽ xem xét ma trận MỘT như một tổng thể T vectơ hàng MỘT) kích thước N mỗi cái và ma trận TRONG - như một tổng thể ĐẾN vectơ cột b Jt chứa mỗi N tọa độ mỗi:


Vectơ hàng ma trận MỘT và vectơ cột ma trận TRONGđược thể hiện trong ký hiệu của các ma trận này (2.7). Độ dài hàng ma trận MỘT bằng chiều cao của cột ma trận TRONG, và do đó tích vô hướng của các vectơ này có ý nghĩa.

Định nghĩa 3. Tích của ma trận MỘT Và TRONGđược gọi là ma trận C có các phần tử Su bằng tích vô hướng của vectơ hàng MỘT ( ma trận MỘT thành các vectơ cột bj ma trận TRONG:

Sản phẩm của ma trận MỘT Và TRONG- ma trận C - có kích thước T X ĐẾN, vì độ dài l của vectơ hàng và vectơ cột biến mất khi tính tổng tọa độ của các vectơ này trong tích vô hướng của chúng, như được chỉ ra trong công thức (2.8). Như vậy, để tính các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận C cần phải tuần tự lấy tích vô hướng của hàng đầu tiên của ma trận. MỘT tới tất cả các cột ma trận TRONG hàng thứ hai của ma trận C được lấy là tích vô hướng của vectơ hàng thứ hai của ma trận MỘT tới tất cả các vectơ cột của ma trận TRONG, vân vân. Để thuận tiện cho việc ghi nhớ kích thước của tích ma trận, bạn cần chia tích của kích thước của ma trận nhân tử: - , khi đó các số còn lại trong quan hệ sẽ cho kích thước của tích ĐẾN

dsnia, t.s. kích thước của ma trận C bằng T X ĐẾN.

Phép nhân ma trận có tính chất đặc trưng: tích các ma trận MỘT Và TRONG có ý nghĩa nếu số lượng cột trong MỘT bằng số dòng trong TRONG. Sau đó nếu A và B - ma trận hình chữ nhật thì tích TRONG Và MỘT sẽ không còn ý nghĩa nữa, vì tích vô hướng tạo thành các phần tử của ma trận tương ứng phải chứa các vectơ có cùng số tọa độ.

Nếu ma trận MỘT Và TRONG hình vuông, kích thước l x l, có ý nghĩa là tích của ma trận AB, và tích của ma trận VA, và kích thước của các ma trận này giống với kích thước của các yếu tố ban đầu. Trong trường hợp này, trong trường hợp chung của phép nhân ma trận, quy tắc hoán vị (giao hoán) không được tuân thủ, tức là. AB*VA.

Hãy xem các ví dụ về phép nhân ma trận.


Vì số cột ma trận MỘT bằng số hàng của ma trận TRONG, tích của ma trận AB có ý nghĩa. Sử dụng công thức (2.8), chúng ta thu được ma trận có kích thước 3x2 trong tích:

Công việc VA không có ý nghĩa gì vì số cột của ma trận TRONG không khớp với số hàng ma trận MỘT.

Ở đây chúng tôi tìm thấy các sản phẩm ma trận AB Và VA:

Như có thể thấy từ kết quả, ma trận tích phụ thuộc vào thứ tự của các ma trận trong tích. Trong cả hai trường hợp, tích ma trận có cùng kích thước với các thừa số ban đầu: 2x2.


Trong trường hợp này ma trận TRONG là một vectơ cột, tức là một ma trận có ba hàng và một cột. Nói chung, vectơ là trường hợp đặc biệt của ma trận: vectơ hàng có độ dài N là một ma trận có một hàng và N cột và vectơ chiều cao của cột N- ma trận với N hàng và một cột. Kích thước của các ma trận đã cho lần lượt là 2 x 3 và 3 x I nên tích của các ma trận này được xác định. Chúng tôi có

Sản phẩm tạo ra ma trận có kích thước 2 x 1 hoặc vectơ cột có chiều cao 2.


Bằng cách nhân tuần tự các ma trận ta tìm được:


Tính chất của tích ma trận. Cho phép A, B và C là các ma trận có kích thước phù hợp (sao cho tích của ma trận được xác định) và a là số thực. Khi đó các tính chất sau của tích ma trận giữ nguyên:

  • 1) (AB)C = A(BC);
  • 2) C A + B)C = AC + BC
  • 3) A (B+ C) = AB + AC;
  • 4) một (AB) = (aA)B = A(aB).

Khái niệm ma trận nhận dạng Eđã được giới thiệu ở khoản 2.1.1. Dễ dàng nhận thấy trong đại số ma trận nó đóng vai trò đơn vị, tức là Chúng ta có thể lưu ý thêm hai thuộc tính liên quan đến phép nhân với ma trận này ở bên trái và bên phải:

  • 5 )AE=A;
  • 6) EA = MỘT.

Nói cách khác, tích của bất kỳ ma trận nào với ma trận đơn vị, nếu hợp lý, sẽ không làm thay đổi ma trận ban đầu.

Trong toán học cao hơn, một khái niệm như ma trận chuyển vị được nghiên cứu. Cần lưu ý: nhiều người cho rằng đây là một chủ đề khá phức tạp và không thể thành thạo. Tuy nhiên, điều này không đúng. Để hiểu chính xác cách thực hiện một thao tác dễ dàng như vậy, bạn chỉ cần làm quen một chút với khái niệm cơ bản - ma trận. Bất kỳ học sinh nào cũng có thể hiểu được chủ đề nếu họ dành thời gian nghiên cứu nó.

Ma trận là gì?

Ma trận khá phổ biến trong toán học. Cần lưu ý rằng chúng cũng được tìm thấy trong khoa học máy tính. Nhờ họ và với sự giúp đỡ của họ, việc lập trình và tạo phần mềm trở nên dễ dàng.

Ma trận là gì? Đây là một bảng trong đó các phần tử được đặt. Nó phải có hình dạng hình chữ nhật. Nói một cách đơn giản nhất, ma trận là một bảng số. Nó được chỉ định bằng cách sử dụng một số chữ cái Latinh viết hoa. Nó có thể là hình chữ nhật hoặc hình vuông. Ngoài ra còn có các hàng và cột riêng biệt, được gọi là vectơ. Những ma trận như vậy chỉ nhận được một dòng số. Để hiểu một bảng lớn như thế nào, bạn cần chú ý đến số lượng hàng và cột. Chữ đầu tiên được ký hiệu là chữ m và chữ thứ hai là n.

Bạn chắc chắn nên hiểu đường chéo ma trận là gì. Có một bên và một chính. Thứ hai là dải số đi từ trái sang phải từ phần tử đầu tiên đến phần tử cuối cùng. Trong trường hợp này, đường bên sẽ từ phải sang trái.

Với ma trận, bạn có thể thực hiện hầu hết các phép tính số học đơn giản nhất, nghĩa là cộng, trừ, nhân với nhau và riêng biệt theo số. Họ cũng có thể được chuyển đổi.

Quá trình chuyển vị

Ma trận hoán vị là ma trận trong đó các hàng và cột được hoán đổi cho nhau. Điều này được thực hiện dễ dàng nhất có thể. Ký hiệu là A với chữ T (A T). Về nguyên tắc, cần phải nói rằng trong toán học cao hơn, đây là một trong những phép toán đơn giản nhất trên ma trận. Kích thước bảng được duy trì. Một ma trận như vậy được gọi là chuyển vị.

Tính chất của ma trận chuyển vị

Để thực hiện chính xác quá trình chuyển vị, cần phải hiểu những thuộc tính nào của thao tác này tồn tại.

  • Phải có ma trận gốc cho bất kỳ bảng chuyển đổi nào. Các định thức của chúng phải bằng nhau.
  • Nếu có đơn vị vô hướng thì khi thực hiện thao tác này có thể lấy đơn vị đó ra.
  • Khi một ma trận được hoán vị kép, nó sẽ bằng ma trận ban đầu.
  • Nếu bạn so sánh hai bảng được gấp với các cột và hàng được hoán đổi với tổng các phần tử mà thao tác này được thực hiện thì chúng sẽ giống nhau.
  • Thuộc tính cuối cùng là nếu bạn hoán vị các bảng được nhân với nhau thì giá trị phải bằng kết quả thu được khi nhân các ma trận hoán vị với nhau theo thứ tự ngược lại.

Tại sao chuyển đổi?

Một ma trận trong toán học là cần thiết để giải quyết một số vấn đề nhất định với nó. Một số trong số chúng yêu cầu bạn tính toán bảng nghịch đảo. Để làm được điều này, bạn cần tìm một yếu tố quyết định. Tiếp theo, các phần tử của ma trận tương lai được tính toán, sau đó chúng được hoán vị. Tất cả những gì còn lại là tìm bảng nghịch đảo trực tiếp. Chúng ta có thể nói rằng trong những bài toán như vậy, bạn cần tìm X và điều này khá dễ thực hiện với sự trợ giúp của kiến ​​thức cơ bản về lý thuyết phương trình.

Kết quả

Bài viết này xem xét ma trận chuyển vị là gì. Chủ đề này sẽ hữu ích cho các kỹ sư tương lai, những người cần có khả năng tính toán chính xác các cấu trúc phức tạp. Đôi khi ma trận không dễ giải, bạn phải vắt óc suy nghĩ. Tuy nhiên, trong quá trình học toán của học sinh, thao tác này được thực hiện một cách dễ dàng nhất có thể và không cần tốn nhiều công sức.

Việc chuyển đổi ma trận thông qua máy tính trực tuyến này sẽ không làm bạn mất nhiều thời gian nhưng nó sẽ nhanh chóng cho kết quả và giúp bạn hiểu rõ hơn về quy trình.

Đôi khi trong các phép tính đại số cần phải hoán đổi hàng và cột của ma trận. Hoạt động này được gọi là chuyển vị ma trận. Các hàng theo thứ tự sẽ trở thành các cột và bản thân ma trận sẽ được chuyển vị. Có một số quy tắc nhất định trong các phép tính này và để hiểu chúng cũng như làm quen trực quan với quy trình, hãy sử dụng máy tính trực tuyến này. Nó sẽ làm cho công việc của bạn dễ dàng hơn nhiều và giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết chuyển vị ma trận. Ưu điểm đáng kể của máy tính này là khả năng trình diễn giải pháp mở rộng và chi tiết. Vì vậy, việc sử dụng nó sẽ thúc đẩy sự hiểu biết sâu sắc hơn và sáng suốt hơn về các phép tính đại số. Ngoài ra, với sự trợ giúp của nó, bạn luôn có thể kiểm tra xem mình đã hoàn thành nhiệm vụ thành công như thế nào bằng cách chuyển đổi ma trận theo cách thủ công.

Máy tính rất dễ sử dụng. Để tìm ma trận chuyển vị trực tuyến, hãy chỉ định kích thước ma trận bằng cách nhấp vào biểu tượng “+” hoặc “-” cho đến khi bạn đạt được số cột và hàng mong muốn. Tiếp theo, nhập các số cần thiết vào các trường. Bên dưới là nút “Tính toán” - nhấp vào nút này sẽ hiển thị giải pháp làm sẵn kèm theo giải thích chi tiết về thuật toán.