Hình tam giác là một trong những hình học phổ biến nhất mà chúng ta đã làm quen ở trường tiểu học. Mọi học sinh đều phải đối mặt với câu hỏi làm thế nào để tìm diện tích hình tam giác trong các bài học hình học. Vì vậy, những đặc điểm nào của việc tìm diện tích của một hình nhất định có thể được xác định? Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các công thức cơ bản cần thiết để hoàn thành nhiệm vụ đó, đồng thời phân tích các loại hình tam giác.
Các loại hình tam giác
Bạn có thể tìm diện tích hình tam giác theo những cách hoàn toàn khác nhau, vì trong hình học có nhiều loại hình chứa ba góc. Những loại này bao gồm:
- U mê.
- Bình đẳng (đúng).
- Tam giác bên phải.
- Cân.
Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn từng loại hình tam giác hiện có.
Hình hình học này được coi là phổ biến nhất khi giải các bài toán hình học. Khi có nhu cầu vẽ một hình tam giác tùy ý, tùy chọn này sẽ ra đời.
Trong một tam giác nhọn, như tên cho thấy, tất cả các góc đều nhọn và có tổng bằng 180°.
Loại tam giác này cũng rất phổ biến nhưng ít phổ biến hơn so với tam giác nhọn. Ví dụ: khi giải các hình tam giác (tức là đã biết một số cạnh và góc của nó và bạn cần tìm các phần tử còn lại), đôi khi bạn cần xác định xem góc đó có bị tù hay không. Cosin là một số âm.
B, giá trị của một trong các góc vượt quá 90°, do đó hai góc còn lại có thể lấy giá trị nhỏ (ví dụ: 15° hoặc thậm chí 3°).
Để tìm diện tích của một hình tam giác loại này, bạn cần biết một số sắc thái mà chúng ta sẽ nói đến sau.
Tam giác đều và tam giác cân
Đa giác đều là hình có n góc và tất cả các cạnh và góc đều bằng nhau. Đây chính là hình tam giác đều. Vì tổng các góc của một tam giác là 180° nên mỗi góc trong ba góc đó là 60°.
Tam giác đều do tính chất của nó nên còn được gọi là hình đều.
Cũng cần lưu ý rằng chỉ có thể nội tiếp một đường tròn trong một hình tam giác đều và chỉ có thể mô tả một đường tròn xung quanh nó và tâm của chúng nằm ở cùng một điểm.
Ngoài loại đều, người ta còn có thể phân biệt tam giác cân, hơi khác so với loại này. Trong một tam giác như vậy, hai cạnh và hai góc bằng nhau và cạnh thứ ba (có các góc bằng nhau liền kề) là đáy.
Hình vẽ cho thấy một tam giác cân DEF có các góc D và F bằng nhau và DF là đáy.
Tam giác vuông
Tam giác vuông được đặt tên như vậy vì một trong các góc của nó vuông, nghĩa là bằng 90°. Hai góc còn lại cộng lại bằng 90°.
Cạnh lớn nhất của một tam giác như vậy, nằm đối diện với góc 90°, là cạnh huyền, trong khi hai cạnh còn lại là hai chân. Đối với loại tam giác này, định lý Pythagore được áp dụng:
Tổng bình phương chiều dài của các chân bằng bình phương chiều dài cạnh huyền.
Trên hình vẽ tam giác vuông BAC có cạnh huyền AC và hai chân AB và BC.
Để tìm diện tích của một hình tam giác có góc vuông, bạn cần biết các giá trị số của các chân của nó.
Chúng ta hãy chuyển sang các công thức tìm diện tích của một hình nhất định.
Các công thức cơ bản để tìm diện tích
Trong hình học, có hai công thức phù hợp để tìm diện tích của hầu hết các loại hình tam giác, đó là tam giác nhọn, tù, đều và tam giác cân. Chúng ta hãy nhìn vào từng người trong số họ.
Bên cạnh và chiều cao
Công thức này rất phổ biến để tìm diện tích của hình mà chúng ta đang xem xét. Để làm điều này, chỉ cần biết chiều dài của cạnh và chiều cao được vẽ lên nó là đủ. Bản thân công thức (một nửa tích của đáy và chiều cao) như sau:
trong đó A là cạnh của một tam giác đã cho và H là chiều cao của tam giác.
Ví dụ: để tìm diện tích của tam giác nhọn ACB, bạn cần nhân cạnh AB của nó với chiều cao CD và chia giá trị kết quả cho hai.
Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng dễ dàng tìm được diện tích hình tam giác theo cách này. Ví dụ: để sử dụng công thức này cho một hình tam giác tù, bạn cần kéo dài một trong các cạnh của nó và chỉ sau đó vẽ đường cao cho nó.
Trong thực tế, công thức này được sử dụng thường xuyên hơn những công thức khác.
Ở cả hai bên và góc
Công thức này, giống như công thức trước, phù hợp với hầu hết các hình tam giác và theo nghĩa của nó là hệ quả của công thức tính diện tích cạnh và chiều cao của một hình tam giác. Nghĩa là, công thức được đề cập có thể dễ dàng suy ra từ công thức trước đó. Công thức của nó trông như thế này:
S = ½*sinO*A*B,
trong đó A và B là các cạnh của tam giác và O là góc giữa hai cạnh A và B.
Chúng ta hãy nhớ lại rằng sin của một góc có thể được xem trong một bảng đặc biệt được đặt theo tên của nhà toán học xuất sắc Liên Xô V. M. Bradis.
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các công thức khác chỉ phù hợp với các loại hình tam giác đặc biệt.
Diện tích của một tam giác vuông
Ngoài công thức phổ quát bao gồm nhu cầu tìm đường cao trong một hình tam giác, bạn có thể tìm thấy diện tích của một hình tam giác chứa một góc vuông từ hai chân của nó.
Do đó, diện tích của một tam giác chứa một góc vuông bằng một nửa tích hai chân của nó, hoặc:
trong đó a và b là chân của một tam giác vuông.
Tam giác đều
Loại hình hình học này được phân biệt bởi thực tế là diện tích của nó có thể được tìm thấy với giá trị được chỉ định của một trong các cạnh của nó (vì tất cả các cạnh của một tam giác đều bằng nhau). Vì vậy, khi đối mặt với nhiệm vụ “tìm diện tích của một tam giác khi các cạnh bằng nhau”, bạn cần sử dụng công thức sau:
S = A 2 *√3/4,
trong đó A là cạnh của tam giác đều.
Công thức Heron
Tùy chọn cuối cùng để tìm diện tích hình tam giác là công thức Heron. Để sử dụng nó, bạn cần biết độ dài của ba cạnh của hình. Công thức của Heron trông như thế này:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
trong đó a, b và c là các cạnh của một tam giác đã cho.
Đôi khi bài toán được đưa ra: “diện tích của một tam giác đều là tính độ dài cạnh của nó”. Trong trường hợp này, chúng ta cần sử dụng công thức đã biết để tính diện tích của một tam giác đều và từ đó suy ra giá trị của cạnh (hoặc hình vuông của nó):
A 2 = 4S / √3.
Nhiệm vụ thi
Có rất nhiều công thức trong các bài toán GIA trong toán học. Ngoài ra, khá thường xuyên cần phải tìm diện tích hình tam giác trên giấy ca rô.
Trong trường hợp này, cách thuận tiện nhất là vẽ chiều cao của một trong các cạnh của hình, xác định chiều dài của nó từ các ô và sử dụng công thức phổ quát để tìm diện tích:
Vì vậy, sau khi nghiên cứu các công thức được trình bày trong bài viết, bạn sẽ không gặp khó khăn gì khi tìm diện tích của một hình tam giác nào đó.
Như bạn có thể nhớ trong chương trình hình học ở trường, hình tam giác là một hình được tạo thành từ ba đoạn thẳng nối với nhau bởi ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng. Một tam giác tạo thành ba góc, do đó tên của hình. Định nghĩa có thể khác nhau. Một hình tam giác cũng có thể được gọi là đa giác có ba góc, đáp án cũng sẽ đúng. Các hình tam giác được chia theo số cạnh bằng nhau và độ lớn của các góc trong hình. Do đó, các hình tam giác được phân biệt thành hình cân, hình đều và hình thang, cũng như hình chữ nhật, hình nhọn và hình tù tương ứng.
Có rất nhiều công thức tính diện tích hình tam giác. Chọn cách tìm diện tích của một hình tam giác, tức là Việc sử dụng công thức nào là tùy thuộc vào bạn. Nhưng điều đáng chú ý chỉ là một số ký hiệu được sử dụng trong nhiều công thức tính diện tích hình tam giác. Vì vậy, hãy nhớ:
S là diện tích của tam giác,
a, b, c là các cạnh của tam giác,
h là chiều cao của tam giác,
R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp,
p là nửa chu vi.
Dưới đây là các ký hiệu cơ bản có thể hữu ích cho bạn nếu bạn đã quên hoàn toàn khóa học hình học của mình. Dưới đây là các tùy chọn dễ hiểu và không phức tạp nhất để tính diện tích chưa biết và bí ẩn của một hình tam giác. Nó không khó và sẽ hữu ích cho cả nhu cầu gia đình của bạn và giúp đỡ con cái bạn. Chúng ta hãy nhớ cách tính diện tích hình tam giác một cách dễ dàng nhất có thể:
Trong trường hợp của chúng tôi, diện tích của hình tam giác là: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm vuông. Hãy nhớ rằng diện tích được đo bằng cm vuông (sqcm).
Tam giác vuông và diện tích của nó.
Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ (do đó gọi là tam giác vuông). Một góc vuông được hình thành bởi hai đường thẳng vuông góc (trong trường hợp tam giác là hai đoạn thẳng vuông góc). Trong một tam giác vuông chỉ có một góc vuông vì... tổng các góc của một tam giác bất kỳ đều bằng 180 độ. Hóa ra 2 góc khác nên chia 90 độ còn lại, ví dụ 70 và 20, 45 và 45, v.v. Vì vậy, bạn hãy nhớ điều chính, tất cả những gì còn lại là tìm ra cách tìm diện tích của một tam giác vuông. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một tam giác vuông như vậy ở trước mặt và chúng ta cần tìm diện tích S của nó.
1. Cách đơn giản nhất để xác định diện tích tam giác vuông được tính bằng công thức sau:
Trong trường hợp của chúng tôi, diện tích của tam giác vuông là: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm vuông.
Về nguyên tắc, không cần phải xác minh diện tích của tam giác theo những cách khác nữa, bởi vì Chỉ cái này mới hữu ích và giúp ích trong cuộc sống hàng ngày. Nhưng cũng có những lựa chọn để đo diện tích hình tam giác qua các góc nhọn.
2. Đối với các phương pháp tính khác phải có bảng cosin, sin và tang. Hãy tự đánh giá, đây là một số tùy chọn để tính diện tích của tam giác vuông vẫn có thể được sử dụng:
Chúng tôi quyết định sử dụng công thức đầu tiên và với một số vết mờ nhỏ (chúng tôi đã vẽ nó vào sổ tay và sử dụng thước đo và thước đo góc cũ), nhưng chúng tôi đã có được phép tính chính xác:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Chúng tôi nhận được kết quả như sau: 3,6=3,7, nhưng tính đến sự dịch chuyển của các ô, chúng tôi có thể tha thứ cho sắc thái này.
Tam giác cân và diện tích của nó.
Nếu bạn phải đối mặt với nhiệm vụ tính công thức cho một tam giác cân, thì cách dễ nhất là sử dụng công thức chính và được coi là công thức cổ điển cho diện tích của một tam giác.
Nhưng trước tiên, trước khi tìm diện tích của một tam giác cân, chúng ta hãy cùng tìm hiểu xem đây là loại hình gì. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai mặt này gọi là mặt bên, mặt thứ ba gọi là mặt đáy. Đừng nhầm lẫn tam giác cân với tam giác đều, tức là một tam giác đều có ba cạnh bằng nhau. Trong một tam giác như vậy, không có xu hướng đặc biệt nào về các góc, hay đúng hơn là kích thước của chúng. Tuy nhiên, các góc ở đáy trong một tam giác cân bằng nhau nhưng khác với góc giữa hai cạnh bằng nhau. Vì vậy, bạn đã biết công thức đầu tiên và chính; vẫn còn phải tìm hiểu những công thức khác để xác định diện tích của một tam giác cân đã được biết:
Hình tam giác là một hình hình học bao gồm ba đường thẳng nối nhau tại các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng. Điểm kết nối của các đường là các đỉnh của tam giác, được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh (ví dụ: A, B, C). Các đường thẳng nối của một tam giác được gọi là các đoạn thẳng, thường được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh. Các loại hình tam giác sau đây được phân biệt:
- Hình chữ nhật.
- U mê.
- Góc cạnh cấp tính.
- Linh hoạt.
- Bình đẳng.
- Cân.
Công thức chung tính diện tích hình tam giác
Công thức tính diện tích hình tam giác dựa trên chiều dài và chiều cao
S= a*h/2,
trong đó a là chiều dài cạnh của tam giác có diện tích cần tìm, h là chiều dài đường cao tính đến đáy.
Công thức Heron
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
trong đó √ là căn bậc hai, p là nửa chu vi của tam giác, a,b,c là độ dài mỗi cạnh của tam giác. Bán chu vi của một tam giác có thể được tính bằng công thức p=(a+b+c)/2.
Công thức tính diện tích hình tam giác dựa trên góc và độ dài của đoạn
S = (a*b*sin(α))/2,
trong đó b,c là độ dài các cạnh của tam giác, sin(α) là sin của góc giữa hai cạnh.
Công thức tính diện tích hình tam giác khi biết bán kính đường tròn nội tiếp và ba cạnh
S=p*r,
trong đó p là bán chu vi của tam giác cần tìm diện tích, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác này.
Công thức tính diện tích hình tam giác dựa trên ba cạnh và bán kính hình tròn ngoại tiếp nó
S= (a*b*c)/4*R,
trong đó a,b,c là độ dài mỗi cạnh của tam giác, R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Công thức tính diện tích tam giác sử dụng tọa độ Descartes của điểm
Tọa độ Descartes của các điểm là tọa độ trong hệ xOy, trong đó x là hoành độ, y là tọa độ. Hệ tọa độ Descartes xOy trên một mặt phẳng là các trục số Ox và Oy vuông góc với nhau có gốc tọa độ chung tại điểm O. Nếu tọa độ các điểm trên mặt phẳng này có dạng A(x1, y1), B(x2, y2 ) và C(x3, y3 ), thì bạn có thể tính diện tích của tam giác bằng công thức sau, công thức này thu được từ tích vectơ của hai vectơ.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
ở đâu || là viết tắt của mô-đun.
Cách tìm diện tích của một tam giác vuông
Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ. Một tam giác chỉ có thể có một góc như vậy.
Công thức tính diện tích tam giác vuông có hai cạnh
S= a*b/2,
trong đó a,b là chiều dài của chân. Chân là các cạnh liền kề với một góc vuông.
Công thức tính diện tích tam giác vuông dựa trên cạnh huyền và góc nhọn
S = a*b*sin(α)/ 2,
trong đó a, b là hai chân của tam giác và sin(α) là sin của góc mà các đường thẳng a, b cắt nhau.
Công thức tính diện tích tam giác vuông dựa vào cạnh và góc đối diện
S = a*b/2*tg(β),
trong đó a, b là hai chân của tam giác, tan(β) là tiếp tuyến của góc nối hai chân a, b.
Cách tính diện tích của tam giác cân
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Các mặt này được gọi là các cạnh, và mặt kia là chân đế. Để tính diện tích của một tam giác cân, bạn có thể sử dụng một trong các công thức sau.
Công thức cơ bản tính diện tích tam giác cân
S=h*c/2,
trong đó c là đáy của tam giác, h là chiều cao của tam giác hạ xuống đáy.
Công thức tam giác cân dựa vào cạnh và đáy
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
trong đó c là đáy của tam giác, a là kích thước của một trong các cạnh của tam giác cân.
Cách tìm diện tích của một tam giác đều
Tam giác đều là tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau. Để tính diện tích của một tam giác đều, bạn có thể sử dụng công thức sau:
S = (√3*a*a)/4,
trong đó a là độ dài cạnh của tam giác đều.
Các công thức trên sẽ cho phép bạn tính diện tích cần thiết của hình tam giác. Điều quan trọng cần nhớ là để tính diện tích hình tam giác, bạn cần xem xét loại hình tam giác và dữ liệu có sẵn có thể được sử dụng để tính toán.
Bạn có thể tìm thấy hơn 10 công thức tính diện tích hình tam giác trên Internet. Nhiều công thức trong số đó được sử dụng trong các bài toán về các cạnh và góc đã biết của hình tam giác. Tuy nhiên, có một số ví dụ phức tạp, trong đó, theo điều kiện của bài tập, chỉ biết một cạnh và các góc của một tam giác, hoặc bán kính của một đường tròn ngoại tiếp hoặc nội tiếp và một đặc điểm nữa. Trong những trường hợp như vậy, một công thức đơn giản không thể được áp dụng.
Các công thức đưa ra dưới đây sẽ cho phép bạn giải quyết 95 phần trăm các vấn đề mà bạn cần tìm diện tích của một hình tam giác.
Hãy chuyển sang xem xét các công thức diện tích chung.
Xét hình tam giác ở hình bên dưới
Trong hình và bên dưới trong các công thức, các ký hiệu cổ điển về tất cả các đặc tính của nó được giới thiệu.
a,b,c – các cạnh của tam giác,
R - bán kính của đường tròn ngoại tiếp,
r - bán kính của đường tròn nội tiếp,
h[b],h[a],h[c] – các độ cao được vẽ theo các cạnh a,b,c.
alpha, beta, hamma - các góc gần đỉnh.
Các công thức cơ bản về diện tích hình tam giác
1. Diện tích bằng một nửa tích của cạnh của tam giác và chiều cao hạ xuống cạnh này. Trong ngôn ngữ của công thức, định nghĩa này có thể được viết như sau
Vì vậy, nếu biết cạnh và chiều cao thì mọi học sinh sẽ tìm được diện tích.
Nhân tiện, từ công thức này người ta có thể rút ra một mối quan hệ hữu ích giữa độ cao
2. Nếu xét chiều cao của một tam giác qua cạnh kề được biểu thị bằng sự phụ thuộc
Sau đó, công thức diện tích thứ nhất được theo sau bởi các công thức thứ hai tương tự
Hãy xem kỹ các công thức - chúng rất dễ nhớ vì công việc liên quan đến hai cạnh và góc giữa chúng. Nếu chỉ định đúng các cạnh và các góc của tam giác (như hình trên) thì ta sẽ được hai cạnh a, b và góc được kết nối với góc thứ ba Với (hamma).
3. Đối với các góc của một tam giác, mối quan hệ đúng
Sự phụ thuộc cho phép bạn sử dụng các công thức sau để tính diện tích hình tam giác trong tính toán:
Ví dụ về sự phụ thuộc này cực kỳ hiếm, nhưng bạn phải nhớ rằng có một công thức như vậy.
4. Nếu biết cạnh và hai góc kề bù thì diện tích được tính theo công thức
5. Công thức tính diện tích tính theo cạnh và cotang của các góc kề bù như sau
Bằng cách sắp xếp lại các chỉ mục, bạn có thể nhận được sự phụ thuộc cho các bên khác.
6. Công thức tính diện tích dưới đây được sử dụng trong các bài toán xác định các đỉnh của một tam giác trên mặt phẳng bằng tọa độ. Trong trường hợp này, diện tích bằng một nửa định thức lấy modulo.
7. Công thức Heronđược sử dụng trong các ví dụ với các cạnh đã biết của một tam giác.
Đầu tiên hãy tìm nửa chu vi của tam giác
Và sau đó xác định diện tích bằng công thức
hoặc
Nó thường được sử dụng trong mã của các chương trình máy tính.
8. Nếu biết tất cả các chiều cao của tam giác thì diện tích được xác định theo công thức
Việc tính toán trên máy tính rất khó, nhưng trong các gói MathCad, Mathematica, Maple thì diện tích là “thời gian hai”.
9. Các công thức sau đây sử dụng bán kính đã biết của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. 
Cụ thể, nếu biết bán kính và các cạnh của tam giác hoặc chu vi của nó thì diện tích được tính theo công thức
10. Trong các ví dụ khi đã cho cạnh và bán kính hoặc đường kính của hình tròn ngoại tiếp, diện tích được tính bằng công thức
11. Công thức sau đây xác định diện tích của một tam giác theo cạnh và các góc của tam giác.
Và cuối cùng - trường hợp đặc biệt:
Diện tích của một tam giác vuông với hai chân a và b bằng một nửa tích của chúng
Công thức tính diện tích tam giác đều (đều)=
= một phần tư tích bình phương của cạnh và căn bậc ba.
Khái niệm diện tích
Khái niệm diện tích của bất kỳ hình hình học nào, đặc biệt là hình tam giác, sẽ gắn liền với một hình như hình vuông. Đối với đơn vị diện tích của bất kỳ hình hình học nào, chúng ta sẽ lấy diện tích của hình vuông có cạnh bằng một. Để hoàn thiện, chúng ta hãy nhắc lại hai tính chất cơ bản của khái niệm diện tích các hình hình học.
Thuộc tính 1: Nếu các hình hình học bằng nhau thì diện tích của chúng cũng bằng nhau.
Thuộc tính 2: Bất kỳ hình nào cũng có thể được chia thành nhiều hình. Hơn nữa, diện tích của hình ban đầu bằng tổng diện tích của tất cả các hình cấu thành của nó.
Hãy xem một ví dụ.
Ví dụ 1
Rõ ràng, một trong các cạnh của tam giác là đường chéo của hình chữ nhật, một cạnh có chiều dài $5$ (vì có các ô $5$) và cạnh kia là $6$ (vì có các ô $6$). Do đó, diện tích của hình tam giác này sẽ bằng một nửa hình chữ nhật như vậy. Diện tích của hình chữ nhật là
Khi đó diện tích của tam giác bằng
Trả lời: $15$.
Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một số phương pháp tìm diện tích hình tam giác, cụ thể là sử dụng chiều cao và đáy, sử dụng công thức Heron và diện tích của tam giác đều.
Cách tìm diện tích hình tam giác bằng chiều cao và đáy của nó
Định lý 1
Diện tích của một hình tam giác có thể được tính bằng một nửa tích của chiều dài một cạnh và chiều cao của cạnh đó.
Về mặt toán học nó trông như thế này
$S=\frac(1)(2)αh$
trong đó $a$ là độ dài của cạnh, $h$ là chiều cao được vẽ lên nó.
Bằng chứng.
Cho tam giác $ABC$ có $AC=α$. Chiều cao $BH$ được vẽ về phía này, bằng $h$. Hãy xây dựng nó thành hình vuông $AXYC$ như trong Hình 2.
Diện tích hình chữ nhật $AXBH$ là $h\cdot AH$, và diện tích hình chữ nhật $HBYC$ là $h\cdot HC$. Sau đó
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Do đó, diện tích cần tìm của tam giác theo tính chất 2 bằng
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 2
Tìm diện tích hình tam giác trong hình bên dưới nếu ô có diện tích bằng 1
Đáy của tam giác này bằng $9$ (vì $9$ là hình vuông $9$). Chiều cao cũng là $9$. Khi đó, theo Định lý 1, ta có
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Trả lời: $40,5$.
Công thức Heron
Định lý 2
Nếu chúng ta có ba cạnh của một tam giác $α$, $β$ và $γ$, thì diện tích của nó có thể được tính như sau
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ở đây $ρ$ có nghĩa là nửa chu vi của tam giác này.
Bằng chứng.
Hãy xem xét hình sau:
Theo định lý Pytago, từ tam giác $ABH$ ta có
Từ tam giác $CBH$, theo định lý Pythagore, ta có
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Từ hai quan hệ này ta thu được đẳng thức
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Vì $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, nên $α+β+γ=2ρ$, có nghĩa là
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Theo Định lý 1, ta có
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$