Bộ Giáo dục Cộng hòa Belarus

Cơ sở giáo dục

"Gomel đại học tiểu bang họ. F. Skorina"

Khoa Toán

Sở MPM

Những biến đổi giống hệt nhau về cách diễn đạt và phương pháp dạy học sinh cách thực hiện chúng

Người thi hành:

Sinh viên Starodubova A.Yu.

Người giám sát khoa học:

Cand. vật lý và toán học Khoa học, Phó Giáo sư Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Giới thiệu

1 Các loại biến đổi chính và các giai đoạn nghiên cứu của họ. Các giai đoạn làm chủ việc sử dụng các phép biến đổi

Phần kết luận

Văn học

Giới thiệu

Các phép biến đổi đơn giản nhất của biểu thức và công thức, dựa trên các tính chất của phép tính số học, được thực hiện trong trường tiểu học và lớp 5 và lớp 6. Việc hình thành các kỹ năng và khả năng thực hiện các phép biến đổi diễn ra trong một khóa học đại số. Điều này là do sự gia tăng mạnh mẽ về số lượng và sự đa dạng của các phép biến đổi đang được thực hiện, cũng như do sự phức tạp của các hoạt động chứng minh chúng và làm rõ các điều kiện áp dụng, cũng như do việc xác định và nghiên cứu các khái niệm tổng quát về bản sắc, sự biến đổi giống hệt nhau, chuyển hóa tương đương.

1. Các loại biến đổi chính và các giai đoạn nghiên cứu của chúng. Các giai đoạn làm chủ việc sử dụng các phép biến đổi

1. Sự khởi đầu của đại số

Một hệ thống biến đổi không phân chia được sử dụng, được thể hiện bằng các quy tắc để thực hiện các hành động trên một hoặc cả hai phần của công thức. Mục tiêu là đạt được sự thành thạo trong việc hoàn thành các nhiệm vụ giải các phương trình đơn giản, đơn giản hóa các công thức xác định hàm và thực hiện các phép tính một cách hợp lý dựa trên các đặc tính của hành động.

Ví dụ điển hình:

Giải phương trình:

MỘT) ; b) ; V) .

Phép biến đổi giống nhau (a); tương đương và giống hệt nhau (b).

2. Hình thành kỹ năng áp dụng các loại biến đổi cụ thể

Kết luận: công thức nhân rút gọn; các phép biến đổi liên quan đến lũy thừa; các phép biến đổi liên quan đến các lớp hàm cơ bản khác nhau.

Tổ chức toàn bộ hệ thống chuyển hóa (tổng hợp)

Mục tiêu là tạo ra một thiết bị linh hoạt và mạnh mẽ phù hợp để sử dụng trong việc giải quyết nhiều vấn đề khác nhau. nhiệm vụ giáo dục . Việc chuyển sang giai đoạn này được thực hiện trong lần lặp lại cuối cùng của khóa học trong quá trình tìm hiểu các vật liệu đã biếtđược học theo từng phần, theo một số loại các phép biến đổi thêm các phép biến đổi của biểu thức lượng giác vào các loại đã nghiên cứu trước đó. Tất cả các phép biến đổi này có thể được gọi là các phép biến đổi “đại số”; các phép biến đổi “giải tích” bao gồm các phép biến đổi dựa trên các quy tắc lấy vi phân và tích phân và biến đổi các biểu thức chứa các đoạn văn thành giới hạn. Sự khác biệt của loại này là ở bản chất của tập hợp mà các biến trong danh tính (các bộ hàm nhất định) chạy qua.

Các danh tính đang được nghiên cứu được chia thành hai loại:

I – danh tính của phép nhân rút gọn hợp lệ trong vành giao hoán và các danh tính

công bằng trên sân.

II – kết nối danh tính các phép tính số học và các hàm cơ bản cơ bản.

2 Đặc điểm tổ chức hệ thống nhiệm vụ khi nghiên cứu các phép biến đổi bản sắc

Nguyên tắc chính của việc tổ chức hệ thống nhiệm vụ là trình bày chúng từ đơn giản đến phức tạp.

Chu kỳ tập thể dục– kết hợp trong một chuỗi bài tập một số khía cạnh của việc học và kỹ thuật sắp xếp tài liệu. Khi nghiên cứu các biến đổi danh tính, một chu trình bài tập gắn liền với việc nghiên cứu một danh tính, xung quanh đó các danh tính khác có mối liên hệ tự nhiên với nó được nhóm lại. Chu trình, cùng với chu trình điều hành, bao gồm các nhiệm vụ, yêu cầu công nhận khả năng áp dụng danh tính được đề cập. Danh tính đang nghiên cứu được sử dụng để thực hiện các phép tính trên các miền số khác nhau. Các nhiệm vụ trong mỗi chu kỳ được chia thành hai nhóm. ĐẾN Đầu tiên Chúng bao gồm các nhiệm vụ được thực hiện trong lần đầu làm quen với danh tính. Họ phục vụ tài liệu giáo dục cho một số bài học liên tiếp thống nhất bởi một chủ đề.

Nhóm thứ hai bài tập kết nối danh tính đang được nghiên cứu với các ứng dụng khác nhau. Nhóm này không tạo thành một thể thống nhất về mặt thành phần - các bài tập ở đây nằm rải rác về nhiều chủ đề khác nhau.

Các cấu trúc chu trình được mô tả đề cập đến giai đoạn phát triển các kỹ năng áp dụng các chuyển đổi cụ thể.

Ở giai đoạn tổng hợp, các chu trình thay đổi, các nhóm nhiệm vụ được kết hợp theo hướng phức tạp và hợp nhất các chu trình liên quan đến các bản sắc khác nhau, giúp nâng cao vai trò của các hành động nhằm nhận biết khả năng ứng dụng của một bản sắc cụ thể.

Ví dụ.

Chu kỳ của nhiệm vụ nhận dạng:

Nhóm nhiệm vụ I:

a) hiện diện ở dạng sản phẩm:

b) Kiểm tra sự đẳng thức:

c) Khai triển dấu ngoặc đơn trong biểu thức:

.

d) Tính toán:

e) Phân tích nhân tử:

f) đơn giản hóa biểu thức:

.

Học sinh vừa làm quen với việc xây dựng một đẳng thức, cách viết nó dưới dạng một đẳng thức và cách chứng minh nó.

Nhiệm vụ a) gắn liền với việc cố định cấu trúc nhận dạng đang được nghiên cứu, với việc thiết lập mối liên hệ với bộ số(so sánh cấu trúc dấu hiệu của nhận dạng và biểu thức biến đổi; thay thế một chữ cái bằng một số trong nhận dạng). TRONG ví dụ cuối cùng vẫn cần phải giảm nó xuống loài đang được nghiên cứu. Trong các ví dụ sau (e và g) có một sự phức tạp do vai trò ứng dụng sự đồng nhất và sự phức tạp của cấu trúc dấu hiệu.

Nhiệm vụ loại b) nhằm phát triển các kỹ năng thay thế TRÊN . Vai trò của nhiệm vụ c) cũng tương tự.

Ví dụ về loại d), trong đó cần phải chọn một trong các hướng chuyển đổi, hoàn thành việc phát triển ý tưởng này.

Nhiệm vụ của Nhóm I tập trung vào việc nắm vững cấu trúc của một danh tính, hoạt động thay thế trong các trường hợp đơn giản nhất, cơ bản quan trọng nhất và ý tưởng về khả năng đảo ngược của các phép biến đổi được thực hiện bởi một danh tính. Rất quan trọng cũng có sự làm giàu phương tiện ngôn ngữ hiển thị nhiều khía cạnh khác nhau danh tính. Văn bản của bài tập đưa ra ý tưởng về những khía cạnh này.

Nhóm nhiệm vụ II.

g) Sử dụng đẳng thức , phân tích đa thức .

h) Loại bỏ tính vô tỉ ở mẫu số của phân số.

i) Chứng minh rằng nếu - số lẻ, thì nó chia hết cho 4.

j) Hàm đã cho biểu thức phân tích

.

Loại bỏ dấu môđun bằng cách xét hai trường hợp: , .

k) Giải phương trình .

Những nhiệm vụ này nhằm mục đích càng nhiều càng tốt sử dụng đầy đủ và có tính đến các chi tiết cụ thể của đặc điểm nhận dạng cụ thể này, giả định trước việc hình thành các kỹ năng sử dụng đặc điểm nhận dạng đang được nghiên cứu để phân biệt các hình vuông. Mục đích là để hiểu sâu hơn về bản sắc bằng cách xem xét các ứng dụng khác nhau của nó trong tình huống khác nhau, kết hợp với việc sử dụng tài liệu liên quan đến các chủ đề khác trong môn Toán.

hoặc .

Đặc điểm của chu trình nhiệm vụ liên quan đến nhận dạng các hàm cơ bản:

1) chúng được nghiên cứu trên cơ sở vật liệu chức năng;

2) danh tính của nhóm đầu tiên xuất hiện muộn hơn và được nghiên cứu bằng cách sử dụng các kỹ năng đã được phát triển để thực hiện chuyển đổi danh tính.

Nhóm nhiệm vụ đầu tiên trong chu trình nên bao gồm các nhiệm vụ thiết lập mối liên hệ giữa các vùng số mới này và diện tích ban đầu của các số hữu tỷ.

Ví dụ.

Tính toán:

;

.

Mục đích của những nhiệm vụ như vậy là nắm vững các tính năng của hồ sơ, bao gồm các ký hiệu của các phép tính và chức năng mới, đồng thời phát triển kỹ năng nói toán học.

Phần lớn việc sử dụng các phép biến đổi nhận dạng liên quan đến hàm cơ bản, rơi vào nghiệm của phương trình vô tỉ và siêu việt. Trình tự các bước:

a) tìm hàm φ sao cho phương trình đã cho f(x)=0 có thể được biểu diễn dưới dạng:

b) thay y=φ(x) và giải phương trình

c) giải từng phương trình φ(x)=y k, trong đó y k là tập nghiệm của phương trình F(y)=0.

Khi sử dụng phương pháp được mô tả, bước b) thường được thực hiện ngầm mà không đưa ra ký hiệu cho φ(x). Ngoài ra, học sinh thường thích những cách khác nhau dẫn đến việc tìm ra đáp án, hãy chọn đáp án dẫn đến phương trình đại số nhanh hơn và dễ dàng hơn.

Ví dụ. Giải phương trình 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (bước a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (bước b)

Ví dụ. Giải phương trình:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Đề nghị giải pháp độc lập.)

Phân loại các nhiệm vụ theo chu trình liên quan đến việc giải phương trình siêu việt, bao gồm hàm số mũ:

1) các phương trình rút gọn về dạng a x = y 0 và có đáp án tổng quát, đơn giản:

2) các phương trình rút gọn về dạng a x = a k, trong đó k là số nguyên, hoặc a x = b, trong đó b<0.

3) các phương trình rút gọn về dạng a x = y 0 và yêu cầu phân tích rõ ràng dạng trong đó số y 0 được viết rõ ràng.

Nhiệm vụ trong đó chuyển đổi danh tínhđược sử dụng để xây dựng đồ thị khi đơn giản hóa các công thức xác định hàm số.

a) Vẽ đồ thị hàm số y=;

b) Giải phương trình lgx+lg(x-3)=1

c) trên tập hợp nào thì công thức log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) là một đẳng thức?

Ứng dụng phép biến đổi đẳng thức trong tính toán (Tạp chí Toán học ở trường, số 4, 1983, tr. 45)

Nhiệm vụ số 1. Hàm số được cho theo công thức y=0,3x 2 +4,64x-6. Tìm các giá trị của hàm số tại x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 .36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Nhiệm vụ số 2. Tính chiều dài chân tam giác vuông, nếu chiều dài cạnh huyền của nó là 3,6 cm và chân kia là 2,16 cm.

Nhiệm vụ số 3. Diện tích của mảnh đất là gì hình chữ nhật, có kích thước a) 0,64 m và 6,25 m; b) 99,8m và 2,6m?

a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Những ví dụ này giúp bạn có thể xác định ứng dụng thực tế chuyển đổi nhận dạng. Học sinh cần làm quen với các điều kiện khả thi của phép biến đổi (xem sơ đồ).

-

hình ảnh của một đa thức, trong đó bất kỳ đa thức nào cũng phù hợp với các đường viền tròn (Biểu đồ 1)

-

đã đưa ra điều kiện khả thi khi biến đổi tích của một đơn thức và biểu thức cho phép biến đổi thành tích bình phương. (sơ đồ 2)

-

ở đây các phần tô bóng có nghĩa là các đơn thức bằng nhau và một biểu thức được đưa ra có thể được chuyển đổi thành hiệu các bình phương (Sơ đồ 3).

-

một biểu thức cho phép một yếu tố chung

Kỹ năng của học sinh trong việc xác định các điều kiện có thể được phát triển bằng cách sử dụng các ví dụ sau:

Biểu thức nào sau đây có thể được biến đổi bằng cách lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc:

2)

3) 0,7a 2 +0,2b 2 ;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

Hầu hết các phép tính trong thực tế đều không thỏa mãn điều kiện thỏa mãn nên học sinh cần có kỹ năng đưa chúng về dạng cho phép tính các phép biến đổi. Trong trường hợp này, các nhiệm vụ sau là phù hợp:

khi nghiên cứu việc lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:

hãy chuyển đổi biểu thức này, nếu có thể, thành biểu thức được mô tả trong sơ đồ 4:

4) 2a*a 2 *a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Khi hình thành khái niệm "biến đổi giống hệt nhau", cần nhớ rằng điều này không chỉ có nghĩa là biểu thức đã cho và biểu thức kết quả do phép biến đổi mang các giá trị bằng nhau cho bất kỳ giá trị nào của các chữ cái có trong nó, nhưng cũng có nghĩa là trong quá trình chuyển đổi giống hệt nhau, chúng ta chuyển từ biểu thức xác định một cách tính toán sang biểu thức xác định một cách tính khác để tính cùng một giá trị.

Sơ đồ 5 (quy tắc chuyển đổi tích của đơn thức và đa thức) có thể được minh họa bằng các ví dụ

0,5a(b+c) hoặc 3,8(0,7+).

Bài tập để tìm hiểu cách lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc:

Tính giá trị của biểu thức:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc tại a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) với a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Hãy lấy ví dụ minh họa sự hình thành kỹ năng tính toán và biến đổi nhận dạng (Tạp chí Toán học ở trường, số 5, 1984, tr. 30).

1) các kỹ năng và khả năng được tiếp thu nhanh hơn và duy trì lâu hơn nếu sự hình thành của chúng diễn ra trên cơ sở có ý thức ( nguyên tắc giáo khoaý thức).

1) Bạn có thể xây dựng quy tắc cộng các phân số cùng mẫu số hoặc sơ bộ ví dụ cụ thể hãy xem xét bản chất của việc thêm các cổ phần bằng nhau.

2) Khi phân tích nhân tử bằng cách lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc, điều quan trọng là phải thấy điều này số nhân chung rồi áp dụng luật phân phối. Khi thực hiện các bài tập đầu tiên, sẽ rất hữu ích khi viết từng số hạng của đa thức dưới dạng tích, một trong các thừa số chung của nó là chung cho tất cả các số hạng:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Điều này đặc biệt hữu ích khi thực hiện điều này khi một trong các đơn thức của đa thức được lấy ra khỏi ngoặc:

II. Giai đoạn đầu tiên hình thành một kỹ năng - thành thạo một kỹ năng (các bài tập được thực hiện với giải thích chi tiết và hồ sơ)

(vấn đề về biển hiệu được giải quyết trước)

Giai đoạn thứ hai– giai đoạn tự động hóa kỹ năng bằng cách loại bỏ một số thao tác trung gian

III. Điểm mạnh của kỹ năng đạt được bằng cách giải các ví dụ đa dạng cả về nội dung và hình thức.

Đề tài: “Bỏ ước chung ra khỏi ngoặc”.

1. Viết thừa số còn thiếu thay cho đa thức:

2. Phân tích nhân tử sao cho trước dấu ngoặc có đơn thức có hệ số âm:

3. Phân tích nhân tử sao cho đa thức trong ngoặc có hệ số nguyên:

4. Giải phương trình:

IV. Việc phát triển kỹ năng có hiệu quả nhất khi một số phép tính hoặc phép biến đổi trung gian được thực hiện bằng miệng.

(bằng miệng);

V. Các kỹ năng, năng lực được phát triển phải là một phần của hệ thống kiến ​​thức, kỹ năng, năng lực đã hình thành trước đó của học sinh.

Ví dụ, khi dạy cách phân tích nhân tử của đa thức bằng cách sử dụng các công thức nhân rút gọn, các bài tập sau đây được đưa ra:

Nhân tử hóa:

VI. Sự cần thiết phải thực hiện các phép tính và biến đổi một cách hợp lý.

V)đơn giản hóa biểu thức:

Tính hợp lý nằm ở việc mở ngoặc đơn, bởi vì

VII. Chuyển đổi biểu thức có chứa số mũ.

Số 1011 (Alg.9) Rút gọn biểu thức:

Số 1012 (Alg.9) Bỏ số nhân ở dưới dấu căn:

Số 1013 (Alg.9) Nhập hệ số vào dưới dấu căn:

Số 1014 (Alg.9) Rút gọn biểu thức:

Trong tất cả các ví dụ, trước tiên hãy thực hiện phân tích nhân tử hoặc trừ nhân tử chung hoặc “xem” công thức rút gọn tương ứng.

Số 1015 (Alg.9) Rút gọn phân số:

Nhiều học sinh gặp một số khó khăn khi chuyển đổi các biểu thức có gốc, đặc biệt khi nghiên cứu đẳng thức:

Do đó, hãy mô tả chi tiết các biểu thức có dạng hoặc hoặc đi đến một mức độ với số mũ hợp lý.

Số 1018 (Alg.9) Tìm giá trị của biểu thức:

Số 1019 (Alg.9) Rút gọn biểu thức:

2.285 (Skanavi) Rút gọn biểu thức

rồi vẽ đồ thị hàm số y Vì

Số 2.299 (Skanavi) Kiểm tra tính đúng đắn của đẳng thức:

Biến đổi các biểu thức có chứa một mức độ là sự khái quát hóa các kỹ năng và khả năng có được trong nghiên cứu các phép biến đổi giống hệt nhau của đa thức.

Số 2.320 (Skanavi) Rút gọn biểu thức:

Khóa học Đại số 7 cung cấp các định nghĩa sau.

Chắc chắn. Hai biểu thức có giá trị tương ứng bằng giá trị của các biến được cho là bằng nhau.

Chắc chắn. Đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến được gọi. danh tính.

Số 94 (Alg.7) Là đẳng thức:

Một)

c)

d)

Định nghĩa mô tả: Việc thay thế một biểu thức bằng một biểu thức khác giống hệt nhau được gọi là một phép biến đổi giống hệt hoặc đơn giản là một phép biến đổi của một biểu thức. Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức có biến được thực hiện dựa trên tính chất của các phép toán trên số.

Số (Alg.7) Trong số các biểu thức

tìm những cái giống hệt nhau.

Đề tài: “Các phép biến đổi giống nhau của biểu thức” (kỹ thuật đặt câu hỏi)

Chủ đề đầu tiên của “Đại số-7” - “Biểu thức và các phép biến đổi của chúng” giúp củng cố kỹ năng tính toán đã học ở lớp 5-6, hệ thống hóa và khái quát hóa các thông tin về các phép biến đổi biểu thức và nghiệm phương trình.

Tìm các giá trị số và biểu thức nghĩa đen giúp học sinh có thể nhắc lại các quy tắc hành động với số hữu tỉ. Khả năng thực hiện các phép tính số học với số hữu tỷ là nền tảng của toàn bộ khóa học đại số.

Khi xem xét sự biến đổi của cách diễn đạt, các kỹ năng hình thức và vận hành vẫn ở mức tương tự như ở lớp 5-6.

Tuy nhiên, ở đây sinh viên nâng lên một tầm cao mới trong việc nắm vững lý thuyết. Các khái niệm “biểu thức giống hệt nhau”, “bản sắc”, “các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức” được đưa ra, nội dung của chúng sẽ không ngừng được bộc lộ và đào sâu hơn khi nghiên cứu các phép biến đổi của các dạng biểu thức khác nhau. biểu thức đại số. Cần nhấn mạnh rằng cơ sở của các phép biến đổi nhận dạng là các tính chất của các phép toán trên số.

Khi nghiên cứu chủ đề “Đa thức”, kỹ năng vận hành chính thức của các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức đại số được hình thành. Các công thức nhân viết tắt góp phần vào quá trình phát triển hơn nữa khả năng thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau của toàn bộ biểu thức; khả năng áp dụng các công thức cho cả phép nhân viết tắt và nhân tử của đa thức không chỉ được sử dụng trong việc chuyển đổi toàn bộ biểu thức mà còn trong các phép tính với phân số, căn bậc , lũy thừa với số mũ hợp lý .

Ở lớp 8, các kỹ năng chuyển đổi nhận dạng đã học được được thực hành thông qua các hành động với phân số đại số, căn bậc hai và các biểu thức chứa lũy thừa với số mũ là số nguyên.

Trong tương lai, các kỹ thuật chuyển đổi nhận dạng được phản ánh trong các biểu thức chứa mức độ với số mũ hữu tỷ.

Một nhóm biến đổi nhận dạng đặc biệt bao gồm biểu thức lượng giác và biểu thức logarit.

Chuẩn đầu ra bắt buộc của môn đại số lớp 7-9 bao gồm:

1) phép biến đổi nhận dạng của biểu thức số nguyên

a) dấu ngoặc mở và kèm theo;

b) đưa các thành viên tương tự;

c) phép cộng, trừ và nhân các đa thức;

d) Phân tích nhân tử của đa thức bằng cách bỏ thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc và rút gọn công thức nhân;

e) phân hủy tam thức bậc hai bằng số nhân.

“Toán học ở trường” (B.U.M.) trang 110

2) chuyển đổi danh tính biểu thức hợp lý: cộng, trừ, nhân và chia phân số, cũng như áp dụng các kỹ năng được liệt kê khi thực hiện các phép biến đổi kết hợp đơn giản [tr. 111]

3) học sinh có thể thực hiện các phép biến đổi các biểu thức đơn giản có chứa độ và căn. (trang 111-112)

Các loại vấn đề chính đã được xem xét, khả năng giải quyết cho phép học sinh nhận được điểm tích cực.

Một trong những khía cạnh quan trọng nhất của phương pháp nghiên cứu các biến đổi nhận dạng là việc phát triển các mục tiêu của học sinh để thực hiện các biến đổi nhận dạng.

1) - đơn giản hóa giá trị số biểu thức

2) phép biến đổi nào sẽ được thực hiện: (1) hoặc (2) Phân tích các phương án này là động lực (tốt nhất là (1), vì ở (2) phạm vi định nghĩa được thu hẹp)

3) Giải phương trình:

Phân tích nhân tử khi giải phương trình.

4) Tính toán:

Hãy áp dụng công thức nhân rút gọn:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Tìm giá trị của biểu thức:

Để tìm giá trị, nhân mỗi phân số với liên hợp của nó:

6) Vẽ đồ thị hàm số:

Hãy chọn toàn bộ phần: .

Việc ngăn ngừa lỗi khi thực hiện chuyển đổi nhận dạng có thể đạt được bằng các ví dụ khác nhau về cách triển khai chúng. Trong trường hợp này, các kỹ thuật “nhỏ” được thực hành, với tư cách là các thành phần, được đưa vào một quá trình chuyển đổi lớn hơn.

Ví dụ:

Tùy theo chiều của phương trình, có thể xét một số bài toán: nhân các đa thức từ phải sang trái; từ trái sang phải - nhân tử hóa. Bên trái là bội số của một trong các thừa số ở vế phải, v.v.

Ngoài việc thay đổi các ví dụ, bạn có thể sử dụng lời xin lỗi giữa danh tính và sự bình đẳng về số.

Kỹ thuật tiếp theo là giải thích về danh tính.

Để tăng sự hứng thú của học sinh, chúng ta có thể đưa vào việc tìm kiếm theo nhiều cách khác nhau giải quyết vấn đề.

Những bài học về nghiên cứu sự biến đổi bản sắc sẽ trở nên thú vị hơn nếu bạn dành chúng cho tìm kiếm giải pháp cho vấn đề .

Ví dụ: 1) giảm phân số:

3) Chứng minh công thức “căn phức”

Coi như:

Hãy biến đổi vế phải của đẳng thức:

-

tổng các biểu thức liên hợp. Chúng có thể được nhân và chia cho liên hợp của chúng, nhưng phép toán như vậy sẽ dẫn chúng ta đến một phân số có mẫu số là hiệu của các căn thức.

Lưu ý rằng số hạng đầu tiên trong phần đầu tiên của đẳng thức là một số lớn hơn số hạng thứ hai, vì vậy chúng ta có thể bình phương cả hai phần:

Bài học thực hành №3.

Chủ đề: Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức (kỹ thuật đặt câu hỏi).

Tài liệu: “Hội thảo về MPM”, trang 87-93.

Dấu hiệu văn hóa cao tính toán và biến đổi nhận dạng cho học sinh kiến thức vững chắc các tính chất và thuật toán của các phép tính về số lượng chính xác và gần đúng cũng như cách ứng dụng khéo léo của chúng; kỹ thuật hợp lý tính toán và biến đổi và xác minh của họ; khả năng biện minh cho việc sử dụng các phương pháp và quy tắc tính toán và biến đổi, kỹ năng tự động thực hiện các hoạt động tính toán không có lỗi.

Học sinh nên bắt đầu phát triển các kỹ năng được liệt kê ở lớp nào?

Dòng biến đổi biểu thức giống hệt nhau bắt đầu bằng việc sử dụng các kỹ thuật tính toán hợp lý bắt đầu bằng việc sử dụng các kỹ thuật để tính toán hợp lý các giá trị của biểu thức số. (lớp 5)

Khi nghiên cứu những chủ đề như vậy khóa học toán học nên được trao cho họ đặc biệt chú ý!

Việc thực hiện có ý thức của học sinh về các phép biến đổi nhận dạng được tạo điều kiện thuận lợi nhờ sự hiểu biết về thực tế là các biểu thức đại số không tồn tại riêng lẻ mà có mối liên hệ chặt chẽ với một tập hợp số nhất định, chúng là các bản ghi tổng quát của các biểu thức số. Sự tương tự giữa các biểu thức đại số và số học (và các phép biến đổi của chúng) là hợp lý; việc sử dụng chúng trong giảng dạy giúp học sinh không mắc lỗi.

Các phép biến đổi giống hệt nhau không phải là một chủ đề riêng biệt trong môn toán ở trường; chúng được nghiên cứu trong toàn bộ khóa học đại số và phần đầu của phân tích toán học.

Chương trình toán dành cho lớp 1-5 là tài liệu mang tính tuyên truyền để nghiên cứu các phép biến đổi giống hệt nhau của các biểu thức có một biến.

Trong chương trình đại số lớp 7. định nghĩa về nhận dạng và chuyển đổi nhận dạng được giới thiệu.

Chắc chắn. Hai biểu thức có giá trị tương ứng bằng nhau đối với bất kỳ giá trị nào của biến sẽ được gọi. bằng nhau như nhau.

ODA. Một đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào của biến được gọi là danh tính.

Giá trị của danh tính nằm ở chỗ nó cho phép một biểu thức đã cho được thay thế bằng một biểu thức khác có giá trị giống hệt với nó.

Chắc chắn. Việc thay thế một biểu thức bằng một biểu thức khác giống hệt nhau được gọi là sự biến đổi giống hệt nhau hoặc chỉ sự biến đổi biểu thức.

Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức có biến được thực hiện dựa trên tính chất của các phép toán trên số.

Cơ sở của các phép biến đổi nhận dạng có thể được coi là các phép biến đổi tương đương.

ODA. Hai câu, mỗi câu là hệ quả logic của câu kia, được gọi là. tương đương.

ODA. Câu có biến A được gọi. hệ quả của câu có biến B, nếu miền chân lý B là tập con của miền chân lý A.

Một định nghĩa khác về câu tương đương có thể được đưa ra: hai câu có biến là tương đương nếu miền chân lý của chúng trùng nhau.

a) B: x-1=0 trên R; A: (x-1) 2 trên R => A~B, bởi vì lĩnh vực chân lý (giải pháp) trùng nhau (x=1)

b) A: x=2 trên R; B: x 2 =4 trên R => miền chân lý A: x = 2; miền chân lý B: x=-2, x=2; bởi vì miền chân lý của A nằm trong B thì: x 2 = 4 là hệ quả của mệnh đề x = 2.

Cơ sở của các phép biến đổi nhận dạng là khả năng biểu diễn cùng một số trong các hình thức khác nhau. Ví dụ,

-

Cách biểu diễn này sẽ giúp ích khi nghiên cứu chủ đề “các tính chất cơ bản của phân số”.

Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi nhận dạng bắt đầu phát triển khi giải các ví dụ tương tự như sau: “Tìm giá trị số của biểu thức 2a 3 +3ab+b 2 với a = 0,5, b = 2/3” được cung cấp cho học sinh các lớp 5 và cho phép khái niệm chức năng được tuyên truyền.

Khi nghiên cứu các công thức nhân viết tắt, bạn nên chú ý đến việc hiểu sâu và khả năng tiếp thu mạnh mẽ của chúng. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng hình minh họa đồ họa sau:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Câu hỏi: Làm thế nào để giải thích cho học sinh bản chất của các công thức đã cho dựa trên các hình vẽ này?

Một lỗi phổ biến là nhầm lẫn giữa các biểu thức “bình phương của tổng” và “tổng bình phương”. Việc giáo viên chỉ ra rằng các biểu thức này khác nhau về thứ tự thực hiện dường như không đáng kể, vì học sinh tin rằng các hành động này được thực hiện trên cùng một số và do đó kết quả không thay đổi khi thay đổi thứ tự các hành động.

Bài tập: Tạo bài tập miệng nhằm phát triển kỹ năng sử dụng các công thức trên mà không mắc lỗi cho học sinh. Làm thế nào chúng ta có thể giải thích hai biểu thức này giống nhau như thế nào và chúng khác nhau như thế nào?

Sự đa dạng của các phép biến đổi giống hệt nhau khiến học sinh khó định hướng được mục đích mà chúng được thực hiện. Kiến thức mờ về mục đích thực hiện các phép biến đổi (trong mỗi trường hợp cụ thể) ảnh hưởng tiêu cực đến nhận thức của họ, đóng vai trò là nguồn lỗi lớn sinh viên. Điều này cho thấy rằng việc giải thích cho học sinh mục tiêu của việc thực hiện các chuyển đổi nhận dạng khác nhau là rất quan trọng. phần không thể thiếu phương pháp nghiên cứu của mình.

Ví dụ về động lực chuyển đổi bản sắc:

1. đơn giản hóa việc tìm kiếm giá trị số biểu thức;

2. chọn phép biến đổi của phương trình không làm mất nghiệm;

3. Khi thực hiện một phép biến đổi, bạn có thể đánh dấu vùng tính toán của nó;

4. sử dụng các phép biến đổi trong tính toán, ví dụ: 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Để quản lý quá trình ra quyết định, điều quan trọng là giáo viên phải có khả năng mô tả chính xác bản chất lỗi lầm của học sinh. Đặc tính lỗi chính xác là chìa khóa để sự lựa chọn đúng đắn các hoạt động tiếp theo của giáo viên.

Ví dụ về lỗi của học sinh:

1. Thực hiện phép nhân: học sinh nhận được -54abx 6 (7 ô);

2. Bằng cách nâng lũy ​​thừa (3x 2) 3, học sinh nhận được 3x 6 (7 điểm);

3. Chuyển (m + n) 2 thành đa thức, học sinh nhận được m 2 + n 2 (lớp 7);

4. Bằng cách giảm tỷ lệ học sinh nhận được (8 điểm);

5. thực hiện phép trừ: , học sinh viết xuống (lớp 8)

6. Biểu diễn phân số dưới dạng phân số, học sinh nhận được: (8 lớp);

7. Loại bỏ gốc số học học sinh đạt x-1 (lớp 9);

8. Giải phương trình (lớp 9);

9. Bằng cách biến đổi biểu thức, học sinh nhận được: (lớp 9).

Phần kết luận

Việc nghiên cứu các phép biến đổi nhận dạng được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với các tập hợp số được nghiên cứu trong một lớp cụ thể.

Đầu tiên, bạn nên yêu cầu học sinh giải thích từng bước biến đổi, xây dựng các quy tắc, định luật áp dụng.

Trong các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức đại số, hai quy tắc được sử dụng: thay thế và thay thế bằng dấu bằng. Sự thay thế thường được sử dụng nhiều nhất bởi vì Nó dựa trên các công thức tính toán, tức là tìm giá trị của biểu thức a*b với a=5 và b=-3. Rất thường xuyên, học sinh bỏ qua dấu ngoặc đơn khi thực hiện các phép tính nhân vì tin rằng đó là dấu nhân. Ví dụ: có thể nhập mục sau: 5*-3.

Văn học

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Chức năng và phương pháp đồ họa giải quyết đề thi”, Mn..Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko “Những sai lầm điển hình trong kiểm tra tập trung", Mn..Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Bẫy nhiệm vụ trong thử nghiệm tập trung”, Mn..Aversev, 2006

4. AI Azarov, S.A. Barvenov “Các phương pháp giải bài toán lượng giác", Mn..Aversev, 2005

Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.

Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.

Hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức chế độ xem chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của nó đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.

Vì bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức \(12a^2b - 7b\) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6\) có bậc hai.

Thông thường, các số hạng của đa thức có dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của số mũ bậc của nó. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.

Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc mở nên rất dễ dàng để hình thành Quy tắc mở ngoặc:

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.

Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức

Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, bạn có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức thành đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.

Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.

Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với mỗi số hạng của đa thức.

Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.

Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức

Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.

Thông thường quy tắc sau được sử dụng.

Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.

Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương

Với một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số phải giải quyết thường xuyên hơn những người khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không thường xuyên xảy ra; theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.

Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn trên thực tế, bạn đã từng gặp phải nhiệm vụ như vậy khi nhân các đa thức; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng hình vuông và nhân đôi sản phẩm.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích nhân đôi.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.

Ba đặc tính này cho phép người ta thay thế phần bên trái bằng phần bên phải trong các phép biến đổi và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.

Những lưu ý quan trọng!
1. Nếu bạn thấy gobbledygook thay vì công thức, hãy xóa bộ nhớ đệm. Cách thực hiện việc này trong trình duyệt của bạn được viết ở đây:
2. Trước khi bạn bắt đầu đọc bài viết, hãy chú ý đến công cụ điều hướng của chúng tôi nhiều nhất tài nguyên hữu ích Vì

Chúng ta thường nghe điều này cụm từ khó chịu: “đơn giản hóa biểu thức.” Thông thường chúng ta thấy một số loại quái vật như thế này:

“Nó đơn giản hơn nhiều,” chúng tôi nói, nhưng câu trả lời như vậy thường không hiệu quả.

Bây giờ tôi sẽ dạy bạn đừng sợ bất kỳ nhiệm vụ nào như vậy.

Hơn nữa, ở cuối bài học, bạn sẽ đơn giản hóa ví dụ này thành (chỉ!) số thường xuyên(vâng, chết tiệt với những lá thư này).

Nhưng trước khi bắt đầu hoạt động này, bạn cần có khả năng xử lý phân số Và nhân tử đa thức.

Vì vậy, nếu bạn chưa từng làm việc này trước đây, hãy nhớ nắm vững chủ đề “” và “”.

Bạn đã đọc nó chưa? Nếu có thì bây giờ bạn đã sẵn sàng.

Đi thôi! (Đi thôi!)

Các thao tác đơn giản hóa biểu thức cơ bản

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các kỹ thuật cơ bản được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức.

Đơn giản nhất là

1. Mang theo tương tự

Tương tự là gì? Bạn học điều này vào năm lớp 7, khi các chữ cái thay vì số lần đầu tiên xuất hiện trong toán học.

Tương tự- đây là những thuật ngữ (đơn thức) có cùng một phần chữ cái.

Ví dụ, tổng cộng điều khoản tương tự- đây là tôi.

Bạn có nhớ không?

Cho tương tự- có nghĩa là thêm một số thuật ngữ tương tự với nhau và nhận được một thuật ngữ.

Làm thế nào chúng ta có thể ghép các chữ cái lại với nhau? - bạn hỏi.

Điều này rất dễ hiểu nếu bạn tưởng tượng rằng các chữ cái là một loại đồ vật nào đó.

Ví dụ, một lá thư là một cái ghế. Khi đó biểu thức bằng là gì?

Hai cái ghế cộng với ba cái ghế thì sẽ bằng bao nhiêu? Đúng rồi ghế: .

Bây giờ hãy thử biểu thức này: .

Để tránh nhầm lẫn, hãy các chữ cái khác nhauđại diện cho các đối tượng khác nhau.

Ví dụ: - (như thường lệ) là một cái ghế và - là một cái bàn.

ghế bàn ghế bàn ghế ghế bàn

Các số mà các chữ cái trong những thuật ngữ đó được nhân với nhau được gọi là hệ số.

Ví dụ, trong một đơn thức thì hệ số bằng nhau. Và trong đó là bình đẳng.

Vì vậy, quy tắc mang theo những thứ tương tự là:

Ví dụ:

Cho những cái tương tự:

Câu trả lời:

2. (và tương tự, vì các thuật ngữ này có phần chữ cái giống nhau).

2. Phân tích nhân tử

Đây thường là nhiều nhất phần quan trọng trong việc đơn giản hóa các biểu thức.

Sau khi bạn đã đưa ra những cái tương tự, thường cần có biểu thức thu được phân tích thành thừa số, nghĩa là, được trình bày dưới dạng một sản phẩm.

Đặc biệt là cái này quan trọng trong phân số: xét cho cùng, để có thể giảm phân số, Tử số và mẫu số phải được biểu diễn dưới dạng tích.

Các bạn đã tìm hiểu chi tiết các phương pháp phân tích nhân tử trong chủ đề “”, đến đây các bạn chỉ cần nhớ lại những gì đã học.

Để làm điều này, hãy giải một số ví dụ (bạn cần phân tích chúng)

Ví dụ:

Giải pháp:

3. Rút gọn một phân số.

Chà, còn gì dễ chịu hơn việc gạch bỏ một phần tử số và mẫu số và ném chúng ra khỏi cuộc sống của bạn?

Đó là vẻ đẹp của việc thu nhỏ.

Thật đơn giản:

Nếu tử số và mẫu số chứa các thừa số giống nhau thì chúng có thể được rút gọn, nghĩa là loại bỏ khỏi phân số.

Quy tắc này tuân theo tính chất cơ bản của phân số:

Nghĩa là, bản chất của hoạt động rút gọn là Chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số cho cùng một số (hoặc cho cùng một biểu thức).

Để giảm một phần bạn cần:

1) tử số và mẫu số phân tích thành thừa số

2) nếu tử số và mẫu số chứa yếu tố chung, chúng có thể bị gạch bỏ.

Ví dụ:

Nguyên tắc, tôi nghĩ, là rõ ràng?

Tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn vào một điều sai lầm điển hình khi ký hợp đồng. Chủ đề này tuy đơn giản nhưng nhiều người làm sai mà không hiểu giảm bớt- điều này có nghĩa là chia tử số và mẫu số đều bằng nhau.

Không viết tắt nếu tử số hoặc mẫu số là tổng.

Ví dụ: chúng ta cần đơn giản hóa.

Một số người làm điều này: điều này hoàn toàn sai.

Một ví dụ khác: giảm.

Người “thông minh nhất” sẽ làm điều này:

Nói cho tôi biết có chuyện gì ở đây vậy? Có vẻ như: - đây là một số nhân, có nghĩa là nó có thể giảm đi.

Nhưng không: - đây chỉ là thừa số của một số hạng trong tử số, nhưng bản thân tử số nói chung không được phân tích thành thừa số.

Đây là một ví dụ khác: .

Biểu thức này được phân tích thành thừa số, có nghĩa là bạn có thể rút gọn nó, nghĩa là chia tử số và mẫu số cho rồi chia cho:

Bạn có thể ngay lập tức chia nó thành:

Để tránh những sai lầm như vậy, hãy nhớ cách dễ dàng cách xác định xem một biểu thức có được nhân tử hóa hay không:

Phép toán số học được thực hiện cuối cùng khi tính giá trị của một biểu thức là phép toán “chính”.

Nghĩa là, nếu bạn thay thế một số (bất kỳ) số nào thay vì các chữ cái và cố gắng tính giá trị của biểu thức, thì nếu hành động cuối cùng sẽ có một phép nhân, nghĩa là chúng ta có tích (biểu thức được phân tích thành thừa số).

Nếu hành động cuối cùng là cộng hoặc trừ, điều này có nghĩa là biểu thức không được phân tích thành thừa số (và do đó không thể rút gọn).

Để củng cố điều này, hãy tự mình giải một vài ví dụ:

Ví dụ:

Giải pháp:

4. Cộng và trừ các phân số. Quy đổi phân số về mẫu số chung.

Cộng và trừ phân số thông thường- thao tác đã biết rõ: chúng ta tìm mẫu số chung, nhân từng phân số với thừa số còn thiếu và cộng/trừ các tử số.

Chúng ta hãy nhớ:

Câu trả lời:

1. Các mẫu số và nguyên tố cùng nhau, nghĩa là chúng không có ước chung. Do đó, LCM của những số này bằng tích của chúng. Đây sẽ là mẫu số chung:

2. Mẫu số chung ở đây là:

3. Điều đầu tiên ở đây phân số hỗn hợp chúng tôi biến chúng thành những cái không chính xác và sau đó làm theo mẫu thông thường:

Đó là một vấn đề hoàn toàn khác nếu phân số chứa các chữ cái, ví dụ:

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản:

a) Mẫu số không chứa chữ cái

Mọi thứ ở đây đều giống như bình thường phân số: tìm mẫu số chung, nhân từng phân số với thừa số còn thiếu rồi cộng/trừ các tử số:

Bây giờ trong tử số, bạn có thể đưa ra những số tương tự, nếu có, và phân tích chúng:

Hãy tự mình thử:

Câu trả lời:

b) Mẫu số chứa các chữ cái

Chúng ta hãy nhớ nguyên tắc tìm mẫu số chung không có chữ cái:

· trước hết xác định các nhân tố chung;

· sau đó chúng ta lần lượt viết ra tất cả các thừa số chung;

· và nhân chúng với tất cả các thừa số không phổ biến khác.

Để xác định các thừa số chung của các mẫu số, trước tiên chúng ta phân tích chúng thành thừa số nguyên tố:

Hãy nhấn mạnh những yếu tố chung:

Bây giờ chúng ta hãy viết ra từng thừa số chung và thêm vào đó tất cả các thừa số không phổ biến (không được gạch chân):

Đây là mẫu số chung.

Hãy quay lại với những lá thư. Các mẫu số được đưa ra theo cùng một cách:

· Phân tích mẫu số;

· xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau);

· viết ra tất cả các thừa số chung một lần;

· nhân chúng với tất cả các yếu tố không phổ biến khác.

Vì vậy, theo thứ tự:

1) nhân tử với mẫu số:

2) xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau):

3) viết ra tất cả các thừa số chung một lần và nhân chúng với tất cả các thừa số khác (không được nhấn mạnh):

Vậy có một mẫu số chung ở đây. Phân số thứ nhất phải được nhân với, phân số thứ hai - với:

Nhân tiện, có một mẹo:

Ví dụ: .

Chúng ta thấy các yếu tố giống nhau ở mẫu số, chỉ có điều tất cả đều có các chỉ số khác nhau. Mẫu số chung sẽ là:

ở một mức độ nào đó

ở một mức độ nào đó

ở một mức độ nào đó

đến một mức độ.

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ:

Làm thế nào để phân số có cùng mẫu số?

Hãy nhớ tính chất cơ bản của phân số:

Không nơi nào nói rằng cùng một số có thể được trừ (hoặc cộng) từ tử số và mẫu số của một phân số. Bởi vì nó không đúng sự thật!

Hãy tự mình xem: lấy bất kỳ phân số nào, ví dụ, và thêm một số số vào tử số và mẫu số, ví dụ: . Bạn đã học được gì?

Vì vậy, một quy tắc không thể lay chuyển khác:

Khi bạn giảm phân số thành mẫu số chung, chỉ sử dụng phép tính nhân!

Nhưng bạn cần nhân với bao nhiêu để có được?

Vì vậy, hãy nhân lên. Và nhân với:

Chúng ta sẽ gọi những biểu thức không thể phân tích thành nhân tử là “các thừa số cơ bản”.

Ví dụ: - đây là một yếu tố cơ bản. - Như nhau. Nhưng không: nó có thể được nhân tử hóa.

Còn cách diễn đạt thì sao? Nó có phải là tiểu học không?

Không, bởi vì nó có thể được phân tích thành nhân tử:

(bạn đã đọc về phân tích nhân tử trong chủ đề “”).

Vì vậy, các yếu tố cơ bản mà bạn mở rộng biểu thức bằng các chữ cái là một yếu tố tương tự thừa số nguyên tố, trong đó bạn phân tách các số. Và chúng ta sẽ giải quyết chúng theo cách tương tự.

Chúng ta thấy rằng cả hai mẫu số đều có một số nhân. Nó sẽ đi đến mẫu số chung ở mức độ nào đó (bạn nhớ tại sao không?).

Yếu tố này là cơ bản và chúng không có yếu tố chung, điều đó có nghĩa là phân số đầu tiên sẽ chỉ cần được nhân với nó:

Một ví dụ khác:

Giải pháp:

Trước khi nhân các mẫu số này một cách hoảng loạn, bạn cần suy nghĩ về cách phân tích chúng? Cả hai đều đại diện cho:

Tuyệt vời! Sau đó:

Một ví dụ khác:

Giải pháp:

Như thường lệ, hãy phân tích các mẫu số. Trong mẫu số đầu tiên, chúng ta chỉ cần đặt nó ra khỏi ngoặc; trong phần thứ hai - sự khác biệt của hình vuông:

Có vẻ như không có yếu tố chung. Nhưng nếu bạn nhìn kỹ, chúng giống nhau... Và đó là sự thật:

Vì vậy hãy viết:

Tức là mọi chuyện diễn ra như thế này: bên trong ngoặc, chúng ta đổi chỗ các số hạng, đồng thời dấu đứng trước phân số đổi thành ngược lại. Hãy lưu ý, bạn sẽ phải làm điều này thường xuyên.

Bây giờ hãy đưa nó về mẫu số chung:

Hiểu rồi? Hãy kiểm tra nó ngay bây giờ.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Câu trả lời:

5. Nhân và chia phân số.

Chà, phần khó nhất bây giờ đã qua rồi. Và trước mắt chúng ta là điều đơn giản nhất nhưng đồng thời cũng là điều quan trọng nhất:

Thủ tục

Trình tự tính một biểu thức số là gì? Hãy nhớ bằng cách tính toán ý nghĩa của biểu thức này:

Bạn đã đếm chưa?

Nó sẽ hoạt động.

Vì vậy, hãy để tôi nhắc nhở bạn.

Bước đầu tiên là tính toán mức độ.

Thứ hai là phép nhân và phép chia. Nếu có nhiều phép nhân và chia cùng một lúc, chúng có thể được thực hiện theo bất kỳ thứ tự nào.

Và cuối cùng, chúng tôi thực hiện phép cộng và phép trừ. Một lần nữa, theo thứ tự bất kỳ.

Nhưng: biểu thức trong ngoặc được đánh giá sai lần lượt!

Nếu nhân hoặc chia nhiều dấu ngoặc với nhau, trước tiên chúng ta tính biểu thức trong mỗi dấu ngoặc, sau đó nhân hoặc chia chúng.

Điều gì sẽ xảy ra nếu có nhiều dấu ngoặc bên trong dấu ngoặc? Chà, hãy nghĩ xem: một số biểu thức được viết bên trong dấu ngoặc. Khi tính một biểu thức, đầu tiên bạn phải làm gì? Đúng rồi, hãy tính dấu ngoặc. Chà, chúng tôi đã tìm ra điều đó: đầu tiên chúng tôi tính toán các dấu ngoặc bên trong, sau đó là mọi thứ khác.

Vì vậy, quy trình cho biểu thức trên như sau (hành động hiện tại được đánh dấu màu đỏ, nghĩa là hành động mà tôi đang thực hiện ngay bây giờ):

Được rồi, tất cả đều đơn giản.

Nhưng điều này không giống như cách diễn đạt bằng chữ cái?

Không, nó giống nhau! Chỉ thay vì các phép tính số học bạn cần phải làm đại số, tức là các hành động được mô tả trong phần trước: mang lại tương tự, cộng phân số, rút ​​gọn phân số, v.v. Sự khác biệt duy nhất sẽ là hoạt động phân tích thành thừa số đa thức (chúng ta thường sử dụng điều này khi làm việc với phân số). Thông thường, để phân tích nhân tử, bạn cần sử dụng I hoặc đơn giản là đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Thông thường mục tiêu của chúng ta là biểu diễn biểu thức dưới dạng tích hoặc thương.

Ví dụ:

Hãy đơn giản hóa biểu thức.

1) Đầu tiên, chúng ta rút gọn biểu thức trong ngoặc. Ở đó chúng ta có hiệu của các phân số và mục tiêu của chúng ta là biểu thị nó dưới dạng tích hoặc thương. Vì vậy, chúng ta đưa các phân số về mẫu số chung và cộng:

Không thể đơn giản hóa biểu thức này hơn nữa; tất cả các yếu tố ở đây đều là cơ bản (bạn vẫn nhớ điều này có nghĩa là gì?).

2) Chúng tôi nhận được:

Nhân phân số: điều gì có thể đơn giản hơn.

3) Bây giờ bạn có thể rút ngắn:

Vâng, đó là tất cả. Không có gì phức tạp phải không?

Một ví dụ khác:

Đơn giản hóa biểu thức.

Đầu tiên, hãy cố gắng tự giải quyết và chỉ sau đó mới nhìn vào giải pháp.

Giải pháp:

Trước hết, hãy xác định thứ tự các hành động.

Đầu tiên, hãy cộng các phân số trong ngoặc đơn để thay vì hai phân số, chúng ta có một phân số.

Sau đó chúng ta sẽ thực hiện phép chia phân số. Vâng, hãy cộng kết quả với phân số cuối cùng.

Tôi sẽ đánh số các bước theo sơ đồ:

Cuối cùng tôi sẽ cho bạn hai lời khuyên hữu ích:

1. Nếu có những cái tương tự thì phải mang đi ngay. Bất cứ khi nào những vấn đề tương tự xuất hiện ở nước ta, chúng ta nên đưa chúng ra ngay lập tức.

2. Việc rút gọn phân số cũng vậy: ngay khi có cơ hội rút gọn thì phải tận dụng. Ngoại lệ dành cho các phân số mà bạn cộng hoặc trừ: nếu bây giờ chúng có cùng mẫu số, thì việc giảm bớt nên để sau.

Dưới đây là một số nhiệm vụ để bạn tự giải quyết:

Và những gì đã được hứa ngay từ đầu:

Câu trả lời:

Giải pháp (ngắn gọn):

Nếu bạn đã giải quyết được ít nhất ba ví dụ đầu tiên thì bạn đã nắm vững chủ đề.

Bây giờ vào việc học!

CHUYỂN ĐỔI BIỂU TƯỢNG. CÔNG THỨC TÓM TẮT VÀ CƠ BẢN

Các thao tác đơn giản hóa cơ bản:

• Mang tương tự: để thêm (rút gọn) các số hạng tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và gán phần chữ cái.
• Nhân tố hóa:đưa yếu tố chung ra khỏi ngoặc, áp dụng nó, v.v.
• Giảm một phần: Tử số và mẫu số của một phân số có thể nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0 mà không làm thay đổi giá trị của phân số.
  1) tử số và mẫu số phân tích thành thừa số
  2) nếu tử số và mẫu số có thừa số chung thì có thể gạch bỏ.

  QUAN TRỌNG: chỉ có thể giảm số nhân!

• Cộng và trừ các phân số:
  ;
• Nhân và chia phân số:
  ;

Vâng, chủ đề đã kết thúc. Nếu bạn đang đọc những dòng này nghĩa là bạn rất tuyệt vời.

Bởi vì chỉ có 5% số người có thể tự mình thành thạo một thứ gì đó. Và nếu bạn đọc đến cuối thì bạn nằm trong 5% này!

Bây giờ là điều quan trọng nhất.

Bạn đã hiểu lý thuyết về chủ đề này. Và tôi nhắc lại, điều này... điều này thật tuyệt vời! Bạn đã giỏi hơn đại đa số bạn bè cùng trang lứa rồi.

Vấn đề là điều này có thể không đủ...

Để làm gì?

Để thành công vượt qua kỳ thi quốc gia thống nhất, để được nhận vào đại học với ngân sách tiết kiệm và QUAN TRỌNG NHẤT là suốt đời.

Tôi sẽ không thuyết phục bạn bất cứ điều gì, tôi chỉ nói một điều...

Những người đã nhận được giáo dục tốt, kiếm được nhiều tiền hơn những người không nhận được nó. Đây là số liệu thống kê.

Nhưng đây không phải là điều chính.

Điều chính là họ HẠNH PHÚC HƠN (có những nghiên cứu như vậy). Có lẽ bởi vì có nhiều điều rộng mở hơn trước mắt họ nhiều khả năng hơn và cuộc sống trở nên tươi sáng hơn? Không biết...

Nhưng hãy tự mình suy nghĩ...

Cần phải làm gì để chắc chắn mình giỏi hơn những người khác trong Kỳ thi Thống nhất và cuối cùng là... hạnh phúc hơn?

GIÚP BẠN BẰNG CÁCH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VỀ CHỦ ĐỀ NÀY.

Bạn sẽ không được yêu cầu lý thuyết trong kỳ thi.

Bạn sẽ cần giải quyết vấn đề theo thời gian.

Và, nếu bạn chưa giải quyết được chúng (RẤT NHIỀU!), chắc chắn bạn sẽ mắc sai lầm ngu ngốc ở đâu đó hoặc đơn giản là không có thời gian.

Giống như trong thể thao - bạn cần lặp lại nhiều lần để chắc chắn giành chiến thắng.

Tìm bộ sưu tập bất cứ nơi nào bạn muốn, nhất thiết phải có giải pháp, phân tích chi tiết và quyết định, quyết định, quyết định!

Bạn có thể sử dụng các nhiệm vụ của chúng tôi (tùy chọn) và tất nhiên chúng tôi sẽ đề xuất chúng.

Để sử dụng tốt hơn các nhiệm vụ của chúng tôi, bạn cần giúp kéo dài tuổi thọ của cuốn sách giáo khoa YouClever mà bạn hiện đang đọc.

Làm sao? Có hai lựa chọn:

1. Mở khóa tất cả các nhiệm vụ ẩn trong bài viết này -
2. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ ẩn trong tất cả 99 bài viết của sách giáo khoa - Mua sách giáo khoa - 499 RUR

Có, chúng tôi có 99 bài viết như vậy trong sách giáo khoa của mình và có thể mở ngay lập tức quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ cũng như tất cả các văn bản ẩn trong đó.

Quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn được cung cấp trong TOÀN BỘ vòng đời của trang web.

Và kết luận là...

Nếu bạn không thích nhiệm vụ của chúng tôi, hãy tìm người khác. Đừng dừng lại ở lý thuyết.

“Đã hiểu” và “Tôi có thể giải quyết” là những kỹ năng hoàn toàn khác nhau. Bạn cần cả hai.

Tìm vấn đề và giải quyết chúng!

Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân số.

Tính chất giao hoán của phép cộng: việc sắp xếp lại các số hạng không làm thay đổi giá trị của tổng. Với mọi số a và b đẳng thức đều đúng

Tính chất tổ hợp của phép cộng: Để cộng số thứ ba vào tổng của hai số, ta cộng tổng của số thứ hai và số thứ ba với số thứ nhất. Với mọi số a, b, c đẳng thức đều đúng

Tính chất giao hoán của phép nhân: việc sắp xếp lại các thừa số không làm thay đổi giá trị của tích. Với mọi số a, b, c đẳng thức đều đúng

Tính chất tổ hợp của phép nhân: Để nhân tích của hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba.

Với mọi số a, b, c đẳng thức đều đúng

Thuộc tính phân phối: Để nhân một số với một tổng, bạn có thể nhân số đó với mỗi số hạng rồi cộng kết quả lại. Với mọi số a, b, c đẳng thức đều đúng

Từ các tính chất giao hoán và tổ hợp của phép cộng, ta suy ra: với bất kỳ tổng nào, bạn có thể sắp xếp lại các số hạng theo bất kỳ cách nào bạn muốn và tùy ý kết hợp chúng thành các nhóm.

Ví dụ 1 Hãy tính tổng 1,23+13,5+4,27.

Để làm điều này, thật thuận tiện khi kết hợp thuật ngữ đầu tiên với thuật ngữ thứ ba. Chúng tôi nhận được:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Từ các tính chất giao hoán và tổ hợp của phép nhân, người ta suy ra: trong bất kỳ tích nào, bạn có thể sắp xếp lại các thừa số theo bất kỳ cách nào và kết hợp chúng thành các nhóm một cách tùy ý.

Ví dụ 2 Tìm giá trị của tích 1,8·0,25·64·0,5.

Kết hợp thừa số thứ nhất với thừa số thứ tư và thừa số thứ hai với thừa số thứ ba, ta có:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Tính chất phân phối cũng đúng khi một số được nhân với tổng của ba số hạng trở lên.

Ví dụ: với mọi số a, b, c và d đẳng thức đều đúng

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Chúng ta biết rằng phép trừ có thể được thay thế bằng phép cộng bằng cách cộng vào số trừ số đối diện của số bị trừ:

Điều này cho phép biểu thức số gõ a-bđược coi là tổng của các số a và -b, biểu thức số có dạng a+b-c-d được coi là tổng của các số a, b, -c, -d, v.v. Các thuộc tính được xem xét của hành động cũng có giá trị đối với các tổng như vậy.

Ví dụ 3 Hãy tìm giá trị của biểu thức 3,27-6,5-2,5+1,73.

Biểu thức này là tổng của các số 3,27, -6,5, -2,5 và 1,73. Áp dụng tính chất của phép cộng, ta có: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Ví dụ 4 Hãy tính tích 36·().

Số nhân có thể được coi là tổng của các số và -. Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân, chúng ta có được:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Danh tính

Sự định nghĩa. Hai biểu thức có giá trị tương ứng bằng nhau đối với bất kỳ giá trị nào của biến được gọi là bằng nhau.

Sự định nghĩa. Một đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào của biến được gọi là danh tính.

Hãy tìm giá trị của các biểu thức 3(x+y) và 3x+3y tại x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Chúng tôi đã nhận được kết quả tương tự. Từ thuộc tính phân phối, nói chung, đối với bất kỳ giá trị nào của biến, các giá trị tương ứng của biểu thức 3(x+y) và 3x+3y đều bằng nhau.

Bây giờ chúng ta xét các biểu thức 2x+y và 2xy. Khi x=1, y=2 chúng nhận các giá trị bằng nhau:

Tuy nhiên, bạn có thể chỉ định giá trị của x và y sao cho giá trị của các biểu thức này không bằng nhau. Ví dụ: nếu x=3, y=4 thì

Các biểu thức 3(x+y) và 3x+3y giống hệt nhau, nhưng các biểu thức 2x+y và 2xy không giống nhau.

Đẳng thức 3(x+y)=x+3y, đúng với mọi giá trị của x và y, là một đẳng thức.

Đẳng thức số thực cũng được coi là đồng nhất thức.

Vì vậy, danh tính là các đẳng thức thể hiện các tính chất cơ bản của các phép toán trên số:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Các ví dụ khác về danh tính có thể được đưa ra:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức

Việc thay thế một biểu thức bằng một biểu thức khác giống hệt nhau được gọi là phép biến đổi giống hệt hoặc đơn giản là phép biến đổi của một biểu thức.

Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức có biến được thực hiện dựa trên tính chất của các phép toán trên số.

Để tìm giá trị của biểu thức xy-xz khi giá trị đã cho x, y, z, bạn cần thực hiện ba hành động. Ví dụ: với x=2,3, y=0,8, z=0,2 ta có:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Bạn có thể nhận được kết quả này bằng cách chỉ thực hiện hai bước, nếu bạn sử dụng biểu thức x(y-z), biểu thức này giống hệt với biểu thức xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Chúng tôi đã đơn giản hóa việc tính toán bằng cách thay thế biểu thức xy-xz giống hệt nhau biểu thức bình đẳng x(y-z).

Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức được sử dụng rộng rãi trong việc tính giá trị của biểu thức và giải các bài toán khác. Một số phép biến đổi giống hệt nhau đã phải được thực hiện, chẳng hạn như đưa các thuật ngữ tương tự, mở dấu ngoặc đơn. Chúng ta hãy nhớ lại các quy tắc để thực hiện các phép biến đổi này:

để đưa ra các số hạng tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và nhân kết quả với phần chữ cái chung;

nếu có dấu cộng trước dấu ngoặc thì có thể bỏ dấu ngoặc, giữ nguyên dấu của từng số hạng đặt trong ngoặc;

Nếu có dấu trừ trước dấu ngoặc đơn thì có thể bỏ dấu ngoặc đơn bằng cách đổi dấu của mỗi số hạng đặt trong ngoặc đơn.

Ví dụ 1 Hãy trình bày các số hạng tương tự trong tổng 5x+2x-3x.

Hãy sử dụng quy tắc để giảm các số hạng tương tự:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Phép biến đổi này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân.

Ví dụ 2 Hãy mở dấu ngoặc trong biểu thức 2a+(b-3c).

Sử dụng quy tắc mở ngoặc trước dấu cộng:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Việc chuyển đổi được thực hiện dựa trên tài sản kết hợp phép cộng.

Ví dụ 3 Hãy mở ngoặc trong biểu thức a-(4b-c).

Hãy sử dụng quy tắc mở dấu ngoặc đơn trước dấu trừ:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Phép biến đổi được thực hiện dựa trên tính chất phân phối của phép nhân và tính chất tổ hợp của phép cộng. Hãy thể hiện nó. Hãy tưởng tượng trong biểu hiện này số hạng thứ hai -(4b-c) ở dạng tích (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Bằng cách áp dụng thuộc tính được chỉ định hành động, chúng tôi nhận được:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Các số và biểu thức tạo nên biểu thức ban đầu có thể được thay thế bằng các biểu thức giống hệt nhau. Việc chuyển đổi biểu thức ban đầu như vậy sẽ dẫn đến một biểu thức giống hệt với biểu thức đó.

Ví dụ: trong biểu thức 3+x, số 3 có thể được thay thế bằng tổng 1+2, kết quả là biểu thức (1+2)+x, giống hệt với biểu thức ban đầu. Một ví dụ khác: trong biểu thức 1+a 5, lũy thừa của a 5 có thể được thay thế bằng tích tương đương, chẳng hạn như có dạng a·a 4. Điều này sẽ cho chúng ta biểu thức 1+a·a 4 .

Sự chuyển đổi này chắc chắn là nhân tạo và thường là sự chuẩn bị cho một số chuyển đổi tiếp theo. Ví dụ, trong tổng 4 x 3 +2 x 2, có tính đến các tính chất của bậc, số hạng 4 x 3 có thể được biểu diễn dưới dạng tích 2 x 2 2 x. Sau phép biến đổi này, biểu thức ban đầu sẽ có dạng 2 x 2 2 x+2 x 2. Rõ ràng, các số hạng trong tổng thu được có hệ số chung là 2 x 2, vì vậy chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi sau - ngoặc. Sau đó chúng ta đi đến biểu thức: 2 x 2 (2 x+1) .

Cộng và trừ cùng một số

Một phép biến đổi nhân tạo khác của một biểu thức là phép cộng và phép trừ đồng thời của cùng một số hoặc biểu thức. Phép biến đổi này giống hệt nhau vì về cơ bản nó tương đương với việc thêm số 0 và việc thêm số 0 không làm thay đổi giá trị.

Hãy xem một ví dụ. Hãy lấy biểu thức x 2 +2·x. Nếu bạn thêm một vào nó và trừ đi một, điều này sẽ cho phép bạn thực hiện một phép biến đổi giống hệt khác trong tương lai - bình phương nhị thức: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Tài liệu tham khảo.

• Đại số: sách giáo khoa cho lớp 7. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Đại số. lớp 7. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 17, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-02432-3.