Đánh giá các biểu thức với lũy thừa. Công thức của lũy thừa và rễ

Bằng cấp và các tính chất của nó. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Tại sao cần bằng cấp? Bạn sẽ cần chúng ở đâu? Tại sao bạn nên dành thời gian để nghiên cứu chúng?

Để tìm hiểu mọi thứ về bằng cấp, chúng dùng để làm gì, cách sử dụng kiến thức của bạn trong Cuộc sống hàng ngàyđọc bài viết này.

Và tất nhiên, kiến thức về bằng cấp sẽ đưa bạn đến gần hơn với hoàn thành thành công Kỳ thi OGE hoặc Unified State và được nhận vào trường đại học mơ ước của bạn.

Đi thôi đi thôi!)

Lưu ý quan trọng! Nếu bạn thấy gobbledygook thay vì công thức, hãy xóa bộ nhớ đệm. Để thực hiện việc này, nhấn CTRL+F5 (trên Windows) hoặc Cmd+R (trên Mac).

CẤP ĐẦU TIÊN

Tăng lên quyền lực cũng vậy phép toán như cộng, trừ, nhân hoặc chia.

Bây giờ tôi sẽ giải thích mọi thứ ngôn ngữ con người rất ví dụ đơn giản. Hãy cẩn thận. Các ví dụ là cơ bản nhưng giải thích những điều quan trọng.

Hãy bắt đầu với phép cộng.

Không có gì để giải thích ở đây. Bạn đã biết tất cả mọi thứ rồi: chúng tôi có tám người. Mọi người đều có hai chai cola. Có bao nhiêu cola? Đúng vậy - 16 chai.

Bây giờ nhân.

Ví dụ tương tự với cola có thể được viết khác đi: . Các nhà toán học là những người xảo quyệt và lười biếng. Đầu tiên, họ nhận thấy một số mẫu, sau đó tìm ra cách “đếm” chúng nhanh hơn. Trong trường hợp của chúng tôi, họ nhận thấy rằng mỗi người trong số tám người có cùng số chai cola và đã nghĩ ra một kỹ thuật gọi là phép nhân. Đồng ý, nó được coi là dễ dàng hơn và nhanh hơn.

Vì vậy, để đếm nhanh hơn, dễ dàng hơn và không mắc lỗi, bạn chỉ cần nhớ bảng cửu chương. Tất nhiên, bạn có thể làm mọi thứ chậm hơn, khó hơn và mắc sai lầm! Nhưng…

Đây là bảng nhân. Lặp lại.

Và một cái khác, đẹp hơn:

Những thủ thuật đếm thông minh nào khác mà các nhà toán học lười biếng nghĩ ra? Phải - nâng một số lên lũy thừa.

Nâng một số lên lũy thừa

Nếu bạn cần nhân một số với chính nó năm lần, thì các nhà toán học nói rằng bạn cần nâng số đó lên lũy thừa thứ năm. Ví dụ, . Các nhà toán học nhớ rằng lũy thừa hai mũ năm là... Và họ giải quyết những vấn đề như vậy trong đầu - nhanh hơn, dễ dàng hơn và không mắc lỗi.

Tất cả những gì bạn cần làm là hãy nhớ những gì được tô màu trong bảng lũy thừa của các con số. Hãy tin tôi, điều này sẽ làm cho cuộc sống của bạn dễ dàng hơn rất nhiều.

Nhân tiện, tại sao nó được gọi là cấp độ thứ hai? quảng trường số và số thứ ba - khối lập phương? Nó có nghĩa là gì? Rất câu hỏi hay. Bây giờ bạn sẽ có cả hình vuông và hình khối.

Ví dụ thực tế số 1

Hãy bắt đầu với bình phương hoặc lũy thừa thứ hai của số.

Hãy tưởng tượng một hồ bơi hình vuông có kích thước một mét x một mét. Hồ bơi ở nhà của bạn. Trời nóng và tôi thực sự muốn bơi. Nhưng... bể bơi không có đáy! Bạn cần phải lót đáy hồ bơi bằng gạch. Bạn cần bao nhiêu viên gạch? Để xác định được điều này, bạn cần biết diện tích đáy bể bơi.

Bạn có thể tính toán một cách đơn giản bằng cách chỉ ngón tay rằng đáy hồ bơi bao gồm các khối mét theo mét. Nếu bạn có gạch một mét một mét, bạn sẽ cần các mảnh. Thật dễ dàng... Nhưng bạn đã thấy những viên gạch như vậy ở đâu? Gạch rất có thể sẽ có kích thước cm x cm. Và sau đó bạn sẽ bị tra tấn bằng cách “đếm bằng ngón tay”. Sau đó bạn phải nhân lên. Vì vậy, ở một bên của đáy hồ bơi, chúng ta sẽ lắp những viên gạch (mảnh) và mặt còn lại cũng là những viên gạch. Nhân với và bạn nhận được các ô ().

Bạn có để ý rằng để xác định diện tích đáy bể bơi chúng ta đã nhân số đó với chính nó không? Nó có nghĩa là gì? Vì chúng ta nhân cùng một số nên chúng ta có thể sử dụng kỹ thuật “lũy thừa”. (Tất nhiên, khi bạn chỉ có hai số, bạn vẫn cần nhân chúng hoặc nâng chúng lên theo lũy thừa. Nhưng nếu bạn có nhiều lũy thừa thì việc nâng chúng lên lũy thừa sẽ dễ dàng hơn nhiều và cũng ít sai sót hơn trong phép tính . Đối với Kỳ thi Thống nhất, điều này rất quan trọng).
Vì vậy, lũy thừa ba mươi mũ hai sẽ là (). Hoặc chúng ta có thể nói rằng ba mươi bình phương sẽ bằng. Nói cách khác, lũy thừa bậc hai của một số luôn có thể được biểu diễn dưới dạng bình phương. Và ngược lại, nếu bạn nhìn thấy một hình vuông thì nó LUÔN là lũy thừa bậc hai của một số nào đó. Hình vuông là hình ảnh của lũy thừa thứ hai của một số.

Ví dụ thực tế số 2

Đây là một nhiệm vụ dành cho bạn: đếm xem có bao nhiêu ô vuông trên bàn cờ bằng cách sử dụng bình phương của số... Ở một bên của ô và cả mặt kia. Để tính số của chúng, bạn cần nhân tám với tám hoặc... nếu bạn nhận thấy bàn cờ là một hình vuông có một cạnh, thì bạn có thể bình phương tám. Bạn sẽ nhận được các tế bào. () Vì thế?

Ví dụ thực tế số 3

Bây giờ là khối lập phương hoặc lũy thừa thứ ba của một số. Cùng một hồ bơi. Nhưng bây giờ bạn cần tìm hiểu xem sẽ phải đổ bao nhiêu nước vào hồ bơi này. Bạn cần tính toán khối lượng. (Nhân tiện, thể tích và chất lỏng được đo bằng mét khối. Thật bất ngờ, phải không?) Hãy vẽ một cái bể: đáy có kích thước một mét và độ sâu một mét và thử đếm xem có bao nhiêu khối lập phương có kích thước một mét x một mét sẽ vừa với bể bơi của bạn.

Chỉ cần chỉ ngón tay của bạn và đếm! Một, hai, ba, bốn...hai mươi hai, hai mươi ba...Bạn nhận được bao nhiêu? Không thua? Đếm bằng ngón tay có khó không? Để có thể! Lấy một ví dụ từ các nhà toán học. Họ lười biếng nên nhận thấy rằng để tính thể tích của bể bơi, bạn cần nhân chiều dài, chiều rộng và chiều cao của nó với nhau. Trong trường hợp của chúng ta, thể tích của bể sẽ bằng hình khối... Dễ dàng hơn phải không?

Bây giờ hãy tưởng tượng các nhà toán học lười biếng và xảo quyệt như thế nào nếu họ cũng đơn giản hóa điều này. Chúng tôi giảm mọi thứ thành một hành động. Họ nhận thấy rằng chiều dài, chiều rộng và chiều cao bằng nhau và cùng một số được nhân với chính nó... Điều này có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là bạn có thể tận dụng lợi thế của bằng cấp. Vì vậy, những gì bạn từng đếm bằng ngón tay, chúng sẽ thực hiện bằng một hành động: ba lập phương bằng nhau. Nó được viết như thế này: .

Tất cả những gì còn lại là nhớ bảng độ. Tất nhiên, trừ khi bạn lười biếng và xảo quyệt như những nhà toán học. Nếu bạn thích làm việc chăm chỉ và mắc lỗi, bạn có thể tiếp tục đếm bằng ngón tay.

Chà, để cuối cùng thuyết phục bạn rằng bằng cấp được tạo ra bởi những kẻ bỏ cuộc và những kẻ xảo quyệt để giải quyết vấn đề của riêng họ. vấn đề cuộc sống, và không gây rắc rối cho bạn, đây là một vài ví dụ nữa từ cuộc sống.

Ví dụ thực tế số 4

Bạn có một triệu rúp. Vào đầu mỗi năm, cứ mỗi một triệu bạn kiếm được, bạn sẽ kiếm được thêm một triệu nữa. Tức là cứ một triệu bạn sẽ có gấp đôi vào đầu mỗi năm. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong những năm tới? Nếu bây giờ bạn đang ngồi và “đếm bằng ngón tay”, điều đó có nghĩa là bạn đang rất người đàn ông chăm chỉ và ngu ngốc. Nhưng rất có thể bạn sẽ đưa ra câu trả lời sau vài giây nữa, vì bạn rất thông minh! Vì vậy, trong năm đầu tiên - hai nhân với hai... vào năm thứ hai - chuyện gì đã xảy ra, với hai lần nữa, vào năm thứ ba... Dừng lại! Bạn nhận thấy rằng số này được nhân với chính nó. Vậy hai mũ năm là một triệu! Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn có một cuộc thi và người có thể đếm nhanh nhất sẽ nhận được hàng triệu này... Thật đáng để ghi nhớ sức mạnh của các con số, bạn có nghĩ vậy không?

Ví dụ thực tế số 5

Bạn có một triệu. Vào đầu mỗi năm, cứ mỗi một triệu bạn kiếm được, bạn sẽ kiếm được thêm hai triệu nữa. Tuyệt vời phải không? Mỗi triệu đều tăng gấp ba. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong một năm? Hãy đếm. Năm đầu tiên - nhân với, sau đó kết quả với năm khác... Nó đã nhàm chán rồi, bởi vì bạn đã hiểu mọi thứ rồi: ba được nhân với chính nó lần. Vậy lũy thừa thứ tư nó bằng một triệu. Bạn chỉ cần nhớ rằng lũy thừa ba lũy thừa bốn là hoặc.

Bây giờ bạn biết rằng bằng cách nâng lũy thừa một số, bạn sẽ làm cho cuộc sống của mình dễ dàng hơn rất nhiều. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn những gì bạn có thể làm với bằng cấp và những điều bạn cần biết về chúng.

Các thuật ngữ và khái niệm...để không bị nhầm lẫn

Vì vậy, trước tiên, hãy xác định các khái niệm. Bạn nghĩ sao, số mũ là gì? Rất đơn giản - đó là con số "đứng đầu" lũy thừa của con số. Không khoa học nhưng rõ ràng, dễ nhớ…

Vâng, đồng thời, những gì cơ sở bằng cấp như vậy? Đơn giản hơn nữa - đây là con số nằm bên dưới, ở chân đế.

Đây là một bản vẽ cho biện pháp tốt.

Vâng trong nhìn chung, để khái quát và ghi nhớ tốt hơn... Độ có cơ số “ ” và số mũ “ ” được đọc là “theo độ” và được viết theo cách sau:

Sức mạnh của số c chỉ số tự nhiên

Chắc hẳn bạn đã đoán được: vì số mũ là số tự nhiên. Vâng, nhưng nó là gì số tự nhiên? Tiểu học! Số tự nhiên là những con số dùng để đếm khi liệt kê đồ vật: một, hai, ba... Khi đếm đồ vật, chúng ta không nói: “trừ năm”, “trừ sáu”, “trừ bảy”. Chúng tôi cũng không nói: “một phần ba” hay “không điểm năm”. Đây không phải là số tự nhiên. Bạn nghĩ đây là những con số nào?

Những con số như “trừ năm”, “trừ sáu”, “trừ bảy” đề cập đến toàn bộ số. Nói chung, số nguyên bao gồm tất cả các số tự nhiên, các số đối diện với số tự nhiên (nghĩa là lấy bằng dấu trừ) và số. Zero rất dễ hiểu - đó là khi không có gì cả. Số âm (“trừ”) có nghĩa là gì? Nhưng chúng được phát minh chủ yếu để chỉ ra các khoản nợ: nếu bạn có số dư trên điện thoại bằng đồng rúp, điều này có nghĩa là bạn nợ nhà điều hành đồng rúp.

Tất cả các phân số đều số hữu tỉ. Bạn nghĩ chúng phát sinh như thế nào? Rất đơn giản. Vài ngàn năm trước, tổ tiên của chúng ta đã phát hiện ra rằng họ thiếu số tự nhiênđể đo chiều dài, trọng lượng, diện tích, v.v. Và họ đã nghĩ ra số hữu tỉ... Thật thú vị phải không?

Có thêm nữa không số vô tỉ. Những con số này là gì? Tóm lại là vô tận số thập phân. Ví dụ: nếu bạn chia chu vi của một hình tròn cho đường kính của nó, bạn sẽ nhận được một số vô tỷ.

Bản tóm tắt:

Chúng ta hãy định nghĩa khái niệm về mức độ có số mũ là số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

Bất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó:
Bình phương một số có nghĩa là nhân số đó với chính nó:
Lập phương một số có nghĩa là nhân số đó với chính nó ba lần:

Sự định nghĩa. Nâng số lên bằng cấp tự nhiên- có nghĩa là nhân một số với chính nó:
.

Thuộc tính của độ

Những tài sản này đến từ đâu? Tôi sẽ chỉ cho bạn bây giờ.

Hãy xem: nó là gì Và ?

A-trước:

Có tổng cộng bao nhiêu số nhân?

Rất đơn giản: chúng tôi đã thêm số nhân vào các thừa số và kết quả là số nhân.

Nhưng theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số có số mũ, tức là: , đây là điều cần chứng minh.

Ví dụ: Đơn giản hóa biểu thức.

Giải pháp:

Ví dụ:Đơn giản hóa biểu thức.

Giải pháp:Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết chắc chắn phải có những lý do tương tự!
Vì vậy, chúng ta kết hợp sức mạnh với căn cứ, nhưng nó vẫn là một yếu tố riêng biệt:

chỉ dành cho sản phẩm của sức mạnh!

Trong mọi trường hợp bạn không thể viết điều đó.

2. thế thôi lũy thừa của một số

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa về mức độ:

Hóa ra biểu thức được nhân với chính nó lần, tức là theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của số:

Về bản chất, điều này có thể được gọi là “lấy chỉ báo ra khỏi dấu ngoặc”. Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này:

Chúng ta hãy nhớ các công thức nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần?

Nhưng xét cho cùng thì điều này không đúng.

Công suất có gốc âm

Cho đến thời điểm này, chúng ta chỉ thảo luận về số mũ nên là gì.

Nhưng cơ sở nên là gì?

Trong quyền hạn của chỉ số tự nhiên cơ sở có thể là bất kỳ số nào. Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, dù là dương, âm hay thậm chí.

Hãy cùng nghĩ xem những dấu hiệu nào ("" hoặc "") sẽ có bậc của số dương và số âm?

Ví dụ: số đó là dương hay âm? MỘT? ? Điều đầu tiên rất rõ ràng: dù bao nhiêu số dương Chúng ta không nhân lên với nhau, kết quả sẽ dương.

Nhưng những điều tiêu cực thì thú vị hơn một chút. Chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ lớp 6: “trừ cho trừ sẽ thành cộng”. Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân lên, nó sẽ hoạt động.

Hãy tự xác định dấu của các biểu thức sau:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Bạn đã quản lý được chưa?

Dưới đây là câu trả lời: Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng ta chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ rồi áp dụng quy tắc thích hợp.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong ví dụ 5) mọi thứ cũng không đáng sợ như vẻ ngoài của nó: xét cho cùng, cơ số bằng bao nhiêu không quan trọng - mức độ chẵn, có nghĩa là kết quả sẽ luôn dương.

Vâng, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không bằng nhau phải không? Rõ ràng là không, vì (vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản nữa!

6 ví dụ để thực hành

Phân tích giải pháp 6 ví dụ

Nếu bỏ qua sức mạnh thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Hãy nhớ lại chương trình lớp 7. Vậy bạn có nhớ không? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là hiệu bình phương! Chúng tôi nhận được:

Chúng ta hãy xem xét cẩn thận mẫu số. Nó trông rất giống một trong các thừa số của tử số, nhưng có gì sai? Thứ tự của các điều khoản là sai. Nếu chúng bị đảo ngược, quy tắc có thể được áp dụng.

Nhưng làm thế nào để làm điều đó? Hóa ra điều đó rất dễ dàng: bậc chẵn của mẫu số sẽ giúp ích cho chúng ta ở đây.

Điều kỳ diệu là các điều khoản đã thay đổi vị trí. “Hiện tượng” này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ đồng đều: chúng ta có thể dễ dàng thay đổi dấu trong ngoặc đơn.

Nhưng điều quan trọng cần nhớ là: tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Trọn chúng ta gọi các số tự nhiên, các số đối của chúng (nghĩa là lấy bằng dấu " ") và số.

sô nguyên dương, và nó không khác gì tự nhiên, thì mọi thứ trông giống hệt như phần trước.

Bây giờ hãy xem xét các trường hợp mới. Hãy bắt đầu với một chỉ số bằng.

Bất kỳ số nào trong không độ bằng một:

Như thường lệ, chúng ta hãy tự hỏi: tại sao lại như vậy?

Chúng ta hãy xem xét một số mức độ với một cơ sở. Lấy ví dụ và nhân với:

Vì vậy, chúng ta nhân số đó với và chúng ta được kết quả tương tự - . Bạn nên nhân số nào để không có gì thay đổi? Đúng rồi, tiếp tục. Có nghĩa.

Chúng ta có thể làm tương tự với một số tùy ý:

Hãy lặp lại quy tắc:

Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một.

Nhưng có nhiều ngoại lệ đối với nhiều quy tắc. Và đây nó cũng ở đó - đây là một con số (làm cơ sở).

Một mặt, nó phải bằng bất kỳ mức độ nào - cho dù bạn nhân số 0 với chính nó bao nhiêu, bạn vẫn sẽ nhận được số 0, điều này rõ ràng. Nhưng mặt khác, giống như bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0, nó phải bằng nhau. Vậy bao nhiêu phần trăm điều này là đúng? Các nhà toán học quyết định không tham gia và từ chối nâng số 0 lên lũy thừa bằng không. Nghĩa là, bây giờ chúng ta không chỉ không thể chia cho 0 mà còn nâng nó lên lũy thừa 0.

Tiếp tục nào. Ngoài số tự nhiên và số, số nguyên còn bao gồm số âm. Để hiểu mức độ âm là gì, chúng ta hãy làm như trong lần cuối cùng: nhân một số số bình thường tương tự ở mức độ tiêu cực:

Từ đây thật dễ dàng để thể hiện những gì bạn đang tìm kiếm:

Bây giờ hãy mở rộng quy tắc kết quả đến một mức độ tùy ý:

Vì vậy, hãy xây dựng một quy tắc:

Một số lũy thừa âm là nghịch đảo của cùng một số với mức độ tích cực. Nhưng tại cùng một thời điểm Cơ sở không thể rỗng:(vì bạn không thể chia cho).

Hãy tóm tắt:

I. Biểu thức không được xác định trong trường hợp. Nếu thì.

II. Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một: .

III. Số, không bằng 0, ở mức độ âm là nghịch đảo của cùng một số ở mức độ dương: .

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Vâng, như thường lệ, ví dụ về các giải pháp độc lập:

Phân tích bài toán để tìm lời giải độc lập:

Tôi biết, tôi biết, những con số thật đáng sợ, nhưng trong Kỳ thi Thống nhất, bạn phải chuẩn bị cho bất cứ điều gì! Hãy giải những ví dụ này hoặc phân tích lời giải của chúng nếu bạn không thể giải được và bạn sẽ học cách đối phó với chúng một cách dễ dàng trong kỳ thi!

Hãy tiếp tục mở rộng phạm vi số “phù hợp” làm số mũ.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét số hữu tỉ. Những con số nào được gọi là hợp lý?

Trả lời: mọi thứ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên, và.

Để hiểu nó là gì "độ phân số", xét phân số:

Hãy nâng cả hai vế của phương trình lên lũy thừa:

Bây giờ chúng ta hãy nhớ quy tắc về "theo mức độ":

Số nào phải được nâng lên lũy thừa để có được?

Công thức này là định nghĩa của gốc của bậc thứ.

Để tôi nhắc bạn: gốc của lũy thừa thứ của một số () là một số mà khi nâng lên lũy thừa sẽ bằng.

Nghĩa là, gốc của lũy thừa thứ là phép toán nghịch đảo của việc nâng lên lũy thừa: .

Hóa ra là thế. Rõ ràng điều này trương hợp đặc biệt có thể mở rộng: .

Bây giờ chúng ta cộng tử số: nó là gì? Câu trả lời rất dễ có được bằng cách sử dụng quy tắc công suất:

Nhưng cơ sở có thể là số nào không? Rốt cuộc, gốc không thể được rút ra từ tất cả các số.

Không có!

Chúng ta hãy nhớ quy tắc: bất kỳ số nào được nâng lên lũy thừa chẵn đều là số dương. Tức là không thể rút ra các nghiệm chẵn từ số âm!

Điều này có nghĩa là những số như vậy không thể được nâng lên lũy thừa phân số với mẫu số chẵn, nghĩa là biểu thức không có ý nghĩa.

Còn cách diễn đạt thì sao?

Nhưng ở đây có một vấn đề phát sinh.

Ví dụ, một số có thể được biểu diễn dưới dạng các phân số có thể rút gọn hoặc.

Và hóa ra nó có tồn tại nhưng không tồn tại mà đây chỉ là hai mục khác nhau Cùng một số.

Hoặc một ví dụ khác: một lần, sau đó bạn có thể viết nó ra. Nhưng nếu chúng ta viết chỉ số theo cách khác, chúng ta sẽ lại gặp rắc rối: (nghĩa là chúng ta nhận được một kết quả hoàn toàn khác!).

Để tránh những nghịch lý như vậy, chúng ta xem xét chỉ có số mũ cơ số dương với số mũ phân số.

Do đó, nếu:

- số tự nhiên;
- số nguyên;

Ví dụ:

Bằng cấp với chỉ số hợp lý rất hữu ích cho việc chuyển đổi các biểu thức có gốc, ví dụ:

5 ví dụ để thực hành

Phân tích 5 ví dụ để đào tạo

Chà, bây giờ đến phần khó nhất. Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra nó độ c chỉ số vô lý .

Tất cả các quy tắc và tính chất của độ ở đây hoàn toàn giống với độ có số mũ hữu tỷ, ngoại trừ

Xét cho cùng, theo định nghĩa, số vô tỷ là những số không thể biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là số vô tỷ đều là số thực ngoại trừ số hữu tỷ).

Khi nghiên cứu độ với số mũ tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “sự tương tự” hoặc mô tả nhất định bằng những thuật ngữ quen thuộc hơn.

Ví dụ, độ có số mũ tự nhiên là một số được nhân với chính nó nhiều lần;

...số lũy thừa 0- đây là một số được nhân với chính nó một lần, nghĩa là họ chưa bắt đầu nhân nó, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó kết quả chỉ là một “số trống” nhất định , cụ thể là một số;

...độ nguyên âm- hình như có chuyện gì đó xảy ra” quá trình ngược lại", tức là số đó không được nhân với chính nó mà được chia.

Nhân tiện, về khoa học, một tấm bằng với chỉ số phức tạp, nghĩa là, chỉ báo thậm chí không phải là số thực.

Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu được những khái niệm mới này tại viện.

Ở ĐÂU CHÚNG TÔI CHẮC CHẮN BẠN SẼ ĐI! (nếu bạn học cách giải những ví dụ như vậy :))

Ví dụ:

Quyết định cho chính mình:

Phân tích các giải pháp:

1. Hãy bắt đầu với quy tắc thông thường để nâng lũy thừa lên lũy thừa:

Bây giờ hãy nhìn vào chỉ số. Anh ấy không nhắc nhở bạn điều gì sao? Chúng ta hãy nhớ lại công thức nhân viết tắt của hiệu các bình phương:

TRONG trong trường hợp này,

Hóa ra là:

Trả lời: .

2. Chúng ta quy đổi các phân số theo số mũ về cùng một dạng: cả số thập phân hoặc cả số thường. Chúng tôi nhận được, ví dụ:

Đáp án: 16

3. Không có gì đặc biệt, chúng ta sử dụng các tính chất thông thường của độ:

TRÌNH ĐỘ CAO

Xác định bằng cấp

Một mức độ là một biểu thức có dạng: , trong đó:

— cơ sở bằng cấp;
- số mũ.

Độ có chỉ số tự nhiên (n=1, 2, 3,...)

Nâng một số lên lũy thừa tự nhiên n có nghĩa là nhân số đó với chính nó:

Bậc có số mũ là số nguyên (0, ±1, ±2,...)

Nếu số mũ là sô nguyên dương con số:

Sự thi công đến mức không:

Biểu thức này là không xác định, bởi vì, một mặt, ở bất kỳ mức độ nào cũng là thế này, và mặt khác, bất kỳ số nào ở mức độ thứ đều là thế này.

Nếu số mũ là số nguyên âm con số:

(vì bạn không thể chia cho).

Một lần nữa về số không: biểu thức không được xác định trong trường hợp này. Nếu thì.

Ví dụ:

Sức mạnh với số mũ hợp lý

- số tự nhiên;
- số nguyên;

Ví dụ:

Thuộc tính của độ

Để giải quyết vấn đề dễ dàng hơn, chúng ta hãy cố gắng hiểu: những thuộc tính này đến từ đâu? Hãy chứng minh chúng.

Hãy xem: là gì và?

A-trước:

Vì vậy, ở phía bên phải của biểu thức này, chúng ta nhận được sản phẩm sau:

Nhưng theo định nghĩa, nó là lũy thừa của một số có số mũ, nghĩa là:

Q.E.D.

Ví dụ : Đơn giản hóa biểu thức.

Giải pháp : .

Ví dụ : Đơn giản hóa biểu thức.

Giải pháp : Điều quan trọng cần lưu ý là trong quy tắc của chúng tôi nhất thiết phải có những lý do tương tự. Vì vậy, chúng ta kết hợp sức mạnh với căn cứ, nhưng nó vẫn là một yếu tố riêng biệt:

Một lưu ý quan trọng khác: quy tắc này - chỉ dành cho sản phẩm của sức mạnh!

Trong mọi trường hợp bạn không thể viết điều đó.

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa về mức độ:

Hãy sắp xếp lại công việc này như thế này:

Hóa ra biểu thức được nhân với chính nó lần, tức là theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của số:

Về bản chất, điều này có thể được gọi là “lấy chỉ báo ra khỏi dấu ngoặc”. Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này: !

Chúng ta hãy nhớ các công thức nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần? Nhưng xét cho cùng thì điều này không đúng.

Công suất có gốc âm.

Cho đến thời điểm này chúng ta mới chỉ thảo luận xem nó sẽ như thế nào mục lụcđộ. Nhưng cơ sở nên là gì? Trong quyền hạn của tự nhiên chỉ báo cơ sở có thể là bất kỳ số nào .

Thật vậy, chúng ta có thể nhân bất kỳ số nào với nhau, dù là dương, âm hay thậm chí. Hãy cùng nghĩ xem những dấu hiệu nào ("" hoặc "") sẽ có bậc của số dương và số âm?

Ví dụ: số đó là dương hay âm? MỘT? ?

Với cái đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: cho dù chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương thì kết quả vẫn là số dương.

Nhưng những điều tiêu cực thì thú vị hơn một chút. Chúng tôi nhớ một quy tắc đơn giản từ lớp 6: “trừ cho trừ sẽ thành cộng”. Đó là, hoặc. Nhưng nếu chúng ta nhân với (), chúng ta nhận được - .

Và cứ như vậy đến vô cùng: với mỗi phép nhân tiếp theo, dấu sẽ thay đổi. Chúng ta có thể xây dựng công thức sau quy tắc đơn giản:

thậm chíđộ, - số tích cực.
Một số âm, được xây dựng trong số lẻđộ, - số tiêu cực.
Một số dương ở mức độ nào đó là một số dương.
Số không với mọi lũy thừa đều bằng không.

Hãy tự xác định dấu của các biểu thức sau:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Bạn đã quản lý được chưa? Đây là những câu trả lời:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng ta chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ rồi áp dụng quy tắc thích hợp.

Trong ví dụ 5) mọi thứ cũng không đáng sợ như vẻ ngoài của nó: xét cho cùng, cơ số bằng bao nhiêu không quan trọng - mức độ chẵn, có nghĩa là kết quả sẽ luôn dương. Vâng, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không bằng nhau phải không? Rõ ràng là không, vì (vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản nữa. Ở đây bạn cần tìm ra cái nào ít hơn: hoặc? Nếu chúng ta nhớ điều đó, nó sẽ trở nên rõ ràng, nghĩa là cơ số nhỏ hơn 0. Tức là chúng ta áp dụng quy tắc 2: kết quả sẽ âm tính.

Và một lần nữa chúng ta sử dụng định nghĩa về mức độ:

Mọi thứ vẫn như thường lệ - chúng ta viết ra định nghĩa về độ và chia chúng cho nhau, chia chúng thành từng cặp và nhận được:

Trước khi bạn tháo nó ra quy tắc cuối cùng, hãy giải một vài ví dụ.

Tính các biểu thức:

Các giải pháp :

Nếu bỏ qua sức mạnh thứ tám, chúng ta thấy gì ở đây? Hãy nhớ lại chương trình lớp 7. Vậy bạn có nhớ không? Đây là công thức nhân viết tắt, cụ thể là hiệu bình phương!

Chúng tôi nhận được:

Chúng ta hãy xem xét cẩn thận mẫu số. Nó trông rất giống một trong các thừa số của tử số, nhưng có gì sai? Thứ tự của các điều khoản là sai. Nếu chúng bị đảo ngược, quy tắc 3 có thể được áp dụng. Nhưng bằng cách nào? Hóa ra điều đó rất dễ dàng: bậc chẵn của mẫu số sẽ giúp ích cho chúng ta ở đây.

Nếu bạn nhân nó lên thì không có gì thay đổi phải không? Nhưng bây giờ nó lại thành ra thế này:

Điều kỳ diệu là các điều khoản đã thay đổi vị trí. “Hiện tượng” này áp dụng cho bất kỳ biểu thức nào ở mức độ đồng đều: chúng ta có thể dễ dàng thay đổi dấu trong ngoặc đơn. Nhưng điều quan trọng cần nhớ là: Tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc! Bạn không thể thay thế nó bằng cách chỉ thay đổi một nhược điểm mà chúng tôi không thích!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Vì vậy, bây giờ quy tắc cuối cùng:

Chúng ta sẽ chứng minh điều đó như thế nào? Tất nhiên, như thường lệ: hãy mở rộng khái niệm về mức độ và đơn giản hóa nó:

Chà, bây giờ hãy mở ngoặc. Có tổng cộng bao nhiêu chữ cái? lần bằng số nhân - điều này làm bạn nhớ đến điều gì? Đây không gì khác hơn là một định nghĩa về một hoạt động phép nhân: Chỉ có số nhân ở đó. Nghĩa là, theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số có số mũ:

Ví dụ:

Bằng cấp với số mũ vô tỷ

Ngoài thông tin về độ cho mức trung bình, chúng tôi sẽ phân tích độ bằng số mũ vô tỉ. Tất cả các quy tắc và tính chất của độ ở đây hoàn toàn giống với độ có số mũ hữu tỉ, ngoại trừ - xét cho cùng, theo định nghĩa, số vô tỷ là những số không thể biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên (nghĩa là , số vô tỉ đều là số thực trừ số hữu tỉ).

Khi nghiên cứu độ với số mũ tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ, mỗi lần chúng ta tạo ra một “hình ảnh”, “sự tương tự” hoặc mô tả nhất định bằng những thuật ngữ quen thuộc hơn. Ví dụ, độ có số mũ tự nhiên là một số được nhân với chính nó nhiều lần; một số có lũy thừa bằng 0 dường như là một số được nhân với chính nó một lần, nghĩa là họ chưa bắt đầu nhân nó, có nghĩa là bản thân số đó thậm chí còn chưa xuất hiện - do đó kết quả chỉ là một số nhất định “số trống”, tức là một số; một mức độ với số mũ âm nguyên - giống như thể một "quá trình ngược lại" nào đó đã xảy ra, nghĩa là số đó không được nhân với chính nó mà được chia.

Rất khó để tưởng tượng một mức độ với số mũ vô tỷ (cũng như rất khó để tưởng tượng một không gian 4 chiều). Nó khá sạch sẽ đối tượng toán học, mà các nhà toán học tạo ra để mở rộng khái niệm bậc cho toàn bộ không gian số.

Nhân tiện, trong khoa học, mức độ với số mũ phức tạp thường được sử dụng, nghĩa là số mũ thậm chí không phải là số thực. Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu được những khái niệm mới này tại viện.

Vậy chúng ta phải làm gì nếu thấy số mũ vô tỉ? Chúng tôi đang cố gắng hết sức để thoát khỏi nó :)

Ví dụ:

Quyết định cho chính mình:

Câu trả lời:

Hãy nhớ lại sự khác biệt của công thức bình phương. Trả lời: .
Chúng ta quy các phân số về cùng một dạng: cả hai số thập phân hoặc cả hai số thường. Chúng tôi nhận được, ví dụ: .
Không có gì đặc biệt, chúng tôi sử dụng các thuộc tính thông thường của độ:

TỔNG HỢP PHẦN VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Bằng cấpđược gọi là biểu thức có dạng: , trong đó:

Bậc có số mũ là số nguyên

một mức độ có số mũ là số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

Sức mạnh với số mũ hợp lý

độ, số mũ của nó là số âm và số phân số.

Bằng cấp với số mũ vô tỷ

một mức độ có số mũ là phân số thập phân vô hạn hoặc gốc.

Thuộc tính của độ

Đặc điểm của độ.

Số âm nâng lên thậm chíđộ, - số tích cực.
Số âm nâng lên số lẻđộ, - số tiêu cực.
Một số dương ở mức độ nào đó là một số dương.
Số không tương đương với bất kỳ sức mạnh nào.
Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng nhau.

BÂY GIỜ BẠN CÓ LỜI...

Bạn thích bài viết như thế nào? Viết bên dưới trong phần bình luận cho dù bạn có thích hay không.

Hãy cho chúng tôi biết về trải nghiệm của bạn khi sử dụng thuộc tính độ.

Có lẽ bạn có thắc mắc. Hoặc gợi ý.

Viết trong các ý kiến.

Và chúc may mắn trong kỳ thi của bạn!

Rõ ràng là các số có lũy thừa có thể cộng được như các đại lượng khác , bằng cách cộng chúng lần lượt với dấu của chúng.

Vậy tổng của a 3 và b 2 là a 3 + b 2.
Tổng của a 3 - b n và h 5 -d 4 là a 3 - b n + h 5 - d 4.

Tỷ lệ cược độ bằng nhau biến giống nhau có thể được cộng hoặc trừ.

Vậy tổng của 2a 2 và 3a 2 bằng 5a 2.

Cũng hiển nhiên rằng nếu bạn lấy hai hình vuông a, hoặc ba hình vuông a, hoặc năm hình vuông a.

Nhưng độ các biến khác nhau Và mức độ khác nhau biến giống hệt nhau, phải được tạo bằng cách cộng chúng với dấu của chúng.

Vậy tổng của 2 và 3 bằng tổng của 2 + a 3.

Rõ ràng là bình phương của a và lập phương của a không bằng hai lần bình phương của a mà bằng hai lần lập phương của a.

Tổng của a 3 b n và 3a 5 b 6 là a 3 b n + 3a 5 b 6.

Phép trừ Các phép tính được thực hiện tương tự như phép cộng, ngoại trừ dấu của các phép trừ phải được thay đổi tương ứng.

Hoặc:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Phép nhân

Các số có lũy thừa có thể được nhân giống như các đại lượng khác bằng cách viết chúng lần lượt, có hoặc không có dấu nhân giữa chúng.

Do đó, kết quả của phép nhân a 3 với b 2 là 3 b 2 hoặc aaabb.

Hoặc:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Kết quả là ví dụ cuối cùng có thể được sắp xếp bằng cách thêm các biến giống hệt nhau.
Biểu thức sẽ có dạng: a 5 b 5 y 3.

Bằng cách so sánh một số số (biến) với lũy thừa, chúng ta có thể thấy rằng nếu nhân bất kỳ hai số nào trong số chúng với nhau thì kết quả là một số (biến) có lũy thừa bằng số lượng mức độ của các thuật ngữ.

Vì vậy, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ở đây 5 là lũy thừa của phép nhân, bằng 2 + 3, tổng lũy thừa của các số hạng.

Vì vậy, a n .a m = a m+n .

Với a n , a được lấy làm hệ số gấp nhiều lần lũy thừa của n ;

Và a m được lấy làm thừa số nhiều lần bằng độ m;

Đó là lý do tại sao, các lũy thừa có cùng cơ số có thể được nhân bằng cách cộng số mũ của lũy thừa.

Vì vậy, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Và x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Hoặc:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Nhân (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Đáp án: x 4 - y 4.
Nhân (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Quy tắc này cũng đúng với các số có số mũ là tiêu cực.

1. Vậy a -2 .a -3 = a -5 . Điều này có thể được viết là (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Nếu nhân a + b với a - b thì kết quả sẽ là a 2 - b 2: tức là

Kết quả của phép nhân tổng hoặc hiệu của hai số bằng tổng hoặc sự khác biệt của hình vuông của họ.

Nếu bạn nhân tổng và hiệu của hai số lớn lên quảng trường, kết quả sẽ bằng tổng hoặc hiệu của các số này trong thứ tưđộ.

Vì vậy, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Phân chia bằng cấp

Các số có lũy thừa có thể được chia giống như các số khác, bằng cách trừ đi số bị chia hoặc bằng cách đặt chúng ở dạng phân số.

Do đó, a 3 b 2 chia cho b 2 bằng a 3.

Hoặc:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Viết 5 chia cho 3 trông giống như $\frac(a^5)(a^3)$. Nhưng cái này bằng 2 . Trong dãy số
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bất kỳ số nào cũng có thể chia cho số khác và số mũ sẽ bằng sự khác biệt chỉ số của số chia hết.

Khi chia độ có cùng cơ số thì số mũ của chúng bị trừ..

Vì vậy, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Nghĩa là, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Và a n+1:a = a n+1-1 = a n . Nghĩa là, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Hoặc:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Quy luật này cũng đúng với các số có tiêu cực các giá trị độ.
Kết quả của việc chia -5 cho -3 là -2.
Ngoài ra, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 hoặc $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Cần phải thành thạo thật tốt phép nhân và chia lũy thừa, vì các phép toán như vậy được sử dụng rất rộng rãi trong đại số.

Ví dụ giải ví dụ với phân số chứa số có lũy thừa

1. Giảm số mũ đi $\frac(5a^4)(3a^2)$ Trả lời: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Giảm số mũ đi $\frac(6x^6)(3x^5)$. Trả lời: $\frac(2x)(1)$ hoặc 2x.

3. Rút gọn số mũ a 2 /a 3 và a -3 /a -4 và dẫn đến mẫu số chung.
a 2 .a -4 là -2 tử số đầu tiên.
a 3 .a -3 là 0 = 1, tử số thứ hai.
a 3 .a -4 là a -1 , tử số chung.
Sau khi đơn giản hóa: a -2 /a -1 và 1/a -1 .

4. Rút gọn số mũ 2a 4 /5a 3 và 2 /a 4 và đưa về mẫu số chung.
Trả lời: 2a 3 /5a 7 và 5a 5 /5a 7 hoặc 2a 3 /5a 2 và 5/5a 2.

5. Nhân (a 3 + b)/b 4 với (a - b)/3.

6. Nhân (a 5 + 1)/x 2 với (b 2 - 1)/(x + a).

7. Nhân b 4 /a -2 với h -3 /x và a n /y -3 .

8. Chia 4 /y 3 cho 3 /y 2 . Trả lời: a/y.

9. Chia (h 3 - 1)/d 4 cho (d n + 1)/h.

Cấp độ đầu tiên

Bằng cấp và các tính chất của nó. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Tại sao cần bằng cấp? Bạn sẽ cần chúng ở đâu? Tại sao bạn nên dành thời gian để nghiên cứu chúng?

Để tìm hiểu mọi thứ về bằng cấp, chúng cần thiết để làm gì và cách sử dụng kiến thức của bạn trong cuộc sống hàng ngày, hãy đọc bài viết này.

Và tất nhiên, kiến thức về bằng cấp sẽ đưa bạn đến gần hơn với thành công vượt qua OGE hoặc Kỳ thi Thống nhất và được nhận vào trường đại học mơ ước của bạn.

Đi thôi đi thôi!)

Lưu ý quan trọng! Nếu bạn thấy gobbledygook thay vì công thức, hãy xóa bộ nhớ đệm. Để thực hiện việc này, nhấn CTRL+F5 (trên Windows) hoặc Cmd+R (trên Mac).

CẤP ĐẦU TIÊN

Lũy thừa là một phép toán giống như phép cộng, phép trừ, phép nhân hoặc phép chia.

Bây giờ tôi sẽ giải thích mọi thứ bằng ngôn ngữ của con người bằng những ví dụ rất đơn giản. Hãy cẩn thận. Các ví dụ là cơ bản nhưng giải thích những điều quan trọng.

Hãy bắt đầu với phép cộng.

Bây giờ nhân.

Đây là bảng nhân. Lặp lại.

Và một cái khác, đẹp hơn:

Những thủ thuật đếm thông minh nào khác mà các nhà toán học lười biếng nghĩ ra? Phải - nâng một số lên lũy thừa.

Nâng một số lên lũy thừa

Nhân tiện, tại sao nó được gọi là cấp độ thứ hai? quảng trường số và số thứ ba - khối lập phương? Nó có nghĩa là gì? Câu hỏi rất hay. Bây giờ bạn sẽ có cả hình vuông và hình khối.

Ví dụ thực tế số 1

Hãy bắt đầu với bình phương hoặc lũy thừa thứ hai của số.

Ví dụ thực tế số 2

Ví dụ thực tế số 3

Bây giờ là khối lập phương hoặc lũy thừa thứ ba của một số. Cùng một hồ bơi. Nhưng bây giờ bạn cần tìm hiểu xem sẽ phải đổ bao nhiêu nước vào hồ bơi này. Bạn cần tính toán khối lượng. (Nhân tiện, thể tích và chất lỏng được đo bằng mét khối. Thật bất ngờ phải không?) Vẽ một cái bể: đáy có kích thước một mét và sâu một mét, và hãy thử tính xem có bao nhiêu khối đo một mét x một mét sẽ phù hợp với hồ bơi của bạn.

Chà, để cuối cùng thuyết phục bạn rằng bằng cấp được tạo ra bởi những kẻ bỏ cuộc và những kẻ xảo quyệt để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống của họ chứ không phải để tạo ra vấn đề cho bạn, đây là một vài ví dụ nữa từ cuộc sống.

Ví dụ thực tế số 4

Bạn có một triệu rúp. Vào đầu mỗi năm, cứ mỗi một triệu bạn kiếm được, bạn sẽ kiếm được thêm một triệu nữa. Tức là cứ một triệu bạn sẽ có gấp đôi vào đầu mỗi năm. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền trong những năm tới? Nếu bây giờ bạn đang ngồi “đếm bằng ngón tay” thì bạn là một người rất chăm chỉ và… ngu ngốc. Nhưng rất có thể bạn sẽ đưa ra câu trả lời sau vài giây nữa, vì bạn rất thông minh! Vì vậy, trong năm đầu tiên - hai nhân với hai... vào năm thứ hai - chuyện gì đã xảy ra, với hai lần nữa, vào năm thứ ba... Dừng lại! Bạn nhận thấy rằng số này được nhân với chính nó. Vậy hai mũ năm là một triệu! Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn có một cuộc thi và người có thể đếm nhanh nhất sẽ nhận được hàng triệu này... Thật đáng để ghi nhớ sức mạnh của các con số, bạn có nghĩ vậy không?

Ví dụ thực tế số 5

Các thuật ngữ và khái niệm...để không bị nhầm lẫn

Vâng, đồng thời, những gì cơ sở bằng cấp như vậy? Đơn giản hơn nữa - đây là con số nằm bên dưới, ở chân đế.

Đây là một bản vẽ cho biện pháp tốt.

Vâng, nói một cách tổng quát, để khái quát và ghi nhớ tốt hơn... Độ có cơ số “ ” và số mũ “ ” được đọc là “theo độ” và được viết như sau:

lũy thừa của một số với số mũ tự nhiên

Mọi phân số đều là số hữu tỉ. Bạn nghĩ chúng phát sinh như thế nào? Rất đơn giản. Vài ngàn năm trước, tổ tiên chúng ta phát hiện ra rằng họ thiếu các số tự nhiên để đo chiều dài, trọng lượng, diện tích, v.v. Và họ đã nghĩ ra số hữu tỉ... Thật thú vị phải không?

Ngoài ra còn có những con số vô tỷ. Những con số này là gì? Nói tóm lại, đó là một phần thập phân vô hạn. Ví dụ: nếu bạn chia chu vi của một hình tròn cho đường kính của nó, bạn sẽ nhận được một số vô tỷ.

Bản tóm tắt:

Chúng ta hãy định nghĩa khái niệm về mức độ có số mũ là số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

Bất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó:
Bình phương một số có nghĩa là nhân số đó với chính nó:
Lập phương một số có nghĩa là nhân số đó với chính nó ba lần:

Sự định nghĩa. Nâng một số lên lũy thừa tự nhiên có nghĩa là nhân số đó với chính nó:
.

Thuộc tính của độ

Những tài sản này đến từ đâu? Tôi sẽ chỉ cho bạn bây giờ.

Hãy xem: nó là gì Và ?

A-trước:

Có tổng cộng bao nhiêu số nhân?

Rất đơn giản: chúng tôi đã thêm số nhân vào các thừa số và kết quả là số nhân.

Nhưng theo định nghĩa, đây là lũy thừa của một số có số mũ, tức là: , đây là điều cần chứng minh.

Ví dụ: Đơn giản hóa biểu thức.

Giải pháp:

Ví dụ:Đơn giản hóa biểu thức.

chỉ dành cho sản phẩm của sức mạnh!

Trong mọi trường hợp bạn không thể viết điều đó.

2. thế thôi lũy thừa của một số

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa về mức độ:

Hóa ra biểu thức được nhân với chính nó lần, tức là theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của số:

Về bản chất, điều này có thể được gọi là “lấy chỉ báo ra khỏi dấu ngoặc”. Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này:

Chúng ta hãy nhớ các công thức nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần?

Nhưng xét cho cùng thì điều này không đúng.

Công suất có gốc âm

Cho đến thời điểm này, chúng ta chỉ thảo luận về số mũ nên là gì.

Nhưng cơ sở nên là gì?

Hãy cùng nghĩ xem những dấu hiệu nào ("" hoặc "") sẽ có bậc của số dương và số âm?

Ví dụ: số đó là dương hay âm? MỘT? ? Với cái đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: cho dù chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương thì kết quả vẫn là số dương.

Hãy tự xác định dấu của các biểu thức sau:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Bạn đã quản lý được chưa?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Vâng, ngoại trừ khi cơ số bằng 0. Cơ sở không bằng nhau phải không? Rõ ràng là không, vì (vì).

Ví dụ 6) không còn đơn giản nữa!

6 ví dụ để thực hành

Phân tích giải pháp 6 ví dụ

Nhưng làm thế nào để làm điều đó? Hóa ra điều đó rất dễ dàng: bậc chẵn của mẫu số sẽ giúp ích cho chúng ta ở đây.

Nhưng điều quan trọng cần nhớ là: tất cả các dấu hiệu thay đổi cùng một lúc!

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Trọn chúng ta gọi các số tự nhiên, các số đối của chúng (nghĩa là lấy bằng dấu " ") và số.

sô nguyên dương, và nó không khác gì tự nhiên, thì mọi thứ trông giống hệt như phần trước.

Bây giờ hãy xem xét các trường hợp mới. Hãy bắt đầu với một chỉ số bằng.

Bất kỳ số nào có lũy thừa 0 đều bằng một:

Như thường lệ, chúng ta hãy tự hỏi: tại sao lại như vậy?

Chúng ta hãy xem xét một số mức độ với một cơ sở. Lấy ví dụ và nhân với:

Vì vậy, chúng ta nhân số đó với và chúng ta được kết quả tương tự - . Bạn nên nhân số nào để không có gì thay đổi? Đúng rồi, tiếp tục. Có nghĩa.

Chúng ta có thể làm tương tự với một số tùy ý:

Hãy lặp lại quy tắc:

Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một.

Nhưng có nhiều ngoại lệ đối với nhiều quy tắc. Và đây nó cũng ở đó - đây là một con số (làm cơ sở).

Tiếp tục nào. Ngoài số tự nhiên và số, số nguyên còn bao gồm số âm. Để hiểu lũy thừa âm là gì, hãy làm như lần trước: nhân một số bình thường với cùng một số để có lũy thừa âm:

Từ đây thật dễ dàng để thể hiện những gì bạn đang tìm kiếm:

Bây giờ hãy mở rộng quy tắc kết quả đến một mức độ tùy ý:

Vì vậy, hãy xây dựng một quy tắc:

Một số có lũy thừa âm là số nghịch đảo của cùng một số có lũy thừa dương. Nhưng tại cùng một thời điểm Cơ sở không thể rỗng:(vì bạn không thể chia cho).

Hãy tóm tắt:

I. Biểu thức không được xác định trong trường hợp. Nếu thì.

II. Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng một: .

III. Một số không bằng 0 với lũy thừa âm là nghịch đảo của chính số đó với lũy thừa dương: .

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Vâng, như thường lệ, ví dụ về các giải pháp độc lập:

Phân tích bài toán để tìm lời giải độc lập:

Hãy tiếp tục mở rộng phạm vi số “phù hợp” làm số mũ.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét số hữu tỉ. Những con số nào được gọi là hợp lý?

Trả lời: mọi thứ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên, và.

Để hiểu nó là gì "độ phân số", xét phân số:

Hãy nâng cả hai vế của phương trình lên lũy thừa:

Bây giờ chúng ta hãy nhớ quy tắc về "theo mức độ":

Số nào phải được nâng lên lũy thừa để có được?

Công thức này là định nghĩa của gốc của bậc thứ.

Để tôi nhắc bạn: gốc của lũy thừa thứ của một số () là một số mà khi nâng lên lũy thừa sẽ bằng.

Nghĩa là, gốc của lũy thừa thứ là phép toán nghịch đảo của việc nâng lên lũy thừa: .

Hóa ra là thế. Rõ ràng, trường hợp đặc biệt này có thể được mở rộng: .

Bây giờ chúng ta cộng tử số: nó là gì? Câu trả lời rất dễ có được bằng cách sử dụng quy tắc công suất:

Nhưng cơ sở có thể là số nào không? Rốt cuộc, gốc không thể được rút ra từ tất cả các số.

Không có!

Chúng ta hãy nhớ quy tắc: bất kỳ số nào được nâng lên lũy thừa chẵn đều là số dương. Tức là không thể rút ra các nghiệm chẵn từ số âm!

Điều này có nghĩa là những số như vậy không thể được nâng lên lũy thừa phân số với mẫu số chẵn, nghĩa là biểu thức không có ý nghĩa.

Còn cách diễn đạt thì sao?

Nhưng ở đây có một vấn đề phát sinh.

Ví dụ, một số có thể được biểu diễn dưới dạng các phân số có thể rút gọn hoặc.

Và hóa ra nó có tồn tại nhưng không tồn tại mà đây chỉ là hai bản ghi khác nhau có cùng số lượng mà thôi.

Để tránh những nghịch lý như vậy, chúng ta xem xét chỉ có số mũ cơ số dương với số mũ phân số.

Do đó, nếu:

- số tự nhiên;
- số nguyên;

Ví dụ:

Số mũ hữu tỷ rất hữu ích cho việc chuyển đổi các biểu thức có gốc, ví dụ:

5 ví dụ để thực hành

Phân tích 5 ví dụ để đào tạo

Chà, bây giờ đến phần khó nhất. Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra nó mức độ với số mũ vô tỷ.

Tất cả các quy tắc và tính chất của độ ở đây hoàn toàn giống với độ có số mũ hữu tỷ, ngoại trừ

Ví dụ, độ có số mũ tự nhiên là một số được nhân với chính nó nhiều lần;

...độ nguyên âm- cứ như thể một “quá trình ngược lại” nào đó đã xảy ra, tức là số đó không được nhân với chính nó mà được chia.

Nhân tiện, trong khoa học, mức độ với số mũ phức tạp thường được sử dụng, nghĩa là số mũ thậm chí không phải là số thực.

Nhưng ở trường, chúng tôi không nghĩ đến những khó khăn như vậy; bạn sẽ có cơ hội hiểu được những khái niệm mới này tại viện.

Ở ĐÂU CHÚNG TÔI CHẮC CHẮN BẠN SẼ ĐI! (nếu bạn học cách giải những ví dụ như vậy :))

Ví dụ:

Quyết định cho chính mình:

Phân tích các giải pháp:

1. Hãy bắt đầu với quy tắc thông thường để nâng lũy thừa lên lũy thừa:

Bây giờ hãy nhìn vào chỉ số. Anh ấy không nhắc nhở bạn điều gì sao? Chúng ta hãy nhớ lại công thức nhân viết tắt của hiệu các bình phương:

Trong trường hợp này,

Hóa ra là:

Trả lời: .

2. Chúng ta quy đổi các phân số theo số mũ về cùng một dạng: cả số thập phân hoặc cả số thường. Chúng tôi nhận được, ví dụ:

Đáp án: 16

3. Không có gì đặc biệt, chúng ta sử dụng các tính chất thông thường của độ:

TRÌNH ĐỘ CAO

Xác định bằng cấp

Một mức độ là một biểu thức có dạng: , trong đó:

— cơ sở bằng cấp;
- số mũ.

Độ có chỉ số tự nhiên (n=1, 2, 3,...)

Nâng một số lên lũy thừa tự nhiên n có nghĩa là nhân số đó với chính nó:

Bậc có số mũ là số nguyên (0, ±1, ±2,...)

Nếu số mũ là sô nguyên dương con số:

Sự thi công đến mức không:

Nếu số mũ là số nguyên âm con số:

(vì bạn không thể chia cho).

Một lần nữa về số không: biểu thức không được xác định trong trường hợp này. Nếu thì.

Ví dụ:

Sức mạnh với số mũ hợp lý

- số tự nhiên;
- số nguyên;

Ví dụ:

Thuộc tính của độ

Để giải quyết vấn đề dễ dàng hơn, chúng ta hãy cố gắng hiểu: những thuộc tính này đến từ đâu? Hãy chứng minh chúng.

Hãy xem: là gì và?

A-trước:

Vì vậy, ở phía bên phải của biểu thức này, chúng ta nhận được sản phẩm sau:

Nhưng theo định nghĩa, nó là lũy thừa của một số có số mũ, nghĩa là:

Q.E.D.

Ví dụ : Đơn giản hóa biểu thức.

Giải pháp : .

Ví dụ : Đơn giản hóa biểu thức.

Một lưu ý quan trọng khác: quy tắc này - chỉ dành cho sản phẩm của sức mạnh!

Trong mọi trường hợp bạn không thể viết điều đó.

Cũng giống như thuộc tính trước, chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa về mức độ:

Hãy sắp xếp lại công việc này như thế này:

Hóa ra biểu thức được nhân với chính nó lần, tức là theo định nghĩa, đây là lũy thừa thứ của số:

Về bản chất, điều này có thể được gọi là “lấy chỉ báo ra khỏi dấu ngoặc”. Nhưng tổng cộng bạn không bao giờ có thể làm được điều này: !

Chúng ta hãy nhớ các công thức nhân viết tắt: chúng ta muốn viết bao nhiêu lần? Nhưng xét cho cùng thì điều này không đúng.

Công suất có gốc âm.

Ví dụ: số đó là dương hay âm? MỘT? ?

Với cái đầu tiên, mọi thứ đều rõ ràng: cho dù chúng ta nhân với nhau bao nhiêu số dương thì kết quả vẫn là số dương.

Và cứ như vậy đến vô cùng: với mỗi phép nhân tiếp theo, dấu sẽ thay đổi. Có thể xây dựng các quy tắc đơn giản sau:

thậm chíđộ, - số tích cực.
Số âm nâng lên số lẻđộ, - số tiêu cực.
Một số dương ở mức độ nào đó là một số dương.
Số không với mọi lũy thừa đều bằng không.

Hãy tự xác định dấu của các biểu thức sau:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Bạn đã quản lý được chưa? Đây là những câu trả lời:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Trong bốn ví dụ đầu tiên, tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng? Chúng ta chỉ cần nhìn vào cơ số và số mũ rồi áp dụng quy tắc thích hợp.

Và một lần nữa chúng ta sử dụng định nghĩa về mức độ:

Mọi thứ vẫn như thường lệ - chúng ta viết ra định nghĩa về độ và chia chúng cho nhau, chia chúng thành từng cặp và nhận được:

Trước khi xem xét quy tắc cuối cùng, hãy giải một vài ví dụ.

Tính các biểu thức:

Các giải pháp :

Chúng tôi nhận được:

Nếu bạn nhân nó lên thì không có gì thay đổi phải không? Nhưng bây giờ nó lại thành ra thế này:

Hãy quay lại ví dụ:

Và một lần nữa công thức:

Vì vậy, bây giờ quy tắc cuối cùng:

Chúng ta sẽ chứng minh điều đó như thế nào? Tất nhiên, như thường lệ: hãy mở rộng khái niệm về mức độ và đơn giản hóa nó:

Ví dụ:

Bằng cấp với số mũ vô tỷ

Rất khó để tưởng tượng một mức độ với số mũ vô tỷ (cũng như rất khó để tưởng tượng một không gian 4 chiều). Đúng hơn, nó là một đối tượng toán học thuần túy mà các nhà toán học tạo ra để mở rộng khái niệm cấp độ cho toàn bộ không gian số.

Vậy chúng ta phải làm gì nếu thấy số mũ vô tỉ? Chúng tôi đang cố gắng hết sức để thoát khỏi nó :)

Ví dụ:

Quyết định cho chính mình:

Câu trả lời:

Hãy nhớ lại sự khác biệt của công thức bình phương. Trả lời: .
Chúng ta quy các phân số về cùng một dạng: cả hai số thập phân hoặc cả hai số thường. Chúng tôi nhận được, ví dụ: .
Không có gì đặc biệt, chúng tôi sử dụng các thuộc tính thông thường của độ:

TỔNG HỢP PHẦN VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Bằng cấpđược gọi là biểu thức có dạng: , trong đó:

Bậc có số mũ là số nguyên

một mức độ có số mũ là số tự nhiên (tức là số nguyên và số dương).

Sức mạnh với số mũ hợp lý

độ, số mũ của nó là số âm và số phân số.

Bằng cấp với số mũ vô tỷ

một mức độ có số mũ là phân số thập phân vô hạn hoặc gốc.

Thuộc tính của độ

Đặc điểm của độ.

Số âm nâng lên thậm chíđộ, - số tích cực.
Số âm nâng lên số lẻđộ, - số tiêu cực.
Một số dương ở mức độ nào đó là một số dương.
Số không tương đương với bất kỳ sức mạnh nào.
Bất kỳ số nào có lũy thừa bằng 0 đều bằng nhau.

BÂY GIỜ BẠN CÓ LỜI...

Bạn thích bài viết như thế nào? Viết bên dưới trong phần bình luận cho dù bạn có thích hay không.

Hãy cho chúng tôi biết về trải nghiệm của bạn khi sử dụng thuộc tính độ.

Có lẽ bạn có thắc mắc. Hoặc gợi ý.

Viết trong các ý kiến.

Và chúc may mắn trong kỳ thi của bạn!

Hãy truy cập kênh youtube của trang web chúng tôi để cập nhật tất cả các video bài học mới.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại các công thức cơ bản của lũy thừa và tính chất của chúng.

Sản phẩm của một số Một tự nó xảy ra n lần, chúng ta có thể viết biểu thức này dưới dạng a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Quyền lực hoặc phương trình hàm mũ – đây là các phương trình trong đó các biến ở dạng lũy thừa (hoặc số mũ) và cơ số là một số.

Ví dụ về phương trình hàm mũ:

TRONG trong ví dụ này số 6 là số cơ bản, nó luôn ở dưới cùng và biến số x mức độ hoặc chỉ số.

Hãy để chúng tôi đưa ra thêm ví dụ về phương trình hàm mũ.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Bây giờ chúng ta hãy xem phương trình hàm mũ được giải như thế nào?

Hãy lấy một phương trình đơn giản:

2 x = 2 3

Ví dụ này có thể được giải quyết ngay cả trong đầu bạn. Có thể thấy rằng x = 3. Rốt cuộc, để bên trái và bên phải bằng nhau, bạn cần đặt số 3 thay vì x.
Bây giờ hãy xem cách chính thức hóa quyết định này:

2 x = 2 3
x = 3

Để giải phương trình như vậy, chúng tôi đã loại bỏ căn cứ giống hệt nhau(nghĩa là hai) và viết ra những gì còn lại, đây là độ. Chúng tôi đã nhận được câu trả lời mà chúng tôi đang tìm kiếm.

Bây giờ hãy tóm tắt quyết định của chúng tôi.

Thuật toán giải phương trình mũ:
1. Cần kiểm tra giống nhau phương trình có cơ số bên phải và bên trái hay không. Nếu các lý do không giống nhau, chúng tôi đang tìm kiếm các phương án để giải quyết ví dụ này.
2. Sau khi các căn cứ trở nên giống nhau, đánh đồngđộ và giải phương trình mới thu được.

Bây giờ chúng ta hãy xem một vài ví dụ:

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản.

Các căn cứ ở bên trái và bên phải đều bằng số 2, nghĩa là chúng ta có thể loại bỏ cơ số và đánh đồng lũy thừa của chúng.

x+2=4 Ta thu được phương trình đơn giản nhất.
x=4 – 2
x=2
Đáp án: x=2

Trong ví dụ sau, bạn có thể thấy các cơ số khác nhau: 3 và 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Đầu tiên, di chuyển số chín sang bên phải, chúng ta có:

Bây giờ bạn cần phải làm các căn cứ tương tự. Chúng ta biết rằng 9=3 2. Hãy sử dụng công thức lũy thừa (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Chúng ta nhận được 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 bây giờ bạn có thể thấy nó ở bên trái và bên phải các cơ số giống nhau và bằng ba, có nghĩa là chúng ta có thể loại bỏ chúng và đánh đồng độ.

3x=2x+16 ta được phương trình đơn giản nhất
3x - 2x=16
x=16
Đáp án: x=16.

Hãy xem ví dụ sau:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Trước hết, chúng ta nhìn vào các căn cứ, căn cứ hai và bốn. Và chúng ta cần chúng giống nhau. Chúng ta biến đổi bốn bằng cách sử dụng công thức (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Và chúng ta cũng sử dụng một công thức a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Thêm vào phương trình:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Chúng tôi đã đưa ra một ví dụ vì những lý do tương tự. Nhưng những con số 10 và 24 khác làm chúng ta bận tâm. Phải làm gì với chúng? Nếu nhìn kỹ hơn, bạn có thể thấy rằng ở phía bên trái, chúng ta có 2 2x được lặp lại, đây là câu trả lời - chúng ta có thể đặt 2 2x ra khỏi ngoặc:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Hãy tính biểu thức trong ngoặc:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Chúng tôi chia toàn bộ phương trình cho 6:

Hãy tưởng tượng 4=2 2:

2 2x = 2 2 cơ số giống nhau, chúng ta loại bỏ chúng và đánh đồng độ.
2x = 2 là phương trình đơn giản nhất. Chia nó cho 2 và chúng ta nhận được
x = 1
Trả lời: x = 1.

Hãy giải phương trình:

9 x – 12*3 x +27= 0

Hãy biến đổi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Chúng ta nhận được phương trình:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Cơ số của chúng ta giống nhau, bằng ba. Trong ví dụ này, bạn có thể thấy rằng ba số đầu tiên có bậc hai (2x) so với số thứ hai (chỉ x). Trong trường hợp này, bạn có thể giải quyết phương pháp thay thế. Số s mức độ tối thiểu thay thế:

Khi đó 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Chúng ta thay thế tất cả lũy thừa x trong phương trình bằng t:

t 2 - 12t+27 = 0
Chúng tôi nhận được phương trình bậc hai. Giải quyết thông qua phân biệt đối xử, chúng tôi nhận được:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Trở lại biến x.

Lấy t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Đó là,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Một gốc đã được tìm thấy. Chúng tôi đang tìm kiếm cái thứ hai từ t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Đáp án: x 1 = 2; x 2 = 1.

Trên trang web, bạn có thể hỏi bất kỳ câu hỏi nào bạn có thể có trong phần GIÚP QUYẾT ĐỊNH, chúng tôi chắc chắn sẽ trả lời bạn.

Tham gia vào nhóm

Biểu thức, chuyển đổi biểu thức

Biểu thức lũy thừa (biểu thức có lũy thừa) và sự biến đổi của chúng

Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về việc chuyển đổi biểu thức bằng lũy thừa. Đầu tiên, chúng ta sẽ tập trung vào các phép biến đổi được thực hiện với bất kỳ loại biểu thức nào, bao gồm cả biểu thức quyền lực, chẳng hạn như mở dấu ngoặc đơn và đưa các thuật ngữ tương tự. Và sau đó chúng ta sẽ phân tích các phép biến đổi vốn có cụ thể trong các biểu thức có độ: làm việc với cơ số và số mũ, sử dụng các thuộc tính của độ, v.v.

Điều hướng trang.

Biểu hiện sức mạnh là gì?

Thuật ngữ “biểu hiện quyền lực” gần như không bao giờ được sử dụng sách giáo khoa trường học toán học, nhưng nó xuất hiện khá thường xuyên trong các bộ sưu tập các bài toán, đặc biệt là những bài dùng để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi Thống nhất chẳng hạn. Sau khi phân tích các nhiệm vụ cần thực hiện bất kỳ hành động nào với biểu thức quyền lực, có thể thấy rõ rằng biểu thức quyền lực được hiểu là các biểu thức chứa quyền hạn trong các mục nhập của chúng. Vì vậy, bạn có thể chấp nhận định nghĩa sau đây cho mình:

Sự định nghĩa.

biểu thức sức mạnh là các biểu thức có chứa độ.

Hãy cung cấp cho ví dụ về biểu thức quyền lực. Hơn nữa, chúng tôi sẽ trình bày chúng theo cách thức phát triển các quan điểm từ mức độ có số mũ tự nhiên đến mức độ có số mũ thực sự.

Như đã biết, trước tiên người ta làm quen với lũy thừa của một số có số mũ tự nhiên; ở giai đoạn này, biểu thức lũy thừa đơn giản đầu tiên thuộc loại 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 xuất hiện −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 v.v.

Một lát sau, lũy thừa của một số có số mũ nguyên được nghiên cứu, dẫn đến sự xuất hiện của biểu thức lũy thừa với số nguyên quyền lực tiêu cực, như sau: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Ở trường trung học họ quay trở lại với bằng cấp. Ở đó một mức độ với số mũ hợp lý được đưa ra, kéo theo sự xuất hiện của các biểu thức lũy thừa tương ứng: , , và như thế. Cuối cùng, độ có số mũ vô tỷ và các biểu thức chứa chúng được xem xét: , .

Vấn đề không chỉ giới hạn ở các biểu thức lũy thừa được liệt kê: hơn nữa biến sẽ thâm nhập vào số mũ và, ví dụ, các biểu thức sau phát sinh: 2 x 2 +1 hoặc . Và sau khi làm quen với , các biểu thức có lũy thừa và logarit bắt đầu xuất hiện, ví dụ x 2·lgx −5·x lgx.

Vì vậy, chúng ta đã giải quyết được câu hỏi biểu thức công suất đại diện cho điều gì. Tiếp theo chúng ta sẽ học cách biến đổi chúng.

Các dạng biến đổi chính của biểu thức công suất

Với biểu thức lũy thừa, bạn có thể thực hiện bất kỳ phép biến đổi nhận dạng cơ bản nào của biểu thức. Ví dụ: bạn có thể mở rộng dấu ngoặc, thay thế biểu thức sốý nghĩa của chúng, đưa ra điều khoản tương tự vân vân. Đương nhiên, trong trường hợp này, cần phải tuân theo quy trình được chấp nhận để thực hiện các hành động. Hãy đưa ra ví dụ.

Ví dụ.

Tính giá trị của biểu thức lũy thừa 2 3 ·(4 2 −12) .

Giải pháp.

Theo thứ tự thực hiện các hành động, trước tiên hãy thực hiện các hành động trong ngoặc. Ở đó, trước tiên, chúng tôi thay thế lũy thừa 4 2 bằng giá trị 16 của nó (nếu cần, xem), và thứ hai, chúng tôi tính hiệu 16−12=4. Chúng ta có 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Trong biểu thức thu được, chúng ta thay lũy thừa 2 3 bằng giá trị 8, sau đó chúng ta tính tích 8·4=32. Đây là giá trị mong muốn.

Vì thế, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Trả lời:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Ví dụ.

Rút gọn biểu thức bằng lũy thừa 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Giải pháp.

Hiển nhiên là biểu hiện này chứa các số hạng tương tự 3·a 4 ·b −7 và 2·a 4 ·b −7 , và chúng ta có thể cho chúng: .

Trả lời:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Ví dụ.

Thể hiện một biểu thức với lũy thừa là tích.

Giải pháp.

Bạn có thể giải quyết nhiệm vụ bằng cách biểu thị số 9 dưới dạng lũy thừa của 3 2 và sau đó sử dụng công thức nhân viết tắt - hiệu của bình phương:

Trả lời:

Ngoài ra còn có một số chuyển đổi danh tính, vốn có đặc biệt trong các biểu thức sức mạnh. Chúng tôi sẽ phân tích chúng sâu hơn.

Làm việc với cơ số và số mũ

Có những độ mà cơ số và/hoặc số mũ không chỉ là số hoặc biến mà còn là một số biểu thức. Ví dụ, chúng ta đưa ra các mục (2+0.3·7) 5−3.7 và (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Khi làm việc với các biểu thức tương tự, bạn có thể thay thế cả biểu thức ở cơ số độ và biểu thức ở số mũ một cách giống hệt nhau biểu thức bình đẳng trên ODZ của các biến của nó. Nói cách khác, theo các quy tắc mà chúng ta đã biết, chúng ta có thể biến đổi riêng cơ số của bậc và riêng số mũ. Rõ ràng là kết quả của phép biến đổi này sẽ thu được một biểu thức giống hệt với biểu thức ban đầu.

Những phép biến đổi như vậy cho phép chúng ta đơn giản hóa các biểu thức bằng lũy thừa hoặc đạt được các mục tiêu khác mà chúng ta cần. Ví dụ: trong biểu thức lũy thừa được đề cập ở trên (2+0,3 7) 5−3,7, bạn có thể thực hiện các phép tính với các số ở cơ số và số mũ, điều này sẽ cho phép bạn chuyển sang lũy thừa 4.1 1.3. Và sau khi mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự vào cơ số (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) chúng ta thu được biểu thức lũy thừa kiểu đơn giản a 2·(x+1) .

Sử dụng thuộc tính độ

Một trong những công cụ chính để chuyển đổi biểu thức có lũy thừa là các đẳng thức phản ánh . Chúng ta hãy nhớ lại những cái chính. Với mọi số dương a và b và tùy ý số thực r và s các tính chất sau của độ là hợp lệ:

a r ·a s =a r+s ;
a r:a s =a r−s ;
(a·b) r =a r ·b r ;
(a:b) r =a r:b r ;
(a r) s =a r·s .

Lưu ý rằng đối với tự nhiên, số nguyên và cả chỉ số tích cực mức độ hạn chế đối với các số a và b có thể không quá nghiêm ngặt. Ví dụ, đối với các số tự nhiên m và n đẳng thức a m ·a n =a m+n không chỉ đúng với a dương mà còn đúng với a âm và với a=0.

Ở trường, khi chuyển đổi các biểu thức sức mạnh, trọng tâm chính là khả năng chọn thuộc tính phù hợp và áp dụng nó một cách chính xác. Trong trường hợp này, cơ số của độ thường dương, điều này cho phép sử dụng các tính chất của độ mà không bị hạn chế. Điều tương tự cũng áp dụng cho phép biến đổi biểu thức chứa biến trong cơ số lũy thừa - diện tích giá trị chấp nhận được các biến thường sao cho cơ sở trên đó chỉ chấp nhận giá trị tích cực, cho phép bạn tự do sử dụng các thuộc tính của độ. Nói chung, bạn cần liên tục tự hỏi liệu có thể sử dụng bất kỳ tài sản nào của bằng cấp trong trường hợp này hay không, bởi vì việc sử dụng tài sản không chính xác có thể dẫn đến việc thu hẹp giá trị giáo dục và những rắc rối khác. Những điểm này sẽ được thảo luận chi tiết và kèm theo các ví dụ trong bài viết chuyển đổi biểu thức bằng cách sử dụng thuộc tính độ. Ở đây chúng ta sẽ hạn chế xem xét một vài ví dụ đơn giản.

Ví dụ.

Biểu thị biểu thức a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 dưới dạng lũy thừa với cơ số a.

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta biến đổi thừa số thứ hai (a 2) −3 bằng cách sử dụng tính chất nâng lũy thừa lên lũy thừa: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Biểu thức lũy thừa ban đầu sẽ có dạng a 2,5 ·a −6:a −5,5. Rõ ràng, vẫn sử dụng các tính chất nhân và chia lũy thừa có cùng cơ số, ta có
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Trả lời:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Tính chất của lũy thừa khi biến đổi biểu thức lũy thừa được sử dụng cả từ trái sang phải và từ phải sang trái.

Ví dụ.

Tìm giá trị của biểu thức công suất.

Giải pháp.

Đẳng thức (a·b) r =a r ·b r, được áp dụng từ phải sang trái, cho phép chúng ta chuyển từ biểu thức ban đầu sang tích của dạng và hơn thế nữa. Và khi nhân sức mạnh với trên cùng một cơ sở các chỉ số cộng lại: .

Có thể chuyển đổi biểu thức ban đầu theo cách khác:

Trả lời:

Ví dụ.

Cho biểu thức lũy thừa a 1,5 −a 0,5 −6, hãy đưa ra một biến mới t=a 0,5.

Giải pháp.

Bậc a 1,5 có thể được biểu diễn dưới dạng 0,5 3 và sau đó, dựa trên tính chất của bậc theo bậc (a r) s = a r s, áp dụng từ phải sang trái, biến đổi nó thành dạng (a 0,5) 3. Như vậy, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Bây giờ thật dễ dàng để đưa vào một biến mới t=a 0,5, chúng ta nhận được t 3 −t−6.

Trả lời:

t 3 −t−6 .

Chuyển đổi phân số chứa lũy thừa

Biểu thức lũy thừa có thể chứa hoặc biểu diễn các phân số có lũy thừa. Bất kỳ phép biến đổi cơ bản nào của phân số vốn có trong bất kỳ loại phân số nào đều có thể áp dụng đầy đủ cho các phân số đó. Nghĩa là, các phân số chứa lũy thừa có thể được rút gọn, rút gọn thành mẫu số mới, làm việc riêng với tử số và riêng với mẫu số, v.v. Để minh họa những từ này, hãy xem xét giải pháp cho một số ví dụ.

Ví dụ.

Đơn giản hóa biểu thức quyền lực .

Giải pháp.

Biểu thức sức mạnh này là một phân số. Hãy làm việc với tử số và mẫu số của nó. Trong tử số, chúng tôi mở dấu ngoặc và đơn giản hóa biểu thức kết quả bằng cách sử dụng các thuộc tính của lũy thừa và trong mẫu số, chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự:

Và chúng ta cũng hãy đổi dấu của mẫu số bằng cách đặt dấu trừ trước phân số: .

Trả lời:

Việc quy đổi các phân số chứa lũy thừa sang mẫu số mới được thực hiện tương tự như quy đổi về mẫu số mới phân số hợp lý. Trong trường hợp này, một thừa số bổ sung cũng được tìm thấy và tử số và mẫu số của phân số được nhân với nó. Khi thực hiện hành động này, cần nhớ rằng việc giảm xuống mẫu số mới có thể dẫn đến việc thu hẹp VA. Để ngăn điều này xảy ra, điều cần thiết là hệ số bổ sung không về 0 đối với bất kỳ giá trị nào của các biến từ các biến ODZ cho biểu thức ban đầu.

Ví dụ.

Quy đổi các phân số về mẫu số mới: a) về mẫu số a, b) đến mẫu số.

Giải pháp.

a) Trong trường hợp này, khá dễ dàng để tìm ra hệ số nhân bổ sung nào giúp đạt được kết quả như ý. Đây là hệ số nhân của 0,3, vì 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Lưu ý rằng trong khoảng giá trị cho phép của biến a (đây là tập hợp tất cả các số thực dương), lũy thừa của a 0,3 không triệt tiêu nên ta có quyền nhân tử số và mẫu số của một số đã cho phân số theo hệ số bổ sung này:

b) Nhìn kỹ vào mẫu số, bạn sẽ thấy rằng

và nhân biểu thức này với sẽ cho tổng các lập phương và , tức là , . Và đây là nó mẫu số mới, mà chúng ta cần giảm phân số ban đầu.

Đây là cách chúng tôi tìm thấy một yếu tố bổ sung. Trong phạm vi giá trị cho phép của các biến x và y, biểu thức không biến mất nên ta có thể nhân tử số và mẫu số của phân số với nó:

Trả lời:

MỘT) , b) .

Cũng không có gì mới trong việc rút gọn các phân số chứa lũy thừa: tử số và mẫu số được biểu diễn dưới dạng một số thừa số, và các thừa số giống nhau của tử số và mẫu số đều được rút gọn.

Ví dụ.

Rút gọn phân số: a) , b) .

Giải pháp.

a) Thứ nhất, tử số và mẫu số có thể giảm đi 30 và 45 bằng 15. Rõ ràng cũng có thể thực hiện phép giảm x 0,5 +1 và bằng . Đây là những gì chúng tôi có:

b) Trong trường hợp này, các thừa số giống nhau ở tử số và mẫu số không nhìn thấy được ngay. Để có được chúng, bạn sẽ phải thực hiện các phép biến đổi sơ bộ. Trong trường hợp này, chúng bao gồm việc phân tích mẫu số bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương:

Trả lời:

MỘT)

b) .

Việc chuyển đổi phân số sang mẫu số mới và rút gọn phân số chủ yếu được sử dụng để thực hiện các thao tác với phân số. Các hành động được thực hiện theo các quy tắc đã biết. Khi cộng (trừ) các phân số được quy giản về mẫu số chung, sau đó các tử số được cộng (trừ) nhưng mẫu số vẫn giữ nguyên. Kết quả là một phân số có tử số bằng tích của các tử số và mẫu số bằng tích của các mẫu số. Chia cho một phân số là nhân với nghịch đảo của nó.

Ví dụ.

Thực hiện theo các bước .

Giải pháp.

Đầu tiên, chúng ta trừ các phân số trong ngoặc đơn. Để làm điều này, chúng ta đưa chúng về một mẫu số chung, đó là , sau đó chúng ta trừ các tử số:

Bây giờ chúng ta nhân các phân số:

Rõ ràng, có thể giảm theo lũy thừa x 1/2, sau đó chúng ta có .

Bạn cũng có thể đơn giản hóa biểu thức lũy thừa ở mẫu số bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương: .

Trả lời:

Ví dụ.

Rút gọn biểu thức lũy thừa .

Giải pháp.

Rõ ràng, phân số đã cho có thể giảm đi (x 2,7 +1) 2, điều này cho ra phân số . Rõ ràng là cần phải làm một việc khác với sức mạnh của X. Để làm điều này, chúng tôi chuyển đổi phần kết quả thành một sản phẩm. Điều này cho ta cơ hội lợi dụng tính chất phân chia lũy thừa có cùng cơ sở: . Và khi kết thúc quá trình, chúng ta chuyển từ Công việc cuối cùngđến một phân số.

Trả lời:

Và chúng ta cũng hãy nói thêm rằng có thể và trong nhiều trường hợp mong muốn sử dụng các số nhân với chỉ số tiêu cựcđộ được chuyển từ tử số sang mẫu số hoặc từ mẫu số sang tử số, làm thay đổi dấu của số mũ. Những biến đổi như vậy thường đơn giản hóa các hành động tiếp theo. Ví dụ: biểu thức lũy thừa có thể được thay thế bằng .

Chuyển đổi biểu thức có gốc và lũy thừa

Thông thường trong các biểu thức trong đó cần có một số phép biến đổi, cùng với lũy thừa với chỉ số phân số rễ cũng có mặt. Để chuyển đổi biểu hiện tương tựđến dạng mong muốn, trong hầu hết các trường hợp, chỉ cần đi đến gốc hoặc chỉ đến lũy thừa là đủ. Nhưng vì làm việc với quyền hạn sẽ thuận tiện hơn nên chúng thường chuyển từ gốc sang quyền hạn. Tuy nhiên, nên thực hiện quá trình chuyển đổi như vậy khi ODZ của các biến cho biểu thức ban đầu cho phép bạn thay thế gốc bằng lũy thừa mà không cần tham chiếu đến mô-đun hoặc chia ODZ thành nhiều khoảng (chúng ta đã thảo luận chi tiết về điều này trong bài viết chuyển đổi từ gốc sang lũy thừa và ngược lại Sau khi làm quen với cấp độ với số mũ hữu tỷ, một cấp độ với số mũ vô tỷ được giới thiệu, cho phép chúng ta nói về cấp độ với số mũ thực tùy ý. Ở giai đoạn này, nó bắt đầu được. học ở trường. hàm số mũ , được tính bằng phương pháp giải tích bằng lũy thừa, cơ số là một số và số mũ là một biến. Vì vậy, chúng ta phải đối mặt với các biểu thức lũy thừa chứa các số ở cơ số lũy thừa và trong biểu thức lũy thừa có các biến, và đương nhiên nảy sinh nhu cầu thực hiện các phép biến đổi các biểu thức đó.

Cần phải nói rằng việc biến đổi biểu thức loại được chỉ định thường phải được thực hiện khi giải quyết phương trình hàm mũ Và bất đẳng thức hàm mũ và những chuyển đổi này khá đơn giản. Trong phần lớn các trường hợp, chúng dựa trên các đặc tính của mức độ và phần lớn nhằm mục đích giới thiệu một biến số mới trong tương lai. Phương trình sẽ cho phép chúng ta chứng minh chúng 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Thứ nhất, lũy thừa, trong số mũ của nó là tổng của một biến nhất định (hoặc biểu thức có biến) và một số, được thay thế bằng tích. Điều này áp dụng cho số hạng đầu tiên và cuối cùng của biểu thức ở vế trái:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tiếp theo, cả hai vế của đẳng thức được chia cho biểu thức 7 2 x, biểu thức này trên ODZ của biến x cho phương trình ban đầu chỉ lấy giá trị dương (đây là kỹ thuật tiêu chuẩn để giải phương trình loại này, chúng ta không nói về nó bây giờ, vì vậy hãy tập trung vào các phép biến đổi tiếp theo của biểu thức với lũy thừa ):

Bây giờ chúng ta có thể hủy phân số bằng lũy thừa, điều này mang lại .

Cuối cùng, tỷ lệ quyền lực với các chỉ số giống nhauđược thay thế bằng lũy thừa quan hệ, dẫn đến phương trình , tương đương . Các phép biến đổi được thực hiện cho phép chúng ta đưa vào một biến mới, làm biến đổi nghiệm của phương trình hàm mũ ban đầu thành nghiệm của phương trình bậc hai

I. V. Boykov, L. D. Romanova Tuyển tập các nhiệm vụ chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất. Phần 1. Penza 2003.