Số lượng đa dạng. Ký hiệu, ghi chép và biểu diễn các bộ số


Từ rất nhiều loại bộĐặc biệt quan tâm là cái gọi là bộ số, nghĩa là các tập hợp có các phần tử là số. Rõ ràng là để làm việc thoải mái với chúng, bạn cần có khả năng viết chúng ra giấy. Chúng ta sẽ bắt đầu bài viết này với ký hiệu và nguyên tắc viết tập hợp số. Tiếp theo, chúng ta hãy xem cách các tập hợp số được mô tả trên một đường tọa độ.

Điều hướng trang.

Viết tập hợp số

Hãy bắt đầu với ký hiệu được chấp nhận. Như bạn đã biết, chữ in hoa của bảng chữ cái Latinh được dùng để biểu thị các tập hợp. Các tập hợp số, như một trường hợp đặc biệt của các tập hợp, cũng được chỉ định. Ví dụ: chúng ta có thể nói về các bộ số A, H, W, v.v. Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức, v.v. có tầm quan trọng đặc biệt;

  • N – tập hợp các số tự nhiên;
  • Z – tập hợp số nguyên;
  • Q – tập hợp số hữu tỉ;
  • J – tập hợp số vô tỷ;
  • R – tập số thực;
  • C là tập hợp số phức.

Từ đây, rõ ràng là bạn không nên biểu thị một tập hợp bao gồm, chẳng hạn như hai số 5 và −7 là Q, cách gọi này sẽ gây hiểu nhầm, vì chữ Q thường biểu thị tập hợp tất cả các số hữu tỷ. Để biểu thị tập hợp số đã chỉ định, tốt hơn là sử dụng một số chữ cái “trung tính” khác, ví dụ: A.

Vì chúng ta đang nói về ký hiệu, ở đây chúng ta cũng nhớ lại ký hiệu của một tập hợp rỗng, tức là một tập hợp không chứa các phần tử. Nó được ký hiệu bằng dấu ∅.

Chúng ta cũng hãy nhớ lại việc chỉ định một phần tử thuộc hay không thuộc một tập hợp. Để làm điều này, hãy sử dụng các dấu hiệu ∈ - thuộc về và ∉ - không thuộc về. Ví dụ: ký hiệu 5∈N có nghĩa là số 5 thuộc tập hợp số tự nhiên và 5,7∉Z - phân số thập phân 5,7 không thuộc tập hợp số nguyên.

Và chúng ta cũng hãy nhớ lại ký hiệu được sử dụng để gộp tập hợp này vào tập hợp khác. Rõ ràng là tất cả các phần tử của tập N đều có trong tập Z nên tập số N đều có trong Z, ký hiệu là N⊂Z. Bạn cũng có thể sử dụng ký hiệu Z⊃N, nghĩa là tập hợp tất cả các số nguyên Z bao gồm tập hợp N. Các quan hệ không bao gồm và không bao gồm lần lượt được biểu thị bằng ⊄ và . Các dấu hiệu bao gồm không nghiêm ngặt có dạng ⊆ và ⊇ cũng được sử dụng, có nghĩa là bao gồm hoặc trùng khớp và bao gồm hoặc trùng khớp tương ứng.

Chúng ta đã nói về ký hiệu, hãy chuyển sang phần mô tả các tập hợp số. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ chỉ đề cập đến những trường hợp chính thường được sử dụng nhất trong thực tế.

Hãy bắt đầu với các tập hợp số chứa một số phần tử hữu hạn và nhỏ. Thật thuận tiện khi mô tả các tập hợp số bao gồm một số hữu hạn các phần tử bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của chúng. Tất cả các phần tử số được viết cách nhau bằng dấu phẩy và đặt trong , phù hợp với quy luật chung quy tắc mô tả tập hợp. Ví dụ: một tập hợp gồm ba số 0, −0,25 và 4/7 có thể được mô tả là (0, −0,25, 4/7).

Đôi khi, khi số phần tử của một tập hợp số khá lớn nhưng các phần tử tuân theo một khuôn mẫu nhất định thì dấu chấm lửng được sử dụng để mô tả. Ví dụ: tập hợp tất cả các số lẻ từ 3 đến 99 có thể được viết là (3, 5, 7, ..., 99).

Vì vậy, chúng tôi đã tiếp cận một cách suôn sẻ việc mô tả các tập hợp số, số phần tử của chúng là vô hạn. Đôi khi chúng có thể được mô tả bằng cách sử dụng tất cả các dấu chấm lửng giống nhau. Ví dụ: hãy mô tả tập hợp tất cả các số tự nhiên: N=(1, 2. 3, … ).

Họ cũng sử dụng mô tả của các tập hợp số bằng cách chỉ ra các thuộc tính của các phần tử của nó. Trong trường hợp này, ký hiệu (thuộc tính x|) được sử dụng. Ví dụ: ký hiệu (n| 8·n+3, n∈N) chỉ định tập hợp các số tự nhiên khi chia cho 8 thì dư 3. Tập hợp tương tự này có thể được mô tả là (11,19, 27, ...).

Trong trường hợp đặc biệt, các tập hợp số có vô số phần tử là các tập hợp đã biết N, Z, R, v.v.. hoặc các khoảng số. Về cơ bản, các tập hợp số được biểu diễn dưới dạng sự kết hợp các khoảng số riêng biệt cấu thành của chúng và các tập hợp số có số phần tử hữu hạn (mà chúng ta đã nói ở trên).

Hãy đưa ra một ví dụ. Cho bộ số gồm các số −10, −9, −8,56, 0, tất cả các số của đoạn [−5, −1,3] và các số của trục số mở (7, +∞). Do định nghĩa về hợp các tập hợp, tập hợp số đã cho có thể được viết là {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Ký hiệu này thực chất có nghĩa là một tập hợp chứa tất cả các phần tử của các tập hợp đó (−10, −9, −8,56, 0), [−5, −1,3] và (7, +∞).

Tương tự, bằng cách kết hợp các khoảng số khác nhau và các bộ số riêng lẻ, bất kỳ bộ số nào (bao gồm các số thực) đều có thể được mô tả. Ở đây trở nên rõ ràng tại sao các loại khoảng số như khoảng, nửa khoảng, đoạn, tia số mở và tia số lại được đưa ra: tất cả chúng, cùng với các ký hiệu cho các tập hợp số riêng lẻ, giúp có thể mô tả bất kỳ tập hợp số nào thông qua công đoàn của họ.

Xin lưu ý rằng khi viết một tập hợp số, các số thành phần và các khoảng số của nó được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Đây không phải là điều kiện cần thiết nhưng đáng mong đợi, vì tập hợp số có thứ tự sẽ dễ hình dung và mô tả hơn trên đường tọa độ. Cũng lưu ý rằng các bản ghi như vậy không sử dụng các khoảng số với các phần tử chung, vì các bản ghi đó có thể được thay thế bằng cách kết hợp các khoảng số không có phần tử chung. Ví dụ: hợp của các tập hợp số có các phần tử chung [−10, 0] và (−5, 3) là nửa khoảng [−10, 3) . Điều tương tự cũng áp dụng cho phép kết của các khoảng số có cùng số biên, ví dụ, phép kết (3, 5]∪(5, 7] là một tập hợp (3, 7] , chúng ta sẽ tập trung vào vấn đề này một cách riêng biệt khi chúng ta học cách tìm giao điểm và hợp của các tập hợp số

Biểu diễn tập hợp số trên đường tọa độ

Trong thực tế, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng hình ảnh hình học của các tập hợp số - hình ảnh của chúng. Ví dụ, khi giải bất đẳng thức, trong đó cần phải tính đến ODZ, cần phải mô tả các tập hợp số để tìm giao điểm và/hoặc hợp của chúng. Vì vậy, sẽ rất hữu ích nếu hiểu rõ tất cả các sắc thái của việc mô tả các tập hợp số trên đường tọa độ.

Người ta biết rằng có sự tương ứng một-một giữa các điểm của đường tọa độ và các số thực, nghĩa là bản thân đường tọa độ là mô hình hình học của tập hợp tất cả các số thực R. Do đó, để mô tả tập hợp tất cả các số thực, bạn cần vẽ một đường tọa độ có tô bóng dọc theo toàn bộ chiều dài của nó:

Và thường thì họ thậm chí không chỉ ra nguồn gốc và phân khúc đơn vị:

Bây giờ chúng ta hãy nói về hình ảnh của các tập hợp số, đại diện cho một số hữu hạn các số riêng lẻ. Ví dụ: hãy mô tả tập số (−2, −0,5, 1,2) . Ảnh hình học của tập hợp này gồm ba số −2, −0,5 và 1,2 sẽ là ba điểm của đường tọa độ có tọa độ tương ứng:

Lưu ý rằng thông thường, vì mục đích thực tế, không cần phải thực hiện bản vẽ một cách chính xác. Thông thường, một bản vẽ sơ đồ là đủ, điều này ngụ ý rằng không cần thiết phải duy trì tỷ lệ; trong trường hợp này, điều quan trọng là duy trì vị trí tương đối của các điểm so với nhau: bất kỳ điểm nào có tọa độ nhỏ hơn đều phải bằng với bên trái của một điểm có tọa độ lớn hơn. Bản vẽ trước đó sẽ có sơ đồ như thế này:

Riêng biệt, với tất cả các loại tập hợp số, các khoảng số (khoảng, nửa khoảng, tia, v.v.) được phân biệt, đại diện cho hình ảnh hình học của chúng, chúng tôi đã xem xét chúng một cách chi tiết trong phần này; Chúng tôi sẽ không lặp lại ở đây.

Và vẫn chỉ tập trung vào hình ảnh của các tập số, là sự kết hợp của một số khoảng số và tập hợp bao gồm các số riêng lẻ. Không có gì phức tạp ở đây: theo ý nghĩa của sự kết hợp trong những trường hợp này, trên đường tọa độ cần phải mô tả tất cả các thành phần của tập hợp của một tập hợp số nhất định. Ví dụ: hãy hiển thị hình ảnh của một bộ số (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Và chúng ta hãy tập trung vào các trường hợp khá phổ biến khi tập số được mô tả đại diện cho toàn bộ tập hợp số thực, ngoại trừ một hoặc một số điểm. Các tập hợp như vậy thường được chỉ định bởi các điều kiện như x≠5 hoặc x≠−1, x≠2, x≠3.7, v.v. Trong những trường hợp này, về mặt hình học, chúng biểu thị toàn bộ đường tọa độ, ngoại trừ các điểm tương ứng. Nói cách khác, những điểm này cần được “rút ra” khỏi đường tọa độ. Chúng được mô tả như những vòng tròn có tâm trống. Để rõ ràng, chúng ta hãy mô tả một tập hợp số tương ứng với các điều kiện (bộ này về cơ bản tồn tại):

Hãy tóm tắt. Lý tưởng nhất là thông tin từ các đoạn trước phải tạo thành cùng một chế độ xem về bản ghi và mô tả các tập hợp số như chế độ xem các khoảng số riêng lẻ: việc ghi một tập hợp số phải ngay lập tức đưa ra hình ảnh của nó trên đường tọa độ và từ hình ảnh trở đi. đường tọa độ, chúng ta sẵn sàng mô tả dễ dàng tập hợp số tương ứng thông qua việc kết hợp các khoảng riêng lẻ và các tập hợp gồm các số riêng lẻ.

Tài liệu tham khảo.

  • Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G.Đại số. lớp 9. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần thứ 13, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01752-3.

Các số được chia thành các lớp. Số nguyên dương - N = (1, 2, 3, ...) - tạo thành tập hợp số tự nhiên. Thông thường, 0 được coi là số tự nhiên.

Tập hợp số nguyên Z bao gồm tất cả các số tự nhiên, số 0 và tất cả các số tự nhiên lấy dấu trừ: Z = (0, 1, -1, 2, -2, ...).

Mỗi số hữu tỉ x có thể được biểu diễn dưới dạng một cặp số nguyên (m, n), trong đó m là tử số, n là mẫu số của số: x = m/n. Cách biểu diễn tương đương của một số hữu tỷ là biểu diễn nó dưới dạng số được viết bằng ký hiệu thập phân vị trí, trong đó phần phân số của số có thể là phân số tuần hoàn hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ: số x = 1/3 = 0,(3) được biểu diễn dưới dạng phân số tuần hoàn vô hạn.

Các số được xác định bởi các phân số vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỉ. Ví dụ, đây là tất cả các số có dạng vp, trong đó p là số nguyên tố. Những con số mà mọi người đều biết và e là số vô tỷ.

Sự kết hợp của các tập hợp số nguyên, số hữu tỷ và số vô tỷ tạo thành tập hợp số thực. Ảnh hình học của tập hợp số thực là một đường thẳng - trục thực, trong đó mỗi điểm trên trục tương ứng với một số thực nhất định, sao cho các số thực dày đặc và liên tục lấp đầy toàn bộ trục thực.

Mặt phẳng biểu thị hình ảnh hình học của một tập hợp số phức, trong đó giới thiệu hai trục - thực và ảo. Mỗi số phức, được xác định bởi một cặp số thực, được biểu diễn dưới dạng: x = a+b*i, trong đó a và b là các số thực, có thể coi là tọa độ Descartes của số trên mặt phẳng.

Số chia và số nhân

Bây giờ chúng ta hãy xem xét cách phân loại chia tập hợp số tự nhiên thành hai tập con - số nguyên tố và số tổng hợp. Sự phân loại này dựa trên khái niệm chia hết của số tự nhiên. Nếu n chia hết cho d thì ta nói d “chia” n và viết nó dưới dạng: . Lưu ý rằng định nghĩa này có thể không tương ứng với cách hiểu trực quan: d "chia" n nếu n chia hết cho d chứ không phải ngược lại. Số d được gọi là ước của n. Mỗi số n có hai ước số tầm thường - 1 và n. Các ước không phải là ước số tầm thường được gọi là thừa số của n. Một số n được gọi là số nguyên tố nếu nó không có ước nào khác ngoài ước số tầm thường. Các số nguyên tố chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Các số có thừa số gọi là hợp số. Số 1 là số đặc biệt vì nó không phải là số nguyên tố hay hợp số. Số âm cũng không thuộc về số nguyên tố hoặc số tổng hợp, nhưng bạn luôn có thể xem mô đun của một số và phân loại nó thành số nguyên tố hoặc số tổng hợp.

Bất kỳ hợp số N nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số của nó: . Cách biểu diễn này không phải là duy nhất, ví dụ 96 = 8*12 = 2*3*16. Tuy nhiên, đối với mỗi hợp số N có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích lũy thừa của các số nguyên tố: , ở đâu là số nguyên tố và . Biểu diễn này được gọi là phân tích số N thành thừa số nguyên tố. Ví dụ .

Nếu và , thì d là ước chung của hai số m và n. Trong số tất cả các ước chung, chúng ta có thể phân biệt ước số chung lớn nhất, ký hiệu là gcd(m,n). Nếu gcd(m,n) = 1 thì m và n được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Các số nguyên tố là số nguyên tố cùng nhau, vì vậy gcd(q,p) =1 nếu q và p là số nguyên tố.

Nếu và , thì A là bội số chung của m và n. Trong số tất cả các bội số chung, chúng ta có thể phân biệt bội số chung nhỏ nhất, ký hiệu là LCM(m,n). Nếu LCM(m,n) = m*n thì các số m và n là nguyên tố cùng nhau. LCM(q, p) =q*p nếu q và p là số nguyên tố.

Nếu chúng ta biểu thị tập hợp tất cả các thừa số nguyên tố của các số m và n bằng và thì

Nếu phân tách các số m và n thành thừa số nguyên tố thì bằng cách sử dụng các quan hệ đã cho, có thể dễ dàng tính được GCD(m,n) và LCM(m,n). Ngoài ra còn có các thuật toán hiệu quả hơn không yêu cầu phân tích một số.

Thuật toán Euclid

Một thuật toán hiệu quả để tính GCD(m,n) đã được Euclid đề xuất. Nó dựa trên các tính chất sau của GCD(m,n), việc chứng minh nó dành cho người đọc:

Nếu , thì theo tính chất thứ ba nó có thể giảm đi một giá trị n. Sau đó, nếu theo thuộc tính thứ hai, các đối số có thể được hoán đổi và quay lại trường hợp đã xem xét trước đó. Khi kết quả của những phép biến đổi này, các giá trị của các đối số trở nên bằng nhau thì giải pháp sẽ được tìm ra. Vì vậy, chúng tôi có thể đề xuất sơ đồ sau:

while(m != n) ( if(m< n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

Ở đây thủ tục trao đổi trao đổi giá trị của các đối số.

Nếu bạn suy nghĩ một chút, bạn sẽ thấy rõ rằng không cần thiết phải trao đổi các giá trị - chỉ cần thay đổi đối số có giá trị lớn nhất ở mỗi bước của vòng lặp là đủ. Kết quả là chúng ta đi đến sơ đồ:

while(m != n) ( if(m > n) m = m - n; else n = n - m; ) return(m);

Nếu suy nghĩ thêm một chút, bạn có thể cải thiện sơ đồ này bằng cách chuyển sang vòng lặp có điều kiện đúng giống hệt:

while(true) ( ​​if(m > n) m = m - n; else if (n > m) n = n - m; else return(m); )

Sơ đồ cuối cùng là tốt vì nó cho thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh sự hoàn thành của chu trình này. Không khó để chứng minh tính đầy đủ của vòng lặp bằng cách sử dụng khái niệm biến thể vòng lặp. Đối với vòng lặp này, một tùy chọn có thể là một hàm số nguyên - max(m,n) , hàm này giảm dần ở mỗi bước, luôn luôn dương.

Ưu điểm của phiên bản thuật toán Euclid này là ở mỗi bước, một thao tác cơ bản và nhanh chóng trên các số nguyên được sử dụng - phép trừ. Nếu bạn cho phép thực hiện thao tác tính số dư khi chia cho một số nguyên thì số bước vòng lặp có thể giảm đi đáng kể. Tính chất sau đây là đúng:

Điều này dẫn đến sơ đồ sau:

int tạm thời; if(n>m) tạm thời = m; m = n; n = nhiệt độ; //hoán đổi(m,n) while(m != n) ( temp = m; m = n; n = temp%n; )

Nếu bạn suy nghĩ một chút, bạn sẽ thấy rõ rằng không cần thiết phải thực hiện kiểm tra trước khi bắt đầu chu kỳ. Điều này dẫn tới một sơ đồ tính GCD đơn giản hơn, thường được sử dụng trong thực tế:

int tạm thời; while(m != n) ( temp = m; m = n; n = temp%n; )

Để tính LCM(m, n), bạn có thể sử dụng mối quan hệ sau:

Có thể tính LCM(m, n) mà không cần sử dụng các phép tính nhân và chia không? Hoá ra là bạn có thể đồng thời tính LCM(m,n) trong khi tính GCD(m,n). Đây là sơ đồ tương ứng:

int x = v = m, y = u = n,; while(x != y) ( if(x > y)( x = x - y; v = v + u;) else (y = y - x; u = u + v;) ) GCD = (x + y )/2; BCNN = (u+v)/2;

Bằng chứng cho thấy sơ đồ này tính toán chính xác GCD được rút ra từ các thuộc tính đã cho trước đó của GCD. Tính đúng đắn của phép tính LCM ít rõ ràng hơn. Để chứng minh điều này, hãy lưu ý rằng bất biến vòng lặp là biểu thức sau:

Mối quan hệ này được thỏa mãn sau khi các biến được khởi tạo trước khi vòng lặp bắt đầu thực thi. Vào cuối chu kỳ, khi x và y bằng gcd, tính đúng đắn của sơ đồ tuân theo tính đúng đắn của bất biến. Thật dễ dàng để xác minh rằng các câu lệnh trong thân vòng lặp có chứa câu lệnh đúng hay không. Chi tiết chứng minh xin dành cho độc giả.

Khái niệm GCD và LCM có thể được mở rộng bằng cách định nghĩa chúng cho mọi số nguyên. Các mối quan hệ sau đây là hợp lệ:

Thuật toán Euclide mở rộng

Đôi khi sẽ rất hữu ích khi biểu diễn gcd(m,n) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của m và n:

Đặc biệt, việc tính toán các hệ số a và b là cần thiết trong thuật toán RSA - mã hóa khóa công khai. Tôi sẽ đưa ra sơ đồ thuật toán cho phép bạn tính bộ ba - d, a, b - ước chung lớn nhất và hệ số khai triển. Thuật toán có thể được thực hiện thuận tiện như một thủ tục đệ quy

ExtendedEuclid(int m, int n, ref int d, ref int a, ref int b),

trong đó, cho các đối số đầu vào m và n, tính toán các giá trị của các đối số d, a, b. Nhánh không đệ quy của thủ tục này tương ứng với trường hợp n = 0, trả về các giá trị: d = m, a = 1, b = 0. Nhánh đệ quy gọi

Euclid mở rộng(n, m % n, ref d, ref a, ref b)

rồi sửa đổi giá trị kết quả của a và b như sau:

Không khó để xây dựng một bằng chứng về tính đúng đắn của thuật toán này. Đối với nhánh không đệ quy, tính đúng đắn là hiển nhiên, còn đối với nhánh đệ quy, dễ dàng chỉ ra rằng từ tính đúng đắn của kết quả được trả về bởi lệnh gọi đệ quy, có thể suy ra rằng nó đúng đối với các đối số đầu vào sau khi tính toán lại các giá trị ​của a và b.

Thủ tục này hoạt động như thế nào? Đầu tiên, quá trình giảm đệ quy xảy ra cho đến khi n trở thành 0.

Lúc này, giá trị của d và giá trị của tham số a, b sẽ được tính lần đầu tiên. Sau đó, quá trình tăng sẽ bắt đầu và các tham số a và b sẽ được tính toán lại.

Nhiệm vụ
  • 49. Cho m và n là các số tự nhiên. Tính gcd(m, n). Khi thực hiện tính toán, không sử dụng các phép tính nhân, chia.
  • 50. Cho m và n là các số tự nhiên. Tính LCM(m, n).
  • 51. Cho m và n là các số tự nhiên. Tính LCM(m, n). Khi thực hiện tính toán, không sử dụng các phép tính nhân, chia.
  • 52. Cho m và n là số nguyên. Tính gcd(m, n). Khi thực hiện tính toán, không sử dụng các phép tính nhân, chia.
  • 53. Cho m và n là số nguyên. Tính LCM(m, n). Khi thực hiện tính toán, không sử dụng các phép tính nhân, chia.
  • 54. Cho m và n là số nguyên. Tính gcd(m, n). Khi thực hiện các phép tính, hãy sử dụng thao tác lấy phần dư của phép chia cho một số nguyên.
  • 55. Cho m và n là số nguyên. Tính LCM(m, n). Khi thực hiện các phép tính, hãy sử dụng thao tác lấy phần dư của phép chia cho một số nguyên.
  • 56. Cho m và n là số nguyên. Tính bộ ba số - (d, a, b) bằng thuật toán Euclide mở rộng.
  • 57. Cho m và n là các số tự nhiên. Hãy coi GCD(m, n) là tổ hợp tuyến tính của m và n.
  • 58. Cho m và n là số nguyên. Hãy coi GCD(m, n) là tổ hợp tuyến tính của m và n.
  • 59. Cho m và n là số nguyên. Kiểm tra xem hai số m và n có nguyên tố cùng nhau không.
số nguyên tố

Trong số các số chẵn chỉ có một số nguyên tố - đây là số 2. Có bao nhiêu số nguyên tố lẻ tùy thích. Không khó để chứng minh một số gồm các số nguyên tố liên tiếp là số nguyên tố. Vì vậy, nếu các số nguyên tố đã được xây dựng thì chúng ta có thể xây dựng một số nguyên tố khác lớn hơn . Theo đó, tập hợp số nguyên tố là không giới hạn. Ví dụ: số N = 2*3*5*7 + 1 = 211 là số nguyên tố.

Sàng Eratosthenes

Làm thế nào để xác định N là số nguyên tố? Nếu phép toán N % m hợp lệ, cho kết quả dư khi chia N cho số m, thì thuật toán đơn giản nhất là kiểm tra xem phần dư có khác 0 khi chia N cho tất cả các số m nhỏ hơn N hay không. Một cải tiến rõ ràng của điều này Thuật toán là giảm phạm vi kiểm tra - chỉ cần xem xét các số m trong phạm vi là đủ.

Trở lại thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. Nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes đã đề xuất một thuật toán tìm số nguyên tố trong một phạm vi không yêu cầu phép chia. Thuật toán này được gọi là "Sàng Eratosthenes". Trong phiên bản máy tính, ý tưởng của thuật toán này có thể được mô tả như sau. Chúng ta hãy xây dựng một mảng Số, các phần tử chứa các số lẻ liên tiếp, bắt đầu bằng 3. Ban đầu, tất cả các số trong mảng này được coi là không bị gạch chéo. Hãy đặt số chưa được đánh chéo đầu tiên từ mảng này vào mảng SimpleNumbers - và đây sẽ là số nguyên tố lẻ đầu tiên (3). Sau đó chúng ta sẽ thực hiện sàng lọc, duyệt qua mảng Numbers với bước bằng với số nguyên tố tìm được, gạch bỏ tất cả các số xuất hiện trong lần vượt qua này. Ở lần vượt qua đầu tiên, số 3 và tất cả các số là bội số của 3 sẽ bị gạch bỏ ở lần vượt qua tiếp theo, số nguyên tố 5 tiếp theo sẽ được nhập vào bảng số nguyên tố và các số là bội số của 5 sẽ là. bị gạch bỏ khỏi mảng Số. Quá trình này được lặp lại cho đến khi tất cả các số trong mảng bị gạch bỏ. Kết quả là mảng SimpleNumbers sẽ chứa một bảng gồm các số nguyên tố đầu tiên nhỏ hơn N.

Thuật toán này rất tốt cho việc tìm các số nguyên tố tương đối nhỏ. Nhưng nếu bạn cần tìm một số nguyên tố có hai mươi chữ số có nghĩa thì bộ nhớ máy tính sẽ không còn đủ để lưu trữ các mảng tương ứng. Lưu ý rằng các thuật toán mã hóa hiện đại sử dụng số nguyên tố chứa vài trăm chữ số.

Mật độ Prime

Chúng tôi đã chỉ ra rằng số lượng số nguyên tố là không giới hạn. Rõ ràng là số đó ít hơn số lẻ, nhưng ít hơn bao nhiêu? Mật độ của số nguyên tố là gì? Gọi là hàm trả về số số nguyên tố nhỏ hơn n. Không thể chỉ định chính xác chức năng này, nhưng có một ước tính tốt cho nó. Định lý sau đây đúng:

Hàm tiệm cận tiến đến giới hạn của nó từ phía trên, do đó ước tính đưa ra các giá trị hơi bị đánh giá thấp. Ước tính này có thể được sử dụng trong thuật toán Sieve of Eratosthenes để chọn chiều của mảng SimpleNumbers khi cho trước chiều của mảng Numbers và ngược lại, với chiều của bảng số nguyên tố, người ta có thể chọn chiều thích hợp cho mảng Số.

Thuật toán dạng bảng để xác định số nguyên tố

Nếu bạn giữ một bảng gồm các số nguyên tố, SimpleNumbers, trong đó số nguyên tố lớn nhất là M, thì bạn có thể chỉ cần xác định xem số N nhỏ hơn có phải là số nguyên tố hay không. Nếu N nhỏ hơn M thì chỉ cần kiểm tra xem số N có trong bảng SimpleNumbers hay không là đủ. Nếu N lớn hơn M thì chỉ cần kiểm tra xem số N có chia hết cho các số trong bảng SimpleNumbers không vượt quá giá trị của vN hay không. Rõ ràng rằng nếu số N không có thừa số nguyên tố nào nhỏ hơn vN thì số N là số nguyên tố.

Việc sử dụng bảng số nguyên tố đòi hỏi phải có đủ bộ nhớ máy tính và do đó hạn chế khả năng của thuật toán, khiến thuật toán không thể được sử dụng để tìm các số nguyên tố lớn.

Thuật toán tầm thường

Nếu N là số lẻ thì bạn có thể kiểm tra xem nó có phải là số nguyên tố hay không dựa trên định nghĩa về số nguyên tố của một số. Trong trường hợp này, không cần bộ nhớ để lưu trữ các bảng số - nhưng, như mọi khi, thắng trong bộ nhớ, chúng ta thua về mặt thời gian. Thật vậy, chỉ cần kiểm tra xem số N có chia hết cho các số lẻ liên tiếp trong dãy hay không là đủ. Nếu số N có ít nhất một thừa số thì đó là hợp số, ngược lại là số nguyên tố.

Tất cả các thuật toán được thảo luận sẽ ngừng hoạt động hiệu quả khi các số vượt ra ngoài lưới bit của máy tính để biểu thị các số, vì vậy nếu cần phải làm việc với các số nguyên nằm ngoài phạm vi System.Int64, thì nhiệm vụ xác định tính nguyên tố của một số như vậy sẽ trở nên khó khăn hơn. đơn giản. Có một số công thức để xác định rằng một số là hợp số. Ít nhất chúng ta hãy nhớ lại các thuật toán được biết đến từ thời đi học. Nếu chữ số cuối cùng của một số chia hết cho 2 thì số đó chia hết cho 2. Nếu hai chữ số cuối của số đó chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4. Nếu tổng các chữ số chia hết cho 3 (cho 9) thì số đó chia hết cho 3 (cho 9). Nếu chữ số cuối cùng là 0 hoặc 5 thì số đó chia hết cho 5. Các nhà toán học đã tốn rất nhiều công sức để chứng minh rằng một số là (hoặc không phải) là số nguyên tố. Hiện nay có những kỹ thuật đặc biệt cho phép bạn chứng minh rằng các số thuộc một loại nhất định là số nguyên tố.

Nhiệm vụ

Các ứng cử viên phù hợp nhất cho số nguyên tố là các số có dạng , trong đó p là số nguyên tố. Ví dụ: một số có hơn 6000 chữ số đã được chứng minh là số nguyên tố nhưng không thể nói số nguyên tố nào là số lân cận gần nhất của số đó.

  • Dự án
  • 67. Xây dựng lớp “Nhiệt độ” cho phép bạn đặt nhiệt độ theo các đơn vị đo khác nhau. Xây dựng một dự án Windows hỗ trợ giao diện để làm việc với lớp.
  • 68. Xây dựng lớp “Khoảng cách” cho phép bạn sử dụng các hệ thống đo lường khác nhau. Xây dựng một dự án Windows hỗ trợ giao diện để làm việc với lớp.
  • 69. Xây dựng lớp "Số nguyên tố". Xây dựng một dự án Windows hỗ trợ giao diện để làm việc với lớp.
  • 70. Xây dựng lớp “Hệ thống số”. Xây dựng một máy tính Windows hỗ trợ tính toán trong một hệ thống số nhất định.
  • 71. Xây dựng lớp “Số hữu tỷ”. Xây dựng một máy tính Windows hỗ trợ tính toán với những con số này.

72. Xây dựng lớp “Số phức”. Xây dựng một máy tính Windows hỗ trợ tính toán với những con số này.

“Đạo hàm” đại số lớp 10” - Ứng dụng đạo hàm vào nghiên cứu hàm số. Đạo hàm bằng không. Tìm các điểm. Hãy tóm tắt thông tin. Tính chất đơn điệu của hàm số. Ứng dụng đạo hàm vào nghiên cứu hàm số. Khởi động lý thuyết. Hoàn thành các phát biểu. Chọn phát biểu đúng. Định lý. So sánh. Đạo hàm là dương. So sánh các công thức của các định lý. Chức năng tăng lên. Điều kiện đủ để đạt cực trị.

““Phương trình lượng giác” lớp 10” - ​​Các giá trị trong khoảng. X= tan x. Cung cấp rễ. Sự bình đẳng có đúng không? Hàng loạt rễ cây. Phương trình cot t = a. Sự định nghĩa. Cos 4x. Tìm nghiệm nguyên của phương trình. Phương trình tg t = a. Tội X. Biểu thức này có ý nghĩa không? Tội x =1. Đừng bao giờ làm những gì bạn không biết. Tiếp tục câu. Hãy lấy một mẫu rễ. Giải phương trình. Ctg x = 1. Phương trình lượng giác. Phương trình.

“Đại số “Đạo hàm” - Phương trình tiếp tuyến. Nguồn gốc của các thuật ngữ. Giải quyết vấn đề. Phái sinh. Điểm vật chất. Các công thức phân biệt. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm. Tiêu chí đánh giá. Hàm đạo hàm. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số. Định nghĩa đạo hàm. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Thuật toán tìm đạo hàm. Ví dụ về tìm đạo hàm. Cấu trúc của đề tài nghiên cứu. Điểm chuyển động theo đường thẳng.

“Đường đi ngắn nhất” - Đường đi trong đồ thị. Một ví dụ về hai biểu đồ khác nhau. Đồ thị có hướng. Ví dụ về đồ thị có hướng. Khả năng tiếp cận. Đường đi ngắn nhất từ ​​đỉnh A đến đỉnh D. Mô tả thuật toán. Ưu điểm của danh sách phân cấp. Đồ thị có trọng số. Đường dẫn trong biểu đồ. chương trình ProGraph. Các đỉnh và cạnh liền kề. Bằng cấp cao nhất. Ma trận kề. Độ dài đường dẫn trong biểu đồ có trọng số. Ví dụ về ma trận kề. Tìm đường đi ngắn nhất.

"Lịch sử lượng giác" - Jacob Bernoulli. Kỹ thuật thao tác với hàm lượng giác. Lý thuyết đo khối đa diện. Leonard Euler. Sự phát triển của lượng giác từ thế kỷ 16 đến nay. Học sinh phải đáp ứng lượng giác ba lần. Cho đến nay lượng giác đã được hình thành và phát triển. Xây dựng hệ thống tổng quát các kiến ​​thức lượng giác và các kiến ​​thức liên quan. Thời gian trôi qua, lượng giác trở lại với học sinh.

Hình 3 Sơ đồ tổ chức

Việc thêm sơ đồ tổ chức được thực hiện bằng nút Thêm sơ đồ hoặc sơ đồ tổ chức, thử nghiệm ban đầu được thay thế trong các khối của nó, sau đó toàn bộ đối tượng được nén theo chiều dọc.

1.1 chương trình WordArt

Chương trình được thiết kế để nhập các dòng chữ nghệ thuật vào tài liệu, chỉnh sửa, đặt chúng vào văn bản, v.v.

Việc chèn một đối tượng được thực hiện như sau:

    nhấp chuột trái vào một phím Thêm đối tượngTừNghệ thuật, chọn kiểu chữ, nhấn phím ĐƯỢC RỒI;

    trong cửa sổ xuất hiện Thay đổi văn bảnnghệ thuật từđặt loại phông chữ, kích thước và kiểu chữ (đậm, nghiêng), nhập văn bản và nhấn phím ĐƯỢC RỒI.

    một bảng điều khiển sẽ xuất hiện nghệ thuật từ, có dạng (Hình 4):

Hình 4 Thanh công cụ nghệ thuật từ

Bảng điều khiển chứa các nút: Thêm đối tượngnghệ thuật từ,Thay đổi văn bản..., Bộ sưu tậpnghệ thuật từ,Định dạng đối tượngnghệ thuật từ(màu sắc và đường nét, kích thước, vị trí trên màn hình, bao bì, hình vẽ, dòng chữ), Menu văn bản-Hình dạng(các dạng chữ khắc) , Văn bản dọc vân vân.

Kích thước văn bản có thể được thay đổi bằng cách sử dụng các vòng tròn màu trắng của đường viền lựa chọn. Việc di chuyển văn bản được thực hiện bằng chuột và bạn cần lấy văn bản ở giữa hoặc đường viền chọn. Việc quay đối tượng được thực hiện bằng các vòng tròn màu xanh lá cây, độ nghiêng của dòng chữ là

sử dụng kim cương màu vàng. Màu sắc và các thông số khác của đối tượng được thay đổi bằng nút Định dạng đối tượngnghệ thuật từ hoặc từ bảng điều khiển chính Vẽ, mà bạn có thể thiết lập thêm các hiệu ứng đổ bóng và thể tích .

Ví dụ: tên của tờ báo "Znamya" sau khi nhập và tùy chỉnh bằng chương trình WordArt có thể trông như thế này (Hình 5):

Ví dụ 3

Hình 5 Dòng chữ "Biểu ngữ"

2 Thiết kế quảng cáo trên tường

Khi phát triển nó, chúng tôi sử dụng trường văn bản,được tạo bằng cách sử dụng một nút Dòng chữ. Dòng chữ là một khung, một “bản vá” được đặt chồng lên tài liệu và có thể chứa bất kỳ dữ liệu nào - văn bản, bảng biểu, hình ảnh và các đối tượng khác. Một quảng cáo như vậy thường bao gồm một hình ảnh, nội dung quảng cáo, tên của tổ chức và các tờ “số điện thoại được xé ra”. Tất cả các yếu tố quảng cáo được nhập vào trường văn bản số 1-số 5:

Ví dụ 4: Chuỗi hành động (có thể) khi tạo quảng cáo trên tường bằng trường văn bản:

    Sử dụng nút dòng chữ thanh công cụ Vẽ tạo trường văn bản số 1 phù hợp với kích thước của quảng cáo.

    Trên thực đơn Định dạng chọn mục Đường viền và bóng và tạo khung xung quanh trường văn bản số 1 - đây là các ranh giới chiều của quảng cáo.

    Khung có thể là đôi, đậm, chấm, v.v.

Ở góc trên bên trái của trường số 1, tạo trường số 2 (không có viền), trong

    sẽ chứa tên của tổ chức.

    Trên màn hình sẽ xuất hiện cửa sổ WordArt, bạn chọn đoạn văn bản nổi lên, nhấn OK. Trong trường nhập Văn bản, nhập tên tổ chức "sinh viên". Đặt kiểu chữ là Arial, cỡ 18, kiểu chữ đậm, nghiêng, nhấn OK. Tên của tổ chức sẽ xuất hiện ở trường văn bản số 2, được uốn cong theo hình vòng cung; kéo dài theo chiều dọc.

    Tạo trường văn bản số 3, kích thước của trường này vừa với vòng cung của từ “sinh viên”. Đặt bản vẽ bên trong văn bản hình vòm. Để làm điều này trong menu chọn mục Chèn Vẽ\Hình ảnh , trong hộp thoại mở ra, chọn hình ảnh thích hợp trong danh sách tệp và nhấp vào nútĐƯỢC RỒI

    .

    Hình ảnh được chèn được bao quanh bởi một khung có các ô vuông màu trắng. Nếu hình ảnh không khớp với kích thước của trường số 3 thì có thể giảm bớt bằng cách di chuyển các ô vuông này bằng chuột và hình ảnh sẽ bị cắt.

    Để làm cho nó nhỏ hơn theo tỷ lệ, bạn cần dùng chuột nhấp vào ảnh, một khung có các ô vuông màu đen sẽ xuất hiện, bạn có thể điều chỉnh kích thước của ảnh mà không cần cắt xén. Tạo trường văn bản số 4 và nhập văn bản quảng cáo “Tóm tắt, khóa học, luận văn: IN, THIẾT KẾ”. Chọn và định dạng văn bản theo cỡ trường số 4, phông chữ Arial Narrow, cỡ chữ 16, in đậm, định vị theo chiều rộng, màu đỏ sẫm, xanh đậm và tự động cấp nguồn (đen). Tạo trường văn bản số 5 trong dòng nơi đặt chiếc điện thoại có thể tháo rời đầu tiên ở bên trái. Thêm đối tượng WordArt có hiệu ứng văn bản dọc và nhập số điện thoại. Sao chép trường văn bản số 5 bằng số điện thoại bằng chuột đồng thời nhấn phím Ctrl nhiều lần sao cho vừa với chiều rộng của trường văn bản số 1. Bạn có thể sử dụng clipboard, tức là. chọn một đối tượng, sao chép nó vào clipboard bằng lệnh Chỉnh sửa\Sao chép hoặc nút Chọn và định dạng văn bản theo cỡ trường số 4, phông chữ Arial Narrow, cỡ chữ 16, in đậm, định vị theo chiều rộng, màu đỏ sẫm, xanh đậm và tự động cấp nguồn (đen). Sao chép trên bảng điều khiển

    Tiêu chuẩn

, sau đó đặt con trỏ vào điểm chèn và thực hiện lệnh Chỉnh sửa\Dán Chèn

, nhưng khi dán, các bản sao sẽ chồng lên nhau và sẽ phải di chuyển thêm vào một hàng theo cách thủ công. Vẽ Nhóm tất cả các đối tượng để sau này sử dụng chúng như một đối tượng duy nhất, chẳng hạn như khi sao chép. Nếu điều này không được thực hiện thì mỗi đối tượng (hình ảnh, phím tắt điện thoại, tên...) sẽ được sao chép riêng biệt. Việc nhóm các đối tượng có thể được thực hiện theo hai cách: Trong khi giữ phím. Một khung chung sẽ xuất hiện xung quanh các đối tượng (chúng sẽ trở thành một đối tượng duy nhất);

Nhấn nút Chọn đối tượng Sao chép trường văn bản số 5 bằng số điện thoại bằng chuột đồng thời nhấn phím Ctrl nhiều lần sao cho vừa với chiều rộng của trường văn bản số 1. Bạn có thể sử dụng clipboard, tức là. Vẽ và kéo lưới xung quanh tất cả các đối tượng quảng cáo, tất cả chúng sẽ được đánh dấu cùng lúc và nhấn nút Nhóm. Nếu cần thiết, các đối tượng có thể được tách nhóm bằng nút Tách nhóm.

    Chuột có chìa khóa Điều khiển hoặc thông qua bảng ghi tạm, như được chỉ ra trong đoạn 9.

Bây giờ trang quảng cáo có thể được in và cắt thành

Một tờ giấy khổ A4 có thể chứa được 8 quảng cáo cỡ này.

    Lưu thông báo trên tường kết quả (Hình 6) vào đĩa mềm bằng lệnh Tệp\Lưu dưới dạng... .

Cần lưu ý rằng các trường hình ảnh và văn bản có thể được xếp chồng lên nhau thành nhiều lớp theo các trình tự khác nhau và cũng có thể được đặt phía trên hoặc phía sau cấp chính - văn bản. Với mục đích này, 6 lệnh thanh công cụ được sử dụng Bản vẽ\Thứ tự.

VỀ Các đối tượng được tạo trong WordArt có thể được chỉnh sửa sau này. Để thực hiện việc này, chỉ cần nhấp vào đối tượng, menu WordArt sẽ mở ra và thay đổi hiệu ứng văn bản, phông chữ, v.v. trong đó.

Để chèn một đối tượng vào văn bản, bạn cần chọn đối tượng đó và trong menu Định dạng, đội Đường viền và bóng, trong cửa sổ Định dạng đối tượng

trong tab Chức vụ chọn

gói văn bản cần thiết.

Hình 6 Thông báo trên tường

f Định dạng đối tượng và điền xung quanh khung? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cho hình. 6 dòng chảy "dọc theo đường viền" được thực hiện.

Chuỗi hành động được cân nhắc khi tạo quảng cáo trên tường không phải là chuỗi hành động duy nhất và tối ưu. Tuy nhiên, nó cho phép bạn tích lũy kinh nghiệm sử dụng chương trình WordArt

Số tự nhiên

Các số dùng để đếm gọi là số tự nhiên. Ví dụ: $1,2,3$, v.v. Các số tự nhiên tạo thành tập hợp các số tự nhiên, được ký hiệu là $N$. Ký hiệu này xuất phát từ tiếng Latin. tự nhiên- tự nhiên.

số đối diện

Định nghĩa 1

Nếu hai số chỉ khác nhau về dấu thì chúng được gọi trong toán học số trái ngược nhau.

Ví dụ: các số $5$ và $-5$ là các số đối nhau, bởi vì Chúng chỉ khác nhau về dấu hiệu.

Lưu ý 1

Đối với bất kỳ số nào cũng có một số đối diện và chỉ một.

Lưu ý 2

Số 0 là số đối diện với chính nó.

số nguyên

Định nghĩa 2

Trọn các số là các số tự nhiên, các số đối của chúng và bằng 0.

Tập hợp các số nguyên bao gồm tập hợp các số tự nhiên và các số đối của chúng.

Biểu thị số nguyên $Z.$

số phân số

Các số có dạng $\frac(m)(n)$ được gọi là phân số hoặc số phân số. Số phân số cũng có thể được viết ở dạng thập phân, tức là dưới dạng phân số thập phân.

Ví dụ: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$, v.v.

Cũng giống như số nguyên, số phân số có thể dương hoặc âm.

số hữu tỉ

Định nghĩa 3

số hữu tỉ là một tập hợp các số chứa một tập hợp các số nguyên và phân số.

Bất kỳ số hữu tỷ nào, cả số nguyên và phân số, đều có thể được biểu diễn dưới dạng phân số $\frac(a)(b)$, trong đó $a$ là số nguyên và $b$ là số tự nhiên.

Vì vậy, cùng một số hữu tỉ có thể được viết theo nhiều cách khác nhau.

Ví dụ,

Điều này cho thấy rằng bất kỳ số hữu tỷ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân hữu hạn hoặc phân số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Tập hợp các số hữu tỷ được ký hiệu là $Q$.

Do thực hiện bất kỳ phép tính số học nào trên các số hữu tỷ, câu trả lời thu được sẽ là một số hữu tỷ. Điều này rất dễ chứng minh, vì khi cộng, trừ, nhân và chia các phân số thông thường, bạn sẽ thu được một phân số thường.

số vô tỷ

Khi học một môn toán, bạn thường phải giải quyết những con số không hợp lý.

Ví dụ: để xác minh sự tồn tại của một tập hợp số không phải là số hữu tỷ, hãy giải phương trình $x^2=6$. Gốc của phương trình này sẽ là các số $\surd 6$ và -$\surd 6$. . Những con số này sẽ không hợp lý.

Ngoài ra, khi tìm đường chéo của hình vuông có cạnh $3$, chúng ta áp dụng định lý Pythagore và thấy rằng đường chéo sẽ bằng $\surd 18$. Con số này cũng không hợp lý.

Những con số như vậy được gọi là phi lý.

Vì vậy, số vô tỉ là một phân số thập phân không tuần hoàn vô hạn.

Một trong những số vô tỷ thường gặp là số $\pi $

Khi thực hiện các phép tính số học với số vô tỷ, kết quả thu được có thể là số hữu tỷ hoặc số vô tỷ.

Hãy chứng minh điều này bằng ví dụ tìm tích của các số vô tỉ. Hãy tìm:

    $\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

    $\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Theo quyết định

    $\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

    $\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Ví dụ này cho thấy kết quả có thể là số hữu tỷ hoặc số vô tỷ.

Nếu số hữu tỷ và số vô tỷ tham gia vào các phép tính số học cùng một lúc, thì kết quả sẽ là một số vô tỷ (tất nhiên ngoại trừ phép nhân với $0$).

Số thực

Tập hợp số thực là tập hợp chứa tập hợp các số hữu tỷ và vô tỷ.

Tập hợp số thực được ký hiệu là $R$. Một cách tượng trưng, ​​​​tập hợp số thực có thể được ký hiệu là $(-?;+?).$

Chúng ta đã nói trước đó rằng số vô tỷ là một phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn và bất kỳ số hữu tỷ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân hữu hạn hoặc phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, do đó mọi phân số thập phân hữu hạn và vô hạn sẽ là số thực.

Khi thực hiện các phép tính đại số, các quy tắc sau sẽ được tuân theo:

  1. Khi nhân và chia số dương thì kết quả là số dương
  2. Khi nhân và chia số âm, kết quả sẽ là số dương
  3. Khi nhân, chia số âm và số dương sẽ ra số âm

Các số thực cũng có thể so sánh được với nhau.