Nó dựa trên tính chất chính của chúng: nếu tử số và mẫu số của một phân số được chia cho cùng một đa thức khác 0 thì sẽ thu được một phân số bằng nhau.
Bạn chỉ có thể giảm số nhân!
Các thành viên của đa thức không thể viết tắt được!
Để rút gọn một phân số đại số, trước tiên các đa thức ở tử số và mẫu số phải được phân tích thành nhân tử.
Hãy xem xét các ví dụ về việc giảm phân số.
Tử số và mẫu số của phân số đều chứa các đơn thức. Họ đại diện công việc(số, biến và lũy thừa của chúng), phép nhân chúng ta có thể giảm bớt.
Chúng ta rút gọn các số theo ước chung lớn nhất của chúng, tức là bằng số lớn nhất mà mỗi số này được chia. Đối với 24 và 36, đây là 12. Sau khi giảm, 2 vẫn là 24 và 3 là 36.
Chúng tôi giảm độ theo mức độ có chỉ số thấp nhất. Rút gọn một phân số có nghĩa là chia tử số và mẫu số cho cùng một ước số rồi trừ các số mũ.
a² và a⁷ được giảm thành a². Trong trường hợp này, một vẫn ở tử số của a² (ta chỉ viết 1 trong trường hợp sau khi rút gọn không còn thừa số nào khác. Từ 24 còn lại 2 nên ta không viết a còn lại 1). Từ a⁷ sau khi giảm còn lại a⁵.
b và b được giảm đi b; đơn vị thu được không được viết.
c³º và c⁵ được rút ngắn thành c⁵. Từ c³º những gì còn lại là c²⁵, từ c⁵ là một (chúng tôi không viết nó). Như vậy,
Tử số và mẫu số của phân số đại số này là đa thức. Bạn không thể hủy bỏ các số hạng của đa thức! (bạn không thể giảm, ví dụ: 8x² và 2x!). Để giảm phần này, bạn cần . Tử số có ước chung là 4x. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:
Cả tử số và mẫu số đều có cùng thừa số (2x-3). Chúng tôi giảm phân số theo hệ số này. Ở tử số ta có 4x, ở mẫu số - 1. Theo 1 tính chất của phân số đại số, phân số này bằng 4x.
Bạn chỉ có thể giảm các thừa số (bạn không thể giảm phân số này xuống 25x²!). Vì vậy, các đa thức ở tử số và mẫu số của phân số phải được phân tích thành nhân tử.
Tử số là bình phương đầy đủ của tổng, mẫu số là hiệu của các bình phương. Sau khi phân tách bằng các công thức nhân rút gọn, chúng ta thu được:
Chúng ta giảm phân số xuống (5x+1) (để làm điều này, gạch bỏ hai số trong tử số dưới dạng số mũ, để lại (5x+1)² (5x+1)):
Tử số có ước chung là 2, hãy bỏ nó ra khỏi ngoặc. Mẫu số là công thức tính hiệu của các lập phương:
Do việc khai triển, tử số và mẫu số nhận được cùng một thừa số (9+3a+a2). Chúng tôi giảm phân số bằng nó:
Đa thức ở tử số gồm 4 số hạng. số hạng đầu tiên với số hạng thứ hai, số hạng thứ ba với số hạng thứ tư và loại bỏ hệ số chung x2 khỏi dấu ngoặc đơn đầu tiên. Chúng ta phân tách mẫu số bằng công thức tổng lập phương:
Trong tử số, hãy lấy hệ số chung (x+2) ra khỏi ngoặc:
Giảm phân số bằng (x+2):
Để hiểu cách rút gọn phân số, trước tiên chúng ta hãy xem một ví dụ.
Rút gọn một phân số có nghĩa là chia cả tử số và mẫu số cho cùng một thứ. Cả 360 và 420 đều kết thúc bằng một chữ số, vì vậy chúng ta có thể giảm phân số này đi 2. Trong phân số mới, cả 180 và 210 đều chia hết cho 2, vì vậy chúng ta giảm phân số này đi 2. Trong các số 90 và 105, tổng trong các chữ số chia hết cho 3 nên cả hai số này đều chia hết cho 3, ta rút gọn phân số đó đi 3. Trong phân số mới, 30 và 35 có tận cùng là 0 và 5, nghĩa là cả hai số đều chia hết cho 5 nên ta rút gọn phân số đó bằng 5. Phân số thu được của sáu phần bảy là không thể rút gọn được. Đây là câu trả lời cuối cùng.
Chúng ta có thể đi đến cùng một câu trả lời theo một cách khác.
Cả 360 và 420 đều có tận cùng bằng 0, nghĩa là chúng chia hết cho 10. Chúng ta giảm phân số đó đi 10. Trong phân số mới, cả tử số 36 và mẫu số 42 đều chia cho 2. Chúng ta giảm phân số đó đi 2. Trong phân số mới phân số tiếp theo, cả tử số 18 và mẫu số 21 đều được chia cho 3, nghĩa là chúng ta giảm phân số đó đi 3. Chúng ta đã có kết quả - sáu phần bảy.
Và một giải pháp nữa.
Lần tới chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về việc rút gọn phân số.
Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét chi tiết cách phân số giảm. Đầu tiên, chúng ta hãy thảo luận về cái được gọi là rút gọn một phân số. Sau đó, chúng ta hãy nói về việc khử một phân số có thể rút gọn thành dạng tối giản. Tiếp theo, chúng ta sẽ thu được quy tắc rút gọn phân số và cuối cùng, xem xét các ví dụ về việc áp dụng quy tắc này.
Điều hướng trang.
Việc giảm một phần có nghĩa là gì?
Chúng ta biết rằng các phân số thông thường được chia thành các phân số có thể rút gọn và không thể rút gọn. Từ tên bạn có thể đoán rằng phân số tối giản có thể rút gọn được, nhưng phân số tối giản thì không.
Việc giảm một phần có nghĩa là gì? Giảm một phần- điều này có nghĩa là chia tử số và mẫu số của nó cho số dương và khác với đơn vị của chúng. Rõ ràng là do rút gọn một phân số, ta thu được một phân số mới có tử số và mẫu số nhỏ hơn, và do tính chất cơ bản của phân số nên phân số thu được bằng phân số ban đầu.
Ví dụ: hãy rút gọn phân số chung 8/24 bằng cách chia tử số và mẫu số của nó cho 2. Nói cách khác, hãy giảm phân số 8/24 xuống 2. Vì 8:2=4 và 24:2=12 nên phép rút gọn này tạo ra phân số 4/12, bằng phân số ban đầu 8/24 (xem phân số bằng nhau và không bằng nhau). Kết quả là chúng ta có .
Rút gọn các phân số thông thường về dạng tối giản
Thông thường, mục tiêu cuối cùng của việc rút gọn một phân số là thu được một phân số tối giản bằng với phân số tối giản ban đầu. Mục tiêu này có thể đạt được bằng cách giảm phân số tối giản ban đầu bằng tử số và mẫu số của nó. Kết quả của việc giảm như vậy luôn thu được một phần không thể giảm được. Thật vậy, một phần 
là không thể rút gọn được, vì đã biết rằng 
Và 
- . Ở đây chúng ta sẽ nói rằng ước số chung lớn nhất của tử số và mẫu số của một phân số là số lớn nhất mà phân số này có thể rút gọn được.
Vì thế, rút gọn một phân số chung về dạng tối giản bao gồm việc chia tử số và mẫu số của phân số tối giản ban đầu cho gcd của chúng.
Hãy xem một ví dụ, trong đó chúng ta quay lại phân số 8/24 và rút gọn nó bằng ước số chung lớn nhất của các số 8 và 24, bằng 8. Vì 8:8=1 và 24:8=3 nên chúng ta có phân số tối giản 1/3. Vì thế, .
Lưu ý rằng cụm từ “rút gọn một phân số” thường có nghĩa là rút gọn phân số ban đầu về dạng tối giản của nó. Nói cách khác, việc rút gọn một phân số thường có nghĩa là chia tử số và mẫu số cho ước số chung lớn nhất của chúng (chứ không phải chia cho bất kỳ ước số chung nào).
Làm thế nào để giảm một phần? Quy tắc và ví dụ về việc giảm phân số
Tất cả những gì còn lại là xem xét quy tắc rút gọn phân số, giải thích cách rút gọn một phân số đã cho.
Quy tắc rút gọn phân số gồm có hai bước:
- đầu tiên tìm gcd của tử số và mẫu số của phân số;
- thứ hai, tử số và mẫu số của phân số được chia cho gcd của chúng, để được một phân số tối giản bằng phân số ban đầu.
Hãy sắp xếp nó ra ví dụ về giảm một phần theo đúng quy định đã nêu.
Ví dụ.
Giảm phân số 182/195.
Giải pháp.
Chúng ta hãy thực hiện cả hai bước theo quy tắc rút gọn một phân số.
Đầu tiên chúng ta tìm GCD(182, 195) . Thuận tiện nhất là sử dụng thuật toán Euclid (xem): 195=182·1+13, 182=13·14, tức là GCD(182, 195)=13.
Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số 182/195 cho 13 và chúng ta thu được phân số tối giản 14/15, bằng với phân số ban đầu. Điều này hoàn thành việc giảm phân số.
Tóm lại, lời giải có thể được viết như sau: .
Trả lời:
Đây là nơi chúng ta có thể hoàn thành việc giảm phân số. Nhưng để hoàn thiện bức tranh, chúng ta hãy xem xét thêm hai cách rút gọn phân số, thường được sử dụng trong những trường hợp dễ.
Đôi khi việc tử số và mẫu số của phân số bị rút gọn không hề khó khăn. Việc rút gọn một phân số trong trường hợp này rất đơn giản: bạn chỉ cần loại bỏ tất cả các thừa số chung khỏi tử số và mẫu số.
Điều đáng chú ý là phương pháp này tuân theo trực tiếp quy tắc rút gọn phân số, vì tích của tất cả các thừa số nguyên tố chung của tử số và mẫu số bằng ước số chung lớn nhất của chúng.
Hãy xem giải pháp cho ví dụ.
Ví dụ.
Giảm phân số 360/2 940.
Giải pháp.
Hãy phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số đơn giản: 360=2·2·2·3·3·5 và 2,940=2·2·3·5·7·7. Như vậy, 
.
Bây giờ chúng ta loại bỏ các thừa số chung trong tử số và mẫu số; để thuận tiện, chúng ta chỉ cần gạch bỏ chúng: 
.
Cuối cùng, chúng ta nhân các thừa số còn lại: , và quá trình khử phân số đã hoàn tất.
Dưới đây là một bản tóm tắt ngắn gọn về giải pháp: 
.
Trả lời:
Chúng ta hãy xem xét một cách khác để giảm một phân số, bao gồm việc rút gọn tuần tự. Ở đây, ở mỗi bước, phân số được rút gọn bởi một ước chung nào đó của tử số và mẫu số, điều này hiển nhiên hoặc dễ dàng xác định bằng cách sử dụng