Các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân số.
Tính chất giao hoán của phép cộng: việc sắp xếp lại các số hạng không làm thay đổi giá trị của tổng. Với mọi số a và b đẳng thức đều đúng
Tính chất tổ hợp của phép cộng: Để cộng số thứ ba vào tổng của hai số, ta cộng tổng của số thứ hai và số thứ ba với số thứ nhất. Với mọi số a, b, c đẳng thức đều đúng
Tính chất giao hoán của phép nhân: việc sắp xếp lại các thừa số không làm thay đổi giá trị của tích. Với mọi số a, b, c đẳng thức đều đúng
Tính chất tổ hợp của phép nhân: Để nhân tích của hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba.
Với mọi số a, b, c đẳng thức đều đúng
Thuộc tính phân phối: Để nhân một số với một tổng, bạn có thể nhân số đó với mỗi số hạng rồi cộng kết quả lại. Với mọi số a, b, c đẳng thức đều đúng
Từ các tính chất giao hoán và tổ hợp của phép cộng, ta suy ra: với bất kỳ tổng nào, bạn có thể sắp xếp lại các số hạng theo bất kỳ cách nào bạn muốn và tùy ý kết hợp chúng thành các nhóm.
Ví dụ 1 Hãy tính tổng 1,23+13,5+4,27.
Để làm điều này, thật thuận tiện khi kết hợp thuật ngữ đầu tiên với thuật ngữ thứ ba. Chúng tôi nhận được:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Từ các tính chất giao hoán và tổ hợp của phép nhân, người ta suy ra: trong bất kỳ tích nào, bạn có thể sắp xếp lại các thừa số theo bất kỳ cách nào và kết hợp chúng thành các nhóm một cách tùy ý.
Ví dụ 2 Tìm giá trị của tích 1,8·0,25·64·0,5.
Kết hợp thừa số thứ nhất với thừa số thứ tư và thừa số thứ hai với thừa số thứ ba, ta có:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Tính chất phân phối cũng đúng khi một số được nhân với tổng của ba số hạng trở lên.
Ví dụ: với mọi số a, b, c và d đẳng thức đều đúng
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Chúng ta biết rằng phép trừ có thể được thay thế bằng phép cộng bằng cách cộng vào số trừ số đối diện của số bị trừ:
Điều này cho phép biểu thức số gõ a-bđược coi là tổng của các số a và -b, biểu thức số có dạng a+b-c-d được coi là tổng của các số a, b, -c, -d, v.v. Các thuộc tính được xem xét của hành động cũng có giá trị đối với các tổng như vậy.
Ví dụ 3 Hãy tìm giá trị của biểu thức 3,27-6,5-2,5+1,73.
Biểu thức này là tổng của các số 3,27, -6,5, -2,5 và 1,73. Áp dụng tính chất của phép cộng, ta có: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
Ví dụ 4 Hãy tính tích 36·().
Số nhân có thể được coi là tổng của các số và -. Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân, chúng ta có được:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Danh tính
Sự định nghĩa. Hai biểu thức có giá trị tương ứng bằng nhau đối với bất kỳ giá trị nào của biến được gọi là bằng nhau.
Sự định nghĩa. Một đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào của biến được gọi là danh tính.
Hãy tìm giá trị của các biểu thức 3(x+y) và 3x+3y cho x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Chúng tôi đã nhận được kết quả tương tự. Từ thuộc tính phân phối nói chung, đối với bất kỳ giá trị nào của biến, các giá trị tương ứng của biểu thức 3(x+y) và 3x+3y đều bằng nhau.
Bây giờ chúng ta xét các biểu thức 2x+y và 2xy. Khi x=1, y=2 chúng nhận các giá trị bằng nhau:
Tuy nhiên, bạn có thể chỉ định giá trị của x và y sao cho giá trị của các biểu thức này không bằng nhau. Ví dụ: nếu x=3, y=4 thì
Các biểu thức 3(x+y) và 3x+3y giống hệt nhau, nhưng các biểu thức 2x+y và 2xy không giống nhau.
Đẳng thức 3(x+y)=x+3y, đúng với mọi giá trị của x và y, là một đẳng thức.
Đẳng thức số thực cũng được coi là đồng nhất thức.
Vì vậy, danh tính là các đẳng thức thể hiện các tính chất cơ bản của các phép toán trên số:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Các ví dụ khác về danh tính có thể được đưa ra:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức
Việc thay thế một biểu thức bằng một biểu thức khác giống hệt nhau được gọi là phép biến đổi giống hệt hoặc đơn giản là phép biến đổi của một biểu thức.
Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức có biến được thực hiện dựa trên tính chất của các phép toán trên số.
Để tìm giá trị của biểu thức xy-xz khi giá trị đã cho x, y, z, bạn cần thực hiện ba hành động. Ví dụ: với x=2,3, y=0,8, z=0,2 ta có:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Bạn có thể nhận được kết quả này bằng cách chỉ thực hiện hai bước, nếu bạn sử dụng biểu thức x(y-z), biểu thức này giống hệt với biểu thức xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Chúng tôi đã đơn giản hóa việc tính toán bằng cách thay thế biểu thức xy-xz giống hệt nhau biểu thức bình đẳng x(y-z).
Các phép biến đổi giống hệt nhau của biểu thức được sử dụng rộng rãi trong việc tính giá trị của biểu thức và giải các bài toán khác. Một số chuyển đổi danh tính Ví dụ, tôi đã phải thực hiện việc rút gọn các thuật ngữ tương tự và mở rộng dấu ngoặc đơn. Chúng ta hãy nhớ lại các quy tắc để thực hiện các phép biến đổi này:
dẫn đầu điều khoản tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và nhân kết quả với phần chữ cái chung;
nếu có dấu cộng trước dấu ngoặc thì có thể bỏ dấu ngoặc, giữ nguyên dấu của từng số hạng đặt trong ngoặc;
Nếu có dấu trừ trước dấu ngoặc đơn thì có thể bỏ dấu ngoặc đơn bằng cách đổi dấu của mỗi số hạng đặt trong ngoặc đơn.
Ví dụ 1 Hãy trình bày các số hạng tương tự trong tổng 5x+2x-3x.
Hãy sử dụng quy tắc để giảm các số hạng tương tự:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Phép biến đổi này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân.
Ví dụ 2 Hãy mở dấu ngoặc trong biểu thức 2a+(b-3c).
Sử dụng quy tắc mở ngoặc trước dấu cộng:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Phép biến đổi được thực hiện dựa trên tính chất tổ hợp của phép cộng.
Ví dụ 3 Hãy mở dấu ngoặc trong biểu thức a-(4b-c).
Hãy sử dụng quy tắc mở dấu ngoặc đơn trước dấu trừ:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Phép biến đổi được thực hiện dựa trên tính chất phân phối của phép nhân và tính chất tổ hợp của phép cộng. Hãy thể hiện nó. Hãy tưởng tượng trong biểu hiện này số hạng thứ hai -(4b-c) ở dạng tích (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Bằng cách áp dụng thuộc tính được chỉ định hành động, chúng tôi nhận được:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Các số và biểu thức tạo nên biểu thức ban đầu có thể được thay thế bằng các biểu thức giống hệt nhau. Sự biến đổi của biểu thức ban đầu như vậy dẫn đến một biểu thức giống hệt với nó.
Ví dụ: trong biểu thức 3+x, số 3 có thể được thay thế bằng tổng 1+2, kết quả là biểu thức (1+2)+x, giống hệt với biểu thức ban đầu. Một ví dụ khác: trong biểu thức 1+a 5, lũy thừa của a 5 có thể được thay thế bằng tích tương đương, chẳng hạn như có dạng a·a 4. Điều này sẽ cho chúng ta biểu thức 1+a·a 4 .
Sự chuyển đổi này chắc chắn là nhân tạo và thường là sự chuẩn bị cho một số chuyển đổi tiếp theo. Ví dụ, trong tổng 4 x 3 +2 x 2, có tính đến các tính chất của bậc, số hạng 4 x 3 có thể được biểu diễn dưới dạng tích 2 x 2 2 x. Sau phép biến đổi này, biểu thức ban đầu sẽ có dạng 2 x 2 2 x+2 x 2. Rõ ràng, các số hạng trong tổng kết quả có số nhân chung 2 x 2 , vì vậy chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi sau - dấu ngoặc đơn. Sau đó chúng ta đi đến biểu thức: 2 x 2 (2 x+1) .
Cộng và trừ cùng một số
Một phép biến đổi nhân tạo khác của một biểu thức là phép cộng và phép trừ đồng thời của cùng một số hoặc biểu thức. Phép biến đổi này giống hệt nhau vì về cơ bản nó tương đương với việc thêm số 0 và việc thêm số 0 không làm thay đổi giá trị.
Hãy xem một ví dụ. Hãy lấy biểu thức x 2 +2·x. Nếu bạn thêm một vào nó và trừ đi một, điều này sẽ cho phép bạn thực hiện một phép biến đổi giống hệt khác trong tương lai - bình phương nhị thức: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Tài liệu tham khảo.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 7 giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G.Đại số. lớp 7. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 17, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-02432-3.
Loại bài: Bài học khái quát hóa, hệ thống hóa kiến thức.
Mục tiêu bài học:
- Nâng cao khả năng vận dụng những kiến thức đã học để chuẩn bị cho kỳ thi cấp Bang vào lớp 9.
- Dạy khả năng phân tích và tiếp cận nhiệm vụ một cách sáng tạo.
- Để nuôi dưỡng một nền văn hóa và hiệu quả của tư duy, sở thích nhận thứcđến toán học.
- Giúp học sinh chuẩn bị cho kỳ thi cấp bang.
- Hệ thống hóa kiến thức lý thuyết sinh viên.
- Tăng cường định hướng thực tế chủ đề này để chuẩn bị cho kỳ thi cấp bang.
- Phát triển kỹ năng làm việc trí óc - tìm kiếm giải pháp hợp lý.
Thiết bị: máy chiếu đa phương tiện, bảng tính, đồng hồ.
Kế hoạch bài học: 1. Thời điểm tổ chức.
- Đang cập nhật kiến thức.
- Phát triển tài liệu lý thuyết.
- Tóm tắt bài học.
- Bài tập về nhà.
TIẾN ĐỘ BÀI HỌC
I. Thời điểm tổ chức.
1) Lời chào của giáo viên.
Mật mã học là khoa học về cách chuyển đổi (mã hóa) thông tin nhằm bảo vệ thông tin đó khỏi những người dùng bất hợp pháp. Một trong những phương pháp này được gọi là “lưới”. Đây là một trong những bài toán tương đối đơn giản và liên quan chặt chẽ đến số học, nhưng lại không được học ở trường. Một mẫu mạng ở trước mặt bạn. Sẽ có người tìm ra cách sử dụng nó.
- giải pháp cho tin nhắn.
“Mọi thứ ngừng hoạt động sẽ ngừng thu hút.”
Francois Larachefoucauld.
2) Tin nhắn về chủ đề bài học, mục tiêu bài học, kế hoạch bài học.
– slide trong bài thuyết trình.
II. Đang cập nhật kiến thức.
1) Công việc truyền miệng.
1. Những con số. Bạn biết những con số nào?
– Số tự nhiên là các số 1,2,3,4... được dùng khi đếm
– số nguyên là các số…-4,-3,-2,-1,0,1, 2… số tự nhiên, các số đối của chúng và số 0.
- Số hữu tỉ là số nguyên và số phân số
– vô tỷ – đây là các phân số thập phân không tuần hoàn vô hạn
– thực tế – đây là những điều hợp lý và phi lý.
2. Biểu thức. Bạn biết những biểu hiện nào?
– số là các biểu thức bao gồm các số được kết nối bằng ký hiệu số học.
– chữ cái – đây là một biểu thức có chứa một số biến, số và dấu hiệu hành động.
– Số nguyên là biểu thức bao gồm các số và biến sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân và chia cho một số.
– phân số là biểu thức toàn bộ bằng phép chia cho biểu thức có biến.
3. Sự biến đổi. Các thuộc tính chính được sử dụng khi thực hiện các phép biến đổi là gì?
– giao hoán – với mọi số a và b đều đúng: a+b=b+a, ab=va
– kết hợp – với mọi số a, b, c, điều sau đây đúng: (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)
– phân phối – với mọi số a, b, c đều đúng: a(b+c)=av+ac
4. Làm:
– sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: 0,0157; 0,105; 0,07
– sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần: 0,0216; 0,12; 0,016
– một trong các điểm được đánh dấu trên đường tọa độ ứng với số v68. Đây là điểm gì?
- Các số tương ứng với điểm nào?
– các số a và b được đánh dấu trên đường tọa độ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
III. Phát triển tài liệu lý thuyết.
1. Làm việc vào vở, lên bảng.
Mỗi giáo viên có một tờ bài tập trong đó các nhiệm vụ được ghi vào vở trong suốt buổi học. Cột bên phải của tờ này có các bài tập trên lớp và cột bên trái là bài tập về nhà.
Học sinh ra làm việc trên bảng.
Nhiệm vụ số 1. Trong trường hợp đó biểu thức được chuyển đổi thành bằng nhau.
Nhiệm vụ số 3. Yếu tố đó ra:
a 3 – av – a 2 c + a 2;
x 2 y – x 2 -y + x 3.
2x+ y + y 2 – 4x 2; a – 3c +9c 2 -a 2 .
2. Làm việc độc lập.
Trên bài tập bạn làm bài độc lập, bên dưới sau đoạn văn có bảng để bạn nhập số vào dưới câu trả lời đúng. Phải mất 7 phút để hoàn thành công việc.
Kiểm tra “Con số và chuyển đổi”
1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5
1. Viết 0,00019 ở dạng chuẩn.
2. Một trong các điểm được đánh dấu trên đường tọa độ ứng với số 3. Về số a và b
biết rằng a>0, b>0, a>4b. Bất đẳng thức nào sau đây là sai?
1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.
1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.
4.Tìm giá trị của biểu thức: (6x – 5y): (3x+y), nếu x=1,5 và y=0,5.
5. Biểu thức nào sau đây có thể chuyển thành (7 – x)(x – 4)?
1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);
Sau khi hoàn thành công việc, việc kiểm tra được thực hiện bằng chương trình ASUOK (hệ thống quản lý kiểm soát và đào tạo tự động). Các em trao đổi vở với bạn cùng bàn và cùng giáo viên kiểm tra bài kiểm tra.| bài tập | |||||
| Trả lời: | 3 | 1 | 1 | 2 | 1 |
6. Tóm tắt bài học.
Hôm nay trong lớp các bạn đã giải các bài tập được chọn từ các bộ sưu tập để chuẩn bị cho Kỳ thi cấp Bang. Đây là một phần nhỏ những gì bạn cần lặp lại để vượt qua kỳ thi một cách hoàn hảo.
- Buổi học kết thúc. Bạn thấy bài học có ích gì?
“Chuyên gia là người không còn suy nghĩ nữa, anh ta biết.” Frank Hubbard.
7. Bài tập về nhà
Trên tờ giấy là những nhiệm vụ phải hoàn thành ở nhà.
Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.
Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.
Hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức chế độ xem chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của nó đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.
Vì bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức \(12a^2b - 7b\) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6\) có bậc hai.
Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.
Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn kèm theo là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc đơn mở nên dễ dàng lập công thức Quy tắc mở ngoặc:
Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.
Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.
Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức
Sử dụng thuộc tính phân phối của phép nhân, bạn có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức thành đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.
Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.
Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với mỗi số hạng của đa thức.
Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.
Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức
Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.
Thông thường quy tắc sau được sử dụng.
Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.
Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương
Với một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số phải giải quyết thường xuyên hơn những người khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không thường xuyên xảy ra; theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.
Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn trên thực tế, bạn đã gặp phải nhiệm vụ này khi nhân các đa thức:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng hình vuông và nhân đôi sản phẩm.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích nhân đôi.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.
Ba danh tính này cho phép các phép biến đổi thay thế phần bên trái của chúng bằng phần bên phải và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.