Bài viết này được dành riêng cho sự biến đổi biểu thức hợp lý , chủ yếu là hợp lý một phần, đến một trong vấn đề then chốt môn đại số lớp 8. Đầu tiên, chúng ta nhớ lại loại biểu thức nào được gọi là hợp lý. Tiếp theo chúng ta sẽ tập trung vào việc thực hiện các phép biến đổi chuẩn với các biểu thức hữu tỉ, chẳng hạn như nhóm các số hạng, đưa các thừa số chung ra khỏi ngoặc, đưa điều khoản tương tự vân vân. Cuối cùng, chúng ta sẽ học cách biểu diễn các biểu thức hữu tỉ dưới dạng phân số hữu tỉ.
Điều hướng trang.
Định nghĩa và ví dụ về biểu thức hợp lý
Biểu thức hữu tỉ là một trong những dạng biểu thức được học trong các bài đại số ở trường. Hãy đưa ra một định nghĩa.
Sự định nghĩa.
Biểu thức gồm số, biến, dấu ngoặc đơn, lũy thừa với số mũ nguyên, được kết nối bằng dấu các phép tính số học+, −, · và:, trong đó phép chia có thể được biểu thị bằng thanh phân số, được gọi là biểu thức hợp lý.
Dưới đây là một số ví dụ về biểu thức hợp lý: .
Các biểu thức hợp lý bắt đầu được nghiên cứu có mục đích ở lớp 7. Hơn nữa, ở lớp 7, học sinh học những kiến thức cơ bản khi làm việc với cái gọi là toàn bộ biểu thức hợp lý, nghĩa là với các biểu thức hữu tỷ không chứa phép chia thành các biểu thức có biến. Để làm điều này, các đơn thức và đa thức được nghiên cứu tuần tự, cũng như các nguyên tắc thực hiện hành động với chúng. Tất cả kiến thức này cuối cùng cho phép bạn thực hiện các phép biến đổi của toàn bộ biểu thức.
Ở lớp 8 các em chuyển sang nghiên cứu các biểu thức hữu tỉ có chứa phép chia cho một biểu thức có biến gọi là biểu thức hữu tỉ phân số. Đồng thời đặc biệt chú ýđược trao cho cái gọi là phân số hợp lý(chúng còn được gọi là phân số đại số), tức là các phân số có tử số và mẫu số chứa đa thức. Điều này cuối cùng làm cho nó có thể chuyển đổi các phân số hợp lý.
Các kỹ năng có được cho phép bạn chuyển sang chuyển đổi các biểu thức hợp lý loại tùy ý. Điều này được giải thích bởi thực tế là bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào cũng có thể được coi là một biểu thức bao gồm các phân số hữu tỷ và các biểu thức số nguyên được kết nối bằng dấu của các phép tính số học. Và chúng ta đã biết cách làm việc với toàn bộ biểu thức và phân số đại số.
Các loại biến đổi chính của biểu thức hợp lý
Với các biểu thức hữu tỷ, bạn có thể thực hiện bất kỳ phép biến đổi nhận dạng cơ bản nào, có thể là nhóm các thuật ngữ hoặc thừa số, đưa các thuật ngữ tương tự, thực hiện các phép toán với số, v.v. Thông thường mục đích của việc thực hiện các phép biến đổi này là đơn giản hóa biểu thức hợp lý.
Ví dụ.
.
Giải pháp.
Rõ ràng rằng biểu thức hữu tỷ này là sự khác biệt giữa hai biểu thức và , và các biểu thức này giống nhau vì chúng có cùng một phần chữ cái. Vì vậy, chúng ta có thể thực hiện rút gọn các số hạng tương tự:
Trả lời:
.
Rõ ràng là khi thực hiện các phép biến đổi với các biểu thức hợp lý, cũng như với bất kỳ biểu thức nào khác, bạn cần phải tuân theo thứ tự thực hiện các hành động được chấp nhận.
Ví dụ.
Thực hiện một phép biến đổi biểu thức hợp lý.
Giải pháp.
Chúng tôi biết rằng các hành động trong ngoặc đơn được thực hiện trước tiên. Do đó, trước hết, chúng ta biến đổi biểu thức trong ngoặc: 3·x−x=2·x.
Bây giờ bạn có thể thay thế kết quả thu được vào biểu thức hữu tỉ ban đầu: . Vì vậy, chúng ta đã đi đến một biểu thức chứa các hành động của một giai đoạn - phép cộng và phép nhân.
Hãy loại bỏ dấu ngoặc đơn ở cuối biểu thức bằng cách áp dụng tính chất chia cho tích: .
Cuối cùng, chúng ta có thể nhóm các thừa số số và các thừa số biến x, sau đó thực hiện thao tác số thích hợp và áp dụng : .
Điều này hoàn thành việc chuyển đổi biểu thức hữu tỷ và kết quả là chúng ta nhận được một đơn thức.
Trả lời:
Ví dụ.
Chuyển đổi biểu thức hợp lý 
.
Giải pháp.
Đầu tiên chúng ta biến đổi tử số và mẫu số. Thứ tự biến đổi của phân số này được giải thích là do đường thẳng của phân số về cơ bản là một ký hiệu khác của phép chia và biểu thức hữu tỉ ban đầu về cơ bản là thương số của dạng 
, và các hành động trong ngoặc đơn được thực hiện trước tiên.
Vì vậy, trong tử số, chúng ta thực hiện các phép tính với đa thức, phép nhân đầu tiên, sau đó là phép trừ và trong mẫu số, chúng ta nhóm các thừa số bằng số và tính tích của chúng: 
.
Chúng ta cũng hãy tưởng tượng tử số và mẫu số của phân số thu được ở dạng tích: đột nhiên có thể rút gọn một phân số đại số. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng trong tử số công thức hiệu bình phương, và trong mẫu số, chúng ta lấy hai số ra khỏi ngoặc, chúng ta có 
.
Trả lời:
.
Vì vậy, việc làm quen ban đầu với việc chuyển đổi các biểu thức hợp lý có thể được coi là đã hoàn thành. Có thể nói, hãy chuyển sang phần ngọt ngào nhất.
Biểu diễn phân số hữu tỷ
Thường xuyên nhất mục tiêu cuối cùng việc biến đổi các biểu thức là để đơn giản hóa sự xuất hiện của chúng. Trong ánh sáng này nhất cái nhìn đơn giản mà biểu thức hữu tỉ dạng phân số có thể được chuyển đổi thành phân số hữu tỉ (đại số) và trong trường hợp đặc biệt là đa thức, đơn thức hoặc số.
Có thể biểu diễn bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào dưới dạng phần hợp lý? Câu trả lời là có. Hãy để chúng tôi giải thích tại sao lại như vậy.
Như chúng tôi đã nói, bất kỳ biểu thức hữu tỉ nào cũng có thể được coi là đa thức và phân số hữu tỉ được kết nối bằng dấu cộng, trừ, nhân và chia. Tất cả các phép toán tương ứng với đa thức đều mang lại một phân số đa thức hoặc hữu tỉ. Đổi lại, bất kỳ đa thức nào cũng có thể được chuyển đổi thành phân số đại số bằng cách viết nó với mẫu số 1. Và việc cộng, trừ, nhân và chia các phân số hữu tỉ sẽ tạo ra một phân số hữu tỉ mới. Do đó, sau khi thực hiện tất cả các phép tính với đa thức và phân số hữu tỉ trong biểu thức hữu tỉ, chúng ta thu được một phân số hữu tỉ.
Ví dụ.
Biểu diễn dưới dạng phân số hữu tỉ biểu thức 
.
Giải pháp.
Biểu thức hữu tỉ ban đầu là hiệu giữa một phân số và tích của các phân số có dạng 
. Theo thứ tự thực hiện, trước tiên chúng ta phải thực hiện phép nhân, sau đó mới thực hiện phép cộng.
Chúng ta bắt đầu bằng việc nhân các phân số đại số:
Chúng ta thay kết quả thu được vào biểu thức hữu tỉ ban đầu: .
Chúng ta đã tiến tới phép trừ các phân số đại số với mẫu số khác nhau:
Vì vậy, sau khi thực hiện các phép tính với các phân số hữu tỉ tạo nên biểu thức hữu tỉ ban đầu, chúng ta đã trình bày nó dưới dạng một phân số hữu tỉ.
Trả lời:
.
Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích giải pháp cho một ví dụ khác.
Ví dụ.
Biểu diễn một biểu thức hữu tỉ dưới dạng phân số hữu tỉ.
Như chúng ta sẽ thấy dưới đây, không phải mọi hàm cơ bản đều có tích phân được biểu diễn bằng các hàm cơ bản. Vì vậy, điều rất quan trọng là xác định các lớp hàm có tích phân được biểu diễn thông qua hàm cơ bản. Lớp đơn giản nhất trong số này là lớp các hàm hữu tỷ.
Tất cả các loại hàm hợp lý có thể được biểu diễn dưới dạng phân số hữu tỷ, tức là dưới dạng tỷ lệ của hai đa thức:
Không giới hạn tính tổng quát của lập luận, chúng ta sẽ giả sử rằng các đa thức không có nghiệm chung.
Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số thì phân số đó gọi là phân số đúng nếu không thì phân số đó được gọi là phân số không chính xác.
Nếu phân số không đúng thì bằng cách chia tử số cho mẫu số (dùng quy tắc chia đa thức), bạn có thể biểu diễn phân số đã cho dưới dạng tổng của một đa thức và một số phân số thích hợp:
đây là một đa thức và a là một phân số thích hợp.
Ví dụ t. Cho một phân số hữu tỉ không đúng
Chia tử số cho mẫu số (dùng quy tắc chia đa thức), ta được
Vì việc tích phân các đa thức không khó nên khó khăn chính trong việc lấy tích phân các phân số hữu tỉ là tích phân các phân số hữu tỷ thực sự.
Sự định nghĩa. Phân số hợp lý thích hợp của hình thức
được gọi là các phân số đơn giản loại I, II, III và IV.
Việc tích phân các phân số đơn giản nhất của loại I, II và III không khó lắm nên chúng ta sẽ tiến hành tích phân mà không cần giải thích thêm:
Hơn tính toán phức tạpđòi hỏi phải tích hợp các phân số đơn giản loại IV. Cho ta một tích phân loại này:
Hãy thực hiện các phép biến đổi:
Tích phân thứ nhất được lấy bằng cách thay thế
Tích phân thứ hai - chúng ta biểu thị nó bằng cách viết nó dưới dạng
Theo giả định, nghiệm của mẫu số là phức nên Tiếp theo chúng ta tiến hành như sau:
Hãy biến đổi tích phân:
Tích phân từng phần, ta có
Thay biểu thức này vào đẳng thức (1), chúng ta thu được
Vế phải chứa một tích phân cùng loại nhưng số mũ của mẫu số của tích phân thấp hơn một; Vì vậy, chúng tôi đã thể hiện nó thông qua . Tiếp tục đi theo con đường tương tự, chúng ta đạt được tích phân nổi tiếng.
Bài viết nói về sự biến đổi của biểu thức hợp lý. Chúng ta hãy xem xét các loại biểu thức hữu tỉ, các phép biến đổi, nhóm và dấu ngoặc đơn của chúng số nhân chung. Chúng ta hãy học cách biểu diễn các biểu thức hữu tỉ dưới dạng phân số hữu tỉ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Định nghĩa và ví dụ về biểu thức hợp lý
Định nghĩa 1Biểu thức được tạo thành từ các số, biến, dấu ngoặc đơn, lũy thừa với các phép tính cộng, trừ, nhân, chia với sự có mặt của dòng phân số được gọi là những biểu hiện hợp lý.
Ví dụ: chúng ta có 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Nghĩa là, đây là những biểu thức không được chia thành các biểu thức có biến. Việc nghiên cứu các biểu thức hữu tỉ bắt đầu từ lớp 8, khi chúng được gọi là các biểu thức hữu tỉ phân số. Người ta đặc biệt chú ý đến các phân số trong tử số, được biến đổi bằng cách sử dụng các quy tắc biến đổi.
Điều này cho phép chúng ta tiến hành chuyển đổi các phân số hữu tỷ ở dạng tùy ý. Một biểu thức như vậy có thể được coi là một biểu thức có sự hiện diện của các phân số hữu tỷ và các biểu thức số nguyên có dấu hiệu hành động.
Các loại biến đổi chính của biểu thức hợp lý
Biểu thức hợp lý được sử dụng để thực hiện chuyển đổi danh tính, nhóm, đưa những cái tương tự, thực hiện các phép toán khác với số. Mục đích của các biểu thức như vậy là đơn giản hóa.
Ví dụ 1
Biến đổi biểu thức hữu tỉ 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Giải pháp
Có thể thấy biểu thức hữu tỉ như vậy chính là hiệu giữa 3 x x y - 1 và 2 x x y - 1. Chúng tôi nhận thấy rằng mẫu số của chúng giống hệt nhau. Điều này có nghĩa là việc rút gọn các thuật ngữ tương tự sẽ có dạng
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Trả lời: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Ví dụ 2
Quy đổi 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .
Giải pháp
Ban đầu, chúng ta thực hiện các thao tác trong ngoặc 3 · x − x = 2 · x. Biểu thức này biểu diễn dưới dạng 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Chúng ta đến một biểu thức chứa các phép toán với một bước, nghĩa là nó có phép cộng và phép trừ.
Chúng ta loại bỏ dấu ngoặc đơn bằng cách sử dụng thuộc tính chia. Sau đó, chúng ta nhận được 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x.
Chúng ta nhóm các thừa số bằng số với biến x, sau đó chúng ta có thể thực hiện các phép tính với lũy thừa. Chúng tôi hiểu điều đó
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Trả lời: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Ví dụ 3
Biến đổi một biểu thức có dạng x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Giải pháp
Đầu tiên, chúng ta biến đổi tử số và mẫu số. Sau đó, chúng ta nhận được biểu thức có dạng (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 , và các hành động trong ngoặc đơn được thực hiện trước tiên. Trong tử số, các phép toán được thực hiện và các thừa số được nhóm lại. Khi đó ta nhận được biểu thức có dạng x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Chúng ta biến đổi công thức hiệu của bình phương trong tử số, sau đó chúng ta có được kết quả đó
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Trả lời: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Biểu diễn phân số hữu tỷ
Các phân số đại số thường được đơn giản hóa nhất khi được giải. Mọi lý trí đều được rút gọn thành thế này theo những cách khác nhau. Mọi thứ cần phải được thực hiện hành động cần thiết với các đa thức sao cho biểu thức hữu tỉ cuối cùng có thể cho ra một phân số hữu tỉ.
Ví dụ 4
Trình bày dưới dạng phân số hữu tỉ a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Giải pháp
Biểu thức này có thể được biểu diễn dưới dạng 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Phép nhân được thực hiện chủ yếu theo các quy tắc.
Chúng ta nên bắt đầu bằng phép nhân, sau đó chúng ta sẽ có được kết quả đó
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Chúng tôi trình bày kết quả thu được với kết quả ban đầu. Chúng tôi hiểu điều đó
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Bây giờ hãy thực hiện phép trừ:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9
Sau đó, hiển nhiên biểu thức ban đầu sẽ có dạng 16 a 2 - 9.
Trả lời: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Ví dụ 5
Biểu thị x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x dưới dạng phân số hữu tỉ.
Giải pháp
Biểu thức đã cho được viết dưới dạng phân số, tử số của nó có x x + 1 + 1 và mẫu số là 2 x - 1 1 + x. Cần phải thực hiện các phép biến đổi x x + 1 + 1 . Để làm điều này, bạn cần thêm một phân số và một số. Chúng ta có được x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Suy ra x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Phân số thu được có thể được viết là 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.
Sau khi chia chúng ta thu được một phần hữu tỉ của dạng
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Bạn có thể giải quyết vấn đề này theo cách khác.
Thay vì chia cho 2 x - 1 1 + x, chúng ta nhân với nghịch đảo 1 + x 2 x - 1 của nó. Áp dụng tài sản phân phối và chúng tôi hiểu điều đó
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Trả lời: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter