Tích hợp các hàm hữu tỉ Phân số - Hàm hữu tỉ Các phân số hữu tỉ đơn giản nhất Phân tích một phân số hữu tỉ thành các phân số đơn giản Tích phân các phân số đơn giản Nguyên tắc chung cho việc tích hợp các phân số hữu tỉ

đa thức bậc n. Hàm phân số - hữu tỉ Hàm phân số - hữu tỉ là hàm bằng tỉ số của hai đa thức: Một phân số được gọi là đúng nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, tức là m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Hàm phân số - hữu tỉ Rút gọn một phân số không đúng về dạng đúng: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Phân số hữu tỉ đơn giản nhất Phân số hữu tỉ đúng có dạng: Chúng được gọi là phân số hữu tỉ đơn giản nhất của các loại. rìu A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Phân tích một phân số hữu tỷ thành các phân số đơn giản Định lý: Bất kỳ phân số hữu tỷ thực sự nào, mẫu số của nó được phân tích thành nhân tử: hơn nữa, có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng tổng của các phân số đơn giản: s k qxpxxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Phân tích một phân số hữu tỉ thành các phân số đơn giản Hãy giải thích cách xây dựng định lý bằng các ví dụ sau: Để tìm các hệ số bất định A, B, C, D..., người ta sử dụng hai phương pháp: phương pháp so sánh các hệ số và phương pháp của một phần giá trị của một biến. Hãy xem xét phương pháp đầu tiên bằng một ví dụ. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Phân tích một phân số hữu tỉ thành các phân số đơn giản Trình bày phân số dưới dạng tổng của các phân số đơn giản: Hãy đưa các phân số đơn giản nhất về một mẫu số chung Cân bằng tử số của phân số thu được và phân số ban đầu Cân bằng các hệ số có cùng lũy ​​thừa x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Tích phân các phân số đơn giản nhất Hãy tìm tích phân của các phân số hữu tỉ đơn giản nhất: Hãy xem xét việc tích phân các phân số loại 3 bằng một ví dụ. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Tích phân phân số đơn giảndx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Tích phân các phân số đơn giản Tích phân loại này sử dụng phép thế: được rút gọn về tổng của hai tích phân: Tích phân thứ nhất được tính bằng cách đưa t vào dấu vi phân. Tích phân thứ hai được tính bằng công thức truy hồi: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Tích phân phân số đơn giản a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Quy tắc chung để tích phân các phân số hữu tỷ Nếu phân số không đúng thì biểu diễn nó dưới dạng tổng của một đa thức và một phân số thực sự. Sau khi phân tích mẫu số của một phân số hữu tỉ, hãy biểu diễn nó dưới dạng tổng của các phân số đơn giản với các hệ số không xác định bằng phương pháp so sánh các hệ số hoặc bằng phương pháp tính từng phần của một biến. Tích hợp đa thức và tổng kết quả của các phân số đơn giản.

Ví dụ: Viết phân số về dạng đúng. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Ví dụ Hãy phân tích mẫu số của một phân số thích hợp Hãy biểu diễn phân số dưới dạng tổng của các phân số đơn giản Hãy tìm các hệ số chưa xác định bằng phương pháp giá trị từng phần của biến xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Ví dụ dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

“Một nhà toán học, giống như một nghệ sĩ hay nhà thơ, tạo ra các khuôn mẫu. Và nếu các hình mẫu của anh ta ổn định hơn thì đó chỉ là do chúng được cấu tạo từ các ý tưởng... Các hình mẫu của một nhà toán học, cũng giống như các hình mẫu của một nghệ sĩ hay một nhà thơ, phải đẹp; Ý tưởng cũng giống như màu sắc hay ngôn từ, phải tương ứng với nhau. Đẹp là yêu cầu đầu tiên: trên thế giới không có chỗ cho môn toán xấu».

G.H.Hardy

Trong chương đầu tiên đã lưu ý rằng có những nguyên hàm của các hàm khá đơn giản không còn có thể biểu diễn được bằng các hàm cơ bản. Về vấn đề này, những lớp hàm mà chúng ta có thể nói chính xác rằng nguyên hàm của chúng là các hàm cơ bản có tầm quan trọng thực tiễn to lớn. Lớp chức năng này bao gồm hàm hữu tỉ, biểu thị tỉ số của hai đa thức đại số. Nhiều vấn đề dẫn tới việc tích phân các phân số hữu tỷ. Vì vậy, việc có thể tích hợp các chức năng như vậy là rất quan trọng.

2.1.1. Hàm hữu tỉ phân số

Phân số hữu tỉ(hoặc hàm hữu tỉ phân số) được gọi là quan hệ của hai đa thức đại số:

ở đâu và là đa thức.

Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn rằng đa thức (đa thức, toàn bộ hàm hợp lý) Nbằng cấpđược gọi là hàm có dạng

Ở đâu - số thực. Ví dụ,

- đa thức bậc một;

– đa thức bậc bốn, v.v.

Phân số hữu tỉ (2.1.1) được gọi là Chính xác, nếu mức độ thấp hơn mức độ , tức là. N<tôi, nếu không thì phân số đó được gọi là sai.

Bất kỳ phân số không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của đa thức (toàn bộ phần) và một phân số thích hợp (phần phân số). Việc tách phần nguyên và phần phân của một phân số không chính xác có thể được thực hiện theo quy tắc chia đa thức với một “góc”.

Ví dụ 2.1.1. Xác định phần nguyên và phần phân số của các phân số hữu tỉ không đúng sau đây:

MỘT) , b) .

Giải pháp . a) Sử dụng thuật toán chia góc, ta có

Vì vậy, chúng tôi nhận được

.

b) Ở đây chúng ta cũng sử dụng thuật toán chia “góc”:

Kết quả là, chúng tôi nhận được

.

Hãy tóm tắt. Trong trường hợp tổng quát, tích phân không xác định của một phân số hữu tỷ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các tích phân của đa thức và phân số hữu tỷ thực sự. Việc tìm nguyên hàm của đa thức không khó. Vì vậy, trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chủ yếu xem xét các phân số hữu tỉ.

2.1.2. Các phân số hợp lý đơn giản nhất và sự tích hợp của chúng

Trong số các phân số hữu tỷ thực sự, có bốn loại, được phân loại là các phân số hợp lý (cơ bản) đơn giản nhất:

3) ,

4) ,

số nguyên ở đâu, , tức là tam thức bậc hai không có rễ thực sự.

Việc tích hợp các phân số đơn giản của loại 1 và loại 2 không gặp bất kỳ khó khăn lớn nào:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét việc tích phân các phân số đơn giản thuộc loại thứ 3, nhưng chúng ta sẽ không xem xét các phân số thuộc loại thứ 4.

Hãy bắt đầu với tích phân có dạng

.

Tích phân này thường được tính bằng cách cô lập bình phương hoàn hảo của mẫu số. Kết quả là tích phân bảng có dạng sau

hoặc .

Ví dụ 2.1.2. Tìm tích phân:

MỘT) , b) .

Giải pháp . a) Chọn một hình vuông hoàn chỉnh từ tam thức bậc hai:

Từ đây chúng ta tìm thấy

b) Bằng cách tách một hình vuông hoàn chỉnh khỏi một tam thức bậc hai, chúng ta thu được:

Như vậy,

.

Để tìm tích phân

bạn có thể tách đạo hàm của mẫu số trong tử số và khai triển tích phân thành tổng của hai tích phân: tích phân đầu tiên bằng cách thay thế đi xuống về ngoại hình

,

và cái thứ hai - đến cái đã thảo luận ở trên.

Ví dụ 2.1.3. Tìm tích phân:

.

Giải pháp . Lưu ý rằng . Chúng ta hãy tách đạo hàm của mẫu số trong tử số:

Tích phân thứ nhất được tính bằng phép thay thế :

Trong tích phân thứ hai, chúng ta chọn bình phương hoàn hảo ở mẫu số

Cuối cùng, chúng tôi nhận được

2.1.3. Khai triển phân số hợp lý thích hợp
về tổng các phân số đơn giản

Bất kỳ phân số hợp lý thích hợp có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng của các phân số đơn giản. Để làm điều này, mẫu số phải được nhân tử hóa. Từ đại số cao hơn, người ta biết rằng mọi đa thức có hệ số thực

Một trong những lớp hàm quan trọng nhất, các tích phân của nó được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản, là lớp hàm hữu tỉ.

Định nghĩa 1. Chức năng của dạng trong đó
- đa thức bậcNVàtôigọi là lý trí. Toàn bộ hàm hợp lý, tức là đa thức, tích phân trực tiếp. Tích phân của hàm phân số hữu tỷ có thể được tìm thấy bằng cách phân tách thành các số hạng được chuyển đổi theo cách tiêu chuẩn thành tích phân dạng bảng chính.

Định nghĩa 2. Phân số
được gọi là đúng nếu bậc của tử sốNnhỏ hơn lũy thừa của mẫu sốtôi.

Một phân số có bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số được gọi là phân số không đúng.

Bất kỳ phân số không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của đa thức và một phân số thích hợp. Điều này được thực hiện bằng cách chia một đa thức cho một đa thức, giống như chia các số.

Ví dụ.
Hãy tưởng tượng một phân số

dưới dạng tổng của một đa thức và một phân số thích hợp:

3

3

3

x - 1
Học kỳ đầu tiên
trong thương số, nó thu được bằng cách chia số hạng dẫn đầu , chia cho số hạng đứng đầu X
dải phân cách Sau đó chúng tôi nhân mỗi số chia x-1

và kết quả thu được được trừ vào cổ tức; Các số hạng còn lại của thương không đầy đủ được tìm tương tự.

Chia các đa thức, ta được:

Hành động này được gọi là chọn toàn bộ phần.

Định nghĩa 3. Phân số đơn giản nhất là phân số hữu tỉ có các loại sau:

TÔI.
II.

(K=2, 3,…).
III.

tam thức bình phương ở đâu
IV.
trong đó K=2, 3,…; tam thức bậc hai

không có rễ thực sự.
thành các thừa số thực đơn giản nhất (theo định lý cơ bản của đại số, khai triển này có thể chứa các nhị thức tuyến tính có dạng
và tam thức bậc hai
, không có rễ);

b) Viết sơ đồ phân tích một phân số đã cho thành tổng các phân số đơn giản. Hơn nữa, mỗi yếu tố của hình thức
tương ứng k thành phần loại I và II:

với từng yếu tố của hình thức
tương ứng với các thuật ngữ loại III và IV:

Bất kỳ phân số không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của đa thức và một phân số thích hợp. Điều này được thực hiện bằng cách chia một đa thức cho một đa thức, giống như chia các số.

Viết sơ đồ khai triển phân số
đến tổng đơn giản nhất.

c) thực hiện phép cộng các phân số đơn giản nhất thu được.

Viết đẳng thức tử số của phân số thu được và phân số ban đầu;
d) Tìm hệ số khai triển tương ứng:

(phương pháp giải quyết sẽ được thảo luận dưới đây);

e) thay thế các giá trị tìm được của các hệ số vào sơ đồ phân rã.

(k Việc tích phân bất kỳ phân số hữu tỷ thực sự nào sau khi phân tách thành các số hạng đơn giản nhất của nó sẽ dẫn đến việc tìm tích phân thuộc một trong các loại sau: Và =2, 3, …).

e Tính tích phân

rút gọn về công thức III: tích phân

- theo công thức II: tích phân có thể tìm được theo quy tắc xác định trong lý thuyết tích phân hàm chứa tam thức bậc hai;

- thông qua các phép biến đổi được hiển thị dưới đây trong ví dụ 4.

Ví dụ 1.

a) nhân tử với mẫu số:

b) viết sơ đồ phân tích số nguyên thành các số hạng:

c) Thực hiện phép cộng các phân số đơn giản:

Hãy viết đẳng thức tử số của các phân số:

d) Có hai phương pháp tìm hệ số chưa biết A, B, C. , chia cho số hạng đứng đầu Hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi các hệ số của chúng bằng nhau với cùng lũy ​​thừa

, từ đó có thể tạo được hệ phương trình tương ứng. Đây là một trong những phương pháp giải quyết.

Hệ số tại ):thành viên tự do (hệ số tại

4A=8. Giải hệ phương trình, ta được, A=2, B=1.

C= - 10

Một phương pháp khác - giá trị riêng tư - sẽ được thảo luận trong ví dụ sau;

e) thay thế các giá trị tìm thấy vào sơ đồ phân rã:

Thay tổng kết quả dưới dấu tích phân và lấy tích phân từng số hạng riêng biệt, chúng ta tìm được:

Ví dụ 2. Danh tính là một đẳng thức có giá trị đối với mọi giá trị của ẩn số có trong nó. Dựa trên điều này , chia cho số hạng đứng đầu phương pháp giá trị riêng

Có thể được đưa ra bất kỳ giá trị nào. Sẽ thuận tiện hơn cho việc tính toán lấy những giá trị làm cho mọi số hạng ở vế phải của đẳng thức biến mất. Cho phép x = 0 . Sau đó 1 = A (0-1)(0+2).

0(0+2)+V 0 (0-1)+С Tương tự cho x = - 2 chúng tôi có 1= - 2V*(-3), Tại x = 1.

chúng tôi có

1 = 3A

Kể từ đây,

Có thể được đưa ra bất kỳ giá trị nào. Sẽ thuận tiện hơn cho việc tính toán lấy những giá trị làm cho mọi số hạng ở vế phải của đẳng thức biến mất. Ví dụ 3. x = 0 d) đầu tiên chúng ta sử dụng phương pháp giá trị từng phần..

, Sau đó 1, A = 1 Tương tự cho - Tại hoặc x = - 1, 1+4+2+1 = - B(1+1+1).

Để tìm hệ số C và D, bạn cần tạo thêm hai phương trình. Đối với điều này, bạn có thể lấy bất kỳ giá trị nào khác , chia cho số hạng đứng đầu, Ví dụ x = 1 Và x = 2. Bạn có thể sử dụng phương pháp đầu tiên, tức là. , chia cho số hạng đứng đầu các hệ số bằng nhau ở bất kỳ lũy thừa giống nhau nào , chẳng hạn khi Và

.chúng tôi nhận được1 = A+B+C và 4 = C +

D - TRONG., Biết Một = 1 B = -2, chúng tôi nhận được = 0 .

, chúng ta sẽ tìm thấy

C = 2 Vì vậy, cả hai phương pháp có thể được kết hợp khi tính hệ số.

Tích phân cuối cùng
ta tìm riêng theo quy tắc đã xác định trong phương pháp xác định biến mới.
Hãy chọn một hình vuông hoàn hảo trong mẫu số:

=

hãy nói

Sau đó

Chúng tôi nhận được:

Thay vào đẳng thức trước, ta tìm được

Ví dụ 4.

Tìm thấy

b)

d)

Tích phân, ta có:

Chúng ta biến đổi tích phân thứ nhất thành công thức III:

Chúng ta hãy biến đổi tích phân thứ hai thành công thức II:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Trong tích phân thứ ba, chúng ta thay thế biến:

(Khi thực hiện các phép biến đổi ta đã sử dụng công thức lượng giác

Tìm tích phân:

Câu hỏi tự kiểm tra.
Phân số hữu tỉ nào sau đây đúng:

2. Sơ đồ phân tích một phân số thành tổng các phân số đơn giản có viết đúng không? Tích hợp hàm phân số hợp lý..

Phương pháp hệ số không chắc chắn Chúng tôi tiếp tục làm việc tích hợp các phân số. Chúng ta đã xem xét tích phân của một số loại phân số trong bài học và bài học này, theo một nghĩa nào đó, có thể được coi là phần tiếp theo. Để hiểu thành công tài liệu cần có các kỹ năng tích hợp cơ bản, vì vậy nếu bạn mới bắt đầu học tích phân, tức là bạn là người mới bắt đầu, thì bạn cần bắt đầu từ bài viết Tích phân không xác định. Ví dụ về giải pháp

Thật kỳ lạ, bây giờ chúng ta sẽ không tham gia nhiều vào việc tìm tích phân mà... vào việc giải các hệ phương trình tuyến tính. Về vấn đề này khẩn trương.

Tôi khuyên bạn nên tham gia bài học. Cụ thể, bạn cần thành thạo các phương pháp thay thế (phương pháp trường học và phương pháp cộng (trừ) từng số hạng của các phương trình hệ thống).

Hàm hữu tỉ phân số là gì? Nói một cách đơn giản, hàm hữu tỷ là một phân số có tử số và mẫu số chứa đa thức hoặc tích của đa thức. Hơn nữa, các phân số phức tạp hơn những phân số được thảo luận trong bài viết.

Tích phân một số phân số

Tích phân một hàm số hữu tỷ thích hợp Ngay lập tức một ví dụ và một thuật toán điển hình để giải tích phân của hàm hữu tỉ phân số. Ví dụ 1 Bước 1.

Đầu tiên chúng ta nhìn vào tử số và tìm hiểu bằng cấp caođa thức:

lũy thừa lớn nhất của tử số là hai.

Bây giờ chúng ta nhìn vào mẫu số và tìm hiểu bằng cấp cao mẫu số. Cách rõ ràng là mở ngoặc và đưa các thuật ngữ tương tự, nhưng bạn có thể làm điều đó đơn giản hơn, trong mỗi tìm mức độ cao nhất trong ngoặc

và nhân nhẩm: - do đó, bậc cao nhất của mẫu số bằng ba. Rõ ràng là nếu chúng ta thực sự mở ngoặc, chúng ta sẽ không nhận được mức độ nào lớn hơn ba.

Phần kết luận: Bậc chính của tử số NGHIÊM TÚC nhỏ hơn lũy thừa cao nhất của mẫu số, có nghĩa là phân số đúng.

Nếu trong ví dụ này tử số chứa đa thức 3, 4, 5, v.v. độ thì phân số sẽ là sai.

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ xem xét các hàm hữu tỉ phân số đúng. Trường hợp bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số sẽ được thảo luận ở cuối bài.

Bước 2. Hãy nhân tử hóa mẫu số. Hãy nhìn vào mẫu số của chúng ta:

Nói chung, đây đã là sản phẩm của nhiều yếu tố, tuy nhiên, chúng tôi tự hỏi: liệu có thể mở rộng thứ khác không? Đối tượng tra tấn chắc chắn sẽ là tam thức bình phương. Giải phương trình bậc hai:

Phân biệt lớn hơn 0, có nghĩa là tam thức thực sự có thể được phân tích thành thừa số:

Nguyên tắc chung: MỌI THỨ CÓ THỂ được tính vào mẫu số - hãy tính nó

Hãy bắt đầu xây dựng một giải pháp:

Bước 3. Sử dụng phương pháp hệ số không xác định, chúng tôi mở rộng tích phân thành tổng của các phân số đơn giản (cơ bản). Bây giờ nó sẽ rõ ràng hơn.

Hãy xem hàm integrand của chúng tôi:

Và, bạn biết đấy, bằng cách nào đó, một ý nghĩ trực quan nảy ra rằng sẽ thật tuyệt nếu biến phần lớn của chúng ta thành nhiều phần nhỏ. Ví dụ như thế này:

Câu hỏi đặt ra là liệu có thể làm được điều này không? Chúng ta hãy thở phào nhẹ nhõm, định lý tương ứng của phân tích toán học khẳng định – CÓ THỂ. Sự phân rã như vậy tồn tại và là duy nhất.

Chỉ có một lần nắm bắt, tỷ lệ cược là Tạm biệt Chúng ta không biết nên mới có tên là phương pháp hệ số không xác định.

Đúng như bạn đoán, những chuyển động tiếp theo của cơ thể là như vậy, đừng cười khúc khích! sẽ nhằm mục đích NHẬN THỨC chúng - để tìm ra chúng bằng nhau.

Hãy cẩn thận, tôi sẽ giải thích chi tiết chỉ một lần!

Vì vậy, hãy bắt đầu nhảy từ:

Ở phía bên trái, chúng tôi giảm biểu thức thành mẫu số chung:

Bây giờ chúng ta có thể loại bỏ các mẫu số một cách an toàn (vì chúng giống nhau):

Ở phía bên trái, chúng tôi mở dấu ngoặc, nhưng hiện tại không chạm vào các hệ số chưa biết:

Đồng thời, chúng ta lặp lại quy tắc nhân đa thức của trường. Khi còn là giáo viên, tôi đã học cách phát âm quy tắc này với vẻ mặt nghiêm túc: Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia..

Từ quan điểm giải thích rõ ràng, tốt hơn là đặt các hệ số trong ngoặc (mặc dù cá nhân tôi không bao giờ làm điều này để tiết kiệm thời gian):

Chúng tôi soạn một hệ phương trình tuyến tính.
Đầu tiên chúng tôi tìm kiếm bằng cấp cao:

Và chúng ta viết các hệ số tương ứng vào phương trình đầu tiên của hệ:

Hãy nhớ kỹ điểm sau. Điều gì sẽ xảy ra nếu không có chữ s nào ở bên phải? Giả sử, liệu nó có hiển thị mà không có bất kỳ hình vuông nào không? Trong trường hợp này, trong phương trình của hệ cần đặt số 0 ở bên phải: . Tại sao bằng không? Nhưng bởi vì ở vế phải, bạn luôn có thể gán cùng một bình phương này với số 0: Nếu ở vế phải không có biến và/hoặc số hạng tự do, thì chúng ta đặt các số 0 ở vế phải của các phương trình tương ứng của hệ.

Chúng ta viết các hệ số tương ứng vào phương trình thứ hai của hệ:

Và cuối cùng là nước khoáng, chúng tôi tuyển chọn thành viên miễn phí.

Ơ...tôi chỉ đùa thôi. Bỏ chuyện cười sang một bên - toán học là một môn khoa học nghiêm túc. Trong nhóm viện của chúng tôi, không ai cười khi phó giáo sư nói rằng cô ấy sẽ rải các thuật ngữ dọc theo trục số và chọn những thuật ngữ lớn nhất. Hãy nghiêm túc nào. Dù... ai còn sống để nhìn thấy phần cuối của bài học này vẫn sẽ mỉm cười lặng lẽ.

Hệ thống đã sẵn sàng:

Ta giải hệ:

(1) Từ phương trình thứ nhất ta biểu diễn và thế vào phương trình thứ 2 và thứ 3 của hệ. Trên thực tế, có thể biểu thị (hoặc một chữ cái khác) từ một phương trình khác, nhưng trong trường hợp này, việc biểu thị nó từ phương trình thứ nhất sẽ có lợi hơn, vì ở đó tỷ lệ cược nhỏ nhất.

(2) Chúng tôi trình bày các số hạng tương tự trong phương trình thứ 2 và thứ 3.

(3) Chúng ta cộng từng số hạng của phương trình thứ 2 và thứ 3, thu được đẳng thức , từ đó suy ra rằng

(4) Chúng tôi thay thế vào phương trình thứ hai (hoặc thứ ba), từ đó chúng tôi tìm thấy rằng

(5) Thay và vào phương trình đầu tiên, thu được .

Nếu bạn gặp khó khăn với các phương pháp giải hệ phương trình, hãy thực hành chúng trên lớp. Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính?

Sau khi giải hệ, việc kiểm tra - thay thế các giá trị tìm được luôn rất hữu ích mọi phương trình của hệ, kết quả là mọi thứ sẽ “hội tụ”.

Hầu như ở đó. Các hệ số đã được tìm thấy và:

Công việc đã hoàn thành sẽ trông giống như thế này:

Như bạn có thể thấy, khó khăn chính của nhiệm vụ là soạn (chính xác!) và giải (chính xác!) một hệ phương trình tuyến tính. Và ở giai đoạn cuối, mọi thứ không quá phức tạp: chúng tôi sử dụng các tính chất tuyến tính của tích phân và tích phân không xác định. Xin lưu ý rằng theo mỗi tích phân trong số ba tích phân, chúng ta có một hàm phức “miễn phí” trong bài học; Phương pháp đổi biến trong tích phân không xác định.

Kiểm tra: Phân biệt câu trả lời:

Hàm tích phân ban đầu đã thu được, có nghĩa là tích phân đã được tìm thấy chính xác.
Trong quá trình xác minh, chúng tôi đã phải giảm biểu thức về mẫu số chung và điều này không phải ngẫu nhiên. Phương pháp hệ số không xác định và rút gọn biểu thức về mẫu số chung là những hành động nghịch đảo lẫn nhau.

Ví dụ 2

Tìm tích phân không xác định.

Hãy quay lại phân số từ ví dụ đầu tiên: . Dễ dàng nhận thấy rằng ở mẫu số tất cả các thừa số đều KHÁC NHAU. Câu hỏi đặt ra là phải làm gì nếu chẳng hạn như phân số sau được đưa ra: ? Ở đây chúng ta có độ ở mẫu số, hay về mặt toán học, bội số. Ngoài ra, còn có một tam thức bậc hai không thể phân tích thành nhân tử (dễ dàng chứng minh phân biệt của phương trình là âm nên tam thức không thể phân tích thành nhân tử). Phải làm gì? Việc khai triển thành tổng các phân số cơ bản sẽ trông giống như với các hệ số chưa biết ở trên cùng hay cái gì khác?

Ví dụ 3

Giới thiệu một chức năng

Tích phân một hàm số hữu tỷ thích hợp Kiểm tra xem chúng ta có một phân số thích hợp hay không
Tử số chính: 2
Mức độ cao nhất của mẫu số: 8
, có nghĩa là phân số đúng.

Bước 2. Có thể tính yếu tố nào đó vào mẫu số không? Rõ ràng là không, mọi thứ đã được bày ra rồi. Tam thức bình phương không thể khai triển thành tích vì những lý do nêu trên. Mui xe. Ít công việc hơn.

Bước 3. Hãy tưởng tượng một hàm phân số hữu tỉ là tổng của các phân số cơ bản.
Trong trường hợp này, khai triển có dạng sau:

Hãy nhìn vào mẫu số của chúng ta:
Khi phân tách hàm hữu tỷ thành tổng các phân số cơ bản, có thể phân biệt ba điểm cơ bản:

1) Nếu mẫu số chứa hệ số “cô đơn” lũy thừa bậc nhất (trong trường hợp của chúng ta), thì chúng ta đặt một hệ số không xác định ở trên cùng (trong trường hợp của chúng ta). Ví dụ số 1, 2 chỉ bao gồm những yếu tố “cô đơn” như vậy.

2) Nếu mẫu số có nhiều multiplier, thì bạn cần phân tách nó như thế này:
- nghĩa là tuần tự đi qua tất cả các cấp độ của “X” từ cấp độ thứ nhất đến cấp độ thứ n. Trong ví dụ của chúng ta có hai thừa số: và , hãy xem xét lại cách khai triển mà tôi đã đưa ra và đảm bảo rằng chúng được khai triển chính xác theo quy tắc này.

3) Nếu mẫu số chứa đa thức bậc hai không thể phân tách (trong trường hợp của chúng tôi), thì khi phân tách trong tử số, bạn cần viết hàm tuyến tính với các hệ số không xác định (trong trường hợp của chúng tôi có hệ số không xác định và ).

Trên thực tế, còn có trường hợp thứ 4 khác nhưng tôi sẽ giữ im lặng vì trên thực tế trường hợp này cực kỳ hiếm.

Ví dụ 4

Giới thiệu một chức năng dưới dạng tổng của các phân số cơ bản với các hệ số chưa biết.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.
Thực hiện theo thuật toán nghiêm ngặt!

Nếu bạn hiểu các nguyên tắc cần thiết để khai triển một hàm hữu tỉ phân số thành một tổng, thì bạn có thể nhai qua hầu hết mọi tích phân thuộc loại đang được xem xét.

Ví dụ 5

Tìm tích phân không xác định.

Tích phân một hàm số hữu tỷ thích hợp Rõ ràng phân số đúng:

Bước 2. Có thể tính yếu tố nào đó vào mẫu số không? Có thể. Đây là tổng các khối . Phân tích mẫu số bằng công thức nhân rút gọn

Bước 3. Sử dụng phương pháp hệ số không xác định, chúng tôi mở rộng tích phân thành tổng của các phân số cơ bản:

Xin lưu ý rằng đa thức không thể phân tích thành thừa số (kiểm tra xem phân biệt có âm hay không), vì vậy, ở trên cùng, chúng tôi đặt một hàm tuyến tính với các hệ số chưa biết chứ không chỉ một chữ cái.

Ta đưa phân số về mẫu số chung:

Hãy soạn và giải hệ:

(1) Ta biểu diễn phương trình thứ nhất và thay vào phương trình thứ hai của hệ (đây là cách hợp lý nhất).

(2) Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong phương trình thứ hai.

(3) Chúng ta cộng các phương trình thứ hai và thứ ba của hệ số hạng theo số hạng.

Về nguyên tắc, tất cả các phép tính tiếp theo đều được thực hiện bằng miệng vì hệ thống rất đơn giản.

(1) Viết tổng các phân số theo hệ số tìm được.

(2) Chúng tôi sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân không xác định. Điều gì đã xảy ra trong tích phân thứ hai? Bạn có thể làm quen với phương pháp này trong đoạn cuối của bài học. khẩn trương.

(3) Một lần nữa chúng ta sử dụng các tính chất tuyến tính. Trong tích phân thứ ba chúng ta bắt đầu cô lập bình phương hoàn chỉnh (đoạn áp chót của bài học) khẩn trương).

(4) Chúng ta lấy tích phân thứ hai, trong tích phân thứ ba chúng ta chọn hình vuông đầy đủ.

(5) Lấy tích phân thứ ba. Sẵn sàng.

Một bài kiểm tra về tích phân các hàm, bao gồm cả phân số hữu tỷ, được giao cho học sinh năm thứ nhất và năm thứ hai. Các ví dụ về tích phân chủ yếu sẽ được các nhà toán học, kinh tế học và thống kê quan tâm. Những ví dụ này đã được hỏi trong quá trình thử nghiệm tại LNU. Tôi. Frank. Điều kiện của các ví dụ sau là “Tìm tích phân” hoặc “Tính tích phân”, vì vậy để tiết kiệm không gian và thời gian của bạn, chúng không được viết ra.

Ví dụ 15. Chúng ta đã tiến tới tích phân các hàm hữu tỉ phân số. Chúng chiếm một vị trí đặc biệt trong số tích phân vì chúng đòi hỏi nhiều thời gian để tính toán và giúp giáo viên kiểm tra kiến ​​thức của bạn không chỉ về tích phân. Để đơn giản hóa hàm theo tích phân, chúng ta cộng và trừ một biểu thức ở tử số, điều này sẽ cho phép chúng ta chia hàm theo tích phân thành hai hàm đơn giản

Kết quả là chúng ta tìm được một tích phân khá nhanh, trong giây chúng ta cần khai triển phân số thành tổng của các phân số cơ bản

Khi rút gọn về mẫu số chung, ta thu được các chữ số sau

Tiếp theo, mở dấu ngoặc và nhóm

Chúng ta đánh đồng giá trị của cùng lũy ​​thừa của “x” ở bên phải và bên trái. Kết quả là chúng ta đi đến hệ ba phương trình tuyến tính (SLAE) với ba ẩn số.

Cách giải hệ phương trình được mô tả trong các bài viết khác trên trang web. Trong phiên bản cuối cùng, bạn sẽ nhận được giải pháp SLAE sau
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Chúng ta thay thế các hằng số vào việc khai triển các phân số thành những phân số đơn giản nhất và thực hiện tích phân


Điều này kết thúc ví dụ.

Ví dụ 16. Một lần nữa chúng ta cần tìm tích phân của hàm hữu tỉ phân số. Để bắt đầu, chúng ta sẽ phân tích phương trình bậc ba có trong mẫu số của phân số thành các thừa số đơn giản

Tiếp theo, chúng ta phân tích phân số thành dạng đơn giản nhất

Chúng ta giảm vế phải thành mẫu số chung và mở dấu ngoặc ở tử số.


Chúng tôi đánh đồng các hệ số cho cùng một mức độ của biến. Hãy đến với SLAE một lần nữa với ba ẩn số

Ta thay các giá trị A, B, C vào khai triển và tính tích phân

Hai số hạng đầu tiên cho logarit, số hạng cuối cùng cũng dễ tìm.

Ví dụ 17. Trong mẫu số của hàm hữu tỉ phân số ta có hiệu lập phương. Sử dụng các công thức nhân rút gọn, chúng ta phân tích nó thành hai thừa số đơn giản

Tiếp theo, chúng ta viết hàm phân số thu được thành tổng của các phân số đơn giản và quy chúng về mẫu số chung

Trong tử số, chúng ta nhận được biểu thức sau.

Từ đó ta lập được hệ phương trình tuyến tính để tính 3 ẩn số

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Chúng ta thay A, B, C vào công thức và thực hiện tích phân. Kết quả là chúng ta đi đến câu trả lời sau:


Ở đây, tử số của tích phân thứ hai được chuyển thành logarit và phần dư dưới tích phân cho ta arctang.
Có rất nhiều ví dụ tương tự về việc tích hợp các phân số hữu tỷ trên Internet. Bạn có thể tìm thấy các ví dụ tương tự từ các tài liệu dưới đây.