Hàm mũ và hàm logarit VIII
§ 182 Các tính chất cơ bản của hàm logarit
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm logarit
y = nhật ký một x (1)
Chúng ta hãy nhớ rằng dưới MỘT trong công thức (1) chúng tôi muốn nói đến bất kỳ cố định nào số dương, khác với 1.
Tài sản 1.Miền định nghĩa của hàm logarit là tập hợp tất cả các số dương.
Thật vậy, hãy b là một số dương tùy ý. Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng nhật ký biểu thức một b được xác định. Như chúng ta đã biết, đăng nhập một b không gì khác hơn là nghiệm của phương trình
và z = b (2)
Nếu như MỘT Và b là các số dương và MỘT =/= 1, thì phương trình như vậy, theo tính chất 2 và 5 của hàm số mũ (xem § 179), luôn chỉ có một nghiệm. Root này là nhật ký một b . Vì vậy hãy đăng nhập một b V. trong trường hợp nàyđược xác định
Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng nếu b < 0, то выражение logmột b không được xác định.
Thật vậy, nếu biểu thức này có ý nghĩa thì nó sẽ cho ra nghiệm của phương trình (2); trong trường hợp này sự bình đẳng sẽ phải giữ
MỘT nhật ký một b = b .
Trong thực tế, đẳng thức này không được thỏa mãn, vì vế trái của nó là dương, còn vế phải của nó là số âm hoặc bằng không.
Vì vậy, nhật ký biểu thức một b (MỘT > 0, MỘT ===1) được xác định cho tất cả các giá trị dương b , nhưng không được xác định cho bất kỳ giá trị âm b , cũng không phải cho b = 0. Và điều này có nghĩa là miền định nghĩa của hàm y = nhật ký một x là tập hợp tất cả các số dương.
Tính chất đầu tiên của hàm logarit đã được chứng minh. Giải thích hình học của tính chất này là đồ thị của hàm số y = nhật ký một x hoàn toàn nằm trong nửa mặt phẳng bên phải, chỉ tương ứng giá trị tích cực X (xem hình 250 và 251).
Tài sản 2. Phạm vi biến thiên của hàm logarit là tập hợp tất cả các số.
Điều này có nghĩa là nhật ký biểu thức một x Tại ý nghĩa khác nhau X có thể nhận bất kỳ giá trị số nào.
Cho phép b - tùy ý số thực. Hãy chứng minh rằng có một số X , thỏa mãn điều kiện
nhật ký một x = b . (3)
Điều này sẽ chứng minh tính chất 2.
Mối quan hệ (3) có nghĩa giống như mối quan hệ
và b = x .
Con số MỘT - tích cực. Và lũy thừa của bất kỳ số dương nào với số mũ tùy ý luôn được xác định. Do đó, việc chọn làm giá trị mong muốn X con số một b , ta sẽ thỏa mãn điều kiện (3).
Tài sản 3. Tại MỘT > 1 hàm logarit y = nhật ký một x đang tăng đơn điệu, và khi 0 < MỘT < 1 - giảm dần đều.
Cho phép MỘT > 1 và X 2 > X 1. Hãy chứng minh điều đó
nhật ký một x 2 > nhật ký một x 1 .
Để chứng minh điều này, hãy giả sử điều ngược lại: log một x 2 < logmột x 1 hoặc đăng nhập một x 2 = nhật ký một x 1. Tại MỘT > 1 hàm số mũ Tại = MỘT x tăng lên một cách đơn điệu. Vì vậy, từ nhật ký điều kiện một x 2 < logmột x 1 nó theo sau đó MỘT nhật ký một x 2 < MỘT nhật ký một x 1, Nhưng MỘT nhật ký một x 2 = x 2 , MỘT nhật ký một x 1 = x 1. Kể từ đây, x 2 < x 1. Và điều này mâu thuẫn với điều kiện theo đó x 2 > x 1. Một giả định khác cũng dẫn đến mâu thuẫn: log một x 2 = nhật ký một x 1. Trong trường hợp này nên có MỘT nhật ký một x 2 < MỘT nhật ký một x 1 hoặc x 2 = x 1. Vẫn phải thừa nhận rằng
nhật ký một x 2 > nhật ký một x 1 .
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng khi MỘT > 1 chức năng Tại = nhật ký một x đang tăng lên một cách đơn điệu.
Trường hợp khi MỘT < 1, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.
Thuộc tính thứ 3 của hàm logarit cho phép giải thích hình học đơn giản. Tại MỘT > 1 đồ thị hàm số Tại = nhật ký một x với sự tăng trưởng X tăng ngày càng cao hơn (xem Hình 250), và khi MỘT < 1 он с ростом X ngày càng chìm xuống (xem Hình 251).
Kết quả. Nếu logarit của hai số có cùng cơ số dương khác với 1, bằng nhau thì bản thân các số này cũng bằng nhau.
Nói cách khác, từ điều kiện
nhật ký một x = nhật ký à ừ (Một > 0, MỘT =/= 1)
nó theo sau đó
x = y .
Thật vậy, nếu một trong các số X Và Tại lớn hơn cái kia, thì do tính đơn điệu của hàm logarit nên một trong nhật ký sốmột x và đăng nhập à ừ sẽ có nhiều hơn cái kia. Nhưng điều đó không đúng. Kể từ đây, x = y .
Thuộc tính 4. Tại X =1 hàm logarit Tại = nhật ký một x nhận giá trị bằng 0.
Về mặt đồ họa, điều này có nghĩa là bất kể MỘT đường cong Tại = nhật ký một x cắt với trục X tại abscissa X = 1 (xem Hình 250 và 251).
Để chứng minh tính chất thứ 4, chỉ cần lưu ý rằng với mọi số dương MỘT
MỘT 0 = 1.
Vì vậy hãy đăng nhập Một 1 = 0.
Tài sản 5. Cho phép MỘT > 1. Sau đó tại X > 1chức năng Tại = nhật ký một x mang giá trị dương và tại 0< X < 1 - отрицательные значения.
Nếu như 0 < MỘT < 1, thì ngược lại, khi X > 1 chức năng Tại = nhật ký một x lấy giá trị âm và khi nào 0 < X < 1 - những giá trị tích cực.
Thuộc tính này của hàm logarit cũng cho phép diễn giải bằng đồ họa đơn giản. Hãy để, ví dụ, MỘT >1. Khi đó phần đó của đường cong Tại = nhật ký một x , tương ứng với các giá trị X > 1, nằm phía trên trục X , và phần của đường cong này tương ứng với các giá trị 0< X < 1, находится ниже оси X (xem hình 250). Trường hợp khi Một < 1 (рис. 251).
Tính chất thứ 5 của hàm logarit là hệ quả đơn giản của tính chất thứ 3 và thứ 4. Để cụ thể hơn, chúng ta hãy xem xét trường hợp khi MỘT > 1. Khi đó, theo tính chất thứ 3, hàm Tại = nhật ký một x sẽ tăng đơn điệu. Vì vậy nếu X > 1, sau đó đăng nhập một x > nhật ký Một 1. Nhưng theo điều thứ 4 đăng nhập thuộc tínhMột 1= 0. Do đó, khi X > 1 nhật ký một x > 0. Khi X < 1 logmột x < logMột 1, đó là nhật ký một x < 0.
Trường hợp có thể được xem xét tương tự khi MỘT < 1. Учащимся предлагается разобрать его самостоятельно.
Đối với năm thuộc tính của hàm logarit đang được xem xét, chúng ta sẽ thêm một thuộc tính nữa mà không cần chứng minh, giá trị của nó được phản ánh rõ ràng trong Hình 250 và 251.
Tài sản 6.Nếu như MỘT >1, vậy khi nào X -> 0 giá trị hàm Tại = nhật ký một x giảm vô thời hạn (Tại -> - ∞ ). Nếu như 0 < MỘT < 1, vậy khi nào X -> 0 giá trị hàm Tại = nhật ký một x tăng vô thời hạn (Tại -> ∞ ).
Bài tập
1390. Tìm miền định nghĩa chức năng sau đây:
MỘT) y = log 2 (1 + X ); d) y = nhật ký 7 | x |;
b) y = log 1/3 ( X 2 + 1); đ) y = log 3 ( x 2 + x - 2);
V) y = log 10 (4 + X 2)g) y = log 0,5 (5 x - x 2 - 6);
G) y = log 5 (- X ); h) y = log 6 ( x 2 + x + 1).
1391. Vì những giá trị gì X trong khoảng 0 < X < 2π biểu thức được xác định:
a) log 2 (tội lỗi X ); c) log 4 (tg X );
b) log 3 (cos X ); d) log 5 (ctg X )?
1392. Bạn có thể nói gì về cái lớn nhất và giá trị thấp nhất chức năng:
MỘT) y = nhật ký 2 x ; b) y = | nhật ký 2 x | ?
1393. Dựa vào tính chất nào của hàm logarit có thể phát biểu rằng
a) log 10 5 > log 10 4; b) log 0,1 5< log 0,1 4?
1394. Số nào lớn hơn:
a) log 2 5 hoặc log 2 6; c) log 1/3 2 hoặc log 1/3 4;
b) log 5 1/2 hoặc log 5 1/3; d) log 1/7 4/5 hay log 1/7 5/6?
1395. Quyết định về X bất bình đẳng:
a) nhật ký 2 X > nhật ký 2 3; d) log 1/2 (3 X ) < log 1/2 6;
b) log 3 X 2 > log 3 4; e) log 10 ( X 2 - 1) > log 10 (4 X + 4);
c) log 1/3 X > log 1/3 2; e) log 0,1 (1 - X 2) > log 0,1 (2 X + 2).
1396. Có thể nói gì về con số MỘT , Nếu như
a) nhật ký Một 7 > nhật ký Một 6; c) nhật ký Một 1 / 3 < logMột 1 / 2 ;
b) nhật ký Một 5 < logMột 4; d) nhật ký Một 5 > 0?
1397. Có thể nói gì về con số MỘT , nếu với bất kỳ giá trị nào X
nhật ký Một (X 2 + l) > nhật ký Một X ?
1398. Giữa các số nguyên liên tiếp có logarit kèm theo:
a) log 2 5; b) log 3 8; c) log 1/3 7; d) log 1/2 9?
1399. Số nào sau đây là số dương, số nào là số âm:
a) log 2 5; c) log 1/2 5; e) log 7 1; g) nhật ký π/ 3 4;
b) log 2 1/3; d) log 1/3 1/2; e) nhật ký π 3; h) nhật ký π/ 4 4?
1) Với a > 0, a = 1, hàm y = a x được xác định, khác với
không thay đổi. Hàm này được gọi là hàm số mũ với cơ số a.
2) Hàm số có dạng y = loga x được gọi là logarit, trong đó a là số đã cho,
a > 0, a ≠ 1.
Hãy xem xét các tính chất của hàm logarit.
1) Miền định nghĩa của hàm logarit là tập hợp tất cả các số dương.
Tuyên bố này tuân theo định nghĩa của logarit, vì chỉ với x > 0 thì biểu thức loga x mới có ý nghĩa.
2) Tập hợp các giá trị của hàm logarit được biểu diễn bằng tập R của tất cả các số thực.
Tuyên bố này xuất phát từ thực tế là với mọi số b (b là số thực) đều tồn tại một số dương x sao cho loga x = b, tức là phương trình Chúng ta đang xét một hàm số có dạng Y = logarit cơ số A, X, trong đó A lớn hơn 0 và A không bằng một.
Miền của hàm số là tập hợp các số dương và miền giá trị là tập hợp tất cả các số thực.
Rõ ràng hàm số này không chẵn cũng không lẻ, bởi vì miền định nghĩa không đối xứng với trục tọa độ hoặc với gốc tọa độ.
Y = 0 tại một điểm - khi X = một.
Đồ thị của hàm logarit trông như thế này. Đi qua điểm một trên trục X, đây là trường hợp A nhiều hơn một,
và khi A nhỏ hơn một và lớn hơn 0, nó trông như thế này.
Chúng ta hãy lưu ý các khoảng của dấu hiệu hằng số. Đối với A lớn hơn một, Y dương trong phạm vi từ một đến cộng vô cùng và âm trong phạm vi từ 0 đến một.
Nếu A nhỏ hơn một thì Y dương trong khoảng từ 0 đến 1 và âm trong khoảng từ 1 đến cộng vô cùng.
Tất cả những tuyên bố này trở nên rõ ràng nếu bạn nhìn vào biểu đồ của hàm này.
Thật thuận tiện khi nhớ không phải những câu lệnh này mà là loại biểu đồ
khi A lớn hơn một và khi A nhỏ hơn một thì có thể dễ dàng suy ra các khoảng của dấu hằng số.
Chúng ta cũng hãy lưu ý các khoảng thời gian tăng và giảm. Khi A lớn hơn một, hàm số tăng trên toàn bộ miền định nghĩa: từ 0 đến cộng vô cùng,
và khi A lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1, nó giảm trong toàn bộ phạm vi định nghĩa.
Hàm số không có cực trị. 
3) Logarit của số b cơ số a (b > 0, a > 0, a<>1) là số mũ mà số a phải được nâng lên để có được số b:
Đẳng thức này, thể hiện định nghĩa của logarit, được gọi là đẳng thức cơ bản nhận dạng logarit. Đẳng thức logab = x có nghĩa là ax = b.
Logarit cơ số 10 có ký hiệu đặc biệt log10 x = log x và được gọi là logarit thập phân. Vì logarit thập phân các đẳng thức đúng: 10log x = x, log 10n = n
Logarit cơ số e có trong toán học giá trị lớn. Số e xấp xỉ 2,7. Một biểu thức chính xác hơn: e = 2.718281828459045...
tuy nhiên, bản thân số e là số vô tỉ. Đối với logarit cơ số này cũng có một ký hiệu đặc biệt loge x = ln x và tên logarit tự nhiên. Đặc biệt, trong số các tính chất của số e, có thể lưu ý những điều sau: tiếp tuyến của đồ thị hàm y = ex tại điểm (0; 1) tạo thành một góc 45° với trục hoành. Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách. Nhưng vì logarit không chính xác số thường xuyên, ở đây có những quy tắc được gọi là thuộc tính cơ bản.
Bạn chắc chắn cần phải biết những quy tắc này - không có chúng thì không một vấn đề nghiêm trọng nào có thể được giải quyết. bài toán logarit. Ngoài ra, có rất ít trong số đó - bạn có thể học mọi thứ trong một ngày
Đồ thị (xem hình trên) của hàm y = xn và y =n x đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ 1 và thứ 3.
Ví dụ 3.4.3. Hàm số f(x) = sin x, x [−π/2, π/2] tăng và liên tục. Vì f(±π/2) = ±1, nên theo Định lý 1.1, 3.9, 3.11 tồn tại hàm nghịch đảo f−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2], hàm này đang tăng và liên tục. Nó được gọi là hàm arcsine và được ký hiệu là arcsin. Do đó, hàm arcsin gán cho từng số x [−1, 1]
tương ứng với một số trong đoạn "−π 2 ,π 2 # , sin của nó bằng x.
y s6 | |||||||
−1 giây | |||||||
Đồ thị (xem hình) của các hàm y = sin x, x " −π 2 ,π 2 # và y = arcsin x,
x [−1, 1] đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ 1 và thứ 3.
Bình luận. Tương tự, hàm giảm liên tục y = arccos x, hoạt động từ [−1, 1] trong , và hàm tăng liên tục y = arctan x, hoạt động từ R
trong (−π/2, π/2).
3.5 Hàm mũ, hàm logarit và hàm lũy thừa
TRONG khóa học đại số ở trường và bắt đầu phân tích được xác định theo mức độ a r số a > 0 s chỉ số hợp lý r, tức là trên tập Q
số hữu tỉ Hàm mũ f(r) = ar được xác định và một số tính chất của nó được làm rõ:
1) a r > 0, r Q,
2) f tăng thêm Q nếu a > 1; f giảm trên Q nếu a (0, 1),
3) a p · aq = ap+q , p, q Q,
4) (a p )q = ap q , p, q Q,
5) (a · b) p = ap · bp , p Q, a > 0 b > 0.
Hãy chứng minh các khẳng định sau. | ||||||||||||||||||||
Bổ đề 3.5.1. | ||||||||||||||||||||
lim a1/n = 1, | lim a−1/n = 1, | |||||||||||||||||||
thì ε > 0 N = N(ε) N: n > N | ||||||||||||||||||||
|a1/n − 1|< ε, |a−1/n − 1| < ε. | ||||||||||||||||||||
Cho n0 N và n0 > N. Khi đó | < a1/n 0 < | |||||||||||||||||||
ε < a− 1/n 0 | ||||||||||||||||||||
Do đó, nếu δ = | (−δ, δ) T Q | |||||||||||||||||||
ε < a−1/n 0 < ar < a1/n 0 < | ||||||||||||||||||||
: r (−δ, δ) T Q | ||||||||||||||||||||
hội chợ |
||||||||||||||||||||
bất bình đẳng |a | − 1| < ε, что завершает доказательство. | |||||||||||||||||||
Bổ đề 3.5.2. Cho a > 0, (rn ) là dãy hội tụ của các số hữu tỷ. Khi đó dãy (ar n ) hội tụ.
Hãy chứng minh rằng dãy số (ar n) là dãy số cơ bản. Lưu ý rằng n, m N
|ar n − ar m | = arm m |ar n − r m − 1|.
Vì dãy (rn) hội tụ nên tồn tại số hữu tỉ A sao cho rn ≤ A, n N. Do đó, n N
ar n ≤ aA = B.
Theo Bổ đề 3.5.1 ε > 0 δ = δ(ε) > 0: r (−δ, δ)T Q giữ nguyên
bất bình đẳng
|ar − 1|
Từ tính cơ bản của dãy (rn), ta thu được:
N = N(δ) N: n > N, m > N |rn − rm |< δ.
Do đó n > N, m > N
|ar n − ar m | = arm m |ar n −r m − 1|< B ·B ε = ε,
có nghĩa là chuỗi (ar n) là cơ bản.
Định nghĩa 3.5.1. Cho a > 0, x 0 R, (r n ) là một dãy số hữu tỉ hội tụ về x 0 . Hãy đặt
rìu 0 = lim ar n .
Bổ đề 3.5.3. Định nghĩa 3.5.1 đúng ở chỗ
cải trang giới hạn lim a r n không phụ thuộc vào việc chọn dãy
số hữu tỉ (r n ) hội tụ về x 0 .
Cho (rn 0), (rn 00) là các dãy số hữu tỷ tùy ý hội tụ về x0. Theo Bổ đề 3.5.2, tương ứng
các chuỗi (ar n0), (ar n00) hội tụ. Hãy chứng minh lim ar n0 =
lim ar n 00 .
Hãy sáng tác trình tự mới(rn) như vậy
r n = rk 0 nếu n = 2k − 1,
rk 00 nếu n = 2k, k N.
Rõ ràng là nó hội tụ về số x0. Theo Bổ đề 3.5.2, dãy (ar n ) hội tụ. Xét rằng các dãy (ar n0), (ar n00) là các dãy con của dãy (ar n), ta thu được
lim ar n 0 = lim ar n 00 = lim ar n .
n→∞ n→∞ n→∞
Bình luận. Nếu x0 =p q là một số hữu tỉ thì giá trị của
phạt ax 0, được tìm thấy theo định nghĩa 3.5.1, trùng với giá trị của ap/q trong biểu thức đã biết trước đó. khóa học có ý nghĩa đại số, vì trong số các dãy số hữu tỉ hội tụ về x0 =p q có
dãy (rn): rn =p q, n N, và ar n = ap/q → ap/q.
Định nghĩa 3.5.2. Giả sử a là một số dương và a 6 = 1. Chức năng được pháp luật quy định
x R → rìu,
gọi là hàm mũ với cơ số a.
Hãy nghiên cứu một số tính chất của hàm số mũ.
Định lý 3.12. Nếu a > 1 thì hàm f(x) = a x tăng thêm R. Nếu a (0, 1) thì hàm f(x) = a x giảm đi R.
Hãy để chúng tôi chứng minh phần đầu tiên của tuyên bố.
Ta sửa các số tùy ý x1 , x2 R sao cho x1< x2 . По принципу Архимеда существуют рациональные числа r1 , r2 такие, что x1 < r1 < r2 < x2 . Пусть {rn 0 }, {rn 00 } - последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к x1 и x2 , причем
rn 0< r1 < r2 < rn 00 , n N.
Theo tính chất 2 của hàm mũ xác định trên tập hợp số Q,
arn 0< ar 1 < ar 2 < ar n 00 , n N.
Chuyển đến giới hạn n → ∞ trong các bất đẳng thức cực trị và xét đến Định nghĩa 3.5.1, ta thu được
rìu 1 ≤ ar 1< ar 2 ≤ ax 2 .
x1 , x2 R: x1< x2 ax 1 < ax 2 ,
điều này chứng tỏ rằng hàm f(x) = ax tăng trên tập R nếu a > 1.
Trường hợp a (0, 1) xử lý tương tự.
Định lý 3.13. Hàm mũ f(x) = a x trên R chỉ nhận giá trị dương.
Để cụ thể, hãy xem xét hàm số mũ có cơ số a > 1.
Cho x0 là một số thực tùy ý. Theo nguyên lý Archimedes, tồn tại số nguyên n0 sao cho n0 ≤ x0< n0 + 1. В силу возрастания функции f(x) = ax , имеем:
một 0 ≤ ax 0
Nhưng theo Thuộc tính 1 của hàm mũ được xác định trên tập hợp số Q, a 0 > 0. Do đó, ax 0 > 0.
Định lý 3.14. Hàm mũ f(x) = a x liên tục trên tập R số thực.
Hàm f đơn điệu trên tập R nên nó có giới hạn một phía hữu hạn tại điểm x = 0. Vì
lim a1/n = lim a−1/n = 1, | |||||
thì f(+0) = f(−0) = 1. Do đó, tồn tại một giới hạn |
|||||
lim f(x) = 1 = a0 , | |||||
có nghĩa là tính liên tục của hàm f tại điểm x = 0. |
|||||
Bây giờ chúng ta sửa một điểm tùy ý x0 6= 0 và số tùy ý |
|||||
ε > 0. Lưu ý rằng | |||||
|f(x) − f(x0 )| = |ax − ax 0 | = ax 0 |ax−x 0 − 1|. |
|||||
Vì hàm f liên tục tại điểm x = 0 nên | |||||
δ = δ(ε) > 0: x R, |x − x0 |< δ |ax | |||||
rìu 0 |
|||||
Do đó x R: |x − x0 |< δ |ax − ax 0 | < ax 0 · | = ε, điều này chứng tỏ |
||||
rìu 0 |
|||||
tính liên tục của hàm f trong điểm tùy ý x0 R.
Định lý 3.15. Nếu f(x) = ax thì f(R) = (0, +∞).
Nhưng, như chúng ta đã biết, lim an = + | a−n = 0. Do đó, theo định lý |
||||
Heine về giới hạn của hàm số | |||||
lim rìu = + | rìu = 0. |
||||
Theo Nhận xét 2 của Định lý 3.9 f(−∞, +∞) = (0, +∞).
Theo Định lý 3.11 về tính liên tục hàm nghịch đảo thành đơn điệu trên khoảng, hàm mũ f(x) = ax có nghịch đảo f−1 : (0, +∞) → R, là hàm liên tục, tăng nếu a > 1 và giảm nếu a (0, 1) . Nó được gọi là logarit cơ số a (a > 0, a 6= 1) và được ký hiệu là loga : (0, +∞) → R. Nếu a = e thì logarit được gọi là tự nhiên và được ký hiệu là ln.
Định nghĩa 3.5.3. Cho α là một số thực khác 0. Hàm gán x α cho mỗi x dương được gọi là hàm lũy thừa, α là số mũ của nó.