Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

Giá trị lớn nhất của hàm là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị của nó.

Một hàm chỉ có thể có một giá trị lớn nhất và một giá trị nhỏ nhất hoặc có thể không có giá trị nào cả. Việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm liên tục dựa trên tính chất sau của các hàm này:

1) Nếu trong một khoảng nhất định (hữu hạn hoặc vô hạn), hàm số y=f(x) là liên tục và chỉ có một cực trị và nếu đây là cực đại (cực tiểu) thì nó sẽ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trong khoảng thời gian này.

2) Nếu hàm f(x) liên tục trên một đoạn nhất định thì nhất thiết nó phải có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. Các giá trị này đạt được tại các điểm cực trị nằm bên trong phân khúc hoặc tại ranh giới của phân khúc này.

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một phân đoạn, bạn nên sử dụng sơ đồ sau:

1. Tìm đạo hàm.

2. Tìm điểm tới hạn của hàm số tại đó = 0 hoặc không tồn tại.

3. Tìm các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn và ở các điểm cuối của đoạn thẳng và chọn từ chúng giá trị f max lớn nhất và f max nhỏ nhất.

Khi quyết định bài toán ứng dụng, đặc biệt là tối ưu hóa, quan trọng có nhiệm vụ tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (cực đại toàn cục và cực tiểu toàn cục) của một hàm trên khoảng X. Để giải các bài toán như vậy, dựa vào điều kiện, chọn một biến độc lập và biểu thị giá trị đang nghiên cứu thông qua biến này. Sau đó tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mong muốn của hàm kết quả. Trong trường hợp này, khoảng thay đổi của biến độc lập, có thể hữu hạn hoặc vô hạn, cũng được xác định từ các điều kiện của bài toán.

Ví dụ. Hồ chứa có hình dạng như một đỉnh mở hình chữ nhật song song có đáy vuông thì cần thiếc bên trong. Kích thước của bể là bao nhiêu nếu dung tích của nó là 108 lít? nước sao cho chi phí đóng hộp là tối thiểu?

Giải pháp. Chi phí phủ một bể chứa bằng thiếc sẽ tối thiểu nếu, với một dung tích nhất định, diện tích bề mặt của nó là tối thiểu. Chúng ta ký hiệu bằng a dm cạnh đáy, b dm chiều cao của bể. Khi đó diện tích bề mặt S của nó bằng

VÀ

Mối quan hệ thu được thiết lập mối quan hệ giữa diện tích bề mặt của bể chứa S (hàm) và cạnh của đế a (đối số). Chúng ta hãy kiểm tra hàm S để tìm điểm cực trị. Hãy tìm đạo hàm bậc nhất, đánh đồng nó bằng 0 và giải phương trình thu được:

Do đó a = 6. (a) > 0 với a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên khoảng thời gian.

Giải pháp: chức năng được chỉ định liên tục trên trục số. Đạo hàm của hàm

Đạo hàm cho và cho . Hãy tính các giá trị hàm tại các điểm sau:

.

Các giá trị của hàm ở cuối khoảng đã cho đều bằng nhau. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm bằng tại , giá trị nhỏ nhất của hàm bằng tại .

Câu hỏi tự kiểm tra

1. Xây dựng quy tắc L'Hopital để phát hiện tính bất định của dạng. Danh sách nhiều loại sự không chắc chắn mà quy tắc L'Hopital có thể được sử dụng.

2. Viết dấu của hàm số tăng, hàm số giảm.

3. Xác định giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số.

4. Công thức điều kiện cần thiết sự tồn tại của cực trị.

5. Những giá trị nào của đối số (điểm nào) được gọi là quan trọng? Làm thế nào để tìm thấy những điểm này?

6. Dấu hiệu đầy đủ của sự tồn tại cực trị của hàm số là gì? Hãy phác thảo sơ đồ nghiên cứu hàm số ở cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm bậc nhất.

7. Vạch ra sơ đồ nghiên cứu hàm số cực trị bằng đạo hàm bậc hai.

8. Xác định độ lồi và độ lõm của đường cong.

9. Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì? Hãy chỉ ra phương pháp tìm các điểm đó.

10. Xây dựng dấu cần và đủ của độ lồi, độ lõm của đường cong trên vì phân khúc này.

11. Xác định tiệm cận của đường cong. Cách tìm dọc, ngang và tiệm cận xiênđồ họa chức năng?

12. Đề cương sơ đồ chung nghiên cứu hàm số và xây dựng đồ thị của nó.

13. Xây dựng quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng cho trước.

Và để giải quyết nó, bạn sẽ cần kiến ​​​​thức tối thiểu về chủ đề này. Phần tiếp theo kết thúc năm học, mọi người đều muốn đi nghỉ, và để khoảnh khắc này đến gần hơn, tôi sẽ đi thẳng vào vấn đề:

Hãy bắt đầu với khu vực. Diện tích được đề cập trong điều kiện là giới hạn đóng cửa tập hợp các điểm trên mặt phẳng. Ví dụ: tập hợp các điểm giới hạn bởi một tam giác, trong đó có toàn bộ tam giác (nếu từ biên giới“chọc ra” ít nhất một điểm thì vùng đó sẽ không bị đóng nữa). Trong thực tế, cũng có những khu vực có hình chữ nhật, hình tròn và lớn hơn một chút. hình dạng phức tạp. Cần lưu ý rằng về mặt lý thuyết phân tích toán họcđịnh nghĩa nghiêm ngặt được đưa ra những hạn chế, sự cô lập, ranh giới, v.v., nhưng tôi nghĩ mọi người đều nhận thức được những khái niệm này ở mức độ trực quan và bây giờ không cần thêm gì nữa.

Vùng phẳng được biểu thị tiêu chuẩn bằng chữ cái , và theo quy luật, được chỉ định về mặt phân tích - bằng một số phương trình (không nhất thiết phải tuyến tính); ít xảy ra bất bình đẳng hơn. Những câu nói điển hình: “khu vực khép kín, được giới hạn bởi các đường ».

Một phần không thể thiếu Nhiệm vụ được đề cập là xây dựng một khu vực trong bản vẽ. Làm thế nào để làm điều này? Bạn cần vẽ tất cả các dòng được liệt kê (trong trong trường hợp này 3 thẳng) và phân tích điều gì đã xảy ra. Vùng tìm kiếm thường được tô bóng nhẹ và đường viền của nó được đánh dấu bằng một đường đậm:


Khu vực tương tự cũng có thể được thiết lập bất đẳng thức tuyến tính: , vì lý do nào đó thường được viết dưới dạng danh sách liệt kê thay vì hệ thống.
Vì ranh giới thuộc về miền nên tất cả các bất đẳng thức, tất nhiên, lỏng lẻo.

Và bây giờ là bản chất của nhiệm vụ. Hãy tưởng tượng rằng trục đi thẳng về phía bạn từ điểm gốc. Hãy xem xét một hàm liên tục trong mỗiđiểm diện tích. Đồ thị của hàm này thể hiện một số bề mặt, và niềm hạnh phúc nho nhỏ là để giải được bài toán ngày nay chúng ta không cần biết bề mặt này trông như thế nào. Nó có thể được đặt cao hơn, thấp hơn, giao nhau với mặt phẳng - tất cả điều này không thành vấn đề. Và điều sau đây rất quan trọng: theo Định lý Weierstrass, liên tục V. giới hạn đóng cửa diện tích hàm số đạt giá trị lớn nhất (“cao nhất”) và ít nhất (“thấp nhất”) các giá trị cần tìm. Những giá trị như vậy đạt được hoặc V. điểm cố định, thuộc khu vựcD , hoặc tại các điểm nằm trên ranh giới của khu vực này. Điều này dẫn đến một thuật toán giải đơn giản và minh bạch:

Ví dụ 1

Trong giới hạn khu vực khép kín

Giải pháp: Trước hết, bạn cần miêu tả khu vực trong bản vẽ. Thật không may, về mặt kỹ thuật, tôi gặp khó khăn trong việc tạo ra một mô hình tương tác của vấn đề và do đó tôi sẽ trình bày ngay hình minh họa cuối cùng, trong đó cho thấy tất cả những điểm “đáng ngờ” được tìm thấy trong quá trình nghiên cứu. Chúng thường được liệt kê lần lượt khi chúng được phát hiện:

Dựa trên lời mở đầu, thật thuận tiện khi chia quyết định thành hai điểm:

I) Tìm điểm dừng. Đây là một hành động tiêu chuẩn mà chúng tôi đã thực hiện nhiều lần trong lớp. về cực trị của một số biến:

Đã tìm thấy điểm dừng thuộc về khu vực: (đánh dấu vào bản vẽ), có nghĩa là chúng ta nên tính giá trị của hàm tại một điểm cho trước:

- như trong bài Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn, kết quả quan trọng Tôi sẽ làm nổi bật in đậm. Thật thuận tiện để theo dõi chúng trong một cuốn sổ bằng bút chì.

Hãy chú ý đến hạnh phúc thứ hai của chúng ta - chẳng ích gì khi kiểm tra điều kiện đủ để đạt cực trị. Tại sao? Ngay cả khi tại một thời điểm hàm đạt tới, ví dụ: tối thiểu địa phương, thì điều này KHÔNG CÓ NGHĨA LÀ giá trị kết quả sẽ là tối thiểu khắp khu vực (xem phần đầu bài học về sự cực đoan vô điều kiện) .

Phải làm gì nếu điểm dừng KHÔNG thuộc diện tích? Hầu như không có gì! Cần lưu ý điều đó và chuyển sang điểm tiếp theo.

II) Chúng tôi khám phá ranh giới của khu vực.

Vì đường viền bao gồm các cạnh của một hình tam giác nên có thể chia nghiên cứu thành 3 phần nhỏ để thuận tiện. Nhưng tốt hơn hết là không nên làm điều đó. Theo quan điểm của tôi, sẽ có lợi hơn nếu trước tiên xem xét các phân đoạn song song trục tọa độ, và trước hết là những người nằm trên trục. Để nắm bắt toàn bộ trình tự và logic của hành động, hãy thử nghiên cứu phần kết “trong một hơi thở”:

1) Hãy xử lý cạnh dưới của tam giác. Để thực hiện việc này, hãy thay thế trực tiếp vào hàm:

Ngoài ra, bạn có thể làm như thế này:

Về mặt hình học điều này có nghĩa là mặt phẳng tọa độ (cũng được cho bởi phương trình)"khắc" ra khỏi bề mặt một parabol "không gian", đỉnh của nó ngay lập tức bị nghi ngờ. Hãy cùng tìm hiểu cô ấy ở đâu:

– giá trị kết quả “rơi” vào khu vực và có thể tại thời điểm đó (đánh dấu trên bản vẽ) hàm số đạt cực đại hoặc giá trị thấp nhất trong toàn bộ khu vực. Bằng cách này hay cách khác, hãy thực hiện các phép tính:

Tất nhiên, những “ứng cử viên” khác là những người cuối cùng của phân khúc. Hãy tính các giá trị của hàm số tại các điểm (đánh dấu trên bản vẽ):

Nhân tiện, ở đây, bạn có thể thực hiện kiểm tra miệng nhỏ bằng cách sử dụng phiên bản “rút gọn”:

2) Đối với nghiên cứu bên phải chúng ta thay thế hình tam giác vào hàm và “sắp xếp mọi thứ theo thứ tự”:

Tại đây, chúng tôi sẽ ngay lập tức thực hiện kiểm tra sơ bộ, "đổ chuông" phần cuối của phân đoạn đã được xử lý:
, Tuyệt vời.

Tình huống hình học có liên quan điểm trước:

– giá trị kết quả cũng “nằm trong phạm vi lợi ích của chúng tôi”, có nghĩa là chúng tôi cần tính toán hàm tại điểm xuất hiện bằng:

Hãy kiểm tra đầu thứ hai của phân khúc:

Sử dụng chức năng , hãy thực hiện kiểm tra kiểm soát:

3) Chắc mọi người cũng đoán được cách khám phá phía còn lại rồi. Chúng tôi thay thế nó vào hàm và thực hiện đơn giản hóa:

Kết thúc của phân khúc đã được nghiên cứu rồi nhưng trong bản nháp chúng tôi vẫn kiểm tra xem đã tìm đúng hàm chưa :
– trùng với kết quả của tiểu đoạn 1;
– trùng với kết quả của tiểu đoạn thứ 2.

Vẫn còn phải tìm hiểu xem có điều gì thú vị bên trong phân khúc này không:

- Có đấy! Thay đường thẳng vào phương trình, ta được tọa độ của “sự thú vị” này:

Chúng tôi đánh dấu một điểm trên bản vẽ và tìm giá trị tương ứng của hàm:

Hãy kiểm tra các tính toán bằng phiên bản “ngân sách” :
, đặt hàng.

Và bước cuối cùng: Chúng tôi CẨN THẬN xem xét tất cả các con số “đậm”, tôi khuyên những người mới bắt đầu nên lập một danh sách duy nhất:

từ đó chúng tôi chọn các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Trả lời Hãy viết theo kiểu bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn:

Để đề phòng, tôi sẽ bình luận lại ý nghĩa hình học kết quả:
- đây là nhất điểm cao bề mặt trong khu vực;
- đây là nhất điểm thấp bề mặt trong khu vực.

Trong nhiệm vụ được phân tích, chúng tôi đã xác định được 7 điểm “đáng ngờ”, nhưng số lượng của chúng thay đổi tùy theo nhiệm vụ. Đối với vùng hình tam giác, "bộ nghiên cứu" tối thiểu bao gồm ba điểm. Điều này xảy ra khi hàm, ví dụ, chỉ định máy bay– hoàn toàn rõ ràng rằng không có điểm dừng và hàm số chỉ có thể đạt giá trị cực đại/nhỏ nhất tại các đỉnh của tam giác. Nhưng chỉ có một hoặc hai ví dụ tương tự - thông thường bạn phải giải quyết một số bề mặt bậc 2.

Nếu bạn cố gắng giải quyết những nhiệm vụ như vậy một chút, thì hình tam giác có thể khiến đầu bạn quay cuồng, và đó là lý do tại sao tôi đã chuẩn bị cho bạn ví dụ bất thườngđể nó thành hình vuông :))

Ví dụ 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong một khu vực khép kín được giới hạn bởi các đường

Ví dụ 3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong vùng đóng giới hạn.

Đặc biệt chú ý Hãy chú ý đến trình tự và kỹ thuật hợp lý để nghiên cứu ranh giới của khu vực, cũng như chuỗi kiểm tra trung gian, điều này sẽ gần như tránh được hoàn toàn các lỗi tính toán. Nói chung, bạn có thể giải quyết nó theo bất kỳ cách nào bạn muốn, nhưng trong một số vấn đề, chẳng hạn như trong Ví dụ 2, có mọi khả năng khiến cuộc sống của bạn trở nên khó khăn hơn nhiều. Mẫu gần đúng hoàn thành các bài tập ở cuối bài.

Hãy hệ thống hóa thuật toán giải, nếu không với sự siêng năng như một con nhện của tôi, bằng cách nào đó nó đã bị lạc trong chuỗi nhận xét dài dòng của ví dụ đầu tiên:

– Bước đầu tiên chúng ta xây dựng một vùng, nên tô bóng và đánh dấu đường viền bằng đường đậm. Trong quá trình giải sẽ xuất hiện những điểm cần đánh dấu trên hình vẽ.

– Tìm điểm dừng và tính các giá trị của hàm số chỉ ở những người trong số họ thuộc về khu vực đó. Chúng tôi đánh dấu các giá trị kết quả trong văn bản (ví dụ: khoanh tròn chúng bằng bút chì). Nếu một điểm dừng KHÔNG thuộc vùng thì chúng ta đánh dấu thực tế này bằng biểu tượng hoặc bằng lời nói. Nếu như điểm cố định hoàn toàn không, sau đó chúng tôi rút ra kết luận bằng văn bản rằng họ vắng mặt. Dù thế nào đi nữa, điểm này không thể bỏ qua!

– Chúng tôi đang khám phá biên giới của khu vực. Đầu tiên, sẽ có ích khi hiểu các đường thẳng song song với các trục tọa độ (nếu có chút nào). Chúng tôi cũng nêu bật các giá trị hàm được tính toán tại các điểm “đáng ngờ”. Rất nhiều điều đã được nói ở trên về kỹ thuật giải pháp và những điều khác sẽ được nói bên dưới - đọc, đọc lại, đi sâu vào nó!

– Từ các số đã chọn hãy chọn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và đưa ra đáp án. Đôi khi xảy ra trường hợp một hàm đạt đến các giá trị như vậy tại một số điểm cùng một lúc - trong trường hợp này, tất cả các điểm này sẽ được phản ánh trong câu trả lời. Hãy để, ví dụ, và hóa ra đây là giá trị nhỏ nhất. Sau đó chúng ta viết ra điều đó

Các ví dụ cuối cùng được dành riêng cho người khác ý tưởng hữu ích sẽ hữu ích trong thực tế:

Ví dụ 4

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong vùng đóng .

Tôi đã giữ lại công thức của tác giả, trong đó diện tích được cho dưới dạng bất đẳng thức kép. Điều kiện này có thể được viết bằng một hệ thống tương đương hoặc ở dạng truyền thống hơn cho bài toán này:

Tôi nhắc nhở bạn rằng với phi tuyến chúng tôi đã gặp phải sự bất bình đẳng trên , và nếu bạn không hiểu ý nghĩa hình học của ký hiệu, thì vui lòng đừng trì hoãn và làm rõ tình huống ngay bây giờ ;-)

Giải pháp, như mọi khi, bắt đầu bằng việc xây dựng một khu vực đại diện cho một loại “đế”:

Hmm, đôi khi bạn không chỉ phải nhai đá granit của khoa học...

I) Tìm điểm dừng:

Hệ thống là giấc mơ của một thằng ngốc :)

Một điểm dừng thuộc về miền, tức là nằm trên ranh giới của miền đó.

Và thế là không sao... buổi học diễn ra tốt đẹp - đây chính là ý nghĩa của việc uống đúng loại trà =)

II) Chúng tôi khám phá ranh giới của khu vực. Không dài dòng nữa, hãy bắt đầu với trục x:

1) Nếu , thì

Hãy tìm đỉnh của parabol ở đâu:
– đánh giá cao những khoảnh khắc như vậy – bạn “đánh” đúng vào thời điểm mà mọi thứ đã rõ ràng. Nhưng chúng ta vẫn không quên kiểm tra:

Hãy tính các giá trị của hàm ở cuối đoạn:

2) C đáy Hãy cùng tìm ra “đáy” “trong một lần ngồi” - không có bất kỳ sự phức tạp nào, chúng tôi thay thế chúng vào hàm và chúng tôi sẽ chỉ quan tâm đến phân khúc:

Điều khiển:

Điều này đã mang lại cảm giác phấn khích nhất định cho việc lái xe đơn điệu dọc theo con đường có khía. Hãy tìm những điểm quan trọng:

Hãy quyết định phương trình bậc hai, bạn có nhớ điều gì khác về điều này không? ...Tuy nhiên, tất nhiên hãy nhớ, nếu không bạn sẽ không đọc được những dòng này =) Nếu trong hai ví dụ trước tính toán trong số thập phân(nhân tiện, điều này rất hiếm), vậy thì những cái thông thường đang chờ chúng ta ở đây phân số chung. Chúng ta tìm gốc “X” và sử dụng phương trình để xác định tọa độ “trò chơi” tương ứng của các điểm “ứng cử viên”:


Hãy tính các giá trị của hàm tại các điểm tìm thấy:

Hãy tự mình kiểm tra chức năng.

Bây giờ chúng tôi nghiên cứu kỹ các danh hiệu đã giành được và viết ra trả lời:

Đây là những “ứng cử viên”, đây là những “ứng cử viên”!

Để tự giải quyết:

Ví dụ 5

Tìm số nhỏ nhất và giá trị cao nhất chức năng trong một khu vực khép kín

Một mục có dấu ngoặc nhọn có nội dung như sau: “một tập hợp các điểm sao cho”.

Đôi khi ở ví dụ tương tự sử dụng Phương pháp nhân Lagrange, nhưng dường như không có nhu cầu thực sự sử dụng nó. Vì vậy, ví dụ, nếu một hàm có cùng diện tích “de” được cho, thì sau khi thay thế vào nó – với đạo hàm không gặp khó khăn gì; Hơn nữa, mọi thứ đều được vẽ thành “một dòng” (có dấu hiệu) mà không cần phải xem xét riêng biệt hình bán nguyệt trên và dưới. Nhưng tất nhiên là còn nhiều hơn nữa trường hợp phức tạp, ở đó không có hàm Lagrange (ví dụ: ở đây có cùng phương trình của đường tròn) Thật khó để vượt qua – cũng như thật khó để vượt qua nếu không được nghỉ ngơi đầy đủ!

Chúc mọi người vui vẻ và hẹn gặp lại vào mùa giải tiếp theo!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Giải pháp: Hãy mô tả khu vực trong bản vẽ:

Quá trình tìm kiếm các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một hàm trên một đoạn gợi nhớ đến một chuyến bay hấp dẫn xung quanh một vật thể (đồ thị của hàm) trên trực thăng, bắn vào một số điểm nhất định từ một khẩu pháo tầm xa và chọn rất điểm đặc biệt từ những điểm này cho các cú đánh kiểm soát. Điểm được chọn theo một cách nhất định và theo quy tắc nhất định. Theo quy luật nào? Chúng ta sẽ nói về điều này hơn nữa.

Nếu chức năng y = f(x) liên tục trên khoảng [ Một, b] , thì nó sẽ đến đoạn này ít nhất Và giá trị cao nhất . Điều này có thể xảy ra ở điểm cực trị, hoặc ở cuối đoạn. Vì vậy, để tìm ít nhất Và giá trị lớn nhất của hàm , liên tục trên khoảng [ Một, b] , bạn cần tính các giá trị của nó trong tất cả điểm quan trọng và ở cuối đoạn, sau đó chọn phần nhỏ nhất và lớn nhất từ ​​chúng.

Ví dụ: giả sử bạn muốn xác định giá trị lớn nhất của hàm f(x) trên đoạn [ Một, b] . Để làm điều này, bạn cần tìm tất cả các điểm tới hạn của nó nằm trên [ Một, b] .

Điểm tới hạn được gọi là điểm mà tại đó hàm được xác định, và cô ấy phái sinh bằng 0 hoặc không tồn tại. Sau đó, bạn nên tính các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn. Và cuối cùng, người ta nên so sánh các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn và ở cuối đoạn ( f(Một) Và f(b)). Số lớn nhất trong số này sẽ là giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn [Một, b] .

Các vấn đề về tìm giá trị hàm nhỏ nhất .

Chúng ta cùng nhau tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc [-1, 2] .

Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm này. Hãy đánh đồng đạo hàm với 0 () và nhận được hai điểm tới hạn: và . Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, việc tính giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm là đủ, vì điểm không thuộc đoạn [-1, 2]. Các giá trị hàm này là: , , . Từ đó suy ra rằng giá trị hàm nhỏ nhất(được biểu thị bằng màu đỏ trên biểu đồ bên dưới), bằng -7, đạt được ở đầu bên phải của đoạn - tại điểm , và vĩ đại nhất(cũng có màu đỏ trên biểu đồ), bằng 9, - tại điểm tới hạn.

Nếu một hàm số liên tục trong một khoảng nhất định và khoảng này không phải là một đoạn (chẳng hạn, là một khoảng; sự khác biệt giữa một khoảng và một đoạn: các điểm biên của khoảng không được bao gồm trong khoảng, nhưng các điểm biên của đoạn được bao gồm trong đoạn đó), thì trong số các giá trị của hàm có thể không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Vì vậy, ví dụ, hàm hiển thị trong hình bên dưới là liên tục trên ]-∞, +∞[ và không có giá trị lớn nhất.

Tuy nhiên, đối với bất kỳ khoảng nào (đóng, mở hoặc vô hạn), tính chất sau đây của hàm liên tục đều đúng.

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc [-1, 3] .

Giải pháp. Chúng ta tìm thấy đạo hàm của hàm này là đạo hàm của thương:

.

Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0, điều này cho chúng ta một điểm tới hạn: . Nó thuộc đoạn [-1, 3]. Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:

Hãy so sánh các giá trị này. Kết luận: bằng -5/13, tại điểm và giá trị cao nhất bằng 1 tại điểm .

Chúng ta tiếp tục cùng nhau tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

Có những giáo viên khi tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số không đưa ra cho học sinh những ví dụ giải phức tạp hơn những ví dụ vừa trình bày, tức là những ví dụ trong đó hàm đó là đa thức hoặc a. phân số có tử số và mẫu số là đa thức. Nhưng chúng ta sẽ không giới hạn mình trong những ví dụ như vậy, vì trong số các giáo viên có những người thích ép học sinh suy nghĩ đầy đủ (bảng đạo hàm). Do đó, hàm logarit và hàm lượng giác sẽ được sử dụng.

Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc .

Giải pháp. Chúng tôi tìm thấy đạo hàm của hàm này là phái sinh của sản phẩm :

Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0, điều này cho một điểm tới hạn: . Nó thuộc về phân khúc. Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:

Kết quả của mọi hành động: hàm đạt giá trị nhỏ nhất, bằng 0, tại điểm và tại điểm và giá trị cao nhất, bình đẳng e², tại điểm.

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc .

Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm này:

Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0:

Điểm quan trọng duy nhất thuộc về phân khúc. Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:

Phần kết luận: hàm đạt giá trị nhỏ nhất, bằng , tại điểm và giá trị cao nhất, bằng , tại điểm .

Trong các bài toán cực trị được áp dụng, việc tìm các giá trị nhỏ nhất (tối đa) của hàm, theo quy luật, sẽ dẫn đến việc tìm giá trị tối thiểu (tối đa). Nhưng bản thân mức tối thiểu hoặc mức tối đa không phải là điều được quan tâm thực tế hơn mà là những giá trị của đối số mà chúng đạt được. Khi giải các bài toán ứng dụng sẽ nảy sinh thêm khó khăn- tổng hợp các chức năng mô tả hiện tượng hoặc quá trình đang được xem xét.

Ví dụ 8. Một bể chứa có sức chứa 4 người, có hình song song với đế vuông và mở ở trên cùng, bạn cần phải thiếc nó. Kích thước của bể nên là bao nhiêu để nó cần số tiền ít nhất vật liệu?

Giải pháp. Cho phép x- mặt đế, h- chiều cao bể, S- diện tích bề mặt của nó không có lớp phủ, V.- khối lượng của nó. Diện tích bề mặt của bể được biểu thị bằng công thức, tức là là hàm hai biến. Để thể hiện S là hàm của một biến, chúng ta sử dụng thực tế là , từ đâu . Thay thế biểu thức tìm thấy h vào công thức tính S:

Chúng ta hãy xem xét chức năng này đến cực trị của nó. Nó được xác định và khả vi ở mọi nơi trong ]0, +∞[ và

.

Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0 () và tìm điểm tới hạn. Ngoài ra, khi đạo hàm không tồn tại nhưng giá trị này không nằm trong miền định nghĩa và do đó không thể là điểm cực trị. Vì vậy, đây là điểm quan trọng duy nhất. Hãy kiểm tra sự tồn tại của cực trị bằng cách sử dụng dấu đủ thứ hai. Hãy tìm đạo hàm thứ hai. Khi đạo hàm bậc hai lớn hơn 0 (). Điều này có nghĩa là khi hàm đạt cực tiểu . Vì điều này cực tiểu là cực trị duy nhất của hàm này, nó là giá trị nhỏ nhất của nó. Vậy cạnh đáy của bể phải là 2 m và chiều cao của nó là .

Ví dụ 9. Từ điểm MỘT nằm trên tuyến đường sắt, đến điểm VỚI, nằm cách nó một khoảng tôi, hàng hóa phải được vận chuyển. Chi phí vận chuyển một đơn vị trọng lượng trên một đơn vị khoảng cách bằng đường sắt bằng , và bằng đường cao tốc bằng . Đến điểm nào M dòng đường sắt nên xây dựng đường cao tốc để vận chuyển hàng hóa từ MỘT V. VỚI là tiết kiệm nhất (phần ABđường sắt được coi là thẳng)?

Thuật toán tiêu chuẩn để giải các bài toán như vậy bao gồm, sau khi tìm các số 0 của hàm, xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng. Sau đó, tính toán các giá trị tại các điểm tối đa (hoặc tối thiểu) tìm thấy và tại ranh giới của khoảng, tùy thuộc vào câu hỏi nào trong điều kiện.

Tôi khuyên bạn nên làm mọi việc khác đi một chút. Tại sao? Tôi đã viết về điều này.

Tôi đề nghị giải quyết những vấn đề như vậy như sau:

1. Tìm đạo hàm.
2. Tìm các số 0 của đạo hàm.
3. Xác định xem chúng thuộc về ai khoảng thời gian này.
4. Ta tính các giá trị của hàm tại các ranh giới của khoảng và các điểm của bước 3.
5. Chúng ta rút ra kết luận (trả lời câu hỏi đặt ra).

Khi giải các ví dụ đã trình bày, lời giải chưa được xem xét chi tiết phương trình bậc hai, bạn phải có khả năng làm được điều này. Họ cũng nên biết.

Hãy xem xét các ví dụ:

77422. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x 3 –3x+4 trên đoạn [–2;0].

Hãy tìm các số 0 của đạo hàm:

Điểm x = –1 thuộc khoảng được chỉ định trong điều kiện.

Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm –2, –1 và 0:

Giá trị lớn nhất của hàm số là 6.

Đáp án: 6

77425. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – 3x 2 + 2 trên đoạn thẳng.

Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

Hãy tìm các số 0 của đạo hàm:

Khoảng được chỉ định trong điều kiện chứa điểm x = 2.

Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm 1, 2 và 4:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2.

Trả lời: –2

77426. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 – 6x 2 trên đoạn [–3;3].

Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

Hãy tìm các số 0 của đạo hàm:

Điểm x = 0 thuộc khoảng được chỉ định trong điều kiện.

Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm –3, 0 và 3:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.

Trả lời: 0

77429. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – 2x 2 + x +3 trên đoạn thẳng.

Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

3x2 – 4x + 1 = 0

Chúng ta có được các nghiệm: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Khoảng được chỉ định trong điều kiện chỉ chứa x = 1.

Hãy tìm giá trị của hàm tại điểm 1 và 4:

Chúng tôi thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm là 3.

Trả lời: 3

77430. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 + 2x 2 + x + 3 trên đoạn [– 4; –1].

Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

Hãy tìm các số 0 của đạo hàm và giải phương trình bậc hai:

3x2 + 4x + 1 = 0

Hãy lấy gốc rễ:

Căn x = –1 thuộc khoảng được chỉ định trong điều kiện.

Ta tìm các giá trị của hàm tại các điểm –4, –1, –1/3 và 1:

Chúng tôi thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm là 3.

Trả lời: 3

77433. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y = x 3 – x 2 – 40x +3 trên đoạn thẳng.

Hãy tìm đạo hàm của hàm số đã cho:

Hãy tìm các số 0 của đạo hàm và giải phương trình bậc hai:

3x2 – 2x – 40 = 0

Hãy lấy gốc rễ:

Khoảng được chỉ định trong điều kiện chứa nghiệm x = 4.

Tìm giá trị hàm số tại điểm 0 và 4:

Chúng tôi thấy rằng giá trị nhỏ nhất của hàm là –109.

Trả lời: –109

Hãy xem xét cách xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm không có đạo hàm. Cách tiếp cận này có thể được sử dụng nếu bạn có vấn đề lớn. Nguyên tắc rất đơn giản - chúng tôi thay thế tất cả các giá trị nguyên từ khoảng vào hàm (thực tế là trong tất cả các nguyên mẫu như vậy, câu trả lời là một số nguyên).

77437. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm y=7+12x–x 3 trên đoạn [–2;2].

Thay điểm từ –2 thành 2: Xem giải pháp

77434. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 trên đoạn [–2;0].

Thế thôi. Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.

Thông thường trong vật lý và toán học người ta yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bây giờ chúng tôi sẽ cho bạn biết làm thế nào để làm điều này.

Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm: hướng dẫn

1. Để tính giá trị nhỏ nhất hàm liên tục trên một phân khúc nhất định, bạn cần tuân theo thuật toán này:
2. Tìm đạo hàm của hàm số.
3. Tìm trên một đoạn đã cho các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0, cũng như tất cả các điểm tới hạn. Sau đó tìm ra các giá trị của hàm tại các điểm này, tức là giải phương trình trong đó x bằng 0. Tìm giá trị nào nhỏ nhất.
4. Xác định giá trị của hàm điểm cuối. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số tại các điểm đó.
5. So sánh dữ liệu thu được với giá trị thấp nhất. Số kết quả nhỏ hơn sẽ là giá trị nhỏ nhất của hàm.

Lưu ý rằng nếu một hàm trên một đoạn không có điểm nhỏ nhất, điều này có nghĩa là trong một phân đoạn nhất định, nó tăng hoặc giảm. Do đó, giá trị nhỏ nhất phải được tính trên các phân đoạn hữu hạn của hàm.

Trong tất cả các trường hợp khác, giá trị của hàm được tính theo thuật toán đã chỉ định. Tại mỗi điểm của thuật toán, bạn sẽ cần giải một bài toán đơn giản phương trình tuyến tính với một gốc. Giải phương trình bằng hình ảnh để tránh sai sót.

Làm cách nào để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn nửa mở? Trong khoảng thời gian nửa mở hoặc mở của hàm số, giá trị nhỏ nhất sẽ được tìm thấy như sau. Tại các điểm cuối của giá trị hàm, tính giới hạn một phía của hàm. Nói cách khác, giải một phương trình trong đó các điểm xu hướng được cho bởi các giá trị a+0 và b+0, trong đó a và b là tên điểm quan trọng.

Bây giờ bạn đã biết cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Điều chính là thực hiện tất cả các phép tính một cách chính xác, chính xác và không có lỗi.