Kích thước: px
Bắt đầu hiển thị từ trang:
bảng điểm
1 Chuyên đề 8. Hàm mũ và hàm logarit. 1. hàm số mũ, đồ thị và các tính chất của nó Trong thực tế, các hàm thường được sử dụng y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x, v.v., tức là hàm có dạng y=a x , trong đó một - số đã cho, x là một biến. Các hàm như vậy được gọi là hàm mũ. Tên này được giải thích bởi thực tế là đối số của hàm số mũ là số mũ và cơ số của số mũ là số đã cho. Chức năng, được cho bởi công thức y=a x (trong đó a>0,a 1) được gọi là hàm mũ cơ số a. Chúng ta hãy xây dựng các tính chất chính của hàm số mũ: 1. Miền định nghĩa - tập R số thực. 2. Phạm vi là tập R+ của tất cả các số thực dương. 3. Với a>1, hàm số tăng dọc theo toàn bộ trục số; lúc 0
2 2) cho trường hợp 0
3 Đồ thị của hàm số y=(1 2x), cũng đi qua điểm (0;1) và nằm phía trên trục Ox. Nếu x>0 và tăng thì đồ thị nhanh chóng tiến gần đến trục Ox (không cắt nó). ); nếu x<0 и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции y=a x, если 0
4 q a p 4. a 4 = 1 a 4. Nếu p q là một phân số thông thường (p>0,q 1) và a>0, thì a p q có nghĩa là p q, tức là aq= a p = = 7 5,a = = (4 3) 2 =4 2 =16 Hãy chú ý! Các nhà toán học đồng ý chỉ nâng các số không âm lên lũy thừa phân số (điều này đã được quy định trong định nghĩa). Vì vậy, ký hiệu có dạng (8) 1 3 được coi là vô nghĩa trong toán học. Nếu p là một phân số thông thường (q 1) và a>0 thì q a p q có nghĩa là 1, tức là a p q = 1,a>0 p aq Có ba phương pháp chính để giải phương trình mũ được trình bày trong các tài liệu lý thuyết sau đây của phần này. 3. Phương pháp đồ họa chức năng Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các hình ảnh minh họa bằng đồ họa hoặc bất kỳ đặc tính nào của chức năng. Trong một hệ tọa độ, chúng ta xây dựng đồ thị của các hàm được viết ở bên trái và bên phải của phương trình, sau đó chúng ta tìm điểm (điểm) giao điểm của chúng. Trục hoành của điểm tìm thấy là nghiệm của phương trình. 1. Giải phương trình 5 x =6 x Vẽ đồ thị của các hàm số y=5 x và y=6 x p aq 4 trong một hệ tọa độ
5 Chúng cắt nhau tại một điểm (1; 5). Việc kiểm tra cho thấy trên thực tế điểm (1; 5) thỏa mãn cả phương trình y=5 x và phương trình y=6 x. Trục hoành của điểm này đóng vai trò là gốc duy nhất của phương trình đã cho, vì y=5 x là hàm tăng và y=6 x là hàm giảm. Vì vậy, phương trình 5 x =6 x có một nghiệm duy nhất x=1. 2. Giải phương trình: (1 3)x =3; Xây dựng được đồ thị của các hàm y=(1 3)x và y=3, 5 trong một hệ tọa độ
6 chúng tôi nhận thấy (xem hình) rằng chúng có một điểm chung (-1; 3). Điều này có nghĩa là phương trình (1 3)x =3; có một nghiệm duy nhất x= 1. Vì vậy, từ phương trình (1 3)x = (1 3)-1 ta có x= Phương pháp cân bằng chỉ số Vì đẳng thức a t =a s, trong đó a>0,a 1 hợp lệ nếu và chỉ khi, khi t=s, thì mệnh đề sau là đúng: Phương trình hàm mũ a f(x) =a g(x) (trong đó a>0, a 1) tương đương với phương trình f(x)=g(x ). 1. Giải phương trình: 2 2x 4 =64 Biểu diễn 64 thành 2 6, ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng 2 2x 4 =2 6 Phương trình này tương đương với phương trình 2x 4=6, từ đó ta tìm được: x= 5 2. Giải phương trình: (13) 2x 3,5 = 13; Hãy tưởng tượng 13, viết lại phương trình đã cho dưới dạng (13) 2x 3,5 = (13) 0,5. Phương trình này tương đương với phương trình 2x 3,5=0,5, từ đó ta tìm được: x=2. 6
7 5. Phương pháp đưa biến mới: Phương pháp thay thế được sử dụng trong các ví dụ phức tạp hơn. Nó như sau. Một phương trình hàm mũ có thể được giải bằng cách đưa ra ký hiệu mới. Sau khi thay ký hiệu mới vào phương trình ban đầu, chúng ta thu được một phương trình mới, đơn giản hơn; sau khi giải nó, chúng ta quay lại phép thay thế và tìm nghiệm của phương trình ban đầu. Hãy xem xét phương pháp thay thế bằng các ví dụ. Giải phương trình: 9 x 4 3 x 45=0. Bằng cách thay 3 x =t, phương trình này được rút gọn thành phương trình bậc hai t 2 4t 45=0. Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm của nó: t 1 =9, t 2 = 5, từ đó 3 x =9, 3 x = 5. Phương trình 3 x =9 có nghiệm x=2, và phương trình 3 x = 5 không có nghiệm , vì hàm số mũ không thể nhận giá trị âm. x=2. Giải phương trình: 4 x +2 x+1 24=0 Nhận thấy rằng 4 x =(2 2) x =2 2x, và 2 x+1 =2 2 x, ta viết lại phương trình đã cho thành (2 x)2+ 2 2 x 24=0. Hãy giới thiệu một biến mới y=2 x ; thì phương trình sẽ có dạng y 2 +2y 24=0. Giải phương trình bậc hai của y, ta thấy: y 1 =4, y 2 = 6. Nhưng y=2 x nghĩa là ta phải giải hai phương trình: 2 x =4; 2 x = 6. Từ phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy x=2 và phương trình thứ hai không có nghiệm, vì với mọi giá trị của x thì bất đẳng thức 2 x >0 đúng. Trả lời: Các bất đẳng thức hàm mũ Bất đẳng thức hàm mũ là các bất đẳng thức có dạng a f(x) >a g(x), trong đó a là một số dương khác 1, và các bất đẳng thức rút gọn về dạng này. Bất đẳng thức được giải bằng cách sử dụng tính chất của hàm mũ tăng hoặc giảm: - đối với hàm tăng giá trị cao hơn một hàm tương ứng với một đối số lớn hơn - đối với hàm giảm, giá trị hàm lớn hơn tương ứng với một giá trị đối số nhỏ hơn. 7
8 Hàm mũ y=a x tăng khi a>1 và giảm khi 0
9 Bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức cùng nghĩa 2x 4>6, vì cơ số là 2>1 (a>1), từ đó ta tìm được x>5. Bất đẳng thức mũ a f(x) >a g(x) tương đương với bất đẳng thức ngược f(x)
10 Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân, thay vì log 10 b ta viết lgb. Logarit cơ số e, trong đó e là số vô tỷ xấp xỉ bằng 2,7, được gọi là logarit tự nhiên. Thay vì log e b họ viết lnb. 8. Đẳng thức logarit cơ bản: Định nghĩa logarit cũng có thể viết như sau: a log a b =b, trong đó b>0, a>0, a 1. Đẳng thức này gọi là đẳng thức cơ bản nhận dạng logarit log 13 2 =2 9. Hàm logarit, các tính chất và đồ thị của nó. Hàm số có công thức y=log a x được gọi là hàm logarit cơ số a. (a>0, a 1) 10
11 Tính chất cơ bản của hàm logarit: 1. Miền định nghĩa của hàm logarit là tập hợp tất cả các số dương. D(f)=(0;+); 2. Tập hợp các giá trị của hàm logarit là tập hợp R của tất cả các số thực. E(f)=(;+); 3. Hàm logarit trong toàn bộ miền định nghĩa tăng khi a>1 hoặc giảm khi 0
12 2. y=log1 x cơ số 0<1/3<1 3 x /3 1/9 y=log13x Логарифмическая функция y=log a x и показательная функция y=a x, где (a>0, a 1), nghịch đảo lẫn nhau. 12
13 10. Các tính chất cơ bản của logarit Hãy xét các tính chất cơ bản của logarit thường được sử dụng trong tính toán khi giải phương trình logarit và bất phương trình. Các thuộc tính dưới đây đúng nếu a>0,a 1,b>0,c>0,r - bất kỳ số thực nào. 1. Logarit của tích hai số dương bằng tổng logarit của chúng nhật ký số a (bc)=log a b+log a c 1.log 3 45=log 3 (9 5)=log 3 9+log 3 5=2+log
14 2.log 6 4+log 6 9=log 6 36=2 3.lg2+lg5=lg(2 5)=lg10=1 2. Logarit của thương bằng hiệu giữa logarit của số bị chia và logarit của số bị chia ước số log a bc=log a b log a c 1 .log log1 3=log =log Logarit bậc tương đương với sản phẩm số mũ trên logarit của cơ số nhật ký bằng cấp a b r =rlog a b 1.log =17log 2 2=17 1= Công thức chuyển từ cơ số logarit này sang cơ số logarit khác Nếu a>0,a 1,b>0,c>0,c 1 thì đẳng thức log a b= log c b đúng log c a 1.log 2 3= log3 lg2 2.log 3 2= log 7 2 log 7 3 Nếu a>0,a 1,b>0,b 1, thì đẳng thức log a b= 1 log b a log 7 2= đúng 1 log 2 7 Nếu a>0,a 1,b>0,r 0 thì đẳng thức log a b=log a r b r 1.log 5 3=log Giải phương trình logarit theo định nghĩa logarit Phương trình chứa biến dưới dấu logarit (trong logarit cơ số) được gọi là logarit. Phương trình logarit đơn giản nhất là log phương trình a x=b, trong đó cơ số là a>1, a 1, và biểu thức dưới dấu logarit là x>0. 14
15 Với mọi số thực b phương trình này có giải pháp duy nhất x=a b Giải phương trình log 2 x=3 Giải. Đầu tiên chúng ta tìm khoảng giá trị cho phép (APV): x>0, vì phải có biểu thức dương dưới dấu logarit. Để giải phương trình này, chỉ cần sử dụng định nghĩa của logarit, nghĩa là biểu thị số x dưới dạng lũy thừa cơ số 2 của logarit, với số mũ là 3. log 2 x=3 x=2 3 x =8 Giá trị tìm được thuộc về ODZ, có nghĩa là nó là nghiệm của phương trình. Đáp án: x=8 Giải phương trình log 3 (x 2 +72)=4 Giải. ODZ: x2+72>0 x R Theo định nghĩa của logarit, chúng ta có x 2 +72=3 4 x 2 +72=81 x =0 x 2 9=0 (x 3)(x+3)=0 x 1 =3, x 2 = 3 Đáp án: x 1 =3, x 2 = 3 Giải phương trình: log(x+1)+log(x+4)=1. Giải pháp. Theo tính chất của logarit, chúng ta biến đổi bên trái ODZ log(x+1)(x+4)=1 ( x + 1 > 0 x + 4 > 0 log(x+1)(x+4)=log10 (x+1)(x+4)=10 ( x > 1 x > 4 15
16 x 2 +5x+4=10 x (1;+) x 2 +5x+4 10=0 x 2 +5x 6=0 Theo định lý Vieta x1 + x2 = 5 ( x1 x2 = 6 x 1= 6, x 2 =1 x= 6 không phải là nghiệm của phương trình này, vì nó không thuộc về ODZ Trả lời: x=1 13. Hiệu thế Giải phương trình logarit loại log a f(x)=log a g(x) là rút gọn thành việc giải phương trình f(x)=g(x). Điều này dẫn đến tính đơn điệu của hàm logarit là sự chuyển đổi từ một phương trình có dạng log a f(x)=log a g(x) sang dạng log a g(x). phương trình f(x)=g(x), trong đó a dương khác số đơn vị, f(x) và g(x) là các hàm đại số cơ bản, f(x)>0, g(x)>0. giải loại phương trình đang xét, chỉ cần tìm tất cả các nghiệm của phương trình f(x)=g(x) và trong số những nghiệm nhận được, chọn những nghiệm phù hợp. phương trình ODZ log a f(x)=log a g(x) Nếu phương trình f(x)=g(x) không có nghiệm thì phương trình logarit ban đầu cũng không có nghiệm. Giải phương trình: log 5 (x+1)=log 5 (2x 3) Giải. Tìm ODZ: ( x + 1 > 0 2x 3 > 0 ( x > 12 2x > 3 ( x > 1 x > 1.5 x (1.5;+) Giải phương trình x+1=2x 3 x 2x= 3 1 x= 4 x=4 thuộc khoảng x (1,5;+), nghĩa là nó là nghiệm của phương trình logarit ban đầu. Đáp án: x=4 16.
17 14. Phương pháp đưa biến mới: Phương trình dạng f(log a x)=0 được giải bằng cách thay thế t=log a x, làm phương trình về dạng f(t)=0. Nếu t là nghiệm của phương trình f(t)=0, thì sau khi quay lại phép thế t=log a x, bạn có thể tìm ra nghiệm của phương trình logarit ban đầu, tức là. x=a t (các nghiệm khác, nếu có, cũng được tìm thấy tương tự). 15. Logarit: Phương trình dạng 2 x =3; x log 3 x 2 =27 được giải bằng cách lấy logarit của cả hai vế của phương trình. logarit là sự chuyển đổi từ phương trình f(x)=g(x) sang phương trình log a f(x)=log a g(x) Hãy xem các ví dụ. Giải phương trình 2 x =3 Giải. Hãy lấy logarit của cả hai vế của phương trình về cơ số 2 log 2 2 x =log 2 3 xlog 2 2=log 2 3, bởi vì log a b r =r log a b x 1=log 2 3 x=log 2 3 Đáp án: x=log 2 3 Giải phương trình: x log 3 x 2 =27 Giải. ODZ: ( x > 0 x 1 x (0;1) (1;+) Hãy lấy logarit của cả hai vế về cơ số 3 log 3 x(log 3 x 2)=log 3 27 (log 3 x 2) log 3 x=3, vì log a b r =rlog a b Cho log 3 x=t (t 2) t=3 t 2 2t 3=0 Theo định lý Vieta t1 + t2 = 2 ( t1 t2 = 3 t 1=3, t 2 = 1 17
18 Hãy quay lại log đã chỉ định 3 x=3 x 1 =3 3 =27 log 3 x= 1 x 2 =3 1 =1/3 Cả hai giá trị đều thuộc về ODZ. Đáp án: 1/3; Giải bất đẳng thức logarit bất đẳng thức logarit dựa trên tính đơn điệu của hàm logarit. Do đó, việc giải các bất đẳng thức dạng log a f(x)>log a g(x) rút gọn thành việc giải các bất đẳng thức tương ứng cho các hàm f(x) và g(x). Hãy chú ý! Nếu cơ số a>1 thì đi đến bất đẳng thức f(x)>g(x) (dấu của bất đẳng thức không đổi), vì trong trường hợp này hàm logarit đang tăng lên. Nếu cơ sở là 0
19 x (2.5;+) x (2.5; +) ( x (; 3) 2.5 3 Đáp án: x (2.5;3) Giải bất đẳng thức log 0.5 (x 2) log 0, 5 (2x 12) Giải. ODZ: ( x 2 > 0 2x 12 > ( x > 2 2x > 12 ( x > 2 x>6, x (6;+) x > 6 log0.5(x 2) log0, 5(2x 12) x 2x x 12 x 2x 12+2 x 10 x 10 x )