Một hệ phương trình tuyến tính đồng thời có nghiệm duy nhất. Hệ thống không tương thích

Giải pháp. A= . Hãy tìm r(A). Bởi vì ma trận Và có đơn hàng 3x4 thì thứ tự cao nhất trẻ vị thành niên bằng 3. Hơn nữa, tất cả các trẻ vị thành niên bậc ba đều bằng 0 (bạn hãy tự kiểm tra). Có nghĩa, r(A)< 3. Возьмем главный thứ yếu cơ bản = -5-4 = -9 ≠ 0. Do đó r(A) =2.

Hãy xem xét ma trận VỚI = .

Thứ ba nhỏ đặt hàng ≠ 0. Vậy r(C) = 3.

Vì r(A) ≠ r(C) , thì hệ thống không nhất quán.

Ví dụ 2. Xác định tính tương thích của hệ phương trình

Giải hệ này nếu nó nhất quán.

Giải pháp.

A = , C = . Rõ ràng r(A) 3, r(C) 4. Vì detC = 0 nên r(C)< 4. Hãy xem xét người vị thành niên thứ ba đặt hàng, nằm ở bên trái góc trên cùng ma trận A và C: = -23 ≠ 0. Vậy r(A) = r(C) = 3.

Con số không rõ trong hệ thống n=3. Điều này có nghĩa là hệ thống có giải pháp duy nhất. Trong trường hợp này, phương trình thứ tư biểu thị tổng của ba phương trình đầu tiên và có thể bỏ qua.

Theo công thức Cramer ta được x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Phương pháp ma trận. phương pháp Gaussian

hệ thống N phương trình tuyến tính Với N những điều chưa biết có thể được giải quyết phương pháp ma trận theo công thức X = A -1 B (tại Δ ≠ 0), thu được từ (2) bằng cách nhân cả hai phần với A -1.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

phương pháp ma trận (ở phần 2.2 hệ này được giải bằng công thức Cramer)

Giải pháp. Δ = 10 ≠ 0 A = - ma trận không suy biến.

= (tự kiểm tra điều này bằng cách thực hiện các phép tính cần thiết).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Trả lời: .

Từ góc độ thực tiễn phương pháp ma trận và công thức Kramerđược liên kết với một lượng lớn tính toán, do đó ưu tiên được đưa ra phương pháp Gaussian, bao gồm việc loại bỏ tuần tự các ẩn số. Để làm điều này, hệ phương trình được rút gọn thành một hệ tương đương với ma trận tam giác mở rộng (tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng 0). Những hành động này được gọi là chuyển động về phía trước. Từ hệ thống tam giác thu được, các biến được tìm thấy bằng cách sử dụng các phép thay thế liên tiếp (ngược lại).

Ví dụ 2. Giải hệ bằng phương pháp Gauss

(Ở trên, hệ này được giải bằng công thức Cramer và phương pháp ma trận).

Giải pháp.

Di chuyển trực tiếp. Hãy viết ma trận mở rộng và sử dụng các phép biến đổi cơ bản hãy mang nó đến chế độ xem hình tam giác:

~ ~ ~ ~ .

chúng tôi nhận được hệ thống

Hành trình ngược. Từ phương trình cuối cùng chúng ta tìm thấy X 3 = -6 và thay giá trị này vào phương trình thứ hai:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Trả lời: .

2.5. Giải tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương trình tuyến tính = tôi(Tôi=). Đặt r(A) = r(C) = r, tức là hệ thống có tính hợp tác. Bất kỳ bậc thứ r nào khác 0 đều là thứ yếu cơ bản. Không mất tính tổng quát, chúng ta sẽ giả sử rằng phần tử cơ sở nằm ở các hàng và cột r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) đầu tiên của ma trận A. ngày cuối cùng phương trình của hệ, ta viết hệ rút gọn:


tương đương với bản gốc. Hãy đặt tên cho những điều chưa biết x 1,….xr cơ bản và xr +1,…,xr giải phóng và di chuyển các số hạng chứa ẩn số tự do sang vế phải của các phương trình của hệ rút gọn. Chúng ta có được một hệ thống đối với các ẩn số cơ bản:

mà đối với mỗi bộ giá trị của ẩn số tự do x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r chỉ có một giải pháp x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), tìm được theo quy tắc Cramer.

Giải pháp tương ứng rút gọn nên hệ ban đầu có dạng:

X(C 1 ,…, C n-r) = - giải pháp chung của hệ thống.

Nếu trong lời giải tổng quát, chúng ta đưa ra một số ẩn số miễn phí giá trị số, thì chúng ta có được giải pháp hệ thống tuyến tính, được gọi là riêng tư.

Ví dụ.

Giải pháp Thiết lập khả năng tương thích và tìm giải pháp chung của hệ thống . A = .

, C = Vì thế Làm sao r(A)< 4).

= r(C) = 2 (bạn hãy tự xem điều này), thì hệ ban đầu là nhất quán và có vô số nghiệm (vì r Chúng ta tiếp tục giải quyết các hệ phương trình tuyến tính. Cho đến nay chúng ta đã xem xét các hệ thống có một giải pháp duy nhất. Những hệ thống như vậy có thể được giải quyết theo bất kỳ cách nào: bằng phương pháp thay thế ("trường học"),, theo công thức Cramer, phương pháp ma trận phương pháp Gaussian

. Tuy nhiên, trong thực tế, có hai trường hợp phổ biến hơn:

1) hệ thống không nhất quán (không có giải pháp);

2) Hệ có vô số nghiệm. Đối với các hệ thống này, phương pháp giải pháp phổ biến nhất được sử dụng - phương pháp Gaussian . Trên thực tế, phương pháp “trường học” cũng sẽ dẫn đến câu trả lời, nhưng trong toán học cao hơn, người ta thường sử dụng phương pháp Gaussian loại bỏ tuần tự Đối với các hệ thống này, phương pháp giải pháp phổ biến nhất được sử dụng -

không rõ. Ai chưa rành về thuật toán phương pháp Gaussian thì học bài trước nhé Bản thân các phép biến đổi ma trận cơ bản hoàn toàn giống nhau

, sự khác biệt sẽ nằm ở phần cuối của giải pháp. Đầu tiên, hãy xem một vài ví dụ khi hệ thống không có nghiệm (không nhất quán).

Ví dụ 1 Điều gì ngay lập tức thu hút sự chú ý của bạn về hệ thống này? Số phương trình nhỏ hơn số biến. Có một định lý phát biểu: “Nếu số phương trình trong hệ số lượng ít hơn, biến Và tất cả những gì còn lại là tìm hiểu.

Sự khởi đầu của giải pháp là hoàn toàn bình thường - chúng tôi viết ra ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, giảm nó thành chế độ xem từng bước:

(1). Ở bước trên cùng bên trái, chúng ta cần lấy (+1) hoặc (–1). Không có con số nào như vậy trong cột đầu tiên, vì vậy việc sắp xếp lại các hàng sẽ không mang lại kết quả gì. Đơn vị sẽ phải tự tổ chức và việc này có thể được thực hiện theo nhiều cách. Đây là những gì chúng tôi đã làm. Ở dòng đầu tiên, chúng ta thêm dòng thứ ba, nhân với (–1).

(2). Bây giờ chúng ta có hai số 0 ở cột đầu tiên. Ở dòng thứ hai, chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với 3. Ở dòng thứ ba, chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với 5.

(3). Sau khi quá trình chuyển đổi hoàn tất, bạn nên kiểm tra xem liệu có thể đơn giản hóa chuỗi kết quả hay không? Có thể. Chúng ta chia dòng thứ hai cho 2, đồng thời lấy dòng mong muốn (–1) ở bước thứ hai. Chia dòng thứ ba cho (–3).



(4). Thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba. Có lẽ mọi người đều nhận thấy dòng xấu xuất phát từ các phép biến đổi cơ bản:

. Rõ ràng là điều này không thể như vậy được.

Thật vậy, chúng ta hãy viết lại ma trận kết quả

Trở lại Hệ phương trình tuyến tính:

Nếu, do kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được một chuỗi có dạng , Ở đâuλ là một số khác 0 thì hệ thống không nhất quán (không có nghiệm).

Làm thế nào để viết ra phần kết thúc của một nhiệm vụ? Bạn cần phải viết ra cụm từ:

“Kết quả của các phép biến đổi cơ bản là thu được một chuỗi có dạng, trong đó λ ≠ 0 " Trả lời: “Hệ thống không có lời giải (không nhất quán).”

Xin lưu ý rằng trong trường hợp này không có sự đảo ngược của thuật toán Gaussian, không có giải pháp nào và đơn giản là không có gì để tìm.

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình tuyến tính

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập. Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài.

Chúng tôi xin nhắc lại rằng giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của chúng tôi; phương pháp Gaussian không chỉ định thuật toán rõ ràng, thứ tự của các hành động và bản thân các hành động đó phải được đoán một cách độc lập trong từng trường hợp.

Một cái nữa đặc điểm kỹ thuật Giải pháp: các phép biến đổi cơ bản có thể được dừng lại ngay lập tức, ngay khi có một dòng như , ở đâu λ ≠ 0 . Hãy xem xét ví dụ có điều kiện: giả sử sau phép biến đổi đầu tiên thu được ma trận

.

Ma trận này vẫn chưa được rút gọn về dạng bậc thang, nhưng không cần thực hiện các phép biến đổi cơ bản hơn nữa, vì một dòng có dạng đã xuất hiện, trong đó λ ≠ 0 . Câu trả lời cần được đưa ra ngay lập tức là hệ thống không tương thích.

Khi một hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm, nó gần như là một món quà dành cho học sinh, do thu được một nghiệm ngắn, đôi khi theo đúng nghĩa đen chỉ trong 2-3 bước. Nhưng mọi thứ trên thế giới này đều cân bằng, và một bài toán mà hệ thống có vô số lời giải chỉ là bài toán dài hơn mà thôi.

Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình tuyến tính

Có 4 phương trình và 4 ẩn số nên hệ có thể có một nghiệm hoặc không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Dù vậy, phương pháp Gaussian trong mọi trường hợp sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời. Đây là tính linh hoạt của nó.

Sự khởi đầu lại là tiêu chuẩn. Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chỉ thế thôi, và bạn sợ hãi.

(1). Xin lưu ý rằng tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2, vì vậy 2 ở bước trên cùng bên trái là phù hợp. Ở dòng thứ hai, chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với (–4). Đến dòng thứ ba, chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với (–2). Đến dòng thứ tư, chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với (–1).

Chú ý! Nhiều người có thể bị cám dỗ bởi dòng thứ tư trừ đi dòng đầu tiên. Điều này có thể được thực hiện, nhưng không cần thiết; kinh nghiệm cho thấy xác suất xảy ra sai sót trong tính toán sẽ tăng lên nhiều lần. Ta chỉ cần cộng: vào dòng thứ 4 ta cộng dòng đầu tiên, nhân với (–1) – chính xác là như thế!

(2). Ba dòng cuối cùng tỷ lệ thuận, hai trong số chúng có thể bị xóa. Ở đây một lần nữa chúng ta cần chỉ ra tăng sự chú ý, nhưng các đường này có thực sự tỉ lệ thuận không? Để đảm bảo an toàn, bạn nên nhân dòng thứ hai với (–1) và chia dòng thứ tư cho 2, được ba dòng giống hệt nhau. Và chỉ sau đó loại bỏ hai trong số chúng. Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, ma trận mở rộng của hệ thống được rút gọn về dạng từng bước:

Khi viết một nhiệm vụ vào sổ, bạn nên ghi chú tương tự bằng bút chì cho rõ ràng.

Viết lại hệ phương trình tương ứng:

Ở đây không có mùi của một giải pháp “thông thường” duy nhất cho hệ thống. Đường dây xấu ở đâu λ ≠ 0, cũng không. Điều này có nghĩa đây là trường hợp thứ ba còn lại - hệ có vô số nghiệm.

Một tập vô hạn các nghiệm của một hệ được viết ngắn gọn dưới dạng gọi là giải pháp chung của hệ thống.

Chúng tôi tìm nghiệm tổng quát của hệ thống bằng cách sử dụng phương pháp nghịch đảo của Gaussian. Đối với hệ phương trình có số vô hạn khái niệm mới xuất hiện: "các biến cơ bản" Và "biến miễn phí". Trước tiên hãy xác định những biến chúng ta có nền tảng và biến nào - miễn phí. Không cần thiết phải giải thích chi tiết các điều khoản đại số tuyến tính, chỉ cần nhớ rằng có như vậy biến cơ bản Và biến miễn phí.

Các biến cơ bản luôn “ngồi” chặt chẽ trên các bước của ma trận. TRONG trong ví dụ này các biến cơ bản là x 1 và x 3 .

Biến miễn phí là tất cả còn lại các biến không nhận được một bước. Trong trường hợp của chúng tôi có hai trong số đó: x 2 và x 4 – biến tự do.

Bây giờ bạn cần Tất cảbiến cơ bản thể hiện chỉ thông quabiến miễn phí. Ngược lại của thuật toán Gaussian theo truyền thống hoạt động từ dưới lên. Từ phương trình thứ hai của hệ ta biểu diễn biến cơ bản x 3:

Bây giờ hãy nhìn vào phương trình đầu tiên: . Đầu tiên chúng ta thay thế biểu thức tìm được vào đó:

Nó vẫn còn để thể hiện biến cơ bản x 1 thông qua các biến miễn phí x 2 và x 4:

Cuối cùng chúng tôi đã có được thứ chúng tôi cần - Tất cả các biến cơ bản ( x 1 và x 3) thể hiện chỉ thông qua biến miễn phí ( x 2 và x 4):

Trên thực tế, giải pháp chung đã sẵn sàng:

.

Làm thế nào để viết lời giải tổng quát một cách chính xác? Trước hết, các biến tự do được viết vào giải pháp chung “tự mình” và đúng vị trí của chúng. TRONG trong trường hợp này biến miễn phí x 2 và x 4 nên được viết ở vị trí thứ hai và thứ tư:

.

Các biểu thức kết quả cho các biến cơ bản và rõ ràng cần phải được viết ở vị trí thứ nhất và thứ ba:

Từ nghiệm tổng quát của hệ có thể tìm được vô số giải pháp riêng. Nó rất đơn giản. Biến miễn phí x 2 và x 4 được gọi như vậy bởi vì chúng có thể được cho bất kỳ giá trị cuối cùng. Các giá trị phổ biến nhất là giá trị 0, vì đây là giải pháp từng phần dễ dàng đạt được nhất.

Thay thế ( x 2 = 0; x 4 = 0) vào nghiệm tổng quát, ta thu được một trong các nghiệm cụ thể:

, hoặc là một giải pháp cụ thể tương ứng với các biến tự do có giá trị ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Một cặp ngọt ngào khác là những cái, hãy thay thế ( x 2 = 1 và x 4 = 1) vào nghiệm tổng quát:

, tức là (-1; 1; 1; 1) – một nghiệm cụ thể khác.

Dễ dàng nhận thấy hệ phương trình có vô số giải pháp vì chúng ta có thể đưa ra các biến miễn phí bất kìý nghĩa.

Mỗi giải pháp cụ thể phải đáp ứng tới mọi người phương trình của hệ thống. Đây là cơ sở để kiểm tra “nhanh chóng” tính đúng đắn của lời giải. Ví dụ: lấy nghiệm cụ thể (-1; 1; 1; 1) và thay thế nó thành bên trái từng phương trình của hệ ban đầu:

Mọi thứ phải đến với nhau. Và với bất kỳ giải pháp cụ thể nào bạn nhận được, mọi thứ cũng phải đồng ý.

Nói đúng ra, việc kiểm tra một giải pháp cụ thể đôi khi là lừa dối, tức là. một số nghiệm cụ thể có thể thỏa mãn từng phương trình của hệ, nhưng bản thân nghiệm tổng quát thực sự được tìm thấy không chính xác. Vì vậy, trước hết, việc xác minh giải pháp tổng thể phải kỹ lưỡng và đáng tin cậy hơn.

Cách kiểm tra nghiệm chung thu được ?

Nó không khó, nhưng nó đòi hỏi một số biến đổi lâu dài. Chúng ta cần lấy biểu thức nền tảng biến, trong trường hợp này và , và thế chúng vào vế trái của mỗi phương trình của hệ.

Vế trái của phương trình thứ nhất của hệ:

Vế phải của phương trình đầu tiên ban đầu của hệ thống thu được.

Vế trái của phương trình thứ hai của hệ:

Vế phải của phương trình thứ hai ban đầu của hệ thống thu được.

Và xa hơn - đến phần bên trái của phần thứ ba và phương trình thứ tư hệ thống. Việc kiểm tra này mất nhiều thời gian hơn nhưng đảm bảo tính chính xác 100% của giải pháp tổng thể. Ngoài ra, một số nhiệm vụ yêu cầu kiểm tra lời giải tổng quát.

Ví dụ 4:

Giải hệ bằng phương pháp Gaussian. Tìm lời giải chung và hai lời giải cụ thể. Kiểm tra giải pháp chung.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Nhân tiện, ở đây, một lần nữa, số phương trình lại nhỏ hơn số ẩn số, điều đó có nghĩa là ngay lập tức rõ ràng rằng hệ thống sẽ không nhất quán hoặc có vô số nghiệm.

Ví dụ 5:

Giải hệ phương trình tuyến tính. Nếu hệ có vô số nghiệm, hãy tìm hai nghiệm riêng và kiểm tra nghiệm tổng quát

Giải pháp: Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

(1). Thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ hai. Ở dòng thứ ba, chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với 2. Đến dòng thứ tư, chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với 3.

(2). Đến dòng thứ ba, chúng ta thêm dòng thứ hai, nhân với (–5). Đến dòng thứ tư, chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với (–7).

(3). Dòng thứ ba và thứ tư giống nhau, chúng ta xóa một trong số chúng. Đây là vẻ đẹp như vậy:

Do đó, các biến cơ bản nằm trên các bậc thang - các biến cơ bản.

Chỉ có một biến miễn phí chưa đạt được bước nào ở đây: .

(4). Di chuyển ngược lại. Hãy biểu diễn các biến cơ bản thông qua một biến tự do:

Từ phương trình thứ ba:

Hãy xem xét phương trình thứ hai và thay thế biểu thức tìm được vào đó:

, , ,

Hãy xem xét phương trình đầu tiên và thay thế các biểu thức tìm được vào đó:

Vì vậy, nghiệm tổng quát với một biến tự do x 4:

Một lần nữa, nó diễn ra như thế nào? Biến miễn phí x Số 4 ngồi một mình ở vị trí thứ tư xứng đáng của nó. Các biểu thức thu được cho các biến cơ bản , , cũng có sẵn.

Hãy để chúng tôi kiểm tra ngay giải pháp chung.

Chúng ta thay các biến cơ bản , , vào vế trái của mỗi phương trình của hệ:

Thu được vế phải tương ứng của các phương trình, do đó tìm được nghiệm tổng quát đúng.

Bây giờ từ giải pháp chung được tìm thấy chúng tôi có được hai giải pháp cụ thể. Tất cả các biến được thể hiện ở đây thông qua một biến tự do x 4. Không cần phải vắt óc đâu.

Cho phép x 4 = 0 thì – giải pháp cụ thể thứ nhất.

Cho phép x 4 = 1 thì – một giải pháp riêng khác.

Trả lời: Giải pháp chung: . Giải pháp riêng:

Và .

Ví dụ 6:

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính.

Chúng tôi đã kiểm tra giải pháp chung, câu trả lời có thể tin cậy được. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của chúng tôi. Điều chính là các quyết định chung trùng khớp. Nhiều người có lẽ đã nhận thấy một điểm khó chịu trong lời giải: rất thường xuyên, khi đảo ngược phương pháp Gauss, chúng tôi phải mày mò phân số thông thường. Trong thực tế, điều này thực sự xảy ra; những trường hợp không có phân số ít phổ biến hơn nhiều. Hãy chuẩn bị tinh thần và quan trọng nhất là về mặt kỹ thuật.

Chúng ta hãy tập trung vào các tính năng của giải pháp không được tìm thấy trong các ví dụ đã giải. Lời giải chung của hệ thống đôi khi có thể bao gồm một hằng số (hoặc các hằng số).

Ví dụ: một giải pháp chung: . Ở đây một trong những biến cơ bản bằng số không đổi: . Không có gì kỳ lạ về điều này, nó xảy ra. Rõ ràng, trong trường hợp này, bất kỳ giải pháp cụ thể nào cũng sẽ chứa số 5 ở vị trí đầu tiên.

Hiếm khi, nhưng có những hệ thống trong đó số phương trình số lượng nhiều hơn số lượng ít hơn. Tuy nhiên, phương pháp Gaussian hoạt động trong điều kiện khắc nghiệt nhất. Bạn nên bình tĩnh giảm ma trận mở rộng của hệ thống về dạng từng bước bằng thuật toán tiêu chuẩn. Một hệ thống như vậy có thể không nhất quán, có thể có vô số nghiệm, và kỳ lạ thay, có thể có một nghiệm duy nhất.

Hãy để chúng tôi nhắc lại lời khuyên của mình - để cảm thấy thoải mái khi giải một hệ thống bằng phương pháp Gaussian, bạn nên giải tốt ít nhất một tá hệ thống.

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2:

Giải pháp:Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước.

Các phép biến đổi cơ bản được thực hiện:

(1) Dòng đầu tiên và dòng thứ ba đã được hoán đổi cho nhau.

(2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với (–6). Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với (–7).

(3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với (–1).

Là kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được một chuỗi có dạng, Ở đâu λ ≠ 0 .Điều này có nghĩa là hệ thống không nhất quán.Trả lời: không có giải pháp nào

Ví dụ 4:

Giải pháp:Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện:

(1). Dòng đầu tiên nhân với 2 được thêm vào dòng thứ hai Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.

Không có đơn vị cho bước thứ hai , và phép biến đổi (2) nhằm mục đích đạt được nó.

(2). Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3.

(3). Dòng thứ hai và thứ ba được hoán đổi cho nhau (chúng tôi đã chuyển kết quả –1 sang bước thứ hai)

(4). Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với 3.

(5). Hai dòng đầu đổi dấu (nhân với –1), dòng thứ ba chia cho 14.

Đảo ngược:

(1). Đây là các biến cơ bản (nằm trên các bước) và – biến miễn phí (người không nhận được một bước).

(2). Hãy biểu diễn các biến cơ bản dưới dạng các biến tự do:

Từ phương trình thứ ba: .

(3). Xét phương trình thứ hai:, giải pháp riêng:

Trả lời: Giải pháp chung:

số phức

Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm số phức, coi như đại số, lượng giác Và dạng hàm mũ số phức. Chúng ta cũng sẽ học cách thực hiện các phép tính với số phức: cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và trích rút căn.

Để làm chủ số phức không cần gì cả kiến thức đặc biệt từ khóa học toán cao hơn, và tài liệu này có thể tiếp cận được ngay cả đối với học sinh. Chỉ cần có thể biểu diễn là đủ phép toán đại số với các số "thông thường" và ghi nhớ lượng giác.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại những con số “thông thường”. Trong toán học chúng được gọi là nhiều số thực và được chỉ định bởi chữ cái R, hoặc R (dày lên). Mọi số thực đều nằm trên trục số quen thuộc:

Nhóm số thực rất đa dạng - ở đây có số nguyên, phân số và số vô tỉ. Trong trường hợp này, mỗi điểm trên trục số nhất thiết phải tương ứng với một số thực nào đó.

Như đã rõ từ Định lý Cramer, khi giải hệ phương trình tuyến tính có thể xảy ra ba trường hợp:

Trường hợp thứ nhất: hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất

(hệ thống nhất quán và xác định)

Trường hợp thứ hai: một hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm

(hệ thống nhất quán và không chắc chắn)

** ,

những thứ kia. các hệ số của ẩn số và số hạng tự do tỷ lệ thuận với nhau.

Trường hợp thứ ba: hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm

(hệ thống không nhất quán)

Vì vậy hệ thống tôi phương trình tuyến tính với Nđược gọi là biến không khớp, nếu cô ấy không có một giải pháp duy nhất, và chung, nếu nó có ít nhất một nghiệm. Một hệ phương trình đồng thời chỉ có một nghiệm được gọi là chắc chắn, và nhiều hơn một – không chắc chắn.

Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer

Hãy để hệ thống được đưa ra

.

Dựa trên định lý Cramer

………….
,

Ở đâu
-

yếu tố quyết định hệ thống. Chúng ta thu được các định thức còn lại bằng cách thay cột bằng các hệ số của biến tương ứng (chưa biết) bằng các số hạng tự do:

Ví dụ 2.

.

Do đó, hệ thống là xác định. Để tìm nghiệm của nó, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định

Sử dụng công thức Cramer, chúng tôi tìm thấy:

Vì vậy, (1; 0; -1) là nghiệm duy nhất của hệ.

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp quyết định Kramer.

Nếu trong hệ phương trình tuyến tính không có biến trong một hoặc nhiều phương trình thì trong định thức các phần tử tương ứng bằng 0! Đây là ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

.

Giải pháp. Ta tìm định thức của hệ:

Hãy xem xét kỹ hệ phương trình và định thức của hệ và lặp lại câu trả lời cho câu hỏi trong trường hợp nào một hoặc nhiều phần tử của định thức bằng 0. Vậy yếu tố quyết định không phải là bằng 0, do đó hệ thống là xác định. Để tìm nghiệm của nó, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định cho những ẩn số

Sử dụng công thức Cramer, chúng tôi tìm thấy:

Vậy nghiệm của hệ là (2; -1; 1).

6. Hệ thống chung tuyến tính phương trình đại số. Phương pháp Gauss.

Như chúng ta đã nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm nghiệm cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Bản thân thuật toán của phương pháp hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến ​​thức về định thức thì để áp dụng phương pháp Gauss bạn chỉ cần có kiến ​​thức các phép tính số học, khiến nó có thể tiếp cận ngay cả với học sinh lớp tiểu học.



Đầu tiên chúng ta hãy hệ thống hóa một chút kiến ​​thức về hệ phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1) Có một giải pháp độc đáo.
2) Có vô số nghiệm.
3) Không có giải pháp (được không khớp).

Phương pháp Gauss là công cụ mạnh mẽ và phổ biến nhất để tìm giải pháp bất kì hệ phương trình tuyến tính. Như chúng ta nhớ, Phương pháp ma trận và quy tắc Cramer không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Và phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số Dù sao sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Trong bài này chúng ta sẽ xét lại phương pháp Gauss cho trường hợp số 1 (lời giải duy nhất của hệ thống), bài viết dành cho các tình huống ở điểm số 2-3. Tôi lưu ý rằng thuật toán của phương pháp này hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp.

Hãy quay trở lại hệ thống đơn giản nhất từ lớp học Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính?
và giải nó bằng phương pháp Gaussian.

Bước đầu tiên là viết ra ma trận hệ thống mở rộng:
. Tôi nghĩ mọi người đều có thể thấy các hệ số được viết theo nguyên tắc nào. Thanh dọc bên trong ma trận không mang bất kỳ ý nghĩa toán học– đây chỉ là một gạch ngang để dễ thiết kế.

Thẩm quyền giải quyết:Tôi khuyên bạn nên nhớ điều khoảnđại số tuyến tính. Ma trận hệ thống là một ma trận chỉ gồm các hệ số ẩn, trong ví dụ này là ma trận của hệ: . Ma trận hệ thống mở rộng– đây chính là ma trận tương tự của hệ cộng với một cột các số hạng tự do, trong trường hợp này: . Để cho ngắn gọn, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được gọi đơn giản là ma trận.



Sau khi ma trận hệ thống mở rộng được viết, cần thực hiện một số hành động với nó, còn được gọi là các phép biến đổi cơ bản.

Có các phép biến đổi cơ bản sau:

1) Dây ma trận có thể được sắp xếp lạiở một số nơi. Ví dụ: trong ma trận đang được xem xét, bạn có thể sắp xếp lại hàng đầu tiên và hàng thứ hai một cách dễ dàng:

2) Nếu ma trận có (hoặc đã xuất hiện) tỷ lệ (như trường hợp đặc biệt– giống hệt) dòng, sau đó nó theo sau xóa bỏ từ ma trận tất cả các hàng này ngoại trừ một hàng. Ví dụ, hãy xem xét ma trận . Trong ma trận này, ba hàng cuối cùng tỷ lệ thuận với nhau, vì vậy chỉ cần để lại một trong số chúng là đủ: .

3) Nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ. Tất nhiên là tôi sẽ không vẽ, đường số 0 là đường trong đó tất cả số không.

4) Hàng ma trận có thể là nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác không. Hãy xem xét, ví dụ, ma trận. Ở đây nên chia dòng đầu tiên cho –3 và nhân dòng thứ hai với 2: . Hành động này rất hữu ích vì nó đơn giản hóa các phép biến đổi tiếp theo của ma trận.

5) Sự chuyển đổi này gây ra nhiều khó khăn nhất nhưng thực tế cũng không có gì phức tạp cả. Đối với một hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0. Hãy xem xét ma trận của chúng tôi về ví dụ thực tế: . Đầu tiên tôi sẽ mô tả sự chuyển đổi một cách chi tiết. Nhân dòng đầu tiên với –2: , Và ở dòng thứ hai chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –2: . Bây giờ dòng đầu tiên có thể được chia “trở lại” cho –2: . Như bạn có thể thấy, dòng THÊM LI – vẫn chưa thay đổi. Luôn luôn dòng TO WHICH IS ADDED thay đổi UT.

Tất nhiên, trong thực tế, họ không viết chi tiết như vậy mà viết ngắn gọn:

Một lần nữa: đến dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Một dòng thường được nhân lên bằng miệng hoặc bằng bản nháp, với quá trình tính nhẩm sẽ diễn ra như thế này:

“Tôi viết lại ma trận và viết lại dòng đầu tiên: »

“Cột đầu tiên. Ở phía dưới tôi cần lấy số không. Do đó, tôi nhân số ở trên cùng với –2: , và cộng số đầu tiên vào dòng thứ hai: 2 + (–2) = 0. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Bây giờ là cột thứ hai. Ở trên cùng, tôi nhân -1 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: »

“Và cột thứ ba. Ở trên cùng tôi nhân -5 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: –7 + 10 = 3. Tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: »

Hãy suy nghĩ cẩn thận về ví dụ này và hiểu thuật toán tuần tự tính toán, nếu bạn hiểu điều này, thì phương pháp Gaussian thực tế “nằm trong túi của bạn”. Nhưng tất nhiên, chúng tôi vẫn sẽ tiếp tục thực hiện sự chuyển đổi này.

Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình

! CHÚ Ý: được coi là thao túng không thể sử dụng được, nếu bạn được giao một nhiệm vụ trong đó các ma trận được đưa ra “tự chúng”. Ví dụ: với “cổ điển” các phép toán với ma trận Trong mọi trường hợp, bạn không nên sắp xếp lại bất cứ thứ gì bên trong ma trận!

Hãy quay trở lại hệ thống của chúng tôi. Nó gần như bị xé thành từng mảnh.

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để rút gọn nó thành chế độ xem từng bước:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Và một lần nữa: tại sao chúng ta nhân dòng đầu tiên với –2? Để có số 0 ở cuối, có nghĩa là loại bỏ một biến ở dòng thứ hai.

(2) Chia dòng thứ hai cho 3.

Mục đích của các phép biến đổi cơ bản – giảm ma trận về dạng từng bước: . Khi thiết kế nhiệm vụ, các em chỉ cần đánh dấu các “cầu thang” bằng bút chì đơn giản, đồng thời khoanh tròn các số nằm trên “bậc thang”. Bản thân thuật ngữ “quan điểm từng bước” không hoàn toàn mang tính lý thuyết, xét về mặt khoa học và văn học giáo dục nó thường được gọi là góc nhìn hình thang hoặc chế độ xem hình tam giác.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta thu được tương đương hệ phương trình ban đầu:

Bây giờ hệ thống cần được “thư giãn” trong hướng ngược lại– từ dưới lên trên, quá trình này được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.

Trong phương trình dưới chúng ta đã có kết quả xong: .

Hãy xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống và thay thế vào nó rồi giá trị đã biết"Y":

Hãy xem xét tình huống phổ biến nhất khi phương pháp Gaussian yêu cầu giải hệ thống ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.

, sự khác biệt sẽ nằm ở phần cuối của giải pháp. Đầu tiên, hãy xem một vài ví dụ khi hệ thống không có nghiệm (không nhất quán).

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

Viết ma trận mở rộng của hệ:

Bây giờ tôi sẽ rút ra ngay kết quả mà chúng ta sẽ đạt được trong quá trình giải:

Và tôi nhắc lại, mục tiêu của chúng ta là đưa ma trận về dạng từng bước bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Bắt đầu từ đâu?

Đầu tiên, hãy nhìn vào số trên cùng bên trái:

Đáng lẽ phải luôn ở đây đơn vị. Nói chung, –1 (và đôi khi các số khác) sẽ phù hợp, nhưng bằng cách nào đó, theo truyền thống, số 1 thường được đặt ở đó. Tổ chức đơn vị như thế nào? Chúng tôi nhìn vào cột đầu tiên - chúng tôi có một đơn vị đã hoàn thành! Chuyển đổi thứ nhất: hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba:

Bây giờ dòng đầu tiên sẽ không thay đổi cho đến khi kết thúc giải pháp. Nó đã dễ dàng hơn rồi.

Đơn vị ở góc trên bên trái được tổ chức. Bây giờ bạn cần lấy số không ở những nơi này:

Chúng ta nhận được số không bằng cách sử dụng một phép biến đổi “khó”. Đầu tiên chúng ta xử lý dòng thứ hai (2, –1, 3, 13). Cần phải làm gì để có được số 0 ở vị trí đầu tiên? cần phải vào dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –2: (–2, –4, 2, –18). Và chúng tôi liên tục thực hiện phép cộng (trong đầu hoặc trong bản nháp), vào dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên, đã nhân với –2:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ hai:

Chúng ta xử lý dòng thứ ba theo cách tương tự (3, 2, –5, –1). Để có được số 0 ở vị trí đầu tiên, bạn cần vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –3: (–3, –6, 3, –27). VÀ đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –3:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ ba:

Trong thực tế, những hành động này thường được thực hiện bằng miệng và viết ra trong một bước:

Không cần phải đếm mọi thứ cùng một lúc và cùng một lúc. Thứ tự tính toán và “nhập” kết quả nhất quán và thường thì nó như thế này: đầu tiên chúng tôi viết lại dòng đầu tiên, và chúng tôi tự cố gắng từng chút một - MỘT CÁCH NHẤT ĐỊNH và CHĂM SÓC:


Và tôi đã thảo luận về quá trình tính toán tinh thần ở trên.

Trong ví dụ này, điều này rất dễ thực hiện; chúng ta chia dòng thứ hai cho –5 (vì tất cả các số ở đó đều chia hết cho 5 mà không có phần dư). Đồng thời, chúng ta chia dòng thứ ba cho –2, vì số lượng ít hơn, giải pháp càng đơn giản:

TRÊN giai đoạn cuối các phép biến đổi cơ bản bạn cần để có được một số 0 khác ở đây:

Vì điều này đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –2:


Hãy cố gắng tự mình tìm ra hành động này - nhân dòng thứ hai với –2 và thực hiện phép cộng.

Hành động cuối cùng được thực hiện là kiểu tóc của kết quả, chia dòng thứ ba cho 3.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được hệ phương trình tuyến tính tương đương:

Mát mẻ.

Bây giờ mặt trái của phương pháp Gaussian được áp dụng. Các phương trình “thư giãn” từ dưới lên trên.

Trong phương trình thứ ba, chúng ta đã có sẵn kết quả:

Hãy xét phương trình thứ hai: . Ý nghĩa của "zet" đã được biết đến, do đó:

Và cuối cùng, phương trình đầu tiên: . “Igrek” và “zet” đều được biết đến, đó chỉ là vấn đề nhỏ nhặt:


Trả lời:

Như đã được lưu ý nhiều lần, đối với bất kỳ hệ phương trình nào, việc kiểm tra nghiệm tìm được đều có thể và cần thiết, may mắn thay, việc này rất dễ dàng và nhanh chóng.

Ví dụ 2


Đây là ví dụ cho một giải pháp độc lập, mẫu của thiết kế cuối cùng và câu trả lời ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng tiến độ của quyết định có thể không trùng với quá trình ra quyết định của tôi, và đây là một đặc điểm của phương pháp Gauss. Nhưng câu trả lời phải giống nhau!

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Tôi đã làm điều này:
(1) Dòng đầu tiên thêm dòng thứ hai nhân với –1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở phía trên bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một cử chỉ bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

(2) Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.

(3) Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.

(4) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 2.

(5) Dòng thứ ba chia cho 3.

Một dấu hiệu xấu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó như , bên dưới, và theo đó, , thì với xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình biến đổi cơ bản.

Chúng tôi tính ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, họ thường không viết lại chính hệ thống mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn, nét ngược lại hoạt động từ dưới lên trên. Vâng, đây là một món quà:


Trả lời: .

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, nó có phần phức tạp hơn. Không sao nếu ai đó bối rối. Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của tôi.

Trong phần cuối chúng ta sẽ xem xét một số tính năng của thuật toán Gaussian.
Đặc điểm đầu tiên là đôi khi một số biến bị thiếu trong các phương trình của hệ thống, ví dụ:

Làm thế nào để viết chính xác ma trận hệ thống mở rộng? Tôi đã nói về điểm này trong lớp. Quy tắc Cramer. Phương pháp ma trận. Trong ma trận mở rộng của hệ thống, chúng ta đặt các số 0 thay cho các biến bị thiếu:

Nhân tiện, nó đẹp đấy ví dụ dễ hiểu, vì đã có một số 0 trong cột đầu tiên và có ít chuyển đổi cơ bản hơn để thực hiện.

Tính năng thứ hai là điều này. Trong tất cả các ví dụ được xem xét, chúng tôi đặt –1 hoặc +1 cho “bậc thang”. Có thể có những con số khác ở đó? Trong một số trường hợp họ có thể. Hãy xem xét hệ thống: .

Ở đây ở “bậc thang” phía trên bên trái, chúng ta có hai. Nhưng chúng tôi nhận thấy thực tế là tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2 mà không có phần dư - và số còn lại là hai và sáu. Và hai cái ở trên cùng bên trái sẽ phù hợp với chúng ta! Ở bước đầu tiên, bạn cần thực hiện các phép biến đổi sau: thêm dòng đầu tiên nhân với –1 vào dòng thứ hai; vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Bằng cách này, chúng ta sẽ nhận được các số 0 cần thiết trong cột đầu tiên.

Hoặc một ví dụ thông thường khác: . Ở đây, ba ở “bước” thứ hai cũng phù hợp với chúng ta, vì 12 (nơi chúng ta cần lấy số 0) chia hết cho 3 mà không có số dư. Cần phải thực hiện phép biến đổi sau: thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với –4, kết quả là chúng ta sẽ thu được số 0 mà chúng ta cần.

Phương pháp của Gauss là phổ quát, nhưng có một điểm đặc biệt. Bạn có thể tự tin học cách giải các hệ thống bằng các phương pháp khác (phương pháp Cramer, phương pháp ma trận) ngay lần đầu tiên - chúng có thuật toán rất nghiêm ngặt. Nhưng để cảm thấy tự tin vào phương pháp Gaussian, bạn cần phải thành thạo nó và giải được ít nhất 5-10 hệ. Vì vậy, lúc đầu có thể có sự nhầm lẫn và sai sót trong tính toán, và điều này không có gì bất thường hay bi thảm.

Trời thu mưa ngoài cửa sổ.... Vì vậy, đối với những ai muốn nhiều hơn ví dụ phức tạp cho giải pháp độc lập:

Ví dụ 5

Giải bằng phương pháp Gaussian hệ thống bốn phương trình tuyến tính với bốn ẩn số.

Một nhiệm vụ như vậy không quá hiếm trong thực tế. Tôi nghĩ ngay cả một ấm trà đã nghiên cứu kỹ lưỡng trang này cũng sẽ hiểu được thuật toán giải hệ thống như vậy một cách trực quan. Về cơ bản, mọi thứ đều giống nhau - chỉ có nhiều hành động hơn.

Các trường hợp hệ không có nghiệm (không nhất quán) hoặc có vô số nghiệm được thảo luận trong bài Hệ thống không tương thích và hệ thống với quyết định chung . Ở đó bạn có thể sửa thuật toán được xem xét của phương pháp Gaussian.

Tôi chúc bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Giải pháp: Hãy viết ma trận mở rộng của hệ và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước.


Các phép biến đổi cơ bản được thực hiện:
(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. Chú ý!Ở đây bạn có thể muốn trừ dòng đầu tiên khỏi dòng thứ ba; tôi thực sự khuyên bạn không nên trừ nó - nguy cơ xảy ra lỗi sẽ tăng lên rất nhiều. Chỉ cần gấp nó lại!
(2) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ hai và thứ ba đã được hoán đổi cho nhau. Xin lưu ý, rằng trên các “bước”, chúng tôi hài lòng không chỉ với một mà còn với –1, điều này thậm chí còn thuận tiện hơn.
(3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 5.
(4) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ ba được chia cho 14.

Đảo ngược:

Trả lời: .

Ví dụ 4: Giải pháp: Hãy viết ma trận mở rộng của hệ và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện:
(1) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên. Do đó, đơn vị mong muốn được sắp xếp ở “bậc thang” phía trên bên trái.
(2) Dòng đầu tiên nhân với 7 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 6 được thêm vào dòng thứ ba.

Với “bước” thứ hai, mọi thứ trở nên tồi tệ hơn, “ứng cử viên” cho nó là các số 17 và 23, và chúng ta cần một hoặc –1. Các phép biến đổi (3) và (4) sẽ nhằm mục đích đạt được đơn vị mong muốn

(3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1.
(4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3.
Mục yêu cầu ở bước thứ hai đã được nhận. .
(5) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 6.

Là một phần của bài học Đối với các hệ thống này, phương pháp giải pháp phổ biến nhất được sử dụng - Và Hệ thống/hệ thống không tương thích với một giải pháp chung chúng tôi đã cân nhắc hệ thống không đồng nhất phương trình tuyến tính, Ở đâu thành viên miễn phí(thường ở bên phải) ít nhất một từ các phương trình khác 0.
Và bây giờ, sau khi khởi động tốt với thứ hạng ma trận, chúng tôi sẽ tiếp tục hoàn thiện kỹ thuật các phép biến đổi cơ bản TRÊN hệ thống đồng nhất phương trình tuyến tính.
Dựa trên những đoạn văn đầu tiên, tài liệu có vẻ nhàm chán và tầm thường, nhưng ấn tượng này là sai lầm. Ngoài việc tiếp tục phát triển kỹ thuật sẽ có rất nhiều thông tin mới, vì vậy hãy cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ trong bài viết này.

HỆ THỐNG PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH

I. Tuyên bố vấn đề.

II. Khả năng tương thích của các hệ thống đồng nhất và không đồng nhất.

III. Hệ thống T phương trình với T không rõ. Quy tắc Cramer.

IV. Phương pháp ma trận để giải hệ phương trình.

Phương pháp V. Gauss.

I. Tuyên bố vấn đề.

Hệ phương trình có dạng

gọi là một hệ thống tôi phương trình tuyến tính với N không rõ
. Các hệ số của các phương trình của hệ này được viết dưới dạng ma trận

được gọi là ma trận của hệ thống (1).

Các số ở vế phải của phương trình có dạng cột thành viên miễn phí {B}:

.

Nếu cột ( B}={0 ) thì hệ phương trình được gọi là đồng nhất. TRONG nếu không thì, Khi ( B}≠{0 ) - hệ thống không đồng nhất.

Hệ phương trình tuyến tính (1) có thể viết dưới dạng ma trận

[MỘT]{x}={B}. (2)

Đây - cột của ẩn số.

Giải hệ phương trình (1) tức là tìm tập hợp N con số
sao cho khi thế vào hệ (1) thay vào ẩn số
Mỗi phương trình của hệ thống biến thành một danh tính. số
được gọi là nghiệm của hệ phương trình.

Một hệ phương trình tuyến tính có thể có một nghiệm

,

có thể có vô số giải pháp

hoặc không có giải pháp nào cả

.

Hệ phương trình không có nghiệm được gọi là không tương thích. Nếu một hệ phương trình có ít nhất một nghiệm thì hệ phương trình đó gọi là chung. Hệ phương trình được gọi là chắc chắn, nếu nó có nghiệm duy nhất và không chắc chắn, nếu nó có vô số nghiệm.

II. Khả năng tương thích của các hệ thống đồng nhất và không đồng nhất.

Điều kiện tương thích của hệ phương trình tuyến tính (1) được xây dựng ở dạng Định lý Kronecker-Capelli: một hệ phương trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ bằng hạng của ma trận mở rộng:
.

Ma trận hệ thống mở rộng là ma trận thu được từ ma trận hệ thống bằng cách thêm một cột các thuật ngữ tự do vào bên phải:

.

Nếu Rg MỘTMỘT* , thì hệ phương trình không nhất quán.

Các hệ phương trình tuyến tính đồng nhất, theo định lý Kronecker-Capelli, luôn nhất quán. Chúng ta hãy xem xét trường hợp của một hệ thuần nhất trong đó số phương trình bằng số ẩn, nghĩa là t=p. Nếu định thức của ma trận của một hệ thống như vậy không bằng 0, tức là
, một hệ thuần nhất có nghiệm duy nhất là tầm thường (bằng không). Các hệ thống thuần nhất có vô số nghiệm nếu trong số các phương trình của hệ có các phương trình phụ thuộc tuyến tính, tức là.
.

Ví dụ. Xét một hệ thuần nhất gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số:

và kiểm tra câu hỏi về số lượng các giải pháp của nó. Mỗi phương trình có thể được coi là phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ ( D=0 ). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi cả ba mặt phẳng cắt nhau tại một điểm. Hơn nữa, các vectơ pháp tuyến của chúng không đồng phẳng nên điều kiện được thỏa mãn

.

Giải pháp của hệ thống trong trường hợp này x=0, y=0, z=0 .

Nếu ít nhất hai trong ba mặt phẳng, chẳng hạn như mặt phẳng thứ nhất và mặt phẳng thứ hai, song song với nhau, tức là , thì định thức của ma trận hệ bằng 0 và hệ có vô số nghiệm. Hơn nữa, giải pháp sẽ là tọa độ x, y, z tất cả các điểm nằm trên một đường thẳng

Nếu cả ba mặt phẳng trùng nhau thì hệ phương trình sẽ rút gọn về một phương trình

,

và nghiệm sẽ là tọa độ của tất cả các điểm nằm trong mặt phẳng này.

Khi nghiên cứu các hệ phương trình tuyến tính không đồng nhất, câu hỏi về tính tương thích được giải quyết bằng định lý Kronecker-Capelli. Nếu số phương trình trong một hệ như vậy bằng số ẩn thì hệ đó có nghiệm duy nhất nếu định thức của nó không bằng 0. Ngược lại, hệ thống sẽ không nhất quán hoặc có vô số nghiệm.

Ví dụ.

.

Ta nghiên cứu hệ không thuần nhất của hai phương trình với hai ẩn số
,
Các phương trình của hệ có thể coi là phương trình của hai đường thẳng trên một mặt phẳng. Hệ thống không nhất quán khi các đường thẳng song song, tức là

. Trong trường hợp này, thứ hạng của ma trận hệ thống là 1: MỘT=1 Rg
,

, bởi vì
và hạng của ma trận mở rộng

bằng hai, vì đối với nó, thứ thứ hai chứa cột thứ ba có thể được chọn làm thứ cơ sở. MỘTMỘT * .

Trong trường hợp đang xem xét, Rg
Nếu các đường trùng nhau, tức là , khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm: tọa độ các điểm trên đường thẳng MỘT= . Trong trường hợp này, thứ hạng của ma trận hệ thống là 1: MỘT * =1.

. Trong trường hợp này, Rg
Hệ thống có một giải pháp duy nhất khi các đường thẳng không song song, tức là.

. Lời giải của hệ này là tọa độ giao điểm của các đườngT III. Hệ thốngT phương trình với

Chúng ta hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất, khi số phương trình của hệ bằng số ẩn số, tức là. tôi= N. Nếu định thức của ma trận hệ là khác 0 thì nghiệm của hệ có thể tìm được bằng cách sử dụng quy tắc Cramer:

(3)

Đây
- yếu tố quyết định của ma trận hệ thống,

là định thức của ma trận thu được từ [ MỘT] thay thế Tôi cột thứ tới cột thành viên miễn phí:

.

Ví dụ. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer.

Giải pháp :

1) tìm định thức của hệ thống

2) tìm định thức phụ trợ

3) tìm lời giải cho hệ bằng quy tắc Cramer:

Kết quả của lời giải có thể được kiểm tra bằng cách thế vào hệ phương trình

Nhận dạng chính xác có được.

IV. Phương pháp ma trận để giải hệ phương trình.

Viết hệ phương trình tuyến tính dưới dạng ma trận (2)

[MỘT]{x}={B}

và nhân vế phải và vế trái của quan hệ (2) ở bên trái với ma trận [ MỘT -1 ], nghịch đảo của ma trận hệ:

[MỘT -1 ][MỘT]{x}=[MỘT -1 ]{B}. (2)

Theo định nghĩa của ma trận nghịch đảo, tích [ MỘT -1 ][MỘT]=[E], và theo tính chất của ma trận nhận dạng [ E]{x}={x). Khi đó từ hệ thức (2") ta thu được

{x}=[MỘT -1 ]{B}. (4)

Hệ thức (4) là cơ sở của phương pháp ma trận giải hệ phương trình tuyến tính: cần tìm ma trận nghịch đảo của ma trận của hệ và nhân vectơ cột của phần bên phải của hệ với nó ở bên trái.

Ví dụ. Chúng ta hãy giải hệ phương trình được xem xét trong ví dụ trước bằng phương pháp ma trận.

Ma trận hệ thống
yếu tố quyết định của nó MỘT==183 .

Cột bên phải
.

Để tìm ma trận [ MỘT -1 ], tìm ma trận gắn liền với [ MỘT]:

hoặc

Công thức tính ma trận nghịch đảo bao gồm
, Sau đó

Bây giờ chúng ta có thể tìm ra giải pháp cho hệ thống

Sau đó, cuối cùng chúng tôi nhận được .

Phương pháp V. Gauss.

Với số lượng ẩn số lớn, việc giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer hoặc phương pháp ma trận bao gồm việc tính các định thức bậc cao hoặc nghịch đảo các ma trận lớn. Các thủ tục này rất tốn công ngay cả đối với các máy tính hiện đại. Vì vậy, để giải các hệ phương trình có số lượng lớn người ta thường sử dụng phương pháp Gauss.

Phương pháp Gaussian bao gồm việc loại bỏ tuần tự các ẩn số thông qua các phép biến đổi cơ bản của ma trận mở rộng của hệ thống. Các phép biến đổi ma trận cơ bản bao gồm hoán vị các hàng, cộng các hàng, nhân các hàng với các số khác 0. Kết quả của các phép biến đổi, có thể giảm ma trận của hệ thống thành ma trận tam giác trên, trên đường chéo chính có các ma trận và bên dưới đường chéo chính có các số 0. Đây là cách tiếp cận trực tiếp của phương pháp Gaussian. Mặt trái của phương pháp bao gồm việc xác định trực tiếp các ẩn số, bắt đầu từ cái cuối cùng.

Chúng ta hãy minh họa phương pháp Gauss bằng ví dụ giải hệ phương trình

Ở bước đầu tiên của hành trình về phía trước, đảm bảo rằng hệ số
hệ thống biến đổi trở nên bằng nhau 1 , và các hệ số
Và
chuyển sang số không. Để làm điều này, nhân phương trình đầu tiên với 1/10 , nhân phương trình thứ hai với 10 và cộng nó với phương trình thứ nhất, nhân phương trình thứ ba với -10/2 và thêm nó vào cái đầu tiên. Sau những biến đổi này, chúng ta nhận được

Ở bước thứ hai, chúng ta đảm bảo rằng sau khi biến đổi hệ số
trở nên bình đẳng 1 , và hệ số
. Để làm điều này, chia phương trình thứ hai cho 42 và nhân phương trình thứ ba với -42/27 và thêm nó với cái thứ hai. Ta thu được hệ phương trình

Ở bước thứ ba chúng ta sẽ nhận được hệ số
. Để làm điều này, chia phương trình thứ ba cho (37 - 84/27) ; chúng tôi nhận được

Đây là nơi kết thúc quá trình phát triển trực tiếp của phương pháp Gauss, bởi vì ma trận của hệ thống được rút gọn về dạng tam giác trên:

Thực hiện động tác ngược lại, ta tìm được ẩn số

Nếu một bài toán có ít hơn ba biến thì đó không phải là bài toán; nếu lớn hơn 8 thì không giải được. Enon.

Các vấn đề về tham số được tìm thấy trong tất cả các phiên bản của Kỳ thi Thống nhất, vì việc giải chúng rõ ràng nhất cho thấy kiến ​​​​thức của sinh viên tốt nghiệp sâu sắc và không chính thức đến mức nào. Những khó khăn mà học sinh gặp phải khi hoàn thành những nhiệm vụ như vậy không chỉ do độ phức tạp tương đối của chúng mà còn do sách giáo khoa không chú ý đầy đủ đến chúng. Trong các phiên bản KIM trong toán học, có hai loại nhiệm vụ có tham số. Đầu tiên: “với mỗi giá trị của tham số, hãy giải phương trình, bất đẳng thức hoặc hệ thống.” Thứ hai: “tìm tất cả các giá trị của tham số, với mỗi giá trị đó nghiệm của bất đẳng thức, phương trình hoặc hệ thỏa mãn các điều kiện đã cho”. Theo đó, lời giải của các bài toán thuộc hai loại này khác nhau về bản chất. Trong trường hợp đầu tiên, câu trả lời liệt kê tất cả các giá trị có thể có của tham số và với mỗi giá trị này, các nghiệm của phương trình được viết. Phần thứ hai liệt kê tất cả các giá trị tham số tại đó các điều kiện của bài toán được đáp ứng. Viết ra câu trả lời là một giai đoạn thiết yếu của giải pháp; điều quan trọng là đừng quên phản ánh tất cả các giai đoạn của giải pháp trong câu trả lời. Các bạn sinh viên cần chú ý điều này.
Phần phụ lục của bài học chứa tài liệu bổ sung về chủ đề “Giải hệ phương trình tuyến tính với tham số”, sẽ giúp học sinh chuẩn bị cho chứng chỉ cuối cùng.

Mục tiêu bài học:

  • hệ thống hóa kiến ​​thức của học sinh;
  • phát triển khả năng sử dụng biểu diễn đồ họa khi giải hệ phương trình;
  • phát triển khả năng giải hệ phương trình tuyến tính chứa tham số;
  • thực hiện công tác kiểm soát hoạt động và tự chủ của học sinh;
  • phát triển hoạt động nghiên cứu và nhận thức của học sinh, khả năng đánh giá kết quả thu được.

Bài học kéo dài hai giờ.

Tiến độ bài học

  1. Thời điểm tổ chức

Truyền đạt chủ đề, mục đích và mục tiêu của bài học.

  1. Cập nhật kiến ​​thức cơ bản cho học sinh

Kiểm tra bài tập về nhà. Về bài tập về nhà, học sinh được yêu cầu giải từng hệ phương trình tuyến tính trong ba hệ phương trình

a) b) V)

bằng đồ họa và phân tích; rút ra kết luận về số nghiệm thu được cho mỗi trường hợp

Các kết luận của học sinh được lắng nghe và phân tích. Kết quả làm việc dưới sự hướng dẫn của giáo viên được tóm tắt vào vở.

Nói chung, một hệ gồm hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số có thể được biểu diễn dưới dạng: .

Giải một hệ phương trình đã cho bằng đồ thị có nghĩa là tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị của các phương trình này hoặc chứng minh rằng không có phương trình nào. Đồ thị của mỗi phương trình của hệ này trên mặt phẳng là một đường thẳng nhất định.

Có 3 trường hợp xếp hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Sẽ rất hữu ích khi vẽ một bản vẽ cho từng trường hợp.

  1. Học tài liệu mới

Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ học cách giải hệ phương trình tuyến tính chứa tham số. Tham số là một biến độc lập có giá trị trong bài toán được coi là một số thực cố định hoặc tùy ý cho trước hoặc một số thuộc một tập hợp xác định trước. Giải hệ phương trình bằng tham số có nghĩa là thiết lập một sự tương ứng cho phép bất kỳ giá trị nào của tham số tìm được tập nghiệm tương ứng của hệ.

Giải pháp cho một vấn đề với một tham số phụ thuộc vào câu hỏi được đặt ra trong đó. Nếu bạn chỉ cần giải một hệ phương trình cho các giá trị khác nhau của một tham số hoặc nghiên cứu nó, thì bạn cần đưa ra câu trả lời hợp lý cho bất kỳ giá trị nào của tham số hoặc cho giá trị của tham số thuộc một tập hợp đã chỉ định trước đó trong vấn đề. Nếu cần tìm các giá trị tham số thỏa mãn các điều kiện nhất định thì không cần phải nghiên cứu đầy đủ và giải pháp của hệ thống chỉ giới hạn ở việc tìm các giá trị tham số cụ thể này.

Ví dụ 1. Với mỗi giá trị tham số ta giải hệ phương trình

Giải pháp.

  1. Hệ thống có nghiệm duy nhất nếu

Trong trường hợp này chúng ta có

  1. Nếu a = 0 thì hệ có dạng

Hệ thống không nhất quán, tức là không có giải pháp.

  1. Nếu thì hệ được viết dưới dạng

Hiển nhiên, trong trường hợp này hệ có vô số nghiệm có dạng x = t; trong đó t là số thực bất kỳ.

Trả lời:

Ví dụ 2.

  • có một giải pháp độc đáo;
  • có nhiều giải pháp;
  • không có giải pháp?

Giải pháp.

Trả lời:

Ví dụ 3. Hãy tìm tổng các tham số a và b để hệ thống

có vô số giải pháp.

Giải pháp. Hệ có vô số nghiệm nếu

Tức là nếu a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Trả lời: 48.

  1. Củng cố kiến ​​thức đã học khi giải quyết vấn đề
  1. Số 15.24(a) . Với mỗi giá trị tham số, giải hệ phương trình

  1. Số 15.25(a) Với mỗi giá trị tham số, giải hệ phương trình

  1. Tại giá trị nào của tham số a thì hệ phương trình

a) không có giải pháp; b) có vô số nghiệm.

Trả lời: với a = 2 không có nghiệm nào, với a = -2 có vô số nghiệm

  1. Thực hành theo nhóm

Lớp được chia thành các nhóm 4-5 người. Mỗi nhóm bao gồm các học sinh có trình độ chuẩn bị toán khác nhau. Mỗi nhóm nhận được một thẻ nhiệm vụ. Bạn có thể mời tất cả các nhóm giải một hệ phương trình và chính thức hóa lời giải. Nhóm hoàn thành đúng nhiệm vụ đầu tiên trình bày cách giải quyết của mình; còn lại giao lời giải cho giáo viên.

Thẻ. Giải hệ phương trình tuyến tính

cho tất cả các giá trị của tham số a.

Trả lời: khi nào hệ thống có một giải pháp duy nhất ; khi không có giải pháp; với a = -1 có vô số nghiệm có dạng (t; 1- t) trong đó t R

Nếu lớp mạnh, các nhóm có thể được cung cấp các hệ phương trình khác nhau, danh sách các hệ phương trình này có trong Phụ lục 1. Sau đó mỗi nhóm trình bày giải pháp của mình trước lớp.

Báo cáo của nhóm hoàn thành đúng nhiệm vụ đầu tiên

Người tham gia lên tiếng và giải thích cách giải quyết của mình cũng như trả lời các câu hỏi do đại diện các nhóm khác nêu ra.

  1. Làm việc độc lập

Tùy chọn 1

Tùy chọn 2

  1. Tóm tắt bài học

Việc giải hệ phương trình tuyến tính với các tham số có thể được so sánh với một nghiên cứu bao gồm ba điều kiện cơ bản. Giáo viên mời học sinh trình bày.

Khi quyết định, hãy nhớ:

  1. Để một hệ có nghiệm duy nhất, các đường thẳng tương ứng với phương trình của hệ phải cắt nhau, tức là điều kiện phải được đáp ứng;
  2. để không có nghiệm thì các đường thẳng phải song song, tức là điều kiện đã được đáp ứng
  3. và cuối cùng, để một hệ có vô số nghiệm thì các đường thẳng phải trùng nhau, tức là điều kiện đã được đáp ứng.

Giáo viên đánh giá bài tập chung của cả lớp và cho điểm từng học sinh. Sau khi kiểm tra bài làm độc lập của mình, mỗi học sinh sẽ nhận được điểm cho bài học.

  1. bài tập về nhà

Tại giá trị nào của tham số b thì hệ phương trình

  • có vô số giải pháp;
  • không có giải pháp?

Đồ thị của các hàm số y = 4x + b và y = kx + 6 đối xứng nhau qua tọa độ.

  • Tìm b và k,
  • tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị này.

Giải hệ phương trình với mọi giá trị của m và n.

Giải hệ phương trình tuyến tính cho tất cả các giá trị của tham số a (bất kỳ giá trị nào bạn chọn).

Văn học

  1. Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học: sách giáo khoa. cho lớp 11 giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: Giáo dục, 2008.
  2. Toán: Lớp 9: Chuẩn bị thi chứng chỉ cuối cấp cấp bang / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
  3. Chúng tôi đang chuẩn bị vào đại học. Toán học. Phần 2. Sách giáo khoa chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất, tham gia kỳ thi tập trung và vượt qua bài kiểm tra đầu vào vào Đại học Kỹ thuật Bang Kuban / Kuban. tình trạng technol. Trường đại học; Viện hiện đại technol. và kinh tế.; Biên soạn bởi: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palshchikova. – Krasnodar, 2006.
  4. Tuyển tập các bài toán dành cho các khóa dự bị TUSUR: Sách giáo khoa / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomsk: Tomsk. Tình trạng Đại học Hệ thống Điều khiển và Điện tử Vô tuyến, 1998.
  5. Toán: Khóa luyện thi chuyên sâu / O. Yu. Cherkasov, A. G. Yakushev. – M.: Rolf, Iris-press, 1998.