Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gaussian. Sơ đồ phân chia đơn

Khi giải hệ phương trình

Phiên bản đơn giản nhất của phương pháp Gaussian dẫn đến sai số lớn. Nguyên nhân là do xuất hiện các hệ số lớn, việc làm tròn dẫn đến sai số tuyệt đối lớn D ~ 0,5. Đổi lại, hệ số lớn thu được sau khi chia cho hệ số dẫn nhỏ .

Phần kết luận:Để giảm tác động của lỗi làm tròn, bạn cần chọn phần tử dẫn đầu không chỉ khác 0 mà còn đủ lớn.

Sửa đổi đầu tiên của phương pháp Gauss– tìm kiếm theo chuỗi. Trong thuật toán, phần tử dẫn đầu phải được chọn từ điều kiện.

Thiếu sửa đổi. Giả sử x i được tìm thấy có lỗi D. Khi đó, khi tìm kiếm bất kỳ x s nào, theo công thức nghịch đảo, cần phải nhân . Trong trường hợp này, lỗi D cũng sẽ được nhân với . Nếu giá trị lớn, lỗi sẽ tăng lên.

Phần kết luận: cần phải đảm bảo rằng phần tử dẫn đầu không chỉ lớn mà còn là modulo lớn nhất trong dòng của nó. Khi đó, khi chuẩn hóa đường dẫn đầu, tất cả các hệ số khác theo công thức (5) sẽ nhỏ hơn 1 về giá trị tuyệt đối và các sai số sẽ là giảm bớt.

Sửa đổi thứ hai của phương pháp Gauss- tìm kiếm theo cột Yêu cầu này có thể được đáp ứng nếu các ẩn số x i được loại trừ theo thứ tự ngẫu nhiên và dòng đầu tiên được tìm kiếm, cung cấp . Đây sẽ là yếu tố dẫn đầu tiếp theo. Sau khi xác định được phần tử đứng đầu, đổi chỗ thứ k và thứ r cột.

Chú ý. Với sự thay thế như vậy, việc đánh số các ẩn số x i sẽ thay đổi. Để đảm bảo việc thay thế như vậy cần nhập vào mảng p 1 ,…p n với các số thực của ẩn số trong quá trình lập trình. Khi bắt đầu hành trình tiến, tất cả p i = i đều là cách đánh số thông thường. Sau khi tìm được phần tử đứng đầu, hoán đổi p k và p r . Trong hành trình lùi, x i được đánh số lại được tính bằng công thức (7). Sau khi tính toán tất cả các ẩn số, chúng ta phải đặt y]:=x[i] và một mảng y[i] sẽ là giải pháp cuối cùng cho vấn đề.

Sửa đổi thứ ba của phương pháp Gauss- tìm kiếm đầy đủ Phần tử phân phối được chọn làm phần tử dẫn đầu. Trong trường hợp này, cột thứ k và thứ r, p k và p r, cũng như hàng thứ m và thứ k được hoán đổi. Việc sửa đổi này mang lại độ chính xác tối đa nhưng cũng phức tạp nhất.

Ứng dụng phương pháp Gauss để giải các bài toán đại số tuyến tính khác nhau

1. Đảo ngược ma trận. Cần tính ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A. Ký hiệu X = A –1. Như bạn đã biết, AX = I, trong đó I là ma trận đồng nhất, trong đó các số 1 nằm dọc theo đường chéo và các phần tử còn lại bằng 0. Nói cách khác, cột thứ i của ma trận I bằng

(1 ở vị trí thứ i). Cho x(i) là cột thứ i của ma trận X. Khi đó, áp dụng quy tắc nhân ma trận (hàng nhân với cột), ta có A x(i) = e(i). Điều này có nghĩa là để đảo ngược ma trận chúng ta cần giải N hệ phương trình tuyến tính có ma trận giống nhau và vế phải khác nhau:

Ồ = e (1) ; Ồ = e (2) ; …; Ồ = e (N) . (2.1)

Giải các hệ này, ta thấy các nghiệm tìm được x(1), x(2), ..., x(n) là các cột của ma trận A –1.

2. Tính định thức. Trong quá trình chuyển đổi ma trận A sang dạng tam giác bằng phương pháp Gaussian, chúng tôi đã thực hiện các thao tác sau với nó:

1) sắp xếp lại các hàng hoặc cột tùy thuộc vào việc sửa đổi phương pháp;

2) chia dòng đầu cho phần tử đầu khác 0;

3) một hàng đầu nhân với một số nhất định đã được thêm vào các hàng của ma trận.

Như đã biết, trong các phép biến đổi như vậy, định thức của ma trận trải qua những thay đổi tương ứng:

1) đổi dấu;

2) được chia cho cùng một phần tử;

3) không thay đổi.

Sau khi di chuyển về phía trước, ma trận A sẽ được rút gọn về dạng tam giác trên với các ma trận nằm trên đường chéo chính. Định thức của ma trận như vậy hiển nhiên bằng 1. Xét đến những thay đổi mà định thức của ma trận A trải qua trong quá trình biến đổi, ta có công thức sau:

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n ,

trong đó a j j là phần tử dẫn đầu, s là số hoán vị của hàng và/hoặc cột khi tìm kiếm phần tử dẫn đầu.

CÂU HỎI VÀ NHIỆM VỤ KIỂM TRA

1. thủ công triển khai phương pháp Gaussian (tìm kiếm theo hàng, cột, trong toàn bộ ma trận - tùy thuộc vào tùy chọn nhiệm vụ) cho một hệ phương trình nhất định

và hoàn thành các nhiệm vụ sau

1) Giải hệ phương trình này

2) Tính định thức của ma trận hệ này ( phương pháp Gaussian– xem p 2 ).

3) Đảo ngược ma trận của hệ thống này ( phương pháp Gaussian– xem p 1 ).

Trong tương lai, hãy sử dụng kết quả giải quyết vấn đề này làm ví dụ thử nghiệm.

2. Tạo chương trình giải hệ tuyến tính bằng phương pháp Gaussian (tìm kiếm theo hàng, cột, trong toàn bộ ma trận - tùy thuộc vào phiên bản của nhiệm vụ) và thực hiện đảo ngược ma trận bằng chương trình này.

Chúng ta tiếp tục xem xét các hệ phương trình tuyến tính. Bài học này là bài học thứ ba về chủ đề này. Nếu bạn chưa hiểu rõ về hệ phương trình tuyến tính nói chung là gì, nếu bạn cảm thấy thích một ấm trà, thì tôi khuyên bạn nên bắt đầu với những kiến thức cơ bản trên trang Tiếp theo, sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu bài học.

Phương pháp Gaussian rất dễ dàng! Tại sao? Nhà toán học nổi tiếng người Đức Johann Carl Friedrich Gauss khi còn sống đã được công nhận là nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, một thiên tài và thậm chí còn có biệt danh là “Vua toán học”. Và mọi thứ khéo léo, như bạn biết, đều đơn giản! Nhân tiện, không chỉ những kẻ ngu ngốc mới có được tiền, mà còn cả những thiên tài - chân dung của Gauss có trên tờ tiền 10 Deutschmark (trước khi đồng euro ra đời), và Gauss vẫn mỉm cười bí ẩn với người Đức từ những con tem bưu chính thông thường.

Phương pháp Gauss đơn giản ở chỗ KIẾN THỨC CỦA HỌC SINH LỚP NĂM ĐỦ để nắm vững nó. Bạn phải biết cộng và nhân! Không phải ngẫu nhiên mà giáo viên thường quan tâm đến phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số trong các môn tự chọn toán học phổ thông. Đó là một nghịch lý, nhưng học sinh nhận thấy phương pháp Gaussian là khó nhất. Không có gì đáng ngạc nhiên - tất cả đều là về phương pháp luận và tôi sẽ cố gắng nói về thuật toán của phương pháp đó ở dạng dễ tiếp cận.

Đầu tiên chúng ta hãy hệ thống hóa một chút kiến thức về hệ phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1) Có một giải pháp độc đáo. 2) Có vô số nghiệm. 3) Không có giải pháp (được không khớp).

Phương pháp Gauss là công cụ mạnh mẽ và phổ biến nhất để tìm giải pháp bất kì hệ phương trình tuyến tính. Như chúng ta nhớ, Phương pháp ma trận và quy tắc Cramer không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Và phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số Dù sao sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét lại phương pháp Gauss cho trường hợp số 1 (lời giải duy nhất của hệ thống), một bài viết dành cho các tình huống ở điểm số 2-3. Tôi lưu ý rằng thuật toán của phương pháp này hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp.

Hãy quay lại hệ thống đơn giản nhất trong bài học Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính? và giải nó bằng phương pháp Gaussian.

Bước đầu tiên là viết ra ma trận hệ thống mở rộng: . Tôi nghĩ mọi người đều có thể thấy các hệ số được viết theo nguyên tắc nào. Đường thẳng đứng bên trong ma trận không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào - nó chỉ đơn giản là gạch ngang để dễ thiết kế.

Thẩm quyền giải quyết : Tôi khuyên bạn nên nhớ điều khoản đại số tuyến tính. Ma trận hệ thống là một ma trận chỉ bao gồm các hệ số cho ẩn số, trong ví dụ này là ma trận của hệ thống: . Ma trận hệ thống mở rộng – đây chính là ma trận của hệ cộng với một cột các số hạng tự do, trong trường hợp này: . Để cho ngắn gọn, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được gọi đơn giản là ma trận.

Sau khi ma trận hệ thống mở rộng được viết, cần thực hiện một số hành động với nó, còn được gọi là các phép biến đổi cơ bản.

Có các phép biến đổi cơ bản sau:

1) Dây ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi. Ví dụ: trong ma trận đang được xem xét, bạn có thể sắp xếp lại hàng đầu tiên và hàng thứ hai một cách dễ dàng:

2) Nếu có (hoặc đã xuất hiện) các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ Tất cả các hàng này đều từ ma trận ngoại trừ một hàng. Ví dụ, hãy xem xét ma trận . Trong ma trận này, ba hàng cuối cùng tỷ lệ thuận với nhau, vì vậy chỉ cần để lại một trong số chúng là đủ: .

3) Nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ. Tất nhiên là tôi sẽ không vẽ, đường số 0 là đường trong đó tất cả số không.

4) Hàng ma trận có thể là nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác không. Ví dụ, hãy xem xét ma trận. Ở đây nên chia dòng đầu tiên cho –3 và nhân dòng thứ hai với 2: . Hành động này rất hữu ích vì nó đơn giản hóa các phép biến đổi tiếp theo của ma trận.

5) Sự chuyển đổi này gây ra nhiều khó khăn nhất nhưng thực tế cũng không có gì phức tạp cả. Đối với một hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0. Hãy xem ma trận của chúng ta từ một ví dụ thực tế: . Đầu tiên tôi sẽ mô tả sự chuyển đổi một cách chi tiết. Nhân dòng đầu tiên với –2: , Và ở dòng thứ hai chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –2: . Bây giờ dòng đầu tiên có thể được chia “trở lại” cho –2: . Như bạn có thể thấy, dòng được THÊM LI – vẫn chưa thay đổi. Luôn luôn dòng TO WHICH IS ADDED thay đổi UT.

Tất nhiên, trong thực tế, họ không viết chi tiết như vậy mà viết ngắn gọn: Một lần nữa: đến dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Một dòng thường được nhân lên bằng miệng hoặc bằng bản nháp, với quá trình tính nhẩm sẽ diễn ra như thế này:

“Tôi viết lại ma trận và viết lại dòng đầu tiên: »

“Cột đầu tiên. Ở phía dưới tôi cần lấy số không. Do đó, tôi nhân số ở trên cùng với –2: , và cộng số đầu tiên vào dòng thứ hai: 2 + (–2) = 0. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Bây giờ là cột thứ hai. Ở trên cùng, tôi nhân -1 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Và cột thứ ba. Ở trên cùng tôi nhân -5 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: –7 + 10 = 3. Tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: »

Hãy hiểu kỹ ví dụ này và hiểu thuật toán tính toán tuần tự, nếu bạn hiểu điều này thì phương pháp Gaussian thực tế nằm trong túi của bạn. Nhưng tất nhiên, chúng tôi vẫn sẽ tiếp tục thực hiện sự chuyển đổi này.

Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình

! CHÚ Ý: được coi là thao túng không thể sử dụng được, nếu bạn được giao một nhiệm vụ trong đó các ma trận được đưa ra “tự chúng”. Ví dụ: với “cổ điển” các phép toán với ma trận Trong mọi trường hợp, bạn không nên sắp xếp lại bất cứ thứ gì bên trong ma trận! Hãy quay trở lại hệ thống của chúng tôi. Nó gần như bị xé thành từng mảnh.

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để rút gọn nó thành chế độ xem từng bước:

(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Và một lần nữa: tại sao chúng ta nhân dòng đầu tiên với –2? Để có số 0 ở cuối, có nghĩa là loại bỏ một biến ở dòng thứ hai.

(2) Chia dòng thứ hai cho 3.

Mục đích của các phép biến đổi cơ bản – giảm ma trận về dạng từng bước: . Khi thiết kế nhiệm vụ, các em chỉ cần đánh dấu các “cầu thang” bằng bút chì đơn giản, đồng thời khoanh tròn các số nằm trên “bậc thang”. Bản thân thuật ngữ “quan điểm từng bước” không hoàn toàn mang tính lý thuyết; trong tài liệu khoa học và giáo dục nó thường được gọi là góc nhìn hình thang hoặc chế độ xem hình tam giác.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta thu được tương đương hệ phương trình ban đầu:

Bây giờ hệ thống cần được “tháo cuộn” theo hướng ngược lại - từ dưới lên trên, quá trình này được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.

Trong phương trình dưới, chúng ta đã có sẵn một kết quả: .

Hãy xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống và thay thế giá trị đã biết của “y” vào nó:

Hãy xem xét tình huống phổ biến nhất, khi phương pháp Gaussian yêu cầu giải một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.

Ví dụ 1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống:

Bây giờ tôi sẽ rút ra ngay kết quả mà chúng ta sẽ đạt được trong quá trình giải: Và tôi nhắc lại, mục tiêu của chúng ta là đưa ma trận về dạng từng bước bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Bắt đầu từ đâu?

Đầu tiên, hãy nhìn vào số trên cùng bên trái: Đáng lẽ phải luôn ở đây đơn vị. Nói chung, –1 (và đôi khi các số khác) sẽ phù hợp, nhưng bằng cách nào đó, theo truyền thống, số 1 thường được đặt ở đó. Tổ chức một đơn vị như thế nào? Chúng tôi nhìn vào cột đầu tiên - chúng tôi có một đơn vị đã hoàn thành! Chuyển đổi thứ nhất: hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba:

Bây giờ dòng đầu tiên sẽ không thay đổi cho đến khi kết thúc giải pháp. Nó đã dễ dàng hơn rồi.

Đơn vị ở góc trên bên trái được tổ chức. Bây giờ bạn cần lấy số không ở những nơi này:

Chúng ta nhận được số không bằng cách sử dụng một phép biến đổi “khó”. Đầu tiên chúng ta xử lý dòng thứ hai (2, –1, 3, 13). Cần phải làm gì để có được số 0 ở vị trí đầu tiên? cần phải vào dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –2: (–2, –4, 2, –18). Và chúng tôi liên tục thực hiện phép cộng (trong đầu hoặc trong bản nháp), vào dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên, đã nhân với –2:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ hai:

Chúng ta xử lý dòng thứ ba theo cách tương tự (3, 2, –5, –1). Để có được số 0 ở vị trí đầu tiên, bạn cần vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –3: (–3, –6, 3, –27). VÀ đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –3:

Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ ba:

Trong thực tế, những hành động này thường được thực hiện bằng miệng và viết ra trong một bước:

Không cần phải đếm mọi thứ cùng một lúc và cùng một lúc. Thứ tự tính toán và “ghi” kết quả nhất quán và thường thì nó như thế này: đầu tiên chúng tôi viết lại dòng đầu tiên, và chúng tôi tự cố gắng từng chút một - MỘT CÁCH NHẤT ĐỊNH và CHĂM SÓC:
Và tôi đã thảo luận về quá trình tính toán tinh thần ở trên.

Trong ví dụ này, điều này rất dễ thực hiện; chúng ta chia dòng thứ hai cho –5 (vì tất cả các số ở đó đều chia hết cho 5 mà không có phần dư). Đồng thời, chúng ta chia dòng thứ ba cho –2, vì số càng nhỏ thì lời giải càng đơn giản:

Ở giai đoạn cuối cùng của các phép biến đổi cơ bản, bạn cần lấy một số 0 khác ở đây:

Vì điều này đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –2:
Hãy cố gắng tự mình tìm ra hành động này - nhân dòng thứ hai với –2 và thực hiện phép cộng.

Hành động cuối cùng được thực hiện là kiểu tóc của kết quả, chia dòng thứ ba cho 3.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được hệ phương trình tuyến tính tương đương: Mát mẻ.

Bây giờ mặt trái của phương pháp Gaussian được áp dụng. Các phương trình “thư giãn” từ dưới lên trên.

Trong phương trình thứ ba, chúng ta đã có sẵn kết quả:

Hãy xét phương trình thứ hai: . Ý nghĩa của "zet" đã được biết đến, do đó:

Và cuối cùng, phương trình đầu tiên: . “Igrek” và “zet” đều được biết đến, đó chỉ là vấn đề nhỏ nhặt:

Trả lời:

Như đã được lưu ý nhiều lần, đối với bất kỳ hệ phương trình nào, việc kiểm tra nghiệm tìm được đều có thể và cần thiết, may mắn thay, việc này rất dễ dàng và nhanh chóng.

Ví dụ 2

Đây là ví dụ cho một giải pháp độc lập, mẫu của thiết kế cuối cùng và câu trả lời ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng tiến độ của quyết định có thể không trùng với quá trình ra quyết định của tôi, và đây là một đặc điểm của phương pháp Gauss. Nhưng câu trả lời phải giống nhau!

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Tôi đã làm điều này: (1) Dòng đầu tiên thêm dòng thứ hai nhân với -1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một động tác bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

(2) Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.

(3) Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.

(4) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 2.

(5) Dòng thứ ba chia cho 3.

Một dấu hiệu xấu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó như , bên dưới, và theo đó, , thì với xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình biến đổi cơ bản.

Chúng tôi tính ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, họ thường không viết lại chính hệ thống mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn, nét ngược lại hoạt động từ dưới lên trên. Vâng, đây là một món quà:

Trả lời: .

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, nó có phần phức tạp hơn. Không sao nếu ai đó bối rối. Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của tôi.

Trong phần cuối chúng ta sẽ xem xét một số tính năng của thuật toán Gaussian. Đặc điểm đầu tiên là đôi khi một số biến bị thiếu trong các phương trình của hệ thống, ví dụ: Làm thế nào để viết chính xác ma trận hệ thống mở rộng? Tôi đã nói về điểm này trong lớp. Quy tắc Cramer. Phương pháp ma trận. Trong ma trận mở rộng của hệ thống, chúng ta đặt các số 0 thay cho các biến bị thiếu: Nhân tiện, đây là một ví dụ khá dễ dàng, vì cột đầu tiên đã có một số 0 và có ít phép biến đổi cơ bản hơn để thực hiện.

Tính năng thứ hai là thế này. Trong tất cả các ví dụ được xem xét, chúng tôi đặt –1 hoặc +1 cho “bậc thang”. Có thể có những con số khác ở đó? Trong một số trường hợp họ có thể. Hãy xem xét hệ thống: .

Ở đây ở “bậc thang” phía trên bên trái, chúng ta có hai. Nhưng chúng tôi nhận thấy thực tế là tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2 mà không có phần dư - và số còn lại là hai và sáu. Và hai cái ở trên cùng bên trái sẽ phù hợp với chúng ta! Ở bước đầu tiên, bạn cần thực hiện các phép biến đổi sau: thêm dòng đầu tiên nhân với –1 vào dòng thứ hai; vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Bằng cách này, chúng ta sẽ nhận được các số 0 cần thiết trong cột đầu tiên.

Hoặc một ví dụ thông thường khác: . Ở đây, ba ở “bước” thứ hai cũng phù hợp với chúng ta, vì 12 (nơi chúng ta cần lấy số 0) chia hết cho 3 mà không có số dư. Cần phải thực hiện phép biến đổi sau: thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với –4, kết quả là chúng ta sẽ thu được số 0 mà chúng ta cần.

Phương pháp của Gauss là phổ quát, nhưng có một điểm đặc biệt. Bạn có thể tự tin học cách giải các hệ thống bằng các phương pháp khác (phương pháp Cramer, phương pháp ma trận) ngay lần đầu tiên - chúng có thuật toán rất nghiêm ngặt. Nhưng để cảm thấy tự tin với phương pháp Gaussian, bạn nên “bắt tay vào nghề” và giải ít nhất 5-10 hệ mười. Vì vậy, lúc đầu có thể có sự nhầm lẫn và sai sót trong tính toán, và điều này không có gì bất thường hay bi thảm.

Ngoài cửa sổ mưa thu mùa thu.... Do đó, dành cho những ai muốn có một ví dụ phức tạp hơn để tự mình giải quyết:

Ví dụ 5

Giải hệ 4 phương trình tuyến tính với 4 ẩn bằng phương pháp Gauss.

Một nhiệm vụ như vậy không quá hiếm trong thực tế. Tôi nghĩ ngay cả một ấm trà đã nghiên cứu kỹ lưỡng trang này cũng sẽ hiểu được thuật toán giải hệ thống như vậy một cách trực quan. Về cơ bản, mọi thứ đều giống nhau - chỉ có nhiều hành động hơn.

Các trường hợp hệ không có nghiệm (không nhất quán) hoặc có vô số nghiệm được thảo luận trong bài Hệ thống không tương thích và hệ thống có giải pháp chung. Ở đó bạn có thể sửa thuật toán được xem xét của phương pháp Gaussian.

Tôi chúc bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước.
Các phép biến đổi cơ bản được thực hiện: (1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. Chú ý! Ở đây bạn có thể muốn trừ dòng đầu tiên khỏi dòng thứ ba; tôi thực sự khuyên bạn không nên trừ nó - nguy cơ xảy ra lỗi sẽ tăng lên rất nhiều. Chỉ cần gấp nó lại! (2) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ hai và thứ ba đã được hoán đổi cho nhau. Xin lưu ý , rằng trên các “bước”, chúng tôi hài lòng không chỉ với một mà còn với –1, điều này thậm chí còn thuận tiện hơn. (3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 5. (4) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ ba được chia cho 14.

Đảo ngược:

Trả lời : .

Ví dụ 4: Giải pháp : Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện: (1) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên. Do đó, đơn vị mong muốn được sắp xếp ở “bậc thang” phía trên bên trái. (2) Dòng đầu tiên nhân với 7 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 6 được thêm vào dòng thứ ba.

Với “bước” thứ hai, mọi thứ trở nên tồi tệ hơn , “ứng cử viên” cho nó là các số 17 và 23, và chúng ta cần một hoặc –1. Các phép biến đổi (3) và (4) sẽ nhằm mục đích đạt được đơn vị mong muốn (3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. (4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3. Mục yêu cầu ở bước thứ hai đã được nhận. . (5) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 6. (6) Dòng thứ hai nhân với –1, dòng thứ ba chia cho -83.

Đảo ngược:

Trả lời :

Ví dụ 5: Giải pháp : Hãy viết ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

Chuyển đổi được thực hiện: (1) Dòng đầu tiên và dòng thứ hai đã được hoán đổi cho nhau. (2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –3. (3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba nhân với 4. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ tư nhân với –1. (4) Dấu của dòng thứ hai đã được thay đổi. Dòng thứ tư được chia cho 3 và đặt ở vị trí của dòng thứ ba. (5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –5.

Đảo ngược:

Trả lời :

Phương pháp Gauss Hoàn toàn phù hợp để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE). Nó có một số ưu điểm so với các phương pháp khác:

thứ nhất, không cần phải kiểm tra tính nhất quán của hệ phương trình;
Thứ hai, phương pháp Gauss không chỉ có thể giải các SLAE trong đó số phương trình trùng với số biến chưa biết và ma trận chính của hệ không số ít mà còn có thể giải các hệ phương trình trong đó số phương trình không trùng với số biến chưa biết hoặc định thức của ma trận chính bằng 0;
thứ ba, phương pháp Gaussian dẫn đến kết quả với số lượng thao tác tính toán tương đối nhỏ.

Tổng quan ngắn gọn về bài viết.

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra các định nghĩa cần thiết và giới thiệu các ký hiệu.

Tiếp theo, chúng tôi sẽ mô tả thuật toán của phương pháp Gauss cho trường hợp đơn giản nhất, tức là đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính, số phương trình trùng với số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ là không bằng không. Khi giải các hệ phương trình như vậy, bản chất của phương pháp Gauss được thấy rõ nhất, đó là việc loại tuần tự các biến chưa biết. Vì vậy, phương pháp Gaussian còn được gọi là phương pháp loại trừ tuần tự các ẩn số. Chúng tôi sẽ hiển thị các giải pháp chi tiết của một số ví dụ.

Để kết luận, chúng ta sẽ xem xét giải pháp bằng phương pháp Gauss của các hệ phương trình đại số tuyến tính, ma trận chính của chúng là hình chữ nhật hoặc số ít. Giải pháp cho các hệ thống như vậy có một số tính năng mà chúng tôi sẽ xem xét chi tiết bằng các ví dụ.

Điều hướng trang.

Các định nghĩa và ký hiệu cơ bản.

Xét hệ phương trình tuyến tính p với n ẩn số (p có thể bằng n):

Ở đâu có các biến chưa biết, là số (thực hoặc phức) và là các thuật ngữ tự do.

Nếu như , khi đó hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là đồng nhất, nếu không thì - không đồng nhất.

Tập hợp các giá trị của các biến chưa biết mà tất cả các phương trình của hệ thống trở thành danh tính được gọi là quyết định của SLAU.

Nếu có ít nhất một nghiệm của một hệ phương trình đại số tuyến tính thì hệ đó gọi là chung, nếu không thì - không khớp.

Nếu SLAE có một giải pháp duy nhất thì nó được gọi là chắc chắn. Nếu có nhiều hơn một giải pháp thì hệ thống được gọi là không chắc chắn.

Họ nói rằng hệ thống được viết bằng hình thức tọa độ, nếu nó có dạng
.

Hệ thống này ở dạng ma trận hồ sơ có dạng , trong đó - ma trận chính của SLAE, - ma trận cột các biến chưa biết, - ma trận các số hạng tự do.

Nếu chúng ta thêm một cột ma trận chứa các số hạng tự do vào ma trận A làm cột thứ (n+1), chúng ta sẽ nhận được cái gọi là ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính. Thông thường, một ma trận mở rộng được ký hiệu bằng chữ T và cột các thuật ngữ tự do được phân tách bằng một đường thẳng đứng với các cột còn lại, nghĩa là

Ma trận vuông A được gọi là thoái hóa, nếu định thức của nó bằng 0. Nếu , thì ma trận A được gọi không thoái hóa.

Cần lưu ý điểm sau đây.

Nếu bạn thực hiện các thao tác sau với hệ phương trình đại số tuyến tính

Hoán đổi hai phương trình
nhân cả hai vế của bất kỳ phương trình nào với một số thực (hoặc số phức) k tùy ý và khác 0,
cả hai vế của phương trình bất kỳ cộng các phần tương ứng của phương trình khác, nhân với một số tùy ý k,

sau đó bạn nhận được một hệ thống tương đương có cùng nghiệm (hoặc, giống như hệ ban đầu, không có nghiệm).

Đối với ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính, những hành động này có nghĩa là thực hiện các phép biến đổi cơ bản với các hàng:

hoán đổi hai dòng,
nhân tất cả các phần tử của một hàng bất kỳ của ma trận T với một số k khác 0,
thêm vào các phần tử của một hàng bất kỳ trong ma trận các phần tử tương ứng của một hàng khác, nhân với một số k tùy ý.

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành mô tả phương pháp Gauss.

Giải các hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó số phương trình bằng số ẩn và ma trận chính của hệ là không suy biến bằng phương pháp Gaussian.

Chúng ta sẽ làm gì ở trường nếu được giao nhiệm vụ tìm nghiệm của hệ phương trình? .

Một số sẽ làm điều đó.

Lưu ý rằng bằng cách cộng vế trái của phương trình thứ nhất với vế trái của phương trình thứ hai và vế phải vào vế phải, bạn có thể loại bỏ các biến x 2 và x 3 chưa biết và ngay lập tức tìm được x 1:

Chúng ta thay giá trị tìm được x 1 =1 vào phương trình thứ nhất và thứ ba của hệ:

Nếu nhân cả hai vế của phương trình thứ ba của hệ với -1 và cộng chúng với các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, chúng ta loại bỏ biến x 3 chưa biết và có thể tìm được x 2:

Chúng ta thay giá trị thu được x 2 = 2 vào phương trình thứ ba và tìm biến x 3 chưa biết còn lại:

Những người khác sẽ làm khác đi.

Chúng ta hãy giải phương trình đầu tiên của hệ đối với biến x 1 chưa biết và thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai và thứ ba của hệ để loại trừ biến này khỏi chúng:

Bây giờ chúng ta hãy giải phương trình thứ hai của hệ tìm x 2 và thay kết quả thu được vào phương trình thứ ba để loại bỏ biến x 2 chưa biết khỏi nó:

Từ phương trình thứ ba của hệ ta thấy rõ x 3 = 3. Từ phương trình thứ hai chúng ta tìm thấy , và từ phương trình đầu tiên chúng ta nhận được .

Những giải pháp quen thuộc phải không?

Điều thú vị nhất ở đây là phương pháp giải thứ hai thực chất là phương pháp loại trừ tuần tự các ẩn số, đó là phương pháp Gaussian. Khi biểu thị các biến chưa biết (đầu tiên x 1, ở giai đoạn tiếp theo x 2) và thay chúng vào các phương trình còn lại của hệ thống, chúng tôi đã loại trừ chúng. Chúng tôi tiến hành loại bỏ cho đến khi chỉ còn lại một biến chưa biết trong phương trình cuối cùng. Quá trình loại bỏ tuần tự các ẩn số được gọi là phương pháp Gaussian trực tiếp. Sau khi hoàn thành bước tiến, chúng ta có cơ hội tính biến chưa biết tìm thấy trong phương trình cuối cùng. Với sự trợ giúp của nó, chúng ta tìm thấy biến chưa biết tiếp theo từ phương trình áp chót, v.v. Quá trình tìm tuần tự các biến chưa biết trong khi chuyển từ phương trình cuối cùng sang phương trình đầu tiên được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.

Cần lưu ý rằng khi chúng ta biểu thị x 1 theo x 2 và x 3 trong phương trình đầu tiên, sau đó thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai và thứ ba, các hành động sau đây sẽ dẫn đến cùng một kết quả:

Thật vậy, quy trình như vậy cũng giúp loại bỏ biến x 1 chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ:

Các vấn đề với việc loại bỏ các biến chưa biết bằng phương pháp Gaussian phát sinh khi các phương trình của hệ thống không chứa một số biến.

Ví dụ: trong SLAU trong phương trình thứ nhất không có biến x 1 chưa biết (nói cách khác, hệ số đứng trước nó bằng 0). Vì vậy, chúng ta không thể giải phương trình đầu tiên của hệ x 1 để loại bỏ biến chưa biết này khỏi các phương trình còn lại. Cách thoát khỏi tình huống này là hoán đổi các phương trình của hệ thống. Vì chúng ta đang xem xét các hệ phương trình tuyến tính có định thức của ma trận chính khác 0, nên luôn có một phương trình trong đó có biến chúng ta cần và chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình này đến vị trí chúng ta cần. Trong ví dụ của chúng tôi, chỉ cần hoán đổi phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ thống là đủ , thì bạn có thể giải phương trình đầu tiên cho x 1 và loại nó ra khỏi các phương trình còn lại của hệ (mặc dù x 1 không còn xuất hiện trong phương trình thứ hai).

Chúng tôi hy vọng bạn hiểu được ý chính.

Hãy mô tả Thuật toán phương pháp Gaussian.

Giả sử chúng ta cần giải một hệ gồm n phương trình đại số tuyến tính với n biến chưa biết có dạng và đặt định thức của ma trận chính của nó khác 0.

Chúng ta sẽ giả sử rằng , vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ. Hãy loại bỏ biến x 1 chưa biết khỏi tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ biến thứ hai. Để làm điều này, vào phương trình thứ hai của hệ, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với , vào phương trình thứ ba, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với , v.v., vào phương trình thứ n, chúng ta thêm phương trình thứ nhất, nhân với . Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

ở đâu và .

Chúng ta sẽ đạt được kết quả tương tự nếu chúng ta biểu thị x 1 theo các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ và thay biểu thức thu được vào tất cả các phương trình khác. Do đó, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ hai.

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành theo cách tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình

Để làm điều này, vào phương trình thứ ba của hệ, chúng ta thêm phương trình thứ hai nhân với , vào phương trình thứ tư, chúng ta thêm phương trình thứ hai, nhân với , v.v., vào phương trình thứ n, chúng ta thêm phương trình thứ hai, nhân với . Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng

ở đâu và . Do đó, biến x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ ba.

Tiếp theo, chúng ta tiến hành loại bỏ x 3 chưa biết, đồng thời thực hiện tương tự với phần hệ thống được đánh dấu trong hình

Vì vậy, chúng tôi tiếp tục phát triển trực tiếp phương pháp Gaussian cho đến khi hệ thống có dạng

Từ thời điểm này, chúng ta bắt đầu đảo ngược phương pháp Gaussian: chúng ta tính x n từ phương trình cuối cùng là , sử dụng giá trị thu được của x n chúng ta tìm x n-1 từ phương trình áp chót, v.v., chúng ta tìm thấy x 1 từ phương trình đầu tiên .

Hãy xem xét thuật toán bằng một ví dụ.

Ví dụ.

Phương pháp Gauss.

Giải pháp.

Hệ số a 11 khác 0, vì vậy chúng ta hãy tiến hành tiến triển trực tiếp của phương pháp Gaussian, nghĩa là loại trừ biến x 1 chưa biết khỏi tất cả các phương trình của hệ ngoại trừ biến đầu tiên. Để làm điều này, với vế trái và vế phải của phương trình thứ hai, thứ ba và thứ tư, hãy cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ nhất, nhân tương ứng với . Và :

Biến chưa biết x 1 đã bị loại, chúng ta chuyển sang loại trừ x 2 . Về vế trái và vế phải của phương trình thứ ba và thứ tư của hệ ta cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ hai, nhân tương ứng với Và :

Để hoàn thành quá trình tiến triển của phương pháp Gaussian, chúng ta cần loại bỏ biến x 3 chưa biết khỏi phương trình cuối cùng của hệ thống. Chúng ta cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ tư lần lượt với vế trái và vế phải của phương trình thứ ba, nhân với :

Bạn có thể bắt đầu đảo ngược phương pháp Gaussian.

Từ phương trình cuối cùng ta có ,
từ phương trình thứ ba chúng ta nhận được,
từ thứ hai,
từ cái đầu tiên.

Để kiểm tra, bạn có thể thay thế các giá trị thu được của các biến chưa biết vào hệ phương trình ban đầu. Tất cả các phương trình đều trở thành đồng nhất thức, điều này cho thấy rằng giải pháp sử dụng phương pháp Gauss đã được tìm thấy chính xác.

Trả lời:

Bây giờ hãy đưa ra giải pháp cho cùng một ví dụ bằng phương pháp Gaussian trong ký hiệu ma trận.

Ví dụ.

Tìm nghiệm của hệ phương trình Phương pháp Gauss.

Giải pháp.

Ma trận mở rộng của hệ có dạng . Ở đầu mỗi cột là các biến chưa biết tương ứng với các phần tử của ma trận.

Cách tiếp cận trực tiếp của phương pháp Gaussian ở đây liên quan đến việc giảm ma trận mở rộng của hệ thống thành dạng hình thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Quá trình này tương tự như việc loại bỏ các biến chưa biết mà chúng ta đã thực hiện với hệ thống ở dạng tọa độ. Bây giờ bạn sẽ thấy điều này.

Hãy biến đổi ma trận sao cho tất cả các phần tử trong cột đầu tiên, bắt đầu từ cột thứ hai, trở thành số 0. Để làm điều này, với các phần tử của dòng thứ hai, thứ ba và thứ tư, chúng ta cộng các phần tử tương ứng của dòng đầu tiên nhân với , và theo đó:

Tiếp theo, chúng ta biến đổi ma trận kết quả sao cho trong cột thứ hai, tất cả các phần tử, bắt đầu từ cột thứ ba, trở thành 0. Điều này tương ứng với việc loại bỏ biến x 2 chưa biết. Để làm điều này, với các phần tử của hàng thứ ba và thứ tư, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của hàng đầu tiên của ma trận, nhân tương ứng với Và :

Vẫn còn phải loại trừ biến x 3 chưa biết khỏi phương trình cuối cùng của hệ thống. Để làm điều này, với các phần tử của hàng cuối cùng của ma trận kết quả, chúng ta thêm các phần tử tương ứng của hàng áp chót, nhân với :

Cần lưu ý rằng ma trận này tương ứng với hệ phương trình tuyến tính

đã đạt được trước đó sau một bước tiến về phía trước.

Đã đến lúc quay lại. Trong ký hiệu ma trận, nghịch đảo của phương pháp Gaussian liên quan đến việc biến đổi ma trận kết quả sao cho ma trận được đánh dấu trong hình

trở thành đường chéo, nghĩa là có dạng

một số con số ở đâu

Các phép biến đổi này tương tự như các phép biến đổi thuận của phương pháp Gaussian, nhưng được thực hiện không phải từ dòng đầu tiên đến dòng cuối cùng mà từ dòng cuối cùng đến dòng đầu tiên.

Thêm vào các phần tử của dòng thứ ba, thứ hai và đầu tiên các phần tử tương ứng của dòng cuối cùng, nhân với , cứ tiếp tục tương ứng:

Bây giờ thêm vào các phần tử của dòng thứ hai và dòng đầu tiên các phần tử tương ứng của dòng thứ ba, nhân tương ứng với và với:

Ở bước cuối cùng của phương pháp Gaussian ngược, với các phần tử của hàng đầu tiên ta cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với:

Ma trận kết quả tương ứng với hệ phương trình , từ đó chúng ta tìm thấy các biến chưa biết.

Trả lời:

XIN LƯU Ý.

Khi sử dụng phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính, nên tránh tính toán gần đúng vì điều này có thể dẫn đến kết quả hoàn toàn sai. Chúng tôi khuyên bạn không nên làm tròn số thập phân. Tốt hơn là chuyển từ phân số thập phân sang phân số thông thường.

Ví dụ.

Giải hệ ba phương trình bằng phương pháp Gauss .

Giải pháp.

Lưu ý rằng trong ví dụ này, các biến chưa biết có ký hiệu khác (không phải x 1, x 2, x 3 mà là x, y, z). Hãy chuyển sang phân số thông thường:

Chúng ta hãy loại trừ x chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ:

Trong hệ thu được, biến y chưa biết không có trong phương trình thứ hai và y có trong phương trình thứ ba, do đó, hãy hoán đổi phương trình thứ hai và thứ ba:

Điều này hoàn thành quá trình tiến triển trực tiếp của phương pháp Gauss (không cần loại trừ y khỏi phương trình thứ ba, vì biến chưa biết này không còn tồn tại).

Hãy bắt đầu di chuyển ngược lại.

Từ phương trình cuối cùng chúng ta tìm thấy ,
từ áp chót

từ phương trình đầu tiên chúng ta có

Trả lời:

X = 10, y = 5, z = -20.

Giải các hệ phương trình đại số tuyến tính trong đó số phương trình không trùng với số ẩn hoặc ma trận chính của hệ là số ít bằng phương pháp Gauss.

Hệ phương trình có ma trận chính là hình chữ nhật hoặc hình vuông số ít, có thể không có nghiệm, có thể có một nghiệm duy nhất hoặc có thể có vô số nghiệm.

Bây giờ chúng ta sẽ hiểu cách phương pháp Gauss cho phép chúng ta thiết lập tính tương thích hoặc tính không nhất quán của một hệ phương trình tuyến tính và trong trường hợp tương thích của nó, hãy xác định tất cả các nghiệm (hoặc một nghiệm duy nhất).

Về nguyên tắc, quá trình loại bỏ các biến chưa biết trong trường hợp SLAE như vậy vẫn được giữ nguyên. Tuy nhiên, cần đi sâu vào chi tiết về một số tình huống có thể phát sinh.

Hãy chuyển sang giai đoạn quan trọng nhất.

Vì vậy, chúng ta hãy giả sử rằng hệ phương trình đại số tuyến tính, sau khi hoàn thành tiến trình tiến triển của phương pháp Gauss, có dạng và không một phương trình nào được rút gọn thành (trong trường hợp này chúng ta sẽ kết luận rằng hệ thống không tương thích). Một câu hỏi hợp lý được đặt ra: “Phải làm gì tiếp theo”?

Chúng ta hãy viết ra các biến chưa biết xuất hiện đầu tiên trong tất cả các phương trình của hệ thu được:

Trong ví dụ của chúng tôi đây là x 1, x 4 và x 5. Ở vế trái của các phương trình của hệ ta chỉ để lại những số hạng chứa các biến chưa biết x 1, x 4 và x 5, các số hạng còn lại chuyển sang vế phải của phương trình có dấu ngược lại:

Hãy cho các biến chưa biết nằm ở vế phải của phương trình các giá trị tùy ý, trong đó - số tùy ý:

Sau đó, vế phải của tất cả các phương trình SLAE của chúng ta đều chứa các số và chúng ta có thể tiến hành đảo ngược phương pháp Gaussian.

Từ phương trình cuối cùng của hệ ta có, từ phương trình áp chót ta tìm được, từ phương trình đầu tiên ta có

Lời giải của hệ phương trình là tập hợp các giá trị của các biến chưa biết

Đưa ra con số các giá trị khác nhau thì ta sẽ thu được nghiệm khác nhau của hệ phương trình. Tức là hệ phương trình của ta có vô số nghiệm.

Trả lời:

Ở đâu - số tùy ý.

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết cách giải của một số ví dụ khác.

Ví dụ.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất Phương pháp Gauss.

Giải pháp.

Chúng ta hãy loại trừ biến x chưa biết khỏi phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống. Để làm điều này, ở vế trái và vế phải của phương trình thứ hai, chúng ta lần lượt cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ nhất, nhân với , và vào vế trái và phải của phương trình thứ ba, chúng ta cộng vế trái và vế phải của phương trình thứ nhất, nhân với:

Bây giờ hãy loại trừ y khỏi phương trình thứ ba của hệ phương trình thu được:

SLAE kết quả tương đương với hệ thống .

Chúng ta để lại ở vế trái của hệ phương trình chỉ các thuật ngữ chứa biến x và y chưa biết, và chuyển các thuật ngữ có biến z chưa biết sang vế phải:

Phương pháp Gaussian, còn được gọi là phương pháp loại bỏ tuần tự các ẩn số, như sau. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình tuyến tính được đưa về dạng sao cho ma trận các hệ số của nó trở thành hình thang (giống như hình tam giác hoặc bậc thang) hoặc gần với hình thang (nét trực tiếp của phương pháp Gaussian, sau đây gọi đơn giản là nét thẳng). Một ví dụ về hệ thống như vậy và giải pháp của nó được thể hiện trong hình trên.

Trong hệ thống như vậy, phương trình cuối cùng chỉ chứa một biến và giá trị của nó có thể được tìm thấy một cách rõ ràng. Giá trị của biến này sau đó được thay thế vào phương trình trước đó ( nghịch đảo của phương pháp Gaussian , thì ngược lại), từ đó tìm thấy biến trước đó, v.v.

Trong hệ hình thang (tam giác), như chúng ta thấy, phương trình thứ ba không còn chứa biến y Và x, và phương trình thứ hai là biến x .

Sau khi ma trận của hệ đã có dạng hình thang, việc tìm hiểu vấn đề tương thích của hệ, xác định số nghiệm và tự tìm ra lời giải không còn khó khăn nữa.

Ưu điểm của phương pháp:

khi giải các hệ phương trình tuyến tính có nhiều hơn ba phương trình và ẩn số, phương pháp Gauss không cồng kềnh như phương pháp Cramer, vì việc giải bằng phương pháp Gauss yêu cầu ít phép tính hơn;
phương pháp Gauss có thể giải các hệ phương trình tuyến tính vô định, tức là những hệ phương trình có nghiệm tổng quát (và chúng ta sẽ phân tích chúng trong bài học này), và sử dụng phương pháp Cramer, chúng ta chỉ có thể phát biểu rằng hệ phương trình đó là vô định;
bạn có thể giải các hệ phương trình tuyến tính trong đó số ẩn số không bằng số phương trình (chúng ta cũng sẽ phân tích chúng trong bài học này);
Phương pháp này dựa trên phương pháp tiểu học (trường học) - phương pháp thay số chưa biết và phương pháp cộng phương trình mà chúng tôi đã đề cập trong bài viết tương ứng.

Để mọi người hiểu được sự đơn giản trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính hình thang (tam giác, bậc), chúng tôi trình bày một giải pháp cho hệ như vậy bằng cách sử dụng chuyển động ngược. Một giải pháp nhanh chóng cho hệ thống này đã được hiển thị trong hình ở đầu bài học.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng nghịch đảo:

Giải pháp. Trong hệ hình thang này, biến z có thể tìm được duy nhất từ phương trình thứ ba. Chúng ta thay giá trị của nó vào phương trình thứ hai và nhận được giá trị của biến y:

Bây giờ chúng ta biết giá trị của hai biến - z Và y. Chúng ta thay chúng vào phương trình đầu tiên và nhận được giá trị của biến x:

Từ các bước trước, chúng ta viết ra nghiệm của hệ phương trình:

Để thu được hệ phương trình tuyến tính hình thang mà chúng ta giải rất đơn giản, cần phải sử dụng nét về phía trước gắn với các phép biến đổi cơ bản của hệ phương trình tuyến tính. Nó cũng không khó lắm.

Các phép biến đổi cơ bản của hệ phương trình tuyến tính

Lặp lại phương pháp cộng đại số các phương trình của một hệ, chúng ta phát hiện ra rằng với một trong các phương trình của hệ, chúng ta có thể thêm một phương trình khác của hệ và mỗi phương trình có thể được nhân với một số số. Kết quả là chúng ta thu được một hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ phương trình này. Trong đó, một phương trình chỉ chứa một biến, thay giá trị của biến đó vào các phương trình khác, chúng ta đi đến nghiệm. Sự bổ sung như vậy là một trong những loại chuyển đổi cơ bản của hệ thống. Khi sử dụng phương pháp Gaussian, chúng ta có thể sử dụng một số loại phép biến đổi.

Hình ảnh động trên cho thấy hệ phương trình dần dần chuyển thành phương trình hình thang. Đó là cái mà bạn đã thấy trong hoạt hình đầu tiên và tự thuyết phục bản thân rằng có thể dễ dàng tìm thấy giá trị của tất cả những ẩn số từ nó. Làm thế nào để thực hiện một phép chuyển đổi như vậy và tất nhiên, các ví dụ sẽ được thảo luận thêm.

Khi giải hệ phương trình tuyến tính với số lượng bất kỳ phương trình và ẩn số trong hệ phương trình và ma trận mở rộng của hệ Có thể:

sắp xếp lại các dòng (điều này đã được đề cập ở đầu bài viết này);
nếu các phép biến đổi khác dẫn đến các hàng bằng nhau hoặc tỷ lệ, chúng có thể bị xóa, ngoại trừ một;
xóa các hàng "không" trong đó tất cả các hệ số đều bằng 0;
nhân hoặc chia bất kỳ chuỗi nào với một số nhất định;
vào bất kỳ dòng nào thêm một dòng khác, nhân với một số nhất định.

Kết quả của các phép biến đổi, chúng ta thu được hệ phương trình tuyến tính tương đương với phương trình này.

Thuật toán và ví dụ giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận vuông của hệ bằng phương pháp Gauss

Trước tiên chúng ta hãy xem xét việc giải các hệ phương trình tuyến tính trong đó số ẩn bằng số phương trình. Ma trận của một hệ thống như vậy là hình vuông, nghĩa là số hàng trong đó bằng số cột.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp trường học, ta nhân một trong các phương trình với số hạng sao cho hệ số của biến thứ nhất trong hai phương trình là số đối nhau. Khi thêm phương trình, biến này bị loại bỏ. Phương pháp Gauss hoạt động tương tự.

Để đơn giản hóa sự xuất hiện của giải pháp hãy tạo một ma trận mở rộng của hệ thống:

Trong ma trận này, các hệ số của ẩn số nằm ở bên trái trước đường thẳng đứng và các số hạng tự do nằm ở bên phải sau đường thẳng đứng.

Để thuận tiện cho việc chia hệ số cho các biến (để có được phép chia cho đơn vị) Hãy hoán đổi hàng đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận hệ thống. Chúng ta thu được một hệ tương đương với hệ này, vì trong hệ phương trình tuyến tính, các phương trình có thể hoán đổi cho nhau:

Sử dụng phương trình đầu tiên mới loại bỏ biến x từ phương trình thứ hai và tất cả các phương trình tiếp theo. Để làm điều này, vào hàng thứ hai của ma trận, chúng ta thêm hàng đầu tiên nhân với (trong trường hợp của chúng tôi là với ), vào hàng thứ ba - hàng đầu tiên, nhân với (trong trường hợp của chúng tôi là với ).

Điều này là có thể bởi vì

Nếu có nhiều hơn ba phương trình trong hệ thống của chúng ta, thì chúng ta sẽ phải thêm dòng đầu tiên vào tất cả các phương trình tiếp theo, nhân với tỷ lệ của các hệ số tương ứng, lấy bằng dấu trừ.

Kết quả là, chúng ta thu được một ma trận tương đương với hệ phương trình mới này, trong đó tất cả các phương trình, bắt đầu từ phương trình thứ hai không chứa một biến x :

Để đơn giản hóa dòng thứ hai của hệ thống kết quả, nhân nó với và một lần nữa thu được ma trận của hệ phương trình tương đương với hệ phương trình này:

Bây giờ, giữ nguyên phương trình đầu tiên của hệ thu được, sử dụng phương trình thứ hai chúng ta loại bỏ biến y từ tất cả các phương trình tiếp theo. Để làm điều này, vào hàng thứ ba của ma trận hệ thống, chúng ta thêm hàng thứ hai nhân với (trong trường hợp của chúng tôi là ).

Nếu có nhiều hơn ba phương trình trong hệ thống của chúng ta, thì chúng ta sẽ phải thêm dòng thứ hai vào tất cả các phương trình tiếp theo, nhân với tỷ lệ của các hệ số tương ứng được lấy bằng dấu trừ.

Kết quả là chúng ta lại thu được ma trận của một hệ tương đương với hệ phương trình tuyến tính này:

Ta đã thu được hệ phương trình tuyến tính hình thang tương đương:

Nếu số lượng phương trình và biến lớn hơn trong ví dụ của chúng tôi, thì quá trình loại bỏ các biến tuần tự sẽ tiếp tục cho đến khi ma trận hệ thống trở thành hình thang, như trong ví dụ demo của chúng tôi.

Chúng ta sẽ tìm ra giải pháp “từ cuối” - nước đi ngược lại. Vì điều này từ phương trình cuối cùng chúng ta xác định z:
.
Thay thế giá trị này vào phương trình trước đó, chúng ta sẽ tìm y:

Từ phương trình đầu tiên chúng ta sẽ tìm x:

Trả lời: Giải hệ phương trình này là .

: trong trường hợp này câu trả lời tương tự sẽ được đưa ra nếu hệ thống có nghiệm duy nhất. Nếu hệ có vô số nghiệm thì đây sẽ là đáp án và đây là chủ đề của phần thứ năm của bài học này.

Tự giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gaussian, sau đó xem lời giải

Ở đây một lần nữa chúng ta có một ví dụ về một hệ phương trình tuyến tính nhất quán và xác định, trong đó số phương trình bằng số ẩn số. Sự khác biệt so với ví dụ demo của chúng tôi so với thuật toán là đã có bốn phương trình và bốn ẩn số.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss:

Bây giờ bạn cần sử dụng phương trình thứ hai để loại bỏ biến khỏi các phương trình tiếp theo. Hãy tiến hành công việc chuẩn bị. Để thuận tiện hơn với tỷ lệ các hệ số, bạn cần lấy một hệ số ở cột thứ hai của hàng thứ hai. Để làm điều này, hãy trừ dòng thứ ba khỏi dòng thứ hai và nhân dòng thứ hai thu được với -1.

Bây giờ chúng ta tiến hành loại bỏ biến khỏi phương trình thứ ba và thứ tư. Để thực hiện việc này, hãy thêm dòng thứ hai nhân với , vào dòng thứ ba và dòng thứ hai nhân với , vào dòng thứ tư.

Bây giờ, sử dụng phương trình thứ ba, chúng ta loại bỏ biến khỏi phương trình thứ tư. Để làm điều này, hãy thêm dòng thứ ba vào dòng thứ tư, nhân với . Chúng ta thu được một ma trận hình thang mở rộng.

Ta thu được hệ phương trình tương đương với hệ đã cho:

Do đó, hệ thống thu được và hệ thống đã cho là tương thích và xác định. Chúng tôi tìm ra giải pháp cuối cùng “từ cuối”. Từ phương trình thứ tư, chúng ta có thể biểu thị trực tiếp giá trị của biến “x thứ tư”:

Chúng ta thay giá trị này vào phương trình thứ ba của hệ và nhận được

Cuối cùng, thay thế giá trị

Phương trình đầu tiên cho

chúng ta tìm thấy “x đầu tiên” ở đâu:

Trả lời: Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất .

Bạn cũng có thể kiểm tra nghiệm của hệ trên máy tính bằng phương pháp Cramer: trong trường hợp này, câu trả lời tương tự sẽ được đưa ra nếu hệ có một nghiệm duy nhất.

Giải các bài toán ứng dụng bằng phương pháp Gauss sử dụng ví dụ về bài toán trên hợp kim

Hệ phương trình tuyến tính được sử dụng để mô hình hóa các đối tượng thực trong thế giới vật chất. Hãy giải quyết một trong những vấn đề này - hợp kim. Các vấn đề tương tự là các vấn đề về hỗn hợp, chi phí hoặc tỷ trọng của từng hàng hóa trong một nhóm hàng hóa, v.v.

Ví dụ 5. Ba mảnh hợp kim có tổng khối lượng 150 kg. Hợp kim thứ nhất chứa 60% đồng, thứ hai - 30%, thứ ba - 10%. Hơn nữa, trong hợp kim thứ hai và thứ ba cộng lại có ít đồng hơn 28,4 kg so với hợp kim thứ nhất, và ở hợp kim thứ ba có ít đồng hơn 6,2 kg so với hợp kim thứ hai. Tìm khối lượng mỗi mảnh hợp kim.

Giải pháp. Chúng tôi soạn thảo một hệ phương trình tuyến tính:

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 10, chúng ta thu được hệ phương trình tuyến tính tương đương:

Chúng tôi tạo ra một ma trận mở rộng của hệ thống:

Chú ý, đi thẳng về phía trước. Bằng cách thêm (trong trường hợp của chúng tôi là trừ) một hàng nhân với một số (chúng tôi áp dụng nó hai lần), các phép biến đổi sau xảy ra với ma trận mở rộng của hệ thống:

Việc di chuyển trực tiếp đã kết thúc. Chúng tôi thu được một ma trận hình thang mở rộng.

Chúng tôi áp dụng động thái ngược lại. Chúng tôi tìm thấy giải pháp từ cuối. Chúng tôi thấy điều đó.

Từ phương trình thứ hai chúng ta tìm thấy

Từ phương trình thứ ba -

Bạn cũng có thể kiểm tra nghiệm của hệ trên máy tính bằng phương pháp Cramer: trong trường hợp này, câu trả lời tương tự sẽ được đưa ra nếu hệ có nghiệm duy nhất.

Sự đơn giản trong phương pháp của Gauss được chứng minh bằng việc nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss chỉ mất 15 phút để phát minh ra nó. Ngoài phương pháp mang tên ông, câu nói “Chúng ta không nên nhầm lẫn những gì có vẻ khó tin và không tự nhiên đối với chúng ta với những điều hoàn toàn không thể” còn được biết đến từ các tác phẩm của Gauss - một loại hướng dẫn ngắn gọn về việc khám phá.

Trong nhiều bài toán ứng dụng có thể không có ràng buộc thứ ba, tức là phương trình thứ ba; khi đó, sử dụng phương pháp Gaussian, người ta phải giải hệ hai phương trình với ba ẩn số, hoặc ngược lại, có ít ẩn số hơn phương trình. Bây giờ chúng ta sẽ bắt đầu giải các hệ phương trình như vậy.

Sử dụng phương pháp Gaussian, bạn có thể xác định xem hệ thống nào tương thích hay không tương thích N phương trình tuyến tính với N các biến.

Phương pháp Gauss và hệ phương trình tuyến tính với vô số nghiệm

Ví dụ tiếp theo là một hệ phương trình tuyến tính nhất quán nhưng không xác định, nghĩa là có vô số nghiệm.

Sau khi thực hiện các phép biến đổi trong ma trận mở rộng của hệ thống (sắp xếp lại các hàng, nhân chia các hàng cho một số nhất định, thêm một hàng khác vào một hàng), các hàng có dạng

Nếu trong mọi phương trình có dạng

Các số hạng tự do bằng 0, điều này có nghĩa là hệ thống là vô định, nghĩa là nó có vô số nghiệm và các phương trình loại này là “không cần thiết” và chúng tôi loại chúng khỏi hệ thống.

Ví dụ 6.

Giải pháp. Hãy tạo một ma trận mở rộng của hệ thống. Sau đó, bằng cách sử dụng phương trình đầu tiên, chúng ta loại bỏ biến khỏi các phương trình tiếp theo. Để làm điều này, thêm vào dòng thứ hai, thứ ba và thứ tư số đầu tiên nhân với :

Bây giờ hãy thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba và thứ tư.

Kết quả là chúng ta đi đến hệ thống

Hai phương trình cuối cùng chuyển thành phương trình có dạng. Các phương trình này thỏa mãn mọi giá trị chưa biết và có thể bị loại bỏ.

Để thỏa mãn phương trình thứ hai, chúng ta có thể chọn các giá trị tùy ý cho và , khi đó giá trị cho sẽ được xác định duy nhất: . Từ phương trình đầu tiên, giá trị của cũng được tìm thấy duy nhất: .

Cả hệ thống đã cho và hệ thống cuối cùng đều nhất quán nhưng không chắc chắn và các công thức

tùy ý và cho ta mọi nghiệm của một hệ đã cho.

Phương pháp Gauss và hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm

Ví dụ tiếp theo là một hệ phương trình tuyến tính không nhất quán, tức là hệ phương trình không có nghiệm. Câu trả lời cho những vấn đề như vậy được hình thành theo cách này: hệ thống không có giải pháp.

Như đã đề cập trong ví dụ đầu tiên, sau khi thực hiện các phép biến đổi, các hàng có dạng có thể xuất hiện trong ma trận mở rộng của hệ thống.

tương ứng với một phương trình có dạng

Nếu trong số chúng có ít nhất một phương trình có số hạng tự do khác 0 (tức là ), thì hệ phương trình này không nhất quán, nghĩa là nó không có nghiệm và nghiệm của nó là đầy đủ.

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss:

Giải pháp. Chúng tôi biên dịch một ma trận mở rộng của hệ thống. Sử dụng phương trình đầu tiên, chúng tôi loại trừ biến khỏi các phương trình tiếp theo. Để thực hiện việc này, hãy cộng dòng đầu tiên nhân với dòng thứ hai, dòng đầu tiên nhân với dòng thứ ba và dòng đầu tiên nhân với dòng thứ tư.

Bây giờ bạn cần sử dụng phương trình thứ hai để loại bỏ biến khỏi các phương trình tiếp theo. Để có được tỷ lệ nguyên của các hệ số, chúng ta hoán đổi hàng thứ hai và thứ ba của ma trận mở rộng của hệ thống.

Để loại trừ phương trình thứ ba và thứ tư, hãy cộng phương trình thứ hai nhân với , vào dòng thứ ba và phương trình thứ hai nhân với , vào dòng thứ tư.

Bây giờ, sử dụng phương trình thứ ba, chúng ta loại bỏ biến khỏi phương trình thứ tư. Để làm điều này, hãy thêm dòng thứ ba vào dòng thứ tư, nhân với .

Do đó hệ đã cho tương đương với hệ sau:

Hệ thống kết quả không nhất quán, vì phương trình cuối cùng của nó không thể được thỏa mãn bởi bất kỳ giá trị nào của ẩn số. Vì vậy, hệ thống này không có giải pháp.

2. Sửa đổi phương pháp Gauss

Phương pháp Gaussian với việc chọn phần tử chính. Hạn chế chính của phương pháp Gauss là giả định rằng tất cả các phần tử được thực hiện phép chia ở mỗi bước tiến đều không bằng 0. Các phần tử này được gọi là phần tử chính và nằm trên đường chéo chính của ma trận A.

Nếu ở một bước nào đó của chuyển động tịnh tiến phần tử chính = 0 thì không thể giải tiếp tục của hệ. Nếu phần tử chính có giá trị nhỏ, gần bằng 0 thì sai số có thể tăng mạnh do giá trị tuyệt đối của các hệ số thu được do phép chia tăng mạnh. Trong những tình huống như vậy, phương pháp Gaussian trở nên không ổn định.

Phương pháp Gauss với việc chọn phần tử chính cho phép chúng ta loại trừ sự xuất hiện của những trường hợp như vậy.

Ý tưởng của phương pháp này như sau. Ở bước thứ k nào đó của chuyển động tịnh tiến, không phải biến được đánh số tiếp theo x k bị loại khỏi phương trình, mà là biến có hệ số lớn nhất về giá trị tuyệt đối. Điều này đảm bảo rằng không có sự chia cho 0 và phương pháp vẫn ổn định.

Nếu ở bước thứ k ¹ được chọn làm phần tử chính thì trong ma trận A¢ các hàng có số k và p và các cột có số k và q phải được hoán đổi cho nhau.

Việc sắp xếp lại các hàng không ảnh hưởng đến lời giải vì nó tương ứng với việc đảo ngược các phương trình trong hệ thống, nhưng việc sắp xếp lại các cột có nghĩa là thay đổi cách đánh số các biến. Vì vậy, thông tin về tất cả các cột đã sắp xếp lại phải được giữ nguyên để sau khi hoàn thành việc di chuyển ngược lại có thể khôi phục lại cách đánh số ban đầu của các biến.

Có hai sửa đổi đơn giản hơn của phương pháp Gauss:

Với việc lựa chọn phần tử chính theo cột;

Với việc lựa chọn phần tử chính theo dòng.

Trong trường hợp đầu tiên, phần tử lớn nhất có giá trị tuyệt đối của hàng thứ k (trong số các phần tử , i = ) được chọn làm phần tử chính. Trong phần thứ hai - phần tử lớn nhất trong giá trị tuyệt đối của cột thứ k (trong số các phần tử , i = ). Cách tiếp cận đầu tiên là phổ biến nhất vì việc đánh số các biến ở đây không thay đổi.

Cần lưu ý rằng những sửa đổi này chỉ áp dụng cho chuyển động tịnh tiến của phương pháp Gaussian. Việc di chuyển ngược lại được thực hiện mà không thay đổi, nhưng sau khi có được lời giải, có thể cần phải khôi phục lại cách đánh số ban đầu của các biến.

phân hủy LU. Trong phần mềm máy tính hiện đại, phương pháp Gaussian được thực hiện bằng cách sử dụng phân rã LU, được hiểu là biểu diễn ma trận hệ số A là tích A = LU của hai ma trận L và U, trong đó L là ma trận tam giác dưới, U là ma trận tam giác trên

Nếu thu được khai triển LU thì nghiệm của hệ phương trình (2) ban đầu được rút gọn thành nghiệm tuần tự của hai hệ phương trình sau với ma trận hệ số tam giác

phương trình đại số tuyến tính số

trong đó Y = là vectơ của các biến phụ.

Cách tiếp cận này cho phép bạn giải nhiều lần các hệ phương trình tuyến tính với các vế phải khác nhau B. Trong trường hợp này, phần tốn nhiều công sức nhất (phân rã LU của ma trận A) chỉ được thực hiện một lần. Quy trình này tương ứng với bước chạy tiếp theo của phương pháp Gaussian và có ước tính độ phức tạp là O(n 3). Giải pháp tiếp theo của hệ phương trình (6) và (7) có thể được thực hiện nhiều lần (đối với B khác nhau) và giải pháp của mỗi phương trình tương ứng với nghịch đảo của phương pháp Gaussian và có ước tính độ phức tạp tính toán là O(n 2 ).

Để có được phân tách LU, bạn có thể sử dụng thuật toán sau.

1. Đối với hệ ban đầu (1), thực hiện lũy tiến tiến của phương pháp Gaussian và thu được hệ phương trình tam giác (5).

2. Xác định các phần tử của ma trận U theo quy tắc

u ij = C ij (i = ; j = )

3. Tính các phần tử của ma trận L theo quy tắc

Công thức tính giải hệ phương trình (6) có dạng sau:

y 1 = b 1 / l 11 ;

Công thức tính giải hệ phương trình (7)

(i = n - 1, n - 2, …, 1).

Đồng thời, thực sự việc tìm ma trận nghịch đảo là một quá trình khá tốn công và việc lập trình nó khó có thể gọi là một nhiệm vụ cơ bản. Vì vậy, trong thực tế, các phương pháp số để giải hệ phương trình tuyến tính thường được sử dụng nhiều hơn. Các phương pháp số để giải hệ phương trình tuyến tính bao gồm: Phương pháp Gauss, phương pháp Cramer, phương pháp lặp. Ví dụ, trong phương pháp Gauss, chúng hoạt động trên...

35437 x4=0,58554 5 x1=1,3179137 x2=-1,59467 x3=0,35371 x4=0,58462 6 x1=1,3181515 x2=-1,59506 x3=0,35455 x4=0,58557 5. Phân tích so sánh các phương pháp khác nhau của đạo hàm và tích phân 5 .1 Phương pháp vi phân số 5.1 .1 Phương pháp mô tả Giả sử rằng trong một lân cận của điểm xi, hàm F (x) khả vi đủ số lần. ...

Trong Turbo Pascal 7.0 để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn giản. 1.2 Công thức toán học của bài toán Cho A là một ma trận không suy biến và ta cần giải một hệ trong đó các phần tử đường chéo của ma trận A khác 0. 1.3 Ôn lại các phương pháp số hiện có để giải bài toán Phương pháp Gaussian Trong phương pháp Gaussian, ma trận SLAE sử dụng tương đương...

số). Tiếp theo, sử dụng các công thức (2), xn-1, xn-2,..., x1 lần lượt được tìm thấy với i=n-1, n-2,...,1. Do đó, việc giải các phương trình loại (1) được mô tả bằng một phương pháp gọi là phương pháp quét, phương pháp này được rút gọn thành các phép tính sử dụng ba công thức đơn giản: tìm cái gọi là hệ số quét δi, λi bằng cách sử dụng các công thức (3) với i=1 ,2,…,n (quét trực tiếp) và sau đó chưa biết xi bởi...