Kỹ thuật Gaussian để giải các ví dụ là gì? Kết quả của một giải pháp với một hệ thống không nhất quán

Trong bài viết này, phương pháp này được coi là phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (SLAEs). Phương pháp này mang tính phân tích, nghĩa là nó cho phép bạn viết thuật toán giải ở dạng tổng quát, sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những phương trình có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó chút nào.

Việc giải quyết bằng phương pháp Gaussian có ý nghĩa gì?

Đầu tiên, chúng ta cần viết hệ phương trình vào. Nó trông như thế này. Lấy hệ thống:

Các hệ số được viết dưới dạng bảng và các thuật ngữ tự do được viết trong một cột riêng bên phải. Cột có các thành viên tự do được tách ra để thuận tiện. Ma trận bao gồm cột này được gọi là mở rộng.

Tiếp theo, ma trận chính với các hệ số phải được rút gọn về dạng tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông sao cho phần dưới bên trái của nó chỉ chứa các số 0:

Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các nghiệm, sau đó được thay thế vào phương trình trên, một nghiệm khác sẽ được tìm thấy, v.v.

Đây là mô tả lời giải bằng phương pháp Gaussian một cách tổng quát nhất. Điều gì xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có lời giải? Hoặc có vô số trong số họ? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng để giải phương pháp Gaussian.

Ma trận, tính chất của chúng

Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Đây chỉ đơn giản là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động tiếp theo với nó. Ngay cả học sinh cũng không cần phải sợ chúng.

Ma trận luôn có hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ đều bắt nguồn từ việc xây dựng một ma trận có dạng tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ có số 0 ở nơi không có số. Số không có thể không được viết ra, nhưng chúng được ngụ ý.

Ma trận có kích thước. “Chiều rộng” của nó là số hàng (m), “chiều dài” là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (chữ Latin viết hoa thường được dùng để biểu thị chúng) sẽ được ký hiệu là A m×n. Nếu m=n thì ma trận này là hình vuông và m=n là thứ tự của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A đều có thể được ký hiệu bằng số hàng và số cột của nó: a xy ; x - số hàng, thay đổi, y - số cột, thay đổi.

B không phải là điểm chính của quyết định. Về nguyên tắc, tất cả các thao tác có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ cồng kềnh hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều.

yếu tố quyết định

Ma trận cũng có định thức. Đây là một đặc điểm rất quan trọng. Bây giờ không cần phải tìm hiểu ý nghĩa của nó; bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách tính nó và sau đó cho biết nó xác định những thuộc tính nào của ma trận. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên và sau đó cộng các sản phẩm thu được: các đường chéo có độ dốc về bên phải - bằng dấu cộng, có độ dốc về bên trái - bằng dấu trừ.

Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất từ số hàng và số cột (đặt là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử tại giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của ma trận như vậy là số khác 0 thì gọi là ma trận cơ sở nhỏ của ma trận chữ nhật ban đầu.

Trước khi bạn bắt đầu giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian, việc tính định thức sẽ không có hại gì. Nếu nó bằng 0 thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.

Phân loại hệ thống

Có một thứ gọi là thứ hạng của một ma trận. Đây là bậc tối đa của định thức khác 0 của nó (nếu nhớ về cơ sở thứ, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là bậc của cơ sở thứ).

Dựa vào tình hình cấp bậc, SLAE có thể được chia thành:

Chung. bạn Trong các hệ khớp, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (có cột các thuật ngữ tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một giải pháp, do đó các hệ thống chung còn được chia thành:
- chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, thứ hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột giống nhau) bằng nhau;
- không xác định - với vô số giải pháp. Thứ hạng của ma trận trong các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
Không tương thích. bạn Trong các hệ thống như vậy, thứ hạng của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.

Phương pháp Gauss là tốt vì trong quá trình giải, nó cho phép người ta thu được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (không tính định thức của ma trận lớn) hoặc một giải pháp ở dạng tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm.

Các phép biến đổi cơ bản

Trước khi trực tiếp giải hệ, bạn có thể làm cho nó bớt cồng kềnh và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc thực hiện chúng không làm thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản đã cho chỉ có giá trị đối với ma trận, nguồn của ma trận là SLAE. Dưới đây là danh sách các chuyển đổi này:

Sắp xếp lại các dòng. Rõ ràng, nếu bạn thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, điều này sẽ không ảnh hưởng gì đến lời giải. Do đó, các hàng trong ma trận của hệ thống này cũng có thể được hoán đổi, tất nhiên không quên cột các thuật ngữ tự do.
Nhân tất cả các phần tử của chuỗi với một hệ số nhất định. Rất hữu ích! Nó có thể được sử dụng để giảm số lượng lớn trong ma trận hoặc loại bỏ số không. Nhiều quyết định, như thường lệ, sẽ không thay đổi, nhưng các hoạt động tiếp theo sẽ trở nên thuận tiện hơn. Điều chính là hệ số không bằng 0.
Loại bỏ các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong một ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân/chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc, một lần nữa, nhiều hơn) các hàng hoàn toàn giống nhau và các hàng thừa có thể bị loại bỏ, để lại chỉ có một.
Xóa một dòng null. Nếu trong quá trình chuyển đổi, một hàng thu được ở đâu đó trong đó tất cả các phần tử, bao gồm cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì hàng đó có thể được gọi là 0 và bị loại khỏi ma trận.
Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự chuyển đổi không rõ ràng nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó đáng để xem xét nó chi tiết hơn.

Thêm một chuỗi nhân với một hệ số

Để dễ hiểu, cần chia nhỏ quá trình này ra từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Sau đó, hàng thứ hai trong ma trận được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách sao cho khi cộng hai hàng, một trong các phần tử của hàng mới bằng 0. Do đó, có thể thu được một phương trình trong một hệ trong đó sẽ có ít phương trình chưa biết hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì thao tác có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình chứa ít hơn hai ẩn số. Và nếu mỗi lần bạn biến một hệ số thành 0 cho tất cả các hàng nằm dưới hệ số ban đầu, thì bạn có thể, giống như cầu thang, đi xuống cuối ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Điều này được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.

Nói chung

Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó như sau:

Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột các thuật ngữ tự do được thêm vào ma trận mở rộng và để thuận tiện, được phân tách bằng một dòng.

hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 /a 11);
hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
bây giờ hệ số đầu tiên ở hàng thứ hai mới là a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Bây giờ, một loạt các phép biến đổi tương tự được thực hiện, chỉ liên quan đến hàng thứ nhất và thứ ba. Theo đó, ở mỗi bước của thuật toán, phần tử a 21 được thay thế bằng phần tử 31. Sau đó mọi thứ được lặp lại cho 41, ... a m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng 0. Bây giờ bạn cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự, bắt đầu từ dòng hai:

hệ số k = (-a 32 /a 22);
dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng “hiện tại”;
kết quả của phép cộng được thay thế vào dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và dòng thứ hai không thay đổi;
trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.

Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m,m-1 /a mm). Điều này có nghĩa là lần cuối cùng thuật toán được thực thi chỉ dành cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có dạng bậc thang. Ở dòng dưới cùng có đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết và nghiệm được biểu thị qua chúng: x n = b m /a mn. Căn kết quả được thay thế vào dòng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))->a m-1,n-1. Và cứ thế tương tự: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới, và khi đạt đến “đỉnh” của hệ thống, bạn có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là duy nhất.

Khi không có giải pháp

Nếu ở một trong các hàng của ma trận, tất cả các phần tử ngoại trừ số hạng tự do đều bằng 0 thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ nên tập nghiệm của toàn hệ là rỗng, tức là nó suy biến.

Khi có vô số giải pháp

Có thể xảy ra trường hợp trong ma trận tam giác đã cho không có hàng nào có một phần tử hệ số của phương trình và một số hạng tự do. Chỉ có những dòng mà khi viết lại sẽ giống như một phương trình có hai biến trở lên. Điều này có nghĩa là hệ có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm điều này?

Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và miễn phí. Những cái cơ bản là những cái đứng “trên rìa” của các hàng trong ma trận bước. Phần còn lại là miễn phí. Trong giải pháp tổng quát, các biến cơ bản được viết thông qua các biến tự do.

Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành hệ phương trình. Sau đó, ở phần cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mọi phương trình có một biến cơ bản. Sau đó, trong các phương trình còn lại, nếu có thể, biểu thức thu được của nó sẽ được thay thế thay cho biến cơ bản. Nếu kết quả lại là một biểu thức chỉ chứa một biến cơ bản, thì nó lại được biểu thị từ đó, v.v., cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.

Bạn cũng có thể tìm giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp bất kỳ giá trị nào cho các biến miễn phí, sau đó trong trường hợp cụ thể này, hãy tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể có thể được đưa ra.

Giải bằng ví dụ cụ thể

Đây là một hệ phương trình.

Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó

Được biết, khi giải bằng phương pháp Gaussian, phương trình tương ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận nhỏ nhất - khi đó phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về 0. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ thuận lợi hơn nếu đặt hàng thứ hai thay cho hàng đầu tiên.

dòng thứ hai: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

dòng thứ ba: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, bạn cần viết ra một ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.

Rõ ràng, một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức bằng cách sử dụng một số thao tác nhất định. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả các “điểm trừ” khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với “-1”.

Điều đáng chú ý là ở dòng thứ ba, tất cả các phần tử đều là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể rút ngắn chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời, để loại bỏ các giá trị âm).

Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để nguyên dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là cộng dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 bằng 0.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (nếu trong một số phép biến đổi, câu trả lời không phải là số nguyên, thì nên duy trì độ chính xác của các phép tính để lại nó “nguyên trạng”, ở dạng phân số thông thường và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, mới quyết định xem có làm tròn và chuyển sang dạng ghi khác hay không)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Ma trận được viết lại với các giá trị mới.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc thang. Do đó, không cần phải chuyển đổi thêm hệ thống bằng phương pháp Gaussian. Những gì bạn có thể làm ở đây là loại bỏ hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.

Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Tất cả những gì còn lại phải làm là viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Thuật toán tìm được nghiệm bây giờ được gọi là bước đi ngược lại trong phương pháp Gaussian. Phương trình (3) chứa giá trị z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Và phương trình đầu tiên cho phép chúng ta tìm x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Chúng ta có quyền gọi một hệ thống như vậy là chung, và thậm chí là xác định, tức là có một giải pháp duy nhất. Câu trả lời được viết dưới dạng sau:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Ví dụ về hệ thống không chắc chắn

Biến thể của việc giải một hệ thống nhất định bằng phương pháp Gauss đã được phân tích; bây giờ cần xem xét trường hợp nếu hệ thống đó không chắc chắn, nghĩa là có thể tìm thấy vô số giải pháp cho nó.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sự xuất hiện của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số lượng ẩn số là n = 5 và thứ hạng của ma trận hệ thống chính xác là nhỏ hơn con số này, bởi vì số lượng hàng là m = 4, nghĩa là bậc cao nhất của định thức-bình phương là 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và bạn cần tìm hình thức tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính cho phép bạn thực hiện điều này.

Đầu tiên, như thường lệ, một ma trận mở rộng được biên dịch.

Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 /a 11) = -3. Ở dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến đổi nên bạn không cần chạm vào bất cứ thứ gì mà chỉ cần để nguyên. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Bằng cách nhân lần lượt các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng cần tìm, chúng ta thu được ma trận có dạng sau:

Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nhìn chung giống hệt nhau, vì vậy một trong số chúng có thể bị loại bỏ ngay lập tức và dòng còn lại có thể được nhân với hệ số “-1” và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, trong hai dòng giống hệt nhau, hãy để lại một dòng.

Kết quả là một ma trận như thế này. Mặc dù hệ thống vẫn chưa được viết ra, nhưng cần phải xác định các biến cơ bản ở đây - những biến đứng ở hệ số a 11 = 1 và a 22 = 1, và các biến tự do - tất cả những biến còn lại.

Trong phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Điều này có nghĩa là nó có thể được biểu diễn từ đó bằng cách viết nó thông qua các biến x 3 , x 4 , x 5 , là các biến tự do.

Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.

Kết quả là một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1 . Hãy làm tương tự với nó như với x 2.

Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai biến, được biểu diễn dưới dạng ba biến tự do; bây giờ chúng ta có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát;

Bạn cũng có thể chỉ định một trong những giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, số 0 thường được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Khi đó câu trả lời sẽ là:

16, 23, 0, 0, 0.

Ví dụ về hệ thống không hợp tác

Giải các hệ phương trình không tương thích bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay lập tức khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là công đoạn tính toán gốc khá dài dòng và tẻ nhạt đã được loại bỏ. Hệ thống sau đây được xem xét:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Như thường lệ, ma trận được biên dịch:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Và nó được rút gọn thành dạng từng bước:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Sau phép biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa phương trình có dạng

không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán và đáp án sẽ là tập rỗng.

Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp

Nếu bạn chọn phương pháp giải SLAE trên giấy bằng bút thì phương pháp được thảo luận trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Việc nhầm lẫn trong các phép biến đổi cơ bản sẽ khó hơn nhiều so với việc bạn phải tìm kiếm định thức hoặc ma trận nghịch đảo phức tạp nào đó theo cách thủ công. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với loại dữ liệu này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính các tham số chính của ma trận - định thức, hàm phụ, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc lỗi, thì nên sử dụng phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, vì việc sử dụng chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính các định thức và ma trận nghịch đảo.

Ứng dụng

Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và ma trận thực chất là một mảng hai chiều nên nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự coi mình là hướng dẫn “dành cho người mới bắt đầu”, nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để áp dụng phương pháp này là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và để thực hiện các thao tác với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước!), nhân với một số, nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và ma trận chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu nhiệm vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì có thể xác định thứ hạng của ma trận nhanh hơn nhiều và do đó thiết lập tính tương thích hoặc không tương thích của nó.

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính cần giải (tìm các giá trị ẩn số xi sao cho mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức).

Chúng ta biết rằng một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể:

1) Không có giải pháp (được không khớp).
2) Có vô số nghiệm.
3) Có một giải pháp duy nhất.

Như chúng ta đã nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ thống có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm nghiệm cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Bản thân thuật toán của phương pháp hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến thức về định thức, thì để áp dụng phương pháp Gauss, bạn chỉ cần kiến thức về các phép tính số học, điều này khiến ngay cả học sinh tiểu học cũng có thể tiếp cận được.

Các phép biến đổi ma trận tăng cường ( đây là ma trận của hệ - một ma trận chỉ gồm các hệ số của ẩn số, cộng với một cột các thuật ngữ tự do) hệ phương trình đại số tuyến tính trong phương pháp Gauss:

1) Với troki ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi.

2) nếu các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) xuất hiện (hoặc tồn tại) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ từ ma trận tất cả các hàng này ngoại trừ một hàng.

3) nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ.

4) một hàng của ma trận có thể nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác 0.

5) vào một hàng của ma trận bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0.

Trong phương pháp Gauss, các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.

Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn:

“Di chuyển trực tiếp” - sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính về dạng bước “tam giác”: các phần tử của ma trận mở rộng nằm dưới đường chéo chính bằng 0 (di chuyển từ trên xuống). Ví dụ: với loại này:

Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:

1) Xét phương trình thứ nhất của hệ phương trình đại số tuyến tính và hệ số của x 1 bằng K. Phương trình thứ hai, thứ ba, v.v. chúng tôi biến đổi các phương trình như sau: chúng tôi chia từng phương trình (hệ số cho các ẩn số, bao gồm cả số hạng tự do) cho hệ số của ẩn số x 1, có trong mỗi phương trình và nhân với K. Sau đó, chúng tôi trừ đi số đầu tiên từ số thứ hai phương trình (hệ số cho ẩn số và số hạng tự do). Đối với x 1 trong phương trình thứ hai, chúng ta thu được hệ số 0. Từ phương trình biến đổi thứ ba, chúng ta trừ phương trình thứ nhất cho đến khi tất cả các phương trình ngoại trừ phương trình thứ nhất, đối với x 1 chưa biết, có hệ số 0.

2) Chuyển sang phương trình tiếp theo. Gọi đây là phương trình thứ hai và hệ số của x 2 bằng M. Chúng ta tiến hành với tất cả các phương trình “thấp hơn” như mô tả ở trên. Do đó, “dưới” ẩn số x 2 sẽ có số 0 trong mọi phương trình.

3) Chuyển sang phương trình tiếp theo, v.v. cho đến phương trình cuối cùng chưa biết và số hạng tự do đã biến đổi vẫn còn.

“Bước đi ngược lại” của phương pháp Gauss là thu được nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (bước đi “từ dưới lên”).

Từ phương trình “thấp hơn” cuối cùng, chúng ta thu được một nghiệm đầu tiên - ẩn số x n. Để làm điều này, chúng ta giải phương trình cơ bản A * x n = B. Trong ví dụ đã cho ở trên, x 3 = 4. Chúng ta thay giá trị tìm được vào phương trình tiếp theo “trên” và giải nó theo ẩn số tiếp theo. Ví dụ: x 2 – 4 = 1, tức là x 2 = 5. Và cứ như vậy cho đến khi tìm được tất cả những ẩn số.

Ví dụ.

Hãy giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, như một số tác giả khuyên:

Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:
Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Hãy làm điều này: . Dòng đầu tiên chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một hành động bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).

Bước 2 . Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ hai Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.

Bước 3 . Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Dấu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, sao cho ở “bước” thứ hai ta có đơn vị cần thiết.

Bước 4 . Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với 2.

Bước 5 . Dòng thứ ba được chia cho 3.

Dấu hiệu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó giống như (0 0 11 |23) bên dưới và theo đó, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, thì với khả năng cao là chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình học tiểu học. những biến đổi.

Hãy làm ngược lại; khi thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn rằng động tác ngược lại được thực hiện từ dưới lên. Trong ví dụ này, kết quả là một món quà:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, do đó x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Trả lời:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Hãy giải quyết hệ thống tương tự bằng thuật toán được đề xuất. chúng tôi nhận được

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Chia phương trình thứ hai cho 5 và phương trình thứ ba cho 3. Chúng ta nhận được:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 4, ta được:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Chia phương trình thứ ba cho 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Nhân phương trình thứ ba với 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba, chúng ta thu được ma trận mở rộng “bậc”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Do đó, do sai số tích lũy trong quá trình tính toán nên chúng ta thu được x 3 = 0,96 hoặc xấp xỉ 1.

x 2 = 3 và x 1 = –1.

Bằng cách giải theo cách này, bạn sẽ không bao giờ bị nhầm lẫn trong các phép tính và dù có sai số tính toán nhưng bạn sẽ nhận được kết quả.

Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính này dễ lập trình và không tính đến đặc điểm riêng của các hệ số đối với ẩn số, vì trong thực tế (trong tính toán kinh tế và kỹ thuật) người ta phải xử lý các hệ số không nguyên.

Tôi chúc bạn thành công! Hẹn gặp bạn ở lớp! Gia sư Dmitry Aystrakhanov.

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.

Máy tính trực tuyến này tìm ra nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (SLE) bằng phương pháp Gaussian. Một giải pháp chi tiết được đưa ra. Để tính toán, hãy chọn số lượng biến và số lượng phương trình. Sau đó nhập dữ liệu vào các ô và nhấp vào nút "Tính toán".

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Biểu diễn số:

Số nguyên và/hoặc phân số chung
Số nguyên và/hoặc số thập phân

Số vị trí sau dấu phân cách thập phân

Cảnh báo

Xóa tất cả các ô?

Đóng Xóa

Hướng dẫn nhập dữ liệu. Các số được nhập dưới dạng số nguyên (ví dụ: 487, 5, -7623, v.v.), số thập phân (ví dụ: 67., 102,54, v.v.) hoặc phân số. Phân số phải được nhập ở dạng a/b, trong đó a và b (b>0) là số nguyên hoặc số thập phân. Ví dụ 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, v.v.

Phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss là phương pháp chuyển từ hệ phương trình tuyến tính ban đầu (sử dụng các phép biến đổi tương đương) sang hệ dễ giải hơn hệ ban đầu.

Các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình tuyến tính là:

hoán đổi hai phương trình trong hệ thống,
nhân bất kỳ phương trình nào trong hệ với một số thực khác 0,
thêm vào một phương trình một phương trình khác nhân với một số tùy ý.

Xét hệ phương trình tuyến tính:

(1)

Viết hệ (1) dưới dạng ma trận:

Rìu=b

(2)

(3)

MỘT- gọi là ma trận hệ số của hệ, b− phía bên phải của các hạn chế, x− vectơ của các biến cần tìm. Hãy xếp hạng( MỘT)=P.

Các phép biến đổi tương đương không làm thay đổi hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận mở rộng của hệ. Tập nghiệm của hệ cũng không thay đổi dưới các phép biến đổi tương đương. Bản chất của phương pháp Gauss là rút gọn ma trận các hệ số MỘT theo đường chéo hoặc bước.

Hãy xây dựng một ma trận mở rộng của hệ thống:

Ở giai đoạn tiếp theo, chúng tôi đặt lại tất cả các phần tử của cột 2, bên dưới phần tử. Nếu phần tử này bằng 0 thì hàng này được đổi chỗ với hàng nằm bên dưới hàng này và có phần tử khác 0 ở cột thứ hai. Tiếp theo, đặt lại tất cả các phần tử của cột 2 bên dưới phần tử đầu tiên Một 22. Để thực hiện việc này, hãy thêm dòng 3, ... tôi với chuỗi 2 nhân với − Một 32 /Một 22 , ..., −Một m2/ Một 22, tương ứng. Tiếp tục quy trình, chúng ta thu được ma trận dạng đường chéo hoặc bậc thang. Cho ma trận mở rộng thu được có dạng:

(7)

Bởi vì rangA=rang(A|b), thì tập nghiệm (7) là ( n-p)- đa dạng. Kể từ đây n-p những ẩn số có thể được chọn tùy ý. Các ẩn số còn lại từ hệ thống (7) được tính như sau. Từ phương trình cuối cùng chúng ta biểu thị x p thông qua các biến còn lại và chèn vào các biểu thức trước đó. Tiếp theo, từ phương trình áp chót chúng ta biểu thị x p−1 thông qua các biến còn lại và chèn vào các biểu thức trước đó, v.v. Hãy xem xét phương pháp Gauss bằng các ví dụ cụ thể.

Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss:

Hãy ký hiệu bằng Một phần tử ij Tôi-dòng thứ và j cột thứ.

Một 1 1 . Để làm điều này, hãy thêm dòng 2,3 với dòng 1, nhân với -2/3, -1/2 tương ứng:

Kiểu ghi ma trận: Rìu=b, Ở đâu

Hãy ký hiệu bằng Một phần tử ij Tôi-dòng thứ và j cột thứ.

Hãy loại trừ các phần tử của cột thứ 1 của ma trận bên dưới phần tử Một 11. Để làm điều này, hãy thêm dòng 2,3 với dòng 1, nhân với -1/5, -6/5 tương ứng:

Chúng ta chia mỗi hàng của ma trận cho phần tử đầu tương ứng (nếu phần tử đầu tồn tại):

Ở đâu x 3 , x

Thay thế các biểu thức trên vào biểu thức dưới, chúng ta thu được giải pháp.

Khi đó nghiệm vectơ có thể được biểu diễn như sau:

Ở đâu x 3 , x 4 là số thực tùy ý.

Hôm nay chúng ta xem xét phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính. Bạn có thể đọc về những hệ thống này là gì trong bài viết trước dành cho việc giải quyết các SLAE tương tự bằng phương pháp Cramer. Phương pháp Gauss không yêu cầu bất kỳ kiến thức cụ thể nào, bạn chỉ cần sự chú ý và nhất quán. Mặc dù thực tế là, từ quan điểm toán học, đào tạo ở trường là đủ để áp dụng nó, nhưng học sinh thường khó thành thạo phương pháp này. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng giảm chúng xuống không có gì!

Phương pháp Gauss

M phương pháp Gaussian– phương pháp phổ biến nhất để giải SLAE (ngoại trừ các hệ thống rất lớn). Không giống như những gì đã thảo luận trước đó, nó phù hợp không chỉ cho các hệ thống có một giải pháp duy nhất mà còn cho các hệ thống có vô số giải pháp. Có ba lựa chọn có thể ở đây.

Hệ có nghiệm duy nhất (định thức của ma trận chính của hệ không bằng 0);
Hệ thống có vô số nghiệm;
Không có giải pháp, hệ thống không tương thích.

Vì vậy, chúng ta có một hệ thống (hãy để nó có một nghiệm) và chúng ta sẽ giải nó bằng phương pháp Gaussian. Cái này hoạt động thế nào?

Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn - tiến và nghịch đảo.

Hành trình trực tiếp của phương pháp Gaussian

Đầu tiên, hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống. Để thực hiện việc này, hãy thêm một cột gồm các thành viên miễn phí vào ma trận chính.

Toàn bộ bản chất của phương pháp Gauss là đưa ma trận này về dạng bậc thang (hoặc, như người ta cũng nói, dạng tam giác) thông qua các phép biến đổi cơ bản. Ở dạng này, chỉ nên có các số 0 ở dưới (hoặc ở trên) đường chéo chính của ma trận.

Bạn có thể làm gì:

Bạn có thể sắp xếp lại các hàng của ma trận;
Nếu có các hàng bằng nhau (hoặc tỷ lệ) trong ma trận, bạn có thể xóa tất cả trừ một trong số chúng;
Bạn có thể nhân hoặc chia một chuỗi cho bất kỳ số nào (trừ số 0);
Các hàng rỗng sẽ bị xóa;
Bạn có thể nối thêm một chuỗi nhân với một số khác 0 vào một chuỗi.

Phương pháp Gaussian đảo ngược

Sau khi chúng tôi chuyển đổi hệ thống theo cách này, một ẩn số Xn trở nên đã biết và bạn có thể tìm tất cả các ẩn số còn lại theo thứ tự ngược lại, thay thế các x đã biết vào các phương trình của hệ, cho đến phương trình đầu tiên.

Khi có Internet, bạn có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp Gaussian trực tuyến. Bạn chỉ cần nhập các hệ số vào máy tính trực tuyến. Nhưng bạn phải thừa nhận, sẽ dễ chịu hơn nhiều khi nhận ra rằng ví dụ này được giải không phải bằng chương trình máy tính mà bằng chính bộ não của bạn.

Ví dụ giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss

Và bây giờ - một ví dụ để mọi thứ trở nên rõ ràng và dễ hiểu. Cho một hệ phương trình tuyến tính và bạn cần giải nó bằng phương pháp Gauss:

Đầu tiên, hãy viết ma trận mở rộng:

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện các phép biến đổi. Chúng ta nhớ rằng chúng ta cần đạt được hình dạng tam giác của ma trận. Hãy nhân dòng thứ 1 với (3). Nhân dòng thứ 2 với (-1). Thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ nhất và nhận được:

Sau đó nhân dòng thứ 3 với (-1). Hãy thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2:

Hãy nhân dòng thứ 1 với (6). Hãy nhân dòng thứ 2 với (13). Hãy thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ nhất:

Thì đấy - hệ thống được đưa về dạng thích hợp. Vẫn còn phải tìm những điều chưa biết:

Hệ thống trong ví dụ này có một giải pháp duy nhất. Chúng ta sẽ xem xét việc giải các hệ có vô số nghiệm trong một bài viết riêng. Có lẽ lúc đầu bạn sẽ không biết bắt đầu chuyển đổi ma trận từ đâu, nhưng sau khi thực hành thích hợp, bạn sẽ hiểu rõ về nó và sẽ bẻ khóa SLAE bằng phương pháp Gaussian như một quả hạch. Và nếu bạn bất ngờ gặp một SLAE hóa ra là một loại hạt quá cứng để bẻ khóa, hãy liên hệ với tác giả của chúng tôi! bạn có thể bằng cách để lại yêu cầu tại Văn phòng Thư tín. Cùng nhau chúng ta sẽ giải quyết mọi vấn đề!