Ví dụ đơn thức và đa thức với giải pháp. Bài học “Cộng và trừ đa thức”

Trình bày và tờ rơi bài học lớp 7 “Cộng, trừ các đa thức”

Mục đích và mục tiêu của buổi đào tạo:

giáo dục:
- giới thiệu cho học sinh các quy tắc cộng, trừ các đa thức;
- phát triển kỹ năng cộng và trừ các đa thức, rút gọn điều khoản tương tự và dấu ngoặc đơn mở.
Phát triển:
- phát triển kỹ năng thực hiện hoạt động tinh thần: nêu bật nội dung chính, hệ thống hóa, phân tích;
- phát triển khả năng viết toán, trí nhớ và kỹ năng nghe.
giáo dục:
- rèn luyện tính siêng năng, kiên trì, chính xác, chính xác;
- hình thành thái độ tích cực đối với môn học và hứng thú với kiến thức.

Thiết bị: sách giáo khoa, bảng đen.

Tải xuống:

Xem trước:

Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo một tài khoản cho chính bạn ( tài khoản) Google và đăng nhập: https://accounts.google.com

Chú thích slide:

Cộng, trừ các đa thức. MBOU Lyceum số 1, Volzhsky Vùng Volgograd. Giáo viên toán: Korotova I.V.

Đề cương bài học. Chuẩn bị lý thuyết cho thực hành UTD bài tập về nhà Học tài liệu mới Khảo sát cá nhân

Lý thuyết đơn thức. Đơn thức có dạng chuẩn. Điều khoản tương tự. Giảm các điều khoản tương tự. Đa thức. Đa thức có dạng chuẩn. Thuật toán rút gọn đa thức thành chế độ xem chuẩn. Dấu ngoặc đơn mở rộng đứng trước dấu cộng (dấu trừ)

Chọn đơn thức: 2 x + y; 3xy; 27ab 2; gh + 4; 2m+5n; 1 ; 1 + k . Lý thuyết

Cho các số hạng tương tự: -11ak + 8ak + 5ak; Lý thuyết 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6

Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: 6 ab – 2 b 2 – 6 ba + 5 a 2 + 0,6 b 2 - 4 a · b a + 2 a 2 b + 0,2 a 2 b 2 – 2 a 2 b 2 Lý thuyết

Mở dấu ngoặc. – (32 – 2a 2 b – 5b + 4a) + (-7 x+ 8 y – 5xy + 7) Kiểm tra lẫn nhau

Đánh giá ngang hàng. Chọn các đơn thức: Đánh dấu 2 3 6 Cho các số hạng tương tự: 2ak 5x 3 y 2 + 4x 2 y - 6 Trình bày đa thức ở dạng chuẩn -1.4 b 2 +5a 2 -1 .8 a 2 b 2 - 2a 2 b Mở ngoặc : -32+2a 2 b + 5b – 4a -7x + 8y – 5xy + 7 Điểm cuối cùng: Đề cương bài học

Khảo sát cá nhân. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Khảo sát cá nhân. Mức độ thấp 1 2 3 4 Trình độ trung cấp 1 2 3 4 Cấp độ cao 1 2 3 4 Bài tập trên lớp Đề cương bài học

1. Mức độ thấp Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: Khảo sát cá nhân

2. Mức độ thấp Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: Khảo sát cá nhân

3. Mức độ thấp Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: Khảo sát cá nhân

4. Mức độ thấp Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: Khảo sát cá nhân

1. Trình độ trung cấp Trình bày đa thức dưới dạng chuẩn: 16a(-a 2 b) + 18a 3 b - 12aa b + 14a 2 b Khảo sát cá nhân

2. Trình độ trung cấp Trình bày đa thức dưới dạng chuẩn: 5 x (-4x 4) – 2 x 2 3 x 3 + 27 x 5 - x 6 Khảo sát cá nhân

3. Trình độ trung cấp Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: 2у у 3 - Зу 2 4у 2 + 6у 4 - 8 у 4 - 11 Khảo sát cá nhân

4. Trình độ trung cấp Trình bày đa thức dưới dạng chuẩn: 23x 3 - 7 xx 2 y + 6x 2 x – 2 x 2 8y + 4 Khảo sát cá nhân

1.Mức cao Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: 3 a 2 b n+2 + 5 a · 0,2 a b n+2 – 4 a 2 b n · 0,5 b 2 + 2 a 2 b n bb Khảo sát cá nhân

2.Mức cao Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: 3,2x 2 x n x - 3,4 x n+1 2x 2 - 4,8x n+2 0,1x + x n+3 Khảo sát cá nhân

3. Mức cao Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: 0,3 y n+3 y 2 - 0,12y 2 y 0,1 y n+2 - 1,6 y n+2 yyy – 3 Khảo sát cá nhân

4.Mức cao Trình bày đa thức ở dạng chuẩn: 3x n-2 x 5 -2x n 7x 2 x+4y n+1 4y 0,2y-12y n+1 0,1y 2 Khảo sát cá nhân

Viết tổng của các đa thức – 2 a + 5 b và – 2 b – 5 a 5y 2 + 2y - 3 và 7y 2 - 3y + 7. Viết hiệu của các đa thức – 2a + 5b và – 2b – 5a 8y 2 + 5y + 3 và 5y 2 - 3y + 7 .

Viết hiệu của các đa thức – 2 a + 5 b và – 2 b – 5 a 8y 2 + 5y + 3 và 5y 2 - 3y + 7.

Đơn giản hóa biểu thức. (– 2 a + 5 b) + (– 2 b – 5 a) = Kiểm tra

Đơn giản hóa biểu thức. (5y 2 + 2y - 3) + (7y 2 - 3y + 7) = Kiểm tra

Đơn giản hóa biểu thức. (– 2 a + 5 b) + (– 2 b – 5 a) = – 2 a + 5 b – 2 b – 5 a = – 3 b – 7 a

Đơn giản hóa biểu thức. (5y 2 + 2y - 3) + (7y 2 - 3y + 7) = 5y 2 + 2y - 3 + 7y 2 - 3y + 7 = 12y 2 - y + 4

Rút gọn biểu thức (– 2 a + 5 b) – (– 2 b – 5 a) = Kiểm tra

Rút gọn biểu thức (8y 2 + 5y + 3) - (5y 2 - 3y + 7) = Kiểm tra

Rút gọn biểu thức (– 2 a + 5 b) – (– 2 b – 5 a) = – 2 a + 5 b + 2 b + 5 a = 7 b + 3 a

Rút gọn biểu thức (8y 2 + 5y + 3) - (5y 2 - 3y + 7) = 8y 2 + 5y + 3 - 5y 2 + 3y - 7 = 3y 2 + 8y - 4

Cộng và trừ các đa thức.

Quy tắc cộng (trừ) đa thức. Cho hai đa thức. Để thêm chúng, hãy viết chúng trong ngoặc đơn và đặt dấu cộng giữa chúng. Khi trừ, chúng ta đặt dấu trừ giữa các dấu ngoặc. Để tìm tổng đại số nhiều đa thức thì cần mở ngoặc theo quy tắc thích hợp và đưa các số hạng tương tự. Kết quả của việc cộng (trừ) các đa thức là thu được đa thức. dàn ý bài học

Nhiệm vụ thực tế. Số 587 (a, d) Số 588 (b) Đề cương bài học

Bài tập về nhà: P.26 Số 589 (a,c) Số 595 (a) Số 612 (b)

a - b b a - x - y 2 x - y 3 y 3 a 0

2 a - b b b - a a - b - b b + a 0 - x - y 2 x - y - x + 2 y 3 y 0 - 3 y x – 2 y - 2 x + y x + y

Mức thấp Mức trung bình 3 a 2 b 3 + 5 a · 0,2 a b 2 – 4 a 2 b 2 · 0,5 b + 2 a 2 b 2 Mức cao 5 x n +4 2y - 10x n y 4x 4 –14 x n y 2 +18x n yy Kiểm tra

Cấp độ thấp -a b 2 Cấp độ trung bình a 2 b 3 + 3 a 2 b 2 Cấp độ cao -30x n +4 y + 4 xn y 2

Xem trước:

1. Đánh giá ngang hàng.

2. bài tập trên lớp

Trả lời:	Đánh dấu

1. Đánh giá ngang hàng.

2. bài tập trên lớp

Trả lời:	Đánh dấu

3 . Viết các biểu thức vào các ô của mỗi hình vuông sao cho tổng của chúng ở mỗi cột, mỗi hàng và mỗi đường chéo bằng biểu thức viết trong tam giác:

Xem trước:

Biểu diễn đa thức ở dạng chuẩn:

16а(-а 2 6) + 18а 3 6 - 12аа6 + 14а 2 6

5 x (-4x 4) – 2 x 2 3 x 3 + 27 x 5 - x 6

2у у 3 - Зу 2 4у 2 + 6у 4 - 8 у 4 - 11

23x 3 - 7 xx 2 y + 6x 2 x – 2 x 2 8y + 4

3,2x 2 x n x - 3,4 x n +1 2x 2 - 4,8x n +2 0,1x + x n +3 .

0, 3 y n +3 y 2 - 0, 12 y 2 y 0,1 y n + 2 - 1,6 y n +2 yyy – 3

3x n-2 x 5 -2x n 7x 2 x+4y n+1 4y 0,2y-12y n+1 0,1y 2

Xem trước:

Đánh giá ngang hàng.

Chọn đơn thức:

Chủ thể: Cộng và trừ các đa thức.

Mục tiêu bài học:

giáo dục: tìm hiểu các quy tắc cộng và trừ đa thức; đưa ra quy tắc cộng đa thức “vào một cột”; đưa ra khái niệm “đa thức đối diện”.

Phát triển: phát triển kỹ năng biến đổi đa thức cho học sinh; tạo điều kiện cho sự biểu hiện hoạt động nhận thức và hoạt động của học sinh.

Giáo dục: trau dồi tính mục đích, tổ chức, phát triển hứng thú nghiên cứu tài liệu thông qua nhiều loại các hoạt động.

Góp phần hình thành năng lực: giáo dục-nhận thức và thông tin-giao tiếp.

Loại bài học: một bài học về việc học tài liệu mới.

Thiết bị: bảng trắng tương tác SmartBoard, máy chiếu đa phương tiện.

Cấu trúc bài học:

Giai đoạn tổ chức. Động lực.

Cập nhật kiến thức cơ bản.

Học tài liệu mới.

Phút giáo dục thể chất.

Củng cố sơ bộ kiến thức thu được.

Tóm tắt bài học. Sự phản xạ.

Bài tập về nhà. Tóm tắt.

TIẾN ĐỘ BÀI HỌC

1. Giai đoạn tổ chức. Động lực.

Trong bài học hôm nay chúng ta sẽ học cách cộng và trừ các đa thức. Chúng ta hãy làm quen với thuật toán cộng đa thức “vào một cột” và khái niệm “đa thức đối diện”.

2. Cập nhật kiến thức cơ bản.

Các bạn ơi, trong bài học hôm nay chúng ta sẽ học được rất nhiều điều mới. Nhưng nếu không có kiến thức về tài liệu sẽ gặp khó khăn với chúng tôi nên chúng tôi sẽ tiến hành một cuộc khảo sát miệng ngắn.

Khảo sát lý thuyết trực diện (Slide 2)

Tổng các đơn thức được gọi là ( đa thức).

Đa thức là tổng của hai đơn thức được gọi là ( nhị thức).

Tổng ( đối diện) đơn thức bằng 0.

Khi nhân một đa thức với ( đơn vị) kết quả là cùng một đa thức.

Bậc của đa thức có dạng chuẩn được gọi là ( độ lớn nhất).

Khảo sát miệng. (Trang trình bày 3). Bằng cách nhấp vào từng cuốn sách, học sinh sẽ đưa ra các thuật ngữ tương tự và tiến hành tự kiểm tra.

3. Nghiên cứu tài liệu mới.

Giáo viên : Đa thức thường mô hình toán học vấn đề thực tế, vì vậy chúng ta cần có khả năng thực hiện các phép tính số học với đa thức và giảm các biểu thức đó đến mức tối đa cái nhìn đơn giản. Hãy cùng tìm hiểu cách cộng và trừ các đa thức. Trên thực tế, chúng tôi đã biết cách thực hiện việc này.

Ví dụ: hãy tính tổng và hiệu của các đa thức (Trang trình bày 4) và trong kết quả biểu thức đại số Hãy mở dấu ngoặc.

(Mở ngoặc, làm việc vào vở, theo cặp. Một học sinh thực hiện các phép biến đổi trên mặt sau bảng. Chúng tôi kiểm tra tiến độ công việc và phân tích xem mọi thao tác có được thực hiện chính xác không?)

Chúng ta thấy rằng tổng và hiệu thu được do phép biến đổi cũng là đa thức.

Chúng tôi kết luận: (Trang trình bày 5). Để tìm tổng đại số của các đa thức, bạn cần mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự. Hơn nữa, nếu có một dấu hiệu trước dấu ngoặc «+» , thì ký hiệu của các số hạng trong ngoặc là đừng thay đổi. Nếu có dấu hiệu trước dấu ngoặc «-» , thì dấu của các số hạng trong ngoặc đảo ngược.

Theo cách tương tự, bạn có thể tìm tổng của bất kỳ số đa thức nào. Học sinh hoàn thành nhiệm vụ (Trang trình bày 6) và kiểm tra tính đúng đắn của nhiệm vụ (Trang trình bày 7)

Sau khi hoàn thành bước cuối cùng nhiệm vụ 1, khái niệm đa thức đối diện với một đa thức đã cho được giới thiệu.

Số đối của đa thức đã cho là đa thức ban đầu nhân với (-1). Học sinh biểu diễn nhiệm vụ 2 (Trang trình bày 8). (Chúng tôi xóa bằng cục tẩy và kiểm tra).

Nói cách khác, nếu tổng của nó với đa thức ban đầu bằng 0. Học sinh biểu diễn nhiệm vụ 3 (Trang trình bày 9). (Bấm vào các khoảng trống và kiểm tra!).

4. Phút giáo dục thể chất.

Giáo viên . Cung cấp các bài tập cho mắt và cải thiện tuần hoàn não.

Hãy chớp mắt thật nhanh, nhắm mắt lại và ngồi yên lặng, từ từ đếm đến năm. Lặp lại 4-5 lần.

Kéo ra tay phải phía trước. Đưa mắt theo dõi, không quay đầu lại, chuyển động chậm rãi ngón trỏ cánh tay dang rộng sang trái và phải, lên và xuống. Lặp lại 4-5 lần.

Với tốc độ trung bình, thực hiện 3-4 chuyển động tròn mắt vào bên phải, số tiền tương tự trong bên trái. Thư giãn cơ mắt, nhìn vào khoảng cách ở tỷ số 1-6. Lặp lại 1-2 lần.

Hãy tiếp tục...

Giáo viên . Nhưng số lượng các số hạng đa thức và các số hạng của chúng có thể khá lớn, nên việc tìm và đưa ra các số hạng đó có thể rất khó khăn. Để thực hiện các phép tính dễ dàng hơn, chúng ta có thể sử dụng ý tưởng 'viết theo cột', tương tự như ý tưởng chúng ta đã sử dụng trong phép cộng và phép trừ. số có nhiều chữ số. Khi cộng các số có nhiều chữ số, ký hiệu này giúp đạt được độ gần nhau của các chữ số trong cùng một chữ số và khi cộng các đa thức, độ gần nhau của các số hạng tương tự.( Trang trình bày 10).

(Nhấp vào các đơn thức đối diện, từ đó hiển thị loại trừ của chúng và cũng nhấp vào vị trí của kết quả thu được). Kết quả là chúng ta đi đến thuật toán sau để cộng các đa thức “vào một cột”. Lưỡi: Nhớ).

Học sinh biểu diễn nhiệm vụ 4 theo các tùy chọn. ( Trang trình bày 11). Tiến hành xác minh lẫn nhau.

Bây giờ hãy thảo luận về hoạt động trừ đa thức. Chúng ta biết phép trừ đó số hữu tỉ có thể được thay thế bằng cách thêm số đối diện. Chúng ta có thể làm tương tự khi làm việc với đa thức.

Phép trừ đa thức “trong một cột” cũng liên quan đến phép cộng; trước tiên bạn chỉ cần thay thế đa thức trừ bằng đa thức đối diện của nó.

Vì vậy, thuật toán trừ đa thức “trong một cột” khác với thuật toán cộng đa thức tương ứng chỉ ở chỗ nó chứa một bước bổ sung - thay thế đa thức trừ bằng đa thức ngược lại. ( Trang trình bày 12). ( Chúng tôi nhấp vào các đơn thức đối diện, từ đó hiển thị loại trừ của chúng và cũng nhấp vào vị trí của kết quả thu được). Kết quả là, chúng ta đi đến thuật toán sau để trừ các đa thức “trong một cột”. Lưỡi: Nhớ).

5. Củng cố sơ bộ kiến thức đã thu được.

Thực hiện các nhiệm vụ củng cố tài liệu đã học.

Nhiệm vụ 5 (Trang trình bày 13).

Nhiệm vụ 6. Sử dụng khối tạo, nhấp lần lượt vào khối và vào mũi tên, sắp xếp các đa thức trong một cột, chúng ta thực hiện phép cộng. (Trang trình bày 14).

6. Tóm tắt bài học.

Sự phản xạ.

Bạn đã học được điều gì mới và thú vị trong bài học?

Quy tắc nào để cộng đa thức là dễ chấp nhận và thuận tiện nhất cho bạn?

Bạn đã trải qua những khó khăn gì?

7. Bài tập về nhà. Tóm tắt.

Giáo viên hướng dẫn cách hoàn thành bài tập về nhà.

Định nghĩa 3.3. đơn thức là một biểu thức là tích của các số, biến và lũy thừa với số mũ tự nhiên.

Ví dụ: mỗi biểu thức,
,
là một đơn thức.

Người ta nói rằng đơn thức có chế độ xem chuẩn , nếu nó chỉ chứa một thừa số số ở vị trí đầu tiên và mỗi tích của các biến giống hệt nhau trong đó được biểu thị bằng một bậc. Hệ số của một đơn thức viết dưới dạng chuẩn được gọi là hệ số của đơn thức . Bằng sức mạnh của đơn thức được gọi là tổng số mũ của tất cả các biến của nó.

Định nghĩa 3.4. đa thức gọi là tổng các đơn thức. Các đơn thức tạo thành đa thức được gọi làthành viên của đa thức .

Các thuật ngữ tương tự - đơn thức trong đa thức - được gọi là các số hạng tương tự của đa thức .

Định nghĩa 3.5. Đa thức dạng chuẩn được gọi là đa thức trong đó tất cả các số hạng được viết dưới dạng chuẩn và các số hạng tương tự đều được cho trước.Bậc của đa thức có dạng chuẩn được gọi là lũy thừa lớn nhất của các đơn thức chứa trong nó.

Ví dụ, là một đa thức có dạng chuẩn bậc bốn.

Các thao tác trên đơn thức và đa thức

Tổng và hiệu của các đa thức có thể được chuyển đổi thành đa thức có dạng chuẩn. Khi cộng hai đa thức, tất cả các số hạng của chúng đều được viết ra và các số hạng tương tự được cho. Khi trừ, dấu của tất cả các số hạng của đa thức bị trừ đều bị đảo ngược.

Ví dụ:

Các số hạng của đa thức có thể được chia thành các nhóm và đặt trong ngoặc đơn. Vì đây là một phép biến đổi giống hệt với phép mở ngoặc đơn nên biểu thức sau được thiết lập quy tắc ngoặc: nếu đặt dấu cộng trước dấu ngoặc thì tất cả các thuật ngữ trong ngoặc đều có dấu của chúng; Nếu đặt dấu trừ ở phía trước dấu ngoặc thì tất cả các số hạng trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.

Ví dụ,

Quy tắc nhân một đa thức với một đa thức: Để nhân một đa thức với một đa thức, chỉ cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức khác và cộng các tích thu được.

Ví dụ,

Định nghĩa 3.6. Đa thức trong một biến độ được gọi là biểu thức có dạng

Ở đâu
- bất kỳ số nào được gọi hệ số đa thức , Và
,– số nguyên không âm.

Nếu như
, thì hệ số gọi điện hệ số cao nhất của đa thức
, đơn thức
- của anh ấy thành viên cấp cao , hệ số – thành viên miễn phí .

Nếu thay vì một biến đến một đa thức
thay thế số thực , thì kết quả sẽ là số thực
được gọi là giá trị của đa thức
Tại
.

Định nghĩa 3.7. Con số gọi điệnnghiệm của đa thức
, Nếu như
.

Xét việc chia một đa thức cho một đa thức, trong đó
Và - số tự nhiên. Có thể chia nếu mức cổ tức đa thức là
Không mức độ ít hơnđa thức chia
, đó là
.

Chia một đa thức
đến một đa thức
,
, có nghĩa là tìm hai đa thức như vậy
Và
, ĐẾN

Trong trường hợp này, đa thức
độ
gọi điện thương đa thức ,
– phần còn lại ,
.

Nhận xét 3.2. Nếu số chia
–không phải là đa thức bằng 0 thì phép chia
TRÊN
,
, luôn luôn khả thi và thương và số dư được xác định duy nhất.

Nhận xét 3.3. Trong trường hợp
trước mặt mọi người , đó là

họ nói rằng đó là một đa thức
chia hoàn toàn(hoặc chia sẻ)đến một đa thức
.

Phép chia đa thức được thực hiện tương tự như phép chia số có nhiều chữ số: đầu tiên, số hạng dẫn đầu của đa thức bị chia chia cho số hạng dẫn đầu của đa thức chia, sau đó lấy thương của phép chia các số hạng này, sẽ là số hạng đứng đầu của đa thức thương được nhân với đa thức chia và tích kết quả được trừ khỏi đa thức bị chia. Kết quả là thu được một đa thức - phần dư đầu tiên được chia cho đa thức chia theo cách tương tự và tìm thấy số hạng thứ hai của đa thức thương. Quá trình này được tiếp tục cho đến khi thu được số dư bằng 0 hoặc bậc của đa thức còn lại nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Khi chia một đa thức cho một nhị thức, bạn có thể sử dụng sơ đồ Horner.

Sơ đồ Horner

Giả sử chúng ta muốn chia một đa thức

bằng nhị thức
. Chúng ta hãy biểu thị thương của phép chia là một đa thức

và phần còn lại là . Nghĩa , hệ số của đa thức
,
và phần còn lại Hãy viết nó dưới dạng sau:

Trong sơ đồ này, mỗi hệ số
,
,
, …,thu được từ ngày trước đó dòng dưới cùng nhân với số và thêm vào kết quả thu được số tương ứng ở dòng trên cùng phía trên hệ số mong muốn. Nếu có bằng cấp nào đó vắng mặt trong đa thức thì hệ số tương ứng bằng 0. Sau khi xác định các hệ số theo sơ đồ đã cho, ta viết thương

và kết quả của phép chia nếu
,

hoặc ,

Nếu như
,

Định lý 3.1. Để có một phân số tối giản (

,

)là nghiệm của đa thức
với hệ số nguyên thì cần phải có số là ước số của số hạng tự do , và số - ước số của hệ số đầu .

Định lý 3.2. (Định lý Bezout ) còn lại từ việc chia đa thức
bằng nhị thức
bằng giá trị của đa thức
Tại
, đó là
.

Khi chia đa thức
bằng nhị thức
chúng ta có sự bình đẳng

Điều này đúng, đặc biệt, khi
, đó là
.

Ví dụ 3.2. Chia cho
.

Giải pháp. Hãy áp dụng sơ đồ Horner:

Kể từ đây,

Ví dụ 3.3. Chia cho
.

Giải pháp. Hãy áp dụng sơ đồ Horner:

Kể từ đây,

Ví dụ 3.4. Chia cho
.

Giải pháp.

Kết quả là chúng tôi nhận được

Ví dụ 3.5. Chia
TRÊN
.

Giải pháp. Hãy chia đa thức theo cột:

Sau đó chúng tôi nhận được

Đôi khi rất hữu ích khi biểu diễn một đa thức dưới dạng tích bằng nhau của hai hoặc nhiều đa thức. Sự chuyển đổi nhận dạng như vậy được gọi là phân tích một đa thức . Chúng ta hãy xem xét các phương pháp phân hủy chính như vậy.

Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc. Để phân tích một đa thức bằng cách lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc, bạn phải:

1) tìm nhân tử chung. Để làm điều này, nếu tất cả các hệ số của đa thức là số nguyên thì ước số chung tuyệt đối lớn nhất của tất cả các hệ số của đa thức được coi là hệ số của thừa số chung và mỗi biến có trong tất cả các số hạng của đa thức được lấy với giá trị lớn nhất số mũ của nó trong đa thức này;

2) tìm thương của phép chia đa thức đã cho bởi một yếu tố chung;

3) viết tích của thừa số tổng quát và thương số thu được.

Phân nhóm các thành viên. Khi phân tích một đa thức bằng phương pháp nhóm, các số hạng của nó được chia thành hai hoặc nhiều nhóm để mỗi nhóm có thể chuyển thành tích và các tích thu được có một thừa số chung. Sau đó, phương pháp đóng khung hệ số chung của các số hạng mới được chuyển đổi sẽ được sử dụng.

Ứng dụng công thức nhân rút gọn. Trong trường hợp đa thức được khai triển thành các thừa số, có dạng vế phải của bất kỳ công thức nhân rút gọn nào; việc phân tích thành thừa số của nó đạt được bằng cách sử dụng công thức tương ứng được viết theo một thứ tự khác.

Cho phép

, thì những điều sau đây là đúng Công thức nhân rút gọn:





Vì :
Nếu như số lẻ ( ):
Nhị thức Newton: Ở đâu - số lượng kết hợp của Qua .

Giới thiệu các thành viên phụ trợ mới. Phương pháp này bao gồm việc thay thế một đa thức bằng một đa thức khác có cùng giá trị với nó nhưng chứa số số hạng khác nhau, bằng cách đưa ra hai số hạng đối diện hoặc thay thế bất kỳ số hạng nào bằng tổng bằng nhau của các đơn thức tương tự. Việc thay thế được thực hiện theo cách mà phương pháp nhóm các số hạng có thể được áp dụng cho đa thức thu được.

Ví dụ 3.6..

Giải pháp. Mọi số hạng của đa thức đều chứa một ước chung
. Kể từ đây,.

Trả lời: .

Ví dụ 3.7.

Giải pháp. Chúng tôi nhóm riêng các thuật ngữ có chứa hệ số , và các thuật ngữ có chứa . Dấu ngoặc yếu tố chung nhóm, chúng tôi nhận được:

Trả lời:
.

Ví dụ 3.8. Thừa số một đa thức
.

Giải pháp. Sử dụng công thức nhân viết tắt thích hợp, chúng ta nhận được:

Trả lời: .

Ví dụ 3.9. Thừa số một đa thức
.

Giải pháp. Sử dụng phương pháp nhóm và công thức nhân rút gọn tương ứng, ta thu được:

Trả lời: .

Ví dụ 3.10. Thừa số một đa thức
.

Giải pháp. Chúng tôi sẽ thay thế TRÊN
, nhóm các số hạng, áp dụng công thức nhân rút gọn:

Trả lời:
.

Ví dụ 3.11. Thừa số một đa thức

Giải pháp. Bởi vì ,
,
, Cái đó

Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số, tổng các đơn thức chiếm một vị trí quan trọng. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức cũng được phân loại là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.

Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.

Chúng ta hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức của dạng chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các số hạng của nó đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có số hạng nào giống nhau trong số chúng. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.

Vì bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Do đó, nhị thức \(12a^2b - 7b\) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6\) có bậc hai.

Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự số mũ giảm dần. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn.

Đôi khi các số hạng của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn là phép biến đổi nghịch đảo của dấu ngoặc mở nên rất dễ dàng để hình thành Quy tắc mở ngoặc:

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.

Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-” thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.

Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức

Bằng cách sử dụng tài sản phân phối phép nhân có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức, tích của một đơn thức và đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.

Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.

Để nhân một đơn thức với một đa thức, bạn phải nhân đơn thức đó với mỗi số hạng của đa thức.

Chúng ta đã sử dụng quy tắc này nhiều lần để nhân với một tổng.

Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức

Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.

Thông thường quy tắc sau được sử dụng.

Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.

Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương

Với một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số phải giải quyết thường xuyên hơn những người khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không thường xuyên xảy ra; theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.

Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn trên thực tế, bạn đã từng gặp phải nhiệm vụ như vậy khi nhân các đa thức; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng hình vuông và nhân đôi sản phẩm.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu bằng tổng các bình phương không có tích nhân đôi.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.

Ba danh tính này cho phép các phép biến đổi thay thế phần bên trái của chúng bằng phần bên phải và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất là xem các biểu thức tương ứng và hiểu cách thay thế các biến a và b trong chúng. Hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.

Các phép tính cộng và trừ là các phép toán cơ bản trong nhiều trường hợp giải các bài toán đại số. Trong video này chúng ta sẽ xem xét các nguyên tắc cơ bản khi làm việc với đa thức.

Để bắt đầu, hãy nhớ lại rằng đa thức là một biểu thức bao gồm nhiều đơn thức hoặc đơn thức khác nhau. Hơn nữa, mỗi đơn thức như vậy đại diện cho một trong hai giá trị số, hoặc một biến Đôi khi các biến được nhóm theo phép nhân hoặc phép chia và cũng có thể có hệ số số riêng.

Trong các bài giảng video trước đây, chúng ta đã xem xét việc rút gọn các thuật ngữ tương tự - đơn giản hóa mọi đa thức về dạng chuẩn. Cần phải đưa ra ngay một nhận xét rằng những hành động như vậy có liên quan trực tiếp đến các phép tính cộng và trừ trong một đa thức. Nhưng trong trường hợp này phép toán đại số với một số đa thức, việc đơn giản hóa sơ bộ có thể không cần thiết và làm phức tạp bài toán. Sẽ đúng hơn nếu chuẩn hóa đa thức cuối cùng. Xét cho cùng, càng có nhiều đơn thức trong một đa thức thì càng dễ tìm được các số hạng tương tự. Vì vậy, nếu nhiệm vụ là cộng hoặc trừ hai đa thức, bạn không nên rút gọn chúng ngay về dạng chuẩn.

TRONG đại số tuyến tính Người ta thường viết các đa thức trong cùng một chuỗi trong các dấu ngoặc riêng biệt. Điều này giúp tiết lộ dấu hiệu một cách chính xác. Vì vậy, nếu chúng ta có hai đa thức, thì chúng ta viết chúng thành một chuỗi và đặt dấu hiệu cần thiết giữa các dấu ngoặc:

(a 2 + c 3 - 7) + (3a 2 - 2c 3 +3)

Để giải quyết biểu thức đã cho chỉ cần thực hiện như bình thường là đủ phép cộng đại số. Để làm điều này, hãy mở dấu ngoặc, ghi nhớ các quy tắc bảo quản dấu hiệu. Khi thêm (khi có dấu cộng) tất cả các dấu được giữ nguyên; có thể dễ dàng bỏ dấu ngoặc đơn. Chúng ta viết biểu thức dưới dạng mới:

a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3 =

4a 2 - 1c 3 - 4 = 4a 2 - s 3 - 4

Chúng tôi xử lý đa thức kết quả theo các quy tắc rút gọn các số hạng tương tự, tìm các biến chung và rút gọn mọi thứ ý nghĩa tương tự. Đôi khi chúng ta sử dụng phép cộng hoặc phép trừ từng bước cho một số đơn thức nhất định. Kết quả là biểu thức của chúng ta được rút gọn về dạng chuẩn, đó là câu trả lời cho ví dụ đã cho. Cần phải hiểu rằng, về mặt hình thức, tổng của một đa thức, trong trong trường hợp này, là biểu thức:

a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3

Nó sẽ không được coi là một lỗi nếu bạn chỉ ra nó trong câu trả lời. Tuy nhiên, theo quy luật của các thuật toán tính toán đại số, câu trả lời cuối cùng cho các phép tính với đa thức phải được đơn giản hóa càng nhiều càng tốt, tức là. rút gọn về dạng chuẩn.
Các phép trừ được thực hiện theo cách tương tự, chỉ tính đến việc dấu trừ phía trước dấu ngoặc đơn sẽ đổi dấu bên trong:

(a 2 + c 3 - 7) - (3a 2 - 2c 3 +3) =

A 2 + c 3 - 7 - 3a 2 + 2c 3 - 3=

2a 2 + 3c 3 - 10

Trong đa thức thứ hai (trừ) dấu bị đảo ngược hoàn toàn do dấu trừ: trên ý nghĩa trái ngược nhau. Sau đó, thuật toán giải hoàn toàn giống với phép tính tổng (trên thực tế, đó là cách rút gọn đa thức về dạng chuẩn).

Đôi khi trong một số công việc cần phải thực hiện hành động ngược lại- tạo một tổng hoặc hiệu nhất định so với một đa thức. Điều này có thể cần thiết cho các giải pháp tiếp theo, và các điều kiện để tách đa thức được đặt ra bởi thực tế của chính bài toán. Ví dụ: bạn cần một biểu thức như:

3a 2 - 2c 3 +3

Nhiệm vụ trong trường hợp này là như sau: biểu diễn biểu thức dưới dạng tổng của các đa thức, một trong số đó là 3a 2. Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng cách đánh dấu các đa thức được chỉ định trong ngoặc. Đồng thời, bạn không phải thay đổi dấu vì dấu cộng cho phép bạn thực hiện việc này:

3а 2 + (- 2с 3 +3)

Nếu bạn cần hiệu của các đa thức, một trong số đó là 3a 2, thì bạn không chỉ cần tách các đa thức trong ngoặc mà còn phải đặt dấu trừ, làm đảo ngược dấu trong đa thức thứ hai:

3a 2 - (2c 3 -3)

Như vậy, các bài toán liên quan đến phép cộng hoặc trừ các đa thức có thể được giải khá đơn giản nếu bạn khéo léo sử dụng các tính chất của phép cộng đại số.