Hướng dẫn. Đối với giải pháp trực tuyến, bạn cần chỉ định biểu thức ma trận. Ở giai đoạn thứ hai, cần làm rõ thứ nguyên của ma trận.
Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).Các phép toán hợp lệ: nhân (*), cộng (+), trừ (-), ma trận nghịch đảo A^(-1), lũy thừa (A^2, B^3), chuyển vị ma trận (A^T).
Để thực hiện danh sách các thao tác, hãy sử dụng dấu phân cách bằng dấu chấm phẩy (;). Ví dụ: để thực hiện ba thao tác:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
bạn sẽ cần phải viết nó như thế này: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Ma trận là một bảng số hình chữ nhật có m hàng và n cột nên ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng hình chữ nhật.
Ma trận không (ma trận rỗng) là ma trận có các phần tử đều bằng 0 và ký hiệu là 0.
Ma trận nhận dạngđược gọi là ma trận vuông có dạng
Hai ma trận A và B bằng nhau, nếu chúng có cùng kích thước và các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.
Ma trận số ít là ma trận có định thức bằng 0 (Δ = 0).
Hãy xác định các phép toán cơ bản trên ma trận.
Phép cộng ma trận
Sự định nghĩa . Tổng của hai ma trận cùng kích thước là ma trận có cùng thứ nguyên, các phần tử của ma trận đó được tìm theo công thức
. Ký hiệu là C = A+B. Ví dụ 6. .
Phép cộng ma trận mở rộng cho trường hợp có số hạng bất kỳ. Rõ ràng A+0=A .
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng chỉ có thể cộng các ma trận có cùng kích thước; Đối với các ma trận có kích thước khác nhau, phép cộng không được xác định.
Phép trừ ma trận
Sự định nghĩa . Hiệu B-A của ma trận B và A cùng cỡ là ma trận C sao cho A+C = B.Phép nhân ma trận
Sự định nghĩa . Tích của ma trận với một số α là ma trận thu được từ A bằng cách nhân tất cả các phần tử của nó với α, .Sự định nghĩa . Cho hai ma trận
và , và số cột của A bằng số hàng của B. Tích của A nhân với B là một ma trận có các phần tử được tìm theo công thức 
.
Ký hiệu là C = A·B.
Về mặt sơ đồ, hoạt động của phép nhân ma trận có thể được mô tả như sau:
và quy tắc tính một phần tử trong tích:
Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa rằng tích A·B có ý nghĩa khi và chỉ khi số cột của thừa số thứ nhất bằng số hàng của thừa số thứ hai và tích tạo ra một ma trận có số hàng bằng số hàng của thừa số thứ nhất và số cột bằng số cột của thừa số thứ hai. Bạn có thể kiểm tra kết quả của phép nhân bằng máy tính trực tuyến đặc biệt.
Ví dụ 7. Cho ma trận 
Và 
. Tìm ma trận C = A·B và D = B·A.
Giải pháp.
Trước hết, lưu ý rằng tích A·B tồn tại vì số cột của A bằng số hàng của B.
Lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát A·B≠B·A, tức là tích của ma trận có tính phản giao hoán.
Hãy tìm B·A (có thể nhân).
Ví dụ 8. Cho một ma trận 
. Tìm 3A 2 – 2A.
Giải pháp.
.
; 
.
.
Chúng ta hãy lưu ý sự thật thú vị sau đây.
Như bạn đã biết, tích của hai số khác 0 không bằng 0. Đối với ma trận, trường hợp tương tự có thể không xảy ra, tức là tích của các ma trận khác 0 có thể bằng ma trận null.
1. Hướng dẫn chung. Bài kiểm tra phải được hoàn thành trong một cuốn sổ riêng trong một hình vuông có các ô để ghi chú. Nội dung của tác phẩm được viết rõ ràng bằng tay, sử dụng mực cùng màu. Khi hoàn thành nhiệm vụ, bạn phải cung cấp đầy đủ các điều kiện của mình. Các nhiệm vụ chỉ cung cấp câu trả lời mà không có giải pháp sẽ được coi là chưa được giải quyết. Các bài kiểm tra của tùy chọn khác không được tính. Công việc phải được thực hiện gọn gàng, sạch sẽ, không dấu vết.
Bài kiểm tra phải được học viên hoàn thành, hoàn thiện và nộp để xem xét trước khi bắt đầu buổi học.
Mỗi học sinh hoàn thành lựa chọn của riêng bạn công việc thử nghiệm. Số tùy chọn được xác định bằng chữ số cuối cùng của sổ điểm hoặc thẻ học sinh. Nếu chữ số cuối cùng bằng 0 thì tùy chọn thứ mười sẽ được thực thi.
2. Tùy chọn nhiệm vụ.
Nhiệm vụ 1
Tìm tích của ma trậnMỘT VàTRONG:
, 
.
Giải pháp:
Vì các yếu tố có kích thước 
Và 
, thì sản phẩm của họ được xác định và có kích thước 
. Kể từ đây,
Tùy chọn nhiệm vụ 1
Tìm tích của ma trận A và B:
, 
.
|
k 1 |
k 2 |
k 3 |
|
Nhiệm vụ 2
Cho một ma trậnMỘT. Tìm ma trậnMỘT -1 và thiết lập điều đóAA -1 =E.
Giải pháp:
, Ở đâu
Để tìm ma trận MỘT -1 trước hết cần tính định thức của ma trận MỘT và chắc chắn rằng nó tồn tại. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp Sarrus.
Chúng ta hãy tính phần bù đại số cho từng phần tử của ma trận bằng công thức:
MỘT -1 .
.
Hãy kiểm tra:
Tùy chọn nhiệm vụ 2
Cho ma trận A. Tìm ma trận A -1 và thiết lập AA đó -1 =E.
|
Ma trận MỘT |
Ma trận MỘT |
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Nhiệm vụ 3
Tìm giải hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE) bằng một trong các phương pháp được đề xuất:
Phương pháp Cramer
phương pháp ma trận nghịch đảo
phương pháp Gaussian
Kiểm tra giải pháp.
Giải pháp:
Hãy viết ma trận hệ số của hệ
Hãy giải hệ bằng phương pháp Cramer.
Trước tiên, hãy xem xét điều kiện tương thích, tức là
Do đó hệ thống tương thích, tức là có một giải pháp độc đáo.
Ở đâu 
- thu được từ định thức
thay thế Tôi cột thứ là cột chứa các phần tử tự do.
Ở đâu
- điểm giao nhau của các đường của hệ thống.
Vì thế 
Hãy kiểm tra bằng cách thay nghiệm tìm được vào từng phương trình của hệ.
Bài kiểm tra:
;
.
Vì vậy, chúng ta thấy rằng sau khi thay thế vào hệ thống, mỗi phương trình chuyển thành một đơn vị số. Do đó, giải pháp cho hệ thống đã được tìm thấy một cách chính xác.
Hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
Viết hệ dưới dạng ma trận:
,
,
.
; 
. Hãy tìm ma trận nghịch đảo MỘT
-1
.
, Ở đâu
yếu tố quyết định
tìm thấy khi giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer:
Để tìm ma trận MỘT -1 Tất cả những gì còn lại là tính phần bù đại số cho từng phần tử của ma trận bằng công thức:
Hãy thay các giá trị tìm được vào công thức ban đầu để tính toán MỘT -1 .
.
Hãy kiểm tra:
Việc kiểm tra đã xác nhận tính đúng đắn của ma trận mà chúng tôi tìm thấy.
Hãy tìm cột ma trận của ẩn số:
.
Đáp án trùng với nghiệm tìm được bằng phương pháp Cramer nên chúng ta sẽ không kiểm tra.
Hãy giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.
Vì các phép biến đổi cơ bản của hệ cũng giống như các phép biến đổi cơ bản của ma trận nên để giải hệ ta viết ma trận mở rộng của hệ:
.
Chúng ta rút gọn ma trận mở rộng của hệ thành ma trận tương đương của hệ ở dạng từng bước.
Theo định lý Kronecker-Capelli, hệ có nghiệm nếu hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận rút gọn.
Câu trả lời tìm được trùng khớp với câu trả lời tìm được bằng các phương pháp trước đó. Không cần phải kiểm tra vì nó đã được thực hiện trước đó.
bao gồm T dòng và N cột được gọi là ma trận kích thước N× tôi. số MỘT 11 , MỘT 12 , ..., MỘT tôiđược gọi là cô ấy các phần tử. Bảng biểu thị ma trận được viết trong ngoặc đơn và ký hiệu A = (một ij ).
Nếu số hàng của ma trận bằng số cột của nó thì ma trận đó được gọi là quảng trường, và số hàng của nó bằng số cột - theo thứ tự ma trận vuông.
Tập hợp tất cả các phần tử của ma trận vuông nằm trên đoạn nối góc trên bên trái với góc dưới bên phải được gọi là đường chéo chính, và trên đoạn nối góc trên bên phải với góc dưới bên trái - đường chéo bên.
Ma trận vuông được gọi là đường chéo, nếu tất cả các phần tử của nó không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận vuông trong đó các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 được gọi là đơn và được chỉ định E.
Hai ma trận đó được gọi là bình đẳng nếu số hàng và số cột của chúng bằng nhau và nếu các phần tử ở vị trí tương ứng của các ma trận này bằng nhau.
Ma trận có các phần tử đều bằng 0 được gọi là vô giá trị và được ký hiệu là N.
Theo định nghĩa, để nhân một ma trận MỘTđối với số r, bạn cần từng phần tử của ma trận MỘT nhân với r.
Ví dụ. Cho một ma trận A =
, tìm ma trận 3 MỘT.
3
A = 3
=
Tổng ma trận MỘT Và TRONGđược gọi là ma trận C, các phần tử của nó bằng tổng các phần tử tương ứng của ma trận MỘT Và TRONG. Chỉ có thể cộng các ma trận có cùng số hàng và số cột.
Ví dụ. Cho ma trận A =
Và TRONG
=
. Tìm ma trận C = A + B.
C =
Tính chất của phép cộng ma trận:
A+B=B+A
(A+B)+ C = A+ (B + C)
MỘT + N = MỘT
Sản phẩm ma trận MỘTđến ma trận TRONG chỉ được xác định nếu số lượng cột ma trận MỘT bằng số hàng của ma trận TRONG. Kết quả của phép nhân là ma trận AB, có cùng số hàng như trong ma trận MỘT, và cùng số cột như trong ma trận TRONG.
Tích của hai ma trận MỘT (tôi× P) Và TRONG(P× N) gọi là ma trận VỚI (tôi× N), các phần tử của nó được xác định theo quy tắc
VỚI ij
=
Bình luận. Để nhân hai ma trận cần có các phần tử Tôi nhân hàng thứ của ma trận đầu tiên với các phần tử j cột thứ của ma trận thứ hai và cộng các sản phẩm thu được. Hãy lấy phần tử của ma trận mới với chỉ mục ij.
Ví dụ. Cho ma trận a và b. ;. Tìm tích của ma trận ab.
AB= 
=
=
Ví dụ. Cho ma trận MỘT Và TRONG.
MỘT=
Và B =
.
Giải pháp: A =(2X3), TRONG= (3X2) => AB =(2X2)
AB=
=
=
Tính chất của phép nhân ma trận:
AB VA;
(AB)C=A(BC);
AE= EA= MỘT
(AB)k = (AB)k= A(Bk)
(A+B)C = AB +BC
A(B+C) = AB + AC/
Ma trận chuyển vị A T là một ma trận trong đó các hàng được viết thay cho các cột và các cột được viết thay cho các hàng.
Ví dụ. Cho ma trận A=
, Sau đó
MỘT T
=
Các yếu tố quyết định.
Định thức bậc hai tương ứng với ma trận MỘT
=
, gọi là số 
=MỘT 11 MỘT 22
- MỘT 12 MỘT 21 .
Ví dụ. Tính toán bằng cách sử dụng định thức bậc hai.
= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.
Yếu tố quyết định bậc ba tương ứng với ma trận
MỘT
=
, gọi là số 
=MỘT 11
MỘT 22
MỘT 33
+a 12
MỘT 23
MỘT 31
+ một 13
MỘT 21
MỘT 32
- MỘT 13
MỘT 22
MỘT 31
- MỘT 12
MỘT 21
MỘT 33
-MỘT 11
MỘT 23
MỘT 32.
Để nhớ những tích nào ở vế phải của đẳng thức phải được lấy bằng dấu “+” và tích nào có dấu “-”, một quy tắc hữu ích được gọi là quy tắc tam giác, như trong Hình 2. 1.
«
+ » « - »
Hình 1.
Ví dụ. Tính định thức
Cách thứ hai để tính định thức bậc ba là cộng hai cột đầu tiên, tìm tích dọc theo đường chéo chính và song song với nó và dọc theo đường chéo phụ và song song với nó.
=
MỘT 11
MỘT 22
MỘT 33
+a 12
MỘT 23
MỘT 31
+ một 13
MỘT 21
MỘT 32
- MỘT 13
MỘT 22
MỘT 31
- MỘT 12
MỘT 21
MỘT 33
-MỘT 11
MỘT 23
MỘT 32.
Tính chất của định thức:
Nếu đổi chỗ hai hàng (cột) trong định thức thì dấu của nó sẽ đổi ngược lại.
Nếu các hàng và cột trong định thức bị hoán đổi thì dấu và độ lớn của nó sẽ không thay đổi.
Nếu hai đường thẳng trong định thức tỉ lệ (bằng nhau) thì nó bằng 0.
Nếu bất kỳ hàng (cột) nào trong định thức được nhân với một số nhất định và thêm vào một hàng (cột) khác thì giá trị của nó sẽ không thay đổi.
Nếu trong định thức các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào có thừa số chung thì có thể loại bỏ dấu của định thức.
Nếu định thức chứa một hàng hoặc cột rỗng thì nó bằng 0.
Tiểu M ij yếu tố quyết định MỘT ij là định thức thu được từ ban đầu bằng cách xóa Tôi- ồ dòng và j cột thứ mà phần tử này nằm trên đó.
Phần bù đại số A ij yếu tố quyết định MỘT ij gọi là thứ nhân với (-1) Tôi + j .
Cách thứ ba để tính định thức là sử dụng định lý phân rã.
Định lý phân tích:Định thức bằng tổng các tích của các phần tử của hàng (cột) bất kỳ và phần bù đại số của chúng.
Ví dụ. Tính định thức bậc ba 
, khai triển định thức thành các phần tử của hàng đầu tiên.
= 5· (-1) 1+1 · 
+ 3 · (-1) 1+2 · 
+ 2·(-1) 1+3 · 
= 68.
Định thức tương tự có thể được tính bằng tính chất 4), và sau đó có thể áp dụng định lý phân rã. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi tạo số không trong cột đầu tiên. Để làm điều này, chúng ta thêm vào các phần tử của hàng đầu tiên các phần tử của hàng thứ hai nhân với 5 và vào các phần tử của hàng thứ ba, chúng ta thêm các phần tử của hàng thứ hai nhân với 7. Và chúng ta phân tách kết quả ma trận vào các phần tử của cột đầu tiên.
=
=
0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.