1. Trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu xem ma trận đa thức chữ nhật có dạng tương đối đơn giản nào có thể được rút gọn bằng cách chỉ áp dụng các phép toán cơ bản còn lại.
Giả sử rằng cột đầu tiên của ma trận chứa các phần tử không bằng 0. Chúng ta hãy lấy một đa thức có bậc nhỏ nhất trong số chúng và bằng cách sắp xếp lại các hàng, biến nó thành một phần tử. Sau đó, chia đa thức cho ; chúng ta biểu thị thương số và số dư bằng và
Bây giờ chúng ta hãy trừ từ hàng thứ hàng hàng đầu tiên, trước đó đã nhân với . Nếu không phải tất cả các số dư đều bằng 0 thì số dư không bằng 0 và có bậc nhỏ nhất có thể được xác định bằng cách sắp xếp lại các hàng. Kết quả của tất cả các phép toán này là bậc của đa thức sẽ giảm đi.
Bây giờ chúng ta sẽ lặp lại quá trình này một lần nữa, v.v. Vì bậc của đa thức là hữu hạn nên ở một giai đoạn nào đó quá trình này không thể tiếp tục được nữa, tức là ở giai đoạn này, tất cả các phần tử sẽ bằng 0.
Sau đó, lấy phần tử và áp dụng quy trình tương tự cho các hàng có số. Sau đó chúng ta sẽ đạt được những gì và . Tiếp tục như vậy, cuối cùng chúng ta sẽ rút gọn ma trận về dạng sau:
(5)
Nếu đa thức không bằng 0 thì bằng cách sử dụng phép toán cơ bản bên trái của loại thứ hai, chúng ta sẽ làm cho bậc của phần tử nhỏ hơn bậc (nếu nó có bậc 0 thì nó sẽ trở thành bằng 0). Theo cách tương tự, nếu , thì sử dụng các phép toán cơ bản bên trái thuộc loại thứ hai, chúng ta sẽ làm cho bậc của các phần tử nhỏ hơn bậc , mà không thay đổi phần tử , v.v.
Chúng tôi đã thiết lập định lý sau:
Định lý 1. Một ma trận đa thức hình chữ nhật tùy ý có kích thước luôn có thể được rút gọn về dạng (5) bằng cách sử dụng các phép toán cơ bản bên trái, trong đó các đa thức có bậc thấp hơn , nếu chỉ , và tất cả đều bằng 0 nếu 
.
Nó được chứng minh hoàn toàn tương tự
Định lý 2. Một ma trận hình chữ nhật nhiều giá trị tùy ý có kích thước luôn có thể được rút gọn về dạng bằng các phép toán cơ bản bên phải
(6)
trong đó các đa thức có bậc thấp hơn , nếu chỉ , và tất cả đều bằng 0, nếu 
.
2. Các mệnh đề sau đây rút ra từ Định lý 1 và 2
Kết quả. Nếu định thức của một ma trận vuông nhiều giá trị không phụ thuộc và khác 0 thì ma trận này có thể được biểu diễn dưới dạng tích của một số hữu hạn các ma trận cơ bản.
Thật vậy, theo Định lý 1, sử dụng các phép toán cơ bản bên trái ma trận có thể được rút gọn về dạng
(7)
thứ tự của ma trận ở đâu. Vì khi áp dụng các phép toán cơ bản cho ma trận đa thức vuông, định thức của ma trận này chỉ được nhân với một hằng số khác 0 nên định thức của ma trận (7), giống như định thức, không phụ thuộc và khác với không, tức là
.
Nhưng sau đó, nhờ vào Định lý 1 tương tự, ma trận (7) có dạng đường chéo và do đó có thể rút gọn bằng cách sử dụng các phép toán cơ bản bên trái loại 1 thành ma trận đơn vị. Khi đó và ngược lại, ma trận nhận dạng có thể được rút gọn thành việc sử dụng các phép toán cơ bản bên trái với ma trận. Kể từ đây,
Từ hệ quả đã được chứng minh, chúng ta thu được (xem trang 137 – 138) sự tương đương của hai định nghĩa 2 và 2” về sự tương đương của ma trận đa thức.
3. Hãy quay lại ví dụ về hệ phương trình vi phân (4). Chúng ta hãy áp dụng Định lý 1 cho ma trận các hệ số toán tử. Sau đó, như được chỉ ra ở trang 138, hệ thống (4) sẽ được thay thế bằng hệ thống tương đương
(4")
Ở đâu . Trong hệ thống này, chúng ta có thể chọn các hàm tùy ý, sau đó các hàm được xác định tuần tự và ở mỗi giai đoạn xác định này, chúng ta phải tích phân một phương trình vi phân với một hàm chưa biết.
4. Bây giờ chúng ta chuyển sang thiết lập dạng “chính tắc” mà ma trận đa thức chữ nhật có thể được rút gọn bằng cách áp dụng cả các phép toán cơ bản bên trái và bên phải cho nó.
Trong số tất cả các phần tử của ma trận không bằng 0, chúng ta chọn phần tử có bậc nhỏ nhất so với , và bằng cách sắp xếp lại các hàng và cột thích hợp, chúng ta biến nó thành một phần tử. Sau đó, chúng ta sẽ tìm được thương và số dư khi chia các đa thức và cho:
Nếu ít nhất một trong số dư 
, ví dụ: không hoàn toàn bằng 0, sau đó bằng cách trừ khỏi cột thứ cột đầu tiên, trước đó đã nhân với , chúng ta thay thế phần tử bằng phần tử còn lại, có bậc thấp hơn . Sau đó, chúng ta có cơ hội giảm lại bậc của phần tử ở góc trên bên trái của ma trận bằng cách đặt ở vị trí này phần tử có bậc thấp nhất so với .
Nếu tất cả những gì còn sót lại 
;
bằng 0 giống hệt nhau, sau đó bằng cách trừ đi hàng thứ thứ đầu tiên, trước đó được nhân với , và từ cột thứ – cột thứ nhất, trước đó được nhân với , chúng ta sẽ rút gọn ma trận đa thức của chúng ta về dạng
Nếu ít nhất một trong các phần tử không chia hết cho , khi đó bằng cách thêm vào cột đầu tiên cột chứa phần tử này, chúng ta sẽ đến trường hợp trước và do đó, chúng ta sẽ lại có thể thay thế phần tử bằng đa thức có bậc thấp hơn. ma trận (8) thành dạng hàng thành các thừa số số khác nhau tương ứng với 0, ta sẽ đảm bảo được hệ số cao nhất của đa thức và thiết lập được công thức nối các đa thức này với các phần tử của ma trận.
Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(j) .
Nhờ áp dụng phép toán cơ bản bên phải, ma trận A(λ) được nhân ở bên phải với ma trận T tương ứng.
Lưu ý rằng ma trận T" trùng với ma trận S", và các ma trận T", T"" trùng với các ma trận S", S"", nếu chỉ số i và j được hoán đổi cho nhau. Các ma trận thuộc loại S", S", S"" (hoặc tương tự, loại T", T", T"") được gọi là ma trận cơ bản.
Hai ma trận λ A(λ) và B(λ) có cùng kích thước m x n được gọi là tương đương, A(λ) ~ B(λ), nếu người ta có thể đi từ ma trận A(λ) đến B(λ) bằng cách sử dụng a chuỗi hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Quan hệ tương đương có ba thuộc tính chính:
1) tính phản xạ: mỗi ma trận tương đương với chính nó A(λ) ~ B(λ);
2) tính đối xứng: nếu A(λ) ~ B(λ), thì B(λ) ~ A(λ);
3) độ bắc cầu: nếu A(λ) ~ B(λ), và B(λ) ~ C(λ), thì A(λ) ~ C(λ).
§2. Dạng chính tắc của ma trận λ
Ở trên đã chỉ ra rằng quan hệ tương đương có tính bắc cầu, đối xứng và phản xạ. Theo đó, tập hợp tất cả các ma trận λ có kích thước m x n cho trước được chia thành các lớp rời rạc của các ma trận tương đương, tức là vào các lớp sao cho hai ma trận bất kỳ của cùng một lớp là tương đương, nhưng từ các lớp khác nhau thì không tương đương với nhau. Câu hỏi đặt ra về dạng chính tắc của ma trận λ, đặc trưng cho lớp ma trận λ tương đương này.
Ma trận đường chéo λ chính tắc có kích thước m x n là ma trận λ có đường chéo chính chứa các đa thức E1(λ), E2(λ), ..., Ep(λ), trong đó p là số nhỏ hơn trong các số m và n, không bằng 0 trong số các đa thức này có hệ số cao nhất bằng 1 và mỗi đa thức tiếp theo được chia cho đa thức trước đó, tuy nhiên các phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
Định lý 1. Bất kỳ ma trận λ nào cũng có thể được rút gọn về dạng đường chéo chính tắc bằng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.
Bằng chứng. Cho A(λ) là ma trận đa thức chữ nhật. Áp dụng cả hai phép toán cơ bản bên trái và bên phải cho A(λ) chúng ta dẫn đến dạng đường chéo chính tắc.
Trong số tất cả các phần tử khác 0 аіј(λ) của ma trận A(λ), chúng ta lấy phần tử có bậc nhỏ nhất đối với λ và bằng cách sắp xếp lại các hàng và cột một cách thích hợp, chúng ta biến nó thành phần tử a11(λ). Sau đó, chúng ta sẽ tìm thương và số dư khi chia các đa thức аі1(λ) và а1ј(λ) cho а11(λ):
аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)
(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).
Nếu ít nhất một trong các số dư rі1(λ), r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), ví dụ r1ј (λ), không bằng 0, thì, trừ j- của cột đầu tiên, trước đó nhân với q1ј(λ), chúng ta thay thế phần tử a1ј(λ) bằng phần còn lại r1ј(λ), có bậc thấp hơn a11(λ). Sau đó, chúng ta có cơ hội giảm lại bậc của phần tử ở góc trên bên trái của ma trận, đặt vào vị trí này phần tử có bậc thấp nhất so với λ.
Nếu tất cả số dư là r21(λ), … rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) bằng 0, sau đó trừ đi hàng thứ i cho hàng đầu tiên, nhân trước đó với qі1(λ) (i = 2, …, m) và từ hàng thứ j cột - cột đầu tiên, trước đó được nhân với q1ј(λ) (j = 2, …, n), chúng ta rút gọn ma trận về dạng
а11(λ) 0 … 0
0 а22(λ) … а2n(λ)
….…………………… .
0 am2(λ) … amn(λ)
Nếu đồng thời có ít nhất một trong các phần tử аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) không chia hết cho а11(λ) mà không có phần dư thì bằng cách cộng với phần tử đầu tiên cột chứa phần tử này, chúng ta sẽ quay lại trường hợp trước và do đó, một lần nữa chúng ta sẽ có thể thay thế phần tử a11(λ) bằng đa thức có bậc thấp hơn.
Vì phần tử ban đầu a11(λ) có một bậc nhất định và quá trình giảm bậc này không thể tiếp tục vô thời hạn, nên sau một số hữu hạn các phép toán cơ bản, chúng ta phải thu được một ma trận có dạng
(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)
….…………………… ,
0 bm2 (λ) …bmn (λ)
trong đó tất cả các phần tử bіј(λ) đều chia hết cho а1(λ) không có phần dư. Nếu trong số các phần tử bіј(λ) không có phần tử nào giống nhau bằng 0 thì tiếp tục quá trình rút gọn tương tự cho các hàng có số 2, …, m và các cột có số 2, …, n, ta sẽ quy gọn ma trận (*) về dạng
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng một ma trận đa thức chữ nhật tùy ý A(λ) tương đương với một ma trận đường chéo chính tắc nào đó.
Một ma trận kích thước được cho là có kinh điển loại, nếu nó có thể được chia thành bốn khối (một số trong số chúng có thể trống), mỗi khối là một ma trận con của một loại nhất định ( ma trận conđược gọi là ma trận là một phần của ma trận gốc). Khối trên cùng bên trái là ma trận nhận dạng k-thứ tự, hai khối thấp hơn – ma trận kích thước và 
bao gồm các số 0 (trong sơ đồ các ma trận này được biểu thị bằng các số 0 đậm lớn). Khối phía trên bên phải là một ma trận kích thước tùy ý. Con số k> 0 và không vượt quá số tôi Và N.
Nếu , không có khối bên phải, nếu , không có khối dưới cùng (không). Nếu , ma trận bao gồm một khối (đơn vị).
Chúng ta hãy đưa ra các ví dụ cụ thể về ma trận có dạng chính tắc (các dấu chấm biểu thị những phần tử ma trận có giá trị cụ thể không đóng vai trò):
MỘT) 
, b) , c) , d) 
.
Ví dụ a) , ( k trùng với số hàng), thiếu cả hai ma trận con 0; trong ví dụ b) ( k trùng với số cột), , thiếu cả hai khối bên phải, ma trận con 0 là ma trận hàng; trong ví dụ c), ma trận con 0 đầu tiên là ma trận hàng, ma trận con 0 thứ hai gồm một phần tử; trong ví dụ d) , , .
Thông thường, trong định nghĩa ma trận có dạng chính tắc, thay vì ma trận con đơn vị, ma trận con hình tam giác xuất hiện. Trong trường hợp này chúng ta nói về ma trận gần như kinh điển loại. Vì ma trận nhận dạng là trường hợp đặc biệt của ma trận tam giác nên ma trận có dạng chính tắc là trường hợp đặc biệt của ma trận có dạng gần chính tắc. Nếu trong biểu diễn sơ đồ của ma trận có dạng chính tắc, ma trận đồng nhất ở khối phía trên bên trái được thay thế bằng ma trận hình tam giác, thì sẽ thu được sơ đồ của ma trận có dạng gần như chính tắc.
Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về ma trận có dạng gần như chính tắc:
MỘT) 
, b) , c) 
, G) 
.
Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là chấp nhận được: sắp xếp lại các chuỗi; sắp xếp lại các cột; nhân các phần tử của một hàng ma trận với cùng một số khác 0; thêm vào một trong các hàng của ma trận một hàng khác, trước đó được nhân với một số nhất định (đặc biệt, trừ hàng này với hàng khác và thêm hàng này vào hàng khác). Như sẽ được trình bày dưới đây, các phép biến đổi ma trận được chấp nhận tương ứng với các hành động đó với các hệ phương trình tuyến tính không vi phạm tính tương đương.
Sử dụng các phép biến đổi được chấp nhận, bất kỳ ma trận nào MỘT có thể rút gọn thành một ma trận có chế độ xem chuẩn.
Việc chuyển ma trận về dạng chính tắc có thể được chia thành các giai đoạn, mỗi giai đoạn bao gồm hai bước - lấy đơn vị tiếp theo trên đường chéo chính và biến cột tương ứng thành đơn vị một cột, nghĩa là một cột trong đó tất cả các phần tử, ngoại trừ đường chéo, đều bằng 0.
Bước đầu tiên được thực hiện như sau. Nếu phần tử đường chéo được đề cập bằng 1, hãy chuyển sang bước thứ hai. Nếu phần tử đường chéo không bằng 1 nhưng khác 0 thì chia tất cả các phần tử trong hàng của nó cho nó. Nếu phần tử đường chéo bằng 0 thì chúng ta sẽ tìm phần tử khác 0 nằm trong cột (phần tử đường chéo) của nó, nhưng ở dưới hoặc trong hàng của nó, nhưng ở bên phải hoặc ở dưới và bên phải tại cùng một lúc. Nếu tìm thấy một phần tử như vậy, chúng ta sẽ làm cho nó theo đường chéo bằng cách sắp xếp lại các hàng tương ứng (trong trường hợp đầu tiên) hoặc các cột (trong trường hợp thứ hai) hoặc lần lượt các hàng và cột (trong trường hợp thứ ba). Nếu không tìm thấy phần tử như vậy, điều này có nghĩa là quá trình đã hoàn tất.
Nếu bước đầu tiên được hoàn thành và cột chứa phần tử đường chéo đơn vị mới chứa một phần tử khác 0, hãy thêm vào hàng của phần tử đường chéo nhân với phần tử cần loại bỏ, lấy dấu ngược lại.
Hãy xem xét một ví dụ về việc rút gọn ma trận về dạng chính tắc.
~ ~ 
~
Đường chéo thứ nhất Đường chéo thứ nhất
phần tử bằng không. phần tử không rỗng.
~ ~ 
~ 
~
Đường chéo đầu tiên
phần tử trở thành bằng một
~ 
~ ~ 
~
Ma trận là một công cụ thuận tiện để giải nhiều bài toán đại số. Biết một số quy tắc đơn giản để vận hành với chúng cho phép bạn giảm ma trận thành bất kỳ dạng thuận tiện và cần thiết nào vào lúc này. Việc sử dụng dạng chính tắc của ma trận thường rất hữu ích.
Hướng dẫn
Hãy nhớ rằng dạng chính tắc của ma trận không yêu cầu phải có các ma trận dọc theo toàn bộ đường chéo chính. Bản chất của định nghĩa là các phần tử khác 0 duy nhất của ma trận ở dạng chính tắc của nó là những phần tử đơn lẻ. Nếu chúng có mặt thì chúng nằm trên đường chéo chính. Hơn nữa, số lượng của chúng có thể thay đổi từ 0 đến số dòng trong ma trận.
Đừng quên rằng các phép biến đổi cơ bản cho phép bất kỳ ma trận dẫn đến kinh điển tâm trí. Khó khăn lớn nhất là tìm ra chuỗi hành động đơn giản nhất bằng trực giác và không mắc sai lầm trong tính toán.
Tìm hiểu các tính chất cơ bản của các phép toán với hàng và cột trong ma trận. Các phép biến đổi cơ bản bao gồm ba phép biến đổi tiêu chuẩn. Đây là phép nhân của một hàng ma trận với bất kỳ số nào khác 0, tổng của các hàng (bao gồm cả phép cộng với nhau, nhân với một số số) và sắp xếp lại chúng. Những hành động như vậy cho phép bạn có được ma trận tương đương với cái này. Theo đó, bạn có thể thực hiện các thao tác như vậy trên các cột mà không làm mất tính tương đương.
Cố gắng không thực hiện một số phép biến đổi cơ bản cùng một lúc: chuyển từ giai đoạn này sang giai đoạn khác để tránh những sai sót vô tình.
Tìm thứ hạng của ma trận để xác định số lượng đơn vị trên đường chéo chính: điều này sẽ cho bạn biết dạng cuối cùng của dạng chính tắc mà bạn đang tìm kiếm sẽ là gì và loại bỏ nhu cầu thực hiện các phép biến đổi nếu bạn chỉ muốn sử dụng nó cho giải pháp.
Sử dụng phương pháp trẻ vị thành niên giáp ranh để làm theo khuyến nghị trước đó. Tính cấp độ thứ k, cũng như tất cả các cấp độ phụ xung quanh (k+1). Nếu chúng bằng 0 thì hạng của ma trận là số k. Đừng quên rằng Mij thứ là định thức của ma trận thu được bằng cách xóa hàng i và cột j khỏi ma trận ban đầu.
Chú ý, chỉ HÔM NAY!
Mọi thứ thú vị
Ma trận, là một dạng ghi dữ liệu dạng bảng, được sử dụng rộng rãi khi làm việc với các hệ phương trình tuyến tính. Hơn nữa, số phương trình xác định số hàng của ma trận và số biến xác định thứ tự các cột của nó. Kết quả là...
Hạng của ma trận S là cấp lớn nhất trong số các cấp con của nó khác 0. Các phần tử phụ là các định thức của ma trận vuông, được lấy từ ma trận ban đầu bằng cách chọn các hàng và cột tùy ý. Thứ hạng được biểu thị bằng Rg S và cách tính của nó...
Ma trận là một đối tượng toán học là một bảng hình chữ nhật. Tại giao điểm của các cột và hàng của bảng này, các phần tử của ma trận được đặt - số nguyên, số thực hoặc số phức. Kích thước của ma trận được xác định bởi số lượng...
Phần bù đại số là một phần tử của ma trận hoặc đại số tuyến tính, một trong những khái niệm của toán học cao cấp cùng với ma trận định thức, ma trận thứ và ma trận nghịch đảo. Tuy nhiên, bất chấp sự phức tạp rõ ràng, việc tìm kiếm phần bù đại số không khó. Hướng dẫn...
Ma trận là tập hợp các số có thứ tự trong một bảng hình chữ nhật có kích thước m hàng x n cột. Việc giải các hệ phương trình tuyến tính phức tạp dựa trên việc tính toán ma trận gồm các hệ số cho trước. Nói chung là khi...
Đại số ma trận là một nhánh của toán học nghiên cứu các tính chất của ma trận, ứng dụng của chúng để giải các hệ phương trình phức tạp, cũng như các quy tắc thực hiện ma trận, bao gồm cả phép chia. Hướng dẫn 1 Có ba phép tính trên ma trận: cộng,...
Phần bù đại số là một trong những khái niệm của đại số ma trận được áp dụng cho các phần tử của ma trận. Tìm phần bù đại số là một trong những thao tác của thuật toán xác định ma trận nghịch đảo cũng như phép chia ma trận. ...
Ma trận B được coi là nghịch đảo của ma trận A nếu phép nhân của chúng tạo ra ma trận đẳng thức E. Khái niệm “ma trận nghịch đảo” chỉ tồn tại đối với ma trận vuông, tức là. ma trận “hai nhân hai”, “ba nhân ba”, v.v....
Với mọi ma trận vuông A không số ít (có định thức |A| không bằng 0), tồn tại một ma trận nghịch đảo duy nhất, ký hiệu là A^(-1), sao cho (A^(-1))A=A, A^ (-1 )=E. Lệnh 1E được gọi là ma trận nhận dạng. Nó bao gồm…
Ma trận toán học là một bảng gồm các phần tử có thứ tự với số hàng và số cột cụ thể. Để tìm nghiệm của một ma trận, bạn cần xác định hành động nào cần thực hiện trên ma trận đó. Sau đó, hãy hành động theo những gì có sẵn...
Toán học tất nhiên là “nữ hoàng” của khoa học. Không phải ai cũng có thể hiểu hết chiều sâu bản chất của nó. Toán học kết hợp nhiều phần và mỗi phần là một mắt xích duy nhất trong chuỗi toán học. Cơ bản giống nhau...
Nếu trong bất kỳ ma trận A nào, chúng ta lấy k hàng và cột tùy ý và tạo một ma trận con có kích thước k x k từ các phần tử của các hàng và cột này thì ma trận con như vậy được gọi là ma trận con của ma trận A. Số lượng hàng và cột trong cái lớn nhất nhỏ như vậy, khác nhau...
Mục 3. Ma trận
3.1 Khái niệm cơ bản
Ma trận là một bảng số hình chữ nhật chứa T các chuỗi có cùng độ dài (hoặc N cột có cùng độ dài). Ma trận được viết dưới dạng:
hay nói ngắn gọn là 
, Ở đâu 
(những thứ kia. 
) – số dòng, 
(những thứ kia. 
) – số cột.
Ma trận MỘT gọi là ma trận kích cỡ
và viết 
. số 
,
các thành phần của ma trận được gọi là các phần tử. Các phần tử trên đường chéo từ góc trên bên trái tạo thành đường chéo chính.
Ví dụ 1. Yếu tố 
nằm ở hàng thứ 1 và cột thứ 2 và phần tử 
nằm ở hàng thứ 3 và cột thứ 1.
Ví dụ 2. Ma trận 
có kích thước 
, vì nó chứa 2 hàng và 4 cột. Ma trận 
có kích thước 
, vì nó chứa 3 hàng và 2 cột.
Các ma trận đều bằng nhau với nhau nếu chúng bằng nhau Tất cả các phần tử tương ứng của các ma trận này, tức là 
, Nếu như 
,
Ở đâu 
,
.
Ma trận có số hàng bằng số cột được gọi là quảng trường. Ma trận kích thước vuông 
gọi là ma trận thứ tự thứ n.
Ví dụ 3. Ma trận 
Và 
từ ví dụ 2 được gọi là hình chữ nhật. Ma trận 
là ma trận vuông cấp 3. Nó chứa 3 hàng và 3 cột.
Ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là đường chéo. Ma trận đường chéo trong đó mỗi phần tử của đường chéo chính bằng một được gọi là đơn. Ký hiệu bằng chữ cái E.
Ví dụ 4.
- ma trận đơn vị bậc 3.
Ma trận vuông được gọi là hình tam giác, nếu tất cả các phần tử nằm trên một cạnh của đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận có các phần tử đều bằng 0 được gọi là vô giá trị. Ký hiệu bằng chữ cái VỀ.
Trong phép tính ma trận, ma trận VỀ Và Eđóng vai trò của 0 và 1 trong số học.
,
.
Ma trận kích thước 
, bao gồm một số, được xác định bằng số này, tức là. 
có 5.
Ma trận thu được từ một ma trận đã cho bằng cách thay thế mỗi hàng của nó bằng một cột có cùng số được gọi là ma trận, chuyển đổiđến cái này. được chỉ định 
. Vì vậy, nếu 
, Cái đó 
Nếu như 
, Cái đó 
. Ma trận chuyển vị có tính chất sau: 
.
3.2 Các phép toán trên ma trận
Phép cộng
Phép cộng ma trận chỉ được áp dụng cho các ma trận có cùng kích thước.
Tổng của hai ma trận
Và 
gọi là ma trận 
như vậy 
(
,
).
Ví dụ 5. .
Sự khác biệt ma trận được xác định tương tự.
Nhân với một số
Sản phẩm ma trận
mỗi sốk
gọi là ma trận 
như vậy b ij =
ka ij
(Tôi=
,
j=
).
Ví dụ 6.
,
,
.
Ma trận 
gọi điện ma trận đối diện A.
Sự khác biệt ma trận 
có thể được định nghĩa như thế này: 
.
Các phép tính cộng và nhân ma trận với một số có các bước sau: của cải:
Ở đâu MỘT, TRONG, VỚI– ma trận, α Và β – những con số
Các phép biến đổi ma trận cơ bản
Các phép biến đổi ma trận cơ bản là:
hoán đổi hai hàng song song của một ma trận;
nhân tất cả các phần tử của một hàng ma trận với một số khác 0;
thêm vào tất cả các phần tử của chuỗi ma trận các phần tử tương ứng của chuỗi song song nhân với cùng một số.
Hai ma trận MỘT Và TRONGđược gọi là tương đương, nếu một trong số chúng thu được từ cái kia bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. MỘT~TRONG.
Đã ghi âm Sử dụng các phép biến đổi cơ bản, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận trong đó ở đầu đường chéo chính có một số phần tử liên tiếp và tất cả các phần tử khác đều bằng 0. Một ma trận như vậy được gọi là kinh điển 
.
, Ví dụ Ví dụ 7. 
.
Giảm ma trận về dạng chính tắc
Giải: Thực hiện các phép biến đổi cơ bản, ta được 
(đổi chỗ cột I và III) ~ 
(Cột I nhân (-3), cộng cột II, kết quả ghi vào cột II; sau đó cột I nhân (-2), cộng cột III, kết quả ghi vào cột III; sau đó cột I lại được nhân với ( -2) và cộng với cột IV, kết quả được ghi vào cột IV) ~ 
(Cột III nhân (-2), cộng vào cột II thì ghi kết quả vào cột II; cột III chia cho 2, kết quả ghi vào cột III; cột III nhân (-1), cộng sang cột IV và kết quả được ghi vào cột IV) ~ 
(Dòng II nhân với 3, cộng vào dòng III và kết quả ghi ở dòng III) ~ 
(Cột II nhân với (-1), cộng tuần tự với cột III và IV, kết quả ghi lần lượt vào cột III và IV) ~ 
.
Chúng tôi thu được một ma trận có dạng chính tắc.
Sản phẩm của ma trận Phép nhân hai ma trận chỉ được giới thiệu cho trường hợp khi
số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Tích của ma trận A t×p ij =(một ) vào ma trận B =(b p×r ) jk VỚI gọi là ma trận t×r =(với ) như vậy
tôi =(với =
c Tôi 1
∙
b 1
k +
c Tôi 2
∙
b 2
k +
∙∙∙+
c Một ∙
b TRONG
,
nk Tôi=
,
k=
,
Ở đâu Tôi những thứ kia. yếu tố k-dòng thứ và VỚI cột thứ của ma trận sản phẩm Tôi bằng tổng tích của các phần tử MỘT hàng thứ của ma trận k tới các phần tử tương ứng
cột thứ của ma trận B. MỘT Và TRONG Nếu ma trận hình vuông có cùng kích thước thì các sản phẩm Và AB VA MỘT∙E = E∙MỘT= MỘT luôn tồn tại. Thật dễ dàng để chứng minh rằng MỘT, Ở đâu E– ma trận vuông,
Ví dụ 4.
=.
là một ma trận nhận dạng có cùng kích thước. MỘT Và TRONGđược gọi là Ma trận (có thể hoán đổiđi lại hình vuông có cùng kích thước thì các sản phẩm=AB.
), Nếu như
MỘT∙(TRONG∙VỚI) = (MỘT∙TRONG)∙VỚI;
MỘT∙(TRONG + VỚI) = hình vuông có cùng kích thước thì các sản phẩm + Phép nhân ma trận có các tính chất sau:;
(MỘT + TRONG)∙VỚI = Phép nhân ma trận có các tính chất sau: + AC;
α (hình vuông có cùng kích thước thì các sản phẩm) = (Mặt trời)TRONG,
αA
tất nhiên là nếu tổng và tích của ma trận được viết có ý nghĩa.
(MỘT + TRONG Các thuộc tính sau đây đúng cho hoạt động chuyển vị: MỘT) T = TRONG T+
(hình vuông có cùng kích thước thì các sản phẩm T; TRONG) T = MỘT T∙
T. Nếu cho trước một đa thức thìđa thức ma trận(MỘT)
f 
được gọi là một biểu thức có dạng , trong đó Nđối với bất kỳ tự nhiên đa thức ma trận(MỘT. MỘT Giá trị của đa thức ma trận
) cho một ma trận đã cho là một ma trận. Hãy gọi phần tử dòng vô cùng, nếu nó khác 0 và tất cả các phần tử của dòng này ở bên trái của nó đều bằng 0. Ma trận được gọi là
Ví dụ 5. bước MỘT Và TRONG, nếu phần tử ngoài cùng của mỗi dòng nằm ở bên phải phần tử ngoài cùng của dòng trước đó.
Trong ma trận
Các phần tử ngoài cùng của mỗi dòng được đánh dấu: