Giải phương trình bậc cao hơn bằng sơ đồ Horner. Các phương trình trong toán học cao hơn.

Mục tiêu bài học:

• dạy học sinh giải phương trình bằng cấp cao hơn sử dụng sơ đồ Horner;
• phát triển khả năng làm việc theo cặp;
• Cùng với các phần chính của môn học, tạo cơ sở để phát triển năng lực của học sinh;
• giúp học sinh đánh giá tiềm năng của mình, phát triển niềm yêu thích toán học, khả năng tư duy và phát biểu về chủ đề này.

Thiết bị: thẻ làm việc nhóm, áp phích có sơ đồ Horner.

Phương pháp giảng dạy: giảng, kể chuyện, giải thích, làm bài tập rèn luyện.

Hình thức kiểm soát: kiểm tra nhiệm vụ quyết định độc lập, làm việc độc lập.

Tiến độ bài học

1. Thời điểm tổ chức

2. Cập nhật kiến ​​thức cho học sinh

Định lý nào cho phép bạn xác định xem một số có phải là nghiệm hay không? phương trình đã cho(xây dựng định lý)?

Định lý Bezout. Phần dư của phép chia đa thức P(x) cho nhị thức x-c bằng P(c), số c được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(c)=0. Định lý cho phép, mà không cần thực hiện phép chia, xác định xem số đã cho nghiệm của đa thức.

Những tuyên bố nào làm cho việc tìm ra nguồn gốc dễ dàng hơn?

a) Nếu hệ số cao nhất của đa thức bằng một, thì các nghiệm của đa thức phải được tìm trong số các ước của số hạng tự do.

b) Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì một trong các nghiệm là 1.

c) Nếu tổng các hệ số ở vị trí chẵn bằng tổng các hệ số ở vị trí lẻ thì một trong các nghiệm bằng -1.

d) Nếu tất cả các hệ số đều dương thì nghiệm của đa thức là số âm.

e) Một đa thức bậc lẻ có ít nhất một gốc thật.

3. Học tài liệu mới

Khi giải số nguyên phương trình đại số bạn phải tìm các giá trị gốc của đa thức. Hoạt động này có thể được đơn giản hóa đáng kể nếu việc tính toán được thực hiện bằng thuật toán đặc biệt gọi là sơ đồ Horner. Mạch này được đặt theo tên của nhà khoa học người Anh William George Horner. Sơ đồ Horner là một thuật toán để tính thương và số dư của phép chia đa thức P(x) cho x-c. Tóm tắt cách nó hoạt động.

Cho một đa thức tùy ý P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Chia đa thức này cho x-c là biểu diễn của nó dưới dạng P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Đạo hàm riêng g(x)=trong 0 x n-1 + trong n x n-2 +…+trong n-2 x + trong n-1, trong đó trong 0 =a 0, trong n =st n-1 +a n , n =1,2,3,…n-1. Số dư r(x)= st n-1 +a n. Phương pháp tính toán này được gọi là sơ đồ Horner. Từ “sơ đồ” trong tên của thuật toán là do việc thực hiện nó thường được chính thức hóa. như sau. Đầu tiên, vẽ bảng 2(n+2). Ở ô phía dưới bên trái viết số c và ở dòng trên cùng là các hệ số của đa thức P(x). Trong trường hợp này, ô phía trên bên trái được để trống.

	trong 0 = a 0	trong 1 = thứ 1 + a 1	trong 2 = sv 1 + MỘT 2		trong n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Số mà sau khi thực hiện thuật toán được ghi vào ô phía dưới bên phải là phần dư của phép chia đa thức P(x) cho x-c. Các số khác trong 0, trong 1, trong 2,... ở dòng cuối cùng là hệ số của thương.

Ví dụ: Chia đa thức P(x)= x 3 -2x+3 cho x-2.

Chúng ta nhận được x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Củng cố tài liệu đã học

Ví dụ 1: Phân tích đa thức P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 thành thừa số có hệ số nguyên.

Chúng tôi đang tìm kiếm các nghiệm nguyên trong số các ước của số hạng tự do -1: 1; -1. Hãy lập một bảng:

X = -1 – gốc

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Hãy kiểm tra 1/2.

					X=1/2 - gốc

Do đó, đa thức P(x) có thể được biểu diễn dưới dạng

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Ví dụ 2: Giải phương trình 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Vì tổng các hệ số của đa thức viết ở vế trái của phương trình bằng 0 nên một trong các nghiệm là 1. Hãy sử dụng sơ đồ Horner:

						X=1 - gốc

Chúng ta nhận được P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Chúng ta sẽ tìm nghiệm trong số các ước của số hạng tự do 2.

Chúng tôi phát hiện ra rằng không còn rễ nào nguyên vẹn nữa. Hãy kiểm tra 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - gốc

Trả lời: 1; -1/2.

Ví dụ 3: Giải phương trình 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình này trong số các ước của số hạng tự do 5: 1;-1;5;-5. x=1 là nghiệm của phương trình, vì tổng các hệ số bằng 0. Hãy sử dụng sơ đồ Horner:

Hãy biểu diễn phương trình dưới dạng tích của ba thừa số: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Giải phương trình bậc hai 5x 2 -7x+5=0, ta được D=49-100=-51, không có nghiệm nào.

Thẻ 1

1. Phân tích nhân tử của đa thức: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Giải phương trình: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Thẻ 2

1. Phân tích nhân tử của đa thức: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Giải phương trình: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Thẻ 3

1. Phân tích thành nhân tử: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Giải phương trình: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Thẻ 4

1. Phân tích thành: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Giải phương trình: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Tổng hợp

Kiểm tra kiến ​​thức khi giải theo cặp được thực hiện trên lớp bằng cách nhận biết phương pháp hành động và tên câu trả lời.

bài tập về nhà:

Giải các phương trình:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Văn học

1. N.Ya. Vilenkin và cộng sự, Đại số và phần đầu của giải tích, lớp 10 ( nghiên cứu chuyên sâu Toán học): Khai sáng, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Giải phương trình bậc cao: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Hệ thống số và ứng dụng của chúng.

Vân vân. có tính chất giáo dục phổ thông và có giá trị lớn học TOÀN BỘ khóa học toán cao hơn. Hôm nay chúng ta sẽ lặp lại các phương trình “trường học”, nhưng không chỉ các phương trình “trường học” - mà cả những phương trình được tìm thấy ở mọi nơi trong nhiệm vụ khác nhau vyshmat. Như thường lệ, câu chuyện sẽ được kể theo cách ứng dụng, tức là. Mình sẽ không tập trung vào các định nghĩa, phân loại mà sẽ chia sẻ chính xác với các bạn kinh nghiệm cá nhân giải pháp. Thông tin chủ yếu dành cho người mới bắt đầu, nhưng những người đọc nâng cao hơn cũng sẽ tìm thấy rất nhiều điều cho mình. khoảnh khắc thú vị. Và tất nhiên sẽ có vật liệu mới, vượt xa trường trung học.

Vậy phương trình…. Nhiều người nhớ đến từ này với một cái rùng mình. Những phương trình "tinh vi" có nghiệm có giá trị là gì... ...quên chúng đi! Bởi khi đó bạn sẽ gặp những “đại diện” vô hại nhất của loài này. Hay nhàm chán phương trình lượng giác với hàng tá phương pháp giải. Thành thật mà nói, bản thân tôi cũng không thực sự thích chúng... Không hoảng loạn! – thì chủ yếu là “bồ công anh” đang chờ bạn với một giải pháp rõ ràng trong 1-2 bước. Mặc dù “cây ngưu bàng” chắc chắn sẽ đeo bám nhưng bạn cần phải khách quan ở đây.

Thật kỳ lạ, trong toán học cao cấp, việc giải quyết các phương trình rất nguyên thủy như tuyến tính phương trình

Việc giải phương trình này có ý nghĩa gì? Điều này có nghĩa là tìm giá trị NHƯ VẬY của “x” (gốc) để biến nó thành sự bình đẳng thực sự. Hãy ném số “ba” sang bên phải với sự thay đổi dấu hiệu:

và thả số “hai” sang bên phải (hoặc, điều tương tự - nhân cả hai vế với) :

Để kiểm tra, hãy thay chiếc cúp giành được vào phương trình ban đầu:

Thu được đẳng thức đúng, có nghĩa là giá trị tìm được thực sự là nghiệm của phương trình này. Hoặc, như người ta cũng nói, thỏa mãn phương trình này.

Xin lưu ý rằng gốc cũng có thể được viết dưới dạng số thập phân:
Và cố gắng đừng dính vào phong cách xấu này! Tôi đã lặp lại lý do này nhiều lần, đặc biệt là ở bài học đầu tiên trên đại số cao hơn.

Nhân tiện, phương trình cũng có thể được giải “bằng tiếng Ả Rập”:

Và điều thú vị nhất - mục này hoàn toàn hợp pháp! Nhưng nếu bạn không phải là giáo viên thì tốt hơn hết là đừng làm điều này, vì sự độc đáo ở đây sẽ bị trừng phạt =)

Và bây giờ một chút về

phương pháp giải đồ họa

Phương trình có dạng và nghiệm của nó là Tọa độ "X" điểm giao nhau đồ thị hàm tuyến tính có lịch trình hàm tuyến tính (trục x):

Có vẻ như ví dụ này quá sơ đẳng nên không còn gì để phân tích ở đây, nhưng một sắc thái bất ngờ nữa có thể bị “ép” ra khỏi nó: hãy trình bày cùng một phương trình ở dạng và xây dựng đồ thị của các hàm:

Đồng thời, xin đừng nhầm lẫn giữa hai khái niệm: một phương trình là một phương trình, và chức năng– đây là một chức năng! Chức năng chỉ giúp đỡ tìm nghiệm nguyên của phương trình. Trong đó có thể có hai, ba, bốn hoặc thậm chí nhiều vô số. Ví dụ gần nhất theo nghĩa này là ví dụ nổi tiếng phương trình bậc hai, thuật toán giải đã nhận được một đoạn riêng những công thức học đường “hot”. Và đây không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên! Nếu bạn có thể giải một phương trình bậc hai và biết định lý Pythagore, thì người ta có thể nói, “một nửa số kiến ​​thức toán cao cấp đã có sẵn trong túi của bạn” =) Tất nhiên là phóng đại, nhưng không quá xa sự thật!

Vì vậy, chúng ta đừng lười biếng và giải một số phương trình bậc hai bằng cách sử dụng thuật toán chuẩn:

, có nghĩa là phương trình có hai điểm khác nhau có hiệu lực gốc:

Thật dễ dàng để xác minh rằng cả hai giá trị tìm thấy đều thực sự thỏa mãn phương trình này:

Phải làm gì nếu bạn đột nhiên quên thuật toán giải và không có phương tiện/sự trợ giúp nào trong tay? Tình huống này có thể phát sinh, ví dụ, trong một bài kiểm tra hoặc kỳ thi. Chúng tôi sử dụng phương pháp đồ họa! Và có hai cách: bạn có thể xây dựng từng điểm một parabol , từ đó tìm ra nơi nó giao nhau với trục (nếu nó vượt qua). Nhưng tốt hơn hết bạn nên làm điều gì đó xảo quyệt hơn: tưởng tượng phương trình ở dạng, vẽ đồ thị nhiều hơn chức năng đơn giản- Và tọa độ "X"điểm giao nhau của họ có thể nhìn thấy rõ ràng!


Nếu đường thẳng tiếp xúc với parabol thì phương trình có hai nghiệm (nhiều) trùng nhau. Nếu đường thẳng không cắt parabol thì không có nghiệm thực sự.

Tất nhiên, để làm được điều này, bạn cần có khả năng xây dựng đồ thị hàm số cơ bản, nhưng mặt khác, ngay cả một học sinh cũng có thể thực hiện được những kỹ năng này.

Và một lần nữa - một phương trình là một phương trình và các hàm số là các hàm chỉ giúp giải phương trình!

Và nhân tiện, ở đây, sẽ rất thích hợp để nhớ thêm một điều nữa: nếu tất cả các hệ số của một phương trình được nhân với một số khác 0 thì nghiệm của phương trình đó không thay đổi.

Vì vậy, ví dụ, phương trình có cùng nguồn gốc. Như một “bằng chứng” đơn giản, tôi sẽ bỏ hằng số ra khỏi ngoặc:
và tôi sẽ loại bỏ nó một cách dễ dàng (Tôi sẽ chia cả hai phần cho “trừ hai”):

NHƯNG! Nếu chúng ta xét hàm , thì bạn không thể loại bỏ hằng số ở đây! Chỉ được phép lấy số nhân ra khỏi ngoặc: .

Nhiều người đánh giá thấp phương pháp giải bằng đồ họa, coi đó là một thứ gì đó “không xứng đáng”, và một số thậm chí còn hoàn toàn quên mất khả năng này. Và điều này về cơ bản là sai, vì việc vẽ đồ thị đôi khi chỉ cứu vãn được tình hình!

Một ví dụ khác: giả sử bạn không nhớ gốc của phương trình lượng giác đơn giản nhất: . Công thức tổng quát có ở sách giáo khoa trường học, trong tất cả các sách tham khảo về toán tiểu học, nhưng chúng không có sẵn cho bạn. Tuy nhiên, việc giải phương trình là rất quan trọng (hay còn gọi là “hai”). Có một lối thoát! – Xây dựng đồ thị hàm số:


sau đó chúng ta bình tĩnh viết tọa độ “X” của các điểm giao nhau của chúng:

Có vô số nghiệm, và trong đại số, ký hiệu cô đọng của chúng được chấp nhận:
, Ở đâu ( – tập hợp số nguyên) .

Và, không cần “bỏ đi”, đôi lời về phương pháp đồ thị để giải bất phương trình một biến. Nguyên tắc là như nhau. Vì vậy, ví dụ, nghiệm của bất đẳng thức là bất kỳ chữ “x” nào, bởi vì Hình sin gần như nằm hoàn toàn dưới đường thẳng. Lời giải của bất đẳng thức là tập hợp các khoảng trong đó các phần của hình sin nằm đúng phía trên đường thẳng (trục x):

hoặc nói tóm lại:

Nhưng đây là nhiều giải pháp cho sự bất bình đẳng: trống, vì không có điểm nào của hình sin nằm phía trên đường thẳng.

Có điều gì bạn không hiểu? Khẩn trương nghiên cứu các bài học về bộ Và đồ thị hàm số!

Hãy khởi động nào:

Nhiệm vụ 1

Giải các phương trình lượng giác sau bằng đồ thị:

Đáp án ở cuối bài học

Như bạn có thể thấy, để học khoa học chính xác Không nhất thiết phải nhồi nhét công thức và sách tham khảo đâu nhé! Hơn nữa, đây là một cách tiếp cận thiếu sót cơ bản.

Như tôi đã trấn an bạn ngay từ đầu bài học, các phương trình lượng giác phức tạp trong một khóa học tiêu chuẩn của toán cao cấp cực kỳ hiếm khi được giải. Tất cả sự phức tạp, như một quy luật, đều kết thúc bằng các phương trình như , nghiệm của nó là hai nhóm nghiệm bắt nguồn từ các phương trình đơn giản nhất và . Đừng lo lắng quá nhiều về việc giải quyết vấn đề sau – hãy tìm trong sách hoặc tìm trên Internet =)

Phương pháp giải đồ họa cũng có thể giúp ích trong những trường hợp ít tầm thường hơn. Ví dụ, hãy xem xét phương trình “ragtag” sau:

Triển vọng cho lời giải của nó trông... chẳng giống gì cả, nhưng bạn chỉ cần tưởng tượng phương trình ở dạng, xây dựng đồ thị hàm số và mọi thứ sẽ trở nên đơn giản đến không ngờ. Có một hình vẽ ở giữa bài viết về hàm số vô cùng nhỏ (sẽ mở trong tab tiếp theo).

Như nhau phương pháp đồ họa bạn có thể phát hiện ra rằng phương trình đã có hai nghiệm và một trong số đó bằng 0, và cái còn lại, rõ ràng, phi lý và thuộc phân khúc . Cho gốc có thể được tính toán gần đúng, ví dụ: phương pháp tiếp tuyến. Nhân tiện, trong một số vấn đề, xảy ra trường hợp bạn không cần tìm gốc rễ mà hãy tìm hiểu chúng có tồn tại không?. Và ở đây, một bản vẽ cũng có thể hữu ích - nếu các đồ thị không giao nhau thì không có gốc.

Căn hữu tỉ của đa thức có hệ số nguyên.
Sơ đồ Horner

Và bây giờ tôi mời bạn hướng ánh nhìn về thời Trung cổ và cảm nhận bầu không khí độc đáo của đại số cổ điển. Để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi khuyên bạn nên đọc ít nhất một chút số phức.

Họ là những người tốt nhất. Đa thức.

Đối tượng chúng ta quan tâm sẽ là các đa thức phổ biến nhất có dạng với trọn hệ số Số tự nhiên gọi điện bậc đa thức, số – hệ số bậc cao nhất (hoặc chỉ là hệ số cao nhất), và hệ số là thành viên miễn phí.

Tôi sẽ biểu thị ngắn gọn đa thức này bằng .

Căn nguyên của một đa thức gọi nghiệm của phương trình

Tôi yêu logic sắt =))

Ví dụ, hãy đi đến phần đầu của bài viết:

Không có vấn đề gì khi tìm nghiệm của đa thức bậc 1 và bậc 2, nhưng khi bạn tăng dần, nhiệm vụ này ngày càng trở nên khó khăn hơn. Mặc dù mặt khác, mọi thứ thú vị hơn! Và đây chính xác là nội dung mà phần thứ hai của bài học sẽ đề cập đến.

Đầu tiên, theo đúng nghĩa đen là nửa màn hình lý thuyết:

1) Theo hệ quả định lý cơ bản của đại số, đa thức bậc có chính xác tổ hợp rễ. Một số rễ (hoặc thậm chí tất cả) có thể đặc biệt có hiệu lực. Hơn nữa, trong số các nghiệm thực có thể có (nhiều) nghiệm giống nhau (tối thiểu hai, tối đa miếng).

Nếu một số phức nào đó là nghiệm của một đa thức thì liên hợp số của anh ấy cũng nhất thiết phải là gốc đa thức đã cho (liên hợp rễ phức tạp trông giống như ).

Ví dụ đơn giản nhất là một phương trình bậc hai xuất hiện lần đầu tiên vào năm 8 (giống) lớp học và cuối cùng chúng tôi đã “hoàn thành” trong chủ đề số phức. Hãy để tôi nhắc bạn: một phương trình bậc hai có hai nghiệm thực khác nhau, hoặc có nhiều nghiệm khác nhau, hoặc nghiệm phức liên hợp.

2) Từ Định lý Bezout Theo đó, nếu một số là nghiệm của một phương trình thì đa thức tương ứng có thể được phân tích thành nhân tử:
, ở đâu là đa thức bậc .

Và một lần nữa, của chúng tôi ví dụ cũ: vì là nghiệm của phương trình nên . Sau đó, không khó để có được bản mở rộng “trường học” nổi tiếng.

Hệ quả tất yếu của định lý Bezout có ý nghĩa lớn giá trị thực tế: nếu ta biết nghiệm của phương trình bậc 3 thì ta có thể biểu diễn nó dưới dạng và từ phương trình bậc hai thật dễ dàng để nhận ra những gốc rễ còn lại. Nếu chúng ta biết nghiệm của phương trình bậc 4 thì có thể khai triển vế trái thành tích, v.v.

Và có hai câu hỏi ở đây:

Câu hỏi một. Làm thế nào để tìm thấy gốc này? Trước hết hãy xác định bản chất của nó: trong nhiều bài toán cao cấp cần tìm hợp lý, đặc biệt trọn nghiệm của đa thức, và về vấn đề này, chúng ta sẽ chủ yếu quan tâm đến chúng dưới đây.... ...chúng thật ngon, thật mềm mại đến nỗi bạn chỉ muốn tìm thấy chúng! =)

Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là phương pháp lựa chọn. Ví dụ, hãy xem xét phương trình . Điều bắt buộc ở đây là trong thời hạn tự do - nếu nó bằng 0, thì mọi thứ sẽ ổn - chúng ta lấy chữ “x” ra khỏi ngoặc và bản thân các rễ “rơi ra” bề mặt:

Nhưng số hạng tự do của chúng ta bằng “ba”, và do đó chúng ta bắt đầu thay thế vào phương trình số khác nhau, tự xưng là "gốc". Trước hết, sự thay thế gợi ý chính nó giá trị đơn. Hãy thay thế:

Đã nhận không đúng sự bình đẳng, do đó, đơn vị “không phù hợp”. Được rồi, hãy thay thế:

Đã nhận ĐÚNG VẬY bình đẳng! Đó là, giá trị là gốc của phương trình này.

Để tìm nghiệm của đa thức bậc 3, ta có phương pháp phân tích (được gọi là công thức Cardano), nhưng bây giờ chúng ta quan tâm đến một nhiệm vụ hơi khác một chút.

Vì - là nghiệm của đa thức nên đa thức có thể được biểu diễn dưới dạng và phát sinh Câu hỏi thứ hai: làm sao để tìm được “em trai”?

Những cân nhắc đại số đơn giản nhất cho thấy rằng để làm được điều này chúng ta cần chia cho . Làm thế nào để chia một đa thức cho một đa thức? Như nhau phương pháp học tậpđã chia sẻ số thường xuyên- "trong một cột"! Phương pháp này Tôi đã thảo luận chi tiết trong các ví dụ đầu tiên của bài học Giới hạn phức tạp, và bây giờ chúng ta sẽ xem xét một phương pháp khác, được gọi là Sơ đồ Horner.

Đầu tiên chúng ta viết đa thức “cao nhất” với mọi người , bao gồm các hệ số bằng 0:
, sau đó chúng ta nhập các hệ số này (theo đúng thứ tự) vào hàng trên cùng của bảng:

Chúng tôi viết gốc ở bên trái:

Tôi sẽ ngay lập tức đặt trước rằng kế hoạch của Horner cũng hoạt động nếu số “đỏ” Không là nghiệm của đa thức. Tuy nhiên, chúng ta đừng vội vàng.

Chúng tôi loại bỏ hệ số hàng đầu từ trên:

Quá trình lấp đầy các ô bên dưới phần nào gợi nhớ đến thêu, trong đó “trừ một” là một loại “kim” xuyên qua các bước tiếp theo. Chúng ta nhân số “mang theo” với (–1) và cộng số từ ô trên cùng vào kết quả:

Chúng tôi nhân giá trị tìm được với “kim đỏ” và cộng hệ số phương trình sau vào tích:

Và cuối cùng, giá trị kết quả lại được “xử lý” bằng “kim” và hệ số trên:

Số 0 ở ô cuối cùng cho chúng ta biết đa thức được chia thành không có dấu vết (như nó phải vậy), trong khi các hệ số mở rộng được “xóa” trực tiếp khỏi dòng cuối cùng của bảng:

Vì vậy, từ phương trình chúng ta chuyển sang phương trình tương đương và với hai gốc còn lại mọi thứ đều rõ ràng (V trong trường hợp này chúng ta có được rễ phức liên hợp).

Nhân tiện, phương trình cũng có thể được giải bằng đồ họa: "sét" và thấy rằng đồ thị đi qua trục x () tại điểm . Hoặc thủ thuật “xảo quyệt” tương tự - chúng ta viết lại phương trình dưới dạng, vẽ đồ họa sơ cấp và phát hiện tọa độ “X” của điểm giao nhau của chúng.

Nhân tiện, đồ thị của bất kỳ hàm đa thức bậc ba nào cắt trục ít nhất một lần, điều đó có nghĩa là phương trình tương ứng có ít nhất một có hiệu lực gốc. Sự thật này hợp lệ cho mọi hàm đa thức bậc lẻ.

Và ở đây tôi cũng muốn nói thêm điểm quan trọng liên quan đến thuật ngữ: đa thức Và hàm đa thức – nó không giống nhau! Nhưng trong thực tế, họ thường nói, chẳng hạn như về “đồ thị của đa thức”, tất nhiên, đó là sơ suất.

Tuy nhiên, hãy quay lại sơ đồ của Horner. Như tôi đã đề cập gần đây, lược đồ này hoạt động với các số khác, nhưng nếu số đó Không là nghiệm của phương trình, thì phép cộng (số dư) khác 0 sẽ xuất hiện trong công thức của chúng ta:

Hãy “chạy” giá trị “không thành công” theo sơ đồ của Horner. Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện khi sử dụng cùng một bảng - viết một “kim” mới ở bên trái, di chuyển hệ số dẫn đầu từ trên xuống (mũi tên xanh trái), và chúng ta bắt đầu:

Để kiểm tra, hãy mở dấu ngoặc đơn và trình bày điều khoản tương tự:
, ĐƯỢC RỒI.

Dễ dàng nhận thấy rằng số dư (“sáu”) chính xác là giá trị của đa thức tại . Và trên thực tế - nó như thế nào:
, và thậm chí còn đẹp hơn - như thế này:

Từ các tính toán trên, có thể dễ dàng hiểu rằng sơ đồ Horner không chỉ cho phép phân tích đa thức mà còn thực hiện phép chọn nghiệm “văn minh”. Tôi khuyên bạn nên củng cố độc lập thuật toán tính toán bằng một nhiệm vụ nhỏ:

Nhiệm vụ 2

Sử dụng sơ đồ Horner, hãy tìm toàn bộ gốc phương trình và nhân tử của đa thức tương ứng

Nói cách khác, ở đây bạn cần kiểm tra tuần tự các số 1, –1, 2, –2, ... – cho đến khi số dư bằng 0 được “rút” vào cột cuối cùng. Điều này có nghĩa là “kim” của đường thẳng này là nghiệm của đa thức

Thật thuận tiện khi sắp xếp các phép tính trong một bảng duy nhất. Lời giải và đáp án chi tiết ở cuối bài.

Phương pháp chọn rễ tốt cho tương đối trường hợp đơn giản, nhưng nếu hệ số và/hoặc bậc của đa thức lớn thì quá trình có thể mất nhiều thời gian hơn. Hoặc có thể có một số giá trị trong cùng danh sách 1, –1, 2, –2 và không có ích gì khi xem xét? Và hơn nữa, rễ cây có thể bị chia nhỏ, dẫn đến việc chọc ghẹo hoàn toàn phản khoa học.

May mắn thay, có hai định lý mạnh mẽ có thể làm giảm đáng kể việc tìm kiếm các giá trị “ứng viên” trong rễ hợp lý:

Định lý 1 Hãy xem xét không thể rút gọn được phân số , ở đâu . Nếu số là nghiệm của phương trình thì số hạng tự do được chia cho và hệ số dẫn đầu được chia cho.

Đặc biệt, nếu hệ số cao nhất là , thì nghiệm hữu tỉ này là một số nguyên:

Và chúng ta bắt đầu khai thác định lý chỉ với chi tiết thú vị này:

Hãy quay trở lại phương trình. Vì hệ số cao nhất của nó là , nên các nghiệm hữu tỷ giả định có thể là số nguyên hoàn toàn và số hạng tự do nhất thiết phải được chia thành các nghiệm này mà không có phần dư. Và “ba” chỉ có thể chia thành 1, –1, 3 và –3. Tức là chúng ta chỉ có 4 “ứng cử viên gốc”. Và, theo Định lý 1, khác số hữu tỉ không thể là nghiệm của phương trình này TRONG NGUYÊN TẮC.

Có thêm một chút “đối thủ” trong phương trình: số hạng tự do được chia thành 1, –1, 2, – 2, 4 và –4.

Xin lưu ý rằng các số 1, –1 là các số “chính quy” trong danh sách các gốc có thể có (một hệ quả hiển nhiên của định lý) và hầu hết sự lựa chọn tốt nhấtđể kiểm tra ưu tiên.

Hãy chuyển sang các ví dụ có ý nghĩa hơn:

Vấn đề 3

Giải pháp: vì hệ số cao nhất là , nên các nghiệm hữu tỷ giả định chỉ có thể là số nguyên và chúng nhất thiết phải là ước của số hạng tự do. “Trừ bốn mươi” được chia thành các cặp số sau:
– tổng cộng có 16 “ứng cử viên”.

Và ở đây một ý nghĩ hấp dẫn ngay lập tức xuất hiện: liệu có thể loại bỏ tất cả những gốc rễ tiêu cực hay tích cực? Trong một số trường hợp có thể! Tôi sẽ đưa ra hai dấu hiệu:

1) Nếu Tất cả Nếu các hệ số của đa thức không âm thì nó không thể có nghiệm dương. Thật không may, đây không phải là trường hợp của chúng ta (Bây giờ, nếu chúng ta được cho một phương trình - thì đúng vậy, khi thay thế bất kỳ giá trị nào của đa thức, giá trị của đa thức hoàn toàn dương, có nghĩa là mọi thứ đều số dương (và cả những điều phi lý nữa) không thể là nghiệm của phương trình.

2) Nếu các hệ số của lũy thừa lẻ không âm và đối với mọi lũy thừa chẵn (bao gồm cả thành viên miễn phí)âm thì đa thức không thể có rễ tiêu cực. Đây là trường hợp của chúng tôi! Nhìn kỹ hơn một chút, bạn có thể thấy rằng khi bạn thay thế bất kỳ âm “x” nào vào phương trình bên trái sẽ hoàn toàn âm, có nghĩa là nghiệm âm biến mất

Như vậy còn lại 8 số để nghiên cứu:

Chúng tôi “tính phí” chúng một cách tuần tự theo sơ đồ của Horner. Tôi hy vọng bạn đã thành thạo tính toán tinh thần:

May mắn đang chờ đợi chúng tôi khi thử nghiệm “hai”. Vì vậy, đây là nghiệm của phương trình đang được xem xét, và

Việc còn lại là nghiên cứu phương trình . Điều này có thể dễ dàng thực hiện thông qua phân biệt đối xử, nhưng tôi sẽ tiến hành kiểm tra mang tính biểu thị bằng cách sử dụng cùng một sơ đồ. Đầu tiên, chúng ta hãy lưu ý rằng số hạng tự do bằng 20, có nghĩa là Định lý 1 các số 8 và 40 bị loại khỏi danh sách các nghiệm có thể có, để lại giá trị cho việc nghiên cứu (một bị loại theo sơ đồ của Horner).

Chúng ta viết các hệ số của tam thức ở hàng trên cùng của bảng mới và Chúng tôi bắt đầu kiểm tra với cùng một “hai”. Tại sao? Và vì nghiệm có thể là bội số nên: - phương trình này có 10 rễ giống nhau. Nhưng chúng ta đừng bị phân tâm:

Và ở đây, tất nhiên, tôi đã nói dối một chút, biết rằng gốc rễ là hợp lý. Rốt cuộc, nếu chúng vô tỷ hoặc phức tạp, thì tôi sẽ phải đối mặt với việc kiểm tra không thành công tất cả các số còn lại. Vì vậy, trong thực tế, hãy được hướng dẫn bởi người phân biệt đối xử.

Trả lời: nghiệm hữu tỉ: 2, 4, 5

Chúng tôi đã may mắn trong vấn đề mà chúng tôi đã phân tích, bởi vì: a) chúng rơi ra ngay lập tức giá trị âm và b) chúng tôi đã tìm thấy gốc rất nhanh (và về mặt lý thuyết chúng tôi có thể kiểm tra toàn bộ danh sách).

Nhưng trên thực tế, tình hình còn tồi tệ hơn nhiều. Tôi mời bạn xem trò chơi thú vị gọi điện " Người anh hùng cuối cùng»:

Vấn đề 4

Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình

Giải pháp: Qua Định lý 1 tử số giả định rễ hợp lý phải thỏa mãn điều kiện (chúng ta đọc “mười hai chia cho el”), và mẫu số – theo điều kiện . Dựa trên điều này, chúng tôi nhận được hai danh sách:

"danh sách el":
và "liệt kê ừm": (may mắn thay, những con số ở đây là tự nhiên).

Bây giờ hãy lập danh sách tất cả các gốc có thể. Đầu tiên, chúng tôi chia “danh sách el” cho . Hoàn toàn rõ ràng rằng những con số tương tự sẽ thu được. Để thuận tiện, hãy đặt chúng vào một bảng:

Nhiều phân số đã được giảm bớt, dẫn đến các giá trị đã có trong “danh sách anh hùng”. Chúng tôi chỉ thêm “người mới”:

Tương tự, chúng ta chia cùng một “danh sách” cho:

và cuối cùng là trên

Như vậy, nhóm người tham gia trò chơi của chúng tôi đã hoàn thành:


Thật không may, đa thức trong bài toán này không thỏa mãn tiêu chí “dương” hoặc “âm” và do đó chúng ta không thể loại bỏ hàng trên cùng hoặc hàng dưới cùng. Bạn sẽ phải làm việc với tất cả các con số.

Bạn đang cảm thấy thế nào? Nào, hãy ngẩng đầu lên - có một định lý khác có thể được gọi theo nghĩa bóng là “định lý sát thủ”…. ..."ứng cử viên", tất nhiên rồi =)

Nhưng trước tiên bạn cần xem qua sơ đồ của Horner ít nhất một toàn bộ những con số. Theo truyền thống, hãy lấy một cái. Ở dòng trên cùng, chúng tôi viết các hệ số của đa thức và mọi thứ vẫn như bình thường:

Vì 4 rõ ràng không bằng 0 nên giá trị này không phải là nghiệm của đa thức đang xét. Nhưng cô ấy sẽ giúp chúng tôi rất nhiều.

Định lý 2 Nếu vì một số người nói chung giá trị của đa thức là khác 0: , thì nghiệm hữu tỉ của nó (nếu chúng tồn tại) thỏa mãn điều kiện

Trong trường hợp của chúng tôi và do đó tất cả các nghiệm có thể phải thỏa mãn điều kiện (hãy gọi nó là Điều kiện số 1). Bộ 4 này sẽ là “sát thủ” của nhiều “ứng cử viên”. Để minh họa, tôi sẽ xem xét một số kiểm tra:

Hãy kiểm tra "ứng cử viên". Để làm điều này, chúng ta hãy biểu diễn nó một cách giả tạo dưới dạng phân số, từ đó có thể thấy rõ rằng . Hãy tính chênh lệch kiểm tra: . Bốn được chia cho “trừ hai”: , có nghĩa là gốc có thể đã vượt qua bài kiểm tra.

Hãy kiểm tra giá trị. Ở đây sự khác biệt kiểm tra là: . Tất nhiên, và do đó “chủ đề” thứ hai cũng vẫn có trong danh sách.

Trở lại Tiến lên

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm công việc này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Loại bài học: Bài học nắm vững và củng cố kiến ​​thức sơ cấp.

Mục tiêu của bài học:

• Giới thiệu cho học sinh khái niệm nghiệm của một đa thức và dạy các em cách tìm chúng.
• Nâng cao kỹ năng áp dụng sơ đồ Horner để khai triển đa thức theo lũy thừa và chia đa thức cho nhị thức.
• Học cách tìm nghiệm nguyên của một phương trình bằng sơ đồ Horner.
• Phát triển tư duy trừu tượng.
• Nuôi dưỡng một nền văn hóa máy tính.

Phát triển các kết nối liên ngành.

Tiến độ bài học

1. Thời điểm tổ chức.

Thông báo chủ đề bài học, xây dựng mục tiêu.

2. Kiểm tra bài tập về nhà.

3. Nghiên cứu tài liệu mới. = Đặt Fn(x) - a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 một đa thức cho x bậc n, trong đó a 0 , a 1 ,...,an n là các số đã cho và a 0 không bằng 0. Nếu đa thức F n (x) chia với số dư cho thì thương (thương không đầy đủ) là đa thức Q n-1(x) bậc n-1, phần dư R là một số và đẳng thức đúng F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.Đa thức F n (x) chỉ chia hết cho nhị thức (x-a) trong trường hợp R=0.

Định lý Bezout: Phần dư R khi chia đa thức F n (x) cho nhị thức (x-a) bằng giá trị của đa thức F n (x) tại x=a, tức là. R=Pn(a).

Một chút lịch sử. Định lý Bezout, mặc dù có vẻ đơn giản và hiển nhiên, là một trong những định lý định lý cơ bản lý thuyết đa thức. Định lý này liên quan đến các tính chất đại số của đa thức (cho phép chúng ta làm việc với đa thức dưới dạng số nguyên) với tính chất chức năng(cho phép coi đa thức là hàm). Một cách để giải các phương trình bậc cao hơn là phân tích đa thức ở vế trái của phương trình. Việc tính các hệ số của đa thức và phần dư được viết dưới dạng bảng gọi là sơ đồ Horner.

Lược đồ Horner là một thuật toán chia đa thức, được viết cho trường hợp đặc biệt khi thương bằng nhị thức x–a.

Horner William George (1786 - 1837), nhà toán học người Anh. Nghiên cứu chính liên quan đến lý thuyết phương trình đại số. Phát triển một phương pháp giải gần đúng các phương trình ở bất kỳ mức độ nào. Năm 1819, ông đã giới thiệu một phương pháp quan trọng trong đại số là chia đa thức cho nhị thức x - a (sơ đồ Horner).

Phần kết luận công thức tổng quát cho sơ đồ của Horner.

Chia một đa thức f(x) có số dư cho một nhị thức (x-c) có nghĩa là tìm một đa thức q(x) và một số r sao cho f(x)=(x-c)q(x)+r

Hãy để chúng tôi viết sự bình đẳng này một cách chi tiết:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Chúng ta hãy đánh đồng các hệ số ở cùng mức độ:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> qn = fn + c q n-1.

Trình diễn mạch Horner bằng một ví dụ.

Nhiệm vụ 1. Sử dụng sơ đồ Horner, chúng ta chia đa thức f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 với phần dư cho nhị thức x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, trong đó g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 dư.

Khai triển một đa thức theo lũy thừa của một nhị thức.

Sử dụng sơ đồ Horner, chúng ta khai triển đa thức f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 theo lũy thừa của nhị thức (x+2).

Kết quả là, chúng ta sẽ thu được khai triển f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Sơ đồ Horner thường được sử dụng khi giải các phương trình bậc ba, bậc bốn và bậc cao hơn, khi thuận tiện để mở rộng đa thức thành nhị thức x-a. Con số Một gọi điện nghiệm của đa thức F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, nếu tại x=a giá trị của đa thức F n (x) bằng 0: F n (a)=0, tức là. nếu đa thức chia hết cho nhị thức x-a.

Ví dụ, số 2 là nghiệm của đa thức F 3 (x)=3x 3 -2x-20, vì F 3 (2)=0. nó có nghĩa là Rằng hệ số của đa thức này chứa thừa số x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Mọi đa thức F n(x) bậc N 1 không thể có thêm N rễ thật.

Bất kỳ nghiệm nguyên nào của một phương trình có hệ số nguyên đều là ước số của số hạng tự do của nó.

Nếu hệ số cao nhất của một phương trình là 1 thì tất cả các nghiệm hữu tỉ của phương trình, nếu chúng tồn tại, đều là số nguyên.

Tổng hợp tài liệu đã học.

Để củng cố kiến ​​thức mới, mời học sinh điền các số trong sách giáo khoa 2.41 và 2.42 (tr. 65).

(2 học sinh giải trên bảng, các em còn lại quyết định, kiểm tra bài tập vào vở và đáp án trên bảng).

Tóm tắt.

Khi đã hiểu rõ cấu trúc và nguyên lý hoạt động của sơ đồ Horner, nó còn có thể được sử dụng trong các bài học tin học, khi xét bài toán chuyển số nguyên từ hệ thập phân sang hệ nhị phân và ngược lại. Cơ sở để chuyển từ hệ số này sang hệ số khác là định lý tổng quát sau

Định lý.Để chuyển đổi một số nguyên Ap từ P hệ thống số -ary sang hệ thống số cơ sở d cần thiết Ap chia tuần tự có số dư d, được viết tương tự P-ary hệ thống cho đến khi thương số kết quả bằng 0. Phần dư của phép chia sẽ là d-chữ số Quảng cáo, bắt đầu từ hạng trẻ nhất đến hạng cao cấp nhất. Mọi hành động phải được thực hiện trong P-hệ số thứ tự. Đối với một người, quy tắc này chỉ thuận tiện khi P= 10, tức là khi dịch từ hệ thập phân. Còn đối với máy tính thì ngược lại, việc thực hiện các phép tính trong hệ nhị phân. Do đó, để chuyển đổi “2 thành 10”, phép chia tuần tự cho 10 trong hệ nhị phân được sử dụng và “10 thành 2” là phép cộng lũy ​​thừa của 10. Để tối ưu hóa các phép tính của quy trình “10 trong 2”, máy tính sử dụng sơ đồ tính toán tiết kiệm của Horner.

Bài tập về nhà. Nó được đề xuất để hoàn thành hai nhiệm vụ.

thứ nhất. Sử dụng sơ đồ Horner, chia đa thức f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 cho nhị thức (x-3).

thứ 2. Tìm các nghiệm nguyên của đa thức f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (coi rằng bất kỳ nghiệm nguyên nào của một phương trình có hệ số nguyên đều là ước số của số hạng tự do của nó)

Văn học.

1. Kurosh A.G. “Khóa học đại số cao hơn.”
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. và các bài khác. Lớp 10 “Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học.”
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Trang trình bày 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - Nhà toán học người Anh. Sinh ra ở Bristol. Anh ấy học và làm việc ở đó, sau đó là ở các trường học ở Bath. Các công việc cơ bản về đại số. Năm 1819 đã công bố một phương pháp tính gần đúng các nghiệm thực của một đa thức, ngày nay được gọi là phương pháp Ruffini-Horner (phương pháp này đã được người Trung Quốc biết đến từ thế kỷ 13). Sơ đồ chia một đa thức cho nhị thức x-a được đặt tên là. sau Horner.

Trang trình bày 4

SƠ ĐỒ HORNER

Phương pháp chia đa thức thứ n bậc của nhị thức tuyến tính - a, dựa trên thực tế là các hệ số của thương không đầy đủ và phần dư có liên quan đến các hệ số của đa thức chia hết và với các công thức:

Trang trình bày 5

Các tính toán theo sơ đồ Horner được trình bày trong bảng:

Ví dụ 1. Chia Phần thương là x3-x2+3x - 13 và số dư là 42=f(-3).

Trang trình bày 6

Ưu điểm chính của phương pháp này là tính nhỏ gọn của việc ghi và khả năng phép chia nhanhđa thức thành nhị thức. Trên thực tế, sơ đồ của Horner là một dạng khác để ghi lại phương pháp nhóm, mặc dù, không giống như phương pháp sau, nó hoàn toàn không trực quan. Câu trả lời (nhân tố hóa) tự nó được lấy ở đây và chúng tôi không thấy quá trình lấy nó. Chúng tôi sẽ không tham gia vào việc chứng minh chặt chẽ sơ đồ của Horner mà chỉ trình bày cách thức hoạt động của nó.

Trang trình bày 7

Ví dụ 2.

Hãy chứng minh rằng đa thức P(x)=x4-6x3+7x-392 chia hết cho x-7 và tìm thương của phép chia. Giải pháp. Sử dụng sơ đồ Horner, chúng ta tìm được P(7): Từ đây chúng ta thu được P(7)=0, tức là. phần còn lại khi chia đa thức cho x-7 bằng 0 và do đó, đa thức P(x) là bội số của (x-7). thương của P(x) chia cho (x-7), do đó P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Trang trình bày 8

Phân tích đa thức x3 – 5x2 – 2x + 16 thành nhân tử.

Đa thức này có hệ số nguyên. Nếu một số nguyên là nghiệm của đa thức này thì nó là ước số của số 16. Do đó, nếu một đa thức đã cho có nghiệm nguyên thì đây chỉ có thể là các số ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Bằng cách xác minh trực tiếp, chúng ta tin rằng số 2 là nghiệm của đa thức này, nghĩa là x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), trong đó Q(x) là đa thức bậc hai

Trang trình bày 9

Các số kết quả 1, −3, −8 là các hệ số của đa thức, có được bằng cách chia đa thức ban đầu cho x – 2. Điều này có nghĩa là kết quả của phép chia là: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Bậc của đa thức thu được sau phép chia luôn nhỏ hơn bậc của đa thức ban đầu 1. Vậy: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Sơ đồ Horner - phương pháp chia đa thức

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

trên nhị thức $x-a$. Bạn sẽ phải làm việc với một bảng, hàng đầu tiên chứa các hệ số của một đa thức nhất định. Phần tử đầu tiên của dòng thứ hai sẽ là số $a$, được lấy từ nhị thức $x-a$:

Sau khi chia đa thức bậc n cho nhị thức $x-a$, chúng ta thu được một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc ban đầu một đơn vị, tức là. bằng $n-1$. Việc áp dụng trực tiếp sơ đồ Horner được thể hiện dễ dàng nhất bằng các ví dụ.

Ví dụ số 1

Chia $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.

Chúng ta hãy lập một bảng gồm hai dòng: ở dòng đầu tiên chúng ta viết các hệ số của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$, sắp xếp theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến $x$. Lưu ý rằng đa thức này không chứa $x$ bậc một, tức là hệ số của $x$ lũy thừa bậc một là 0. Vì chúng ta đang chia cho $x-1$, nên chúng ta viết một ở dòng thứ hai:

Hãy bắt đầu điền vào các ô trống ở dòng thứ hai. Trong ô thứ hai của dòng thứ hai, chúng ta viết số $5$, chỉ cần di chuyển nó từ ô tương ứng của dòng đầu tiên:

Hãy điền vào ô tiếp theo theo nguyên tắc này: $1\cdot 5+5=10$:

Hãy điền vào ô thứ tư của dòng thứ hai theo cách tương tự: $1\cdot 10+1=11$:

Đối với ô thứ năm, chúng ta nhận được: $1\cdot 11+0=11$:

Và cuối cùng, đối với ô cuối cùng, thứ sáu, chúng ta có: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Vấn đề đã được giải quyết, việc còn lại là viết ra câu trả lời:

Như bạn có thể thấy, các số nằm ở dòng thứ hai (từ 1 đến 0) là hệ số của đa thức thu được sau khi chia $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$. Đương nhiên, vì bậc của đa thức ban đầu $5x^4+5x^3+x^2-11$ bằng 4, nên bậc của đa thức thu được $5x^3+10x^2+11x+11$ là bớt đi một, tức là . bằng ba. Số cuối cùng ở dòng thứ hai (không) có nghĩa là số dư khi chia đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$. Trong trường hợp của chúng tôi, phần còn lại bằng 0, tức là các đa thức đều chia hết. Kết quả này cũng có thể được mô tả như sau: giá trị của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x=1$ bằng 0.

Kết luận cũng có thể được đưa ra dưới dạng này: vì giá trị của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ tại $x=1$ bằng 0, nên đơn vị là nghiệm của đa thức $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Ví dụ số 2

Chia đa thức $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x+3$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.

Chúng ta hãy quy định ngay rằng biểu thức $x+3$ phải được biểu diễn dưới dạng $x-(-3)$. Kế hoạch của Horner sẽ liên quan đến chính xác $-3$. Vì bậc của đa thức ban đầu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ bằng 4, nên nhờ phép chia, chúng ta thu được đa thức bậc ba:

Kết quả có nghĩa là

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

Trong trường hợp này, số dư khi chia $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x+3$ là $4$. Hoặc, điều tương tự là giá trị của đa thức $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x=-3$ bằng $4$. Nhân tiện, bạn có thể dễ dàng kiểm tra lại điều này bằng cách thay thế trực tiếp $x=-3$ vào đa thức đã cho:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Những thứ kia. Sơ đồ Horner có thể được sử dụng nếu cần tìm giá trị của đa thức tại đặt giá trị biến. Nếu mục tiêu của chúng ta là tìm tất cả các nghiệm của một đa thức, thì sơ đồ Horner có thể được áp dụng nhiều lần liên tiếp cho đến khi chúng ta sử dụng hết tất cả các nghiệm, như đã thảo luận trong ví dụ số 3.

Ví dụ số 3

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.

Các hệ số của đa thức đang xét là số nguyên và hệ số đứng trước bằng cấp cao biến (tức là trước $x^6$) bằng một. Trong trường hợp này, các nghiệm nguyên của đa thức phải được tìm trong số các ước số của số hạng tự do, tức là trong số các ước của số 45. Đối với một đa thức cho trước, các nghiệm đó có thể là các số $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ và $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Ví dụ: hãy kiểm tra số $1$:

Như bạn có thể thấy, giá trị của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ với $x=1$ bằng $192$ (số cuối cùng ở dòng thứ hai), chứ không phải $0 $, do đó sự thống nhất không phải là nghiệm của đa thức này. Vì việc kiểm tra một cái không thành công, hãy kiểm tra giá trị $x=-1$. Bảng mới Vì mục đích này, chúng tôi sẽ không biên dịch mà sẽ tiếp tục sử dụng bảng. Số 1, thêm một dòng mới (thứ ba) vào đó. Dòng thứ hai, trong đó giá trị của $1$ đã được chọn, sẽ được đánh dấu màu đỏ và sẽ không được sử dụng trong các cuộc thảo luận tiếp theo.

Tất nhiên, bạn có thể chỉ cần viết lại bảng một lần nữa, nhưng việc điền nó theo cách thủ công sẽ mất rất nhiều thời gian. Hơn nữa, có thể có một số số mà việc xác minh sẽ không thành công và rất khó để viết bảng mới mỗi lần. Khi tính toán “trên giấy”, các đường màu đỏ có thể bị gạch bỏ một cách đơn giản.

Vì vậy, giá trị của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ tại $x=-1$ bằng 0, tức là. số $-1$ là nghiệm của đa thức này. Sau khi chia đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ cho nhị thức $x-(-1)=x+1$ chúng ta thu được đa thức $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, các hệ số được lấy từ hàng thứ ba của bảng. Số 2 (xem ví dụ số 1). Kết quả tính toán cũng có thể được trình bày dưới dạng này:

\begin(phương trình)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(phương trình)

Hãy tiếp tục tìm kiếm các nghiệm nguyên. Bây giờ chúng ta cần tìm nghiệm của đa thức $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Một lần nữa, các nghiệm nguyên của đa thức này được tìm kiếm trong số các ước của số hạng tự do của nó, các số $45$. Hãy thử kiểm tra lại số $-1$. Chúng tôi sẽ không tạo bảng mới mà sẽ tiếp tục sử dụng bảng trước đó. Số 2, tức là Hãy thêm một dòng nữa vào nó:

Vì vậy, số $-1$ là nghiệm của đa thức $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Kết quả này có thể được viết như thế này:

\begin(phương trình)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(phương trình)

Xét đẳng thức (2), đẳng thức (1) có thể viết lại dưới dạng sau:

\begin(phương trình)\begin(căn chỉnh) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(căn chỉnh)\end(phương trình)

Bây giờ chúng ta cần tìm nghiệm của đa thức $x^4-22x^2+24x+45$ - một cách tự nhiên, trong số các ước của số hạng tự do của nó (các số $45$). Hãy kiểm tra lại số $-1$:

Số $-1$ là nghiệm của đa thức $x^4-22x^2+24x+45$. Kết quả này có thể được viết như thế này:

\begin(phương trình)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(equation)

Xét đẳng thức (4), ta viết lại đẳng thức (3) dưới dạng sau:

\begin(phương trình)\begin(căn chỉnh) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(căn chỉnh)\end(phương trình)

Bây giờ chúng ta đang tìm nghiệm của đa thức $x^3-x^2-21x+45$. Hãy kiểm tra lại số $-1$:

Việc kiểm tra kết thúc trong thất bại. Hãy đánh dấu dòng thứ sáu màu đỏ và thử kiểm tra một số khác, ví dụ: số $3$:

Phần còn lại bằng 0, do đó số $3$ là nghiệm của đa thức đang xét. Vì vậy, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Bây giờ đẳng thức (5) có thể được viết lại như sau.