phương trình lượng giác. Là một phần của bài kiểm tra toán ở phần đầu tiên, có một bài tập liên quan đến việc giải phương trình - bài này phương trình đơn giảnđược giải quyết trong vài phút, nhiều loại có thể được giải quyết bằng miệng. Bao gồm: phương trình tuyến tính, bậc hai, hữu tỉ, vô tỷ, hàm mũ, logarit và lượng giác.
Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các phương trình lượng giác. Lời giải của họ khác cả về khối lượng tính toán lẫn độ phức tạp so với các bài toán khác trong phần này. Đừng lo lắng, từ “khó khăn” ám chỉ độ khó tương đối của chúng so với các nhiệm vụ khác.
Ngoài việc tự tìm nghiệm của phương trình, cần xác định nghiệm âm lớn nhất hoặc nghiệm dương nhỏ nhất. Tất nhiên, khả năng bạn sẽ nhận được một phương trình lượng giác trong bài kiểm tra là rất nhỏ.
Có ít hơn 7% trong số họ tham gia phần này của Kỳ thi Thống nhất. Nhưng điều này không có nghĩa là nên bỏ qua chúng. Trong Phần C, bạn cũng cần giải phương trình lượng giác, vì vậy việc hiểu rõ về kỹ thuật giải và hiểu rõ lý thuyết là điều cần thiết.
Hiểu được phần lượng giác của toán học sẽ quyết định rất lớn đến thành công của bạn trong việc giải nhiều bài toán. Tôi nhắc bạn rằng câu trả lời là số nguyên hoặc số hữu hạn số thập phân. Sau khi bạn có được nghiệm của phương trình, HÃY CHẮC CHẮN kiểm tra. Sẽ không mất nhiều thời gian và nó sẽ giúp bạn tránh mắc sai lầm.
Chúng ta cũng sẽ xem xét các phương trình khác trong tương lai, đừng bỏ lỡ! Chúng ta hãy nhớ lại các công thức nghiệm của phương trình lượng giác, bạn cần biết chúng:
Kiến thức về những giá trị này là cần thiết; đây là “bảng chữ cái”, nếu không có nó thì sẽ không thể giải quyết được nhiều nhiệm vụ. Tuyệt vời, nếu trí nhớ của bạn tốt, bạn sẽ dễ dàng học và ghi nhớ những giá trị này. Phải làm gì nếu bạn không thể làm được điều này, trong đầu bạn đang bối rối nhưng bạn lại bối rối khi làm bài thi. Sẽ thật xấu hổ nếu bị mất một điểm vì bạn đã viết sai giá trị trong phép tính của mình.
Những giá trị này rất đơn giản, nó cũng được đưa ra trong lý thuyết mà bạn nhận được trong lá thư thứ hai sau khi đăng ký nhận bản tin. Nếu bạn chưa đăng ký, hãy làm như vậy! Trong tương lai, chúng tôi cũng sẽ xem xét cách xác định các giá trị này bằng cách vòng tròn lượng giác. Không phải tự nhiên mà nó được gọi là “Trái tim vàng của lượng giác”.
Hãy để tôi giải thích ngay, để tránh nhầm lẫn, rằng trong các phương trình được xem xét dưới đây, các định nghĩa về arcsine, arccosine, arctangent sử dụng góc được đưa ra X cho các phương trình tương ứng: cosx=a, sinx=a, tgx=a, trong đó X cũng có thể là một biểu thức Trong các ví dụ bên dưới, đối số của chúng ta được chỉ định chính xác bằng một biểu thức.
Vì vậy, hãy xem xét các nhiệm vụ sau:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Viết ra số lớn nhất trong câu trả lời của bạn. gốc âm.
Theo quyết định phương trình cos x = a là hai nghiệm:
Định nghĩa: Cho số a trong mô đun không vượt quá một. Cung cosin của một số là góc x nằm trong khoảng từ 0 đến Pi, cosin của x bằng a.
Có nghĩa
Hãy bày tỏ x:
Hãy tìm nghiệm âm lớn nhất. Làm thế nào để làm điều này? Hãy thay thế ý nghĩa khác nhau n vào các nghiệm kết quả, tính toán và chọn số âm lớn nhất.
Chúng tôi tính toán:
Với n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5
Với n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5
Với n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5
Với n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5
Với n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5
Chúng tôi thấy rằng nghiệm âm lớn nhất là –1,5
Đáp án: –1,5
Hãy tự mình quyết định:
Giải phương trình:
Theo quyết định phương trình tội lỗi x = a là hai nghiệm:
Hoặc (nó kết hợp cả hai điều trên):
Định nghĩa: Cho số a trong mô đun không vượt quá một. Cung sin của một số là góc x nằm trong khoảng từ -90° đến 90°, sin của nó bằng a.
Có nghĩa
Biểu thị x (nhân cả hai vế của phương trình với 4 rồi chia cho Pi):
Hãy tìm nghiệm dương nhỏ nhất. Ở đây có thể thấy ngay rằng khi thay thế giá trị âm n chúng ta nhận được nghiệm âm. Do đó ta sẽ thay n = 0,1,2...
Khi n = 0 x = (- 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
Khi n = 1 x = (- 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
Với n = 2 x = (- 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12
Hãy kiểm tra với n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2
Vậy căn dương nhỏ nhất là 4.
Trả lời: 4
Hãy tự mình quyết định:
Giải phương trình:
Viết căn dương nhỏ nhất trong câu trả lời của bạn.
Khá thường xuyên trong các nhiệm vụ tăng độ phức tạp gặp phương trình lượng giác chứa mô đun. Hầu hết chúng đều yêu cầu cách tiếp cận giải pháp theo kinh nghiệm, điều này hoàn toàn xa lạ với hầu hết học sinh.
Các nhiệm vụ sau đây nhằm giới thiệu cho bạn những điều cơ bản nhất kỹ thuật đặc trưng giải các phương trình lượng giác chứa mô đun.
Bài tập 1. Tìm hiệu (tính bằng độ) của số dương nhỏ nhất và số lớn nhất rễ tiêu cực phương trình 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Giải pháp.
Hãy mở rộng mô-đun:
1) Nếu cos x ≥ 0 thì phương trình ban đầu sẽ có dạng 1 + 2sin x · cos x = 0.
Hãy sử dụng công thức sin góc đôi, chúng tôi nhận được:
1 + sin 2x = 0; tội lỗi 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Vì cos x ≥ 0 nên x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Nếu cos x< 0, то phương trình đã cho có dạng 1 – 2sin x cos x = 0. Áp dụng công thức sin góc đôi, ta có:
1 – sin 2x = 0; tội lỗi 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Vì cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Căn âm lớn nhất của phương trình: -π/4; nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: 5π/4.
Hiệu số yêu cầu: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Trả lời: 270°.
Bài 2. Tìm (theo độ) nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình |tg x| + 1/cos x = tan x.
Giải pháp.
Hãy mở rộng mô-đun:
1) Nếu tan x ≥ 0 thì
tan x + 1/cos x = tan x;
Phương trình kết quả không có gốc.
2) Nếu tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x)/cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 và cos x ≠ 0.
Sử dụng Hình 1 và điều kiện tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Căn dương nhỏ nhất của phương trình là 5π/6. Hãy chuyển đổi giá trị này thành độ:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Trả lời: 150°.
Bài 3. Tìm số lượng rễ khác nhau phương trình sin |2x| = cos 2x trên khoảng [-π/2; π/2].
Giải pháp.
Hãy viết phương trình dưới dạng sin|2x| – cos 2x = 0 và xét hàm số y = sin |2x| – cos2x. Vì hàm số chẵn nên chúng ta sẽ tìm các số 0 của nó khi x ≥ 0.
tội lỗi 2x – cos 2x = 0; Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2x ≠ 0, ta được:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Sử dụng tính chẵn lẻ của hàm, chúng ta thấy rằng nghiệm của phương trình ban đầu là các số có dạng
± (π/8 + πn/2), trong đó n € Z.
Khoảng [-π/2; π/2] thuộc các số: -π/8; π/8.
Vì vậy, hai nghiệm của phương trình thuộc khoảng đã cho.
Trả lời: 2.
Phương trình này cũng có thể được giải bằng cách mở mô-đun.
Bài 4. Tìm số nghiệm của phương trình sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x trên đoạn [-π; 2π].
Giải pháp.
1) Xét trường hợp 2cos x – 1 > 0, tức là cos x > 1/2 thì phương trình có dạng:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sinx – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 hoặc 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 hoặc sin x = 1/2.
Sử dụng Hình 2 và điều kiện cos x > 1/2, chúng ta tìm được nghiệm của phương trình:
x = π/6 + 2πn hoặc x = 2πn, n € Z.
2) Xét trường hợp 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Sử dụng Hình 2 và điều kiện cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Kết hợp hai trường hợp, chúng tôi nhận được:
x = π/6 + 2πn hoặc x = πn.
3) Khoảng [-π; 2π] thuộc nghiệm: π/6; -π; 0; π; 2π.
Vì vậy, khoảng đã cho chứa năm nghiệm của phương trình.
Trả lời: 5.
Bài 5. Tìm số nghiệm của phương trình (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 trên đoạn [-π; 2π].
Giải pháp.
1) Nếu sin x ≥ 0 thì phương trình ban đầu có dạng (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Sau khi loại bỏ số nhân chung sin x bên ngoài dấu ngoặc, chúng ta nhận được:
sin x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; vì (x – 0.7) 2 + 1 > 0 với mọi x thực thì sinx = 0, tức là x = πn, n € Z.
2) Nếu tội x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 hoặc (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Vì sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем căn bậc hai từ bên trái và bên phải của phương trình cuối cùng, chúng ta nhận được:
x – 0,7 = 1 hoặc x – 0,7 = -1, nghĩa là x = 1,7 hoặc x = -0,3.
Xét điều kiện sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, nghĩa là chỉ có số -0,3 là nghiệm của phương trình ban đầu.
3) Khoảng [-π; 2π] thuộc các số: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Như vậy, phương trình có năm nghiệm trên một khoảng cho trước.
Trả lời: 5.
Bạn có thể chuẩn bị cho bài học hoặc bài kiểm tra bằng nhiều cách khác nhau. tài nguyên giáo dục, có trên Internet. Hiện tại có ai 
một người chỉ cần sử dụng những cái mới công nghệ thông tin, bởi vì việc sử dụng đúng và quan trọng nhất là phù hợp sẽ giúp tăng động lực học tập môn học, tăng hứng thú và giúp tiếp thu tốt hơn các tài liệu cần thiết. Nhưng đừng quên rằng máy tính không dạy bạn suy nghĩ; thông tin nhận được phải được xử lý, hiểu và ghi nhớ. Vì vậy, bạn có thể chuyển sang sử dụng của chúng tôi gia sư trực tuyến, điều này sẽ giúp bạn giải quyết các vấn đề mà bạn quan tâm.
Vẫn còn thắc mắc? Bạn không biết cách giải phương trình lượng giác?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!
blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.
Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi yêu cầu trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn e-mail vân vân.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục xét xử, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.