Trong bài viết này tôi sẽ nói về thuật toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chức năng, điểm tối thiểu và tối đa.
Từ lý thuyết nó chắc chắn sẽ hữu ích cho chúng ta bảng đạo hàm Và quy tắc phân biệt. Tất cả đều có trên đĩa này:
Thuật toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Sẽ thuận tiện hơn cho tôi khi giải thích trong ví dụ cụ thể. Coi như:
Ví dụ: Tìm thấy giá trị cao nhất hàm y=x^5+20x^3–65x trên khoảng [–4;0].
Bước 1. Chúng tôi lấy đạo hàm.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Bước 2. Tìm điểm cực trị.
Điểm cực trị chúng ta gọi những điểm mà tại đó hàm đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Để tìm điểm cực trị, bạn cần đánh đồng đạo hàm của hàm số bằng 0 (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Bây giờ hãy giải quyết vấn đề này phương trình hai phương trình và nghiệm tìm được là điểm cực trị của chúng ta.
Tôi giải các phương trình như vậy bằng cách thay thế t = x^2, sau đó 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Hãy giảm phương trình đi 5, chúng ta nhận được: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Chúng tôi thực hiện thay đổi ngược lại x^2 = t:
X_(1 và 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 và 4) = ±sqrt(-13) (chúng tôi loại trừ, không thể có số âm, tất nhiên trừ khi chúng ta đang nói về số phức)
Tổng: x_(1) = 1 và x_(2) = -1 - đây là những điểm cực trị của chúng ta.
Bước 3. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Phương pháp thay thế.
Trong điều kiện, chúng ta đã có đoạn [b][–4;0]. Điểm x=1 không được bao gồm trong đoạn này. Vì vậy chúng tôi không xem xét nó. Nhưng ngoài điểm x=-1, chúng ta cũng cần xem xét ranh giới bên trái và bên phải của đoạn thẳng, tức là các điểm -4 và 0. Để làm điều này, chúng ta thay thế cả ba điểm này vào hàm ban đầu. Lưu ý rằng cái ban đầu là cái đã cho trong điều kiện (y=x^5+20x^3–65x), một số người bắt đầu thay thế nó thành đạo hàm...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Điều này có nghĩa là giá trị lớn nhất của hàm là [b]44 và nó đạt được tại điểm [b]-1, gọi là điểm cực đại của hàm trên đoạn [-4; 0].
Chúng tôi đã quyết định và nhận được câu trả lời, chúng tôi rất tuyệt, bạn có thể thư giãn. Nhưng dừng lại! Bạn có nghĩ rằng việc tính y(-4) bằng cách nào đó quá khó không? Trong điều kiện thời gian có hạn, tốt hơn nên sử dụng phương pháp khác, tôi gọi đó là:
Thông qua các khoảng thời gian ký hiệu không đổi.
Các khoảng này được tìm thấy cho đạo hàm của hàm, nghĩa là cho phương trình hai phương trình của chúng ta.
tôi làm nó như sau. Tôi vẽ một đoạn có hướng. Tôi đặt các dấu chấm: -4, -1, 0, 1. Mặc dù thực tế là 1 không được bao gồm trong đoạn đã cho, vẫn cần lưu ý để xác định chính xác khoảng hằng số của dấu. Chúng ta hãy lấy một số nào đó lớn hơn 1 nhiều lần, chẳng hạn như 100, và nhẩm thay nó vào phương trình hai phương trình 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Ngay cả khi không đếm bất cứ thứ gì, điều hiển nhiên là tại điểm 100 hàm có dấu cộng. Điều này có nghĩa là trong các khoảng từ 1 đến 100, nó có dấu cộng. Khi đi qua 1 (ta đi từ phải sang trái) hàm sẽ đổi dấu thành dấu trừ. Khi đi qua điểm 0, hàm số sẽ giữ nguyên dấu vì đây chỉ là biên của đoạn chứ không phải nghiệm của phương trình. Khi đi qua -1 hàm sẽ lại đổi dấu thành dấu cộng.
Từ lý thuyết, chúng ta biết rằng đạo hàm của hàm số nằm ở đâu (và chúng ta đã vẽ ra điều này một cách chính xác cho nó) đổi dấu từ cộng sang trừ (điểm -1 trong trường hợp của chúng tôi) chức năng đạt cực đại địa phương của nó (y(-1)=44, như đã tính trước đó) TRÊN phân khúc này(điều này về mặt logic rất dễ hiểu, hàm số ngừng tăng vì nó đạt cực đại và bắt đầu giảm).
Theo đó, trong đó đạo hàm của hàm đổi dấu từ trừ sang cộng, đạt được cực tiểu địa phương của hàm. Vâng, vâng, chúng tôi cũng tìm thấy điểm tối thiểu cục bộ là 1 và y(1) là giá trị tối thiểu hoạt động trên một đoạn, giả sử từ -1 đến +∞. Xin lưu ý rằng đây chỉ là MỨC TỐI THIỂU ĐỊA PHƯƠNG, tức là mức tối thiểu tại một phân khúc nhất định. Vì mức tối thiểu thực (toàn bộ) của hàm sẽ đạt đến đâu đó ở đó, tại -∞.
Theo tôi, phương pháp đầu tiên đơn giản hơn về mặt lý thuyết và phương pháp thứ hai đơn giản hơn về mặt quan điểm các phép tính số học, nhưng phức tạp hơn nhiều về mặt lý thuyết. Rốt cuộc, đôi khi có những trường hợp hàm không đổi dấu khi đi qua nghiệm của phương trình và nói chung, bạn có thể bị nhầm lẫn với các cực đại và cực tiểu cục bộ, toàn cục này, mặc dù dù sao thì bạn cũng sẽ phải nắm vững điều này nếu bạn dự định đăng ký vào đại học kỹ thuật(tại sao bạn lại lấy nó? hồ sơ Kỳ thi Thống nhất và giải quyết vấn đề này). Nhưng thực hành và chỉ thực hành mới dạy bạn cách giải quyết những vấn đề như vậy một lần và mãi mãi. Và bạn có thể đào tạo trên trang web của chúng tôi. Đây .
Nếu bạn có thắc mắc hoặc điều gì chưa rõ, hãy nhớ hỏi. Tôi sẽ vui lòng trả lời bạn và thực hiện các thay đổi và bổ sung cho bài viết. Hãy nhớ rằng chúng ta đang cùng nhau xây dựng trang web này!
Nghiên cứu về một đối tượng như vậy phân tích toán học như một chức năng có tuyệt vời nghĩa và trong các lĩnh vực khoa học khác. Ví dụ, trong phân tích kinh tế hành vi luôn cần được đánh giá chức năng lợi nhuận, cụ thể là để xác định mức lớn nhất của nó nghĩa và phát triển chiến lược để đạt được nó.
Hướng dẫn
Việc nghiên cứu bất kỳ hành vi nào cũng phải luôn bắt đầu bằng việc tìm kiếm phạm vi định nghĩa. Thông thường theo điều kiện nhiệm vụ cụ thể cần xác định giá trị lớn nhất nghĩa chức năng trên toàn bộ khu vực này hoặc trên một khoảng cụ thể của nó với đường viền mở hoặc đóng.
Dựa vào , lớn nhất là nghĩa chức năng y(x0), trong đó với bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa, bất đẳng thức y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) đúng. Về mặt đồ họa, điểm này sẽ cao nhất nếu các giá trị đối số được đặt dọc theo trục hoành độ và chính hàm dọc theo trục tọa độ.
Để xác định lớn nhất nghĩa chức năng, hãy làm theo thuật toán ba bước. Xin lưu ý rằng bạn phải có khả năng làm việc với một phía và cũng như tính đạo hàm. Vì vậy, hãy cho một số hàm y(x) và bạn cần tìm giá trị lớn nhất của nó nghĩa trên một khoảng nhất định với các giá trị biên A và B.
Tìm hiểu xem khoảng này có nằm trong phạm vi định nghĩa không chức năng. Để làm điều này, bạn cần tìm nó bằng cách xem xét tất cả các hạn chế có thể có: sự hiện diện của một phân số trong biểu thức, căn bậc hai vân vân. Miền định nghĩa là tập hợp các giá trị đối số mà hàm có ý nghĩa. Xác định xem khoảng nhất định tập con của nó. Nếu có thì đi đến giai đoạn tiếp theo.
Tìm đạo hàm chức năng và giải phương trình thu được bằng cách cho đạo hàm bằng 0. Bằng cách này, bạn sẽ nhận được các giá trị của cái gọi là điểm dừng. Đánh giá xem ít nhất một trong số chúng có thuộc khoảng A, B hay không.
Ở giai đoạn thứ ba, hãy xem xét các điểm này và thay thế giá trị của chúng vào hàm. Tùy thuộc vào loại khoảng thời gian, hãy thực hiện các bước bổ sung sau. Nếu có một đoạn có dạng [A, B] thì các điểm biên được bao gồm trong khoảng; điều này được biểu thị bằng dấu ngoặc. Tính giá trị chức năng với x = A và x = B. Nếu khoảng mở(A, B), các giá trị biên bị thủng, tức là không được bao gồm trong đó. Giải giới hạn một phía cho x→A và x→B. Một khoảng kết hợp có dạng [A, B) hoặc (A, B), một trong các ranh giới của nó, ranh giới còn lại không thuộc về nó. Tìm giới hạn một phía khi x tiến tới giá trị bị thủng và thay thế ranh giới kia vào. khoảng vô hạn hai phía (-∞, +∞) hoặc khoảng vô hạn một phía có dạng: , (-∞, B). Đối với các giới hạn thực A và B, hãy tiến hành theo các nguyên tắc đã được mô tả và đối với vô hạn, hãy tìm giới hạn lần lượt cho x→-∞ và x→+∞.
Nhiệm vụ ở giai đoạn này
Tuyên bố vấn đề 2:
Cho một hàm được xác định và liên tục trên một khoảng nhất định. Bạn cần tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm trên khoảng này.
Cơ sở lý thuyết.
Định lý (Định lý Weierstrass thứ hai):
Nếu một hàm được xác định và liên tục trong một khoảng đóng thì nó sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu trong khoảng này.
Hàm có thể đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng cách điểm nội bộ khoảng cách hoặc tại ranh giới của nó. Hãy minh họa tất cả các tùy chọn có thể. 
Giải thích:
1) Hàm số đạt giá trị lớn nhất ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị nhỏ nhất của nó ở biên phải của khoảng tại điểm .
2) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm (đây là điểm cực đại) và giá trị nhỏ nhất của nó tại ranh giới bên phải của khoảng tại điểm.
3) Hàm đạt giá trị cực đại ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị cực tiểu tại điểm (đây là điểm cực tiểu).
4) Hàm không đổi trên khoảng, tức là nó đạt giá trị tối thiểu và tối đa tại bất kỳ điểm nào trong khoảng và giá trị tối thiểu và tối đa bằng nhau.
5) Hàm đạt giá trị cực đại tại điểm và giá trị cực tiểu tại điểm (mặc dù thực tế là hàm có cả cực đại và cực tiểu trên khoảng này).
6) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại một điểm (đây là điểm tối đa) và giá trị tối thiểu tại một điểm (đây là điểm tối thiểu).
Bình luận:
“Tối đa” và “giá trị tối đa” là những thứ khác nhau. Điều này xuất phát từ định nghĩa về mức tối đa và sự hiểu biết trực quan về cụm từ “giá trị tối đa”.
Thuật toán giải bài toán 2.
4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.
Ví dụ 4:
Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
trên phân khúc.
Giải pháp:
1) Tìm đạo hàm của hàm số. 
2) Tìm các điểm dừng (và các điểm nghi là cực trị) bằng cách giải phương trình. Hãy chú ý đến những điểm tại đó không có đạo hàm hữu hạn hai mặt. 
3) Tính các giá trị hàm trong điểm cố định và tại các ranh giới của khoảng.
4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.
Hàm trên đoạn này đạt giá trị lớn nhất tại điểm có tọa độ.
Hàm trên đoạn này đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có tọa độ .
Bạn có thể xác minh tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhìn vào biểu đồ của hàm đang nghiên cứu. 
Bình luận: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm tối đa và giá trị tối thiểu tại ranh giới của đoạn.
Một trường hợp đặc biệt.
Giả sử bạn cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một số hàm trên một đoạn. Sau khi hoàn thành điểm đầu tiên của thuật toán, tức là. tính đạo hàm, chẳng hạn, rõ ràng là chỉ cần giá trị âm trên toàn bộ phân khúc được xem xét. Hãy nhớ rằng nếu đạo hàm âm thì hàm số giảm. Chúng tôi nhận thấy rằng hàm này giảm trên toàn bộ phân khúc. Tình huống này được thể hiện ở biểu đồ số 1 ở đầu bài viết.
Hàm giảm trên đoạn, tức là nó không có điểm cực trị. Từ hình ảnh, bạn có thể thấy hàm sẽ lấy giá trị nhỏ nhất ở ranh giới bên phải của đoạn và giá trị lớn nhất ở bên trái. nếu đạo hàm trên đoạn này dương ở mọi nơi thì hàm số sẽ tăng. Giá trị thấp nhất- ở viền bên trái của đoạn, lớn nhất - ở bên phải.