Ở các bài học trước chúng ta đã học cách giải phương trình bậc hai. Để làm được điều này cần phải giới thiệu một phương pháp mới đối tượng toán học- phân biệt đối xử. Nếu bạn không nhớ đây là gì, tôi khuyên bạn nên quay lại bài học “Cách giải phương trình bậc hai”.

Đầu tiên, định nghĩa bi là gì. phương trình bậc hai là bất kỳ biểu thức nào mà biến chỉ có ở lũy thừa bậc 4 và bậc 2.

1) giới thiệu một biến mới $((x)^(2))=t$. Trong trường hợp này, bình phương cả hai vế của phương trình này, chúng ta nhận được

\[\begin(align)& (((((x)^(2))))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\end(căn chỉnh)\]

2) viết lại biểu thức của chúng ta - $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\to a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) tìm nghiệm của phương trình thu được và tìm các biến $((t)_(1))$ và $((t)_(2))$ nếu có hai nghiệm.

4) chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại, tức là chúng tôi nhớ $t$ là gì, chúng tôi nhận được hai cấu trúc: $((x)^(2))=((t)_(1))$ và $((x)^ (2))=((t)_(2))$.

5) giải các phương trình thu được và tìm X.

Những thách thức thực sự

Ví dụ số 1

Chúng ta hãy xem sơ đồ này hoạt động như thế nào trên các phương trình hai phương trình thực.

Hãy giải quyết vấn đề đầu tiên:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

Chúng tôi giới thiệu một biến mới và viết lại:

\[((x)^(2))=t\to ((t)^(2))-5t+4=0\]

Đây là một phương trình bậc hai thông thường, hãy tính nó bằng cách sử dụng phân biệt:

Đây là một con số tốt. Gốc là 3.

Bây giờ chúng ta tìm giá trị của $t$:

\[\begin(mảng)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2)=\text( )\frac(8)(2)\text( )=\text( ) 4 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2)=\text( )\frac(2)(2)\text(= )1 \\\end (mảng)\]

Nhưng hãy cẩn thận, chúng tôi chỉ tìm thấy $t$ - đây không phải là giải pháp, đây chỉ là bước thứ ba. Hãy chuyển sang bước thứ tư— hãy nhớ $t$ là gì và quyết định:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=4\to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=2 \\& x=-2 \\\end(align) \right. \\\end(căn chỉnh)\]

Vậy là chúng ta đã giải quyết được phần đầu tiên. Hãy chuyển sang giá trị thứ hai của $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1\to ((x)^(2))-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right. \\\end(căn chỉnh)\]

Tổng cộng chúng tôi nhận được bốn câu trả lời: 2; -2; 1; -1, tức là một phương trình hai phương trình có thể có tới bốn nghiệm.

Ví dụ số 2

Hãy chuyển sang ví dụ thứ hai:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

Tôi sẽ không mô tả chi tiết mọi thứ ở đây. Hãy quyết định như chúng ta sẽ làm trong lớp.

Chúng tôi thay thế:

Sau đó chúng ta sẽ nhận được:

\[((t)^(2))-25t+144=0\]

Chúng tôi tính $D$:

Căn nguyên của biệt thức là 7. Hãy tìm $t$:

\[\begin(mảng)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\frac(25+7)(2)\text( )=\text( )\frac(32)(2)=\text( )16 \\( (t)_(2))\text( )=\frac(25-7)(2)=\text( )\frac(18)(2)\text( )=\text( )9 \\\end (mảng)\]

Hãy nhớ $t$ là gì:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=16 \\& \left[ \begin(align)& x=4 \\& x=-4 \\\end(align) \right . \\\end(căn chỉnh)\]

Tùy chọn thứ hai:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=9 \\& \left[ \begin(align)& x=3 \\& x=-3 \\\end(align) \right . \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi. Chúng ta lại có bốn câu trả lời: 4; -4; 3; -3.

Ví dụ số 3

Hãy chuyển sang phương trình hai phương trình cuối cùng:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

Một lần nữa chúng tôi giới thiệu sự thay thế:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

Hãy nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ tỷ lệ phân số:

Hãy tìm $D$:

Căn nguyên của sự phân biệt là ba:

\[\begin(mảng)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(8)(8)\text( )=\ text( )1 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(2)(8)=\text( )\frac(1)(4) \\\end(array)\]

Chúng tôi đếm X. Hãy nhớ $t$ là gì:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1 \\& \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right . \\\end(căn chỉnh)\]

Tùy chọn thứ hai phức tạp hơn một chút:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \left[ \begin(align)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\end(căn chỉnh) \right. \\\end(căn chỉnh)\]

Chúng ta lại có bốn gốc:

Đây là cách mọi thứ được quyết định phương trình hai phương trình. Tất nhiên, đây không phải là nhiều nhất cách nhanh chóng, nhưng anh ấy là người đáng tin cậy nhất. Hãy cố gắng tự mình giải các ví dụ tương tự như trong video này. Trong câu trả lời, các giá trị của X phải được viết cách nhau bằng dấu chấm phẩy - đây là cách tôi viết chúng ra. Điều này kết thúc bài học. Chúc may mắn!

Lần đầu tiên phương trình bậc hai các nhà toán học đã giải được ai cập cổ đại. Người Babylon đã có thể giải các phương trình bậc hai không đầy đủ, cũng như các loại phương trình bậc hai đầy đủ cụ thể vào khoảng 2 nghìn năm trước Công nguyên. Các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đã có thể giải một số loại phương trình bậc hai, quy chúng thành công trình hình học. Ví dụ về giải phương trình mà không sử dụng kiến ​​thức hình học được đưa ra bởi Diophantus ở Alexandria (thế kỷ thứ 3). Diophantus, trong cuốn sách Số học của mình, đã phác thảo một phương pháp giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh, nhưng những cuốn sách này đã không còn tồn tại. Ở châu Âu, công thức giải phương trình bậc hai lần đầu tiên được đặt ra bởi nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci vào năm 1202.

Nguyên tắc chung giải phương trình bậc hai chuyển về dạng x 2 + bx = c, đã được mô tả nhà toán học người Đức M. Stiefel. Ông đã xây dựng nó vào năm 1544 quy tắc chung giải phương trình bậc hai rút gọn thành một phương trình thống nhất hình thức kinh điển
x 2 + bx + c = 0 với tất cả các biến thể có thể có của dấu và hệ số b và c.

François Viète đã rút ra các công thức của phương trình bậc hai ở dạng tổng quát, nhưng ông chỉ làm việc với các số dương.

Tartaglia, Cardano, Bombelli là những nhà khoa học người Ý nằm trong số những người đầu tiên ở thế kỷ 16 đã tính đến căn nguyên âm, bên cạnh những căn nguyên tích cực.

Việt là người đã phát triển công thức giải phương trình bậc hai tổng quát. Anh ta chỉ đưa ra một tuyên bố cho các nghiệm dương (anh ta không nhận ra số âm).

Sau các công trình của nhà toán học người Hà Lan Albert Girard, cũng như Descartes và Newton, các phương pháp giải phương trình bậc hai đã có một dạng hiện đại.

phương trình bậc hai

1. Nhắc lại các phương pháp giải và nghiên cứu phương trình bậc hai quen thuộc:

• chọn một hình vuông hoàn chỉnh;
• sử dụng công thức gốc cho phương trình bậc hai;
• theo định lý Vieta;
• dựa trên tính chất của hàm số bậc hai.

Trong quá trình giải phương trình cần phải theo dõi nhiều giá trị chấp nhận được không rõ, bởi vì nó có thể thay đổi. Nếu nó được mở rộng, giải pháp được tìm thấy cần được kiểm tra xem liệu nó có xa lạ với phương trình đã cho. Nếu xảy ra sự thu hẹp, cần phải xác minh xem các giá trị bị mất của ẩn số có phải là nghiệm của phương trình này hay không. Quá trình tìm nghiệm ngẫu nhiên không phải lúc nào cũng dễ dàng thực hiện, vì vậy nên tránh thu hẹp tập giá trị cho phép của các ẩn số của phương trình.

2. Những lỗi thường gặp khi giải phương trình.

Theo các quy tắc, bạn có thể chuyển đổi phương trình ban đầu thành một phương trình tương đương và bạn biết rằng: cả hai vế của phương trình đều có thể được chia hoặc nhân với cùng một số khác 0.

1) Nếu phương trình có dạng f(x) · g(x) = p(x) · g(x), thì việc chia cả hai vế cho cùng một thừa số g(x), theo quy luật, là không thể chấp nhận được. Hành động này có thể dẫn đến mất nghiệm: nghiệm của phương trình g(x) = 0 có thể bị mất nếu chúng tồn tại.

Ví dụ 1.

Giải phương trình 2(x – 3) = (x – 3)(x + 5).

Giải pháp.

Ở đây bạn không thể giảm theo hệ số (x – 3).

2(x – 3) – (x – 3)(x + 5) = 0, bỏ dấu ngoặc chung:

(x – 3)(-x – 3) = 0, bây giờ

x – 3 = 0 hoặc -x – 3 = 0;

x = 3 hoặc x = -3.

Trả lời: -3; 3.

2) Một phương trình có dạng f(x) / g(x) = 0 có thể được thay thế bằng hệ:

(f(x) = 0,
(g(x) ≠ 0.

Nó tương đương với phương trình ban đầu.

Hoặc bạn có thể giải phương trình f(x) = 0, và chỉ sau đó loại bỏ các nghiệm tìm được làm cho mẫu số g(x) biến mất.

Gặp phương trình hữu tỉ phân số, rút ​​gọn về phương trình bậc hai.

Ví dụ 2.

Giải phương trình: (x + 3) / (x – 3) + (x – 3) / (x + 3) = 10/3 + 36/(x – 3)(x + 3).

Giải pháp.

Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung và thay thế phương trình ban đầu bằng một số nguyên, chúng ta thu được một hệ tương đương:

(3(x + 3) 2 + 3(x – 3) 2 = 10(x – 3)(x + 3) + 3 36;
((x – 3)(x +3) ≠ 0.

Kết quả là chúng ta có hai nghiệm: x = 3 hoặc x = -3, nhưng x ≠ 3 và x ≠ -3.

Trả lời: phương trình không có nghiệm.

Ví dụ 3.

Giải phương trình: (x + 5)(x 2 + 4x - 5)/(x + 5)(x + 2) = 0.

Giải pháp.

Họ thường bị giới hạn ở giải pháp này:

(x 2 + 4x – 5) / (x + 2) = 0.
(x = -5, x = 1,
(x ≠ -2.

Trả lời: -5; 1.

Câu trả lời đúng: 1.

Ví dụ 4.

Khi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu phương trình bậc hai thông dụng loại sau: “Không tính toán rễ thật x 1 và x 2 phương trình 2x 2 + 3x + 2 = 0, tìm giá trị của x 1 2 + x 2 2" sự thiếu chú ý đơn giản dẫn đến một sai lầm nghiêm trọng.

Thật vậy, theo định lý Vieta,

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – x 1 x 2 = (-3/2) 2 – 2 1 = 1/4.

Tuy nhiên, định lý có thể được sử dụng nếu có nghiệm thực. Trong ví dụ này D< 0 и корней нет.

Trả lời: Giá trị x 1 2 + x 2 2 không tồn tại.

Ví dụ 5.

Tính hệ số âm b và các nghiệm của phương trình x 2 + bx – 1 = 0, nếu mỗi nghiệm tăng thêm một thì chúng trở thành nghiệm của phương trình x 2 – b 2 x – b = 0.

Giải pháp.

Cho x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + bx – 1 = 0. Khi đó theo quan điểm Vieta

x 1 + x 2 = -b và x 1 x 2 = -1 (*). Mặt khác, do điều kiện

(x 1 + 1) + (x 2 + 1) = b 2 và (x 1 + 1)(x 2 + 1) = -b.

Hãy viết lại:

x 1 + x 2 = b 2 – 2 và (x 1 + 1)(x 2 + 1) = -b.

Bây giờ, xét đến điều kiện (*), ta thu được b 2 – 2 = -b, do đó,

b 1 = -2, b 2 = 1. Theo điều kiện, b 1 = -2.

Điều này có nghĩa là phương trình ban đầu có dạng x 2 – 2x – 1 = 0, nghiệm là các số x 1,2 = 1 ± √2.

Đáp án: b 1 = -2, x 1,2 = 1 ± √2.

Các phương trình rút gọn thành bậc hai. phương trình hai phương trình

Phương trình dạng ax 4 + bx 2 + c = 0, trong đó a ≠ 0, được gọi là phương trình hai phương trình một biến.

Để giải phương trình hai phương trình, bạn cần thay thế x 2 = t, tìm nghiệm nguyên t 1 và t 2 của phương trình bậc hai tại 2 + bt + c = 0 và giải các phương trình x 2 = t 1 và x 2 = t 2. Chúng chỉ có nghiệm trong trường hợp t 1,2 ≥ 0.

Ví dụ 1.

Giải phương trình x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Giải pháp.

Thay thế: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Theo điểm Vieta t 1 = -9 và t 2 = 4.

x 2 = -9 hoặc x 2 = 4.

Trả lời: Không có nghiệm nào trong phương trình thứ nhất, nhưng trong phương trình thứ hai: x = ±2.

Ví dụ 2.

Giải phương trình (2x – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Giải pháp.

Thay thế: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Theo điểm Vieta t 1 = 9 và t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 hoặc (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 hoặc 2x – 1 = ±4.

Có hai nghiệm từ phương trình thứ nhất: x = 2 và x = -1, và từ phương trình thứ hai cũng vậy: x = 2,5 và x = -1,5.

Trả lời: -1,5; -1; 2; 2.5.

Do đó, quá trình giải bất kỳ phương trình nào bao gồm việc thay thế tuần tự một phương trình đã cho bằng một phương trình khác, tương đương và đơn giản hơn.

Vẫn còn thắc mắc? Bạn không biết cách giải phương trình?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.

Mọi người đều biết đến một khái niệm như phương trình từ khi còn đi học. Phương trình là một đẳng thức chứa một hoặc nhiều biến. Biết rằng một trong các phần của một đẳng thức đã cho bằng phần còn lại, bạn có thể tách các phần riêng lẻ của phương trình, chuyển một số thành phần của nó ra ngoài dấu bằng theo các quy tắc được xác định rõ ràng. Bạn có thể đơn giản hóa phương trình thành kết luận logic cần thiết ở dạng x=n, trong đó n là số bất kỳ.

VỚI trường tiểu học Tất cả trẻ em đều trải qua một khóa học có mức độ phức tạp khác nhau. Sau này trong chương trình, các phương trình tuyến tính phức tạp hơn xuất hiện - phương trình bậc hai, sau đó đến phương trình bậc ba. Mỗi loại phương trình tiếp theo đều có những phương pháp giải mới, khiến việc nghiên cứu và lặp lại trở nên khó khăn hơn.

Tuy nhiên, sau đó, câu hỏi đặt ra là về việc giải loại phương trình này, chẳng hạn như phương trình hai phương trình. Loại này, mặc dù có vẻ phức tạp nhưng nó được giải khá đơn giản: điều chính là có thể đưa các phương trình đó về dạng thích hợp. Giải pháp của họ được nghiên cứu trong một hoặc hai bài học cùng với nhiệm vụ thực tế, nếu học sinh có kiến thức cơ bản về giải phương trình bậc hai.

Một người cần biết gì khi đối mặt với loại phương trình này? Để bắt đầu, chúng chỉ bao gồm các lũy thừa chẵn của biến “x”: số thứ tư và theo đó là số thứ hai. Để giải được phương trình hai phương trình, nó phải được đưa về dạng Làm thế nào để giải được? Đủ đơn giản! Bạn chỉ cần thay chữ “x” trong hình vuông bằng chữ “y”. Khi đó chữ “x” lũy thừa thứ tư, điều khiến nhiều học sinh sợ hãi, sẽ biến thành bình phương “y” và phương trình sẽ có dạng phương trình bậc hai thông thường.

Sau đó, nó được giải như một phương trình bậc hai thông thường: nó được phân tích thành nhân tử, sau đó giá trị của chữ “y” bí ẩn được tìm thấy. Để giải phương trình hai phương trình đến cuối, bạn cần tìm từ số “y” - đây sẽ là giá trị mong muốn “x”, sau khi tìm thấy các giá trị mà bạn có thể chúc mừng mình vì đã hoàn thành thành công phép tính.

Cần nhớ điều gì khi giải các phương trình loại này? Đầu tiên và quan trọng nhất: i không thể là số âm! Chính điều kiện trò chơi là bình phương của số X đã loại trừ giải pháp như vậy. Do đó, nếu ban đầu khi giải phương trình hai phương trình, một trong các giá trị “y” là dương và giá trị thứ hai là âm, bạn chỉ cần lấy phiên bản dương của nó, nếu không phương trình hai phương trình sẽ được giải sai. Tốt hơn là nên đưa ra ngay quy tắc rằng biến “y” lớn hơn hoặc bằng 0.

Sắc thái quan trọng thứ hai: số “X”, là căn bậc hai của số “Y”, có thể dương hoặc âm. Giả sử nếu “y” bằng 4 thì phương trình hai phương trình sẽ có hai nghiệm: hai và trừ hai. Điều này xảy ra vì lý do là số âm, được nâng lên lũy thừa chẵn, bằng số lượng của cùng một mô-đun, nhưng dấu hiệu tuyệt vời, được nâng lên cùng một lũy thừa. Vì vậy, điều quan trọng là phải luôn ghi nhớ điểm quan trọng này, nếu không bạn có thể mất một hoặc nhiều đáp án của phương trình. Tốt nhất nên viết ngay rằng “x” bằng cộng hoặc trừ căn bậc hai của “y”.

Nhìn chung, việc giải phương trình hai phương trình khá đơn giản và không cần nhiều thời gian. Để nghiên cứu chủ đề này ở chương trình giảng dạy ở trường hai là đủ giờ học- tất nhiên là không tính số lần lặp lại và kiểm tra. phương trình hai phương trình chế độ xem chuẩn có thể được giải quyết rất dễ dàng nếu bạn tuân theo các quy tắc được liệt kê ở trên. Việc giải chúng sẽ không làm khó bạn vì nó được mô tả chi tiết trong sách giáo khoa toán. Chúc bạn học tập tốt và thành công trong việc giải quyết mọi vấn đề, không chỉ vấn đề toán học!

Trước khi giải phương trình hai phương trình, bạn cần hiểu thế nào là biểu hiện này. Vì vậy, đây là một phương trình bậc bốn, có thể viết như sau: “ (ax 4) + (bx 2) + c = 0" Của anh ấy cái nhìn tổng quát có thể viết dưới dạng " Ồ" Để giải phương trình loại này, bạn cần sử dụng một phương pháp gọi là “thay thế ẩn số”. Theo ông, cách diễn đạt “ x 2" phải được thay thế bằng một biến khác. Sau khi thay thế như vậy, sẽ thu được một phương trình bậc hai đơn giản, việc giải phương trình này trong tương lai không khó.

Cần thiết:

— phiến đá trống giấy;
— bút viết;
- kỹ năng toán học cơ bản.

Hướng dẫn:

• Vì vậy, trước tiên bạn phải viết biểu thức ra một tờ giấy. Giai đoạn đầu tiên của giải pháp bao gồm một quy trình đơn giản là thay thế biểu thức " x 2 " thành một biến đơn giản (ví dụ " ĐẾN"). Sau khi thực hiện xong việc này, bạn sẽ có một phương trình mới: “ (ak 2) – (bk) + c = 0».
• Tiếp theo, để giải đúng phương trình hai phương trình, trước tiên bạn phải tìm nghiệm của “ (ak 2) – (bк) + с = 0", mà bạn nhận được sau khi thay thế. Để làm điều này, cần phải tính giá trị phân biệt bằng cách công thức nổi tiếng: « D = (b 2 ) − 4*ac" Hơn nữa, tất cả các biến này ( MỘT, b Và Với) là các hệ số của phương trình trên.
• Trong lúc tính toán phân biệt chúng ta có thể tìm ra liệu phương trình hai phương trình có nghiệm hay không, bởi vì nếu cuối cùng giá trị đã cho hóa ra bằng dấu trừ, thì đơn giản là nó có thể không có giải pháp trong tương lai. Nếu phân biệt đối xử bằng 0 thì chúng ta sẽ có một giải pháp duy nhất, được xác định bởi công thức sau: “ k = - (b / 2 * a)" Chà, nếu biệt thức của chúng ta lớn hơn 0, thì chúng ta sẽ có hai nghiệm. Để tìm được hai nghiệm cần phải lấy căn bậc hai của " D"(tức là từ người phân biệt đối xử). Giá trị kết quả sẽ cần phải được viết dưới dạng biến “ QD».
• Bước tiếp theo là trực tiếp giải phương trình bậc hai , mà bạn có. Để làm điều này, bạn sẽ cần phải thay thế vào công thức rồi giá trị đã biết. Đối với một trong những giải pháp: " k1 = (-b + QD) / 2 * a", và đối với người khác: " k2 = (-b - QD) / 2 * a».
• Và cuối cùng, giai đoạn cuối cùng - tìm nghiệm nguyên của phương trình hai phương trình . Để làm điều này, cần phải lấy căn bậc hai của các nghiệm thu được trước đó cho phương trình bậc hai thông thường. Nếu người phân biệt đối xử là bằng 0, và chúng ta chỉ có một nghiệm thì trong trường hợp này sẽ có hai nghiệm (có âm và có giá trị dương căn bậc hai). Theo đó, nếu phân biệt lớn hơn 0 thì phương trình hai phương trình của chúng ta sẽ có tối đa bốn nghiệm.

Hướng dẫn

Phương pháp thay thế Biểu thị một biến và thay thế nó vào một phương trình khác. Bạn có thể thể hiện bất kỳ biến nào theo ý của bạn. Ví dụ: biểu thị y từ phương trình thứ hai:
x-y=2 => y=x-2Sau đó thay mọi thứ vào phương trình đầu tiên:
2x+(x-2)=10 Di chuyển mọi thứ không có “x” sang bên phải và tính:
2x+x=10+2
3x=12 Tiếp theo, để có x, hãy chia cả hai vế của phương trình cho 3:
x=4. Vì vậy, bạn đã tìm thấy “x. Tìm "y. Để làm điều này, hãy thay thế “x” vào phương trình mà bạn thể hiện “y”:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Hãy kiểm tra. Để làm điều này, thay thế các giá trị kết quả vào các phương trình:
2*4+2=10
4-2=2
Những điều chưa biết đã được tìm thấy một cách chính xác!

Một cách để cộng hoặc trừ các phương trình Loại bỏ bất kỳ biến nào ngay lập tức. Trong trường hợp của chúng tôi, việc này dễ thực hiện hơn với “y.
Vì trong “y có dấu “+” và ở dấu “-” thứ hai, nên bạn có thể thực hiện thao tác cộng, tức là. bên trái thêm nó vào bên trái và thêm bên phải vào bên phải:
2x+y+(x-y)=10+2Chuyển đổi:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Thay thế “x” vào bất kỳ phương trình nào và tìm “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Bằng phương pháp đầu tiên, bạn có thể thấy rằng chúng đã được tìm thấy chính xác.

Nếu không có các biến được xác định rõ ràng thì cần phải biến đổi một chút các phương trình.
Trong phương trình đầu tiên, chúng ta có “2x”, và trong phương trình thứ hai, chúng ta chỉ có “x”. Để giảm x trong quá trình cộng, nhân phương trình thứ hai với 2:
x-y=2
2x-2y=4Sau đó trừ đi số thứ hai từ phương trình đầu tiên:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Lưu ý rằng nếu có dấu trừ trước dấu ngoặc thì sau khi mở ngoặc hãy đổi thành dấu ngược lại:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
tìm y=2x bằng cách biểu thị từ bất kỳ phương trình nào, tức là
x=4

Video về chủ đề

Mẹo 2: Cách giải phương trình tuyến tính hai biến

phương trình, được viết dưới dạng tổng quát ax+bу+c=0, được gọi là phương trình tuyến tính với hai biến. Bản thân phương trình này chứa tập vô hạn lời giải, do đó trong các bài toán nó luôn được bổ sung một cái gì đó - một phương trình khác hoặc các điều kiện giới hạn. Tùy theo điều kiện mà bài toán đưa ra, giải phương trình tuyến tính với hai biến nên theo những cách khác nhau.

Bạn sẽ cần

• - phương trình tuyến tính với hai biến;
• - phương trình thứ hai hoặc điều kiện bổ sung.

Hướng dẫn

Nếu cho một hệ gồm hai phương trình tuyến tính, giải quyết nó như sau. Chọn một trong các phương trình có hệ số là biến nhỏ hơn và biểu thị một trong các biến, ví dụ: x. Sau đó thay giá trị chứa y này vào phương trình thứ hai. Trong phương trình thu được sẽ chỉ có một biến y, di chuyển tất cả các phần có y sang bên trái và các phần tự do sang bên phải. Tìm y và thay thế vào bất kỳ phương trình ban đầu nào để tìm x.

Có một cách khác để giải hệ hai phương trình. Nhân một trong các phương trình với một số sao cho hệ số của một trong các biến, chẳng hạn như x, giống nhau trong cả hai phương trình. Sau đó trừ một trong các phương trình còn lại (nếu vế phải không bằng 0 thì nhớ trừ vế phải theo cách tương tự). Bạn sẽ thấy biến x đã biến mất và chỉ còn lại một biến y. Giải phương trình thu được và thay thế giá trị tìm được của y vào bất kỳ đẳng thức ban đầu nào. Tìm x.

Cách thứ ba để giải hệ hai phương trình tuyến tính là dùng đồ thị. Vẽ một hệ tọa độ và vẽ đồ thị hai đường thẳng có phương trình được cho trong hệ tọa độ của bạn. Để làm điều này, thay thế hai giá trị x bất kỳ vào phương trình và tìm y tương ứng - đây sẽ là tọa độ của các điểm thuộc đường thẳng. Cách thuận tiện nhất để tìm giao điểm với các trục tọa độ là chỉ cần thay thế các giá trị x=0 và y=0. Tọa độ giao điểm của hai đường này sẽ là nhiệm vụ.

Nếu chỉ có một phương trình tuyến tính trong các điều kiện của bài toán thì bạn đã được cung cấp thêm các điều kiện để qua đó bạn có thể tìm ra lời giải. Hãy đọc kỹ bài toán để tìm ra những điều kiện này. Nếu như biến x và y biểu thị khoảng cách, tốc độ, trọng lượng - thoải mái đặt giới hạn x ≥0 và y ≥0. Rất có thể x hoặc y ẩn số lượng táo, v.v. – thì các giá trị chỉ có thể là . Nếu x là tuổi con thì rõ ràng nó không thể già hơn bố, vì vậy hãy chỉ ra điều này trong điều kiện nhiệm vụ.

Nguồn:

• cách giải phương trình với một biến

Tự nó phương trình với ba không rõ có nhiều nghiệm nên thường được bổ sung bằng hai phương trình hoặc điều kiện nữa. Tùy thuộc vào dữ liệu ban đầu là gì, quá trình đưa ra quyết định sẽ phụ thuộc phần lớn.

Bạn sẽ cần

• - một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số.

Hướng dẫn

Nếu hai trong ba hệ thống chỉ có hai trong số ba ẩn số, hãy thử biểu diễn một số biến theo các biến khác và thay chúng thành phương trình với ba không rõ. Mục tiêu của bạn trong trường hợp này là biến nó thành bình thường phương trình với một người không quen biết. Nếu đây là , thì giải pháp tiếp theo khá đơn giản - thay giá trị tìm được vào các phương trình khác và tìm tất cả các ẩn số khác.

Một số hệ phương trình có thể được trừ từ phương trình này bằng phương trình khác. Xem liệu có thể nhân một trong hoặc một biến để loại bỏ hai ẩn số cùng một lúc hay không. Nếu có cơ hội như vậy, hãy tận dụng nó, rất có thể giải pháp tiếp theo sẽ không khó. Hãy nhớ rằng khi nhân với một số, bạn phải nhân cả bên trái và bên phải. Tương tự như vậy, khi trừ các phương trình, bạn phải nhớ rằng vế phải cũng phải bị trừ.

Nếu các phương pháp trước đó không hiệu quả, hãy sử dụng một cách tổng quát nghiệm của bất kỳ phương trình nào có ba không rõ. Để làm điều này, hãy viết lại các phương trình ở dạng a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Bây giờ hãy tạo ma trận các hệ số cho x (A), ma trận ẩn số (X) và ma trận các ẩn số (B). Xin lưu ý rằng bằng cách nhân ma trận các hệ số với ma trận ẩn số, bạn sẽ nhận được ma trận các số hạng tự do, nghĩa là A*X=B.

Tìm ma trận A lũy thừa (-1) bằng cách tìm , lưu ý rằng nó không được bằng 0. Sau đó, nhân ma trận kết quả với ma trận B, kết quả bạn sẽ nhận được ma trận X mong muốn, cho biết tất cả các giá trị.

Bạn cũng có thể tìm nghiệm của hệ ba phương trình bằng phương pháp Cramer. Để làm điều này, hãy tìm định thức bậc ba ∆ tương ứng với ma trận hệ thống. Sau đó lần lượt tìm thêm ba định thức ∆1, ∆2 và ∆3, thay giá trị của các số hạng tự do thay cho giá trị của các cột tương ứng. Bây giờ hãy tìm x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Nguồn:

• Giải phương trình có ba ẩn số

Việc giải một hệ phương trình là một công việc đầy thử thách và thú vị. Làm sao hệ thống phức tạp hơn, việc giải quyết nó càng thú vị. Thông thường nhất trong toán học trường trung học có những hệ phương trình với hai ẩn số, nhưng trong toán cao hơn có thể có nhiều biến số hơn. Hệ thống có thể được giải quyết bằng một số phương pháp.

Hướng dẫn

Phương pháp phổ biến nhất để giải hệ phương trình là thay thế. Để làm điều này, bạn cần biểu diễn một biến theo một biến khác và thay thế nó bằng biến thứ hai. phương trình hệ thống, do đó dẫn đầu phương trìnhđến một biến. Ví dụ: cho các phương trình sau: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Từ biểu thức thứ hai, thật thuận tiện để biểu thị một trong các biến, di chuyển mọi thứ khác sang bên phải của biểu thức, không quên thay đổi dấu của hệ số: x = 3-y.

Mở ngoặc: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Chúng ta thay thế giá trị kết quả y vào biểu thức: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Trong biểu thức đầu tiên, tất cả các số hạng đều là 2, bạn có thể đặt 2 ngoài ngoặc tài sản phân phối phép nhân: 2*(2x-y-3)=0. Bây giờ cả hai phần của biểu thức có thể được rút gọn bằng số này và sau đó được biểu thị dưới dạng y, vì hệ số mô đun của nó bằng một: -y = 3-2x hoặc y = 2x-3.

Cũng giống như trong trường hợp đầu tiên, chúng ta thay biểu thức này vào biểu thức thứ hai phương trình và chúng ta nhận được: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. y=2x -3;y=4-3=1.

Chúng ta thấy rằng hệ số của y giống nhau về giá trị nhưng khác nhau về dấu, do đó, nếu cộng các phương trình này, chúng ta sẽ loại bỏ hoàn toàn y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. Thay giá trị của x vào bất kỳ phương trình nào trong hai phương trình của hệ và nhận được y=1.

Video về chủ đề

hai phương trình phương trìnhđại diện cho phương trình bậc bốn, dạng tổng quát của nó được biểu thị bằng biểu thức ax^4 + bx^2 + c = 0. Giải pháp của nó dựa trên việc sử dụng phương pháp thay thế ẩn số. TRONG trong trường hợp này x^2 được thay thế bằng một biến khác. Vì vậy, kết quả là một hình vuông bình thường phương trình, cần phải giải quyết.

Hướng dẫn

Giải phương trình bậc hai phương trình, là kết quả của sự thay thế. Để làm điều này, trước tiên hãy tính giá trị theo công thức: D = b^2? 4ac. Trong trường hợp này, các biến a, b, c là các hệ số của phương trình của chúng ta.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình hai phương trình. Để làm điều này, lấy căn bậc hai của các giải pháp thu được. Nếu có một giải pháp thì sẽ có hai giải pháp - tích cực và giá trị âm căn bậc hai. Nếu có hai nghiệm thì phương trình hai phương trình sẽ có bốn nghiệm.

Video về chủ đề

Một trong những phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp Gauss. Nó nằm ở loại trừ nhất quán các biến khi một hệ phương trình sử dụng các phép biến đổi đơn giảnđược chuyển thành một hệ thống từng bước, từ đó tất cả các biến được tìm thấy một cách tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng.

Hướng dẫn

Đầu tiên, đưa hệ phương trình về dạng như vậy khi tất cả các ẩn số đều theo thứ tự chặt chẽ. theo một thứ tự nhất định. Ví dụ: tất cả các X chưa biết sẽ xuất hiện đầu tiên trên mỗi dòng, tất cả các Y sẽ xuất hiện sau X, tất cả các Z sẽ xuất hiện sau Y, v.v. Không nên có ẩn số ở vế phải của mỗi phương trình. Hãy nhẩm xác định các hệ số đứng trước mỗi ẩn số, cũng như các hệ số ở vế phải của mỗi phương trình.