Ước chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất là các khái niệm số học quan trọng giúp làm việc với phân số dễ dàng. LCM và thường được sử dụng để tìm mẫu số chung của một số phân số.

Khái niệm cơ bản

Ước của số nguyên X là một số nguyên Y khác mà X được chia cho không để dư. Ví dụ: ước của 4 là 2 và 36 là 4, 6, 9. Bội số của số nguyên X là số Y chia hết cho X mà không có số dư. Ví dụ: 3 là bội số của 15 và 6 là bội số của 12.

Đối với bất kỳ cặp số nào, chúng ta có thể tìm thấy ước số chung và bội số chung của chúng. Ví dụ: đối với 6 và 9, bội số chung là 18 và ước số chung là 3. Rõ ràng, các cặp có thể có nhiều ước số và bội số, do đó các phép tính sử dụng ước số lớn nhất GCD và bội số LCM nhỏ nhất.

Ước số nhỏ nhất là vô nghĩa vì với bất kỳ số nào nó luôn bằng một. Bội số lớn nhất cũng vô nghĩa vì dãy bội số tiến tới vô cùng.

Tìm gcd

Có nhiều phương pháp tìm ước chung lớn nhất, trong đó nổi tiếng nhất là:

• tìm kiếm tuần tự các ước số, chọn các số chung cho một cặp và tìm số lớn nhất trong số chúng;
• phân tích số thành thừa số không chia được;
• Thuật toán Euclide;
• thuật toán nhị phân.

Ngày nay trong các cơ sở giáo dục, các phương pháp phổ biến nhất là phân tích thành thừa số nguyên tố và thuật toán Euclide. Ngược lại, cái sau được sử dụng khi giải phương trình Diophantine: cần tìm kiếm GCD để kiểm tra phương trình về khả năng phân giải theo số nguyên.

Tìm NOC

Bội số chung nhỏ nhất cũng được xác định bằng cách liệt kê tuần tự hoặc phân rã thành các thừa số không thể chia được. Ngoài ra, có thể dễ dàng tìm được LCM nếu ước số lớn nhất đã được xác định. Đối với các số X và Y, LCM và GCD có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ sau:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Ví dụ: nếu GCM(15,18) = 3 thì LCM(15,18) = 15 × 18/3 = 90. Ví dụ rõ ràng nhất về việc sử dụng LCM là tìm mẫu số chung, là bội số chung nhỏ nhất của các phân số đã cho.

số nguyên tố cùng nhau

Nếu một cặp số không có ước chung thì cặp số đó được gọi là cặp số nguyên tố cùng nhau. Gcd của các cặp như vậy luôn bằng 1 và dựa trên mối liên hệ giữa ước số và bội số, gcd của các cặp nguyên tố cùng nhau bằng tích của chúng. Ví dụ: các số 25 và 28 là nguyên tố cùng nhau vì chúng không có ước chung và LCM(25, 28) = 700, tương ứng với tích của chúng. Hai số không chia hết luôn luôn là số nguyên tố cùng nhau.

Ước chung và bội số

Sử dụng máy tính của chúng tôi, bạn có thể tính toán GCD và LCM cho số lượng số tùy ý để lựa chọn. Nhiệm vụ tính các ước số chung và bội số được tìm thấy trong số học lớp 5 và 6, nhưng GCD và LCM là những khái niệm chính trong toán học và được sử dụng trong lý thuyết số, phép đo phẳng và đại số giao tiếp.

Ví dụ thực tế cuộc sống

Mẫu số chung của phân số

Bội số chung nhỏ nhất được sử dụng khi tìm mẫu số chung của một số phân số. Giả sử trong một bài toán số học, bạn cần tính tổng 5 phân số:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Để cộng các phân số, biểu thức phải được quy về mẫu số chung, điều này làm giảm vấn đề tìm LCM. Để thực hiện việc này, hãy chọn 5 số trong máy tính và nhập giá trị của mẫu số vào các ô thích hợp. Chương trình sẽ tính LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Bây giờ bạn cần tính các thừa số bổ sung cho mỗi phân số, được xác định bằng tỷ số của LCM với mẫu số. Vì vậy, các số nhân bổ sung sẽ trông như sau:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Sau đó, chúng tôi nhân tất cả các phân số với hệ số bổ sung tương ứng và nhận được:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Chúng ta có thể dễ dàng tính tổng các phân số như vậy và nhận được kết quả là 159/360. Chúng tôi giảm phân số xuống 3 và xem câu trả lời cuối cùng - 53/120.

Giải phương trình Diophantine tuyến tính

Phương trình Diophantine tuyến tính là các biểu thức có dạng ax + by = d. Nếu tỷ số d / gcd(a, b) là số nguyên thì phương trình có thể giải được dưới dạng số nguyên. Chúng ta hãy kiểm tra một vài phương trình để xem liệu chúng có nghiệm số nguyên hay không. Trước tiên, hãy kiểm tra phương trình 150x + 8y = 37. Dùng máy tính tính, ta tìm được GCD (150,8) = 2. Chia 37/2 = 18,5. Số không phải là số nguyên nên phương trình không có nghiệm nguyên.

Hãy kiểm tra phương trình 1320x + 1760y = 10120. Dùng máy tính để tìm GCD(1320, 1760) = 440. Chia 10120/440 = 23. Kết quả là ta được một số nguyên, do đó phương trình Diophantine giải được dưới dạng hệ số nguyên .

Phần kết luận

GCD và LCM đóng một vai trò lớn trong lý thuyết số và bản thân các khái niệm này được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học. Sử dụng máy tính của chúng tôi để tính ước số lớn nhất và bội số nhỏ nhất của bất kỳ số nào.

Để hiểu cách tính LCM, trước tiên bạn phải xác định ý nghĩa của thuật ngữ “bội số”.

Bội số của A là số tự nhiên chia hết cho A không có số dư. Do đó, các số là bội số của 5 có thể được coi là 15, 20, 25, v.v.

Có thể có một số ước số giới hạn của một số cụ thể, nhưng có vô số bội số.

Bội chung của các số tự nhiên là số chia hết cho chúng không có số dư.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất của các số

Bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các số (hai, ba hoặc nhiều hơn) là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số này.

Để tìm LỘC, bạn có thể sử dụng một số phương pháp.

Đối với những số nhỏ, sẽ thuận tiện hơn khi viết tất cả bội số của những số này trên một dòng cho đến khi bạn tìm thấy điểm chung giữa chúng. Bội số được ký hiệu bằng chữ in hoa K.

Ví dụ: bội số của 4 có thể được viết như sau:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Như vậy, bạn có thể thấy bội số chung nhỏ nhất của số 4 và 6 là số 24. Ký hiệu này được thực hiện như sau:

BCNN(4, 6) = 24

Nếu các số lớn, hãy tìm bội số chung của ba số trở lên thì tốt hơn nên sử dụng phương pháp tính LCM khác.

Để hoàn thành nhiệm vụ, bạn cần phân tích các số đã cho thành thừa số nguyên tố.

Trước tiên, bạn cần viết phân tích của số lớn nhất trên một dòng và bên dưới nó - phần còn lại.

Sự phân rã của mỗi số có thể chứa một số yếu tố khác nhau.

Ví dụ: hãy phân tích các số 50 và 20 thành thừa số nguyên tố.

Khi khai triển số nhỏ hơn, bạn nên đánh dấu những thừa số còn thiếu trong khai triển số lớn nhất đầu tiên, sau đó cộng chúng vào đó. Trong ví dụ được trình bày, số hai bị thiếu.

Bây giờ bạn có thể tính bội số chung nhỏ nhất của 20 và 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Như vậy, tích của các thừa số nguyên tố của số lớn hơn và các thừa số của số thứ hai không nằm trong khai triển của số lớn hơn sẽ là bội số chung nhỏ nhất.

Để tìm LCM của ba số trở lên, bạn nên phân tích tất cả chúng thành thừa số nguyên tố, như trong trường hợp trước.

Ví dụ: bạn có thể tìm bội số chung nhỏ nhất của các số 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Do đó, chỉ có hai số hai từ việc khai triển mười sáu là không được đưa vào phân tích nhân tử của một số lớn hơn (một trong khai triển hai mươi bốn).

Vì vậy, chúng cần được thêm vào để mở rộng một số lượng lớn hơn.

BCNN(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Có những trường hợp đặc biệt để xác định bội số chung nhỏ nhất. Vì vậy, nếu một trong các số có thể chia cho số khác không có dư thì số lớn hơn sẽ là bội số chung nhỏ nhất.

Ví dụ: LCM của mười hai và hai mươi bốn là hai mươi bốn.

Nếu cần tìm bội chung nhỏ nhất của các số nguyên tố cùng nhau không có ước số giống nhau thì LCM của chúng sẽ bằng tích của chúng.

Ví dụ: BCNN (10, 11) = 110.

Bội chung nhỏ nhất của hai số liên hệ trực tiếp với ước chung lớn nhất của các số đó. Cái này kết nối giữa GCD và NOCđược xác định bởi định lý sau.

Định lý.

Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương a và b bằng tích của a và b chia cho ước chung lớn nhất của a và b, nghĩa là: LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bằng chứng.

Cho phép M là bội số của các số a và b. Nghĩa là, M chia hết cho a, và theo định nghĩa tính chia hết, có một số nguyên k sao cho đẳng thức M=a·k là đúng. Nhưng M cũng chia hết cho b nên a·k chia hết cho b.

Hãy ký hiệu gcd(a, b) là d. Khi đó chúng ta có thể viết các đẳng thức a=a 1 ·d và b=b 1 ·d, và a 1 =a:d và b 1 =b:d sẽ là các số nguyên tố cùng nhau. Do đó, điều kiện đạt được ở đoạn trước là a · k chia hết cho b có thể được phát biểu lại như sau: a 1 · d · k được chia cho b 1 · d, và điều này, do tính chất chia hết, tương đương với điều kiện a 1 · k chia hết cho b 1.

Bạn cũng cần viết ra hai hệ quả quan trọng từ định lý đã xét.

Bội chung của hai số bằng bội số chung nhỏ nhất của chúng.

Điều này thực sự đúng, vì bội số chung bất kỳ của M của các số a và b được xác định bởi đẳng thức M=LMK(a, b)·t đối với một số giá trị nguyên t.

Bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dương a và b bằng tích của chúng.

Cơ sở lý luận cho thực tế này là khá rõ ràng. Vì a và b là nguyên tố cùng nhau nên gcd(a, b)=1, do đó, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Bội chung nhỏ nhất của ba số trở lên

Việc tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số trở lên có thể được rút gọn thành việc tìm LCM của hai số một cách tuần tự. Cách thực hiện điều này được chỉ ra trong định lý sau. a 1 , a 2 , …, a k trùng với bội số chung của các số m k-1 và a k , do đó trùng với bội số chung của số m k . Và vì bội số dương nhỏ nhất của số m k chính là số m k, nên bội số chung nhỏ nhất của các số a 1, a 2, ..., a k là m k.

Tài liệu tham khảo.

• Vilenkin N.Ya. và những môn Toán khác. Lớp 6: Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông.
• Vinogradov I.M. Cơ sở lý thuyết số.
• Mikhelovich Sh.H. Lý thuyết số.
• Kulikov L.Ya. và các bài khác. Tuyển tập các bài toán đại số và lý thuyết số: Sách giáo khoa cho sinh viên vật lý và toán học. chuyên ngành của các cơ sở sư phạm.

Cách tìm LCM (bội số chung nhỏ nhất)

Bội chung của hai số nguyên là số nguyên chia hết cho cả hai số đã cho và không có số dư.

Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên là số nhỏ nhất trong tất cả các số nguyên có thể chia hết cho cả hai số đã cho mà không để lại phần dư.

Phương pháp 1. Lần lượt, bạn có thể tìm LCM cho từng số đã cho, viết theo thứ tự tăng dần tất cả các số có được bằng cách nhân chúng với 1, 2, 3, 4, v.v.

Ví dụ cho số 6 và 9.
Chúng ta nhân số 6 theo thứ tự với 1, 2, 3, 4, 5.
Chúng tôi nhận được: 6, 12, 18 , 24, 30
Chúng ta nhân số 9 theo tuần tự với 1, 2, 3, 4, 5.
Chúng tôi nhận được: 9, 18 , 27, 36, 45
Như bạn có thể thấy, LCM của số 6 và 9 sẽ bằng 18.

Phương pháp này thuận tiện khi cả hai số đều nhỏ và dễ dàng nhân chúng với một dãy số nguyên. Tuy nhiên, có những trường hợp bạn cần tìm LCM cho các số có hai chữ số hoặc ba chữ số và cả khi có ba số ban đầu trở lên.

Phương pháp 2. Bạn có thể tìm LCM bằng cách phân tích các số ban đầu thành thừa số nguyên tố.
Sau khi phân tách, cần phải gạch bỏ các số giống hệt nhau khỏi chuỗi các thừa số nguyên tố thu được. Các số còn lại của số thứ nhất sẽ là số nhân của số thứ hai và các số còn lại của số thứ hai sẽ là số nhân của số thứ nhất.

Ví dụ cho số 75 và 60.
Có thể tìm bội số chung nhỏ nhất của các số 75 và 60 mà không cần viết bội số của các số này liên tiếp. Để làm điều này, hãy phân tích 75 và 60 thành các thừa số đơn giản:
75 = 3 * 5 * 5, một
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Như bạn có thể thấy, thừa số 3 và 5 xuất hiện ở cả hai hàng. Về mặt tinh thần, chúng tôi “gạch bỏ” chúng.
Chúng ta hãy viết ra các thừa số còn lại có trong khai triển của mỗi số này. Khi tách số 75 ra thì còn lại số 5, khi tách số 60 ra thì còn lại 2*2
Điều này có nghĩa là để xác định LCM cho các số 75 và 60, chúng ta cần nhân các số còn lại từ khai triển của 75 (đây là 5) với 60 và nhân các số còn lại từ khai triển của 60 (đây là 2 * 2) ) với 75. Tức là, để dễ hiểu, chúng ta nói rằng chúng ta đang nhân "theo chiều ngang".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Đây là cách chúng tôi tìm LCM cho các số 60 và 75. Đây là số 300.

Ví dụ. Xác định BCNN của các số 12, 16, 24
Trong trường hợp này, hành động của chúng tôi sẽ phức tạp hơn một chút. Nhưng trước tiên, như mọi khi, hãy phân tích tất cả các số
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Để xác định chính xác LCM, chúng tôi chọn số nhỏ nhất trong tất cả các số (đây là số 12) và lần lượt đi qua các thừa số của nó, gạch bỏ chúng nếu ở ít nhất một trong các hàng số khác, chúng tôi gặp cùng một thừa số chưa bị gạch bỏ.

Bước 1. Ta thấy rằng 2 * 2 xuất hiện ở mọi dãy số. Hãy gạch bỏ chúng.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Bước 2. Trong các thừa số nguyên tố của số 12, chỉ còn lại số 3. Nhưng nó có mặt trong các thừa số nguyên tố của số 24. Chúng ta gạch bỏ số 3 ở cả hai hàng, đồng thời không cần thực hiện hành động nào đối với số 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Như các bạn thấy, khi phân tích số 12, chúng ta đã “gạch bỏ” tất cả các số. Điều này có nghĩa là việc tìm kiếm LOC đã hoàn tất. Tất cả những gì còn lại là tính giá trị của nó.
Với số 12, lấy các thừa số còn lại của số 16 (tiếp theo theo thứ tự tăng dần)
12 * 2 * 2 = 48
Đây là NOC

Như bạn có thể thấy, trong trường hợp này, việc tìm LCM có phần khó khăn hơn, nhưng khi bạn cần tìm nó cho ba số trở lên, phương pháp này cho phép bạn thực hiện nhanh hơn. Tuy nhiên, cả hai phương pháp tìm LCM đều đúng.

Nhưng nhiều số tự nhiên cũng chia hết cho các số tự nhiên khác.

Ví dụ:

Số 12 có thể chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12;

Số 36 chia hết cho 1, cho 2, cho 3, cho 4, cho 6, cho 12, cho 18, cho 36.

Các số mà số đó chia hết cho một số nguyên (với 12 là 1, 2, 3, 4, 6 và 12) được gọi là ước số của số. Ước của một số tự nhiên Một- là số tự nhiên chia hết cho một số Một không một dấu vết. Số tự nhiên có nhiều hơn hai ước số được gọi là tổng hợp .

Xin lưu ý rằng các số 12 và 36 có ước chung. Các số đó là: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ước số lớn nhất của các số này là 12. Ước chung của hai số này Một Và b- đây là số mà cả hai số đã cho được chia không có số dư Một Và b.

bội số chung một số số là một số chia hết cho mỗi số này. Ví dụ, các số 9, 18 và 45 có bội số chung là 180. Nhưng 90 và 360 cũng là bội số chung của chúng. Trong số tất cả các bội chung luôn có bội số nhỏ nhất, trong trường hợp này là 90. Số này được gọi là nhỏ nhấtbội số chung (CMM).

LCM luôn là một số tự nhiên phải lớn hơn số lớn nhất mà nó được xác định.

Bội số chung nhỏ nhất (LCM). Của cải.

Tính giao hoán:

Tính kết hợp:

Cụ thể, nếu và là các số nguyên tố cùng nhau thì:

bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên tôi Và N là ước của tất cả các bội số chung khác tôi Và N. Hơn nữa, tập hợp các bội số chung tôi, n trùng với tập bội của LCM( tôi, n).

Các tiệm cận của có thể được biểu diễn dưới dạng một số hàm lý thuyết số.

Vì thế, Hàm Chebyshev. Và còn có:

Điều này tuân theo định nghĩa và tính chất của hàm Landau g(n).

Điều gì tuân theo quy luật phân phối số nguyên tố.

Tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM).

NOC( một, b) có thể được tính theo nhiều cách:

1. Nếu biết ước số chung lớn nhất, bạn có thể sử dụng kết nối của nó với LCM:

2. Giả sử sự phân rã chính tắc của cả hai số thành thừa số nguyên tố:

Ở đâu p 1 ,...,p k- các số nguyên tố khác nhau, và d 1 ,...,d k Và e 1 ,...,e k— số nguyên không âm (chúng có thể bằng 0 nếu số nguyên tố tương ứng không nằm trong khai triển).

Sau đó NOC ( Một,b) được tính theo công thức:

Nói cách khác, phân tách LCM chứa tất cả các thừa số nguyên tố có trong ít nhất một trong các phân tách số một, b, và lấy số mũ lớn nhất trong hai số mũ của số nhân này.

Ví dụ:

Việc tính bội số chung nhỏ nhất của một số số có thể được rút gọn thành một số phép tính tuần tự của LCM của hai số:

Luật lệ.Để tìm LCM của một dãy số, bạn cần:

- phân tích số thành thừa số nguyên tố;

- chuyển phân tích lớn nhất (tích của các thừa số có số lớn nhất trong số các số đã cho) sang các thừa số của tích mong muốn, sau đó thêm các thừa số từ phân tích của các số khác không xuất hiện ở số đầu tiên hoặc xuất hiện trong đó ít lần hơn;

— tích của các thừa số nguyên tố sẽ là LCM của các số đã cho.

Bất kỳ hai hoặc nhiều số tự nhiên đều có LCM riêng. Nếu các số không phải là bội số của nhau hoặc không có cùng thừa số khi khai triển thì LCM của chúng bằng tích của các số này.

Thừa số nguyên tố của số 28 (2, 2, 7) được cộng thêm hệ số 3 (số 21) thì tích (84) sẽ là số nhỏ nhất chia hết cho 21 và 28.

Các thừa số nguyên tố của số lớn nhất 30 được bổ sung thêm thừa số 5 của số 25 thì kết quả là tích 150 lớn hơn số lớn nhất 30 và chia hết cho tất cả các số đã cho mà không có số dư. Đây là tích nhỏ nhất có thể (150, 250, 300...) là bội số của tất cả các số đã cho.

Các số 2,3,11,37 là số nguyên tố nên LCM của chúng bằng tích các số đã cho.

Luật lệ. Để tính LCM của các số nguyên tố, bạn cần nhân tất cả các số này với nhau.

Một lựa chọn khác:

Để tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của một số số bạn cần:

1) biểu diễn mỗi số dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố của nó, ví dụ:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Viết lũy thừa của tất cả các thừa số nguyên tố:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) viết ra tất cả các ước nguyên tố (số nhân) của mỗi số này;

4) chọn mức độ lớn nhất của mỗi số đó, được tìm thấy trong tất cả các bản khai triển của các số này;

5) nhân những sức mạnh này.

Ví dụ. Tìm BCNN của các số: 168, 180 và 3024.

Giải pháp. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Chúng ta viết lũy thừa lớn nhất của tất cả các ước số nguyên tố và nhân chúng:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.