Ta biểu diễn hệ phương trình (1.1) dưới dạng
Có một số lượng lớn các sơ đồ phương pháp loại trừ thích hợp cho việc tính toán bằng tay hoặc bằng máy các ma trận thuộc loại tổng quát hoặc đặc biệt.
Phương pháp Gaussian có thể được hiểu là một phương pháp trong đó ma trận ban đầu được giảm xuống dạng tam giác trên (di chuyển về phía trước), sau đó thành dạng đơn vị (di chuyển ngược lại). Rõ ràng, nếu ma trận là danh tính thì xt = b r
Giả sử ma trận của hệ (1.3) là tam giác trên, do đó một tj= 0 tại tôi>j, nghĩa là tất cả các phần tử bên dưới đường chéo chính đều bằng 0. Khi đó từ phương trình cuối cùng ta xác định ngay xp. Thay thế x n vào phương trình áp chót, chúng ta tìm thấy x a_ x, v.v. Các công thức tổng quát có dạng
Tại k > tôi tỷ lệ cược BẰNG = 0.
Chúng ta rút gọn ma trận của hệ (1.3) thành ma trận tam giác trên. Chúng ta hãy trừ phương trình thứ hai của hệ (1.3) phương trình thứ nhất nhân với một số sao cho hệ số tại x x sẽ đi đến số không. Hãy làm tương tự với tất cả các phương trình khác. Kết quả là tất cả các hệ số của cột đầu tiên nằm dưới đường chéo chính sẽ bằng 0. Sau đó, sử dụng phương trình thứ hai, chúng ta biến các hệ số tương ứng của cột thứ hai về 0. Tiếp tục quá trình này một cách nhất quán, chúng ta rút gọn ma trận hệ thống về dạng tam giác trên.
Hãy viết các công thức tổng quát của phương pháp Gauss. Loại bỏ các hệ số khỏi cột (A - 1). Khi đó sẽ có các phương trình có các phần tử khác 0 nằm dưới đường chéo chính:
Hãy nhân lên thứ k dòng tới số với tk = t > k và trừ
từ dòng thứ m. Phần tử đầu tiên khác 0 của dòng này sẽ trở thành 0 và phần tử còn lại sẽ thay đổi theo các công thức
Sau khi thực hiện tính toán bằng các công thức này cho tất cả các chỉ số được chỉ định, chúng tôi chuyển các phần tử về 0 k-ro cột bên dưới đường chéo chính. Một quy trình tương tự đưa ma trận hệ thống về dạng tam giác trên và toàn bộ quá trình rút gọn được gọi là QUY TRÌNH TRỰC TIẾP CỦA PHƯƠNG PHÁP Gaussian. Việc tính ẩn số sử dụng công thức (1.4) được gọi là phương pháp REVERSE.
Việc di chuyển ngược lại có thể được thực hiện theo cách khác nếu tất cả các hệ số nằm phía trên đường chéo chính được chuyển về 0. Ví dụ, các phần tử N của cột thứ trở thành 0 nếu ej^| nhân với (-a^V ax t = b | 2l), trong đó b^n)- các hệ số ở vế phải của phương trình thứ i sau các phép biến đổi đã chỉ ra.
Ở một bước tiến nào đó, có thể hóa ra hệ số aj*" * 0, nhưng nhỏ so với các phần tử khác của ma trận hệ thống và đặc biệt, nhỏ so với các phần tử của cột đầu tiên. Chia hệ số hệ thống cho một giá trị nhỏ có thể dẫn đến sai số làm tròn đáng kể.
Để giảm lỗi làm tròn, hãy tiến hành như sau. Trong số các phần tử của cột đầu tiên MỘT^ của mỗi ma trận trung gian, chọn phần tử mô đun (chính) lớn nhất và bằng cách sắp xếp lại hàng thứ i với hàng chứa phần tử chính, đảm bảo rằng phần tử chính trở thành phần tử dẫn đầu. Việc sửa đổi phương pháp loại bỏ Gaussian này được gọi là phương pháp Gaussian với việc lựa chọn phần tử chính. Trường hợp xuất hiện các phần tử bằng 0 tự nó có thể tránh được.
Để thực hiện phương pháp này cần khoảng N Các phép tính 3/3 như nhân và N Các phép tính 3/3 như phép cộng. Sẽ rất hữu ích khi nhớ rằng ước tính số lượng phép toán được xác định chủ yếu bởi các phép toán được thực hiện khi thực hiện hành trình tiến của phương pháp Gaussian. Nghịch đảo của phương pháp Gaussian đòi hỏi khoảng n 2 hoạt động. Vì vậy, nếu bạn cần giải một số hệ phương trình đại số tuyến tính có dạng Rìu = b với cùng một ma trận và khác nhau về vế phải thì tổng số phép toán khi giải S hệ thống sẽ được đánh giá kích cỡ(2/3)p 3 + Sn 2 . Trong trường hợp này, nên triển khai thuật toán phương pháp Gaussian dưới dạng hai chương trình con: chương trình con thứ nhất sẽ thực hiện tiến trình tiến lên của thuật toán và lấy ma trận tam giác trên làm đầu ra, và chương trình con thứ hai sẽ sử dụng ma trận kết quả , tính nghiệm của hệ với vế phải tùy ý.
(SLAE), bao gồm các phương trình chưa biết:
Người ta giả định rằng có một giải pháp duy nhất cho hệ thống.
Bài viết này sẽ thảo luận về nguyên nhân lỗi phát sinh khi giải hệ thống bằng phương pháp Gauss, cách xác định và loại bỏ (giảm thiểu) lỗi này.
Mô tả phương pháp
Quy trình giải hệ phương trình tuyến tính
theo phương pháp Gauss gồm 2 giai đoạn:
1. Chúng tôi cho rằng . Sau đó, chúng ta chia phương trình đầu tiên của hệ cho hệ số và kết quả là chúng ta thu được phương trình.- Hành trình ngược Xác định trực tiếp ẩn số
Phân tích phương pháp
Phương pháp này thuộc loại phương pháp trực tiếp để giải hệ phương trình, có nghĩa là trong một số bước hữu hạn, bạn có thể thu được nghiệm chính xác, với điều kiện là dữ liệu đầu vào (ma trận và vế phải của phương trình - ) được chỉ định chính xác và việc tính toán được thực hiện không làm tròn. Để có được lời giải, cần phải có phép nhân và phép chia, tức là thứ tự thực hiện các phép tính.
Các điều kiện để phương pháp đưa ra nghiệm chính xác là không khả thi trong thực tế - cả lỗi dữ liệu đầu vào và lỗi làm tròn đều không thể tránh khỏi. Khi đó câu hỏi được đặt ra: có thể thu được lời giải bằng phương pháp Gauss chính xác đến mức nào, phương pháp này đúng đến mức nào? Hãy xác định độ ổn định của giải pháp đối với các tham số đầu vào. Cùng với hệ ban đầu, xét hệ nhiễu loạn:
Hãy để một số chuẩn mực được giới thiệu. - được gọi là số điều kiện của ma trận.
Có 3 trường hợp có thể xảy ra:
Số điều kiện của ma trận luôn là . Nếu nó lớn (), thì ma trận được cho là kém điều hòa. Trong trường hợp này, những nhiễu loạn nhỏ ở phía bên phải của hệ thống, gây ra bởi sự thiếu chính xác trong việc chỉ định dữ liệu ban đầu hoặc do lỗi tính toán, ảnh hưởng đáng kể đến giải pháp của hệ thống. Nói một cách đại khái, nếu sai số của vế phải là , thì sai số của nghiệm sẽ là .
Chúng ta hãy minh họa kết quả thu được bằng ví dụ số sau: Cho một hệ
Cô ấy có một giải pháp.
Bây giờ hãy xem xét hệ thống nhiễu loạn:
Giải pháp cho hệ thống như vậy sẽ là một vectơ.
Với một nhiễu loạn rất nhỏ ở vế phải, chúng ta thu được một nhiễu loạn lớn không tương xứng của nghiệm. Sự “không đáng tin cậy” này của lời giải có thể được giải thích là do ma trận gần như số ít: các đường thẳng tương ứng với hai phương trình gần như trùng nhau, như có thể thấy trên biểu đồ:
Kết quả này có thể được dự đoán do tính chất điều kiện kém của ma trận:
Việc tính toán khá phức tạp, có thể so sánh với lời giải của toàn hệ thống, do đó, các phương pháp thô hơn nhưng dễ thực hiện hơn được sử dụng để ước lượng sai số.
Phương pháp đánh giá sai sót
1) Tổng kiểm tra: thường được sử dụng để ngăn chặn các lỗi ngẫu nhiên trong quá trình tính toán mà không có sự trợ giúp của máy tính.Chúng tôi soạn một cột điều khiển bao gồm các thành phần điều khiển của hệ thống:
Khi chuyển đổi các phương trình, các thao tác tương tự được thực hiện trên các phần tử điều khiển cũng như trên các số hạng tự do của phương trình. Do đó, phần tử điều khiển của mỗi phương trình mới phải bằng tổng các hệ số của phương trình này. Sự khác biệt lớn giữa chúng cho thấy có lỗi trong tính toán hoặc tính không ổn định của thuật toán tính toán đối với lỗi tính toán.
2) Lỗi tương đối của một giải pháp đã biết cho phép bạn đưa ra đánh giá về lỗi của giải pháp mà không phải trả thêm chi phí đáng kể.
Một vectơ nhất định được chỉ định với các thành phần có cùng thứ tự và dấu nếu có thể với các thành phần của giải pháp mong muốn. Vectơ được tính toán và hệ được giải cùng với hệ phương trình ban đầu.
Hãy để và là giải pháp thực sự thu được của các hệ thống này. Có thể đưa ra phán đoán về sai số của lời giải mong muốn dựa trên giả thuyết: sai số tương đối khi giải các hệ có cùng ma trận và khác vế phải, lần lượt là các đại lượng và theo phương pháp loại trừ, không khác nhau một số lần rất lớn.
3) Thay đổi thang âm - một kỹ thuật được sử dụng để có được ý tưởng về mức độ thực sự của lỗi phát sinh do làm tròn số trong các phép tính.
Cùng với hệ ban đầu, hệ được giải bằng phương pháp tương tự
, ở đâu và là những con sốNếu không có lỗi làm tròn thì đẳng thức sẽ được giữ cho nghiệm của hệ thống ban đầu và hệ thống được chia tỷ lệ: . Do đó, đối với và , không phải là lũy thừa của hai, việc so sánh các vectơ sẽ đưa ra ý tưởng về độ lớn của sai số tính toán
Cải thiện phương pháp loại bỏ Gaussian
Những sửa đổi của phương pháp Gauss được thảo luận dưới đây có thể làm giảm sai số của kết quả.
Lựa chọn phần tử chính
Sự gia tăng sai số chính trong phương pháp xảy ra trong quá trình di chuyển về phía trước, khi hàng thứ đầu tiên được nhân với các hệ số. Nếu các hệ số là 1%20" alt=" >1 ">, thì các lỗi thu được ở các bước trước đó. Để tránh điều này, việc sửa đổi phương pháp được áp dụng Gaussian với việc chọn phần tử chính Ở mỗi bước, việc chọn phần tử tối đa theo cột được thêm vào sơ đồ thông thường như sau:
Giả sử hệ phương trình thu được bằng cách loại bỏ các ẩn số:
, .Hãy tìm thứ gì đó mà chúng ta có thể hoán đổi cấp độ -e và -e.
Trong nhiều trường hợp, phép biến đổi như vậy làm giảm đáng kể độ nhạy của lời giải đối với các sai số làm tròn trong phép tính.
Lặp đi lặp lại cải thiện kết quả
Nếu có nghi ngờ rằng giải pháp thu được bị sai lệch nghiêm trọng thì bạn có thể cải thiện kết quả như sau. Số lượng đó gọi là số dư. Sai số thỏa mãn hệ phương trình
.Giải hệ này, chúng ta thu được một xấp xỉ và giả sử
.Nếu độ chính xác của phép tính gần đúng này không đạt yêu cầu thì chúng tôi lặp lại thao tác này.
Quá trình có thể được tiếp tục cho đến khi tất cả các thành phần đủ nhỏ. Trong trường hợp này, bạn không thể dừng các phép tính chỉ vì tất cả các thành phần của vectơ dư đã trở nên đủ nhỏ: đây có thể là kết quả của việc điều chỉnh ma trận hệ số kém.
Ví dụ số
Ví dụ, hãy xem xét ma trận Vandermonde 7x7 và 2 vế phải khác nhau:
Những hệ thống này đã được giải quyết theo hai cách. Kiểu dữ liệu - float. Kết quả là chúng tôi đã nhận được kết quả sau:
| Phương pháp thông thường | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 0.999991 | 1 | 0.999996 | 1 |
| 1.00019 | 1 | 7.4774e-005 | 2.33e-008 |
| 0.998404 | 1 | 0.999375 | 1 |
| 1.00667 | 1 | 0.00263727 | 1.12e-006 |
| 0.985328 | 1 | 0.994149 | 1 |
| 1.01588 | 1 | 0.00637817 | 3.27e-006 |
| 0.993538 | 1 | 0.99739 | 1 |
| 0,045479 | 2.9826e-006 | 0,01818 | 8.8362e-006 |
| 0,006497 | 4.2608e-007 | 0,0045451 | 2.209e-006 |
| 0,040152 | 4.344e-005 | 0,083938 | 2.8654e-006 |
| Với lựa chọn phần tử hàng đầu theo dòng | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | -3.57628e-005 | 1.836e-007 |
| 1.00001 | 1 | 1.00031 | 1 |
| 0.999942 | 1 | -0.00133276 | 7.16e-006 |
| 1.00005 | 1 | 1.00302 | 0,99998 |
| 1.00009 | 1 | -0.0033505 | 1.8e-005 |
| 0.99991 | 1 | 1.00139 | 0,99999 |
| 0,000298 | 4.3835e-007 | 0,009439 | 5.0683e-005 |
| 4.2571e-005 | 6.2622e-008 | 0,0023542 | 1.2671e-005 |
| 0,010622 | 9.8016e-007 | 0,29402 | 1.4768e-006 |
Chúng ta tiếp tục xem xét các hệ phương trình tuyến tính. Bài học này là bài học thứ ba về chủ đề này. Nếu bạn chưa hiểu rõ về hệ phương trình tuyến tính nói chung là gì, nếu bạn cảm thấy thích một ấm trà, thì tôi khuyên bạn nên bắt đầu với những điều cơ bản trên trang Tiếp theo, sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu bài học.
Phương pháp Gaussian rất dễ dàng! Tại sao? Nhà toán học nổi tiếng người Đức Johann Carl Friedrich Gauss khi còn sống đã được công nhận là nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, một thiên tài và thậm chí còn có biệt danh là “Vua toán học”. Và mọi thứ khéo léo, như bạn biết, đều đơn giản! Nhân tiện, không chỉ những kẻ ngu ngốc mới có được tiền, mà còn cả những thiên tài - chân dung của Gauss có trên tờ tiền 10 Deutschmark (trước khi đồng euro ra đời), và Gauss vẫn mỉm cười bí ẩn với người Đức từ những con tem bưu chính thông thường.
Phương pháp Gauss đơn giản ở chỗ KIẾN THỨC CỦA HỌC SINH LỚP NĂM ĐỦ để nắm vững nó. Bạn phải biết cộng và nhân! Không phải ngẫu nhiên mà giáo viên thường quan tâm đến phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số trong các môn tự chọn toán học phổ thông. Đó là một nghịch lý, nhưng học sinh nhận thấy phương pháp Gaussian là khó nhất. Không có gì đáng ngạc nhiên - tất cả đều là về phương pháp luận và tôi sẽ cố gắng nói về thuật toán của phương pháp đó ở dạng dễ tiếp cận.
Đầu tiên chúng ta hãy hệ thống hóa một chút kiến thức về hệ phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính có thể:
1) Có một giải pháp độc đáo. 2) Có vô số nghiệm. 3) Không có giải pháp (được không khớp).
Phương pháp Gauss là công cụ mạnh mẽ và phổ biến nhất để tìm giải pháp bất kì hệ phương trình tuyến tính. Như chúng ta nhớ, Phương pháp ma trận và quy tắc Cramer không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Và phương pháp loại trừ tuần tự những ẩn số Dù sao sẽ dẫn chúng ta đến câu trả lời! Trong bài học này, chúng ta sẽ xem xét lại phương pháp Gauss cho trường hợp số 1 (lời giải duy nhất của hệ thống), một bài viết dành cho các tình huống ở điểm số 2-3. Tôi lưu ý rằng thuật toán của phương pháp này hoạt động giống nhau trong cả ba trường hợp.
Hãy quay lại hệ thống đơn giản nhất trong bài học Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính? và giải nó bằng phương pháp Gaussian.
Bước đầu tiên là viết ra ma trận hệ thống mở rộng: . Tôi nghĩ mọi người đều có thể thấy các hệ số được viết theo nguyên tắc nào. Đường thẳng đứng bên trong ma trận không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào - nó chỉ đơn giản là gạch ngang để dễ thiết kế.
Thẩm quyền giải quyết : Tôi khuyên bạn nên nhớ điều khoản đại số tuyến tính. Ma trận hệ thống là một ma trận chỉ bao gồm các hệ số cho ẩn số, trong ví dụ này là ma trận hệ thống: . Ma trận hệ thống mở rộng – đây chính là ma trận của hệ cộng với một cột các số hạng tự do, trong trường hợp này: . Để cho ngắn gọn, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được gọi đơn giản là ma trận.
Sau khi ma trận hệ thống mở rộng được viết, cần thực hiện một số hành động với nó, còn được gọi là các phép biến đổi cơ bản.
Có các phép biến đổi cơ bản sau:
1) Dây ma trận Có thể sắp xếp lạiở một số nơi. Ví dụ: trong ma trận đang được xem xét, bạn có thể sắp xếp lại hàng đầu tiên và hàng thứ hai một cách dễ dàng: 
2) Nếu có (hoặc đã xuất hiện) các hàng tỷ lệ (trong trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) trong ma trận, thì bạn nên xóa bỏ từ ma trận tất cả các hàng này ngoại trừ một hàng. Ví dụ, hãy xem xét ma trận 
. Trong ma trận này, ba hàng cuối cùng tỷ lệ thuận với nhau, vì vậy chỉ cần để lại một trong số chúng là đủ: 
.
3) Nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi thì nó cũng phải là xóa bỏ. Tất nhiên là tôi sẽ không vẽ, đường số 0 là đường trong đó tất cả số không.
4) Hàng ma trận có thể là nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác không. Ví dụ, hãy xem xét ma trận. Ở đây nên chia dòng đầu tiên cho –3 và nhân dòng thứ hai với 2: 
. Hành động này rất hữu ích vì nó đơn giản hóa các phép biến đổi tiếp theo của ma trận.
5) Sự chuyển đổi này gây ra nhiều khó khăn nhất nhưng thực tế cũng không có gì phức tạp cả. Đối với một hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác 0. Hãy xem ma trận của chúng ta từ một ví dụ thực tế: . Đầu tiên tôi sẽ mô tả sự chuyển đổi một cách chi tiết. Nhân dòng đầu tiên với –2: 
, Và ở dòng thứ hai chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –2: 
. Bây giờ dòng đầu tiên có thể được chia “trở lại” cho –2: . Như bạn có thể thấy, dòng được THÊM LI – vẫn chưa thay đổi. Luôn luôn dòng TO WHICH IS ADDED thay đổi UT.
Tất nhiên, trong thực tế, họ không viết chi tiết như vậy mà viết ngắn gọn: 
Một lần nữa: đến dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Một dòng thường được nhân lên bằng miệng hoặc bằng bản nháp, với quá trình tính nhẩm sẽ diễn ra như thế này:
“Tôi viết lại ma trận và viết lại dòng đầu tiên: 
»
“Cột đầu tiên. Ở phía dưới tôi cần lấy số không. Do đó, tôi nhân số ở trên cùng với –2: , và cộng số đầu tiên vào dòng thứ hai: 2 + (–2) = 0. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: 
»
“Bây giờ là cột thứ hai. Ở trên cùng, tôi nhân -1 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: 
»
“Và cột thứ ba. Ở trên cùng tôi nhân -5 với -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: –7 + 10 = 3. Tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: 
»
Hãy hiểu kỹ ví dụ này và hiểu thuật toán tính toán tuần tự, nếu bạn hiểu điều này thì phương pháp Gaussian thực tế nằm trong túi của bạn. Nhưng tất nhiên, chúng tôi vẫn sẽ tiếp tục thực hiện sự chuyển đổi này.
Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình
! CHÚ Ý: được coi là thao túng không thể sử dụng được, nếu bạn được giao một nhiệm vụ trong đó các ma trận được đưa ra “tự chúng”. Ví dụ: với “cổ điển” các phép toán với ma trận Trong mọi trường hợp, bạn không nên sắp xếp lại bất cứ thứ gì bên trong ma trận! Hãy quay trở lại hệ thống của chúng tôi. Nó gần như bị xé thành từng mảnh.
Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để rút gọn nó thành chế độ xem từng bước:
(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Và một lần nữa: tại sao chúng ta nhân dòng đầu tiên với –2? Để có số 0 ở cuối, có nghĩa là loại bỏ một biến ở dòng thứ hai.
(2) Chia dòng thứ hai cho 3.
Mục đích của các phép biến đổi cơ bản
–
giảm ma trận về dạng từng bước: 
. Khi thiết kế nhiệm vụ, các em chỉ cần đánh dấu các “cầu thang” bằng bút chì đơn giản, đồng thời khoanh tròn các số nằm trên “bậc thang”. Bản thân thuật ngữ “quan điểm từng bước” không hoàn toàn mang tính lý thuyết; trong tài liệu khoa học và giáo dục nó thường được gọi là góc nhìn hình thang hoặc chế độ xem hình tam giác.
Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta thu được tương đương hệ phương trình ban đầu:
Bây giờ hệ thống cần được “tháo cuộn” theo hướng ngược lại - từ dưới lên trên, quá trình này được gọi là nghịch đảo của phương pháp Gaussian.
Trong phương trình dưới, chúng ta đã có sẵn một kết quả: .
Hãy xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống và thay thế giá trị đã biết của “y” vào nó:
Hãy xem xét tình huống phổ biến nhất, khi phương pháp Gaussian yêu cầu giải một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.
Ví dụ 1
Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss: 
Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống: 
Bây giờ tôi sẽ rút ra ngay kết quả mà chúng ta sẽ đạt được trong quá trình giải: 
Và tôi nhắc lại, mục tiêu của chúng ta là đưa ma trận về dạng từng bước bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Bắt đầu từ đâu?
Đầu tiên, hãy nhìn vào số trên cùng bên trái: 
Đáng lẽ phải luôn ở đây đơn vị. Nói chung, –1 (và đôi khi các số khác) sẽ phù hợp, nhưng bằng cách nào đó, theo truyền thống, số 1 thường được đặt ở đó. Tổ chức đơn vị như thế nào? Chúng tôi nhìn vào cột đầu tiên - chúng tôi có một đơn vị đã hoàn thành! Chuyển đổi thứ nhất: hoán đổi dòng đầu tiên và dòng thứ ba: 
Bây giờ dòng đầu tiên sẽ không thay đổi cho đến khi kết thúc giải pháp. Nó đã dễ dàng hơn rồi.
Đơn vị ở góc trên bên trái được tổ chức. Bây giờ bạn cần lấy số không ở những nơi này: 
Chúng ta nhận được số 0 bằng cách sử dụng phép biến đổi “khó”. Đầu tiên chúng ta xử lý dòng thứ hai (2, –1, 3, 13). Cần phải làm gì để có được số 0 ở vị trí đầu tiên? cần phải vào dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với –2. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –2: (–2, –4, 2, –18). Và chúng tôi liên tục thực hiện phép cộng (trong đầu hoặc trong bản nháp), vào dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên, đã nhân với –2:
Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ hai: 
Chúng ta xử lý dòng thứ ba theo cách tương tự (3, 2, –5, –1). Để có được số 0 ở vị trí đầu tiên, bạn cần vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Trong đầu hoặc trong bản nháp, hãy nhân dòng đầu tiên với –3: (–3, –6, 3, –27). VÀ đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng đầu tiên nhân với –3:
Chúng tôi viết kết quả ở dòng thứ ba:
Trong thực tế, những hành động này thường được thực hiện bằng miệng và viết ra trong một bước: 
Không cần phải đếm mọi thứ cùng một lúc và cùng một lúc. Thứ tự tính toán và “ghi” kết quả nhất quán và thường thì nó như thế này: đầu tiên chúng ta viết lại dòng đầu tiên, và từ từ tự thổi phồng - MỘT CÁCH NHẤT ĐỊNH và CHĂM SÓC:
Và tôi đã thảo luận về quá trình tính toán tinh thần ở trên.
Trong ví dụ này, điều này rất dễ thực hiện; chúng ta chia dòng thứ hai cho –5 (vì tất cả các số ở đó đều chia hết cho 5 mà không có phần dư). Đồng thời, chúng ta chia dòng thứ ba cho –2, vì số càng nhỏ thì lời giải càng đơn giản:
Ở giai đoạn cuối cùng của các phép biến đổi cơ bản, bạn cần lấy một số 0 khác ở đây: 
Vì điều này đến dòng thứ ba chúng ta thêm dòng thứ hai nhân với –2:
Hãy cố gắng tự mình tìm ra hành động này - nhân dòng thứ hai với –2 và thực hiện phép cộng.
Hành động cuối cùng được thực hiện là kiểu tóc của kết quả, chia dòng thứ ba cho 3.
Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, thu được hệ phương trình tuyến tính tương đương: 
Mát mẻ.
Bây giờ mặt trái của phương pháp Gaussian được áp dụng. Các phương trình “thư giãn” từ dưới lên trên.
Trong phương trình thứ ba, chúng ta đã có sẵn kết quả:
Hãy xét phương trình thứ hai: . Ý nghĩa của "zet" đã được biết đến, do đó:
Và cuối cùng, phương trình đầu tiên: . “Igrek” và “zet” đều được biết đến, đó chỉ là vấn đề nhỏ nhặt:
Trả lời: 
Như đã được lưu ý nhiều lần, đối với bất kỳ hệ phương trình nào, việc kiểm tra nghiệm tìm được đều có thể và cần thiết, may mắn thay, việc này rất dễ dàng và nhanh chóng.
Ví dụ 2
Đây là ví dụ cho một giải pháp độc lập, mẫu của thiết kế cuối cùng và câu trả lời ở cuối bài học.
Cần lưu ý rằng tiến độ của quyết định có thể không trùng với quá trình ra quyết định của tôi, và đây là một đặc điểm của phương pháp Gauss. Nhưng câu trả lời phải giống nhau!
Ví dụ 3
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss 
Chúng ta nhìn vào “bậc thang” phía trên bên trái. Chúng ta nên có một cái ở đó. Vấn đề là ở cột đầu tiên không có đơn vị nào cả nên việc sắp xếp lại các hàng sẽ không giải quyết được gì. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. Tôi đã làm điều này: (1) Dòng đầu tiên thêm dòng thứ hai nhân với –1. Nghĩa là, chúng ta nhân dòng thứ hai với –1 rồi cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.
Bây giờ ở trên cùng bên trái có "trừ một", khá phù hợp với chúng tôi. Bất kỳ ai muốn nhận +1 đều có thể thực hiện một cử chỉ bổ sung: nhân dòng đầu tiên với –1 (đổi dấu của nó).
(2) Dòng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào dòng thứ ba.
(3) Dòng đầu tiên được nhân với –1, về nguyên tắc là để cho đẹp. Ký hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển xuống vị trí thứ hai, để ở “bước” thứ hai chúng ta có đơn vị cần thiết.
(4) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 2.
(5) Dòng thứ ba chia cho 3.
Một dấu hiệu xấu cho thấy có lỗi trong tính toán (hiếm gặp hơn là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng “xấu”. Nghĩa là, nếu chúng ta có một cái gì đó như , bên dưới, và theo đó, 
, thì với xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình biến đổi cơ bản.
Chúng tôi tính ngược lại, khi thiết kế các ví dụ, họ thường không viết lại chính hệ thống mà các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi xin nhắc bạn, nét ngược lại hoạt động từ dưới lên trên. Vâng, đây là một món quà:
Trả lời: 
.
Ví dụ 4
Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss 
Đây là ví dụ để các bạn tự giải, nó có phần phức tạp hơn. Không sao nếu ai đó bối rối. Giải pháp đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài học. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của tôi.
Trong phần cuối chúng ta sẽ xem xét một số tính năng của thuật toán Gaussian. Đặc điểm đầu tiên là đôi khi một số biến bị thiếu trong các phương trình của hệ thống, ví dụ: 
Làm thế nào để viết chính xác ma trận hệ thống mở rộng? Tôi đã nói về điểm này trong lớp. Quy tắc Cramer. Phương pháp ma trận. Trong ma trận mở rộng của hệ thống, chúng ta đặt các số 0 thay cho các biến bị thiếu: 
Nhân tiện, đây là một ví dụ khá dễ dàng, vì cột đầu tiên đã có một số 0 và có ít phép biến đổi cơ bản hơn để thực hiện.
Tính năng thứ hai là thế này. Trong tất cả các ví dụ được xem xét, chúng tôi đặt –1 hoặc +1 cho “bậc thang”. Có thể có những con số khác ở đó? Trong một số trường hợp họ có thể. Hãy xem xét hệ thống: 
.
Ở đây ở “bậc thang” phía trên bên trái, chúng ta có hai. Nhưng chúng tôi nhận thấy thực tế là tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2 mà không có phần dư - và số còn lại là hai và sáu. Và hai cái ở trên cùng bên trái sẽ phù hợp với chúng ta! Ở bước đầu tiên, bạn cần thực hiện các phép biến đổi sau: thêm dòng đầu tiên nhân với –1 vào dòng thứ hai; vào dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với –3. Bằng cách này, chúng ta sẽ nhận được các số 0 cần thiết trong cột đầu tiên.
Hoặc một ví dụ thông thường khác: 
. Ở đây, ba ở “bước” thứ hai cũng phù hợp với chúng ta, vì 12 (nơi chúng ta cần lấy số 0) chia hết cho 3 mà không có số dư. Cần phải thực hiện phép biến đổi sau: thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba, nhân với –4, kết quả là chúng ta sẽ thu được số 0 mà chúng ta cần.
Phương pháp của Gauss là phổ quát, nhưng có một điểm đặc biệt. Bạn có thể tự tin học cách giải các hệ thống bằng các phương pháp khác (phương pháp Cramer, phương pháp ma trận) ngay lần đầu tiên - chúng có thuật toán rất nghiêm ngặt. Nhưng để cảm thấy tự tin với phương pháp Gaussian, bạn nên “bắt tay vào nghề” và giải ít nhất 5-10 hệ mười. Vì vậy, lúc đầu có thể có sự nhầm lẫn và sai sót trong tính toán, và điều này không có gì bất thường hay bi thảm.
Ngoài cửa sổ mưa thu mùa thu.... Do đó, dành cho những ai muốn có một ví dụ phức tạp hơn để tự mình giải quyết:
Ví dụ 5
Giải hệ 4 phương trình tuyến tính với 4 ẩn bằng phương pháp Gauss. 
Một nhiệm vụ như vậy không quá hiếm trong thực tế. Tôi nghĩ ngay cả một ấm trà đã nghiên cứu kỹ lưỡng trang này cũng sẽ hiểu được thuật toán giải hệ thống như vậy một cách trực quan. Về cơ bản, mọi thứ đều giống nhau - chỉ có nhiều hành động hơn.
Các trường hợp hệ không có nghiệm (không nhất quán) hoặc có vô số nghiệm được thảo luận trong bài Hệ thống không tương thích và hệ thống có giải pháp chung. Ở đó bạn có thể sửa thuật toán được xem xét của phương pháp Gaussian.
Tôi chúc bạn thành công!
Giải pháp và câu trả lời:
Ví dụ 2:
Giải pháp
:
Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước.
Các phép biến đổi cơ bản được thực hiện:
(1) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1.
Chú ý!
Ở đây bạn có thể muốn trừ dòng đầu tiên khỏi dòng thứ ba; tôi thực sự khuyên bạn không nên trừ nó - nguy cơ xảy ra lỗi sẽ tăng lên rất nhiều. Chỉ cần gấp nó lại!
(2) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ hai và thứ ba đã được hoán đổi cho nhau.
Xin lưu ý
, rằng trên các “bước”, chúng tôi hài lòng không chỉ với một mà còn với –1, điều này thậm chí còn thuận tiện hơn.
(3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 5.
(4) Dấu của dòng thứ hai bị thay đổi (nhân với –1). Dòng thứ ba được chia cho 14.
Đảo ngược:
Trả lời
:
.
Ví dụ 4:
Giải pháp
:
Chúng ta hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:
Chuyển đổi được thực hiện: (1) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên. Do đó, đơn vị mong muốn được sắp xếp ở “bậc thang” phía trên bên trái. (2) Dòng đầu tiên nhân với 7 được thêm vào dòng thứ hai. Dòng đầu tiên nhân với 6 được thêm vào dòng thứ ba.
Với “bước” thứ hai, mọi thứ trở nên tồi tệ hơn , “ứng cử viên” cho nó là các số 17 và 23, và chúng ta cần một hoặc –1. Các phép biến đổi (3) và (4) sẽ nhằm mục đích đạt được đơn vị mong muốn (3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –1. (4) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –3. Đã nhận được mục yêu cầu ở bước thứ hai . (5) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba, nhân với 6. (6) Dòng thứ hai nhân với –1, dòng thứ ba chia cho -83.
Đảo ngược:
Trả lời :
Ví dụ 5:
Giải pháp
:
Chúng ta hãy viết ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:
Chuyển đổi được thực hiện: (1) Dòng đầu tiên và dòng thứ hai đã được hoán đổi cho nhau. (2) Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ hai, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với –2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –3. (3) Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba nhân với 4. Dòng thứ hai cộng vào dòng thứ tư nhân với –1. (4) Dấu của dòng thứ hai đã được thay đổi. Dòng thứ tư được chia cho 3 và đặt ở vị trí của dòng thứ ba. (5) Dòng thứ ba được thêm vào dòng thứ tư, nhân với –5.
Đảo ngược:
Trả lời :
Khi giải hệ phương trình
Phiên bản đơn giản nhất của phương pháp Gaussian dẫn đến sai số lớn. Nguyên nhân là do xuất hiện các hệ số lớn, việc làm tròn dẫn đến sai số tuyệt đối lớn D ~ 0,5. Đổi lại, hệ số lớn thu được sau khi chia cho hệ số dẫn nhỏ 
.
Phần kết luận:Để giảm tác động của lỗi làm tròn, bạn cần chọn phần tử dẫn đầu không chỉ khác 0 mà còn đủ lớn.
Sửa đổi đầu tiên của phương pháp Gauss– tìm kiếm theo chuỗi. Trong thuật toán, phần tử dẫn đầu phải được chọn từ điều kiện.
Thiếu sửa đổi. Giả sử x i được tìm thấy có lỗi D. Khi đó, khi tìm kiếm bất kỳ x s nào, theo công thức nghịch đảo, cần phải nhân . Trong trường hợp này, lỗi D cũng sẽ được nhân với . Nếu giá trị lớn, lỗi sẽ tăng lên.
Phần kết luận: cần phải đảm bảo rằng phần tử dẫn đầu không chỉ lớn mà còn là modulo lớn nhất trong dòng của nó. Khi đó, khi chuẩn hóa đường dẫn đầu, tất cả các hệ số khác theo công thức (5) sẽ nhỏ hơn 1 về giá trị tuyệt đối và các sai số sẽ là giảm bớt.
Sửa đổi thứ hai của phương pháp Gauss- tìm kiếm theo cột Yêu cầu này có thể được đáp ứng nếu các ẩn số x i được loại trừ theo thứ tự ngẫu nhiên và dòng đầu tiên được tìm kiếm, cung cấp . Đây sẽ là yếu tố dẫn đầu tiếp theo. Sau khi xác định được phần tử đứng đầu, đổi chỗ thứ k và thứ r cột.
Chú ý. Với sự thay thế như vậy, việc đánh số các ẩn số x i sẽ thay đổi. Để đảm bảo việc thay thế như vậy cần nhập mảng p 1 ,…p n với các số thực của ẩn số trong quá trình lập trình. Khi bắt đầu hành trình tiến, tất cả p i = i đều là cách đánh số thông thường. Sau khi tìm được phần tử đứng đầu, hoán đổi p k và p r . Trong hành trình lùi, x i được đánh số lại được tính bằng công thức (7). Sau khi tính toán tất cả các ẩn số, chúng ta phải đặt y]:=x[i] và một mảng y[i] sẽ là giải pháp cuối cùng cho vấn đề.
Sửa đổi thứ ba của phương pháp Gauss- tìm kiếm đầy đủ Phần tử phân phối được chọn làm phần tử dẫn đầu. Trong trường hợp này, cột thứ k và thứ r, p k và p r, cũng như hàng thứ m và thứ k được hoán đổi. Việc sửa đổi này mang lại độ chính xác tối đa nhưng cũng phức tạp nhất.
Ứng dụng phương pháp Gauss để giải các bài toán đại số tuyến tính khác nhau
1. Đảo ngược ma trận. Cần tính ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A. Ký hiệu X = A –1. Như bạn đã biết, AX = I, trong đó I là ma trận đồng nhất, trong đó các số 1 nằm dọc theo đường chéo và các phần tử còn lại bằng 0. Nói cách khác, cột thứ i của ma trận I bằng
(1 ở vị trí thứ i). Cho x(i) là cột thứ i của ma trận X. Khi đó, áp dụng quy tắc nhân ma trận (hàng nhân với cột), ta có A x(i) = e(i). Điều này có nghĩa là để đảo ngược ma trận chúng ta cần giải N hệ phương trình tuyến tính có ma trận giống nhau và vế phải khác nhau:
Ồ = e (1) ; Ồ = e (2) ; …; Ồ = e (N) . (2.1)
Giải các hệ này ta thấy các nghiệm tìm được x(1), x(2), ..., x(n) là các cột của ma trận A –1.
2. Tính định thức. Trong quá trình chuyển đổi ma trận A sang dạng tam giác bằng phương pháp Gaussian, chúng tôi đã thực hiện các thao tác sau với nó:
1) sắp xếp lại các hàng hoặc cột tùy thuộc vào việc sửa đổi phương pháp;
2) chia dòng đầu cho phần tử đầu khác 0;
3) một hàng đầu nhân với một số nhất định đã được thêm vào các hàng của ma trận.
Như đã biết, trong các phép biến đổi như vậy, định thức của ma trận trải qua những thay đổi tương ứng:
1) đổi dấu;
2) được chia cho cùng một phần tử;
3) không thay đổi.
Sau khi di chuyển về phía trước, ma trận A sẽ được rút gọn về dạng tam giác trên với các ma trận nằm trên đường chéo chính. Định thức của ma trận như vậy hiển nhiên bằng 1. Xét đến những thay đổi mà định thức của ma trận A trải qua trong quá trình biến đổi, ta có công thức sau:
det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n ,
trong đó a j j là phần tử dẫn đầu, s là số hoán vị của hàng và/hoặc cột khi tìm kiếm phần tử dẫn đầu.
CÂU HỎI VÀ NHIỆM VỤ KIỂM TRA
1. thủ công triển khai phương pháp Gaussian (tìm kiếm theo hàng, cột, trong toàn bộ ma trận - tùy thuộc vào tùy chọn nhiệm vụ) cho một hệ phương trình nhất định
và hoàn thành các nhiệm vụ sau
1) Giải hệ phương trình này
2) Tính định thức của ma trận hệ này ( phương pháp Gaussian– xem p 2 ).
3) Đảo ngược ma trận của hệ thống này ( phương pháp Gaussian– xem p 1 ).
Trong tương lai, hãy sử dụng kết quả giải quyết vấn đề này làm ví dụ thử nghiệm.
2. Tạo chương trình giải hệ tuyến tính bằng phương pháp Gaussian (tìm kiếm theo hàng, cột, trong toàn bộ ma trận - tùy thuộc vào phiên bản của nhiệm vụ) và thực hiện đảo ngược ma trận bằng chương trình này.
Một trong những cách đơn giản nhất để giải hệ phương trình tuyến tính là kỹ thuật dựa trên việc tính các định thức ( Quy tắc Cramer). Ưu điểm của nó là cho phép bạn ghi lại lời giải ngay lập tức; nó đặc biệt thuận tiện trong trường hợp các hệ số của hệ thống không phải là số mà là một số tham số. Nhược điểm của nó là tính toán phức tạp trong trường hợp có số lượng lớn phương trình; hơn nữa, quy tắc Cramer không thể áp dụng trực tiếp cho các hệ trong đó số phương trình không trùng với số ẩn số. Trong những trường hợp như vậy, nó thường được sử dụng phương pháp Gaussian.
Hệ phương trình tuyến tính có cùng tập nghiệm được gọi là tương đương. Rõ ràng, tập nghiệm của một hệ tuyến tính sẽ không thay đổi nếu bất kỳ phương trình nào bị hoán đổi hoặc nếu một trong các phương trình được nhân với một số khác 0 hoặc nếu một phương trình được thêm vào một phương trình khác.
Phương pháp Gauss (phương pháp loại bỏ tuần tự các ẩn số) là với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, hệ thống được rút gọn thành một hệ thống tương đương thuộc loại bước. Đầu tiên, sử dụng phương trình 1, chúng ta loại bỏ x 1 trong tất cả các phương trình tiếp theo của hệ. Sau đó, sử dụng phương trình thứ 2, chúng ta loại bỏ x 2 từ phương trình thứ 3 và tất cả các phương trình tiếp theo. Quá trình này, được gọi là phương pháp Gaussian trực tiếp, tiếp tục cho đến khi chỉ còn một ẩn số ở vế trái của phương trình cuối cùng x n. Sau đó, nó được thực hiện nghịch đảo của phương pháp Gaussian- giải phương trình cuối cùng ta tìm được x n; sau đó, sử dụng giá trị này, từ phương trình áp chót, chúng ta tính được x n–1, v.v. Chúng tôi tìm thấy cái cuối cùng x 1 từ phương trình đầu tiên.
Thật thuận tiện khi thực hiện các phép biến đổi Gaussian bằng cách thực hiện các phép biến đổi không phải với chính các phương trình mà với ma trận các hệ số của chúng. Hãy xem xét ma trận:
gọi điện ma trận mở rộng của hệ thống, bởi vì, ngoài ma trận chính của hệ thống, nó còn có một cột các thuật ngữ tự do. Phương pháp Gaussian dựa trên việc quy đổi ma trận chính của hệ thành dạng tam giác (hoặc dạng hình thang trong trường hợp hệ không vuông) bằng cách sử dụng các phép biến đổi hàng cơ bản (!) của ma trận mở rộng của hệ.
Ví dụ 5.1. Giải hệ phương trình Gaussian:
Giải pháp. Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng hàng đầu tiên, sau đó chúng ta sẽ đặt lại các phần tử còn lại:
chúng ta nhận được số 0 ở hàng thứ 2, thứ 3 và thứ 4 của cột đầu tiên:
Bây giờ chúng ta cần tất cả các phần tử trong cột thứ hai bên dưới hàng thứ 2 bằng 0. Để làm điều này, bạn có thể nhân dòng thứ hai với –4/7 và cộng nó vào dòng thứ 3. Tuy nhiên, để không phải xử lý phân số, chúng ta hãy tạo đơn vị ở hàng thứ 2 của cột thứ hai và chỉ
Bây giờ, để có được ma trận tam giác, bạn cần đặt lại phần tử của hàng thứ tư của cột thứ 3; để làm được điều này, bạn có thể nhân hàng thứ ba với 8/54 và cộng nó vào hàng thứ tư. Tuy nhiên, để không xử lý phân số, chúng ta sẽ hoán đổi hàng thứ 3 và thứ 4 cũng như cột thứ 3 và thứ 4 và chỉ sau đó chúng ta sẽ đặt lại phần tử đã chỉ định. Lưu ý khi sắp xếp lại các cột các biến tương ứng sẽ thay đổi vị trí và điều này phải được ghi nhớ; không thể thực hiện được các phép biến đổi cơ bản khác có cột (cộng và nhân với một số)!
Ma trận đơn giản hóa cuối cùng tương ứng với hệ phương trình tương đương với ma trận ban đầu:
Từ đây, sử dụng nghịch đảo của phương pháp Gaussian, chúng ta tìm được từ phương trình thứ tư x 3 = –1; từ thứ ba x 4 = –2, tính từ giây x 2 = 2 và từ phương trình đầu tiên x 1 = 1. Ở dạng ma trận, đáp án được viết là
Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi hệ thống là xác định, tức là. khi chỉ có một giải pháp. Hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu hệ thống không nhất quán hoặc không chắc chắn.
Ví dụ 5.2. Khám phá hệ thống bằng phương pháp Gaussian:
Giải pháp. Chúng tôi viết ra và biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống
Chúng tôi viết một hệ phương trình đơn giản:
Ở đây, trong phương trình cuối cùng, hóa ra 0=4, tức là mâu thuẫn. Do đó, hệ thống không có giải pháp, tức là. cô ấy không tương thích. à
Ví dụ 5.3. Khám phá và giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian:
Giải pháp. Chúng tôi viết ra và biến đổi ma trận mở rộng của hệ thống:
Do sự biến đổi, dòng cuối cùng chỉ chứa số không. Điều này có nghĩa là số phương trình đã giảm đi một:
Như vậy, sau khi đơn giản hóa, còn lại hai phương trình và bốn ẩn số, tức là hai "phụ" không xác định. Hãy để chúng "thừa", hoặc, như người ta nói, biến miễn phí, sẽ x 3 và x 4. Sau đó
tin tưởng x 3 = 2Một Và x 4 = b, chúng tôi nhận được x 2 = 1–Một Và x 1 = 2b–Một; hoặc ở dạng ma trận
Một giải pháp được viết theo cách này được gọi là tổng quan, bởi vì, đưa ra các tham số Một Và b các giá trị khác nhau thì có thể mô tả được tất cả các nghiệm có thể có của hệ thống. Một