Để chế tạo vỏ máy, vỏ máy, thiết bị thông gió, đường ống, cần phải cắt bỏ sự phát triển của chúng từ vật liệu tấm.
Phát triển bề mặt khối đa diện là một hình phẳng thu được bằng cách kết hợp với mặt phẳng vẽ tất cả các mặt của khối đa diện theo thứ tự vị trí của chúng trên khối đa diện.
Để xây dựng sự phát triển bề mặt của khối đa diện, bạn cần xác định kích thước tự nhiên của các mặt và vẽ tất cả các mặt một cách tuần tự trên mặt phẳng. Kích thước thực của các cạnh của các mặt, nếu chúng không được chiếu ở kích thước đầy đủ, được tìm bằng các phương pháp xoay hoặc thay đổi mặt phẳng chiếu (bằng cách chiếu lên một mặt phẳng bổ sung) được đưa ra trong đoạn trước.
Hãy xem xét việc xây dựng các diễn biến bề mặt của một số vật thể đơn giản.
Sự phát triển bề mặt của lăng kính thẳng là một hình phẳng được tạo thành từ các mặt bên - hình chữ nhật và hai đa giác đáy bằng nhau. Ví dụ, lấy một lăng trụ lục giác đều bên phải (Hình 176, a). Tất cả các mặt bên của lăng kính đều là hình chữ nhật, có chiều rộng a và chiều cao H; Đáy của lăng trụ là các hình lục giác đều có cạnh bằng a. Vì chúng ta biết kích thước thực của các mặt nên không khó để xây dựng một công trình. Để làm điều này, sáu đoạn được xếp tuần tự trên một đường ngang bằng cạnh đáy của hình lục giác, tức là 6a. Từ các điểm thu được, dựng các đường vuông góc bằng chiều cao của lăng kính H và vẽ một đường ngang thứ hai đi qua các điểm cuối của đường vuông góc. Hình chữ nhật thu được (H x 6a) là sự phát triển của bề mặt bên của lăng kính. Sau đó, các hình cơ sở được đặt trên một trục - hai hình lục giác có cạnh bằng a. Đường viền được phác thảo bằng một đường chính liền nét và các đường gấp được phác thảo bằng một đường nét đứt có hai dấu chấm.
Theo cách tương tự, bạn có thể xây dựng các diễn biến của lăng kính thẳng với bất kỳ hình nào ở đáy.
Sự phát triển bề mặt của một kim tự tháp thông thường là một hình phẳng bao gồm các mặt bên - các hình tam giác cân hoặc đều và một đa giác đáy đều. Ví dụ: lấy một hình chóp tứ giác đều (Hình 176, b). Việc giải quyết vấn đề rất phức tạp bởi thực tế là không xác định được kích thước của các mặt bên của hình chóp, vì các cạnh của các mặt không song song với bất kỳ mặt phẳng chiếu nào. Do đó, việc xây dựng bắt đầu bằng việc xác định giá trị thực của cạnh nghiêng SA. Sau khi xác định bằng phương pháp quay (xem Hình 173, c) chiều dài thực của cạnh nghiêng SA bằng s"a` 1 (Hình 176, b), vẽ một cung có bán kính s"a` 1 từ một điểm O tùy ý, kể từ tâm. Bốn đoạn được đặt trên một vòng cung, bằng cạnh của đáy kim tự tháp, được chiếu trong bản vẽ theo kích thước thật của nó. Các điểm tìm thấy được nối bằng các đường thẳng với điểm O. Sau khi có được sự phát triển của bề mặt bên, một hình vuông bằng đáy của hình chóp được gắn vào đáy của một trong các hình tam giác.
Sự phát triển bề mặt của hình nón tròn vuông là một hình phẳng bao gồm một hình tròn và một hình tròn (Hình 176, c). Việc xây dựng được thực hiện như sau. Vẽ một đường trục và từ một điểm nằm trên nó, kể từ tâm, có bán kính Rh bằng đường sinh của hình nón sfd, vẽ một cung tròn. Trong ví dụ này, bộ tạo, được tính bằng định lý Pythagore, xấp xỉ bằng
Chúng ta thường gặp những diễn biến bề mặt trong đời sống hằng ngày, trong sản xuất và xây dựng. Để làm vỏ cho một cuốn sách (Hình 169), may bìa cho một chiếc vali, lốp cho quả bóng chuyền, v.v., bạn phải có khả năng xây dựng sự phát triển của các bề mặt của lăng kính, quả bóng và các vật thể hình học khác. Sự phát triển là một hình thu được bằng cách kết hợp bề mặt của một vật thể nhất định với một mặt phẳng. Đối với một số cơ thể, bản quét có thể chính xác, đối với những cơ thể khác, chúng có thể gần đúng. Tất cả các khối đa diện (lăng kính, hình chóp, v.v.), bề mặt hình trụ và hình nón, và một số bề mặt khác đều có sự phát triển chính xác. Các phát triển gần đúng có một quả bóng, một hình xuyến và các bề mặt xoay khác với một đường sinh cong. Chúng tôi sẽ gọi nhóm bề mặt đầu tiên là có thể phát triển được, nhóm thứ hai là không thể phát triển được.
TBegin-->TENd-->
Bắt đầu--> 
TEnd-->
Khi xây dựng sự phát triển của các khối đa diện, bạn sẽ phải tìm kích thước thực tế của các cạnh và mặt của các khối đa diện này bằng cách xoay hoặc thay đổi các mặt phẳng chiếu. Khi xây dựng các phát triển gần đúng cho các bề mặt không thể phát triển, sẽ cần phải thay thế các phần của bề mặt sau bằng các bề mặt có thể phát triển có hình dạng gần với chúng.
Để thực hiện quét bề mặt bên của lăng kính (Hình 170), người ta giả định rằng mặt phẳng quét trùng với mặt AADD của lăng kính; các mặt khác của lăng kính thẳng hàng với cùng một mặt phẳng, như thể hiện trong hình. Mặt ССВВ được kết hợp sơ bộ với mặt ААВВ. Các đường gấp theo GOST 2.303-68 được vẽ bằng các đường liền mảnh có độ dày s/3-s/4. Các điểm trên bản quét thường được biểu thị bằng các chữ cái giống như trên bản vẽ phức tạp, nhưng có chỉ số 0 (không). Khi xây dựng hình lăng trụ thẳng theo một bản vẽ phức tạp (Hình 171, a), chiều cao của các mặt được lấy từ hình chiếu chính diện và chiều rộng từ hình chiếu ngang. Thông thường, người ta xây dựng một bản quét sao cho mặt trước của bề mặt hướng về phía người quan sát (Hình 171, b). Điều kiện này rất quan trọng cần được quan sát vì một số chất liệu (da, vải) có hai mặt: mặt trước và mặt sau. Các đáy của lăng kính ABCD được gắn vào một trong các mặt của mặt bên.
Nếu điểm 1 được chỉ định trên bề mặt của lăng kính thì nó được chuyển sang phát triển bằng cách sử dụng hai đoạn được đánh dấu trên bản vẽ phức tạp bằng một và hai nét, đoạn đầu tiên C1l1 được đặt ở bên phải điểm C0 và đoạn thứ hai được đặt thẳng đứng (đến điểm l0).
Bắt đầu--> 
TEnd-->
Tương tự, sự phát triển bề mặt của hình trụ quay được xây dựng (Hình 172). Chia bề mặt của hình trụ thành một số phần bằng nhau nhất định, ví dụ 12, và trải rộng bề mặt nội tiếp của một lăng kính mười cạnh đều. Chiều dài quét với cấu trúc này hóa ra nhỏ hơn một chút so với chiều dài quét thực tế. Nếu cần độ chính xác đáng kể thì phương pháp phân tích đồ họa sẽ được sử dụng. Đường kính d của chu vi đáy hình trụ (Hình 173, a) nhân với số π = 3,14; kích thước kết quả được sử dụng làm chiều dài phát triển (Hình 173, b) và chiều cao (chiều rộng) được lấy trực tiếp từ bản vẽ. Các đế của hình trụ được gắn vào sự phát triển của bề mặt bên.
Bắt đầu--> 
TEnd-->
Ví dụ, nếu điểm A được cho trên bề mặt của hình trụ, giữa thế hệ thứ 1 và thế hệ thứ 2, thì vị trí của nó trên sự phát triển được tìm thấy bằng cách sử dụng hai đoạn: một dây cung được đánh dấu bằng một đường dày (ở bên phải điểm l1), và một đoạn bằng khoảng cách từ điểm A đến đáy trên của hình trụ, được đánh dấu trên hình vẽ bằng hai nét.
Việc xây dựng sự phát triển của một kim tự tháp khó khăn hơn nhiều (Hình 174, a). Các cạnh SA và SC của nó là các đường thẳng ở vị trí tổng quát và được chiếu lên cả hai mặt phẳng chiếu do biến dạng. Trước khi xây dựng sự phát triển, cần phải tìm giá trị thực tế của từng cạnh. Kích thước của cạnh SB được tìm bằng cách dựng hình chiếu thứ ba của nó, vì cạnh này song song với mặt phẳng P3. Các cạnh SA và SC được quay quanh một trục chiếu nằm ngang đi qua đỉnh S sao cho chúng song song với mặt phẳng trước của các hình chiếu P (giá trị thực của cạnh SB có thể được tìm theo cách tương tự).
Bắt đầu--> 
TEnd-->
Sau khi xoay như vậy, các hình chiếu phía trước S 2 A 2 và S 2 C 2 của chúng sẽ bằng kích thước thực tế của các gân SA và SC. Các cạnh của đáy hình chóp giống như những đường thẳng nằm ngang, được chiếu lên mặt phẳng chiếu P 1 mà không bị biến dạng. Có ba mặt của mỗi mặt và sử dụng phương pháp serif, rất dễ dàng để tạo ra một sự phát triển (Hình 174, b). Việc xây dựng bắt đầu từ mặt trước; Đoạn A 0 C 0 = A 1 C 1 được xếp trên một đường thẳng nằm ngang, khía thứ nhất được làm có bán kính A 0 S 0 - A 2 S 2 đoạn thứ hai - có bán kính C 0 S 0 = = G 2 S 2 ; tại giao điểm của các serif, thu được điểm S. Chấp nhận bên đặt hàng A 0 S 0 ; từ điểm A 0 tạo một vết khía có bán kính A 0 B 0 =A 1 B 1 từ điểm S 0 tạo một vết khía có bán kính S 0 B 0 =S 3 B 3 ; tại giao điểm của các serif, thu được điểm B 0. Tương tự, mặt S 0 B 0 C 0 gắn vào cạnh S 0 G 0 . Cuối cùng, tam giác đáy A 0 G 0 S 0 được gắn vào cạnh A 0 C 0 . Độ dài các cạnh của tam giác này có thể được lấy trực tiếp từ quá trình phát triển, như thể hiện trong hình vẽ.
Sự phát triển của hình nón quay được xây dựng giống như sự phát triển của kim tự tháp. Chia chu vi của đế thành các phần bằng nhau, ví dụ thành 12 phần (Hình 175, a) và tưởng tượng rằng một hình chóp mười cạnh đều được nội tiếp trong hình nón. Ba mặt đầu tiên được thể hiện trong bản vẽ. Bề mặt của hình nón được cắt dọc theo đường sinh S6. Như đã biết từ hình học, sự phát triển của hình nón được biểu thị bằng một phần của hình tròn có bán kính bằng chiều dài của hình nón l. Tất cả các đường sinh của một hình nón tròn đều bằng nhau, do đó chiều dài thực tế của đường sinh l bằng hình chiếu trực diện của đường sinh bên trái (hoặc bên phải). Từ điểm S 0 (Hình 175, b) một đoạn 5000 =l được đặt thẳng đứng. Một cung tròn được vẽ với bán kính này. Từ điểm O 0, các đoạn Ol 0 = O 1 l 1, 1 0 2 0 = 1 1 2 1, v.v. được loại bỏ bằng cách tách ra sáu đoạn, chúng ta có được điểm 60, được nối với đỉnh S0. . Phần bên trái của bản quét được xây dựng theo cách tương tự; Đế của hình nón được gắn bên dưới.
Bắt đầu--> 
TEnd-->
Nếu bạn cần đặt điểm B khi quét, thì hãy vẽ đường sinh SB qua nó (trong trường hợp của chúng tôi là S 2), áp dụng đường sinh này vào quá trình quét (S 0 2 0); xoay ma trận sinh có điểm B sang phải cho đến khi nó thẳng hàng với ma trận sinh S 3 (S 2 5 2), tìm khoảng cách thực tế S 2 B 2 và đặt nó sang một bên so với điểm S 0. Các đoạn tìm thấy được đánh dấu trên bản vẽ bằng ba nét.
Nếu không cần thiết phải vẽ đồ thị các điểm trên phép quét hình nón thì nó có thể được xây dựng nhanh hơn và chính xác hơn vì đã biết rằng góc khu vực quét là a=360°R/l, bán kính của đường tròn cơ sở và l là chiều dài của đường sinh hình nón.
Xi lanh (hình trụ tròn thẳng) là một vật thể bao gồm hai đường tròn (đế của một hình trụ), được kết hợp bằng phép dịch song song và tất cả các đoạn nối các điểm tương ứng của các đường tròn này trong quá trình dịch song song. Các đoạn nối các điểm tương ứng của các đường tròn đáy được gọi là các phần tử sinh của hình trụ.
Đây là một định nghĩa khác:
Xi lanh- một vật thể được giới hạn bởi một bề mặt hình trụ có dẫn hướng khép kín và hai mặt phẳng song song giao nhau với các đường sinh của bề mặt này.
Bề mặt hình trụ- một bề mặt được hình thành do chuyển động của một đường thẳng dọc theo một đường cong nhất định. Đường thẳng được gọi là đường sinh của bề mặt hình trụ, đường cong được gọi là đường dẫn của bề mặt hình trụ.
Bề mặt bên của xi lanh- phần của bề mặt hình trụ được giới hạn bởi các mặt phẳng song song.
Đế xi lanh- các phần của mặt phẳng song song bị cắt bởi bề mặt bên của hình trụ.
Hình 1 mini
Xi lanh được gọi là trực tiếp(Cm. Hình 1), nếu các phần tử sinh của nó vuông góc với các mặt phẳng của các đáy. Ngược lại hình trụ được gọi là nghiêng.
Xi lanh tròn- một hình trụ có đáy là hình tròn.
Hình trụ tròn bên phải (chỉ là hình trụ) là một vật thể thu được bằng cách xoay một hình chữ nhật quanh một trong các cạnh của nó. Cm. Hình 1.
Bán kính xi lanh là bán kính đáy của nó.
Máy phát điện xi lanh- tạo của một bề mặt hình trụ.
Chiều cao xi lanhđược gọi là khoảng cách giữa các mặt phẳng của các đáy. Trục xi lanh gọi là đường thẳng đi qua tâm của các đáy. Tiết diện của hình trụ bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ được gọi là phần trục.
Trục của hình trụ song song với trục sinh của nó và là trục đối xứng của hình trụ.
Mặt phẳng đi qua đường sinh của hình trụ thẳng và vuông góc với tiết diện trục vẽ qua đường sinh này gọi là mặt phẳng tiếp tuyến của hình trụ. Cm. Hình 2.
Sự phát triển bề mặt bên của hình trụ- một hình chữ nhật có cạnh bằng chiều cao của hình trụ và chu vi đáy.
Diện tích bề mặt bên xi lanh- diện tích phát triển của bề mặt bên. $$S_(side)=2\pi\cdot rh$$ , ở đâu h là chiều cao của hình trụ và r- bán kính đáy.
Tổng diện tích bề mặt của hình trụ- diện tích, bằng tổng diện tích của hai đáy hình trụ và bề mặt bên của nó, tức là được biểu thị bằng công thức: $$S_(full)=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , trong đó h là chiều cao của hình trụ và r- bán kính đáy.
Thể tích của bất kỳ xi lanh bằng tích của diện tích đáy và chiều cao: $$V = S\cdot h$$ Thể tích của hình trụ tròn: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , ở đâu ( r- bán kính đáy).
Lăng kính là một loại hình trụ đặc biệt (các máy phát song song với các cạnh bên; thanh dẫn hướng là một đa giác nằm ở đáy). Mặt khác, một hình trụ tùy ý có thể được coi là một lăng kính suy biến (“được làm mịn”) với số lượng rất lớn các mặt rất hẹp. Trong thực tế, không thể phân biệt được hình trụ với lăng kính như vậy. Tất cả các tính chất của lăng kính được bảo toàn trong hình trụ.
Bạn sẽ cần
- Thước kẻ thước đo góc la bàn vuông Công thức tính góc bằng độ dài và bán kính cung Công thức tính cạnh của hình hình học
Hướng dẫn
Trên một tờ giấy, xây dựng phần đế của hình dạng hình học mong muốn. Nếu bạn được cho một hình bình hành hoặc, hãy đo chiều dài và chiều rộng của đế và vẽ một hình chữ nhật với các thông số thích hợp trên một tờ giấy. Để xây dựng một hình phát triển a hoặc một hình trụ, bạn cần bán kính của đường tròn cơ sở. Nếu nó không được chỉ định trong điều kiện, hãy đo và tính bán kính.
Hãy xem xét một đường song song. Bạn sẽ thấy rằng tất cả các mặt của nó đều nằm ở một góc so với đáy, nhưng các thông số của các mặt này là khác nhau. Đo chiều cao của thân hình học và dùng hình vuông vẽ hai đường vuông góc với chiều dài của đế. Vẽ chiều cao của hình bình hành trên chúng. Nối các đầu của các đoạn thu được bằng một đường thẳng. Làm tương tự ở phía đối diện của bản gốc.
Từ các điểm giao nhau của các cạnh của hình chữ nhật ban đầu, vẽ các đường vuông góc với chiều rộng của nó. Vẽ chiều cao của hình bình hành trên các đường thẳng này và nối các điểm kết quả bằng một đường thẳng. Làm tương tự ở phía bên kia.
Từ cạnh ngoài của bất kỳ hình chữ nhật mới nào, chiều dài của nó trùng với chiều dài của đế, dựng mặt trên của hình bình hành. Để làm điều này, hãy vẽ các đường vuông góc từ các điểm giao nhau của các đường dài và chiều rộng nằm ở bên ngoài. Đặt chiều rộng của đế trên chúng và nối các điểm bằng một đường thẳng.
Để xây dựng sự phát triển của một hình nón đi qua tâm của đường tròn cơ sở, hãy vẽ bán kính đi qua bất kỳ điểm nào trên đường tròn và tiếp tục. Đo khoảng cách từ đáy đến đỉnh hình nón. Đặt khoảng cách này từ điểm giao nhau của bán kính và hình tròn. Đánh dấu điểm trên cùng của bề mặt bên. Sử dụng bán kính của bề mặt bên và chiều dài của cung, bằng với chu vi của đáy, tính góc quét và đặt nó ngoài đường thẳng đã vẽ qua đỉnh của đế. Sử dụng la bàn, nối điểm giao nhau đã tìm thấy trước đó của bán kính và đường tròn với điểm mới này. Quá trình quét hình nón đã sẵn sàng.
Để xây dựng sự phát triển của một kim tự tháp, hãy đo chiều cao của các cạnh của nó. Để làm điều này, hãy tìm điểm giữa của mỗi cạnh của đế và đo chiều dài đường vuông góc được vẽ từ đỉnh kim tự tháp đến điểm này. Sau khi vẽ đáy của kim tự tháp trên một tờ giấy, hãy tìm trung điểm của các cạnh và vẽ các đường vuông góc với các điểm này. Nối các điểm kết quả với các điểm giao nhau của các cạnh của kim tự tháp.
Sự phát triển của hình trụ bao gồm hai hình tròn và một hình chữ nhật nằm giữa chúng, chiều dài của hình chữ nhật này bằng chiều dài của hình tròn và chiều cao là chiều cao của hình trụ.
Các bề mặt cong có thể thẳng hàng hoàn toàn với một mặt phẳng, không bị kéo giãn hoặc nén, không bị rách hoặc gấp, được gọi là có thể phát triển được. Những bề mặt này chỉ bao gồm các bề mặt được định tuyến và chỉ những bề mặt trong đó các sinh hệ liền kề giao nhau hoặc song song. Tính chất này được sở hữu bởi torsi (các bề mặt được hình thành bởi các đường thẳng tiếp tuyến với đường cong không gian định hướng), các bề mặt hình nón và hình trụ. Các bề mặt được cai trị còn lại, cũng như tất cả các bề mặt không được cai trị, đều không thể mở rộng được.
Xây dựng phát triển hoàn thiện xi lanh tròn cụt vòng quay
(Hình 10.41).
Để xây dựng sự phát triển của một hình trụ, chỉ cần tưởng tượng nó như một lăng kính có số mặt lớn (trên thực tế, 12-16 mặt như vậy là đủ), chia đều chu vi của đáy hình trụ thành một số bằng nhau. của các bộ phận.
Nếu có bất kỳ đường nào trên bề mặt của hình trụ thì đường này có thể được chuyển sang sự phát triển của hình trụ dọc theo các điểm thuộc các máy phát tương ứng của bề mặt này.
Xây dựng bản quét toàn bộ bề mặt của hình nón tròn bên phải (Hình 10.42).
Để xây dựng sự phát triển của một hình nón tròn vuông, chỉ cần tưởng tượng bề mặt của nó như một hình chóp đều với một số lượng lớn các mặt và sau đó xây dựng sự phát triển của nó bằng cách tìm kích thước thực tế của một trong các mặt, đó là một tam giác cân, dọc theo cạnh và đáy của nó. Cấu trúc phát triển của hình nón có thể được nhìn thấy từ hình vẽ, trong đó đáy của “mặt” S01 bằng dây 0 ` 1 `. Trong trường hợp này, sự phát triển của bề mặt bên của hình nón bao gồm 12 “mặt” như vậy.
Sự phát triển của bề mặt bên sẽ được tìm chính xác hơn nếu chúng ta xác định góc j 0 tại điểm S trên sự phát triển bằng công thức:
j 0 =R/l 360 0, trong đó R là bán kính đáy hình nón và l là chiều dài đường sinh của hình nón.
Các điểm của đường cong ABCDE nhất định thuộc bề mặt bên của hình nón có thể được tìm thấy bằng cách thuộc các điểm này vào các bộ tạo tương ứng của bề mặt hình nón. Để làm điều này, chỉ cần sử dụng phương pháp xoay, như trong ví dụ về điểm C thuộc ma trận sinh S2, để tìm các đoạn S``B`` 0 =SB, S``D`` 0 =SD và S``E`` 0 =SE .. Đặt các đoạn tìm được dọc theo các đường sinh tương ứng trên đường phát triển của hình nón và vẽ đường ABCDE đi qua chúng. Để có được sự phát triển hoàn chỉnh của bề mặt hình nón, nó phải được bổ sung thêm đáy của hình nón, tiếp tuyến tại điểm phát triển tương ứng của bề mặt bên.
Sự phát triển bề mặt bên của hình nón nghiêng giống như sự phát triển của một kim tự tháp nghiêng với một số lượng lớn các mặt, mỗi mặt có ba mặt - hai “cạnh” bên và một “đế” (Hình 10.43).