Khối không gian. siêu khối

Hãy bắt đầu bằng cách giải thích không gian bốn chiều là gì.

Đây là không gian một chiều, nghĩa là trục OX. Bất kỳ điểm nào trên đó được đặc trưng bởi một tọa độ.

Bây giờ hãy vẽ trục OY vuông góc với trục OX. Vì vậy, chúng ta có được một không gian hai chiều, tức là mặt phẳng XOY. Bất kỳ điểm nào trên đó được đặc trưng bởi hai tọa độ - hoành độ và tọa độ.

Hãy vẽ trục OZ vuông góc với trục OX và OY. Kết quả là một không gian ba chiều trong đó bất kỳ điểm nào cũng có hoành độ, tọa độ và ứng dụng.

Điều hợp lý là trục thứ tư, OQ, phải vuông góc với các trục OX, OY và OZ cùng một lúc. Nhưng chúng ta không thể xây dựng một cách chính xác một trục như vậy, và do đó chúng ta chỉ có thể cố gắng tưởng tượng nó. Mỗi điểm trong không gian bốn chiều có bốn tọa độ: x, y, z và q.

Bây giờ chúng ta hãy xem khối lập phương bốn chiều xuất hiện như thế nào.

Trong ảnh là một hình trong không gian một chiều - một đường thẳng.

Nếu bạn thực hiện dịch song song đường này dọc theo trục OY, sau đó nối các đầu tương ứng của hai đường thu được, bạn sẽ có được một hình vuông.

Tương tự, nếu bạn thực hiện phép dịch song song hình vuông dọc theo trục OZ và nối các đỉnh tương ứng, bạn sẽ có được một khối lập phương.

Và nếu chúng ta thực hiện một phép tịnh tiến song song của khối lập phương dọc theo trục OQ và nối các đỉnh của hai khối này thì chúng ta sẽ có được một khối lập phương bốn chiều. Nhân tiện, nó được gọi là khối teseract.

Để vẽ một khối lập phương trên mặt phẳng, bạn cần có nó dự án. Nhìn bề ngoài nó trông như thế này:

Hãy tưởng tượng rằng nó đang lơ lửng trong không khí phía trên bề mặt mô hình khung dây khối lập phương, nghĩa là, như thể "làm bằng dây" và phía trên nó là một bóng đèn. Nếu bạn bật bóng đèn, dùng bút chì vẽ bóng của khối lập phương, sau đó tắt bóng đèn, hình chiếu của khối lập phương sẽ xuất hiện trên bề mặt.

Hãy chuyển sang một cái gì đó phức tạp hơn một chút. Hãy nhìn lại hình vẽ bóng đèn: như bạn có thể thấy, tất cả các tia sáng đều hội tụ tại một điểm. Nó được gọi là điểm biến mất và được sử dụng để xây dựng phép chiếu phối cảnh(và nó cũng xảy ra song song, khi tất cả các tia song song với nhau. Kết quả là cảm giác về thể tích không được tạo ra mà nhẹ hơn, và hơn nữa, nếu điểm biến mất ở khá xa vật được chiếu, thì sự khác biệt giữa hai phép chiếu này ít được chú ý). Để chiếu một điểm cho trước lên một mặt phẳng cho trước bằng cách sử dụng điểm tụ, bạn cần vẽ một đường thẳng đi qua điểm tụ và điểm đã cho, sau đó tìm giao điểm của đường thẳng thu được và mặt phẳng. Và để chiếu một hình phức tạp hơn, chẳng hạn như hình khối, bạn cần chiếu từng đỉnh của nó, sau đó nối các điểm tương ứng. Cần lưu ý rằng thuật toán chiếu không gian lên không gian con có thể khái quát hóa cho trường hợp 4D->3D, không chỉ 3D->2D.

Như tôi đã nói, chúng ta không thể tưởng tượng chính xác trục OQ trông như thế nào, giống như khối Tesseract. Nhưng chúng ta có thể có được một ý tưởng hạn chế về nó nếu chúng ta chiếu nó lên một tập đĩa rồi vẽ nó lên màn hình máy tính!

Bây giờ hãy nói về phép chiếu Tesseract.

Bên trái là hình chiếu của khối lập phương lên mặt phẳng và bên phải là hình khối lên khối. Chúng khá giống nhau: hình chiếu của một khối lập phương trông giống như hai hình vuông, nhỏ và lớn, cái này nằm trong cái kia và các đỉnh tương ứng của chúng được nối với nhau bằng các đường thẳng. Và hình chiếu của khối tesseract trông giống như hai khối lập phương, nhỏ và lớn, cái này nằm trong cái kia và các đỉnh tương ứng của chúng được nối với nhau. Nhưng tất cả chúng ta đều đã nhìn thấy hình lập phương, và chúng ta có thể tự tin nói rằng cả hình vuông nhỏ và hình vuông lớn cũng như bốn hình thang ở trên, dưới, bên phải và bên trái của hình vuông nhỏ, thực ra đều là hình vuông và chúng bằng nhau. . Và Tesseract cũng có điều tương tự. Và một khối lập phương lớn, một khối lập phương nhỏ và sáu hình chóp cụt ở các cạnh của một khối lập phương nhỏ - đây đều là những hình khối và chúng bằng nhau.

Chương trình của tôi không chỉ có thể vẽ hình chiếu của khối Tesseract lên một tập mà còn có thể xoay nó. Chúng ta hãy xem làm thế nào điều này được thực hiện.

Đầu tiên, tôi sẽ cho bạn biết nó là gì quay song song với mặt phẳng.

Hãy tưởng tượng rằng khối lập phương quay quanh trục OZ. Khi đó mỗi đỉnh của nó mô tả một đường tròn quanh trục OZ.

Hình tròn là một hình phẳng. Và các mặt phẳng của mỗi đường tròn này song song với nhau và trong trường hợp này song song với mặt phẳng XOY. Nghĩa là, chúng ta không chỉ có thể nói về phép quay quanh trục OZ mà còn về phép quay song song với mặt phẳng XOY, như chúng ta thấy, đối với các điểm quay song song với trục XOY, chỉ có hoành độ và tọa độ thay đổi, trong khi ứng dụng vẫn giữ nguyên. Và, trên thực tế, chúng ta chỉ có thể nói về phép quay quanh một đường thẳng khi xét đến không gian ba chiều. Trong không gian hai chiều, mọi thứ đều quay quanh một điểm, trong không gian bốn chiều, mọi thứ đều quay quanh một mặt phẳng, trong không gian năm chiều chúng ta nói về sự quay quanh một khối. Và nếu chúng ta có thể tưởng tượng việc quay quanh một điểm, thì việc quay quanh một mặt phẳng và thể tích là một điều không thể tưởng tượng được. Và nếu chúng ta nói về chuyển động quay song song với mặt phẳng, thì trong bất kỳ không gian n chiều nào, một điểm có thể quay song song với mặt phẳng.

Có lẽ nhiều bạn đã nghe nói đến ma trận xoay. Nhân điểm với nó, ta được một điểm quay song song với mặt phẳng một góc phi. Đối với không gian hai chiều, nó trông như thế này:

Cách nhân: x của một điểm quay một góc phi = cosin của góc phi*ix của điểm ban đầu trừ sin của góc phi*ig của điểm ban đầu;
ig của một điểm quay một góc phi = sin của góc phi * ix của điểm ban đầu cộng với cosin của góc phi * ig của điểm ban đầu.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, trong đó Xa và Ya là trục hoành và tọa độ của điểm cần quay, Xa` và Ya` là trục hoành và tọa độ của điểm đã xoay

Đối với không gian ba chiều, ma trận này được khái quát hóa như sau:

Quay song song với mặt phẳng XOY. Như bạn thấy, tọa độ Z không thay đổi mà chỉ có X và Y thay đổi
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (về cơ bản, Za`=Za)

Xoay song song với mặt phẳng XOZ. Không có gì mới
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (về cơ bản, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Và ma trận thứ ba.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (về cơ bản, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

Và đối với chiều thứ tư, chúng trông như thế này:

Tôi nghĩ bạn đã hiểu cách nhân với nhau nên tôi sẽ không đi vào chi tiết nữa. Nhưng tôi lưu ý rằng nó hoạt động tương tự như một ma trận quay song song với một mặt phẳng trong không gian ba chiều! Cả hai đều chỉ thay đổi tọa độ và ứng dụng, không chạm vào tọa độ khác, vì vậy nó có thể được sử dụng trong trường hợp ba chiều, đơn giản là không chú ý đến tọa độ thứ tư.

Nhưng với công thức chiếu thì không phải mọi chuyện đều đơn giản như vậy. Cho dù tôi có đọc bao nhiêu diễn đàn thì cũng không có phương pháp trình chiếu nào hiệu quả với tôi. Hình song song không phù hợp với tôi vì hình chiếu sẽ không có hình ba chiều. Trong một số công thức chiếu, để tìm điểm bạn cần giải hệ phương trình (và tôi không biết cách dạy máy tính giải chúng), những công thức khác tôi đơn giản là không hiểu... Nói chung, tôi quyết định hãy nghĩ ra cách riêng của tôi. Với mục đích này, hãy xem xét phép chiếu 2D->1D.

pov có nghĩa là "Quan điểm", ptp có nghĩa là "Điểm tới dự án" (điểm được chiếu) và ptp` là điểm mong muốn trên trục OX.

Các góc povptpB và ptpptp`A tương ứng bằng nhau (đường chấm song song với trục OX, đường thẳng povptp là cát tuyến).
X của điểm ptp` bằng x của điểm ptp trừ đi độ dài của đoạn ptp`A. Đoạn này có thể được tìm thấy từ tam giác ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tiếp tuyến của góc ptpptp`A. Chúng ta có thể tìm tiếp tuyến này từ tam giác povptpB: tiếp tuyến ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Trả lời: Xptp`=Xptp-Yptp/tiếp tuyến của góc ptpptp`A.

Tôi không mô tả chi tiết thuật toán này ở đây vì có rất nhiều trường hợp đặc biệt khi công thức thay đổi đôi chút. Nếu ai quan tâm, hãy xem mã nguồn của chương trình, mọi thứ đều được mô tả trong phần bình luận.

Để chiếu một điểm trong không gian ba chiều lên một mặt phẳng, chúng ta chỉ cần xem xét hai mặt phẳng - XOZ và YOZ, và giải bài toán này cho mỗi mặt phẳng đó. Trong trường hợp không gian bốn chiều, cần xét ba mặt phẳng: XOQ, YOQ và ZOQ.

Và cuối cùng là về chương trình. Nó hoạt động như thế này: khởi tạo mười sáu đỉnh của tesseract -> tùy thuộc vào các lệnh được người dùng nhập vào, xoay nó -> chiếu nó lên ổ đĩa -> tùy thuộc vào các lệnh mà người dùng nhập vào, xoay hình chiếu của nó -> chiếu lên khối mặt phẳng -> vẽ.

Tôi đã tự mình viết các hình chiếu và phép quay. Chúng hoạt động theo công thức tôi vừa mô tả. Thư viện OpenGL vẽ các đường và cũng xử lý việc trộn màu. Và tọa độ của các đỉnh tesseract được tính theo cách này:

Tọa độ các đỉnh của đường thẳng có tâm tại gốc tọa độ và độ dài 2 - (1) và (-1);
- " - " - hình vuông - " - " - và có cạnh dài 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) và (-1; -1);
- " - " - khối lập phương - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Như bạn có thể thấy, hình vuông là một đường phía trên trục OY và một đường phía dưới trục OY; một khối lập phương là một hình vuông ở phía trước mặt phẳng XOY và một hình vuông ở phía sau nó; Tesseract là một khối lập phương ở phía bên kia của khối XOYZ và một khối ở phía bên này. Nhưng sẽ dễ dàng nhận thấy sự xen kẽ giữa số một và số trừ này nếu chúng được viết thành một cột.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Trong cột đầu tiên, một và trừ một thay thế. Ở cột thứ hai, đầu tiên có hai điểm cộng, sau đó là hai điểm trừ. Trong phần thứ ba - bốn điểm cộng, và sau đó là bốn điểm trừ. Đây là các đỉnh của khối lập phương. Khối Tesseract có số lượng gấp đôi nên cần phải viết một vòng lặp để khai báo chúng, nếu không sẽ rất dễ bị nhầm lẫn.

Chương trình của tôi cũng có thể vẽ anaglyph. Những người sở hữu kính 3D hạnh phúc có thể quan sát được hình ảnh lập thể. Không có gì khó khăn khi vẽ một bức tranh; bạn chỉ cần vẽ hai hình chiếu lên mặt phẳng cho mắt phải và mắt trái. Nhưng chương trình trở nên trực quan và thú vị hơn nhiều, và quan trọng nhất là nó mang lại ý tưởng tốt hơn về thế giới bốn chiều.

Các chức năng ít quan trọng hơn là chiếu sáng một trong các cạnh màu đỏ để có thể nhìn rõ các ngã rẽ hơn, cũng như các tiện ích nhỏ - điều chỉnh tọa độ của các điểm “mắt”, tăng và giảm tốc độ quay.

Lưu trữ kèm theo chương trình, mã nguồn và hướng dẫn sử dụng.

Ngày 19 tháng 9 năm 2009
Tesseract (từ tiếng Hy Lạp cổ τέσσερες ἀκτῖνες - bốn tia) là một siêu khối bốn chiều - một dạng tương tự của khối lập phương trong không gian bốn chiều.

Hình ảnh là hình chiếu (phối cảnh) của khối lập phương bốn chiều lên không gian ba chiều.

Theo Từ điển Oxford, từ "tesseract" được Charles Howard Hinton (1853–1907) đặt ra và sử dụng vào năm 1888 trong cuốn sách A New Age of Thought của ông. Sau này, một số người gọi hình tượng đó là "tetracube".

Hình học

Một tesseract thông thường trong không gian bốn chiều Euclide được định nghĩa là một bao lồi của các điểm (±1, ±1, ±1, ±1). Nói cách khác, nó có thể được biểu diễn dưới dạng tập hợp sau:

Tesseract bị giới hạn bởi tám siêu phẳng, giao điểm của chúng với chính tesseract xác định các mặt ba chiều của nó (là các hình lập phương thông thường). Mỗi cặp mặt 3D không song song giao nhau để tạo thành các mặt 2D (hình vuông), v.v. Cuối cùng, khối Tesseract có 8 mặt 3D, 24 mặt 2D, 32 cạnh và 16 đỉnh.

Mô tả phổ biến

Chúng ta hãy thử tưởng tượng một siêu khối sẽ trông như thế nào khi không rời khỏi không gian ba chiều.

Trong “không gian” một chiều - trên một đường thẳng - chúng ta chọn đoạn AB có độ dài L. Trên mặt phẳng hai chiều cách AB một khoảng L, chúng ta vẽ đoạn DC song song với nó và nối các đầu của chúng. Kết quả là hình vuông ABCD. Lặp lại thao tác này với mặt phẳng, chúng ta thu được khối lập phương ba chiều ABCDHEFG. Và bằng cách dịch chuyển khối lập phương theo chiều thứ tư (vuông góc với ba chiều đầu tiên) một khoảng L, chúng ta thu được siêu khối ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Đoạn AB một chiều đóng vai trò là cạnh của hình vuông ABCD hai chiều, hình vuông - là cạnh của hình lập phương ABCDHEFG, đến lượt nó sẽ là cạnh của siêu khối bốn chiều. Một đoạn thẳng có hai điểm biên, một hình vuông có bốn đỉnh và một hình lập phương có tám đỉnh. Do đó, trong một siêu khối bốn chiều sẽ có 16 đỉnh: 8 đỉnh của khối ban đầu và 8 đỉnh của một đỉnh được dịch chuyển trong chiều thứ tư. Nó có 32 cạnh - 12 cạnh cho biết vị trí ban đầu và cuối cùng của khối ban đầu, và 8 cạnh khác “vẽ” tám đỉnh của nó, đã chuyển sang chiều thứ tư. Lý luận tương tự có thể được áp dụng cho các mặt của một siêu khối. Trong không gian hai chiều chỉ có một (chính hình vuông), một khối lập phương có 6 mặt trong số đó (hai mặt tính từ hình vuông đã di chuyển và bốn mặt nữa mô tả các cạnh của nó). Một siêu khối bốn chiều có 24 mặt vuông - 12 ô vuông của khối ban đầu ở hai vị trí và 12 ô vuông tính từ 12 cạnh của nó.

Theo cách tương tự, chúng ta có thể tiếp tục lý luận về các siêu khối có số chiều lớn hơn, nhưng sẽ thú vị hơn nhiều khi xem siêu khối bốn chiều sẽ trông như thế nào đối với chúng ta, những cư dân của không gian ba chiều. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tương tự đã quen thuộc.

Mở gói Tesseract

Chúng ta hãy lấy khối dây ABCDHEFG và nhìn nó bằng một mắt từ cạnh của cạnh. Chúng ta sẽ thấy và có thể vẽ hai hình vuông trên mặt phẳng (cạnh gần và cạnh xa), được nối với nhau bằng bốn đường thẳng - cạnh bên. Tương tự, một siêu khối bốn chiều trong không gian ba chiều sẽ trông giống như hai “hộp” hình khối được lồng vào nhau và được nối với nhau bằng tám cạnh. Trong trường hợp này, bản thân các “chiếc hộp” - khuôn mặt ba chiều - sẽ được chiếu lên không gian “của chúng ta” và các đường nối chúng sẽ kéo dài theo chiều thứ tư. Bạn cũng có thể thử tưởng tượng khối lập phương không phải dưới dạng hình chiếu mà dưới dạng hình ảnh không gian.

Giống như một khối lập phương ba chiều được hình thành bởi một hình vuông bị dịch chuyển theo chiều dài của mặt nó, một khối lập phương được dịch chuyển sang chiều thứ tư sẽ tạo thành một siêu khối. Nó được giới hạn bởi tám hình khối, nhìn từ xa sẽ trông giống như một hình khá phức tạp. Phần còn lại trong không gian “của chúng ta” được vẽ bằng các đường nét liền và phần đi vào siêu không gian được vẽ bằng các đường chấm. Bản thân siêu khối bốn chiều bao gồm vô số hình khối, giống như khối lập phương ba chiều có thể được “cắt” thành vô số hình vuông phẳng.

Bằng cách cắt sáu mặt của một khối lập phương ba chiều, bạn có thể phân tách nó thành một hình phẳng - một sự phát triển. Nó sẽ có một hình vuông ở mỗi cạnh của mặt ban đầu, cộng thêm một hình nữa - mặt đối diện với nó. Và sự phát triển ba chiều của siêu khối bốn chiều sẽ bao gồm khối ban đầu, sáu khối “phát triển” từ nó, cộng thêm một khối nữa - “siêu mặt” cuối cùng.

Các đặc tính của khối Tesseract thể hiện sự tiếp nối các đặc tính của các hình hình học có chiều thấp hơn trong không gian bốn chiều.

Phép chiếu

Đến không gian hai chiều

Cấu trúc này rất khó tưởng tượng, nhưng có thể chiếu một khối Tesseract vào không gian hai chiều hoặc ba chiều. Ngoài ra, việc chiếu lên một mặt phẳng giúp dễ dàng hiểu được vị trí các đỉnh của siêu khối. Bằng cách này, có thể thu được các hình ảnh không còn phản ánh các mối quan hệ không gian bên trong khối Tesseract mà minh họa cấu trúc kết nối đỉnh, như trong các ví dụ sau:

Đến không gian ba chiều

Hình chiếu của khối Tesseract lên không gian ba chiều bao gồm hai khối ba chiều lồng nhau, các đỉnh tương ứng của chúng được nối với nhau bằng các đoạn. Các hình khối bên trong và bên ngoài có kích thước khác nhau trong không gian ba chiều, nhưng trong không gian bốn chiều, chúng là những hình khối bằng nhau. Để hiểu được sự bình đẳng của tất cả các khối tesseract, một mô hình tesseract quay đã được tạo ra.

Sáu hình chóp cụt dọc theo các cạnh của khối Tesseract là hình ảnh của sáu khối lập phương bằng nhau.
Cặp âm thanh nổi

Một cặp khối lập thể lập thể được mô tả dưới dạng hai hình chiếu lên không gian ba chiều. Hình ảnh khối Tesseract này được phát triển để thể hiện chiều sâu như chiều thứ tư. Cặp âm thanh nổi được xem sao cho mỗi mắt chỉ nhìn thấy một trong những hình ảnh này, một hình ảnh lập thể xuất hiện tái tạo độ sâu của khối Tesseract.

Mở gói Tesseract

Bề mặt của khối Tesseract có thể được chia thành tám hình khối (tương tự như bề mặt của khối lập phương có thể được chia thành sáu hình vuông). Có 261 thiết kế Tesseract khác nhau. Độ mở của khối Tesseract có thể được tính bằng cách vẽ các góc liên kết trên đồ thị.

Tesseract trong nghệ thuật

Trong "New Abbott Plain" của Edwina A., hypercube đóng vai trò là người kể chuyện.
Trong một tập của Cuộc phiêu lưu của Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy đã phát minh ra một siêu khối bốn chiều giống hệt với hộp gấp trong tiểu thuyết Con đường vinh quang năm 1963 của Heinlein.
Robert E. Heinlein đã đề cập đến siêu khối trong ít nhất ba câu chuyện khoa học viễn tưởng. Trong Ngôi nhà bốn chiều (The House That Teal Built) (1940), ông mô tả một ngôi nhà được xây dựng giống như một khối Tesseract chưa được bọc.
Cuốn tiểu thuyết Con đường vinh quang của Heinlein mô tả những chiếc đĩa siêu cỡ có bên trong lớn hơn bên ngoài.
Câu chuyện "Mimsy Were the Borogoves" của Henry Kuttner mô tả một món đồ chơi giáo dục dành cho trẻ em đến từ tương lai xa, có cấu trúc tương tự như khối Tesseract.
Trong tiểu thuyết của Alex Garland (1999), thuật ngữ "tesseract" được sử dụng để chỉ sự mở ra ba chiều của một siêu khối bốn chiều, thay vì chính siêu khối đó. Đây là một phép ẩn dụ được thiết kế để chỉ ra rằng hệ thống nhận thức phải rộng hơn những gì có thể hiểu được.
Cốt truyện của Cube 2: Hypercube tập trung vào tám người lạ bị mắc kẹt trong một "hypercube" hay mạng lưới các khối được kết nối với nhau.
Loạt phim truyền hình Andromeda sử dụng máy tạo tesseract làm thiết bị cốt truyện. Chúng được thiết kế chủ yếu để thao túng không gian và thời gian.
Tranh “Sự đóng đinh” (Corpus Hypercubus) của Salvador Dali (1954)
Truyện tranh Nextwave mô tả một phương tiện bao gồm 5 vùng tesseract.
Trong album Voivod Nothingface, một trong những sáng tác có tên là “In my hypercube”.
Trong tiểu thuyết Route Cube của Anthony Pearce, một trong những mặt trăng quay quanh quỹ đạo của Hiệp hội Phát triển Quốc tế được gọi là tesseract đã bị nén thành 3 chiều.
Trong loạt phim “Black Hole School” mùa thứ ba có một tập “Tesseract”. Lucas nhấn một nút bí mật và ngôi trường bắt đầu có hình dạng giống như một khối Tesseract toán học.
Thuật ngữ “tesseract” và thuật ngữ phái sinh của nó là “tesserate” được tìm thấy trong truyện “A Wrinkle in Time” của Madeleine L'Engle.

Điểm (±1, ±1, ±1, ±1). Nói cách khác, nó có thể được biểu diễn dưới dạng tập hợp sau:

Tesseract bị giới hạn bởi tám siêu phẳng, giao điểm của chúng với chính tesseract xác định các mặt ba chiều của nó (là các hình lập phương thông thường). Mỗi cặp mặt 3D không song song giao nhau để tạo thành các mặt 2D (hình vuông), v.v. Cuối cùng, khối Tesseract có 8 mặt 3D, 24 mặt 2D, 32 cạnh và 16 đỉnh.

Mô tả phổ biến

Chúng ta hãy thử tưởng tượng một siêu khối sẽ trông như thế nào khi không rời khỏi không gian ba chiều.

Xây dựng khối Tesseract trên mặt phẳng

Đoạn AB một chiều đóng vai trò là cạnh của hình vuông CDBA hai chiều, hình vuông - là cạnh của khối CDBAGHFE, đến lượt nó sẽ là cạnh của siêu khối bốn chiều. Một đoạn thẳng có hai điểm biên, hình vuông có bốn đỉnh, hình lập phương có tám đỉnh. Do đó, trong một siêu khối bốn chiều sẽ có 16 đỉnh: 8 đỉnh của khối ban đầu và 8 đỉnh của một đỉnh được dịch chuyển trong chiều thứ tư. Nó có 32 cạnh - 12 cạnh cho biết vị trí ban đầu và cuối cùng của khối ban đầu, và 8 cạnh khác “vẽ” tám đỉnh của nó, đã chuyển sang chiều thứ tư. Lý luận tương tự có thể được áp dụng cho các mặt của một siêu khối. Trong không gian hai chiều chỉ có một (chính hình vuông), một khối lập phương có 6 mặt trong số đó (hai mặt tính từ hình vuông đã di chuyển và bốn mặt nữa mô tả các cạnh của nó). Một siêu khối bốn chiều có 24 mặt vuông - 12 ô vuông của khối ban đầu ở hai vị trí và 12 ô vuông tính từ 12 cạnh của nó.

Giống như các cạnh của hình vuông là 4 đoạn một chiều, và các cạnh (các mặt) của hình lập phương là 6 hình vuông hai chiều, do đó đối với “khối lập phương bốn chiều” (tesseract) các cạnh là 8 hình khối ba chiều . Không gian của các cặp khối tesseract đối diện (nghĩa là không gian ba chiều mà các khối này thuộc về) là song song. Trong hình này là các khối: CDBAGHFE và KLJIOPNM, CDBAKLJI và GHFEOPNM, EFBAMNJI và GHDCOPLK, CKIAGOME và DLJBHPNF.

Chúng ta hãy lấy khối dây ABCDHEFG và nhìn nó bằng một mắt từ cạnh của cạnh. Chúng ta sẽ thấy và có thể vẽ hai hình vuông trên mặt phẳng (cạnh gần và cạnh xa), được nối với nhau bằng bốn đường thẳng - cạnh bên. Tương tự, một siêu khối bốn chiều trong không gian ba chiều sẽ trông giống như hai “hộp” hình khối được chèn vào nhau và được nối với nhau bằng tám cạnh. Trong trường hợp này, bản thân các “chiếc hộp” - các khuôn mặt ba chiều - sẽ được chiếu lên không gian “của chúng ta” và các đường nối chúng sẽ kéo dài theo hướng của trục thứ tư. Bạn cũng có thể thử tưởng tượng khối lập phương không phải dưới dạng hình chiếu mà dưới dạng hình ảnh không gian.

Giống như một khối lập phương ba chiều được hình thành bởi một hình vuông bị dịch chuyển theo chiều dài của mặt nó, một khối lập phương được dịch chuyển sang chiều thứ tư sẽ tạo thành một siêu khối. Nó được giới hạn bởi tám hình khối, nhìn từ xa sẽ trông giống như một hình khá phức tạp. Bản thân siêu khối bốn chiều bao gồm vô số hình khối, giống như khối lập phương ba chiều có thể được “cắt” thành vô số hình vuông phẳng.

Bằng cách cắt sáu mặt của một khối lập phương ba chiều, bạn có thể phân tách nó thành một hình phẳng - một sự phát triển. Nó sẽ có một hình vuông ở mỗi cạnh của mặt ban đầu cộng thêm một hình vuông nữa - mặt đối diện với nó. Và sự phát triển ba chiều của siêu khối bốn chiều sẽ bao gồm khối ban đầu, sáu khối “phát triển” từ nó, cộng thêm một khối nữa - “siêu mặt” cuối cùng.

Các đặc tính của khối Tesseract thể hiện sự tiếp nối các đặc tính của các hình hình học có chiều thấp hơn trong không gian bốn chiều.

Phép chiếu

Đến không gian hai chiều

Hình ảnh thứ ba cho thấy khối Tesseract ở dạng đẳng cự, so với điểm xây dựng. Cách biểu diễn này được quan tâm khi sử dụng tesseract làm cơ sở cho mạng cấu trúc liên kết để liên kết nhiều bộ xử lý trong tính toán song song.

Đến không gian ba chiều

Một trong những hình chiếu của khối Tesseract lên không gian ba chiều biểu thị hai khối lập phương ba chiều lồng nhau, các đỉnh tương ứng của chúng được nối với nhau bằng các đoạn. Các hình khối bên trong và bên ngoài có kích thước khác nhau trong không gian ba chiều, nhưng trong không gian bốn chiều, chúng là những hình khối bằng nhau. Để hiểu được sự bình đẳng của tất cả các khối tesseract, một mô hình tesseract quay đã được tạo ra.

Sáu hình chóp cụt dọc theo các cạnh của khối Tesseract là hình ảnh của sáu khối lập phương bằng nhau. Tuy nhiên, những hình khối này là một khối tesseract giống như các hình vuông (các mặt) đối với một khối lập phương. Nhưng trên thực tế, khối Tesseract có thể được chia thành vô số khối, giống như khối lập phương có thể được chia thành vô số ô vuông, hoặc hình vuông thành vô số đoạn.

Một hình chiếu thú vị khác của khối tesseract lên không gian ba chiều là một khối mười hai mặt hình thoi với bốn đường chéo nối các cặp đỉnh đối diện ở các góc lớn của hình thoi. Trong trường hợp này, 14 trong số 16 đỉnh của khối tesseract được chiếu thành 14 đỉnh của khối mười hai mặt hình thoi, và hình chiếu của 2 đỉnh còn lại trùng nhau ở tâm của nó. Trong phép chiếu như vậy lên không gian ba chiều, sự bằng nhau và song song của tất cả các cạnh một chiều, hai chiều và ba chiều được bảo toàn.

Cặp âm thanh nổi

Mở gói Tesseract

Tesseract trong nghệ thuật

Trong "New Abbott Plain" của Edwina A., hypercube đóng vai trò là người kể chuyện.
Trong một tập của Cuộc phiêu lưu của Jimmy Neutron, "cậu bé thiên tài" Jimmy đã phát minh ra một siêu khối bốn chiều giống hệt với hộp gấp trong tiểu thuyết Con đường vinh quang (1963) của Robert Heinlein.
Robert E. Heinlein đã đề cập đến siêu khối trong ít nhất ba câu chuyện khoa học viễn tưởng. Trong "Ngôi nhà bốn chiều" ("The House That Teal Built"), ông mô tả một ngôi nhà được xây dựng như một khối Tesseract không được bọc, và sau đó, do một trận động đất, "gấp lại" trong chiều không gian thứ tư và trở thành một khối Tesseract "thật sự". .
Cuốn tiểu thuyết Con đường vinh quang của Heinlein mô tả một chiếc hộp siêu cỡ, bên trong lớn hơn bên ngoài.
Câu chuyện "Tất cả Tenali đều là Borogov" của Henry Kuttner mô tả một món đồ chơi giáo dục dành cho trẻ em đến từ tương lai xa, có cấu trúc tương tự như khối Tesseract.
Trong tiểu thuyết của Alex Garland (2000), thuật ngữ "tesseract" được sử dụng để chỉ sự mở ra ba chiều của một siêu khối bốn chiều, chứ không phải chính siêu khối đó. Đây là một phép ẩn dụ được thiết kế để chỉ ra rằng hệ thống nhận thức phải rộng hơn những gì có thể hiểu được.
Cốt truyện của Cube 2: Hypercube tập trung vào tám người lạ bị mắc kẹt trong một "hypercube" hay mạng lưới các khối được kết nối với nhau.
Loạt phim truyền hình Andromeda sử dụng máy tạo tesseract làm thiết bị cốt truyện. Chúng được thiết kế chủ yếu để thao túng không gian và thời gian.
Bức tranh “Sự đóng đinh” (Corpus Hypercubus) của Salvador Dali ().
Truyện tranh Nextwave mô tả một phương tiện bao gồm 5 vùng tesseract.
Trong album Voivod Nothingface, một trong những sáng tác có tên là “In my hypercube”.
Trong tiểu thuyết Route Cube của Anthony Pearce, một trong những mặt trăng quay quanh quỹ đạo của Hiệp hội Phát triển Quốc tế được gọi là tesseract đã bị nén thành 3 chiều.
Trong loạt phim “Black Hole School” mùa thứ ba có một tập “Tesseract”. Lucas nhấn một nút bí mật và ngôi trường bắt đầu “có hình dạng giống như một khối lập phương toán học”.
Thuật ngữ “tesseract” và thuật ngữ phái sinh của nó là “tesserate” được tìm thấy trong truyện “A Wrinkle in Time” của Madeleine L'Engle.
TesseracT là tên một ban nhạc djent của Anh.
Trong loạt phim Vũ trụ Điện ảnh Marvel, khối Tesseract là yếu tố cốt truyện quan trọng, một tạo tác vũ trụ có hình dạng siêu khối.
Trong câu chuyện “Cô Chuột và Chiều Thứ Tư” của Robert Sheckley, một nhà văn bí truyền, một người quen của tác giả, cố gắng nhìn thấy khối Tesseract bằng cách nhìn chằm chằm hàng giờ vào thiết bị do ông thiết kế: một quả bóng trên một chân có các thanh dính vào đó, trên đó. những hình khối nào được gắn, dán lên trên với đủ loại biểu tượng bí truyền. Câu chuyện đề cập đến công việc của Hinton.
Trong các bộ phim The First Avenger, The Avengers. Tesseract - năng lượng của toàn vũ trụ

Tên khác

thập lục phân thập lục phân)
Octochoron (tiếng Anh) bát giác)
khối bốn
4 khối
Hypercube (nếu số lượng kích thước không được chỉ định)

Ghi chú

Văn học

Charles H. Hinton. Chiều thứ tư, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Lễ hội toán học, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Các khái niệm về toán học hiện đại, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Liên kết

bằng tiếng Nga

Chương trình Transformator4D. Hình thành các mô hình chiếu ba chiều của các vật thể bốn chiều (bao gồm cả Hypercube).
Một chương trình triển khai việc xây dựng khối Tesseract và tất cả các phép biến đổi affine của nó, với mã nguồn bằng C++.

bằng tiếng Anh

Mushware Limited - chương trình đầu ra tesseract ( Huấn luyện viên Tesseract, giấy phép tương thích với GPLv2) và game bắn súng góc nhìn thứ nhất trong không gian bốn chiều ( Adanaxis; đồ họa chủ yếu là ba chiều; Có phiên bản GPL trong kho hệ điều hành).

khối đa diện

Chính xác
(Chất rắn Platon)

Khối mười hai mặt hình sao Khối mười hai mặt hình sao Khối mười hai mặt hình sao Khối đa diện hình sao Bát diện hình sao

lồi

chất rắn Archimedean	Khối mười hai mặt đều Khối mười hai mặt cắt cụt Tứ diện cắt cụt Khối bát diện cắt cụt Khối lập phương cắt ngắn Khối mười hai mặt cắt cụt Hình thoi khối mười hai mặt Hình thoi Khối lập phương cắt cụt Khối hình thoi cắt cụt Hình thoi cắt cụt icosidodecahedron Snub khối Snub khối mười hai mặt Khối lập phương cắt cụt Icosidodecahedron lăng kính phản lăng kính
Cơ thể Catalan	Hình thoi mười hai mặt Hình thoi Hình thoi khối nhiều mặt Triakisthetrahedron Tứ diện Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron Ngũ giác icositetrahedron Ngũ giác lục giác Disdakisdodecahedron Disdakistriacontahedron
Không có sự đối xứng không gian hoàn toàn	Lăng kính kim tự tháp Bipyramid Phản lăng kính Khối mặt phẳng song song Hình thoi hình lăng trụ Hình chóp cụt
Ngũ giác mười hai mặt Hình bình hành

công thức,
định lý,
lý thuyết

Khác

Quỹ Wikimedia.

2010.

Sự khác biệt và tương đồng giữa không gian một chiều và hai chiều, cũng như sự khác biệt và tương đồng giữa không gian hai chiều và ba chiều cho phép chúng ta mở ra một chút bức màn bí ẩn ngăn cách chúng ta với những không gian có chiều cao hơn. Để hiểu cách sử dụng phép loại suy này, hãy xem xét một vật thể bốn chiều rất đơn giản - một siêu khối, nghĩa là một khối bốn chiều. Cụ thể hơn, giả sử chúng ta muốn giải một bài toán cụ thể, cụ thể là đếm số mặt vuông của một khối lập phương bốn chiều. Mọi sự xem xét sâu hơn sẽ rất lỏng lẻo, không có bất kỳ bằng chứng nào, hoàn toàn mang tính chất loại suy.

Để hiểu cách một hypercube được xây dựng từ một khối thông thường, trước tiên bạn phải xem cách một khối thông thường được xây dựng từ một hình vuông thông thường. Để tạo sự độc đáo trong cách trình bày tài liệu này, ở đây chúng tôi sẽ gọi một hình vuông thông thường là SubCube (và sẽ không nhầm lẫn nó với một succubus).

Để xây dựng một khối từ một khối con, bạn cần mở rộng khối con theo hướng vuông góc với mặt phẳng của khối con theo hướng của chiều thứ ba. Trong trường hợp này, từ mỗi phía của khối con ban đầu, một khối con sẽ phát triển, đó là mặt hai chiều của khối, điều này sẽ giới hạn thể tích ba chiều của khối ở bốn cạnh, hai cạnh vuông góc với mỗi hướng trong mặt phẳng của khối con. Và dọc theo trục thứ ba mới cũng có hai khối con giới hạn thể tích ba chiều của khối lập phương. Đây là mặt hai chiều nơi đặt khối con của chúng ta ban đầu và mặt hai chiều của khối nơi khối con xuất hiện ở cuối quá trình xây dựng khối lập phương.

Những gì bạn vừa đọc được trình bày quá chi tiết và có nhiều giải thích rõ ràng. Và vì lý do tốt. Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện một thủ thuật như vậy, chúng ta sẽ chính thức thay thế một số từ trong văn bản trước theo cách này:
khối lập phương -> siêu khối
khối con -> khối lập phương
mặt phẳng -> thể tích
thứ ba -> thứ tư
hai chiều -> ba chiều
bốn -> sáu
ba chiều -> bốn chiều
hai -> ba
mặt phẳng -> không gian

Kết quả là chúng ta nhận được văn bản có ý nghĩa sau đây, văn bản này dường như không còn quá chi tiết nữa.

Để xây dựng một siêu khối từ một khối lập phương, bạn cần mở rộng khối lập phương theo hướng vuông góc với thể tích của khối theo hướng chiều thứ tư. Trong trường hợp này, một khối sẽ phát triển từ mỗi cạnh của khối ban đầu, tức là mặt ba chiều bên của siêu khối, điều này sẽ giới hạn thể tích bốn chiều của siêu khối ở sáu cạnh, ba chiều vuông góc với mỗi hướng trong không gian của khối lập phương. Và dọc theo trục thứ tư mới cũng có hai khối giới hạn thể tích bốn chiều của siêu khối. Đây là mặt ba chiều nơi khối lập phương của chúng ta ban đầu được đặt và mặt ba chiều của siêu khối nơi khối lập phương xuất hiện ở cuối quá trình xây dựng siêu khối.

Tại sao chúng tôi lại tự tin rằng mình đã nhận được mô tả chính xác về cấu trúc của một siêu khối? Có, bởi vì bằng cách thay thế chính xác các từ, chúng ta có được mô tả cấu trúc của hình lập phương từ mô tả cấu trúc của hình vuông. (Hãy tự mình kiểm tra.)

Bây giờ rõ ràng là nếu một khối lập phương ba chiều khác phát triển từ mỗi cạnh của khối lập phương thì một mặt sẽ phát triển từ mỗi cạnh của khối lập phương ban đầu. Tổng cộng, khối lập phương có 12 cạnh, có nghĩa là sẽ có thêm 12 mặt mới (khối con) xuất hiện trên 6 khối đó nhằm giới hạn thể tích bốn chiều dọc theo ba trục của không gian ba chiều. Và còn lại hai khối nữa giới hạn khối lượng bốn chiều này từ bên dưới và bên trên dọc theo trục thứ tư. Mỗi khối lập phương này có 6 mặt.

Tổng cộng, chúng ta thấy rằng siêu lập phương có 12+6+6=24 mặt vuông.

Hình ảnh sau đây cho thấy cấu trúc logic của một hypercube. Điều này giống như hình chiếu của một siêu khối lên không gian ba chiều. Điều này tạo ra một khung sườn ba chiều. Trong hình, một cách tự nhiên, bạn sẽ thấy hình chiếu của khung này lên một mặt phẳng.

Trên khung này, khối bên trong giống như khối ban đầu mà từ đó việc xây dựng bắt đầu và nó giới hạn thể tích bốn chiều của siêu khối dọc theo trục thứ tư từ dưới lên. Chúng ta kéo khối lập phương ban đầu này lên dọc theo trục đo thứ tư và nó đi vào khối bên ngoài. Vì vậy, các khối bên ngoài và bên trong từ hình này giới hạn siêu khối dọc theo trục đo thứ tư.

Và giữa hai khối này, bạn có thể thấy thêm 6 khối mới, tiếp xúc với các mặt chung với hai khối đầu tiên. Sáu khối này liên kết siêu khối của chúng ta dọc theo ba trục của không gian ba chiều. Như bạn có thể thấy, chúng không chỉ tiếp xúc với hai khối đầu tiên, là khối bên trong và bên ngoài trên khung ba chiều này, mà chúng còn tiếp xúc với nhau.

Bạn có thể đếm trực tiếp trong hình và đảm bảo rằng siêu khối thực sự có 24 mặt. Nhưng câu hỏi này phát sinh. Khung siêu khối này trong không gian ba chiều được lấp đầy bằng tám khối ba chiều mà không có bất kỳ khoảng trống nào. Để tạo một siêu khối thực sự từ hình chiếu ba chiều của siêu khối này, bạn cần xoay khung này từ trong ra ngoài để tất cả 8 khối bao quanh một thể tích 4 chiều.

Nó được thực hiện như thế này. Chúng tôi mời một cư dân của không gian bốn chiều đến thăm chúng tôi và nhờ anh ấy giúp đỡ. Anh ta nắm lấy khối lập phương bên trong của khung này và di chuyển nó theo hướng chiều thứ tư, vuông góc với không gian ba chiều của chúng ta. Trong không gian ba chiều của chúng ta, chúng ta cảm nhận như thể toàn bộ khung bên trong đã biến mất và chỉ còn lại khung của khối bên ngoài.

Hơn nữa, trợ lý bốn chiều của chúng tôi cung cấp sự trợ giúp của anh ấy trong các bệnh viện phụ sản để sinh con không đau đớn, nhưng phụ nữ mang thai của chúng tôi sợ hãi trước viễn cảnh em bé sẽ biến mất khỏi dạ dày và tồn tại trong không gian ba chiều song song. Vì vậy, người bốn chiều bị từ chối một cách lịch sự.

Và chúng tôi bối rối trước câu hỏi liệu một số hình khối của chúng tôi có bị tách ra khi chúng tôi lộn khung siêu khối từ trong ra ngoài hay không. Rốt cuộc, nếu một số hình khối ba chiều xung quanh một siêu khối chạm vào các mặt của chúng trên khung, liệu chúng cũng có chạm vào các mặt tương tự nếu khối bốn chiều xoay khung từ trong ra ngoài không?

Chúng ta hãy quay lại sự tương tự với các không gian có chiều thấp hơn. So sánh hình ảnh của khung hypercube với hình chiếu của khối lập phương ba chiều lên mặt phẳng như trong hình sau.

Những cư dân của không gian hai chiều đã xây dựng trên một mặt phẳng một khung để chiếu hình khối lên mặt phẳng và mời chúng tôi, những cư dân ba chiều, lộn khung này từ trong ra ngoài. Chúng ta lấy bốn đỉnh của hình vuông bên trong và di chuyển chúng vuông góc với mặt phẳng. Cư dân hai chiều nhìn thấy toàn bộ khung bên trong biến mất hoàn toàn và họ chỉ còn lại khung hình vuông bên ngoài. Với thao tác như vậy, tất cả các hình vuông tiếp xúc với các cạnh của chúng tiếp tục chạm vào các cạnh giống nhau.

Vì vậy, chúng tôi hy vọng rằng sơ đồ logic của siêu khối cũng sẽ không bị vi phạm khi khung của siêu khối được quay từ trong ra ngoài và số mặt vuông của siêu khối sẽ không tăng và vẫn bằng 24. Điều này, trong số Tất nhiên, hoàn toàn không phải là bằng chứng mà chỉ là phỏng đoán bằng cách so sánh.

Sau tất cả những gì bạn đã đọc ở đây, bạn có thể dễ dàng vẽ khung logic của một khối lập phương năm chiều và tính số đỉnh, cạnh, mặt, hình khối và siêu khối mà nó có. Nó không khó chút nào.

Nếu bạn là người hâm mộ các bộ phim Avengers, điều đầu tiên bạn có thể nghĩ đến khi nghe đến từ "Tesseract" là chiếc hộp hình khối trong suốt chứa Viên đá Vô cực chứa đựng sức mạnh vô hạn.

Đối với những người hâm mộ Vũ trụ Marvel, Tesseract là một khối lập phương màu xanh phát sáng khiến mọi người không chỉ trên Trái đất mà còn cả các hành tinh khác phát điên. Đó là lý do tại sao tất cả các Avengers đã cùng nhau bảo vệ Trái đất khỏi sức mạnh hủy diệt cực kỳ lớn của Tesseract.

Tuy nhiên, cần phải nói điều này: Tesseract là một khái niệm hình học thực tế, hay cụ thể hơn là một hình dạng tồn tại ở dạng 4D. Nó không chỉ là một khối lập phương màu xanh từ Avengers... nó là một ý tưởng có thật.

Tesseract là một vật thể có không gian 4 chiều. Nhưng trước khi chúng tôi giải thích chi tiết, hãy bắt đầu lại từ đầu.

"đo lường" là gì?

Mọi người đều đã từng nghe đến thuật ngữ 2D và 3D, đại diện cho các vật thể hai chiều hoặc ba chiều tương ứng trong không gian. Nhưng những phép đo này là gì?

Thứ nguyên chỉ đơn giản là một hướng bạn có thể đi. Ví dụ: nếu bạn đang vẽ một đường trên một tờ giấy, bạn có thể di chuyển sang trái/phải (trục x) hoặc lên/xuống (trục y). Vì vậy chúng ta nói tờ giấy có hai chiều vì bạn chỉ có thể đi theo hai hướng.

Có một cảm giác về chiều sâu trong 3D.

Bây giờ, trong thế giới thực, ngoài hai hướng nêu trên (trái/phải và lên/xuống), bạn cũng có thể đi "đến/từ". Do đó, cảm giác về chiều sâu được thêm vào không gian 3D. Đó là lý do tại sao chúng ta nói rằng cuộc sống thực là 3 chiều.

Một điểm có thể biểu thị 0 chiều (vì nó không di chuyển theo bất kỳ hướng nào), một đường thẳng biểu thị 1 chiều (chiều dài), hình vuông biểu thị 2 chiều (dài và rộng) và hình lập phương biểu thị 3 chiều (dài, rộng và cao). ).

Lấy một khối lập phương 3D và thay thế mỗi mặt của nó (hiện tại là hình vuông) bằng một khối lập phương. Và như vậy! Hình dạng bạn nhận được là khối Tesseract.

Tesseract là gì?

Nói một cách đơn giản, Tesseract là một khối lập phương trong không gian 4 chiều. Bạn cũng có thể nói rằng nó là một dạng tương tự 4D của một khối lập phương. Đây là hình dạng 4D trong đó mỗi mặt là một khối lập phương.

Hình chiếu 3D của khối Tesseract thực hiện một phép quay kép xung quanh hai mặt phẳng trực giao.
Hình ảnh: Jason Hise

Đây là một cách đơn giản để khái niệm hóa các kích thước: hình vuông là hai chiều; do đó, mỗi góc của nó có 2 đường kéo dài từ nó một góc 90 độ với nhau. Khối lập phương có dạng 3D nên mỗi góc của nó có 3 đường thẳng đi từ đó. Tương tự, khối Tesseract có dạng 4D nên mỗi góc có 4 đường kéo dài từ nó.

Tại sao rất khó để tưởng tượng ra một khối Tesseract?

Vì con người chúng ta đã tiến hóa để hình dung các vật thể theo không gian ba chiều, nên bất cứ thứ gì đi vào các chiều bổ sung như 4D, 5D, 6D, v.v. đều không có nhiều ý nghĩa đối với chúng ta vì chúng ta hoàn toàn không thể giới thiệu chúng. Bộ não của chúng ta không thể hiểu được chiều thứ 4 trong không gian. Chúng tôi không thể nghĩ về nó.

Tuy nhiên, chỉ vì chúng ta không thể hình dung được khái niệm không gian đa chiều không có nghĩa là nó không thể tồn tại.