hoặc sử dụng công thức hiệu bình phương như thế này:
- (x 2 -4)*(x 2 +4)=0.
Tích của hai thừa số bằng 0 nếu có ít nhất một trong chúng bằng 0.
Biểu thức x 2 +4 không thể bằng 0, do đó tất cả những gì còn lại là (x 2 -4)=0.
Chúng tôi giải quyết nó và nhận được hai câu trả lời.
Trả lời: x=-2 và x=2.
Chúng ta thấy rằng phương trình x 4 =16 chỉ có 2 nghiệm thực. Đây là các căn bậc 4 tính từ số 16. Hơn nữa, căn dương được gọi là căn bậc 4 tính từ số 16. Và chúng được ký hiệu là 4√16. Tức là 4√16=2.
Sự định nghĩa
- Căn số học của lũy thừa tự nhiên n>=2 của số không âm a là một số không âm nào đó, khi lũy thừa n thì thu được số a.
Có thể chứng minh rằng với mọi a không âm và n tự nhiên, phương trình x n = a sẽ có một nghiệm không âm duy nhất. Căn bậc này được gọi là căn bậc n của số a.
Căn bậc n của một số được ký hiệu như sau: n√a.
Số a trong trường hợp này được gọi là biểu thức căn thức.
Trong trường hợp n=2, họ không viết hai mà chỉ viết √a.
Các nghiệm số học bậc hai và bậc ba có tên đặc biệt của họ.
Căn bậc hai được gọi là căn bậc hai, căn bậc ba được gọi là căn bậc ba.
Chỉ sử dụng định nghĩa của căn số học, người ta có thể chứng minh rằng n√a bằng b. Để làm được điều này chúng ta cần chứng minh rằng:
- 1. b lớn hơn hoặc bằng 0.
- 2. b n = a.
Ví dụ: 3√(64) = 4, vì 1. 4>0, 2. 4 3 =64.
Hệ quả của định nghĩa căn bậc số học.
- (n√a) n = a.
- n√(a n) = a.
Ví dụ: (5√2) 5 = 2.
Trích xuất gốc thứ n
Trích xuất gốc thứ n là hành động được sử dụng để tìm gốc thứ n. Lấy căn bậc n là nghịch đảo của việc nâng nó lên lũy thừa thứ n.
Hãy xem một ví dụ.
Giải phương trình x 3 = -27.
Hãy viết lại phương trình này dưới dạng (-x) 3 =27.
Đặt y=-x thì y 3 =27. Phương trình này có một nghiệm dương y= 3√27 = 3.
Phương trình này không có nghiệm âm, vì y 3
Chúng ta thấy rằng phương trình 3 = 27 chỉ có một nghiệm.
Quay lại phương trình ban đầu, chúng ta thấy rằng nó cũng chỉ có một nghiệm x=-y=-3.
Trong bài viết này chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm căn nguyên của một số. Chúng ta sẽ tiến hành tuần tự: chúng ta sẽ bắt đầu với căn bậc hai, từ đó chúng ta sẽ chuyển sang mô tả căn bậc ba, sau đó chúng ta sẽ khái quát hóa khái niệm căn bậc ba bằng cách xác định căn bậc n. Đồng thời, chúng tôi sẽ giới thiệu các định nghĩa, ký hiệu, đưa ra ví dụ về căn và đưa ra những giải thích, nhận xét cần thiết.
Căn bậc hai, căn bậc hai số học
Để hiểu định nghĩa căn bậc một của một số và đặc biệt là căn bậc hai, bạn cần phải có . Đến đây chúng ta sẽ thường xuyên gặp phải lũy thừa bậc hai của một số - bình phương của một số.
Hãy bắt đầu với định nghĩa căn bậc hai.
Sự định nghĩa
Căn bậc hai của a là một số có bình phương bằng a.
Để dẫn dắt ví dụ về căn bậc hai, lấy một số số, ví dụ 5, −0,3, 0,3, 0 và bình phương chúng, chúng ta thu được các số lần lượt là 25, 0,09, 0,09 và 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 và 0 2 =0·0=0 ). Khi đó, theo định nghĩa nêu trên, số 5 là căn bậc hai của số 25, các số −0,3 và 0,3 là căn bậc hai của 0,09 và 0 là căn bậc hai của số 0.
Cần lưu ý rằng không phải số a nào cũng tồn tại số có bình phương bằng a. Cụ thể, với mọi số âm a, không có số thực b nào có bình phương bằng a. Trên thực tế, đẳng thức a=b 2 không thể xảy ra với bất kỳ a âm nào, vì b 2 là một số không âm đối với mọi b. Như vậy, không có căn bậc hai của số âm trong tập hợp số thực. Nói cách khác, trên tập hợp số thực, căn bậc hai của số âm không được xác định và không có ý nghĩa.
Điều này dẫn đến một câu hỏi hợp lý: “Có căn bậc hai của a cho bất kỳ a không âm nào không?” Câu trả lời là có. Sự biện minh cho thực tế này có thể được coi là phương pháp mang tính xây dựng được sử dụng để tìm giá trị căn bậc hai.
Sau đó, câu hỏi logic tiếp theo được đặt ra: “Số lượng tất cả các căn bậc hai của một số không âm a - một, hai, ba hoặc thậm chí nhiều hơn” là bao nhiêu? Đây là câu trả lời: nếu a bằng 0 thì căn bậc hai duy nhất của 0 bằng 0; nếu a là một số dương thì số căn bậc hai của số a là hai và các căn bậc hai là . Hãy biện minh cho điều này.
Hãy bắt đầu với trường hợp a=0 . Đầu tiên, hãy chứng minh rằng số 0 thực sự là căn bậc hai của số 0. Điều này suy ra từ đẳng thức hiển nhiên 0 2 =0·0=0 và định nghĩa của căn bậc hai.
Bây giờ hãy chứng minh rằng 0 là căn bậc hai duy nhất của 0. Hãy sử dụng phương pháp ngược lại. Giả sử có một số b khác 0 là căn bậc hai của 0. Khi đó điều kiện b 2 = 0 phải được thỏa mãn, điều này là không thể, vì với mọi b khác 0 thì giá trị của biểu thức b 2 là dương. Chúng ta đã đi đến một sự mâu thuẫn. Điều này chứng tỏ rằng 0 là căn bậc hai duy nhất của số 0.
Hãy chuyển sang các trường hợp a là số dương. Chúng ta đã nói ở trên rằng luôn có căn bậc hai của bất kỳ số không âm nào, gọi căn bậc hai của a là số b. Giả sử có một số c, cũng là căn bậc hai của a. Khi đó, theo định nghĩa căn bậc hai, các đẳng thức b 2 =a và c 2 =a là đúng, từ đó suy ra b 2 −c 2 =a−a=0, nhưng vì b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , sau đó (b−c)·(b+c)=0 . Đẳng thức kết quả là hợp lệ tính chất của phép toán với số thực chỉ có thể khi b−c=0 hoặc b+c=0 . Như vậy, số b và c bằng nhau hoặc ngược nhau.
Nếu chúng ta giả sử rằng có một số d, là một căn bậc hai khác của số a, thì bằng cách lập luận tương tự như những số đã cho, người ta chứng minh rằng d bằng số b hoặc số c. Vì vậy, số căn bậc hai của một số dương là hai và căn bậc hai là số đối nhau.
Để thuận tiện khi làm việc với căn bậc hai, căn âm được “tách” khỏi căn dương. Với mục đích này, nó được giới thiệu định nghĩa căn bậc hai số học.
Sự định nghĩa
Căn bậc hai số học của số không âm a là số không âm có bình phương bằng a.
Ký hiệu căn bậc hai số học của a là . Dấu hiệu được gọi là dấu căn bậc hai số học. Nó còn được gọi là dấu căn. Vì vậy, đôi khi bạn có thể nghe cả “root” và “radical”, có nghĩa là cùng một đối tượng.
Số dưới dấu căn bậc hai số học được gọi là số căn bản, và biểu thức dưới dấu căn là biểu thức căn bản, trong khi thuật ngữ “số căn” thường được thay thế bằng “biểu thức căn”. Ví dụ, trong ký hiệu số 151 là một số căn, và trong ký hiệu thì biểu thức a là một biểu thức căn.
Khi đọc, từ "số học" thường bị bỏ qua, chẳng hạn, mục này được đọc là "căn bậc hai của bảy phẩy hai mươi chín". Từ “số học” chỉ được sử dụng khi họ muốn nhấn mạnh rằng chúng ta đang nói cụ thể về căn bậc hai dương của một số.
Theo ký hiệu được giới thiệu, nó tuân theo định nghĩa của căn bậc hai số học rằng đối với mọi số không âm a .
Căn bậc hai của một số dương a được viết bằng dấu căn bậc hai số học là và . Ví dụ: căn bậc hai của 13 là và . Căn bậc hai số học của số 0 bằng 0, nghĩa là . Đối với số âm a, chúng ta sẽ không gắn ý nghĩa của ký hiệu cho đến khi nghiên cứu số phức. Ví dụ, các biểu thức và là vô nghĩa.
Dựa vào định nghĩa căn bậc hai, ta chứng minh tính chất của căn bậc hai, thường được sử dụng trong thực tế.
Để kết luận đoạn này, chúng ta lưu ý rằng căn bậc hai của số a là nghiệm có dạng x 2 = a đối với biến x.
Căn bậc ba của một số
Định nghĩa căn bậc ba của số a được cho tương tự như định nghĩa của căn bậc hai. Chỉ có điều nó dựa trên khái niệm khối lập phương của một số chứ không phải hình vuông.
Sự định nghĩa
Căn bậc ba của một là một số có khối lập phương bằng a.
Hãy cho đi ví dụ về căn bậc ba. Để làm điều này, hãy lấy một số số, chẳng hạn như 7, 0, −2/3 và lập phương chúng: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Khi đó, dựa trên định nghĩa căn bậc ba, chúng ta có thể nói rằng số 7 là căn bậc ba của 343, 0 là căn bậc ba của 0, và −2/3 là căn bậc ba của −8/27.
Có thể chứng minh rằng căn bậc ba của một số, không giống như căn bậc hai, luôn tồn tại, không chỉ với a không âm, mà còn tồn tại với bất kỳ số thực a nào. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng phương pháp tương tự mà chúng tôi đã đề cập khi nghiên cứu căn bậc hai.
Hơn nữa, chỉ có một căn bậc ba duy nhất của số a cho trước. Hãy để chúng tôi chứng minh tuyên bố cuối cùng. Để làm điều này, hãy xem xét ba trường hợp riêng biệt: a là số dương, a=0 và a là số âm.
Dễ dàng chứng minh rằng nếu a dương thì căn bậc ba của a không thể là số âm hay số 0. Thật vậy, giả sử b là căn bậc ba của a thì theo định nghĩa chúng ta có thể viết đẳng thức b 3 = a. Rõ ràng là đẳng thức này không thể đúng với âm b và b=0, vì trong những trường hợp này b 3 =b·b·b sẽ lần lượt là số âm hoặc bằng 0. Vậy căn bậc ba của số dương a là một số dương.
Bây giờ giả sử rằng ngoài số b còn có một căn bậc ba khác của số a, hãy ký hiệu là c. Khi đó c 3 = a. Do đó, b 3 −c 3 =a−a=0, nhưng b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(đây là công thức nhân rút gọn sự khác biệt của hình khối), từ đó (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Đẳng thức thu được chỉ có thể xảy ra khi b−c=0 hoặc b 2 +b·c+c 2 =0. Từ đẳng thức thứ nhất, chúng ta có b=c, và đẳng thức thứ hai không có nghiệm, vì vế trái của nó là số dương với mọi số dương b và c là tổng của ba số hạng dương b 2, b·c và c 2. Điều này chứng tỏ tính duy nhất căn bậc ba của số a dương.
Khi a=0, căn bậc ba của số a chỉ là số 0. Thật vậy, nếu chúng ta giả sử rằng có một số b, là căn bậc ba khác 0 của 0, thì đẳng thức b 3 = 0 phải đúng, điều này chỉ có thể xảy ra khi b=0.
Đối với a âm, có thể đưa ra các lập luận tương tự như trường hợp a dương. Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng căn bậc ba của một số âm không thể bằng số dương hoặc số 0. Thứ hai, chúng tôi giả sử rằng có căn bậc ba thứ hai của số âm và chứng minh rằng nó nhất thiết phải trùng với căn bậc ba thứ nhất.
Vì vậy, luôn có căn bậc ba của bất kỳ số thực a nào và một số duy nhất.
Hãy cho đi định nghĩa căn bậc ba số học.
Sự định nghĩa
Căn bậc ba số học của số không âm a là một số không âm có khối lập phương bằng a.
Căn bậc ba số học của số a không âm được ký hiệu là , dấu gọi là dấu của căn bậc ba số học, số 3 trong ký hiệu này gọi là chỉ số gốc. Số ở dưới dấu căn là số căn bản, biểu thức dưới dấu căn là biểu thức căn bản.
Mặc dù căn bậc ba số học chỉ được xác định cho các số không âm a, nhưng cũng thuận tiện khi sử dụng các ký hiệu trong đó số âm được tìm thấy dưới dấu của căn bậc ba số học. Chúng ta sẽ hiểu chúng như sau: , trong đó a là số dương. Ví dụ, 
.
Chúng ta sẽ nói về các tính chất của căn bậc ba trong một bài viết chung. tính chất của rễ.
Việc tính giá trị căn bậc ba gọi là trích căn bậc ba, thao tác này sẽ được thảo luận trong bài viết trích xuất rễ: phương pháp, ví dụ, giải pháp.
Để kết luận điểm này, giả sử căn bậc ba của số a là một nghiệm có dạng x 3 = a.
căn bậc n, căn bậc n
Chúng ta hãy khái quát khái niệm căn nguyên của một số - chúng tôi giới thiệu định nghĩa căn bậc n cho n.
Sự định nghĩa
căn bậc n của a là một số có lũy thừa bậc n bằng a.
Từ định nghĩa này, rõ ràng căn bậc một của số a chính là số a, vì khi nghiên cứu bậc với số mũ tự nhiên, chúng ta lấy 1 = a.
Ở trên chúng ta đã xem xét các trường hợp đặc biệt của căn bậc n cho n=2 và n=3 - căn bậc hai và căn bậc ba. Nghĩa là, căn bậc hai là căn bậc hai và căn bậc ba là căn bậc ba. Để nghiên cứu các nghiệm bậc n cho n=4, 5, 6, ..., thuận tiện chia chúng thành hai nhóm: nhóm thứ nhất - các nghiệm bậc chẵn (nghĩa là với n = 4, 6, 8 , ...), nhóm thứ hai - nghiệm bậc lẻ (nghĩa là có n=5, 7, 9, ...). Điều này là do căn của lũy thừa chẵn giống với căn bậc hai và căn của lũy thừa lẻ giống với căn bậc ba. Hãy giải quyết chúng từng cái một.
Hãy bắt đầu với các căn có lũy thừa là các số chẵn 4, 6, 8, ... Như chúng ta đã nói, chúng tương tự như căn bậc hai của số a. Nghĩa là, căn bậc chẵn của số a chỉ tồn tại với a không âm. Hơn nữa, nếu a=0 thì căn của a là duy nhất và bằng 0, và nếu a>0 thì có hai căn bậc chẵn của số a và chúng là những số đối nhau.
Hãy để chúng tôi chứng minh tuyên bố cuối cùng. Cho b là một nghiệm chẵn (chúng ta ký hiệu nó là 2·m, trong đó m là một số tự nhiên nào đó) của số a. Giả sử rằng có một số c - một nghiệm khác cách số a 2·m. Khi đó b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Nhưng chúng ta biết dạng b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), thì (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Từ đẳng thức này suy ra b−c=0, hoặc b+c=0, hoặc b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Hai đẳng thức đầu tiên có nghĩa là các số b và c bằng nhau hoặc b và c ngược nhau. Và đẳng thức cuối cùng chỉ đúng với b=c=0, vì ở vế trái của nó có một biểu thức không âm với bất kỳ b và c nào là tổng của các số không âm.
Đối với các căn bậc n của n lẻ, chúng tương tự như căn bậc ba. Nghĩa là, căn bậc lẻ bất kỳ của số a tồn tại với mọi số thực a và với một số cho trước thì nó là duy nhất.
Tính duy nhất của một căn bậc lẻ 2·m+1 của số a được chứng minh bằng cách tương tự với chứng minh tính duy nhất căn bậc ba của a. Chỉ ở đây thay vì bình đẳng a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)đẳng thức có dạng b 2 m+1 −c 2 m+1 = được sử dụng (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Biểu thức trong ngoặc cuối cùng có thể được viết lại thành b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Ví dụ, với m=2 chúng ta có b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Khi a và b cùng dương hoặc cùng âm, tích của chúng là số dương, thì biểu thức b 2 +c 2 +b·c trong dấu ngoặc đơn lồng nhau cao nhất là tổng của các số dương. Bây giờ, di chuyển tuần tự đến các biểu thức trong ngoặc của các mức lồng nhau trước đó, chúng tôi tin chắc rằng chúng cũng dương khi là tổng của các số dương. Kết quả là, chúng ta thu được đẳng thức b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 chỉ có thể xảy ra khi b−c=0, nghĩa là khi số b bằng số c.
Đã đến lúc hiểu ký hiệu của căn bậc n. Với mục đích này nó được đưa ra định nghĩa căn bậc n.
Sự định nghĩa
Căn bậc n của số không âm a là một số không âm có lũy thừa bậc n bằng a.
Bằng cấp gốc N từ một số thực Một, Ở đâu N- số tự nhiên gọi là số thực x, N sức mạnh thứ của nó bằng Một.
Bằng cấp gốc N từ trong số Mộtđược biểu thị bằng ký hiệu. Theo định nghĩa này.
Đi tìm gốc rễ N- độ thứ trong số Một gọi là chiết xuất gốc. Con số MỘTđược gọi là số căn (biểu thức), N- chỉ số gốc. Đối với số lẻ N có một cái gốc N- lũy thừa thứ của số thực bất kỳ Một. Khi thậm chí N có một cái gốc N-chỉ sức mạnh thứ cho các số không âm Một. Để phân biệt gốc N- độ thứ trong số Một, khái niệm căn số học được giới thiệu N- độ thứ trong số Một.
Khái niệm nghiệm số học bậc N
Nếu và N- số tự nhiên lớn hơn 1 thì tồn tại và chỉ một số không âm X, sao cho đẳng thức được thỏa mãn. Số này X gọi là căn số học N lũy thừa của một số không âm MỘT và được chỉ định. Con số MỘTđược gọi là số căn, N- chỉ số gốc.
Vì vậy, theo định nghĩa, ký hiệu , ở đâu , có nghĩa là, thứ nhất, cái đó và thứ hai, cái đó, tức là. .
Khái niệm về mức độ với số mũ hợp lý
Bằng cấp với số mũ tự nhiên: let MỘT là số thực và N- số tự nhiên lớn hơn 1 N- sức mạnh thứ của số MỘT gọi công việc N các yếu tố, mỗi yếu tố đều bằng nhau MỘT, tức là . Con số MỘT- cơ sở của bằng cấp, N- số mũ. Một lũy thừa có số mũ bằng 0: theo định nghĩa, nếu , thì . Sức mạnh bằng 0 của một số 0 không có ý nghĩa Bậc có số mũ là số nguyên âm: được giả định theo định nghĩa nếu và N thì . Một mức độ có số mũ phân số: theo định nghĩa, nó được giả định nếu và N- số tự nhiên, tôi thì .
Hoạt động với rễ.
Trong tất cả các công thức dưới đây, ký hiệu này có nghĩa là căn số học (biểu thức căn thức là dương).
1. Căn tích của một số thừa số bằng tích của các nghiệm của các thừa số đó:
2. Căn của một tỉ số bằng tỉ số của các nghiệm của số bị chia và số chia:
3. Khi nâng căn số lên lũy thừa, chỉ cần nâng số căn lên lũy thừa này là đủ: 
4. Nếu bạn tăng bậc căn n lần, đồng thời nâng số căn lên lũy thừa thứ n thì giá trị của căn sẽ không thay đổi: 
5. Nếu giảm bậc căn bậc n lần và đồng thời rút căn bậc n của số căn thì giá trị của căn căn sẽ không thay đổi:
Mở rộng khái niệm về mức độ. Cho đến nay chúng ta chỉ xét độ với số mũ tự nhiên; nhưng các phép toán với lũy thừa và nghiệm cũng có thể dẫn đến số mũ âm, số 0 và phân số. Tất cả những số mũ này yêu cầu định nghĩa bổ sung.
Một mức độ với số mũ âm. Mũ của một số nhất định có số mũ âm (số nguyên) được định nghĩa bằng số chia cho lũy thừa của số đó có số mũ bằng giá trị tuyệt đối của số mũ âm: 
Bây giờ công thức a m: a n = a m - n có thể được sử dụng không chỉ cho m lớn hơn n mà còn cho m nhỏ hơn n.
VÍ DỤ a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Nếu chúng ta muốn công thức a m: a n = a m - n có giá trị với m = n, chúng ta cần định nghĩa độ 0.
Một mức độ có chỉ số bằng 0. Sức mạnh của bất kỳ số nào khác 0 có số mũ bằng 0 là 1.
VÍ DỤ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.
Bằng cấp với số mũ phân số. Để nâng số thực a lên lũy thừa m / n, bạn cần trích căn bậc n của lũy thừa thứ m của số a này:
Về những biểu hiện không có ý nghĩa. Có một số biểu hiện như vậy.
Trường hợp 1.
Trường hợp a ≠ 0 không tồn tại.
Trong thực tế, nếu chúng ta giả sử rằng x là một số nhất định thì theo định nghĩa của phép chia, chúng ta có: a = 0 x, tức là. a = 0, mâu thuẫn với điều kiện: a ≠ 0
Trường hợp 2.
Bất kỳ số nào.
Trong thực tế, nếu chúng ta giả sử biểu thức này bằng một số x nhất định thì theo định nghĩa của phép chia chúng ta có: 0 = 0 · x. Nhưng đẳng thức này đúng với mọi số x, đó là điều cần phải chứng minh.
Thật sự,
Giải pháp Hãy xem xét ba trường hợp chính:
1) x = 0 – giá trị này không thỏa mãn phương trình này
2) với x > 0 ta có: x / x = 1, tức là 1 = 1, nghĩa là x là số bất kỳ; nhưng xét rằng trong trường hợp của chúng ta x > 0, câu trả lời là x > 0;
3) tại x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
trong trường hợp này không có giải pháp. Do đó x > 0.