Khoảng tin cậy
Khoảng tin cậy- thuật ngữ được sử dụng trong thống kê toán học để ước lượng khoảng (ngược lại với điểm) của các tham số thống kê, thuật ngữ này thích hợp hơn khi cỡ mẫu nhỏ. Khoảng tin cậy là khoảng tin cậy bao trùm một tham số chưa biết với độ tin cậy nhất định.
Phương pháp khoảng tin cậy được phát triển bởi nhà thống kê người Mỹ Jerzy Neumann, dựa trên ý tưởng của nhà thống kê người Anh Ronald Fisher.
Sự định nghĩa
Khoảng tin cậy của tham số θ phân phối biến ngẫu nhiên X với mức độ tin cậy 100 P%, được tạo bởi mẫu ( x 1 ,…,x n), được gọi là khoảng có ranh giới ( x 1 ,…,x n) và ( x 1 ,…,x n), đó là sự thể hiện của các biến ngẫu nhiên L(X 1 ,…,X n) và bạn(X 1 ,…,X n), sao cho
.Các điểm biên của khoảng tin cậy được gọi là giới hạn tin cậy.
Cách giải thích dựa trên trực giác về khoảng tin cậy sẽ là: nếu P lớn (ví dụ 0,95 hoặc 0,99), thì khoảng tin cậy gần như chắc chắn chứa giá trị thực θ .
Một cách giải thích khác về khái niệm khoảng tin cậy: nó có thể được coi là khoảng của các giá trị tham số θ tương thích với dữ liệu thực nghiệm và không mâu thuẫn với chúng.
Ví dụ
- Khoảng tin cậy cho kỳ vọng toán học của một mẫu bình thường;
- Khoảng tin cậy cho phương sai mẫu bình thường.
Khoảng tin cậy Bayes
Trong thống kê Bayes, có một định nghĩa tương tự nhưng khác nhau ở một số chi tiết chính về khoảng tin cậy. Ở đây, bản thân tham số ước tính được coi là một biến ngẫu nhiên với một số phân phối trước đó cho trước (trong trường hợp đơn giản nhất là phân bố đều) và mẫu là cố định (trong thống kê cổ điển, mọi thứ hoàn toàn ngược lại). Khoảng tin cậy Bayes là khoảng bao gồm giá trị tham số với xác suất sau:
.Nói chung, khoảng tin cậy cổ điển và Bayesian là khác nhau. Trong tài liệu tiếng Anh, khoảng tin cậy Bayes thường được gọi là thuật ngữ khoảng tin cậy, và cái cổ điển - khoảng tin cậy.
Ghi chú
NguồnQuỹ Wikimedia.
- 2010.
- Những đứa trẻ (phim)
thực dân
Khoảng tin cậy- khoảng được tính toán từ dữ liệu mẫu, với xác suất (độ tin cậy) cho trước bao gồm giá trị thực chưa biết của tham số phân phối ước tính. Nguồn: GOST 20522 96: Đất. Phương pháp xử lý thống kê kết quả... Sách tham khảo từ điển thuật ngữ quy chuẩn và tài liệu kỹ thuật
khoảng tin cậy- đối với tham số vô hướng của tổng thể, đây là phân đoạn có nhiều khả năng chứa tham số này nhất. Cụm từ này là vô nghĩa nếu không giải thích thêm. Vì ranh giới của khoảng tin cậy được ước tính từ mẫu nên việc... ... Từ điển thống kê xã hội học
Khoảng tin cậy- một phương pháp ước lượng các tham số khác với ước lượng điểm. Đặt mẫu x1, . . ., xn từ một phân bố có mật độ xác suất f(x, α) và ước tính a*=a*(x1, . . ., xn) ước tính mật độ xác suất α, g(a*, α). Chúng tôi đang tìm kiếm... ... Bách khoa toàn thư địa chất
Khoảng tin cậy- (khoảng tin cậy) Khoảng trong đó độ tin cậy của giá trị tham số đối với tổng thể thu được trên cơ sở khảo sát mẫu có một mức xác suất nhất định, ví dụ 95%, là do chính mẫu đó. Chiều rộng… … Từ điển kinh tế
khoảng tin cậy- – là khoảng trong đó giá trị thực của đại lượng xác định được xác định với xác suất tin cậy cho trước. Hóa học đại cương: sách giáo khoa / A. V. Zholnin ... Thuật ngữ hóa học
Khoảng tin cậy CI- Khoảng tin cậy, khoảng tin cậy CI* dữ liệu, khoảng tin cậy CI* của giá trị đặc tính, tính cho k.l. tham số phân phối (ví dụ: giá trị trung bình của một đặc tính) trên mẫu và với xác suất nhất định (ví dụ: 95% cho 95% ... Di truyền học. Từ điển bách khoa
Khoảng tin cậy- một khái niệm nảy sinh khi ước tính một tham số thống kê. phân phối theo khoảng giá trị. D. và. đối với tham số q tương ứng với hệ số này. niềm tin P, bằng một khoảng (q1, q2) sao cho với bất kỳ phân bố xác suất nào của sự bất bình đẳng... ... Bách khoa toàn thư vật lý
khoảng tin cậy- - Chủ đề viễn thông, khái niệm cơ bản Khoảng tin cậy EN ... Hướng dẫn dịch thuật kỹ thuật
khoảng tin cậy- pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: tiếng anh. khoảng tin cậy vok. Vertrauensbereich, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
khoảng tin cậy- pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: tiếng anh. khoảng tin cậy rus. khu vực tin cậy; khoảng tin cậy... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
Hãy xây dựng khoảng tin cậy trong MS EXCEL để ước tính giá trị trung bình của phân bố trong trường hợp giá trị phân tán đã biết.
Tất nhiên sự lựa chọn mức độ tin cậy hoàn toàn phụ thuộc vào vấn đề đang được giải quyết. Do đó, mức độ tin cậy của hành khách hàng không vào độ tin cậy của máy bay chắc chắn phải cao hơn mức độ tin cậy của người mua vào độ tin cậy của bóng đèn điện.
Xây dựng vấn đề
Hãy giả sử rằng từ dân sốđã được thực hiện vật mẫu kích thước n. Người ta cho rằng độ lệch chuẩn sự phân bố này đã được biết. Nó là cần thiết dựa trên điều này mẫuđánh giá những điều chưa biết trung bình phân phối(μ, ) và xây dựng tương ứng hai mặt khoảng tin cậy.
Ước tính điểm
Như đã biết từ thống kê(hãy ký hiệu nó X trung bình) là ước tính không chệch của giá trị trung bình cái này dân số và có phân phối N(μ;σ 2 /n).
Ghi chú: Phải làm gì nếu bạn cần xây dựng khoảng tin cậy trong trường hợp phân phối không phải Bình thường? Trong trường hợp này, cần có sự giải cứu, trong đó nói rằng với kích thước đủ lớn mẫu n từ phân phối không tồn tại Bình thường, phân phối mẫu thống kê X trung bình sẽ khoảng tương ứng phân phối bình thường với tham số N(μ;σ 2 /n).
Vì thế, ước tính điểm trung bình giá trị phân phối chúng tôi có - cái này ý nghĩa mẫu, tức là X trung bình. Bây giờ hãy bắt đầu khoảng tin cậy.
Xây dựng khoảng tin cậy
Thông thường, khi biết phân bố và các tham số của nó, chúng ta có thể tính xác suất để biến ngẫu nhiên nhận một giá trị từ khoảng mà chúng ta chỉ định. Bây giờ hãy làm ngược lại: tìm khoảng mà biến ngẫu nhiên sẽ rơi với một xác suất cho trước. Ví dụ, từ thuộc tính phân phối bình thườngđược biết rằng với xác suất 95%, một biến ngẫu nhiên được phân phối trên luật thông thường, sẽ nằm trong khoảng +/- 2 từ giá trị trung bình(xem bài viết về). Khoảng thời gian này sẽ đóng vai trò là nguyên mẫu cho chúng ta khoảng tin cậy.
Bây giờ hãy xem liệu chúng ta có biết cách phân phối , để tính khoảng này? Để trả lời câu hỏi, chúng ta phải chỉ ra hình dạng của phân bố và các tham số của nó.
Chúng tôi biết hình thức phân phối - đây là phân phối bình thường(hãy nhớ rằng chúng ta đang nói về phân phối mẫu thống kê X trung bình).
Chúng tôi chưa biết tham số μ (nó chỉ cần được ước tính bằng cách sử dụng khoảng tin cậy), nhưng chúng tôi có ước tính về nó X trung bình, tính toán dựa trên mẫu, có thể được sử dụng.
Tham số thứ hai - độ lệch chuẩn của giá trị trung bình mẫu chúng tôi sẽ coi như nó đã được biết, nó bằng σ/√n.
Bởi vì chúng ta không biết μ thì chúng ta sẽ xây dựng khoảng +/- 2 độ lệch chuẩn không phải từ giá trị trung bình và từ ước tính đã biết của nó X trung bình. Những thứ kia. khi tính toán khoảng tin cậy chúng tôi sẽ KHÔNG cho rằng X trung bình nằm trong phạm vi +/- 2 độ lệch chuẩn từ μ với xác suất là 95% và chúng ta sẽ giả sử rằng khoảng đó là +/- 2 độ lệch chuẩn từ X trung bình với xác suất 95% nó sẽ bao phủ μ - mức trung bình của dân số nói chung, từ đó nó được lấy vật mẫu. Hai câu lệnh này tương đương nhau, nhưng câu lệnh thứ hai cho phép chúng ta xây dựng khoảng tin cậy.
Ngoài ra, chúng ta hãy làm rõ khoảng: một biến ngẫu nhiên được phân bổ trên luật thông thường, với xác suất 95% nằm trong khoảng +/- 1,960 độ lệch chuẩn, không phải +/- 2 độ lệch chuẩn. Điều này có thể được tính bằng công thức =NORM.ST.REV((1+0,95)/2),cm. tập tin ví dụ Khoảng thời gian trang tính.
Bây giờ chúng ta có thể xây dựng một phát biểu xác suất sẽ giúp chúng ta hình thành khoảng tin cậy:
“Xác suất đó dân số trung bình nằm từ mẫu trung bình trong vòng 1.960" độ lệch chuẩn của giá trị trung bình mẫu", bằng 95%.
Giá trị xác suất được đề cập trong câu lệnh có tên đặc biệt , được liên kết với mức ý nghĩa α (alpha) bằng một biểu thức đơn giản mức độ tin cậy =1 -α . Trong trường hợp của chúng tôi mức ý nghĩa α =1-0,95=0,05 .
Bây giờ, dựa trên tuyên bố xác suất này, chúng ta viết một biểu thức để tính khoảng tin cậy:
trong đó Z α/2 – tiêu chuẩn phân phối bình thường(giá trị này của biến ngẫu nhiên z, Cái gì P(z>=Z α/2 )=α/2).
Ghi chú: Lượng tử α/2 trên xác định chiều rộng khoảng tin cậy V. độ lệch chuẩn trung bình mẫu. Lượng tử α/2 trên tiêu chuẩn phân phối bình thường luôn lớn hơn 0, điều này rất thuận tiện.
Trong trường hợp của chúng tôi, với α=0,05, lượng tử α/2 trên bằng 1,960. Đối với các mức ý nghĩa khác α (10%; 1%) lượng tử α/2 trên Z α/2 có thể được tính bằng công thức =NORM.ST.REV(1-α/2) hoặc, nếu biết mức độ tin cậy, =NORM.ST.OBR((1+mức độ tin cậy)/2).
Thông thường khi xây dựng khoảng tin cậy để ước tính giá trị trung bình chỉ sử dụng trên α/2-lượng tử và không sử dụng thấp hơn/2-lượng tử. Điều này là có thể bởi vì tiêu chuẩn phân phối bình thườngđối xứng qua trục x ( mật độ phân bố của nóđối xứng về trung bình, tức là 0). Vì vậy, không cần phải tính toán lượng tử α/2 thấp hơn(nó được gọi đơn giản là α /2-phân vị), bởi vì nó bằng nhau trên α/2-lượng tử bằng dấu trừ.
Chúng ta hãy nhớ lại rằng, mặc dù hình dạng phân bố của giá trị x, biến ngẫu nhiên tương ứng X trung bình phân phối khoảng Khỏe N(μ;σ 2 /n) (xem bài viết về). Do đó, nói chung, biểu thức trên cho khoảng tin cậy chỉ là một sự gần đúng. Nếu giá trị x được phân phối trên luật thông thường N(μ;σ 2 /n), thì biểu thức của khoảng tin cậy là chính xác.
Tính khoảng tin cậy trong MS EXCEL
Hãy giải quyết vấn đề.
Thời gian đáp ứng của linh kiện điện tử với tín hiệu đầu vào là một đặc tính quan trọng của thiết bị. Một kỹ sư muốn xây dựng khoảng tin cậy cho thời gian phản hồi trung bình ở mức tin cậy 95%. Từ kinh nghiệm trước đây, người kỹ sư biết rằng độ lệch chuẩn của thời gian đáp ứng là 8 ms. Được biết, để đánh giá thời gian phản hồi, kỹ sư đã thực hiện 25 phép đo, giá trị trung bình là 78 ms.
Giải pháp: Một kỹ sư muốn biết thời gian phản hồi của một thiết bị điện tử, nhưng anh ta hiểu rằng thời gian phản hồi không phải là một giá trị cố định mà là một biến ngẫu nhiên có phân bố riêng. Vì vậy, điều tốt nhất anh ta có thể hy vọng là xác định được các tham số và hình dạng của phân bố này.
Thật không may, từ các điều kiện của vấn đề, chúng ta không biết hình dạng của phân bố thời gian phản hồi (không nhất thiết phải như vậy). Bình thường). , sự phân bố này cũng chưa được biết. Chỉ có anh ấy được biết độ lệch chuẩnσ=8. Vì vậy, trong khi chúng ta không thể tính toán xác suất và xây dựng khoảng tin cậy.
Tuy nhiên, mặc dù thực tế là chúng ta không biết sự phân bố thời gian phản ứng riêng biệt, chúng tôi biết rằng theo CPT, phân phối mẫu thời gian phản hồi trung bình xấp xỉ Bình thường(chúng ta sẽ giả sử rằng các điều kiện CPTđược thực hiện, bởi vì kích cỡ mẫu khá lớn (n=25)) .
Hơn thế nữa, trung bình sự phân phối này bằng giá trị trung bình phân phối một phản hồi duy nhất, tức là μ. MỘT độ lệch chuẩn của phân phối này (σ/√n) có thể được tính bằng công thức =8/ROOT(25) .
Người ta cũng biết rằng người kỹ sư đã nhận được ước tính điểm tham số μ bằng 78 ms (X avg). Vì vậy, bây giờ chúng ta có thể tính xác suất, bởi vì chúng ta biết hình thức phân phối ( Bình thường) và các tham số của nó (X avg và σ/√n).
Kỹ sư muốn biết kỳ vọng toán họcμ phân phối thời gian đáp ứng. Như đã nêu ở trên, μ này bằng kỳ vọng toán học của phân bố mẫu của thời gian phản hồi trung bình. Nếu chúng ta sử dụng phân phối bình thường N(Х avg; σ/√n), thì μ mong muốn sẽ nằm trong phạm vi +/-2*σ/√n với xác suất xấp xỉ 95%.
Mức ý nghĩa bằng 1-0,95=0,05.
Cuối cùng chúng ta tìm đường viền trái và phải khoảng tin cậy.
Biên giới bên trái: =78-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/ROOT(25) =
74,864
Biên giới bên phải: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/ROOT(25)=81.136
Biên giới bên trái: =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Biên giới bên phải: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Trả lời: khoảng tin cậy Tại mức độ tin cậy 95% và σ=8mili giây bằng 78+/-3,136 mili giây.
TRONG tập tin ví dụ trên bảng Sigmađã biết, tạo hình thức tính toán và xây dựng hai mặt khoảng tin cậy tùy ý mẫu với σ đã cho và mức độ quan trọng.
Hàm CONFIDENCE.NORM()
Nếu các giá trị mẫu nằm trong phạm vi B20:B79
, MỘT mức ý nghĩa bằng 0,05; thì công thức MS EXCEL:
=AVERAGE(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0,05;σ; COUNT(B20:B79))
sẽ trả lại đường viền bên trái khoảng tin cậy.
Giới hạn tương tự có thể được tính bằng công thức:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))
Ghi chú: Hàm CONFIDENCE.NORM() xuất hiện trong MS EXCEL 2010. Trong các phiên bản MS EXCEL trước đó, hàm TRUST() đã được sử dụng.
Trong các phần trước chúng ta đã xem xét vấn đề ước lượng một tham số chưa biết MỘT một con số. Đây được gọi là ước tính “điểm”. Trong một số nhiệm vụ, bạn không chỉ cần tìm tham số MỘT giá trị số phù hợp mà còn để đánh giá độ chính xác và độ tin cậy của nó. Bạn cần biết việc thay thế một tham số có thể dẫn đến lỗi gì MỘTước tính điểm của nó MỘT và với mức độ tin cậy nào chúng ta có thể mong đợi rằng những sai số này sẽ không vượt quá giới hạn đã biết?
Những vấn đề thuộc loại này đặc biệt phù hợp với một số lượng nhỏ các quan sát, khi ước lượng điểm và trong phần lớn là sự thay thế ngẫu nhiên và gần đúng của a bằng a có thể dẫn đến sai sót nghiêm trọng.
Để đưa ra ý tưởng về tính chính xác và độ tin cậy của ước tính MỘT,
Trong thống kê toán học, cái gọi là khoảng tin cậy và xác suất tin cậy được sử dụng.
Cho tham số MỘTước tính khách quan thu được từ kinh nghiệm MỘT. Chúng tôi muốn ước tính lỗi có thể xảy ra trong trường hợp này. Chúng ta hãy gán một số xác suất p đủ lớn (ví dụ: p = 0,9, 0,95 hoặc 0,99) sao cho một sự kiện có xác suất p có thể được coi là đáng tin cậy trên thực tế và tìm một giá trị s sao cho
Sau đó, phạm vi giá trị thực tế có thể xảy ra của lỗi phát sinh trong quá trình thay thế MỘT TRÊN MỘT, sẽ là ± s; Các sai số lớn về giá trị tuyệt đối sẽ chỉ xuất hiện với xác suất thấp a = 1 - p. Hãy viết lại (14.3.1) thành:
Đẳng thức (14.3.2) có nghĩa là với xác suất p giá trị chưa biết của tham số MỘT rơi vào khoảng
Cần lưu ý một trường hợp. Trước đây, chúng ta đã nhiều lần xem xét xác suất của một biến ngẫu nhiên rơi vào một khoảng không ngẫu nhiên nhất định. Ở đây tình hình lại khác: độ lớn MỘT không phải ngẫu nhiên, nhưng khoảng /p là ngẫu nhiên. Vị trí của nó trên trục x là ngẫu nhiên, được xác định bởi tâm của nó. MỘT; Nói chung, độ dài của khoảng 2s cũng là ngẫu nhiên, vì giá trị của s thường được tính từ dữ liệu thực nghiệm. Vì vậy, trong trường hợp này, sẽ tốt hơn nếu diễn giải giá trị p không phải là xác suất “đạt” điểm MỘT trong khoảng / p và xác suất mà khoảng / p ngẫu nhiên sẽ bao trùm điểm MỘT(Hình 14.3.1).
Cơm. 14.3.1
Xác suất p thường được gọi là xác suất tin cậy, và khoảng / p - khoảng tin cậy. Ranh giới khoảng Nếu như. a x = a- cát một 2 = một + và được gọi ranh giới tin cậy.
Chúng ta hãy đưa ra một cách giải thích khác cho khái niệm khoảng tin cậy: nó có thể được coi là khoảng của các giá trị tham số MỘT, tương thích với dữ liệu thực nghiệm và không mâu thuẫn với chúng. Thật vậy, nếu chúng ta đồng ý xem xét một sự kiện có xác suất a = 1-p trên thực tế là không thể xảy ra, thì các giá trị của tham số a mà một - một> s phải được thừa nhận là mâu thuẫn với dữ liệu thực nghiệm và những dữ liệu |a - MỘTà t na 2 .
Cho tham số MỘT có một ước tính không thiên vị MỘT. Nếu chúng ta biết luật phân phối số lượng MỘT, nhiệm vụ tìm khoảng tin cậy sẽ rất đơn giản: chỉ cần tìm một giá trị s sao cho
Khó khăn nằm ở chỗ quy luật phân phối ước lượng MỘT phụ thuộc vào định luật phân bố của đại lượng X và do đó, trên các tham số chưa biết của nó (cụ thể là trên chính tham số đó MỘT).
Để giải quyết khó khăn này, bạn có thể sử dụng kỹ thuật gần đúng sau đây: thay thế các tham số chưa biết trong biểu thức của s bằng ước tính điểm của chúng. Với số lượng thí nghiệm tương đối lớn N(khoảng 20...30) kỹ thuật này thường cho kết quả đạt yêu cầu về độ chính xác.
Ví dụ, hãy xem xét vấn đề về khoảng tin cậy cho kỳ vọng toán học.
Hãy để nó được sản xuất N X, có đặc điểm là kỳ vọng toán học T và phương sai D- không rõ. Các ước tính sau đây đã thu được cho các tham số này:
Cần xây dựng khoảng tin cậy/p tương ứng với xác suất tin cậy p cho kỳ vọng toán học T số lượng X.
Khi giải bài toán này ta sẽ vận dụng tính chất đại lượng Tđại diện cho tổng N các biến ngẫu nhiên được phân phối độc lập giống hệt nhau X h và theo định lý giới hạn trung tâm, với một số đủ lớn N luật phân phối của nó gần với mức bình thường. Trong thực tế, ngay cả với số lượng số hạng tương đối nhỏ (khoảng 10...20), quy luật phân phối của tổng có thể được coi là gần đúng chuẩn. Chúng ta sẽ giả định rằng giá trị T phân bố theo quy luật thông thường. Các đặc điểm của định luật này - kỳ vọng toán học và phương sai - tương ứng là bằng nhau T Và
(xem chương 13 tiểu mục 13.3). Chúng ta hãy giả sử rằng giá trị D chúng ta biết và sẽ tìm thấy giá trị Ep mà
Sử dụng công thức (6.3.5) của Chương 6, chúng ta biểu thị xác suất ở vế trái của (14.3.5) thông qua hàm phân phối chuẩn
độ lệch chuẩn của ước tính ở đâu T.
Từ phương trình.
tìm giá trị của Sp: 
trong đó arg Ф* (х) là hàm nghịch đảo của Ф* (X), những thứ kia. giá trị của đối số mà hàm phân phối chuẩn bằng X.
phân tán D, qua đó số lượng được thể hiện MỘT 1P, chúng tôi không biết chính xác; làm giá trị gần đúng của nó, bạn có thể sử dụng ước tính D(14.3.4) và đặt xấp xỉ:
Như vậy, bài toán xây dựng khoảng tin cậy đã được giải gần đúng, bằng:
trong đó gp được xác định theo công thức (14.3.7).
Để tránh nội suy ngược trong các bảng của hàm Ф* (l) khi tính s p, nên lập một bảng đặc biệt (Bảng 14.3.1), đưa ra các giá trị của đại lượng
tùy thuộc vào r. Giá trị (p xác định theo định luật thông thường số lượng độ lệch chuẩn phải được vẽ ở bên phải và bên trái tính từ tâm phân tán sao cho xác suất đi vào vùng kết quả bằng p.
Thông qua giá trị 7 p, khoảng tin cậy được biểu thị như sau:
Bảng 14.3.1
Ví dụ 1. 20 thí nghiệm được thực hiện trên đại lượng X; kết quả được thể hiện trong bảng. 14.3.2.
Bảng 14.3.2
Cần phải tìm một ước tính từ kỳ vọng toán học của đại lượng X và xây dựng khoảng tin cậy tương ứng với xác suất tin cậy p = 0,8.
Giải pháp. Chúng tôi có:
Chọn l: = 10 làm điểm tham chiếu, sử dụng công thức thứ ba (14.2.14) ta tìm được ước lượng không chệch D :
Theo bảng 14.3.1 chúng tôi tìm thấy 
Giới hạn tin cậy:
Khoảng tin cậy:
Giá trị tham số T, nằm trong khoảng này phù hợp với số liệu thực nghiệm cho trong bảng. 14.3.2.
Khoảng tin cậy cho phương sai có thể được xây dựng theo cách tương tự.
Hãy để nó được sản xuất N thí nghiệm độc lập trên một biến ngẫu nhiên X với các tham số chưa biết cho cả A và độ phân tán Dđã thu được một ước tính khách quan:
Cần phải xây dựng khoảng tin cậy gần đúng cho phương sai.
Từ công thức (14.3.11) rõ ràng là đại lượng Dđại diện cho
số lượng N biến ngẫu nhiên có dạng . Những giá trị này không
độc lập, vì bất kỳ trong số chúng bao gồm số lượng T, phụ thuộc vào mọi người khác. Tuy nhiên, có thể thấy rằng với sự gia tăng N quy luật phân phối tổng của chúng cũng tiến tới mức bình thường. Gần như lúc N= 20...30 thì có thể coi là bình thường rồi.
Giả sử điều này là như vậy và hãy tìm các đặc điểm của định luật này: kỳ vọng toán học và độ phân tán. Kể từ khi đánh giá D- vậy là khách quan rồi M[D] = D.
Tính toán phương sai D Dđược liên kết với các phép tính tương đối phức tạp, vì vậy chúng tôi trình bày biểu thức của nó mà không cần dẫn xuất:
trong đó q 4 là mômen trung tâm thứ tư của độ lớn X.
Để sử dụng biểu thức này, bạn cần thay thế các giá trị \u003d 4 và D(ít nhất là những người thân thiết). Thay vì D bạn có thể sử dụng đánh giá của anh ấy D. Về nguyên tắc, mômen trung tâm thứ tư cũng có thể được thay thế bằng ước tính, ví dụ: giá trị có dạng:
nhưng sự thay thế như vậy sẽ cho độ chính xác cực kỳ thấp, vì nhìn chung, với số lượng thử nghiệm hạn chế, các khoảnh khắc bậc cao được xác định với sai số lớn. Tuy nhiên, trong thực tế thường xảy ra trường hợp loại luật phân bố số lượng X biết trước: chỉ có các tham số của nó là chưa biết. Sau đó bạn có thể thử biểu diễn μ 4 thông qua D.
Hãy lấy trường hợp phổ biến nhất, khi giá trị X phân bố theo quy luật thông thường. Sau đó, mômen trung tâm thứ tư của nó được thể hiện dưới dạng phân tán (xem Chương 6, tiểu mục 6.2);
và công thức (14.3.12) cho 
hoặc
Thay thế ẩn số vào (14.3.14) Dđánh giá của anh ấy D, chúng tôi nhận được: từ đâu 
Khoảnh khắc μ 4 có thể được biểu thị thông qua D còn trong một số trường hợp khác, khi việc phân phối giá trị X là không bình thường, nhưng sự xuất hiện của nó được biết đến. Ví dụ, đối với định luật về mật độ đồng đều (xem Chương 5), chúng ta có: 
trong đó (a, P) là khoảng mà định luật được xác định.
Kể từ đây,
Sử dụng công thức (14.3.12) ta có: 
chúng ta tìm thấy khoảng đâu
Trong trường hợp chưa biết loại định luật phân bố cho đại lượng 26, khi ước tính gần đúng giá trị a/), vẫn nên sử dụng công thức (14.3.16), trừ khi có lý do đặc biệt để tin rằng định luật này rất khác so với bình thường (có độ nhọn dương hoặc âm rõ rệt).
Nếu giá trị gần đúng a/) thu được bằng cách này hay cách khác thì chúng ta có thể xây dựng khoảng tin cậy cho phương sai giống như cách chúng ta xây dựng nó cho kỳ vọng toán học:
trong đó giá trị tùy thuộc vào xác suất p đã cho được tìm thấy theo bảng. 14.3.1.
Ví dụ 2. Tìm khoảng tin cậy xấp xỉ 80% cho phương sai của một biến ngẫu nhiên X theo các điều kiện của ví dụ 1, nếu biết rằng giá trị Xđược phân phối theo một quy luật gần với chuẩn mực.
Giải pháp. Giá trị vẫn giữ nguyên như trong bảng. 14.3.1:
Theo công thức (14.3.16)
Sử dụng công thức (14.3.18) chúng ta tìm được khoảng tin cậy:
Khoảng giá trị độ lệch chuẩn tương ứng: (0,21; 0,29).
14.4. Phương pháp chính xác để xây dựng khoảng tin cậy cho các tham số của biến ngẫu nhiên được phân phối theo luật chuẩn tắc
Trong tiểu mục trước, chúng ta đã xem xét các phương pháp gần đúng để xây dựng khoảng tin cậy cho kỳ vọng và phương sai toán học. Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra ý tưởng về các phương pháp chính xác để giải quyết cùng một vấn đề. Chúng tôi nhấn mạnh rằng để tìm chính xác khoảng tin cậy nhất thiết phải biết trước dạng luật phân bố của đại lượng X, trong khi đó đối với việc áp dụng các phương pháp gần đúng thì điều này là không cần thiết.
Ý tưởng về các phương pháp chính xác để xây dựng khoảng tin cậy được đưa ra như sau. Bất kỳ khoảng tin cậy nào được tìm thấy từ một điều kiện biểu thị xác suất đáp ứng các bất đẳng thức nhất định, bao gồm ước tính mà chúng ta quan tâm MỘT. Luật phân bổ giá trị MỘT trong trường hợp tổng quát phụ thuộc vào các tham số chưa biết của đại lượng X. Tuy nhiên, đôi khi có thể truyền bất đẳng thức từ một biến ngẫu nhiên MỘTđến một số chức năng khác của các giá trị quan sát được X p X 2, ..., X tr. luật phân phối không phụ thuộc vào các tham số chưa biết mà chỉ phụ thuộc vào số lượng thí nghiệm và loại luật phân phối số lượng X. Những loại biến ngẫu nhiên này đóng một vai trò quan trọng trong thống kê toán học; chúng đã được nghiên cứu chi tiết nhất cho trường hợp phân phối chuẩn của số lượng X.
Ví dụ, người ta đã chứng minh rằng với phân phối chuẩn của giá trị X biến ngẫu nhiên
tuân theo cái gọi là Luật phân bố sinh viên Với N- 1 bậc tự do; mật độ của định luật này có dạng
trong đó G(x) là hàm gamma đã biết:
Người ta cũng đã chứng minh rằng biến ngẫu nhiên
có "phân phối %2" với N- 1 bậc tự do (xem Chương 7), mật độ được biểu thị bằng công thức
Không tập trung vào đạo hàm của phân bố (14.4.2) và (14.4.4), chúng tôi sẽ chỉ ra cách chúng có thể được áp dụng khi xây dựng khoảng tin cậy cho các tham số ty D.
Hãy để nó được sản xuất N thí nghiệm độc lập trên một biến ngẫu nhiên X, phân phối chuẩn với các tham số chưa biết ĐẾN.Đối với các tham số này, ước tính đã thu được
Cần xây dựng khoảng tin cậy cho cả hai tham số tương ứng với xác suất tin cậy p.
Trước tiên chúng ta hãy xây dựng khoảng tin cậy cho kỳ vọng toán học. Điều tự nhiên là lấy khoảng này đối xứng với T; gọi s p biểu thị một nửa độ dài của khoảng. Giá trị s p phải được chọn sao cho điều kiện được thỏa mãn
Hãy thử di chuyển về phía bên trái của đẳng thức (14.4.5) từ biến ngẫu nhiên Tđến một biến ngẫu nhiên T,được phân phối theo luật Sinh viên. Để làm điều này, hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức |m-w?|
bằng giá trị dương: 
hoặc, sử dụng ký hiệu (14.4.1),
Hãy tìm một số /p sao cho có thể tìm được giá trị /p từ điều kiện
Từ công thức (14.4.2) rõ ràng (1) là hàm chẵn, do đó (14.4.8) cho 
Đẳng thức (14.4.9) xác định giá trị /p tùy thuộc vào p. Nếu bạn có sẵn một bảng các giá trị tích phân
thì giá trị của /p có thể được tìm thấy bằng phép nội suy ngược trong bảng. Tuy nhiên, sẽ thuận tiện hơn nếu lập trước một bảng giá trị /p. Bảng như vậy được đưa ra trong Phụ lục (Bảng 5). Bảng này hiển thị các giá trị tùy thuộc vào mức độ tin cậy p và số bậc tự do N- 1. Đã xác định được /p từ bảng. 5 và giả sử 
chúng ta sẽ tìm thấy một nửa chiều rộng của khoảng tin cậy / p và chính khoảng đó
Ví dụ 1. Thực hiện 5 thí nghiệm độc lập trên một biến ngẫu nhiên X, phân phối chuẩn với các tham số chưa biết T và ô. Kết quả thí nghiệm được cho trong bảng. 14.4.1.
Bảng 14.4.1
Tìm xếp hạng T cho kỳ vọng toán học và xây dựng khoảng tin cậy 90% / p cho nó (tức là khoảng tương ứng với xác suất tin cậy p = 0,9).
Giải pháp. Chúng tôi có:
Theo bảng 5 của hồ sơ xin cấp P - 1 = 4 và p = 0,9 ta tìm được 
Ở đâu 
Khoảng tin cậy sẽ là
Ví dụ 2. Đối với điều kiện của ví dụ 1 tiểu mục 14.3, giả sử giá trị X có phân phối chuẩn, hãy tìm khoảng tin cậy chính xác.
Giải pháp. Theo bảng 5 của phụ lục chúng tôi tìm thấy tại P - 1 = 19ir =
0,8/p = 1,328; từ đây 
So sánh với cách giải ví dụ 1 của tiểu mục 14.3 (e p = 0,072), chúng tôi tin rằng sự khác biệt là rất không đáng kể. Nếu chúng ta duy trì độ chính xác đến chữ số thập phân thứ hai thì khoảng tin cậy được tìm bằng phương pháp chính xác và gần đúng sẽ trùng nhau:
Hãy chuyển sang xây dựng khoảng tin cậy cho phương sai. Hãy xem xét công cụ ước tính phương sai không thiên vị
và biểu thị biến ngẫu nhiên D thông qua độ lớn V.(14.4.3), có phân phối x 2 (14.4.4):
Biết định luật phân bố số lượng V, bạn có thể tìm khoảng /(1) mà nó rơi vào đó với xác suất p cho trước.
Luật phân phối kn_x(v) cường độ I 7 có dạng như hình 2. 14.4.1.
Cơm. 14.4.1
Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để chọn khoảng / p? Nếu định luật phân bố độ lớn V. là đối xứng (như luật chuẩn hoặc phân phối Sinh viên), sẽ là điều tự nhiên nếu lấy khoảng /p đối xứng với kỳ vọng toán học. Trong trường hợp này pháp luật k p_x (v) không đối xứng. Chúng ta hãy đồng ý chọn khoảng /p sao cho xác suất của giá trị đó là V. ngoài khoảng bên phải và bên trái (các vùng được tô bóng trong Hình 14.4.1) đều giống nhau và bằng nhau
Để xây dựng một khoảng /p với thuộc tính này, chúng ta sử dụng bảng. 4 ứng dụng: nó chứa số y) như vậy
cho giá trị V, có phân phối x 2 với r bậc tự do. Trong trường hợp của chúng tôi r = n- 1. Hãy sửa chữa r = n- 1 và tìm ở hàng tương ứng của bảng. 4 hai ý nghĩa x 2 - cái này tương ứng với xác suất cái kia - xác suất Hãy để chúng tôi biểu thị những điều này
giá trị lúc 2 giờ Và xl? Khoảng thời gian có năm 2, với bên trái của bạn, và y~ cuối bên phải.
Bây giờ, hãy tìm từ khoảng / p khoảng tin cậy mong muốn /|, cho độ phân tán có ranh giới D, và D2, bao gồm điểm D với xác suất p: 
Chúng ta hãy xây dựng một khoảng / (, = (?> ь А) bao hàm điểm D khi và chỉ nếu giá trị V. rơi vào khoảng /r. Hãy chứng minh rằng khoảng
thỏa mãn điều kiện này. Thật vậy, những bất bình đẳng 
tương đương với bất đẳng thức
và những bất đẳng thức này được thỏa mãn với xác suất p. Như vậy, khoảng tin cậy cho phương sai đã được tìm thấy và được biểu thị bằng công thức (14.4.13).
Ví dụ 3. Tìm khoảng tin cậy cho phương sai theo điều kiện của ví dụ 2 mục 14.3, nếu biết giá trị Xđược phân phối bình thường.
Giải pháp. Chúng tôi có 
. Theo bảng 4 phụ lục
chúng tôi tìm thấy ở r = n - 1 = 19
Sử dụng công thức (14.4.13) chúng ta tìm được khoảng tin cậy cho phương sai 
Khoảng tương ứng cho độ lệch chuẩn là (0,21; 0,32). Khoảng này chỉ vượt quá một chút khoảng (0,21; 0,29) thu được trong ví dụ 2 của tiểu mục 14.3 bằng phương pháp gần đúng.
- Hình 14.3.1 xét một khoảng tin cậy đối xứng về a. Nói chung, như chúng ta sẽ thấy sau, điều này là không cần thiết.
Mục đích của dịch vụ. Sử dụng dịch vụ này, bạn có thể xác định:
- khoảng tin cậy đối với giá trị trung bình chung, khoảng tin cậy đối với phương sai;
- khoảng tin cậy đối với độ lệch chuẩn, khoảng tin cậy đối với phần chung;
Ví dụ số 1. Tại một trang trại tập thể, trong tổng số 1000 con cừu, có 100 con cừu được cắt lông có kiểm soát chọn lọc. Kết quả là, mỗi con cừu cắt được 4,2 kg len trung bình. Xác định với xác suất 0,99 sai số bình phương trung bình của mẫu khi xác định số lần cắt len trung bình trên mỗi con cừu và các giới hạn trong đó giá trị cắt được chứa nếu phương sai là 2,5. Mẫu không lặp lại.
Ví dụ số 2. Từ một lô sản phẩm nhập khẩu tại Hải quan phía Bắc Mátxcơva, 20 mẫu sản phẩm “A” được lấy bằng phương pháp lấy mẫu lặp lại ngẫu nhiên. Kết quả của thử nghiệm, độ ẩm trung bình của sản phẩm “A” trong mẫu đã được thiết lập, kết quả này bằng 6% với độ lệch chuẩn là 1%.
Xác định với xác suất 0,683 giới hạn độ ẩm trung bình của sản phẩm trong toàn bộ lô sản phẩm nhập khẩu.
Ví dụ số 3. Một cuộc khảo sát với 36 sinh viên cho thấy số lượng sách giáo khoa trung bình mà một sinh viên đọc trong năm học là 6. Giả sử số lượng sách giáo khoa mà một sinh viên đọc trong một học kỳ có quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn bằng 6, hãy tìm : A) với độ tin cậy là 0,99 ước lượng khoảng cho kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên này; B) với xác suất nào có thể nói rằng số lượng sách giáo khoa trung bình mà một học sinh đọc trong mỗi học kỳ, được tính từ mẫu này, sẽ sai lệch so với kỳ vọng toán học về giá trị tuyệt đối không quá 2.
Phân loại khoảng tin cậy
Theo loại tham số được đánh giá:
Theo loại mẫu:
- Khoảng tin cậy cho mẫu vô hạn;
- Khoảng tin cậy cho mẫu cuối cùng;
Tính toán sai số lấy mẫu trung bình cho lấy mẫu ngẫu nhiên
Sự khác biệt giữa giá trị của các chỉ số thu được từ mẫu và các tham số tương ứng của tổng thể được gọi là lỗi đại diện.Chỉ định các tham số chính của quần thể chung và mẫu.
| Công thức lỗi lấy mẫu trung bình | |||
| lựa chọn lại | lựa chọn lặp lại | ||
| trung bình | để chia sẻ | trung bình | để chia sẻ |
 |
|||
Công thức tính cỡ mẫu bằng phương pháp lấy mẫu hoàn toàn ngẫu nhiên
Mục tiêu– Dạy học sinh các thuật toán tính khoảng tin cậy của các thông số thống kê.
Khi xử lý dữ liệu thống kê, giá trị trung bình số học được tính toán, hệ số biến thiên, hệ số tương quan, tiêu chí chênh lệch và thống kê điểm khác sẽ nhận được giới hạn tin cậy về mặt định lượng, cho biết các biến động có thể có của chỉ báo theo các hướng nhỏ hơn và lớn hơn trong khoảng tin cậy.
Ví dụ 3.1
.
Sự phân bố canxi trong huyết thanh khỉ, như đã xác định trước đó, được đặc trưng bởi các chỉ số mẫu sau: = 11,94 mg%; 
= 0,127 mg%; N= 100. Cần xác định khoảng tin cậy cho trung bình chung ( 
) với xác suất tin cậy P
= 0,95.
Trung bình chung được xác định với một xác suất nhất định trong khoảng:
, Ở đâu 
- trung bình số học mẫu; t– Bài kiểm tra của học sinh; 
- sai số trung bình số học.
Sử dụng bảng “Giá trị t-test của sinh viên”, chúng tôi tìm thấy giá trị
với xác suất tin cậy là 0,95 và số bậc tự do k= 100-1 = 99. Nó bằng 1,982. Cùng với các giá trị trung bình số học và sai số thống kê, chúng tôi thay thế nó vào công thức:
hoặc 11,69 
12,19
Do đó, với xác suất 95%, có thể nói rằng trung bình chung của phân phối chuẩn này là từ 11,69 đến 12,19 mg%.
Ví dụ 3.2
. Xác định ranh giới của khoảng tin cậy 95% cho phương sai chung ( 
) sự phân bố canxi trong máu khỉ, nếu biết được điều đó 
= 1,60, tại N
= 100.
Để giải quyết vấn đề bạn có thể sử dụng công thức sau:
Ở đâu 
- sai số thống kê về độ phân tán.
Chúng tôi tìm thấy lỗi phương sai lấy mẫu bằng công thức: 
. Nó bằng 0,11. Nghĩa t- tiêu chí có xác suất tin cậy là 0,95 và số bậc tự do k= 100–1 = 99 đã được biết từ ví dụ trước.
Hãy sử dụng công thức và nhận được:
hoặc 1,38 
1,82
Chính xác hơn, khoảng tin cậy của phương sai tổng quát có thể được xây dựng bằng cách sử dụng 
(chi-vuông) - Kiểm tra Pearson. Các điểm tới hạn của tiêu chí này được đưa ra trong một bảng đặc biệt. Khi sử dụng tiêu chí 
Để xây dựng khoảng tin cậy, mức ý nghĩa hai phía được sử dụng. Đối với giới hạn dưới, mức ý nghĩa được tính bằng công thức 
, cho phần trên cùng – 
. Ví dụ, đối với mức độ tin cậy 
=
0,99
= 0,010,
= 0,990. Theo đó, theo bảng phân bố giá trị tới hạn 
, với mức độ tin cậy được tính toán và số bậc tự do k= 100 – 1= 99, tìm các giá trị 
Và 
. chúng tôi nhận được 
bằng 135,80 và 
bằng 70,06.
Để tìm giới hạn tin cậy cho phương sai tổng quát bằng cách sử dụng 
Hãy sử dụng các công thức: cho ranh giới dưới 
, cho giới hạn trên 
. Hãy thay thế các giá trị tìm được cho dữ liệu bài toán 
thành các công thức: 
=
1,17;
= 2,26. Như vậy, với xác suất tin cậy P= 0,99 hoặc 99% phương sai chung sẽ nằm trong khoảng từ 1,17 đến 2,26 mg%.
Ví dụ 3.3 . Trong số 1000 hạt lúa mì từ lô được nhận tại thang máy, có 120 hạt bị nhiễm nấm cựa gà. Cần phải xác định ranh giới có thể xảy ra của tỷ lệ chung các hạt bị nhiễm bệnh trong một mẻ lúa mì nhất định.
Nên xác định giới hạn tin cậy cho phần chung cho tất cả các giá trị có thể có của nó bằng công thức:
,
Ở đâu N - số lượng quan sát; tôi- kích thước tuyệt đối của một trong các nhóm; t- độ lệch chuẩn hóa.
Tỷ lệ mẫu hạt bị nhiễm bệnh là 
hoặc 12%. Với xác suất tin cậy R= 95% độ lệch chuẩn hóa ( t-Bài kiểm tra của học sinh tại k
=
)t
= 1,960.
Chúng tôi thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:
Do đó ranh giới của khoảng tin cậy bằng 
= 0,122–0,041 = 0,081, hay 8,1%; 
= 0,122 + 0,041 = 0,163, hay 16,3%.
Như vậy, với xác suất tin cậy là 95% có thể khẳng định rằng tỷ lệ chung của hạt bị nhiễm bệnh là từ 8,1 đến 16,3%.
Ví dụ 3.4 . Hệ số biến thiên đặc trưng cho sự biến thiên canxi (mg%) trong huyết thanh khỉ là 10,6%. Cỡ mẫu N= 100. Cần xác định ranh giới của khoảng tin cậy 95% cho tham số chung CV.
Giới hạn của khoảng tin cậy đối với hệ số biến thiên chung CV được xác định bởi các công thức sau:
Và 
, Ở đâu K
giá trị trung gian được tính theo công thức 
.
Biết rằng với xác suất tin cậy R= 95% độ lệch chuẩn hóa (Bài kiểm tra của học sinh tại k
=
)t
= 1,960, trước tiên hãy tính giá trị ĐẾN:
.
hoặc 9,3%
hoặc 12,3%
Như vậy, hệ số biến thiên chung với độ tin cậy 95% nằm trong khoảng từ 9,3 đến 12,3%. Với các mẫu lặp lại, hệ số biến thiên sẽ không vượt quá 12,3% và không dưới 9,3% ở 95/100 trường hợp.
Các câu hỏi để tự kiểm soát:
Vấn đề cho giải pháp độc lập.
1. Tỷ lệ chất béo trong sữa trung bình trong thời kỳ nuôi sữa của bò lai Kholmogory như sau: 3,4; 3,6; 3,2; 3.1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4.0; 3,4; 4.1; 3,8; 3,4; 4.0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3.8. Thiết lập khoảng tin cậy cho giá trị trung bình chung ở mức độ tin cậy 95% (20 điểm).
2. Trên 400 cây lúa mạch đen lai, trung bình 70,5 ngày sau khi gieo, những bông hoa đầu tiên xuất hiện. Độ lệch chuẩn là 6,9 ngày. Xác định sai số của giá trị trung bình và khoảng tin cậy đối với giá trị trung bình tổng quát và phương sai ở mức ý nghĩa W= 0,05 và W= 0,01 (25 điểm).
3. Khi nghiên cứu chiều dài lá của 502 mẫu dâu tây vườn, thu được số liệu sau:
= 7,86 cm; σ = 1,32 cm, 
=± 0,06 cm. Xác định khoảng tin cậy cho trung bình số học của quần thể với mức ý nghĩa 0,01; 0,02; 0,05. (25 điểm).
4. Trong một nghiên cứu trên 150 người đàn ông trưởng thành, chiều cao trung bình là 167 cm và σ = 6 cm. Giới hạn của giá trị trung bình tổng quát và phương sai tổng quát với xác suất tin cậy là 0,99 và 0,95 là bao nhiêu? (25 điểm).
5. Sự phân bố canxi trong huyết thanh khỉ được đặc trưng bởi các chỉ số chọn lọc sau:
= 11,94 mg%, σ
= 1,27, N
= 100. Xây dựng khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình chung của phân phối này. Tính hệ số biến thiên (25 điểm).
6. Nghiên cứu hàm lượng nitơ tổng số trong huyết tương của chuột bạch tạng ở tuổi 37 và 180 ngày. Kết quả được biểu thị bằng gam trên 100 cm 3 huyết tương. Ở tuổi 37 ngày, 9 chuột có tỷ lệ: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. Ở tuổi 180 ngày, 8 con chuột có: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1.12. Đặt khoảng tin cậy cho chênh lệch ở mức tin cậy 0,95 (50 điểm).
7. Xác định ranh giới của khoảng tin cậy 95% cho phương sai chung của phân bố canxi (mg%) trong huyết thanh khỉ, nếu đối với phân bố này cỡ mẫu là n = 100, sai số thống kê của phương sai mẫu S σ 2 = 1,60 (40 điểm).
8. Xác định ranh giới của khoảng tin cậy 95% cho phương sai chung của sự phân bố của 40 bông lúa mì dọc theo chiều dài (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 điểm).
9. Hút thuốc được coi là yếu tố chính dẫn đến bệnh phổi tắc nghẽn. Hút thuốc thụ động không được coi là một yếu tố như vậy. Các nhà khoa học nghi ngờ sự vô hại của việc hút thuốc thụ động và đã kiểm tra tình trạng đường thở của những người không hút thuốc, những người hút thuốc thụ động và chủ động. Để mô tả trạng thái của đường hô hấp, chúng tôi lấy một trong những chỉ số về chức năng hô hấp bên ngoài - tốc độ dòng thể tích tối đa ở giữa thì thở ra. Chỉ số này giảm là dấu hiệu tắc nghẽn đường thở. Số liệu khảo sát được thể hiện trong bảng.
|
Số người được khám |
Tốc độ dòng khí giữa thì thở ra tối đa, l/s |
||
|
Độ lệch chuẩn |
|||
|
người không hút thuốc |
|||
|
làm việc ở khu vực cấm hút thuốc | |||
|
làm việc trong phòng đầy khói | |||
|
Hút thuốc |
|||
|
hút một ít thuốc lá | |||
|
số người hút thuốc lá trung bình | |||
|
hút một số lượng lớn thuốc lá | |||
Sử dụng dữ liệu bảng, hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình tổng thể và phương sai tổng thể cho mỗi nhóm. Sự khác biệt giữa các nhóm là gì? Trình bày kết quả bằng đồ họa (25 điểm).
10. Xác định ranh giới của khoảng tin cậy 95% và 99% cho phương sai chung về số lượng heo con ở 64 lứa đẻ, nếu sai số thống kê của phương sai mẫu S σ 2 = 8,25 (30 điểm).
11. Được biết, trọng lượng trung bình của thỏ là 2,1 kg. Xác định ranh giới của khoảng tin cậy 95% và 99% cho giá trị trung bình chung và phương sai tại N= 30, σ = 0,56 kg (25 điểm).
12. Hàm lượng hạt của bắp được đo cho 100 bắp ( X), chiều dài tai ( Y) và khối lượng hạt trong bông ( Z). Tìm khoảng tin cậy cho giá trị trung bình tổng quát và phương sai tại P 1
= 0,95, P 2
= 0,99, P 3
= 0,999 nếu
= 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29,153, σ y 2 = 2,111, σ z 2 = 0,064. (25 điểm).
13. Trong 100 bông lúa mì mùa đông được chọn ngẫu nhiên, số lượng bông con được đếm. Dân số mẫu được đặc trưng bởi các chỉ số sau:
= 15 bông con và σ = 2,28 chiếc. Xác định độ chính xác của kết quả trung bình thu được ( 
) và xây dựng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình và phương sai chung ở mức ý nghĩa 95% và 99% (30 điểm).
14. Số xương sườn trên vỏ nhuyễn thể hóa thạch orthambonit thư pháp:
Người ta biết rằng N = 19, σ = 4,25. Xác định ranh giới của khoảng tin cậy đối với giá trị trung bình tổng quát và phương sai tổng quát ở mức ý nghĩa W = 0,01 (25 điểm).
15. Để xác định sản lượng sữa ở một trang trại chăn nuôi bò sữa thương mại, năng suất của 15 con bò được xác định hàng ngày. Theo số liệu trong năm, trung bình mỗi con bò cho lượng sữa mỗi ngày như sau (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Xây dựng khoảng tin cậy cho phương sai tổng quát và trung bình số học. Liệu chúng ta có thể mong đợi sản lượng sữa trung bình hàng năm của mỗi con bò là 10.000 lít không? (50 điểm).
16. Để xác định năng suất lúa mì trung bình của doanh nghiệp nông nghiệp, việc cắt cỏ được thực hiện trên các ô thử nghiệm có diện tích 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 và 2 ha. Năng suất (c/ha) từ các lô là 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39,3; 41,6; 33; 42; 29 tương ứng. Xây dựng khoảng tin cậy cho phương sai tổng quát và trung bình số học. Chúng ta có thể kỳ vọng rằng năng suất nông nghiệp trung bình sẽ là 42 c/ha không? (50 điểm).